Fluxus. A G vektormező V egyszeresen összefüggő, zárt felületre vett fluxusa:

Matematikai alapok

Fluxus A G vektormező V egyszeresen összefüggő, zárt felületre vett fluxusa:



 GdF V

Divergencia Koordinátaredszertől független definíció:

 div G  lim V 0 V Descartes-féle koordináták esetén:

Gx Gy Gz div G    x y z

Gauss-tétel A divergencia definíciójának térfogati integrálásával:

 div G  lim V 0 V Integrálátalakítás:

 div GdV   GdF V

V

Örvény(erősség) A G vektormező g egyszeresen összefüggő, zárt görbére vett örvénye:

   Gds g

Örvénysűrűség A G vektormező örvénysűrűsége:

 n  rot G   lim F 0 F

Descartes-féle koordináták esetén:

 Gz Gy   Gy Gx   Gx Gz  rot G       ex    ez ey   z  x  y   z  y  x

Stokes-tétel A rotáció definíciójának felületi integrálásával:

 n  rot G   lim F 0 F Integrálátalakítás:

 rot G dF   G ds F

g

Fizikai előzmények

Forrásmentes illetve forrásos mező

div G  0

div G  f

Örvénymentes illetve örvényes mező

rot G  0

rot G  f

Elektromos térjellemzők

Térerőssé, polarizáció, elektromos indukció

D   0E  P Homogén izoptrop anyag

D  E

Áramok

Áramerősség, áramsűrűség I   jdA A

Szállítási, vezetési áramsűrűség

jv   v

j  jv  jk

Ohm-törvény

Lineáris anyagi egyenlet

Idegen tér

jk   E

jk   (E  E ) *

Töltésmegmaradás A felületen belüli töltést csak a felületen átáramló töltés változhatja d  dV  I dt V

  j t

Mágnese térjellemzők

Térerőssé, mágnesezettség, mágneses indukció

B  0 H  M Homogén izoptrop anyag

B  H

Ampère-Maxwell törvény d g Hds  I  dt

   DdA

D  H  jk   v  t

A

Faraday indukciós törvénye d g Eds   dt

   BdA A

B E   t

Elektromos Gauss-törvény  Q

Q    dV

D  

V

Mágneses Gauss-törvény

0

B  0

Anyagi egyenletek

B   H, D   E, jk   (E  E ). *

Impulzusmérleg

Azonosságok      H   B   B  H    B H  ,   



1    H   B   B  H  H  B   H  B     BH  2       E   D   D  E   DE     1    E   D   D  E E  D   E D     ED  2

Mexwell feszültségi tenzor  Ex Dx Ex Dy  Dx Ey Ex Dz  Dx Ez   H x Bx H x By  Bx H y H x Bz  Bx H z   1   T   Ex Dy  Dx Ey E y Dy Ex Dz  Dx Ez    H x By  Bx H y H y By H x Bz  Bx H z   2      E D  D E E D  D E E D H B  B H H B  B H H B z z z z   x z x z x z x z   x z x z x z x z

Azonosság 

 1 1 T   B  H H  B     BH    D  E E  D     ED  2 2

A Gauss-törvények E  D   E  H  B   0

Azonosság

  H   B    E  D  T  E

Elektromágneses impulzussűrűség p  D B

Ampère-Maxwell-; Faraday indukciós törvény E    H   B  jk  B   v  B    B, t H    E   D     D. t

Elektromágneses impulzusmérleg p  jk  B   v  B  E  T t

jk  B

vB

Ampère-erősűrűség Lorentz-erősűrűség

E

Coulomb-erősűrűség

nT

Felületi erő intenzitása

Energiamérleg

Ampère-Maxwell-; Faraday indukciós törvény E E  H  Ejk  E v   E , t H H  E    H . t

Azonosság ( E)H  E( H)  (E  H)

Az egyenletek különbsége E H (E  H)  Ejk  E v   E  H t t

Azonosság E H   1 1   E  H   ED  HB  t t t  2 2 

Elektromágneses energiasűrűség 1 1 w  ED  HB 2 2

Ohm-törvény  jk * Ejk    E  jk ,   2 jk * Ejk   jk E ,



Elektromágneses energiamérleg j w *  jk E  (E  H)   E v t  2 k

jk E*

idegen tér teljesítménysűrűsége

j2k 

joule teljesítménysűrűség

E v

coulomb-erő teljesítménysűrűsége

S  E  H elektromágnese-energia áramsűrűsége

Hullámegyenlet

Homogén, izotrop szigetelő anyag jelenlétét feltételezzük E H   , t H   E   , t D  0, B  0.

