Financiële Wiskunde. 1

Etienne Goemaere

1.

BRIGGSE LOGARITMEN .................................................................................................... 3 DEFINITIES EN EIGENSCHAPPEN VAN MACHTEN .......................................................................................................3 DEFINITIE VAN LOGARITME .......................................................................................................................................5 DE BRIGGSE LOGARITME .............................................................................................................................................6

Onmiddellijke eigenschappen .......................................................................................................................................................6 Eigenschappen van (Briggse) logaritmen ............................................................................................................................7 DE EXPONENTIËLE VERGELIJKING ..............................................................................................................................9

2.

KAPITAAL EN INTREST ...................................................................................................12 SYMBOLIEK .................................................................................................................................................................12 VERBAND TUSSEN KAPITAAL EN RENTEVOET ...........................................................................................................12

3.

ENKELVOUDIGE INTREST...............................................................................................13 DEFINITIE ..................................................................................................................................................................13 HOOFDFORMULE .........................................................................................................................................................13 EINDWAARDE VAN EEN KAPITAAL .............................................................................................................................16 AFGELEIDE FORMULES ...............................................................................................................................................16 ENKELVOUDIGE INTREST MET DE TI83

4.

MET HET PROGRAMMA FINANCE ......................................................... 20

SAMENGESTELDE INTREST.......................................................................................... 23 DEFINITIE ................................................................................................................................................................. 23 EINDWAARDE VAN EEN KAPITAAL ............................................................................................................................ 24 EEN PROGRAMMAATJE SCHRIJVEN VOOR ONZE TI83 ........................................................................................... 26 AFGELEIDE FORMULES .............................................................................................................................................. 27 EENVOUDIGE PROGRAMMAATJES VOOR ONS REKENTOESTEL TI83...................................................................... 28 SAMENGESTELDE INTREST MET DE TI83

MET HET PROGRAMMA FINANCE ..................................................... 29

SAMENGESTELDE INTREST MET DE APPLICATIE “FINANCE”...............................................................................31 IN HET ROOD GAAN KOMT JE DUUR TE STAAN........................................................................................................ 36

5.

GELIJKWAARDIGE RENTEVOETEN ............................................................................ 40 DEFINITIE ................................................................................................................................................................. 40 VERBAND TUSSEN GELIJKWAARDIGE RENTEVOETEN .............................................................................................. 40 REËLE EN NOMINALE RENTEVOETEN .........................................................................................................................41

Financiële Wiskunde

.

1

Etienne Goemaere

6.

DE KASBON.......................................................................................................................... 44 SOORTEN KASBONS .................................................................................................................................................. 44 INTRESTBEREKENING EN JAARLIJKS NETTORENDEMENT ...................................................................................... 45

7.

ANNUITEITEN................................................................................................................... 52 DE EINDWAARDE VAN EEN POSTNUMERANDO ANNUÏTEIT .................................................................................... 52 DE EINDWAARDE VAN EEN PRENUMERANDO ANNUÏTEIT ....................................................................................... 54 DE BEGINWAARDE VAN EEN ANNUÏTEIT ................................................................................................................. 57 AFGELEIDE FORMULES .............................................................................................................................................. 60 Bepaling van de termijn................................................................................................................................................................................... 60 Bepaling van de periode................................................................................................................................................................................... 62 Bepalen van de rentevoet ............................................................................................................................................................................... 64

8.

KOPEN OP KREDIET .......................................................................................................... 73 MENSUALITEIT, LASTENPERCENTAGE, JAARLIJKS KOSTENPERCENTAGE ............................................................. 73 KOOP OP AFBETALING ............................................................................................................................................... 76

9.

HYPOTHECAIRE LENING ............................................................................................... 77 BEREKENING VAN HET RENTEBESTANDDEEL............................................................................................................ 78 BEREKENING VAN HET KAPITAALBESTANDDEEL ...................................................................................................... 78 AFLOSSINGSPLAN ..................................................................................................................................................... 80 WE KUNNEN DEZE AFLOSSINGSTABEL OOK GENEREREN MET ONZE TI83.............................................................81 We zullen de formules zelf ingeven.............................................................................................................................................................. 81 We kunnen gebruik maken van de ingebouwde financiële functies...................................................................................................... 84

SCHULDSALDO OP EEN WILLEKEURIG TIJDSTIP...................................................................................................... 88


.

2

Etienne Goemaere

1.

BRIGGSE LOGARITMEN

Definities en eigenschappen van machten Bereken met uw rekentoestel onderstaande resultaten •

21 =

•

23.53 =

•

50 =

•

(2.5)

•

5−1 =

•

105.1010

•

2−2 =

•

(105 )

3

10

Vul nu aan de hand van bovenstaande resultaten onderstaande definities en eigenschappen aan ∀ a ∈ R , ∀n ∈ ` 0

... a {1} : a n = a.a.

n factoren

∀ a∈ R : a 1 = ∀ a ∈ Ro : a 0 = ∀a ∈ R 0 , ∀n ∈ ` :

a−n =

De n-de machtswortel

(rationale exponent)

Definitie Een getal b heet een n-de machtswortel te zijn van a

⇔ bn = a

•

2 is een 3-de machtswortel van 8

omdat 23 = 8

•

4 is een 2-de machtwortel (vierkantswortel) van 16

omdat …………………

•

-2 is een 5-de machtswortel van -32

omdat …………………

•

-16 heeft geen 4-de machtswortel

omdat…………………


.

3

Etienne Goemaere

Dus geldt: De even machtswortel bestaat alleen voor positieve getallen, maar dat zij er wel twee. De oneven machtswortel kan uit elk getal genomen worden en hij heeft het teken van het getal zelf .

Notatie De n-de machtswortel van een getal a noteren we

n

a

1

of a n

Zodoende geldt

∀a ∈ R, ∀q ∈ ` : a

1

=

q

q

q

 1 ∀a ∈ R, ∀q ∈ ` : a q   

=

a = b ⇔ bq =a q

( a) q

=a

als de leden zinvol zijn

Een n-de machtswortel berekenen met het rekentoestel TI83 kan op verschillende manieren

Verder kan men ook aantonen dat de vroeger geformuleerde eigenschappen van kracht blijven voor rationale exponenten

∀a, b ∈ R , ∀p, q ∈ _ : p   a.b = ( )    (a p )q =     a p.a q =   

als de leden zinvol zijn


.

4

Etienne Goemaere

Definitie van logaritme Als bij een machtsverheffing de macht en de exponent gegeven zijn, dan berekenen we het grondtal met de omgekeerde bewerking van de machtsverheffing namelijk de ………………………

Voorbeelden

x5 = 32

⇔ x=

x5 = −32

⇔ x=

x = 20

⇔ x=

x = −16

⇔ x=

4 4

Om de exponent te berekenen als het grondtal en de macht gegeven zijn, hebben we een geheel andere bewerking nodig Voorbeelden Wat is de exponent die je aan 3 moet geven om 243 te bekomen 3x = 243

x=

⇔

Wat is de exponent die je aan 5 moet geven om 30 te bekomen 5x = 30

⇔

x=

Het bovenstaande probleem oplossen lijkt niet voor de hand liggend. We kunnen alleen vermoeden dat de gezochte exponent tussen 2 en 3 ligt omdat 52 = 25 en 53 = 125 . Dat het probleem wel degelijk een oplossing heeft kunnen we illustreren met het grafisch rekentoestel.

o 55

•

Voer de functie f : x → 5x in als Y1

•

Voer de functie g : x → 30

•

Kies een tekenvenster zodat x ∈ [−1,5] en y ∈ [−10, 40 ]

• •

(rechte & X − as) in als Y2

Laat beide functies tekenen met

^ x

o 530 p

s

Bepaal de doorsnede van beide grafieken CALC (via y r ) , 5:intersect , geef als als first curve Y1 , druk op ENTER , geef als Second curve Y2 en ENTER , voor het uitvoeren van Guess? zorgen we dat een x-waarde voor of een het snijpunt ingegeven wordt (vb 1 ENTER )

•

Noteer het resultaat en bereken nu zelf eens 5 tot de macht deze exponent. Deze exponent zullen we de 5-logaritme van 30 noemen


.

5

Etienne Goemaere

DEFINITIE

De g-logaritme van het getal a is het getal dat als exponent van het grondtal g gebruikt moet worden om a te bekomen

∀g ∈ R+0 log81 = 4

want

34 = 81

4

log 64 =

want

4... = 64

2

log (−4) =

want

2... = −4

log100 =

want

10... = 100

3

Voorbeelden

{1} , ∀a ∈ R+0 : g log a = x ⇔ gx = a

10

De Briggse logaritme Als we als grondtal voor de logaritme 10 nemen, dan spreken we van Briggse logaritme (naar de Engelse wiskundige Henry Briggs 1561-1631). Deze logaritme wordt meestal kortweg logaritme genoemd en aangeduid met “log”.

∀a ∈ R +0 :

log a = x ⇔

10x = a

De Briggse logaritme van een getal is de exponent die je aan 10 moet geven om dat getal te vinden als uitkomst van de machtsverheffing.

Bereken met het rekentoestel -

log 105

-

log 10 −3

=

-

10log 3

=

=

Onmiddellijke eigenschappen -

log 10 a =

-

10 log a =


.

6

Etienne Goemaere

Eigenschappen van (Briggse) logaritmen 1) bereken met het rekentoestel log 2 + log 50 = log(2.50)=log 100 = Wat stel je vast? De logaritme van een product is gelijk aan

……………………………………………………………

∀a, b ∈ R+0 : log (a.b) =

………………………………………………………

Bewijs

2) bereken met het rekentoestel 4log 25= log( 254 )=log 100 = Wat stel je vast?

