Fotonische Kristallen
René M. De Ridder Universiteit Twente, MESA * instituut, Lightwave Devices Group Postbus 217, 7500 AE Enschede E-mail:
[email protected] Inleiding Relatief simpele, regelmatige structuren blijken soms verrassende optische eigenschappen te hebben. Een zogenaamd fotonisch kristal is zo’n verrassende structuur. Het is een periodiek patroon van materialen met afwisselend hoge en lage waarden van de brekingsindex. Dat periodieke heeft een fotonisch kristal gemeen met de atomaire of moleculaire kristallen die in de natuur voorkomen. Een belangrijk verschil
Figuur 1 3-dimensionale fotonische kristallen. (a) ’Yablonovite’ Il]genoemd naar de uitvinder, het plaatje laat zien hoe je de structuur kunt maken door een reeks gaten te boren o f t etsen onder drie verschillende hoeken, (b) de ’houtstapel’ (wood-pile) [2]. Nederlands Tijdschrift voor Fotonica, augustus 2001
is de schaal. fotonische kristallen hebben een periode in de orde van een halve golflengte van het licht (ongeveer een micrometer), terwijl natuurlijke kristallen een ordening op nanometerschaal hebben Voorbeelden van driedimensionale fotonische kristallen zijn weergegeven in figuur 1. Een belangrijke eigenschap van fotonische kristallen kunnen we illustreren met een simpel voorbeeld: een diëlektrische spiegel.
(b)
9
Het simpelste fotonische kristal: de diëlektrische spiegel Hoewel de benaming 'fotonisch kristal' en de golf van belangstelling voor dit soort structuren tamelijk recent is, heeft men al veel eerder de bijzondere eigenschappen van periodieke diëlektrische structuren ingezien en toegepast. De dielektrische spiegel (figuur 2) kan beschouwd worden als een eendimensionaal fotonisch kristal. De lagen waaruit de spiegel is opgebouwd zijn alle een kwart golflengte dik. We beschouwen een van links af loodrecht invallende golf. Het is gemakkelijk in te zien dat de deelreflecties van alle grensvlakken precies in fase (op een geheel aantal 2n na) weer aan het buitenoppervlak terugkeren. Voor een oneindig aantal (verliesvrije) lagenparen zal dan ook totale reflectie optreden. Ook met een gering aantal lagen kan echter al een zeer grote reflectie optreden. Omdat aan elk grensvlak een vaste fractie van het daar nog aanwezige Iichtvermogen wordt gereflecteerd, zal de intensiteit exponentieel afnemen met de afstand vanaf het buitenvlak. Naarmate het
Figuur 2 Dielektrische spiegel, bestaande uit alternerende lagen met hoge en lage brekingsindex (a) structuur, (b) transmissiecurven voor 2 verschillende gevallen getrokken lijn 5 lagenparen met indexverschil 1 O, gebroken lijn 14 lagenparen met indexverschil O 3
10
verschil in brekingsindex tussen de lagen groter is, zal de gereflecteerde fractie per grensvlak toenemen en dus de indringdiepte van de golf in de structuur afnemen. De bovenstaande redenering geldt strikt genomen voor maar één golflengte. Bij een iets verschillende golflengte zullen de gereflecteerde golven niet meer precies in fase aankomen. Zolang die fase afwijking gering is, zal er nog steeds een netto constructief interferentie-effect optreden met daardoor een zeer grote effectieve reflectiecoefficiënt. Omdat de fouten toenemen evenredig met de indringdiepte, zal een lagenpakket met een groot indexcontrast en daardoor een geringe indringdiepte een grotere afwijking van de golflengte toestaan en daardoor een bredere reflectieband hebben dan een pakket met een lager contrast, zoals te zien is in figuur 2b. Een zelfde soort redenering kan worden opgezet voor hoekafwijkingen t O.V. loodrechte inval een lagenpakket met groot contrast vertoont totale refectie over een groter hoekbereik.
