Finanˇcn´ı matematika 1. pˇredn´aˇska
Mgr. Tat’´ana Funiokov´a, Ph.D. Vysok´ a ˇskola b´ an ˇsk´ a – Technick´ a univerzita Ostrava Katedra matematick´ ych metod v ekonomice
17. 9. 2012
ˇ – TUO) Mgr. Tat’´ ana Funiokov´ a, Ph.D. (VSB
Finanˇ cn´ı matematika
17. 9. 2012
1 / 19
Podm´ınky klasifikovan´ eho z´ apoˇ ctu
Podm´ınky klasifikovan´eho z´apoˇctu
3 d´ılˇc´ı p´ısemn´e testy splnˇeny na 50% (moˇzn´a oprava jednoho testu), jinak z´avˇereˇcn´y test aktivn´ı u ´ˇcast na cviˇcen´ı vypracov´an´ı projekt˚ u (bude upˇresnˇeno)
ˇ – TUO) Mgr. Tat’´ ana Funiokov´ a, Ph.D. (VSB
Finanˇ cn´ı matematika
17. 9. 2012
2 / 19
Doporuˇ cen´ a literatura
Doporuˇcen´a literatura
www.funiokova.cz Tom´aˇs Cipra: Praktick´y pr˚ uvodce finanˇcn´ı a pojistnou matematikou, Ekopress, Praha, 2005 Tom´aˇs Cipra: Finanˇcn´ı a pojistn´e vzorce, GRADA Publishing, Praha, 2006 Radov´a J., Dvoˇr´ak P., M´alek J.: Finanˇcn´ı matematika pro kaˇzd´eho, GRADA Publishing, Praha, 2009 Radov´a J.: Finanˇcn´ı matematika pro kaˇzd´eho: pˇr´ıklady, GRADA Publishing, Praha, 2008
ˇ – TUO) Mgr. Tat’´ ana Funiokov´ a, Ph.D. (VSB
Finanˇ cn´ı matematika
17. 9. 2012
3 / 19
Finanˇ cn´ı matematika
Finanˇcn´ı matematika
Soubor obecn´ych matematick´ych metod uplatnˇen´ych v oblasti financ´ı, jak´ymi jsou napˇr. poskytov´an´ı kr´atkodob´ych a dlouhodob´ych u ´vˇer˚ u, investov´an´ı nebo r˚ uzn´e obchodn´ı transakce.
ˇ – TUO) Mgr. Tat’´ ana Funiokov´ a, Ph.D. (VSB
Finanˇ cn´ı matematika
17. 9. 2012
4 / 19
´ Uvod do u ´roˇ cen´ı
Z´ akladn´ı pojmy
´ Uvod do u´roˇcen´ı Z´ akladn´ı pojmy
u ´rok → z hlediska dluˇzn´ıka odmˇena za ztr´atu kapit´alu; riziko spojen´e se splacen´ım v dan´e hodnotˇe a dan´e v´yˇsi; riziko spojen´e se zmˇenami (inflace) → z hlediska vˇeˇritele cena za poskytnut´y u ´vˇer u ´roˇcen´ı u ´rokov´a doba (doba splatnosti) u ´rokov´e obdob´ı → doba na jej´ımˇz zaˇc´atku nebo konci je pˇrips´an u ´rok z vkladu (m necht’ znaˇc´ı poˇcet u ´rokov´ych obdob´ı v r´amci jednoho roku)
ˇ – TUO) Mgr. Tat’´ ana Funiokov´ a, Ph.D. (VSB
Finanˇ cn´ı matematika
17. 9. 2012
5 / 19
´ Uvod do u ´roˇ cen´ı
u ´rokov´a m´ıra m zkratka 1 p.a. 2 p.s. 4 p.q. 12 p.m. 365 (366) p.d. ∞ u ´rokov´a sazba
Z´ akladn´ı pojmy
v´yznam per annum per semestre per quartale per mensem per diem
u ´roˇcen´ı roˇcn´ı pololetn´ı ˇctvrtletn´ı mˇes´ıˇcn´ı denn´ı spojit´e
nomin´aln´ı u ´rokov´a m´ıra → sjednan´a u ´rokov´a m´ıra mezi vyp˚ ujˇcovatelem a poskytovatelem kapit´alu re´aln´a u ´rokov´a sazba → deflovan´a nomin´aln´ı u ´rokov´a sazba m´ıra zisku, m´ıra v´ynosu ˇ – TUO) Mgr. Tat’´ ana Funiokov´ a, Ph.D. (VSB
Finanˇ cn´ı matematika
17. 9. 2012
6 / 19
´ Uvod do u ´roˇ cen´ı
Faktory ovlivˇ nuj´ıc´ı u ´rokovou m´ıru
´ Uvod do u´roˇcen´ı Faktory ovlivˇ nuj´ıc´ı u ´rokovou m´ıru
diskontn´ı sazba mezibankovn´ı u ´rokov´a m´ıra PRIBOR LIBOR . . .
