Funkce více proměnných
IMA 2016
IMA 2016
IMA 2016
IMA 2016
IMA 2016
Funkce více proměnných
IMA 2016
Euklidův prostor
Body, souřadnice, vzdálenost bodů Množina bodů, které mají od bodu A stejnou vzdálenost Uzavřený interval, otevřený interval Okolí bodu Hromadný bod, uzavřená množina vnitřní bod, vnitro hraniční bod, hranice, ohraničená množina lomená čára, oblast, uzavřená oblast
IMA 2016
IMA 2016
Příklad (Definiční obor) Daná je funkce f (x, y) =
√
x + y, určte její def. obor.
Zřejmě x + y ≥ 0, potom y ≥ −x. Proto def. oborem je {[x, y] ∈ R2 ; y ≥ −x}.
IMA 2016
Příklad (Definiční obor) Daná je funkce f (x, y) =
p
1 − x 2 − y 2 , určte její def. obor.
Zřejmě 1 − x 2 − y 2 ≥ 0, potom 1 ≥ x 2 + y 2 . Proto def. oborem je {[x, y] ∈ R2 ; 1 ≥ x 2 + y 2 }, jedná se o kruh se středem v bodě S = (0, 0) a poloměrem r = 1.
IMA 2016
Příklad (Definiční obor) Daná je funkce f (x, y) = def. obor.
p
x 2 + 4y 2 − 2x + 16y − 11, určte její
Zřejmě x 2 + 4y 2 − 2x + 16y − 11 ≥ 0, potom 2 2 + (y+2) . 1 ≤ (x−1) 28 7 Proto def. oborem je {[x, y] ∈ R2 ; 1 ≤ R2
− {[x, y] ∈ její "okolí".
R2 ; 1
≥
(x−1)2 28
+
(x−1)2 28
(y+2)2 }. 7
IMA 2016
+
(y+2)2 }, 7
resp.
Jedná se o elipsu a
Limita funkce
Nechť funkce f (X ), X = [x1 , x2 , · · · , xn ] je definována na nějakém okolí bodu A = [a − 1, a2 , · · · , an ]. Funkce f (X ) má v bodě A limitu číslo L, ak pro každou posloupnost bodů {Xi }∞ i=1 , Xi 6= A z def. oboru funkce f (X ), která konverguje k bodu A, má posloupnost funkčních hodnot {f (Xi )}∞ i=1 za limitu číslo L. Řekneme, že funkce f je v bodě A spojitá, jestliže lim f (X ) = f (A).
X→A
Řekneme, že funkce f je spojitá na množine M , je-li spojitá v každém bode této množiny.
IMA 2016
Příklad (Limita) Určete limitu funkce lim x→1 y→0 z→1
x +y−z +1 1+0−1+1 1 = 2 = 2 2 2 2 2 x +y +z 1 +0 +1 2
IMA 2016
Příklad (Limita) Určete limitu funkce p lim x→0 y→0
x 2 + y2 = x 2 + y2 + 1 − 1 p
x 2 + y2 + 1 + 1 x 2 + y2 p p · = = lim x→0 x 2 + y2 + 1 − 1 x 2 + y2 + 1 + 1 y→0 = lim x→0
q
x 2 + y2 + 1 + 1 = 2
y→0
IMA 2016
Příklad (Limita) Určete limitu funkce lim x→0 y→0
x2
1 + y2
Nechť {Xn }∞ n=1 je libovolná posl. bodů, kde Xi = (xi , yi ) → (0, 0). Potom lim xi = 0, lim yi = 0. x→∞
Potom
lim x 2 x→∞ i
+
x→∞ 2 yi = 0,
lim x→0 y→0
1 2 2 x→∞ xi +yi
proto lim
1 = ∞. x 2 + y2
IMA 2016
= ∞, teda
Příklad (Limita) Určete limitu funkce
xy 2 x→0,y→0 x 2 + y 4 lim
Nechť {xn }∞ n=1 je konvergentní posloupnost, která má limitu 0. Všimněte si posl. bodů {Xn }∞ n=1 , kde Xi = (xi , 0) → (0, 0). Zřejmě f (Xi ) → 0 2 Všimněte si posl. bodů {Xn }∞ n=1 , kde Xi = (xi , xi ) → (0, 0). 1 Zřejmě f (Xi ) → 2 .
Závěr: máme dvě různé posloupnosti bodů konvergující k bodu (0, 0) a jejich limity jsou různé, proto limita funkce v uvedeném bodu neexistuje.
IMA 2016
Spojitá funkce na ohraničené uzavřené množine
Jestliže je funkce f spojitá na ohraničené uzavřené množine M , potom je na množine M ohraničená, má na množine M maximum a minimum.