(b) Nederlands Tijdschrift voor Fotonica, augustus 2001
De fotonische 'bandgap' In termen van fotonische kristallen wordt een frequentiegebied waarin totale reflectie optreedt (en dus geen transmissie) een 'stopband' genoemd. Een stopband voor alle voortplantingsrichtingen en voor alle polarisatierichtingen van elektromagnetische golven wordt een (volledige) fotonische bandgap genoemd. Daarom worden deze kunstmatige materialen ook wel 'photonic bandgap structures' genoemd. Voor eén volledige fotonische bandgap heb je driedimensionale fotonische kristallen nodig, zoals in figuur 1. De eigenschap dat de breedte van de stopband toeneemt en de indringdiepte afneemt met toenemend indexcontrast blijft geldig voor meerdimensionale structuren
Mogelijke toepassingen van fotonische kristallen Een defect in een fotonisch kristai kan een zogenaamde gelokaliseerde toestand (localized state) veroorzaken: een resonantie ter plaatse van het defect met een frequentie die in de bandgap van het omliggende kristal ligt. lets anders beschouwd. een holte in een fotonisch kristal gedraagt zich als een resonator met een extreem hoge Q-factor. Zulke resonatoren kunnen zeer klein zijn (tot een kubieke golflengte). Grotere, lijnvormige defecten kunnen werken als verliesvrije golfgeleiders voor frequenties binnen de bandgap. Doordat de golven binnen de bandgap niet kunnen ontsnappen uit het kristal is het in principe mogelijk om golfgeleiders te maken met uiterst scherpe bochten. Overigens moeDe term 'bandgap' doet natuurlijk denken ten die bochten wel zorgvuldig ontworpen aan de elektrische verschijnselen in halfge- worden, want de golf kan weliswaar niet leiders. Dat is niet toevallig. Er is een dui- ontsnappen, maar hij kan wel gereflecdelijke (maar niet volmaakte) analogie teerd worden Een combinatie van golfgetussen het gedrag van elektronen in een leiders en resonatoren maakt het mogelijk halfgeleider en dat van fotonen in een foto- om zeer compacte filters te maken. Als we nisch kristal: een fotonische bandgap conventionele dielektrische kanaalgolfvormt een verboden band van foton ener- geleiders, waarvoor de minimale bochtgieen. De analogie gaat nog verder, want straal ca. 500 pm is, vergelijken met kanaje kunt een fotonisch kristal ook' 'dopen' len in een fotonisch kristal met minimale met 'verontreinigingen' of defecten. een bochtstraal < 5 pm, dan leert een simpel plaatselijk veranderen van de brekings- rekensommetje dat in potentie de integraindex of het lokaal verbreken van de perio- tiedichtheid van geïntegreerde optica met dieke structuur Je kunt voor zo een een factor 1O000 kan worden vergroot. Dat fotonisch kristal ook tamelijk complexe is werkelijk een revolutionaire stap voor'bandenplaatjes' uitrekenen waarop te zien waarts! is in welke richtingen en met welke snel- Een potentieel heel belangrijke toepassing heid golven van een bepaalde frequentie van resonatoren en golfgeleiders in fotonidoor het kristal kunnen lopen. Als je in zo sche kristallen is het maken van zeer effieen plaatje frequentiegebieden kunt vin- ciënte lasers Een van de belangrijkste den waarbij in geen enkele richting en met verliesmechanismen in lasers is de zogegeen enkele snelheid golfvoortplanting naamde spontane emissie. Daarbij worden mogelijk is, dan heb je een bandgap te fotonen met een willekeurige fase in willepakken. Het is zelfs mogelijk 'donorachti- keurige richtingen uitgezonden. Deze fotoge' en 'acceptorachtige' defecten te ma- nen dragen niet bij aan de coherente ken door respectievelijk materiaal tnet laserbundel, maar het heeft wel elektrische hoge brekingsindex toe te voegen of juist energie gekost om ze op te wekken. Een te verwijderen. Een goede inleiding in de geëxciteerd atoom dat binnen in een fotofysica van fotonische kristallen is het boek nisch kristal zit kan op grond van kwantummechanische wetmatigheden geen foton van Joannopoulos [3] uitzenden op frequenties binnen de bandNederlands Tijdschrift voor Fotonica, augustus 2001