De logaritme van een macht is gelijk aan………………………………………………………………… …………………………………………………………………

∀a, b ∈ R+0 : log ab =

Bewijs


.

7

Etienne Goemaere

3) bereken met het rekentoestel log 200 – log 2 =  200  = log   2  Wat stel je vast?

De logaritme van een quotiënt is gelijk aan……………………………………………………………………… ……………………………………………………………

∀a, b ∈ R+0 : log

a = b

Bewijs

4) Bereken met het rekentoestel 1 log125 3 1

log125 3 = log 3 125 Wat stel je vast?

De logaritme van een n-de machtswortel is gelijk aan ………………………………… ………………………………………………………………………

∀a ∈ R+0 , ∀n ∈ ` 0

{1} : log n a =

Bewijs


.

8

Etienne Goemaere

De exponentiële vergelijking Een vergelijking van de vorm a x = b waarbij a en b gekende reële getallen zijn en de onbekende x dus in de exponent staat, noemt men een exponentiële vergelijking. Om dergelijke vergelijkingen op te lossen neemt men van beide leden de logaritme en maakt men gebruik van de eigenschappen om x af te zonderen. Voorbeelden 3,25x = 25

⇔

log 3,25x = log 25

⇔

x.log 3,25 = log 25

⇔

x=

log 25 = log 3,25

controleer uw oplossing door na het uitrekenen van

log25 met uw rekentoelog3,25

stel nu 3.25 tot de macht dat getal te berekenen ( 3,25ANS )

5) 25000 . 1, 085x = 56524,58605

6) 1193177, 471 =

⇔

25000. (1, 05x − 1) 0, 05

⇔


.

9

Etienne Goemaere

Oefeningen op logaritmen 1) Herschrijf met zo weinig mogelijk logaritmen door de eigenschappen van machten en logaritmen te gebruiken a ] log27 − log3

b ] 3.(log5 − log2)

c]

log 8 −log 2

d]

5.log 2 − 6.log 3 log 4 + 2.log 3

  log3  e ] 7.log5  log2 − log 6 

2) Bereken M =

5

2514.2621.27 61.2845.299

door eerst log M te berekenen


. 10

Etienne Goemaere

3) Bereken onderstaande uitdrukkingen als je weet dat log x = 5

1) log x − 3.log x 2) log 3 x2 + log x − 2.log x 3) log x − log 3 x2 + log 4 x3

4) Los onderstaande exponentiële vergelijkingen op

a ] 3x = 3486784401

b ] 7, 56x = 15294,38

c ] 4,27 . 10−3x = 825

d ] 2, 753x−5 = 5, 7893201

e ] 5417 x−3 = 457 x−4


. 11

Etienne Goemaere

2.

KAPITAAL EN INTREST

Symboliek Kapitaal duiden we aan met de letter k Intrest, de vergoeding die een kapitaal opbrengt, duiden we aan met de letter I De periode (het aantal tijdseenheden) stellen we voor met de letter n De rentevoet waarvan de intrest afhangt duiden we aan met de letter i De intrest van 100 Euro per tijdseenheid, het percent, noteren we met de letter p

Het verband tussen p en i

p = 100.i

⇔

i=

p 100

Verband tussen kapitaal en rentevoet Een kapitaal van 40.000 € uitzetten tegen 6,25% per jaar betekent: -

elke honderd Euro brengt ……… € intrest op

-

elke Euro brengt ………… € intrest op

-

40.000 Euro brengt …………………€ intrest op


. 12

Etienne Goemaere

3.

ENKELVOUDIGE INTREST

Definitie Een uitgezet kapitaal brengt enkelvoudige intrest op als

Hoofdformule Vermits de intrest recht evenredig is met de tijdseenheid geldt:

I = k . i . n.

Bij het gebruik van deze formule moet men er goed op toezien dat de beleggingstijd n in dezelfde eenheid uitgedrukt wordt als de rentevoet. Indien anders rekent men met de verbanden:

1jaar = 2 semesters = 4 trimesters = 12 maanden = 365(366)dagen •

is de rentevoet jaarlijks dan stemt 7 maanden overeen met ……. van een jaar

•

is de rentevoet jaarlijks dan stemt 137 dagen overeen met ……. van een jaar

•

is de rentevoet semestrieel dan stemt 8 maanden overeen met …….. semesters

•

is de rentevoet trimestrieel dan stemt 27 dagen overeen met ……… trimesters

Bij enkelvoudige intrest is het heel gemakkelijk om rentevoeten om te zetten Zo is 12% per jaar = ……% per semester =……% per trimester = …… % per maand


. 13

Etienne Goemaere

Het is helemaal niet moeilijk om voor de TI83 een programma te schrijven dat de intrest berekent bij gegeven waarden voor beginkapitaal, rentevoet en aantal periodes

• •

Druk op PRGM Ga met de pijltoets naar NEW en druk op ENTER (dus 1:CREATE NEW werd gekozen)

•

Geef een naam in bv INTREST (je mag hier de letters kiezen zonder ALPHA of A-LOCK te moeten gebruiken)

•

We vragen naar de ingave van het beginkapitaal met Input K Deze regel bekomen we door op PRGM te drukken , met de pijltoets naar I/O te gaan , 1 in te drukken (om 1:Input te bekomen) , vervolgens op ALPHA ( te drukken (letter K) en tenslotte te ENTERen

•

Op analoge manier vragen we om rentevoet R en aantal periodes N in te geven

•

We bereken de intrest als het produkt K*I*N en slaan dit op (toets STO ) in de variabele I

•

Om het resultaat te laten zien geven we het commando Disp I in door te drukken om PRGM, te bewegen naar I/O en 3 te drukken en vervolgens ALPHA I

Drukken we nu op 2nd MODE dan komen we in ons basisscherm. Om het programma nu te gebruiken drukken we op PRGM en kiezen onder de EXEC het juiste programma door te ENTERen. Zoals je hiernaast ziet is het programma verre van gebruiksvriendelijk.


. 14

Etienne Goemaere

Daarom gaan we er op de gepaste plaatsen commentaar aan toevoegen door op PRGM te drukken, te kiezen voor EDIT en het juiste programma. Sta je op de eerste regel dan kan je door 2nd INS ENTER een lege regel toevoegen. In die regel zetten we nu via PRGM I/O 3:Disp het commando Disp dat we laten volgen door de gewenste tekst tussen aanhalingsteken (bij de +) (gebruik A-LOCK om vlug de tekst in te tikken)

Het programma kan nu ook gebruikt worden door een vreemde

Het feit dat we ons rekentoestel kunnen voorzien van allerhande programmaatjes mag er ons niet van weerhouden de formules van buiten te leren. Deze parate kennis is immers onmisbaar voor een begrijpend inzicht in de rest van de formules die nog afgeleid dienen te worden.


. 15

Etienne Goemaere

Eindwaarde van een kapitaal De eindwaarde (K) van een kapitaal k is gelijk aan de som van het beginkapitaal en de intrest

K = k + I = k + k . i . n = k.( 1 + i . n ) Voorbeelden 1) Wat is de eindwaarde voor een kapitaal van 85.000 € op enkelvoudige intrest geplaatst van 8 september tot 7 november tegen 5,25% enkelvoudige intrest?

2) Wat is de eindwaarde voor een kapitaal van 3,25 miljard € op enkelvoudige intrest geplaatst gedurende 2 maanden tegen 4,25%?

Afgeleide formules Uit de hoofdformules kan men een aantal nevenformules afleiden.

Uit I = k . i . n

k=

I i.n

Uit K = k.( 1 + i . n )

k=

K 1 + i.n

i=

I k .n

i=

K −k k.n

n=

I i.k

n=

K −k k.i


. 16

Etienne Goemaere

Voorbeelden -

Een kapitaal wordt op enkelvoudige intrest geplaatst van 13 september tot 5 december tegen 5,25% en groeit aan tot 450€. Bereken de beginwaarde.

-

Hoelang moet men een kapitaal van 75 000 € laten uitstaan aan enkelvoudige intrest tegen 3,75% om het te laten aangroeien met 5 000 €?

-

Tegen welk procent levert een kapitaal van 25 000 € na 7 maanden enkelvoudige intrest een eindwaarde op van 25 693 €?


. 17

Dag van de maand

Januari

Februari

Maart

April

Mei

Juni

Juli

Augustus

September

Oktober

November

December

Etienne Goemaere

1

1

32

60*

91

121

152

182

213

244

274

305

335

2

2

33

61

92

122

153

183

214

245

275

306

336

3

3

34

62

93

123

154

184

215

246

276

307

337

4

4

35

63

94

124

155

185

216

247

277

308

338

5

5

36

64

95

125

156

186

217

248

278

309

339

6

6

37

65

96

126

157

187

218

249

279

310

340

7

7

38

66

97

127

158

188

219

250

280

311

341

8

8

39

67

98

128

159

189

220

251

281

312

342

9

9

40

68

99

129

160

190

221

252

282

313

343

10

10

41

69

100

130

161

191

222

253

283

314

344

11

11

42

70

101

131

162

192

223

254

284

315

345

12

12

43

71

102

132

163

193

224

255

285

316

346

13

13

44

72

103

133

164

194

225

256

286

317

347

14

14

45

73

104

134

165

195

226

257

287

318

348

15

15

46

74

105

135

166

196

227

258

288

319

349

16

16

47

75

106

136

167

197

228

259

289

320

350

17

17

48

76

107

137

168

198

229

260

290

321

351

18

18

49

77

108

138

169

199

230

261

291

322

352

19

19

50

78

109

139

170

200

231

262

292

323

353

20

20

51

79

110

140

171

201

232

263

293

324

354

21

21

52

80

111

141

172

202

233

264

294

325

355

22

22

53

81

112

142

173

203

234

265

295

326

356

23

23

54

82

113

143

174

204

235

266

296

327

357

24

24

55

83

114

144

175

205

236

267

297

328

358

25

25

56

84

115

145

176

206

237

268

298

329

359

26

26

57

85

116

146

177

207

238

269

299

330

360

27

27

58

86

117

147

178

208

239

270

300

331

361

28

28

59

87

118

148

179

209

240

271

301

332

362

29

29

(60)