strategie banky u ´rokov´a marˇze riziko p˚ ujˇcky doba p˚ ujˇcky v´yˇse zap˚ ujˇcen´eho kapit´alu daˇ nov´a politika st´atu
ˇ – TUO) Mgr. Tat’´ ana Funiokov´ a, Ph.D. (VSB
Finanˇ cn´ı matematika
17. 9. 2012
7 / 19
´ Uvod do u ´roˇ cen´ı
Typy u ´roˇ cen´ı
´ Uvod do u´roˇcen´ı Typy u ´roˇcen´ı
z hlediska zp˚ usobu zapoˇc´ıt´av´an´ı u ´roku k zap˚ ujˇcen´emu kapit´alu 1 jednoduch´e u ´roˇcen´ı → vypl´acen´e u ´roky se k p˚ uvodn´ımu kapit´alu nepˇriˇc´ıtaj´ı a d´ale ne´ uroˇc´ı 2 sloˇzen´e u ´roˇcen´ı → u ´roky se pˇripisuj´ı k penˇeˇzn´ı ˇc´astce a spolu s n´ı se d´ale u ´roˇc´ı z hlediska doby pˇripisov´an´ı u ´roku k zap˚ ujˇcen´emu kapit´alu A polh˚ utn´ı (dekurzivn´ı) → u ´rok je vypl´acen na konci u ´rokov´eho obdob´ı B pˇredlh˚ utn´ı (anticipativn´ı) → u ´rok je vypl´acen na zaˇc´atku u ´rokov´eho obdob´ı
ˇ – TUO) Mgr. Tat’´ ana Funiokov´ a, Ph.D. (VSB
Finanˇ cn´ı matematika
17. 9. 2012
8 / 19
Jednoduch´ eu ´roˇ cen´ı a diskontov´ an´ı
Jednoduch´ yu ´rok polh˚ utn´ı
Jednoduch´e u´roˇcen´ı a diskontov´an´ı Jednoduch´y u ´rok polh˚ utn´ı
(i) pro u ´rokovac´ı obdob´ı = 1 rok u ´roky se k p˚ uvodn´ımu kapit´alu nepˇrid´avaj´ı a d´ale se ne´ uroˇc´ı v´ypoˇcet u ´rok˚ u ze st´ale stejn´eho z´akladu nejˇcastˇeji se vyuˇz´ıv´a, je-li doba p˚ ujˇcky kratˇs´ı neˇz 1 rok k p ut = K0 · i · t = K0 · · 100 360
(1)
ut . . . jednoduch´y u ´rok za dobu t K0 . . . z´aklad (poˇc´ateˇcn´ı kapit´al, jistina) i . . . roˇcn´ı u ´rokov´a m´ıra vyj´adˇren´a jako desetinn´e ˇc´ıslo p . . . roˇcn´ı u ´rokov´a m´ıra vyj´adˇren´a v procentech t . . . doba p˚ ujˇcky vyj´adˇren´a v letech (0 < t ≤ 1) k . . . doba p˚ ujˇcky vyj´adˇren´a ve dnech (0 < k ≤ 360, resp. 0 < k ≤ 365, resp. 0 < k ≤ 366) ˇ – TUO) Mgr. Tat’´ ana Funiokov´ a, Ph.D. (VSB
Finanˇ cn´ı matematika
17. 9. 2012
9 / 19
Jednoduch´ eu ´roˇ cen´ı a diskontov´ an´ı
Jednoduch´ yu ´rok polh˚ utn´ı
Jednoduch´e u´roˇcen´ı a diskontov´an´ı Jednoduch´y u ´rok polh˚ utn´ı
vztahy plynouc´ı z (1) i=
ut K0 · t
K0 =
ut i ·t
t=
ut K0 · i
(2)
p k · ) 100 360
(3)
Splatn´a ˇc´astka pˇri jednoduch´em u ´roˇcen´ı Kt = K0 + ut = K0 (1 + i · t) = K0 (1 +
Z´aklad pˇri jednoduch´em u ´roˇcen´ı (jednoduch´e diskontov´an´ı) K0 =
ˇ – TUO) Mgr. Tat’´ ana Funiokov´ a, Ph.D. (VSB
Kt Kt = p 1+i ·t 1 + 100 ·
Finanˇ cn´ı matematika
(4)
k 360
17. 9. 2012
10 / 19
Jednoduch´ eu ´roˇ cen´ı a diskontov´ an´ı
Jednoduch´ yu ´rok polh˚ utn´ı
Jednoduch´e u´roˇcen´ı a diskontov´an´ı Jednoduch´y u ´rok polh˚ utn´ı