11
gap. Als men er in zou slagen om een laser binnen in een fotonisch kristal te maken (en alleen in één richting een uitgangspad voor fotonen te bieden), dan zal verreweg het grootste deel van de spontane emissie onderdrukt worden, waardoor het ideaal van een halfgeleiderlaser zonder drempelstroom nabij komt. Een andere mogelijk toepasbare eigenschap van fotonische kristallen is de bijzonder sterk van de golflengte afhangende voorplantingssnelheid van golven net buiten de bandgap. Deze sterke dispersie kan weer gebruikt worden voor filterdoeleinden. Omdat de groepssnelheid op de rand van de bandgap bijzonder laag is, is een zeer compacte optische vertragingslijn (optisch geheugen) denkbaar. Tot nu toe zijn dit soort toepassingen nog niet gerealiseerd. Men heeft fotonische kristallen kunnen maken met een volledige bandgap in het nabije infrarood (de belangrijke telecommunicatiegolflengten). Er zijn daarin ook resonatoren en golfgeleiders gerealiseerd, maar die bleken nog zeer aanzienlijke verliezen te vertonen. Het verst in de praktische ontwikkeling zijn fotonische kristallen voor het microgolfgebied (het eerste werkende fotonische kristal, in figuur l a , is grofstoffelijk met een boormachine in een blok polystyreen gemaakt en met microgolven met een golflengte in de orde van een cm getest). Fotonische kristalstructurenworden nu gebruikt om het stralingspatroon van microgolfantennes te optimaliseren. Tweedimensionale fotonische kristallen Driedimensionale fotonische kristallen zijn moeilijk te maken. Nog moeilijker is het om in een 3D-kristal functionele structuren als golfgeleiders en resonatoren te vervaardigen en die van buitenaf toegankelijk te maken. Uit berekeningen is gebleken dat ook tweedimensionale fotonische kristallen interessant kunnen zijn. Dit zijn structuren, bestaande uit een rooster van oneindig lange evenwijdige cilinders met een hoge brekingsindex of het inverse daarvan (een rooster van evenwijdige gaten in een mate-
12
riaal met hoge brekingsindex) Figuur 3 laat zien hoe de stopband van een 2Dkristal bepaald kan worden. Hierbij wordt gebruik gemaakt van een numerieke methode, de zogenaamde Finite-Difference Time-Domain (FDTD) methode [4],[5]. Hierin worden zowel de tijd en de ruimte gediscretiseerd waarbij vanuit een gegeven beginsituatie de evolutie in tijd en plaats van het elektromagnetisch veld wordt berekend door rechtstreeks de maxwellvergelijkingen in differentiaal vorm toe te passen, waarbij de differentialen (bijv. Sx, &y,St) worden vervangen door de eindige differenties Ax, Ay, At) (bepaald door de discretisatiestappen). Figuur 3a toont een doorsnede van de structuur die bestaat uit staafjes silicium (dit materiaal is transparant voor infrarode golven en heeft een zeer hoge brekingsindex) die zich uitstrekken in een vlak loodrecht op het vlak van tekening. Links van het kristal is een stralende dipool getekend die in het vlak in alle richtingen straalt. In een groot aantal punten aan de rechterkant van het kristal wordt bepaald hoeveel straling van de dipool wordt doorgelaten. Uit symmetrieoverwegingen hoeft slechts de transmissie over een hoekbereik van 45 graden bepaald te worden die moet gebeuren voor een groot aantal golflengten. Met de FDTD kunnen al die berekeningen in een klap worden uitgevoerd door de dipool een pulsvormig signaal te laten uitzenden Zo een puls omvat een breed frequentiespectrum. Van de in