88

119

149

180

210

241

272

302

333

363

30

30

89

120

150

181

211

242

273

303

334

364

31

31

90

212

243

•

151

304

365

In een schrikkeljaar worden de volgnummers vanaf 1 maart met één vermeerderd


. 18

Etienne Goemaere

OEFENINGEN ENKELVOUDIGE INTREST 1) Bereken het ontbrekende in onderstaande tabel

k

i

30 000

4,25%

30 000

n

I

1 jaar 2 maanden

0,0485 6 000

10 maan-

276 14 450

3 maanden 4%

41,5 mil-

2,25%

7 maanden

4,75%

56 dagen

124

4 m en 3 d

300

1,3%

54 450

46

1 000 000

8750

K

10 000

4 692

64 692

2) Men koopt een huis voor 106250 € dat men afschrijft over een periode van 20 jaar. De jaarlijkse elektriciteits-, water- en onderhoudsrekeningen vertegenwoordigen een bedrag van 1600 €. Welke huurprijs moet men voor dit huis vragen, opdat het kapitaal 6% per jaar zou opbrengen?

3) Hoelang moet een kapitaal tegen 3,75% enkelvoudige intrest uitstaan opdat: a) De intrest gelijk zou zijn aan het kapitaal?

b) De intrest een derde zou zijn van het kapitaal?


. 19

Etienne Goemaere

Enkelvoudige intrest met de TI83 met het programma FINANCE Het programmaatje FINANCE, te vinden op internet, staat niet standaard op de TI83 maar kan er met de zwarte kabel opgeplaatst worden. Daartoe gaan we als volgt te werk: •

Het toestel dat het programmaatje moet ontvangen zetten we klaar om te ontvangen met 2nd LINK RECEIVE 1:RECEIVE ENTER Waiting …

•

Het toestel dat het programmaatje moet verzenden zetten we klaar om te verzenden met 2nd LINK SEND 3:Prgm SELECT >FINANCE ENTER TRANSMIT 1:TRANSMIT ENTER

Eenmaal het programma op uw toestel aanwezig ga je als volgt te werk: Druk op PRGM Kies voor EXEC Druk op ENTER

3:FINANCE

Wie liever zelf het programmaatje intikt of het naar eigen ideeën wil aanpassen vindt het achteraan de cursus in bijlage


. 20

Etienne Goemaere

Voor enkelvoudige intrest kiezen we dus voor 1:SIMPLE INT.

Intrestberekening Gegeven kapitaal van 100000 € aan 4,25% gedurende 1 jaar Gevraagd intrest Oplossing kies voor 1:INTEREST, vul in PRIN = 100000 RATE=0.0425 TIME=1 en druk op ENTER

Intrestberekening Gegeven kapitaal 30000 € gedurende 2maanden levert 276 € intrest op Gevraagd rentevoet Oplossing kies voor 3:RATE, vul in PRIN = 30000 INT=276 TIME=2/12 en druk op ENTER


. 21

Etienne Goemaere

Kapitaalsberekening Gegeven kapitaal brengt na 56 dagen tegen 4,75% , 124 € intrest op Gevraagd kapitaal Oplossing kies voor 2:PRINCIPAL, vul in INT = 124 TIME=56/365 en druk op ENTER

RATE=0.0475

Berekening periode Gegeven 60000 € brengt 4692 € intrest op aan 1,3 % per trim Gevraagd periode Oplossing kies voor 4:TIME , vul in INT = 4692 RATE=0.013*4 en druk op ENTER


. 22

Etienne Goemaere

4.

SAMENGESTELDE INTREST

Definitie Een kapitaal brengt samengestelde intrest op, als de intrest na elke beleggingseenheid bij het kapitaal gevoegd wordt om opnieuw intrest op te brengen (de intrest wordt gekapitaliseerd) Vergelijken we de systemen van enkelvoudige intrest en samengestelde intrest voor een kapitaal van 10 000 € uitgezet tegen 4,75% Enkelvoudige intrest

Samengestelde intrest

n

k

I

K

k

I

K

1

10 000

475

10475

10 000

475

10 475

2

10 000

475

10950

10 475

497,5625

10972,5625

3

10 000

475

11425

10 972,5625

4 5 6 7 8 9 10 Grafisch zien we het verschil ook duidelijk na verloop van jaren Bekijken we eerst eens de evolutie van de eindwaarde voor beide soorten intrestberekening door volgende stappen te ondernemen met ons rekentoestel: •

Druk op MODE , ga met de pijltoets naar de vierde rij ( Func Par Pol Sec ) en activeer de laatste in de rij door er met de pijltoets naar toe te gaan en op ENTER te drukken

•

Druk op Y= en vul in zoals op nevenstaand scherm

•

Druk op Window en vul in : nMin=0 ; nMax=30 ; Xmin=0 ; Xmax=30 ; Ymin=-5000 ; Ymax=40000 ; Yscl=5000

•

Druk op GRAPH en teken hieronder het resultaat


. 23

Etienne Goemaere

Eindwaarde van een kapitaal Wanneer de rentevoet i is, dan is de eindwaarde na verloop van één tijdseenheid = k. (1 + i) . Stellen we 1+i gelijk aan u de rentefactor dan is die eindwaarde k.u Stellen we de eindwaarde na één tijdseenheid voor door k1 dan geldt k1 = k.(1 + i) = k.u Vermits we nu werken met het systeem van samengestelde intrest is deze eindwaarde na één periode het beginkapitaal bij aanvang van de tweede periode. Laten we dit kapitaal opnieuw een periode uitstaan tegen de rentevoet i, dan zal de eindwaarde van dit kapitaal gelijk zijn aan k1 .(1 + i) = k1 .u Vermits het oorspronkelijke kapitaal k nu al 2 jaar uitstaat ligt het voor de hand dat we deze eindwaarde voorstellen met k 2 (de eindwaarde van kapitaal k na 2 jaar samengestelde intrest) Zodoende geldt k2 = k1 .u = (k.u) .u = k. (u.u) = k.u2 De eindwaarde na 2 periodes is nu het beginkapitaal bij aanvang van de 3de periode. Laten we dit kapitaal opnieuw een periode uitstaan tegen de rentevoet i, dan zal de eindwaarde van dit kapitaal gelijk zijn aan k2 .(1 + i) = k2 .u Vermits het oorspronkelijke kapitaal k nu al 3 jaar uitstaat ligt het voor de hand dat we deze eindwaarde voorstellen met k3 (de eindwaarde van k na 3 jaar samengestelde intrest) Zodoende geldt

k3 = k2 .u = (k .u 2 ) .u = k. (u 2 .u ) = k.u 3

Stellen we nu met kn de eindwaarde van het kapitaal k voor na n periodes samengestelde intrest, dan zal deze eind-waarde berekend worden met de formule:

kn = k .u n

m e t ren te f a c to r u= 1+i w a a rb ij i d e re n te vo e t is

Deze formule is geldig voor jaarlijkse, semestriële, trimestriële, maandelijkse kapitalisatie. Voorwaarde is wel dat de berekening van het aantal periodes gebeurt in overeenstemming met de periode vermeld bij de rentevoet.


. 24

Etienne Goemaere

Voorbeelden •

100 000 € gedurende 20 jaar uitgezet tegen een samengestelde intrest 6% per jaar levert als eindwaarde

•

100 000 € gedurende 20 jaar uitgezet tegen een samengestelde intrest 3% per semester levert als eindwaarde :

•

100 000 € gedurende 20 jaar uitgezet tegen een samengestelde intrest 1,5% per trimester levert als eindwaarde :

Bij samengestelde intrest is 6% per jaar niet hetzelfde als 3% per jaar, 1,5% per trimester of 0,5% per maand. De rentevoeten heten niet gelijkwaardig te zijn.


. 25

Etienne Goemaere

Een programmaatje schrijven voor onze TI83 •

kies PRGM

•

ga met de pijltoets naar NEW en ENTER

•

geef de naam van het programma in Name=EINDW en ENTER

•

Druk op PRGM, kies I/O, druk op 3 (3:Disp) en typ “KAPITAAL? “ en ENTER

•

Druk op PRGM, kies I/O, druk 1 (1:Input) , typ K en ENTER

•

Druk op PRGM, kies I/O, druk op 3 (3:Disp) en typ “RENTEVOET? “en ENTER

•

Druk op PRGM, kies I/O, druk 1 (1:Input) , typ I en ENTER

•

Druk op PRGM, kies I/O, druk op 3 (3:Disp) en typ “PERIODES? “ en ENTER

•

Druk op PRGM, kies I/O, druk 1 (1:Input) , typ N en ENTER

•

Bereken de eindwaarde en stop die in de veranderlijke W door het volgende te typen: K*(1+I)^N

STO

W

•

Druk op PRGM, kies I/O, druk op 3 (3:Disp) en typ “EINDWAARDE= “ en ENTER

•

Druk op PRGM, kies I/O, druk 1 (1:Input) , typ W en ENTER

Als je vaststelt dat het programma niet loopt of het resultaat op het display u niet aanstaat dan kun je het programma bewerken via PRGM EDIT Probeer het programma uit door nu te kiezen voor PRGM en voor het cijfer waaronder het programma staat


. 26

Etienne Goemaere

Afgeleide formules

•

beginwaarde k

kn = kn .u−n n u

k=

Welk kapitaal moet men uitzetten op samengestelde intrest gedurende 5 jaar tegen 4,25% om na verloop van die tijd over 500 000 € te beschikken?