Example 1 Prioritn´ı akcie jednoho ˇcesk´eho koncernu s dividenou v zaruˇcen´e v´yˇsi 4,65% z nomin´aln´ı hodnoty 1 000Kˇc byla zakoupena za trˇzn´ı cenu 619Kˇc. jak´a je roˇcn´ı m´ıra zisku pro kupce t´eto akcie? (Prioritn´ı akcie m´a zaruˇcenou opakuj´ıc´ı se v´yplatu procent z nomin´aln´ı hodnoty bez ohledu na trˇzn´ı cenu.) [7,5%] Example 2 Klient dostane od banky na 9 mˇes´ıc˚ uu ´vˇer ve v´yˇsi 500 000Kˇc s roˇcn´ı u ´rokovou m´ırou 12,6%, a s podm´ınkou, ˇze na sv´em bankovn´ım u ´ˇctu mus´ı udrˇzovat alespoˇ n 15% vyp˚ ujˇcen´e ˇc´astky. Jak´a je skuteˇcn´a roˇcn´ı u ´rokov´a m´ıra takov´eho u ´vˇeru? [14,8%] ˇ – TUO) Mgr. Tat’´ ana Funiokov´ a, Ph.D. (VSB
Finanˇ cn´ı matematika
17. 9. 2012
11 / 19
Jednoduch´ eu ´roˇ cen´ı a diskontov´ an´ı
Standardy
Jednoduch´e u´roˇcen´ı a diskontov´an´ı Nejuˇz´ıvanˇejˇs´ı standardy
30E/360 (evropsk´y standard, obchodn´ı ˇci nˇemeck´a metoda) t=
k 360 · (R2 − R1 ) + 30 · (M2 − M1 ) + (D2 − D1 ) = 360 360
(5)
pokud je D1 = 31 resp. D2 = 31 nahrad´ıme hodnotou 30 (vˇsimnˇete si, ˇze 1. den se do celkov´eho poˇctu dn´ı nezapoˇc´ıt´av´a a posledn´ı den se zapoˇc´ıt´av´a) 30A/360 (americk´y standard, nˇekdy oznaˇcov´an 30/360) liˇs´ı se od 30E/360 jen v pˇr´ıpadˇe, kdy D1 nen´ı 30 nebo 31 a z´aroveˇ n D2 = 31: pak do (5) dosazujeme D2 = 31 ACT/360 (mezin´arodn´ı ˇci francouzsk´a metoda) ACT/365 (mezin´arodn´ı ˇci francouzsk´a metoda) ACT/ACT (mezin´arodn´ı ˇci francouzsk´a metoda) ˇ – TUO) Mgr. Tat’´ ana Funiokov´ a, Ph.D. (VSB
Finanˇ cn´ı matematika
17. 9. 2012
12 / 19
Jednoduch´ eu ´roˇ cen´ı a diskontov´ an´ı
Standardy
Jednoduch´e u´roˇcen´ı a diskontov´an´ı Nejuˇz´ıvanˇejˇs´ı standardy
Example 3 Jak´y poˇcet dn´ı odpov´ıd´a obdob´ı od 15.8.2009 do 31.7.2012 dle standard˚ u 30E, 30A a ACT? [1065, 1066, 1081] Example 4 Klient uloˇzil do banky vklad ve v´yˇsi 150 000 Kˇc dne 2. ledna a vybral ho i su ´roky dne 28. prosince t´ehoˇz roku. Kolik si klient vybral, jestliˇze vklad zaruˇcoval roˇcn´ı u ´rokovou m´ıru 3%. (Pro podroˇcn´ı u ´roˇcen´ı vklad˚ u je obvykle vyuˇz´ıv´an standard ACT/360) [pˇrestupn´y rok: 153 835,63Kˇc, jinak 153 825Kˇc]
ˇ – TUO) Mgr. Tat’´ ana Funiokov´ a, Ph.D. (VSB
Finanˇ cn´ı matematika
17. 9. 2012
13 / 19
Jednoduch´ eu ´roˇ cen´ı a diskontov´ an´ı
Diskont
Jednoduch´e u´roˇcen´ı a diskontov´an´ı Diskont
cena kr´atkodob´e p˚ ujˇcky zaloˇzena nikoli na z´akladu K0 , ale na spl´atce Kt hovoˇr´ıme o bankovn´ım diskontu na tomto principu zaloˇzeny obchody s vˇetˇsinou kr´atkodob´ych cenn´ych pap´ır˚ u (tj. splatnost do 1 roku) k Dt = K t · d · t = K t · d · (6) 360 Dt . . . bankovn´ı diskont za dobu t Kt . . . splatn´a ˇc´astka (kapit´al za dobu t) d . . . roˇcn´ı diskontn´ı m´ıra vyj´adˇren´a jako desetinn´e ˇc´ıslo t . . . doba p˚ ujˇcky vyj´adˇren´a v roc´ıch (0 < t ≤ 1) k . . . doba p˚ ujˇcky vyj´adˇren´a ve dnech (0 < k ≤ 360, resp. 0 < k ≤ 365, resp. 0 < k ≤ 366) ˇ – TUO) Mgr. Tat’´ ana Funiokov´ a, Ph.D. (VSB