de tijd berekende transmissiesignalen kan d.m.v. een fouriertransformatie het spectrum worden bepaald. Figuur 3b toont een superpositie van ai die spectra, waarin een duidelijke stopband van ca 1300-1700 nm te zien is. Ook in deze 2D-kristallen zijn golfgeleiders en resonatoren te ontwerpen. In figuur 4 worden de berekende overdrachtsfuncties getoond van een rechte golfgeleider gekoppeld met een resonator in een fotonisch kristal. Figuur 4a toont een variant waarbij de resonator direct aan de golfgeleider is gekoppeld (zie inzet); de configuratie van Nederlands Tijdschrih voor Fotonica, augustus 2001
50 h
a
Wavelength @T)I
Figuur 3 Berekening (met de Finite-Difference Time-Domain methode) van de fotonische stopband van een tweedimensionaal fotonisch kristal Methode van Remco Stoffer [5] (a) Structuur vierkant rooster (roosterafstand 600 nm) van oneindig lange 'palen' met vierkante doorsnede (de zwarte vierkantjes) met zijde 150 nm en brekingsindex 3 5 in een achtergrond met brekingsindex 1 O, (b) superpositie van transmissie curven voor een groot aantal voortplantingsrichtingen laat een duidelijke stopband zien rond de golflengte van 1500 nm
figuur 4b is veel losser gekoppeld doordat er een 'paaltje' staat tussen de golfgeleider en de resonator In het geval van sterke koppeling wordt de resonator sterker gedempt door de aanwezigheid van de golfgeleider (de resonator kan zijn energie gemakkelijk weer kwijt en heeft dus een lage Q-factor), waardoor de dips in de transmissie veel breder zijn dan in het geval van zwakke koppeling In beide gevallen vertoont de structuur het gedrag van een periodiek bandsperfilter. Een animatie van de opslingering van het veld in de resonator kan gevonden worden op het internet [GI Uit het voorgaande blijkt dat 2D-fotontsche kristallen theoretisch heel interessante eigenschappen hebben Er is echter een klein praktisch probleempje: ze bestaan niet We leven in een driedimensionale wereld, en zelfs als we een oneindig uitgestrekt kristal zouden kunnen maken, dan nog kunnen we niet verhinderen dat elektromagnetische golven hun weg in de derNederlands Tijdschrift voor Fotonica, augus!us 2001
de dimensie kiezen (loodrecht op het vlak van tekening van figuur 3a). In de praktijk zal men structuren willen (en moeten) maken die begrensd zijn in de derde dimensie. De kristallen zijn dan niet meer zuiver 2D maar kunnen worden aangeduid als 'quasi-2D'. Deze beperking blijkt aanzienlijke consequenties te hebben. Quasi-tweedimensionale fotonische kristallen Behalve het feit dat de gapeigenschappen door de structuur bepaald worden, is er in het geval van zuivere 2D kristallen geen speciale praktische reden om de voorkeur te geven aan een structuur in de vorm van een bos van palen of de inverse structuur, een gatenkaas. Voor quasi-2D kristallen IS die praktische reden er wel: het is erg lastig om zwevende paaltjes te maken. Bovendien, als een golfgeleider wordt gemaakt door paaltjes weg te halen, dan is die golfgeleider aan de onder- en bovenkant open, waardoor de golf weer in de derde dimensie kan ontsnappen. Om die reden spitst
13
]: : : I 1.2
I
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
Wavelength (p m)
I
ni 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8.88888I8
8 8 8 8 8 8 8 8 8
88.8
8.88
8 8 8 8 8 8 8 8 8.88 8 8 0 8 8 8 8 8 1 8 8 8 8
111818a.8 r-
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
Wavelength (pm)
Figuur 4 Transmissiefunctie van resonator gekoppeld aan rechte golfgeleider (a) sterke koppeling, (b) zwakke koppeling, 15)