•

rentevoet i

u =

n

kn k

z o d a t i = u -1 =

n

kn −1 k

Door semestriële kapitalisatie is een kapitaal van 2 750 000 € na 15 jaar aangegroeid tot 10 367 030 €. Wat is de gehanteerde rentevoet ( % per semester)?

•

tijd n

kn k n= log u log

Na hoeveel tijd zal een kapitaal van 175 000 € door maandelijkse kapitalisatie een eindwaarde opleveren van 250 000 € als de maandelijkse rentevoet 0,375% bedraagt?


. 27

Etienne Goemaere

Eenvoudige programmaatjes voor ons rekentoestel TI83 •

beginwaarde

Disp "EINDKAP " Input K Disp "RENTEVOET " Input I Disp "PERIODES " Input N K*(1+I)^-N B Disp "BEGINKAPITAAL= Disp B

•

"

rentevoet

Disp "BEGINKAPITAAL" Input B Disp "EINDKAPITAAL " Input E Disp "PERIODES " Input N (E/B)^(1/N)-1üI Disp "RENTEVOET " Disp I

•

periodes ga zelf eens aan de slag


. 28

Etienne Goemaere

Samengestelde intrest met de TI83 met het programma FINANCE

Kies voor COMPOUND INT

Berekening van de eindwaarde Gegeven een kapitaal van 60000 € staat gedurende 5 jaar aan 6% SI Gevraagd wat is het eindkapitaal Oplossing Kies voor 1:AMOUNT en geef volgende waarde in RATE=0,06 PER.=5

PRIN=60000

Gegeven een kapitaal van 125000 € staat gedurende 2 jaar aan 4,1 % samengestelde intrest uit per semester Gevraagd wat is het eindkapitaal Oplossing Kies voor 1:AMOUNT en geef volgende waarde in PRIN=125000 RATE=0,06 PER.=4 (!!!)


. 29

Etienne Goemaere

Berekening van het beginkapitaal Gegeven Een kapitaal is in negen maanden aangegroeid tot 37033 € en dit tegen een trimestriële rentevoet van 1,9 % Gevraagd Het beginkapitaal Oplossing Kies voor 2:PRINCIPAL

en vul in AMT.=37033

RATE=0,019

PER.=3

Berekening van de rentevoet Gegeven Een bedrag van 108882€ groeit in 7 jaar via SI aan tot 188549€ Gevraagd Wat is de jaarlijkse rentevoet? Oplossing WIL JE EEN GOEIE PRECISIE KIES DAN BIJ MODE VOOR 8 CIJFERS Kies voor 3:RATE en vul in zoals hieronder aangegeven

Berekening van het aantal periodes Gegeven een kapitaal groeit van 622143 € aan tot 888576 € tegen een SI van 2% per semester Gevraagd Hoeveel tijd was hiervoor nodig Oplossing Kies voor 4:PERIODS en vul in zoals hieronder


. 30

Etienne Goemaere

Samengestelde intrest met de applicatie “FINANCE” Gegeven Kapitaal : 60000, rentevoet: 6%, duur:5jaar Gevraagd Eindkapitaal Oplossing Druk op APPS 1:Finance ENTER Kies onder CALC voor TVM Solver Voer volgende gegevens in N=5 I%=6 Ga op FV staan en druk ALPHA ENTER

PV=60000

P/Y=1

C/Y=1

Gegeven 1,9%/trim, 9 maand (=3trim), eindkapitaal 37033 Gevraagd beginkapitaal Oplossing Druk op APPS 1:Finance ENTER Kies onder CALC voor TVM Solver Voer volgende gegevens in N=3 I%=1,9 Ga op FV staan en druk ALPHA ENTER

FV=37033


P/Y=1

C/Y=1

. 31

Etienne Goemaere

Gegeven kapitaal=275000; 0,7 %/maand, eindkapitaal 286754 Gevraagd aantal maanden Oplossing Druk op APPS 1:Finance ENTER Kies onder CALC voor TVM Solver Voer volgende gegevens in PV= 275000 I%=0,7 FV= -286754 P/Y=1 C/Y=1 Ga op FV staan en druk ALPHA ENTER

Gegeven kapitaal=95000; 2,5jaar; Gevraagd rentevoet per maand

eindkapitaal 107324

Oplossing Druk op APPS 1:Finance ENTER Kies onder CALC voor TVM Solver Voer volgende gegevens in N=30 PV= 95000 Ga op FV staan en druk ALPHA ENTER

FV= -107324


P/Y=1

C/Y=1

. 32

Etienne Goemaere

OEFENINGEN SAMENGESTELDE INTREST 1) Bereken de eindwaarde van een kapitaal van 10 000 € dat gedurende 20 jaar wordt uitgezet tegen samengestelde intrest met : a) i = 0,5625% per maand bij maandelijkse kapitalisatie

b) i = 1,6875% per trimester bij trimestriële kapitalisatie

c) i = 3,375% per semester bij semestriële kapitalisatie

d) i = 6,75% per jaar bij jaarlijkse kapitalisatie

2) De regering slaagt erin om de loonaanpassing van zijn ambtenaren, zo´n 900 000 eenheden sterk, gedurende 4 maanden uit te stellen. Als de gemiddelde loonaanpassing 100 € bruto per persoon bedraagt en de regering de gelden tegen een samengestelde intrest uitzet van 0,6% per maand, wat is dan de intrest die de regering door deze operatie opstrijkt?

3) Hoelang moet een kapitaal minstens aan een samengestelde intrest van 6% per jaar uitstaan opdat het kapitaal a) Zou verdubbelen?

b) Zou verdrievoudigen?


. 33

Etienne Goemaere

4) Men belegt gedurende 10 jaar 50000 € aan 7,25% per jaar met jaarlijkse kapitalisatie. Tegen welk procent moet men ditzelfde kapitaal gedurende dezelfde periode aan samengestelde intrest uitzetten om met trimestriële kapitalisatie dezelfde eindwaarde te bekomen als bij de jaarlijkse kapitalisatie aan 7,25%?

5) Vul het ontbrekende in

Kapitaal

rentevoet

60 000 6% 125 000 4,1% p/sem 1,9% p/trim

duur

2 jaar 9 maand

37 033 286 754

2,5 jaar

107 324

6%

5 jaar

53 529

2% p/sem

9 jaar

888 573

108 882 100 0,75% p/m

intrest

5 jaar

275 000 0,7% p/m 95 000 … p/m

eindkapitaal

7 jaar

79 667 10 miljoen


. 34

Etienne Goemaere

6) Men belegt 90 000 € gedurende 8 jaar aan 5,85% samengestelde intrest per jaar. Welke intrest brengt het kapitaal op a) Tijdens het tweede jaar

b) Tijdens het vijfde jaar?

c) Tijdens het laatste jaar?


. 35

Etienne Goemaere

In het rood gaan komt je duur te staan. Onder nul gaan is niet aan te raden en onder de limiet van uw verbruikerskrediet gaan nog minder. Als laatste jaarsstudent ben ik beetje bij beetje voor 2151 € in het rood komen te staan op mijn rekening. Daarmee ben ik zelfs onder de limiet van 1875 € gegaan, maar vermits ik nu mijn eigen boterham verdien, zal mijn rekening wel vlug aangezuiverd zijn. Daarbij denk ik aan een maandelijkse storting van 75 €. Mijn bank gebruikt voor mijn kredietkaart een maandelijkse rentevoet 1,05% en rekent maandelijks 31.25 € aan voor elke maand dat ik boven het limietbedrag sta. Hoelang zal het duren vooraleer ik onder de 1875 € in het rood sta en hoelang zal het duren vooraleer zo mijn rekening aangezuiverd is? 1ste manier van oplossen Iedere maand ontstaat een schuld (N) die berekend wordt uit de schuld van de vorige maand De situatie na 1 maand:

N = 2151 + 1, 05% van 2151 + 31, 25 − 75 = 2151 + 0, 0105 . 2151 + 31.25 − 75 N = 2151. (1 + 0, 0105 ) + 31.25 − 75 = 2151.1, 0105 − 43, 75 = 2129, 8355 De situatie na 2 maand:

N = 2129, 8355 + 1, 05% van 2129, 8355 + 31, 25 − 75 N = 2129, 8355.1, 0105 − 43, 75 = 2108, 448773 De situatie na 3 maand:

N = 2108, 448773 + 1, 05% van 2108, 448773 + 31, 25 − 75 N = 2108, 448773.1, 0105 − 43, 75 . . . = Hierbij bemerken we dat de manier van berekenen telkens weer dezelfde is: Nieuwe schuld = Oude schuld . 1,0105-43.75


. 36

Etienne Goemaere

Nu bezit de TI83 voorgeprogrammeerd de mogelijkheid om een ingegeven bewerking te blijven herhalen op het getal dat in ANS zit. Kijk maar eens wat er gebeurt als je volgende zaken ingeeft: 20

ENTER / 2

ENTER

ENTER

ENTER

ENTER

Deze eigenschap kunnen we hier gebruiken om op een vlugge manier de evolutie van de maandelijkse situatie te bekijken en van zodra we zien dat de schuld onder de 1875 komt gaan we naar een nieuwe formule moeten overschakelen omdat dat het bedrag 31,25 € niet meer bij mijn schuld komt. We zullen evenwel niet mogen vergeten te tellen hoeveel maal we op ENTER gedrukt hebben zodat we het aantal maanden kennen dat nodig is om eerst onder de 1875 € en vervolgens om onder 0 te komen.

vanaf dit moment wordt de schuld berekend als oude schuld . 1,0105-75


. 37

Etienne Goemaere

2de manier van oplossen De voorgaande manier van oplossen heeft enerzijds als nadeel dat we het aantal keren ENTER moeten tellen en anderzijds moeten we bij een andere maandelijkse terugbetaling helemaal opnieuw beginnen. Vandaar dat we even kijken naar een meer elegante manier van oplossen. We kunnen hier een reeks van waarden opbouwen waarvan de basis gedaante nieuwe schuld = oude schuld + verandering is. Vandaar dat we de MODE van ons toestel op Seq (sequence) zetten De beginschuld u(0) =2151 . Elke maand wordt nieuwe schuld u(n) berekend als de oude schuld u(n-1) maal de rentefactor, vermindert met het maandelijks betaald bedrag en vermeerdert met het bedrag voor de overschrijding van het limietbedrag. Druk op Y= en voer in zoals hiernaast

Om nu na te gaan wanneer de schuld onder de 75000 komt, kunnen we, na het instellen van het WINDOW, naar de grafische voorstelling van de reeks kijken ( GRAPH en TRACE )

Na een tijdje op de pijltjestoetsen drukken vinden we dat de schuld onder de 1875 € gaat na 13 maanden. Je hebt dan al 13 keren 75 € betaald (=975 ) om dus 293,1574 € schuld weg te werken en in de situatie te komen dat je niet langer maandelijks 31.25 € supplementair moet betalen.