IMA 2016
Parciální derivace
IMA 2016
Příklad (Parciální derivace) Daná je funkce f (x, y) = x 2 + xy + 2y 2 , určte její parc. derivace podle x a podle y. fx0 = 2x + y fy0 = x + 4y
IMA 2016
Příklad (Parciální derivace) Daná je funkce f (x, y) = (2x 2 + y 2 )2x+3y , určte její parc. derivace podle x. Zřejmě f (x, y) = e ln(2x
2 +y 2 )2x+3y
= e (2x+3y) ln(2x
2 +y 2 )
Potom 2 2 fx0 = e (2x+3y) ln(2x +y ) · [2 · ln(2x 2 + y 2 ) + (2x + 3y) 2x 21+y 2 · 4x] fx0 = (2x 2 + y 2 )2x+3y · [2 · ln(2x 2 + y 2 ) + (2x + 3y) 2x 21+y 2 · 4x]
IMA 2016
Derivace podle vektoru-směrová derivace
f (X0 +h.~ u ) = g(h)
f~u0 (X0 ) = lim
h→0
f (X0 + h.~ u ) − f (X0 ) g(h) − g(0) = lim = g 0 (0) h h h→0
IMA 2016
Příklad (Derivace podle vektoru) Daná je funkce f (x, y, z) = x 2 − 3xy − 4y 2 − 5x − 4z 2 a vektor u = (−1, 1, 2). Určte derivaci funkce f (x, y, z) podle vektoru u v obecném bodě X = (x, y, z). Sestavíme funkci g(h) = f (X + h.u), víme, že g 0 (0) = f 0 u (x, y, z). X + hu = x + (−1) · h, y + h · 1, z + h · 2 = (x − h, y + h, z + 2h) Potom g(h) = (x−h)2 −3(x−h)(y+h)−4(y+h)2 −5(x−h)−4(z+2h)2 g 0 (h) = −2(x −h)−3(−y −h+x −h)−8(y +h)+5−16(z +2h). Po dosazení (h = 0) a úpravě je g 0 (0) = −5x − 5y + 5 − 16z = f 0 u (x, y, z).
IMA 2016
Gradient
Vektor gradf (X0 ) = (fx01 (X0 ), · · · , fx0n (X0 )) se nazývá gradient funkce f v bodě X0 . Je-li f funkce hladká na oblasti A, platí pro každý vektor ~u X ∈ A ⇒ f~u0 (X ) = ~u · gradf (X ). Gradient gradf (X ) udává (v definičním oboru!) směr, ve kterém, vycházíme-li z bodu X , funkce nejrychleji roste (v případě funkce dvou promenných je to směr kolmý na vrstevnici, v prípadě funkce tří proměnných směr kolmý na hladinu funkce).
IMA 2016
Příklad (Derivace podle vektoru, použití gradientu) Daná je funkce f (x, y, z) = x 2 − 3xy − 4y 2 − 5x − 4z 2 a vektor u = (−1, 1, 2). Určte derivaci funkce f (x, y, z) podle vektoru u v obecném bodě X = (x, y, z). Určíme gradient funkce f (x, y, z) : gradf (X ) = (2x − 3y − 5, −3x − 8y, −8z) Vynásobíme skalárně vektor a gradient u · gradf (X ) = −5x − 5y + 5 − 16z = f 0 u (x, y, z).
IMA 2016
Diferenciál
Nechť funkce f je hladká na oblasti A, bod X0 ∈ A a ~h je vektor. Potom zobrazení df (X0 , ~h) = gradf (X0 ) · ~h = f~h0 (X0 ) nazýváme diferenciálem funkce f v bodě X0 . Je-li f funkce dvou promenných, f = f (x, y), X0 = [x0 , y0 ], ~h = (dx, dy), potom df (X0 , ~h) = fx0 (x0 , y0 )dx + fy0 (x0 , y0 )dy. Tečná rovina z − f (x0 , y0 ) = fx0 (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy0 (x0 , y0 )(y − y0 ).
IMA 2016
Příklad (Tečná rovina) Daná je funkce f (x, y) = x 2 + 41 y 2 , její bod P = (1, 3, 13 4 ). Najděte rovnici tečné roviny v bodě P a určete rovnici její normály. Zřejmě rovnice tečné roviny je z − f (x0 , y0 ) = fx0 (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy0 (x0 , y0 )(y − y0 ). 13 0 0 4 , fx (x0 , y0 ) = 2x0 , fy (x0 , y0 ) = 2, fy0 (x0 , y0 ) = fy0 (1, 3) = 23 .
f (x0 , y0 ) = f (1, 3) = fx0 (x0 , y0 ) = fx0 (1, 3) Po dosazení z−
13 3 = 2(x − 1) + (y − 3), 4 2
a po úpravě 3 13 2x + y − z = . 2 4 IMA 2016
= 21 y0 .
Příklad (Tečná rovina, pokr.) Norm. vektor je (2, 23 , −1), rovnice normály (máme přímku v prostore!!!) x = 1 + 2t 3 y =3+ t 2 13 z= − t. 4
IMA 2016
Příklad (Tečná rovina, diferenciál) Nechť z = f (x, y) je rovnice plochy v prostoru. Na této ploše leží bod A = [3, 5, 7]. Dále platí zx0 (3, 5) = 2, zy0 (3, 5) = 3. Najděte rovnici tečné roviny a normálový vektor n k dané ploše v daném bodě. Odhadněte f (3.02, 4.99) . Řešení. Rovnice tečné roviny je z − f (x0 , y0 ) = fx0 (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy0 (x0 , y0 )(y − y0 ). Zřejmě x0 = 3, y0 = 5, f (x0 , y0 ) = 7, fx0 (x0 , y0 ) = 2, fy0 (x0 , y0 ) = 3.
IMA 2016
Příklad (Tečná rovina, diferenciál, pokr.) Proto z − 7 = 2(x − 3) + 3(y − 5), po úpravě 2x + 3y − z − 14 = 0, norm. vektor je (2, 3, −1). pro určení přibl. hodnoty využijeme, že z = f (x0 , y0 ) + fx0 (x0 , y0 )(x − x0 ) + fy0 (x0 , y0 )(y − y0 ). Potom z = f (3, 5) + fx0 (3, 5)(3.02 − 3) + fy0 (3, 5)(4.99 − 5), po úpravě z = 7.01. IMA 2016