het merendeel van het praktische werk zich tegenwoordig toe op een membraanachtige structuur van een materiaal met hoge brekingsindex waarin een gaatjespatroon is aangebracht (in de Engelstalige literatuur bekend als 'photonic crystal slab'). Op plaatsen waar geen gaatjes zitten wordt een elektromagnetische golf in verticale richting opgesloten zoals in een normale diëlektrische-plaatgolfgeleider. In 14
figuur 5 is een voorbeeld te zien van een structuur zoals die is gemaakt in de clean room van het MESA+-laboratorium(Laura Vogelaar 171). Het is een dun (enkele honderden nanometers) membraan van siliciumnitride. Voor de vervaardiging is een aantal stappen nodig: eerst wordt een dunne metaallaag op het nitride aangebracht; daarna Nederlands Tijdschrift voor Fotonica, augustus 2001
Figuur 5 Quasi-2D fotonisch kristal vrijhangend siliciumnitride membraan met luchtgaten [7]
wordt met een techniek die we Laser Interferentie Lithografie (LIL) noemen in fotolak op het metaal een periodiek patroon (de latere gaatjes) aangebracht door middel van een belichting met meerdere bundels ultraviolet laserlicht. Na ontwikkelen van de fotolak en etsen van het metaal hebben we een gaatjespatroon in het metaal. Daarna kunnen we selectief weer gaatjes dichtmaken door heel lokaal weer metaal te deponeren met behulp van een gefocusseerde ionenbundel (FIB). Vervolgens wordt het gaatjespatroon overgebracht in het nitride door te etsen met een middel dat het metaal niet aantast maar het nitride wel. Het metaal heeft dan dienst gedaan en kan verwijderd worden. Tenslotte kan het nitridemembraan nog vrijhangend gemaakt worden door het onderliggende materiaal (siliciumoxide) gedeeltelijk weg te etsen (met een nat chemisch proces), o.a door de gaatjes die zojuist in het nitride zijn gemaakt. Vroege experimenten met dit type fotonische kristallen hebben geleerd dat de derde dimensie bepaald niet verwaarloosd mag worden in de berekeningen Ais we een vlakke golf laten invallen op een grensvlak met een ideaal, zuiver 2D fotonisch kristal, dan zal die golf volledig gereflecNederlands Tijdschrift voor Fotonica, augustus 2001
teerd worden voor alle frequenties in de bandgap van het kristal. Intuïtief zou je verwachten dat hetzelfde gebeurt als je een geleide golf in een membraan laat invallen op het grensvlak met een quasi-2D fotonisch kristal (dus op de grens tussen een gebied met en zonder gaatjes in het membraan). Uit het experiment bleek dat dit maar zeer ten dele het geval is: het overgrote deel van het lichtvermogen bleek verstrooid te worden uit het vlak van het membraan. We kunnen dus niet zonder meer de berekende resultaten van 2D structuren vertalen naar het quasi9D geval. De berekeningen moeten dan in 3 dimensies worden uitgevoerd. Helaas stuit dit op het praktische bezwaar dat met de huidige algoritmen 3D berekeningen zeer veel computertijd en geheugen vergen Een idee van wat er gebeurt kan echter wel worden verkregen met een 2D berekening in een vlak loodrecht op het membraanvlak, zoals aangegeven in figuur 6 Figuur 6b toont een momentopname (berekend met FDTD) van de interactie van een zeer korte puls met een quasi-1D fotonisch kristal. Bepaalde frequentiecomponenten van die puls worden gereflecteerd als een geleide modus in de membraangolfgelei-
15
32
a
34
38
x Ilun1
o
5
10
15
al
25
JO
35
40
dB
Figuur 6 Optische verschijnselen, berekend in een 2D doorsnede van een dunne siliciumnitridelaag.op siliciumoxide, waarin een aantal diepe groeven is aangebracht Dit is een simulatie van de inval van een geleide golf op een quasi-eendimensionaal fotonisch kristal (a) de structuur met afmetingen en waarden van de brekingsindex; (b) interactie van een korte puls (enkele fs) met de periodieke structuur, (c) berekende spectra van reflectie (R) en transmissie (T)van de geleide golf en verstrooiingsverlies (L) naar wegstralende golven