. 38

Etienne Goemaere

Vanaf nu mag uit de formule de 31,25 geschrapt worden en de beginschuld op 1868,75 gezet worden

We kijken nu net zoals hierboven hoelang het duurt vooraleer de schuld volledig weggewerkt is (eventueel na aanpassen WINDOW)

Het duurt dus nu nog eens 29 maanden (dus weer 2175 € gestort) vooraleer de schuld volledig weggewerkt is. De totale duur komt daarmee op 42 maanden (3 jaar en 6 maand) en er werd dus 3150 € betaald om een schuld van 2151€ weg te werken Ga nu zelf eens na hoelang het duurt als je 100 € maandelijks kunt missen


. 39

Etienne Goemaere

5.

GELIJKWAARDIGE RENTEVOETEN

Definitie Twee rentevoeten heten gelijkwaardig als de eindwaarden van een kapitaal uitgezet tegen deze twee rentevoeten hetzelfde is na 1 jaar Bij afspraak noteren we : 1 de rentevoet per jaar of per maand met i12 , 12 de rentevoet per

k12 = de eindwaarde na 1 jaar volgens i12

1 jaar of per trimester met i4 4

1 de rentevoet per jaar of per semester met i2 2

………..

=

, k4 = de eindwaarde na 1 jaar volgens i4 =

………

, k2 = de eindwaarde na 1 jaar volgens i2

= ……… de rentevoet per jaar met i , k = de eindwaarde na 1 jaar volgens i = ……… de rentevoet per

1 jaar met ip p

, kp = de eindwaarde na 1 jaar volgens ip = ………

Verband tussen gelijkwaardige rentevoeten Als de rentevoeten i12 , i4 , i2 , ip en i

gelijkwaardig zijn, dan zijn per definitie de eindwaarden

k12 , k4 , k2 , kp en k gelijk

k = kp = k12 = k4 = k2 8 p

k (1 + i) = k (1 + ip ) = k (1 + i12 ) = k (1 + i4 ) = k (1 + i2 ) 4

12

2

8 p

(1 + i) = (1 + ip ) = (1 + i12 ) = (1 + i4 ) = (1 + i2 ) 12

4

2


. 40

Etienne Goemaere

Voorbeelden • De semestriële rentevoet die gelijkwaardig is met een jaarlijkse van 6%? 2

1 + i = (1 + i2 )

2

⇔ 1, 06 = (1 + i2 ) ⇔

•

De maandelijkse rentevoet die gelijkwaardig is met een semestriële van 3%? 12

(1 + i12 )

2

= (1 + i2 )

12

⇔ (1 + i12 )

(

12

⇔ (1 + i12 )

= 1, 032

)

1

2

= (1, 032 )

1

2

⇔

•

De semestriële rentevoet die gelijkwaardig is met een maandelijkse van 0,5%? 2

12

(1 + i2 ) = (1 + i12 )

2

⇔ (1 + i2 ) = 1, 00512 ⇔

((1 + i ) ) 2

2

1

2

= (1, 00512 )

1

2

⇔

Reële en nominale rentevoeten De reële of werkelijke rentevoet is die jaarlijkse rentevoet i die gelijkwaardig is met de gegeven rentevoet ip De nominale rentevoet is de jaarlijkse rentevoet die we bekomen door het product p.ip Voorbeeld De reële en nominale rentevoeten die horen bij een maandelijkse van 0,75%?


. 41

Etienne Goemaere

Berekening van de werkelijke rentevoet met het programmaatje FINANCE Als er sprake is van een maandelijkse rentevoet van 0,5% wat is dan de jaarlijkse rentevoet die daar mee gelijkwaardig is (m.a.w. wat is de werkelijke rentevoet)?

Of laten we zelf eens een programmaatje in elkaar knutselen dat bij een gegeven maandelijkse rentevoet de gelijkwaardige en nominale rentevoet geeft


. 42

Etienne Goemaere

Oefeningen op gelijkwaardige rentevoeten 1. Vul de ontbrekende gelijkwaardige rentevoeten in Jaarlijkse rentevoet

Semestriële rentevoet

Trimestriële rentevoet

Maandelijkse rentevoet

4% 2% 1,5% 0,65%

2. Bereken de reële en nominale rentevoet overeenkomstig met

a) 3% per trimester

b) 0,55% per maand

c) 4,25% per semester

3. Een kapitaal van 500 000 € staat gedurende 5 jaar uit op samengestelde intrest 0,57% per maand . Bereken de eindwaarde die je zou bekomen door gebruik te maken van de overeenkomstige a) reële rentevoet

b) nominale rentevoet


. 43

Etienne Goemaere

6.

DE KASBON

De kasbon is een effect aan toonder en dus overdraagbaar aan of verhandelbaar door om het even wie. Normaal bestaat een kasbon uit een mantel met aangehechte coupons. De coupon vertegenwoordigt een initiële waarde van één jaar enkelvoudige intrest. Heeft een kasbon een looptijd van 5 jaar dan zijn er vier coupons aan de mantel aangehecht en vertegenwoordigd de mantel zelf de waarde van de kasbon en de waarde van één coupon. Deze intrest kan direct geïnd worden bij vorming of opnieuw uitgezet worden. De rentevoet van de kasbon is meestal merkelijk hoger dan die van het gewone spaarboekje maar de kasbon heeft dan weer het nadeel dat er roerende voorheffing op de intrest geheven wordt ( het spaarboekje kent alleen aanslag voor zoverre de intresten een vast bedrag (50 000 €) overschrijden). Deze roerende voorheffing op de intrest bedraagt thans 15%.

Soorten kasbons Kasbons met jaarlijkse inning van de intrest • • •

Kasbons met een vaste rentevoet en een vaste looptijd Kasbons met een vaste rentevoet en een veranderlijke looptijd Kasbons met een progressieve rentevoet Kasbons met een facultatieve inning van de intrest Bij deze kasbons kan men bepaalde coupons laten hangen en deze innen bij de vervaldag van de kasbon. Meestal worden de coupons die aan de mantel blijven hangen gekapitaliseerd. Kasbons met eenmalige intrestinning (kapitalisatiebons) Deze kasbons hebben een nogal lange looptijd en sommige kennen tussentijdse vervaldagen


. 44

Etienne Goemaere

Intrestberekening en jaarlijks nettorendement De intrestberekening bij kasbons met jaarlijkse inning van de coupons, gebeurt volgens de methode van de enkelvoudige intrest. De samengestelde intrestberekening is van toepassing bij groeibons en kapitalisatiebons. Omdat er hier roerende voorheffing geldt spreken we van netto-intrest, genoteerd I’.

Netto-intrest = bruto-intrest – roerende voerheffing

I' = I − 0,15 . I = 0, 85 . I

Drukt men de netto-intrest uit in procent per jaar, dan spreekt men van het jaarlijks nettorendement, genoteerd R Enkelvoudige intrest Samengestelde intrest I = k .i.n

n

kn = k . (1 + i )

8

8

I i= k .n

i=n

8 stel I = I ′ en i = R R=

I′ k .n

R=n

8 als i cons tan t is R=

kn −1 k 8 stel kn = k + I ′ en i = R k + I′ −1 k

I′ 0, 85 I 0,85 k .i.n = = = 0, 85 i k.n k .n k .n

Deze formules zijn ook geldig voor het berekenen van het jaarlijks nettorendement van andere beleggingsvormen.