Idő szerint deriválva H E   2 t t 2

Rotációt képezve

E     E    2  t 1

2

A kettős vektorszorzat kifejtésével E    E      E  2  t 2

1

Homogén hullámegyenlet

E 1   E  0 2 t  2

H 1  H  0 2 t  2

Skalár hullámegyenlet

 2  v   0 2 t 2

Síkhullám fáziskifejezés

  0 f  

  t  kr  0

Deriváltak  df   0 t d t

   0 f  x x

  t

  0 f  t

 2 2  0 f  2 t

   0 k x f   k x . x x

 2 2  0 k x f  2 x

  0 k f  2

0    v k 2

2

2



Hullámszám 2 2 2  f  0  v k  0

Fázissebesség i  ti  kri

i    ti  t   k  ri  r 

t  kr  0 rn v  lim t 0 t



 rn v t

0

c  1 

k  v

Periodikus megoldás f    f   2 

Periódusidő ti  kri  2    ti  T   kri 2  T

1   ,   2 T

Hullámhossz ti  kri  2  ti  k  ri  n  k

2



  vT

Monokromatikus síkhullám   0 cos t  kr  0 

Vektor-hullám  x   x 0 cos t  kr   x 0  ,

 y   y 0 cos t  kr   y 0  ,  z   z 0 cos t  kr   z 0  .

Elliptikusan poláros hullám   cos   cos   0      2

2

2 x 2 x0

2 y 2 y0

Az elektromágneses hullám

Az elektromos és a mágneses hullám E  E0 cos t  kr  , H  H 0 cos t  kr  0 

A Gauss-törvény, transzverzalitás kE0  0, kH 0  0

Rotáció-képzés   E  k  E0 sin t  kr    H  k  H 0 sin t  kr  0 

Időderivált E  E0 sin t  kr  , t H  H 0 sin t  kr  0  . t

Ampère-Maxwell törvény k  H0 sin t  kr  0    E0 sin t  kr 

Az amplitúdók kapcsolata k  H0  E0 k  v

v  1 

 n  H0   E0 

E0   H0 

Impulzussűrűség p  D B

E  E0 cos t  kr  , H  H 0 cos t  kr  , p   E0  H 0 cos t  kr  2

 E 2 p cos t  kr   c 2 0 2

Impulzussűrűség-átlag 1  cos 2 cos   2 2

1  E02 p 1  cos 2 t  kr   2  2  c 1  E 1 p 2  c T 2 0 2

t T

 1  cos 2 t  kr  dt t

1  E02 p 2  c2

Energiasűrűség 1 1 w  ED  HB 2 2

E  E0 cos t  kr  , H  H 0 cos t  kr  , 1 2 1 2 w    E0   H 0  cos 2 t  kr  2 2 

E0  H0

 , 

w   E02 cos 2 t  kr  .

Energiasűrűség átlag 1 2 w   E0 2

Energiasűrűség és az impulzussűrűség 1  E02 pc  , 2  c 1  2 pc  E0  , 2  1 2 pc   E0 . 2

w  pc

A Poynting vektor S  E H E  E0 cos t  kr  , H  H 0 cos t  kr  , S  E0  H 0 cos 2 t  kr 

 2 2 S E0 cos t  kr  

Intenzitás 1  2 S E0 2 

1  2 I S  E0 2 

c  1 

1 2 S   E0 c 2

S  wc

Interferencia E1  E01 cos t  k1r  , E2  E02 cos t  k 2r  0 

Ee  E1  E2

 He  n   E1  E2  

S e  Ee  H e ,

 2 Se   E1  E2  n. 

Interferenciatag  2 Se   E1  E2  ,   2 2 Se  E1  2E1E2  E2  .    2   2 Se  E1  2 E1E2  E2    t T   1 2 E1E2  2 E01E02  cos t  k1r  cos t  k 2r  0   dt   T t

Interferenciatag helyfüggése 1 cos  cos   cos      cos      2 1 T 1 T

t T

 cos t  k r  cos t  k r    dt  1

2

0

t

t T

 cos 2t   k

1



 k 2  r  0   cos  k 2  k1  r  0  dt

t

  2 E1E2  2 E01E02 cos  k 2  k1  r  0   

Interferencia észlelhetősége

•A hullámok frekvenciája legyen azonos •Ne legyenek egymásra merőlegesen polarizáltak •Fázisaik különbsége legyen időben állandó •Amplitúdójuk legyen összemérhető koherencia feltételek koherens hullámoknak