der (dit is wat oorspronkelijk verwacht werd voor alle fequenties in de bandgap), maar andere frequentiecomponenten blijken verstrooid te worden (diffractie) uit het vlak van de golfgeleider in diverse richtingen afhankelijk van de frequentie. Tenslotte is ook te zien dat een deel, frequenties buiten de bandgap, wordt doorgelaten als geleide modus Het is heel verhelderend om het hele interactieproces van de puls met de 16
structuur als computeranimatie te bekijken, zie op het internet [6]Een en ander IS ook op andere wijze weergegeven in de spectra in figuur 6c Er is duidelijk een brede transmissiestopband te zien van 900-1430 nm Totale reflectie blijkt alleen op te treden aan de langgolvige rand van de stopband (1430 nm) Naarmate de frequentie dieper in de stopNederlands Tildschrift voor Fotonica. augustus 2001
band ligt blijkt de reflectiecoëfficiënt af te nemen en het diffractieverlies toe te nemen De quasi-1D structuur is natuurlijk een vereenvoudiging van het interessantere quasi-2D geval. Toch geven berekeningen aan structuren zoals in figuur 6a een idee van wat er kan gebeuren als een geleide golf in een golfgeleidend kanaal in een quasi-2D fotonisch kristal aankomt bij een haakse bocht De kunst wordt nu om deze structuren zo te ontwerpen dat de diffractieverliezen minimaal worden Dat probleem is nog niet opgelost, o a doordat 3D berekeningen nog niet praktisch zijn. Een indicatie is er al dat een in verticale zin symmetrische structuur gunstig is; daarom is het membraan in figuur 5 ook vrijhangend gemaakt. Op dit terrein valt nog veel werk te doen, zowel op het vlak van een slimme analytische aanpak van de verschijnselen als op het vlak van efficiënte numerieke methoden. Daarnaast is ook nog veel experimenteel werk nodig om de geldigheid van de modellen te verifieren. Conclusies Fotonische kristallen zijn veelbelovende structuren die uitzicht bieden op de realisatie van bijzondere componenten zoals microresonatoren en zeer efficiënte lasers, en die wellicht tot een toename kunnen leiden van de integratiedichtheid in de geïntegreerde optica met vele grootteordes. Voor deze toepassingen zullen de eerste praktische resultaten vermoedelijk met quasitweedimensionale structuren gerealiseerd worden Hoewel er de afgelopen jaen grote vooruitgang is geboekt zijn er nog volop uitdagingen, zowel op het terrein van de vervaardigingstechniek, de theorievorming en de ontwerptechnieken.
Nederlands Tijdschrift voor Fotonica, augustus 2001
Referenties [ l ] E. Yablonovitch, "Inhibited spontaneous emission in solid-state physics and electronics", Phys. Rev. Lett , vol. 58, pp. 2059-2062, 1987. [2] E Ozbay, E. Michel, G Tuttle, R. Biswas, K.M. Ho, J. Bostak, and D.M. Bloom, "Double-etch geometry for millimeterwave photonic band-gap crystals", Appl. Phys Lett., vol. 65, p. 1617, 1994 [3] J.D. Joannopoulos, R.D Meade, and J.N Winn: Photonic crystals: molding the flow of light, Princeton University Press., 1995. [4] A. Taflove: Computational Electrodynamics: The Finite-Difference TimeDomain Method, Boston: Artech House Inc., 1995. [5] R. Stoffer, H.J.W.M. Hoekstra, R.M de Ridder, E. van Groesen, F.P.H. van Beckum, "Numerical studies of 2D photonic crystals: Waveguides, coupling between waveguides and filters", Optical and Quantum Electronics, vol. 32, pp. 947-961, 2000. [6] http://www.el utwente.nl/tdm/ldg/ researchlpc-devl [7] L. Vogelaar, W. Nijdam, H.A.G M van Wolferen, R.M. de Ridder, F.B. Segerink, E. Flück, L. Kuipers, N.F. van Hulst, "Large scale photonic crystal slabs for visible light with waveguiding defect structures. fabrication with FIBassisted laser interference lithography", Advanced Materials, Vol 13, in print, 2001.
17