. 45

Etienne Goemaere

Voorbeelden a) Een kasbon van 50 000 € heeft een looptijd van 4 jaar en een rentevoet van 4,25%. De intrest is jaarlijks inbaar of kapitaliseerbaar aan 5% per jaar. Bereken het nettorendement in beide gevallen. i)

Bij jaarlijkse inning van de intrest

de jaarlijkse intrest (couponwaarde) bedraagt : de totale bruto-intrest is dan : de netto-intrest is dan : zodat het rendement R =

ii)

Bij kapitalisatie van de intrest

Elke coupon heeft een waarde van één jaar enkelvoudige intrest, dus : De laatste coupon (die samen met het bedrag van de kasbon op de mantel vermeld is) kan geen bijkomende intrest meer opbrengen en behoudt zijn waarde : ………… € De derde coupon staat gedurende 1 jaar aan samengestelde intrest uit en heeft dus een eindwaarde van . . . x 1, 05 ………… € De tweede coupon staat gedurende 2 jaar aan samengestelde intrest uit en heeft dus een eindwaarde van . . . x 1, 05 2 ………… € De eerste coupon staat gedurende 1 jaar aan samengestelde intrest uit en heeft dus een eindwaarde van . . . x 1, 05 3 ………… € In het totaal krijgen we dus een bruto intrest van : Netto blijft hiervan over

. . .

x 0, 85

………… €

………… €

Dit levert zodoende een nettorendement op van

R=

4

50 000 + . . . 50 000


− 1 =

. 46

Etienne Goemaere

b) kasbon met progressieve rentevoet Een kasbon van 90 000 € heeft een looptijd van 5 jaar. De rentevoet is progressief: de eerste twee jaar is die 3%, de twee volgende jaren bedraagt die 3,5% en het laatste jaar 4%. i. Wat is de waarde van de kasbon als de coupons direct geïnd worden en wat is dan het nettorendement? ii. Wat is de waarde van deze kasbon op zijn vervaldag als alle coupons eraan blijven en gekapitaliseerd worden aan 4,75%? Bepaal tevens het rendement in dit geval. iii. Bepaal de waarde van de coupons op elke tussentijdse vervaldag en vul deze bedragen in op het voorbeeld van de kasbon.

OPLOSSING i. Als alle coupons direct geïnd worden.

* De waarde van coupons 1 en 2 (bij onmiddellijke inning): =

90000.0,03 =

* De waarde van de coupons 3 en 4 ( bij onmiddellijke inning) : = 90000.0,035 = * De waarde van coupon 5 (bij afgifte mantel en dus de inning van de 90 000 €) = 90000.0,04 De totale bruto intrest bedraagt De netto intrest bedraagt : Het rendement bij onmiddellijke inning van de coupons is


. 47

Etienne Goemaere

ii. als alle coupons aan de mantel blijven

* de waarde van coupon 1 op de vervaldag van de kasbon :

2700.1, 04754

=


2700.1, 04753

=


3150.1, 04752

=


3150.1, 0475


= 3600

De bruto intrest is: de netto intrest is : Het netto rendement is : iii. We kunnen nu van de coupons ook tussentijdse waarden berekenen. Deze waarden hebben we van doen om bijvoorbeeld de waarde van coupon 1 te kennen een jaar voor de vervaldag van de kasbon (de coupon heeft dan 3 jaar samengestelde intrest opgebracht).


. 48

Etienne Goemaere

Kasbon van 90 000 € op 5 jaar met progressieve rente Coupon gevormd op 98/10/01 Betaalbaar op 98/10/01 Betaalbaar op 99/10/01 Betaalbaar op 00/10/01 Betaalbaar op 01/10/01 Betaalbaar op 02/10/01

COBAB

…………… …………… …………… …………… ……………

Kasbon van 90 000 € op 5 jaar met progressieve rente

Kasbon op 5 jaar met progressieve rente en facultatieve rentekapitalisatie Kapitaal 90 000 €

Uitgiftedatum Eindvervaldag

97/10/01 02/10/01

Kapitalisatievoet 4,75% Rentevoet 1ste en 2de jaar Rentevoet 3de en 4de jaar Rentevoet 5de jaar Vervaldag

98/10/01 99/10/01 00/10/01 01/10/01 02/10/01

90 000 90 000 90 000 90 000 ………

Betaalbaar op 99/10/01 Betaalbaar op 00/10/01 Betaalbaar op 01/10/01 Betaalbaar op 02/10/01

…………… …………… …………… ……………

Kasbon van 90 000 € op 5 jaar met progressieve rente

3% 3,5% 4%

zonder vervallen Coupons

Coupon gevormd op 99/10/01

Coupon gevormd op 00/10/01

met alle coupons aangehecht …………….. …………….. …………….. …………….. ……………..

Betaalbaar op 00/10/01 Betaalbaar op 01/10/01 Betaalbaar op 02/10/01

…………… …………… ……………

Kasbon van 90 000 € op 5 jaar met progressieve rente Coupon gevormd op 01/10/01 Betaalbaar op 01/10/01 Betaalbaar op 02/10/01

…………… ……………

Voorzitter van het directiecomité


. 49

Etienne Goemaere

Oefeningen op de kasbon 1) Een kasbon van 11 500 € heeft een looptijd van 4 jaar en de rentevoet bedraagt 3,85%. De coupons worden gekapitaliseerd. De kapitalisatievoet van de eerste en tweede coupon bedraagt 4% en van de derde coupon 4,15%. Bepaal de netto intrest en het netto rendement als alle coupons aan de mantel gehecht blijven.

2) Een staatsbon van 7 500 € heeft een looptijd van 7 jaar en een rentevoet van 5,35%. De intrest is jaarlijks inbaar of kapitaliseerbaar. Bereken het jaarlijks netto rendement bij jaarlijkse inning en bij kapitalisatie aan 6%.


. 50

Etienne Goemaere

3) Een kasbon van 250 000 € heeft een looptijd van 10 jaar. Er wordt een progressieve rentevoet toegepast: de eerste twee jaar 3,5% ; het derde en het vierde jaar 3,65% ; het vijfde, zesde en zevende jaar 4,15 % en de laatste jaren 4,6%. Wat is het nettorendement a) bij directe inning b) als er voor de eerste 4 coupons een kapitalisatievoet van 5 % geldt, voor de volgende 3 een kapitalisatievoet van 5,5 % en voor de laatste coupons een kapitalisatievoet van 6 % .

4) Vergelijk het jaarlijkse nettorendement van onderstaande spaarbonnen: a) Spaarbon van 8625 € met een looptijd van 5 jaar, een rentevoet van 4,20% en een kapitalisatievoet van 3,65%. b) Spaarbon van 7500 € met een looptijd van 3 jaar, een rentevoet van 4% en een kapitalisatievoet van 3,85%.


. 51

Etienne Goemaere

7.

ANNUITEITEN

Wie een huis koopt via een bouwmaatschappij betaalt heel vaak zijn huis af door maandelijks een onveranderlijk bedrag te storten. Daarbij wordt de verkoopsom van het huis bereikt op de eindvervaldag en worden de periodieke stortingen tegen samengestelde intrest uitgezet. Die reeks periodieke stortingen noemen we een annuïteit. Staat deze annuïteit voor een vorm van sparen (woonsparen, pensioensparen, … ) dan spreken we van kapitaalsvorming. Als de gestorte bedragen dienen om een lening af te korten dan spreken we van schuldaflossing (schulddelging). Het bedrag van de storting noemen we de termijn. De data waarop de stortingen gebeuren zijn de vervaldagen en het tijdsinterval tussen twee vervaldagen is de periode. De duur tussen begin en einddatum van de overeenkomst heet de looptijd van de annuïteit. Als de termijnen op het einde van elke periode gestort worden dan spreken we van een postnumerando annuïteit en als ze in het begin van elke periode gebeuren van een prenumerando annuïteit.

De eindwaarde van een postnumerando annuïteit Stel dat je ouders op uw vijftiende verjaardag met een financiële instelling tot een overeenkomst komen om voor u aan voorhuwelijkssparen te doen door vanaf uw 16de levensjaar tot op uw 22ste verjaardag elk jaar 1000 € te storten. Over welk bedrag zou je dan beschikken op uw 22ste verjaardag als de financiële instelling een rentevoet van 5,5 % hanteert?


. 52

Etienne Goemaere

Als we het eindkapitaal op deze manier zouden moeten berekenen voor een annuïteit die loopt over 10 jaar met maandelijkse stortingen dan zou het rekenwerk ongemeen groot worden. Daarom gaan we op zoek naar een gesloten formule. Het kapitaal gevormd door de postnumerando annuïteit die loopt over 7 jaar, een termijn heeft van 1000 € en een rentevoet van 5,5% kent is

= 1000.1, 0556 + 1000.1, 0555 + 1000.1, 0554 + 1000.1, 0553 + 1000.1, 0552 + 1000.1, 055 + 1000 = 1000. (1, 0556 + 1, 0555 + 1, 0554 + 1, 0553 + 1, 0552 + 1, 055 + 1) vermits we met het schema van Horner kunnen aantonen dat xn − 1 = x n−1 + x n−2 + x n−3 + x −1

... +x + 1

kunnen we het eindkapitaal van de postnumerando annuïteit met een looptijd van 7 jaar aan 1, 0557 − 1 5,5% bekomen als = 1000. 1, 055 − 1

Algemeen De eindwaarde A n van een annuïteit met looptijd n, een termijn a en een rentevoet i

un − 1 un − 1 An = a . = a . u −1 i

Voorbeeld 1) Wat is de eindwaarde van een annuïteit gevormd door maandelijks op het einde van de maand 500 € te sparen en dat gedurende 5 jaar waarbij een maandelijkse rentevoet van 0,375%?

2) Wat is de eindwaarde van een annuïteit gevormd door maandelijks op het einde van de maand 1000 € te sparen en dat gedurende 21 jaar, als de jaarlijkse (!!!) rentevoet 4,75%


. 53

Etienne Goemaere

De eindwaarde van een prenumerando annuïteit De door mij aangeschafte wagen betaal ik af door ieder jaar in het begin van het jaar, en dat gedurende zeven jaar , 1250 € te storten. Wat zal de auto na die zeven jaar aan de verkoper opleveren als de gestorte gelden op samengestelde intrest geplaatst worden tegen 6% per jaar? Figuur:

De eindwaarde van de door mij gekochte auto: = 1250.1, 067 + 1250.1, 066 + 1250.1, 065 + 1250.1, 064 + 1250.1, 063 + 1250.1, 062 + 1250.1, 06 = 1250. (1, 067 + 1, 066 + 1, 065 + 1, 064 + 1, 063 + 1, 062 + 1, 06) = 1250. (1, 066 + 1, 065 + 1, 064 + 1, 063 + 1, 062 + 1, 06 + 1).1, 06 = 1250.