Finanˇ cn´ı matematika
17. 9. 2012
14 / 19
Jednoduch´ eu ´roˇ cen´ı a diskontov´ an´ı
Diskont
Jednoduch´e u´roˇcen´ı a diskontov´an´ı Diskont
Z´aklad K0 p˚ ujˇcky Kt , kter´y dluˇzn´ık skuteˇcnˇe obdrˇz´ı pˇri diskontn´ım principu: K0 = Kt − Dt = Kt · (1 − d · t) = Kt · (1 − d ·
k ) 360
(7)
Example 5 Jak´a je cena 9–ti mˇes´ıˇcn´ıho depozitn´ıho certifik´atu v nomin´aln´ı hodnotˇe 100 000Kˇc s diskontn´ı m´ırou 6,5%? Jak´a je pˇr´ısluˇsn´a m´ıra zisku? Jak´a je pˇr´ısluˇsn´a ˇcist´a m´ıra zisku? [95 125Kˇc, 6,8%, 5,8%] i= ˇ – TUO) Mgr. Tat’´ ana Funiokov´ a, Ph.D. (VSB
Kt − K0 Kt − K0 > =d K0 · t Kt · t Finanˇ cn´ı matematika
17. 9. 2012
15 / 19
Jednoduch´ eu ´roˇ cen´ı a diskontov´ an´ı
Diskont
Jednoduch´e u´roˇcen´ı a diskontov´an´ı Diskont
obyˇcejn´y, matematick´y diskont K0 =
Kt 1+i ·t
bankovn´ı, eskontn´ı, smˇeneˇcn´y diskont K0 = Kt − Dt = Kt · (1 − d · t)
Dt = K t · d · t
skuteˇcn´y diskont (true discount) TDt =
ˇ – TUO) Mgr. Tat’´ ana Funiokov´ a, Ph.D. (VSB
Kt · d · t Dt = 1+i ·t 1+i ·t
Finanˇ cn´ı matematika
17. 9. 2012
16 / 19
Kr´ atkodob´ e cenn´ e pap´ıry
Diskontn´ı cenn´ e pap´ıry
Kr´atkodob´e cenn´e pap´ıry Diskontn´ı cenn´e pap´ıry
cenn´y pap´ır k´otovan´y na diskontn´ım principu ˇ standard pro k´otov´an´ı vˇetˇsinou 30E/360 (v CR) napˇr´ıklad: Depozitn´ı certifik´at (vkladov´y list) [emituje banka jako potvryen´ı o proveden´em vkladu] Eurodolar [depozitn´ı cert. na dolarov´e vklady mimo dolarovou z´onu] Smˇenka (nejˇcastˇeji vlastn´ı, ciz´ı, ciz´ı na vlastn´ı ˇrad) Bankovn´ı akcept [smˇenka, kterou akceptovala banka jako smˇeneˇcn´y dluˇzn´ık] Pokladniˇcn´ı pouk´azka [emituje st. instituce k pokryt´ı deficitu sv´eho rozpoˇctu; v USA T-bill]
ˇ – TUO) Mgr. Tat’´ ana Funiokov´ a, Ph.D. (VSB
Finanˇ cn´ı matematika
17. 9. 2012
17 / 19
Kr´ atkodob´ e cenn´ e pap´ıry
Diskontn´ı cenn´ e pap´ıry
Kr´atkodob´e cenn´e pap´ıry Smˇenka a jej´ı eskont
Example 6 Stavebn´ı firma vydala obchodn´ı smˇenku znˇej´ıc´ı na ˇc´astku 1 650 000 splatnou k 1.6.2008. Obchodn´ı spoleˇcnost zakoupila tuto smˇenku 8.3.2008 pˇri roˇcn´ı diskontn´ı m´ıˇre 9.5% a 5.4.2008 smˇenku prodala pˇri diskontn´ı m´ıˇre 9.3%. Jakou roˇcn´ı m´ıru zisku realizovala obchodn´ı spoleˇcnost touto transakc´ı? [10,14%]
ˇ – TUO) Mgr. Tat’´ ana Funiokov´ a, Ph.D. (VSB
Finanˇ cn´ı matematika
17. 9. 2012
18 / 19