1, 067 − 1 .1, 06 1, 06 − 1

Algemeen De eindwaarde voor een prenumerando annuïteit met een looptijd van n periodes, een termijn a, aan een rentevoet i An' = a .

un −1 . u = An . u i


. 54

Etienne Goemaere

Voorbeelden 1. Wat is op de vervaldag voor de bouwmaatschappij STEENGOED het huis waard dat door mij afgelost wordt in een periode van 25 jaar met maandelijkse stortingen in het begin van de maand ten bedrage van 520 € als de maandelijkse rentevoet 0,85% bedraagt?

2. Over welk kapitaal zal ik op mijn eenentwintigste verjaardag kunnen beschikken als mijn ouders trouw van bij mijn geboorte tot mijn eenentwintigste verjaardag, in het begin van elke maand, 50 € sparen. De jaarlijkse rentevoet door de financiële instelling verstrekt is 8,75%.


. 55

Etienne Goemaere

Met de applicatie Finance en de TVM Solver van onze TI83 is het berekenen van de eindvan een annuïteit een fluitje van een cent:

Wat is op de vervaldag voor de bouwmaatschappij The Wall het huis waard dat door mij afgelost wordt in een periode van 20 jaar met maandelijkse stortingen in het begin van de maand ten bedrage van 520 € als de maandelijkse rentevoet 0,75% bedraagt? •

Druk op APPS

•

Kies Finance en ENTER

•

Kies 1 :TVM Solver en ENTER (of druk 1)

•

Vul de gegevens in die je kent o o o o o o o o

•

N=20*12 I%=0,75 PV=0 PMT=-520 FV=0 P/Y=1 C/Y=1 PMT=END BEGIN

Ga op FV (Future Value) staan en druk nu op SOLVE (= ALPHA

ENTER )

Los nu maar eens de voorbeelden van de vorige bladzijde op


. 56

Etienne Goemaere

De beginwaarde van een annuïteit De beginwaarde of contante waarde van een annuïteit is het kapitaal dat uit uitgezet tegen samengestelde intrest i na n periodes dezelfde eindwaarde zou hebben als een annuïteit met dezelfde rentevoet en met n termijnen a. De beginwaarde van een postnumerando annuïteit stellen we voor met A0 en die van een prenumerando met A0 ′ .

Voorbeeld De eindwaarde van een annuïteit die door mij afgelost wordt in een periode van 25 jaar met maandelijkse stortingen op het einde van de maand ten bedrage van 250 € als de maandelijkse rentevoet 0,85% bedraagt was 343230,27€ Om een dergelijk bedrag gespaard te krijgen, moet ik over dezelfde periode 27090,36 € uitzetten tegen dezelfde rentevoet 250 * (1.0085300 − 1) = 343230,27 = 27090,36 *1.0085300 0.0085

A n = A o .un

⇔ A o = A n .u−n

We kunnen een analoog verband afleiden voor de prenumerando annuïteit.

A n′ = A o′ .un

⇔ A o′ = A n′ .u−n


. 57

Etienne Goemaere

De berekening van A o

De berekening van A0 ′

A0 .un = An 8 A0 = An .u−n 8 A0 = a.

A0 =

A0 =

A0 =

un − 1 −n .u i 8

a (un − 1 ) u−n i 8 a.(un u−n − u−n ) i 8 a.(1− u−n ) i

Voorbeelden

1. Ik koop een huis van de firma STEENGOED door gedurende 25 jaar 250 € te storten op het einde van elke maand. De intrestlast bedraagt 0,85% per maand. Wat was het huis waard bij de bouw ervan.

2. Voor de aankoop van een luxewagen vraagt een garage een voorschot van 1000 € en tien jaarlijkse stortingen van 3000 € . De rentevoet van de autolening bedraagt 9,5% en de eerste storting gebeurt in het begin van de maand van aankoop van de wagen. Wat was deze wagen waard bij aanschaf ervan en wat is hij waard eenmaal afbetaald.


. 58

Etienne Goemaere

Met de applicatie Finance en de TVM Solver van onze TI83 is het berekenen van de beginwaarde van een annuïteit eveneens doodsimpel: •

Als we reeds de eindwaarde kennen van de annuïteit Hoeveel kostte het huis bij aanbouw dat ik uiteindelijk bekomen heb via een postnumerando annuïteit lopende over 25 jaar aan 0,85% maandelijks met eindwaarde 370276,83 € o o o o

Druk op APPS Kies Finance en ENTER Kies 1 :TVM Solver en ENTER (of druk 1) Vul de gegevens in die je kent N=25*12 I%=0,85 PV=0 PMT=0 FV=370276,83 P/Y=1 C/Y=1 PMT=END BEGIN

o

•

Ga op PV (Present Value) staan en druk nu op SOLVE (= ALPHA

ENTER )

Als we de termijn van de annuïteit kennen Hoeveel kostte het huis bij aanbouw dat ik uiteindelijk bekomen heb via een postnumerando annuïteit lopende over 25 jaar aan 0,85% maandelijks met termijn van 250 € o o o o

Druk op APPS Kies Finance en ENTER Kies 1 :TVM Solver en ENTER (of druk 1) Vul de gegevens in die je kent N=25*12 I%=0,85 PV=0 PMT=-250 FV=0 P/Y=1 C/Y=1 PMT=END BEGIN

o

Ga op PV (Present Value) staan en druk nu op SOLVE (= ALPHA


ENTER )

. 59

Etienne Goemaere

Afgeleide formules Bepaling van de termijn Vanuit de eindwaarde

An = Postnumerando

Vanuit de beginwaarde

a(un − 1) i 8

An .i = a un − 1

Prenumerando

.

Voorbeelden 1. Welk bedrag moet ik 30 maal in het begin van elke maand storten om een auto aan te schaffen die 38000 € kost als de rentelast van de autolening 0,55% per maand bedraagt?

2. Welk bedrag moet ik op het einde van de maand op zij zetten om binnen 5 jaar een stuk bouwgrond te kopen dat er dan 71250 € zal waard zijn? De jaarlijkse rentevoet is 7%.


. 60

Etienne Goemaere

Ook hier kunnen we weer gebruik maken van onze TI83 om het eventueel niet kennen van de formules en/of om het rekenwerk op te vangen

1. Welk bedrag moet ik gedurende 30 maanden in het begin van elke maand storten om een auto aan te schaffen die 38000 € kost als de rentelast van de autolening 0,55% per maand bedraagt?

op PMT gaan staan en op ALPHA ENTER drukken levert als resultaat

……………..

2. Welk bedrag moet ik op het einde van de maand op zij zetten om binnen 5 jaar een stuk bouwgrond te kopen dat er dan 71250 € zal waard zijn? De jaarlijkse rentevoet is 7%.

(1.07^(1/12)-1)*100

op PMT gaan staan en op ALPHA ENTER drukken levert als resultaat


……………..

. 61

Etienne Goemaere

Bepaling van de periode Bij een postnumerando annuïteit

Bij een prenumerando annuïteit

Vanuit de eindwaarde

Vanuit de eindwaarde

a ( un − 1 ) An = i 8 An .i = un − 1 a 8 An .i + 1 = un a 8  A .i  log  n + 1 = n.logu  a  8  A .i  log  n + 1  a  n = logu Vanuit de beginwaarde

Vanuit de beginwaarde A0 ′ =

1−

a.(1− u−n ).u i 8

n A0 ′ .i = u−n = (u−1 ) a.u 8


. 62

Etienne Goemaere

Voorbeelden (Gebruik de TVM Solver nu maar direct)

1. Hoelang duurt het vooraleer iemand miljonair door elke maand 100 € te sparen als hij zijn stortingen doet op het einde van de maand en als de maandelijkse rentevoet 0,65% bedraagt?

2. Een paar wil sparen voor de aankoop van een stuk bouwgrond dat er nu 47500€ waard is. Daartoe storten ze in het begin van elke maand een bedrag van 187,5 €. Na hoeveel termijnen is het beoogde bedrag minstens bijeen gespaard als de jaarlijkse rentevoet 6,25% bedraagt? berekenen we eerst i12 en slaan we dit op bepalen we nu n als

i12 = 1,065

1 7

−1→ A

log (1 − 475000 * A/ 187,5 * (1 + A )  ) /log (1 + A )

(let hier heel goed op bij het gebruik van het juiste aantal haakjes) WAAROM levert de TI83 hier de foutmelding

ERR:DOMAIN 1:QUIT 2:Goto

?


. 63

Etienne Goemaere

Bepalen van de rentevoet

i berekenen vanuit de eindwaarde Nemen we het geval van de postnumerando annuïteit dan geldt

a((1 + i)n − 1 ) a(un − 1) = = An i i

20 500. (1 + i ) − 1 vb 15000 = i

Deze vergelijking herschrijven naar de onbekende i is technisch niet mogelijk.

•

Een eerste manier om de zaken op te lossen is gebruik te maken van de grafische mogelijkheden van het rekentoestel.

voer twee functies in

Kies een geschikt venster om deze functies te tekenen

Laat de grafieken tekenen en zoek via 2nd TRACE

(= CALC) , vervolgens

5:intersect en door driemaal na elkaar te enteren de doorsnede van beide krommes

De x-coördinaat van deze doorsnede levert ons de gevraagde rentevoet. Wil je deze op het basisscherm hebben dan volstaat het na 2nd MODE ( = QUIT) 2nd (-) (=ANS) in te drukken en te enteren


. 64

Etienne Goemaere

•

Een andere manier om het resultaat te vinden is gebruik te maken van de TVM-solver die in de applicatie FINANCE voorhanden is

We geven n (N) , a (PMT) en A n (FV) in.

Ga op I% staan en druk op ALPHA

Daarbij moet PMT negatief zijn

ENTER

(= SOLVE)

Wat aan de basis van dit resultaat ligt is een redelijk technische kwestie die we toch even van dichtbij gaan bekijken.

We onze toevlucht nemen tot een regula falsi , dit is een methode die vertrekkende van twee foute waarden een benaderende waarde van de oplossing berekend.

Daartoe definiëren we de functie f met f(i) =

(

n

)

a (1 + i) − 1 i

Deze functie in i is stijgend : als de rentevoet groter wordt , wordt ook de eindwaarde groter

Dit konden we reeds zien met onze grafische benadering waar A n uitgezet werd in functie van i TI83 door in Y= bijvoorbeeld als voorschrift in te geven Y1 =500*((1+X)^20-1)/X en te kiezen voor een WINDOW waar x ∈ [0; 0,30 ] en y ∈ [−1000,20000 ] .


. 65

Etienne Goemaere

Bekijken we eens hoe deze regula falsi werkt

Om de eindwaarde A a te berekenen horende bij een rentevoet i a berekenen we f( i a ). Om de eindwaarde A b te berekenen horende bij een rentevoet i b berekenen we f( i b ). We zorgen ervoor dat we een interval [A a , A b ] bekomen die de gegeven eindwaarde bevat (we hebben dus een rentevoet i a waarvoor de eindwaarde kleiner is dan de opgegeven A n en een rentevoet i b waarvoor de eindwaarde A b groter is ). Zo kunnen we de waarde van i vervangen door een waarde i’ Om de waarde i’ te berekenen gaan we gebruik maken van gelijkvormige driehoeken

Als nu ia en ib niet al te ver van elkaar liggen zullen i en i’ ook dicht bij elkaar liggen en nagenoeg gelijk zijn. Zodoende kunnen we stellen dat


. 66

Etienne Goemaere

Voorbeeld Een kapitaal van 15000 € wordt gevormd door 20 jaarlijkse termijnen van 500 €. Wat is de jaarlijkse rentevoet als de laatste storting op de einddatum gebeurt? Voor i = 0, 03 is de eindwaarde An = 500.

(1, 0320 − 1) = 0, 03

<15000

Deze eindwaarde is nogal ver verwijderd van de beoogde zodat we de volgende rentevoet ineens 1% meer nemen Voor i = 0, 04 is de eindwaarde An = 500.

(1, 04 20 − 1) = 0, 04

<15000

Deze eindwaarde is nog altijd kleiner dan de beoogde maar niet zodanig veel meer zodat we de rentevoet nu niet te snel meer zullen laten toenemen

Voor i = 0, 041 is de eindwaarde An = 500.

(1, 04120 − 1) = 0, 041

>15000=

De twee laatste resultaten kunnen we nu gebruiken in onze benaderingsformule voor i ia = 0, 04 ib = 0, 041

(1, 04 20 − 1) 0, 04 (1, 04120 − 1) Ab = 500. 0, 041 Aa = 500.

 A − A a  .(ib − ia ) = i = ia +  n  A b − A a 

Nemen het geval van een prenumerando annuïteit dan verandert er weinig aan de gevolgde redenering


. 67

Etienne Goemaere

De rentevoet kan men ook berekenen vanuit een gegeven beginwaarde.

Bij het opstellen van de formules van de regula falsi dient men er dan wel rekening te hou/ den dat de functie die A 0 ( A 0 )laat berekenen f(i) =

(

−n

a. 1− (1 + i) i

)

(

)

 a. 1− (1 + i)−n .(1 + i)      i   

dalend zal zijn.

Maar in het geval we i moeten berekenen zullen we ons omwille van de moeilijkheidsgraad in het vervolg volledig beroepen op de TVM-solver van ons rekentoestel


. 68

Etienne Goemaere

Formularium annuïteiten

POSTNUMERANDO

A n = a.

A 0 = a.

a =

un −1 i

1− u−n i

A n .i un −1

A n = A 0 .un A 0 = A n .u−n

a =

 A .i  log 1+ n   a  n = log u  A .i  log 1− 0   a  n = −1 log u

!!!

PRENUMERANDO

A 0 .i 1− u−n

A 'n = a. A 0′ = a.

a =

un −1 .u i

1− u−n .u i

A n′ .i (u −1).u

n =

A n′ = A 0′ .un

n

A 0′ = A n′ .u−n

a =

A 0′ .i (1− u−n ).u

   A n′ .i  log 1+   a.u  

log u    A ′ .i  log 1− 0   a.u   n = log u−1

Het feit dat we over een grafisch rekentoestel beschikken neemt niet weg dat we onze formules moeten kennen.


!!!

. 69

Etienne Goemaere

Oefeningen op annuïteiten 1) Vul in onderstaande tabel de ontbrekende gegevens in

A0

An

a

2 500 000

625 000 3,5 miljard 300 000

* ** ***

i

20

6,85%

25

0,075

36 373

*

8%

50 500

**

0,0625

3 000 000

50

***

28 000

18

***

5 000 000 950 000

n

rond n af naar het lager geheel getal en bereken de supplementaire storting rond n af naar een lager geheel getal en pas de termijn aan geef i met 6 cijfers na de komma (het % dus met 4 cijfers na de komma)

2) Vul in onderstaande tabel de ontbrekende gegevens in

A0′

a

An ′

500 000

625 000 2,5 miljard 300 000 * ** ***

i

10

6,5%

25

0,085

40 000

*

7%

60 000

**

0,0625

2 500 000

50

***

28 000

18

***

4 500 000 950 000

n

rond n af naar het lager geheel getal en bereken de supplementaire storting rond n af naar een hoger geheel getal en pas de termijn aan geef i met 6 cijfers na de komma (het % dus met 4 cijfers na de komma)


. 70

Etienne Goemaere

3) Als ik binnen 20 jaar over 3 miljoen wens te beschikken a) Welk bedrag moet ik jaarlijks postnumerando storten bij een rentevoet van 9%

b) Welk bedrag moet ik maandelijks postnumerando storten bij de rentevoet die gelijkwaardig is met die van 9% per jaar (werk met de waarde van i12 die je opslaat in het geheugen van uw rekentoestel)

4) Het huis dat ik wens te bouwen kost 106420 €. Hoeveel maandelijkse prenumerando stortingen van 760€ moet ik doen als de maandelijkse rentevoet 0,5% bedraagt?

5) Door maandelijks 1000 € te storten kan je miljonair worden. Hoelang duurt het als de jaarlijkse rentevoet 6% is?

Hoeveel zou je maandelijks moeten storten als je dat doel wil bereiken in 20 jaar?


. 71

Etienne Goemaere

6) Voor het huisje van mijn overleden ouders zijn er vier kandidaat kopers: • • • •

Koper a: 87500 € ineens Koper b: 50000€ contant en 10 jaarlijkse prenumerando stortingen van 5000 € Koper c: 31250€ contant en 6 jaarlijkse postnumerando stortingen van 12500 € Koper d: gedurende 20 jaar maandelijkse prenumerando stortingen ten bedrage van 750 € per maand

Aan welke koper moet ik de voorkeur geven als ik het geld kan belegen tegen een rentevoet van 6,75%?

7. Voor de aankoop van een luxewagen vraagt een garage een voorschot van 6250 € en 10 jaarlijkse stortingen van 3000€. De eerste storting gebeurt bij het betalen van het voorschot en de rentevoet die de garagist van zijn bank krijgt voor de gestorte gelden bedraagt 6,75%. Wat was de luxewagen waard bij het aanschaffen ervan?


. 72

Etienne Goemaere

8.

KOPEN OP KREDIET NV HARLEY TRAPSON

Hit the road Jack

Prachtige moto slechts 10000 € of 1500€ +

Probleemloos de wereld rond voor 10000 € of 2500 € + 24 x 347,58 €

18 maal 519€

Als ik mij een handig vervoersmiddel wens aan te schaffen maar niet direct de hele som kan ophoesten, dan kan een afbetaling in termijnen wel een oplossing zijn voor mij. Maar wat te doen als ik voor identiek hetzelfde de keuze moet maken uit bovenstaande betalingsmogelijkheden. Laat ik mij sturen door de grote van de maandelijkse afbetaling of door het voorschot of door het totaalbedrag van de betaling of door ……

Mensualiteit, lastenpercentage, jaarlijks kostenpercentage De terugbetaling van een lening op afbetaling gebeurt maandelijks en mag over meerdere jaren gespreid worden. De maandelijkse aflossing, mensualiteit genoemd, bestaat uit een vast

K  n

gedeelte van het ontleende kapitaal   en maandelijkse intrestlasten 

(K.L

waarbij L het lastenpercentage uitgedrukt in% per maand) . De jaarlijkse in-

trestkosten worden aangeduid met het jaarlijks kostenpercentage (JKP).

Mensualiteitberekening

M=

K + K . L n

            

M : Mensualiteit K : ontleende kapitaal n : duur van de lening in maanden L : lastenpercentage

Voorbeeld Om mijn bureau in te richten ga ik een lening aan van 4000 €. De financiële instelling die de lening toestaat, vraagt een lastenpercentage van 0,55% per maand. De duur van de lening bedraagt 24 maanden. Wat is de mensualiteit?


. 73

Etienne Goemaere

Formule voor lastenpercentage

L=

M − K

K n

Voorbeeld Het lastenpercentage van een lening van 95000 € terugbetaalbaar in 84 termijnen van elk 1645 € bedraagt :

Formule voor het jaarlijks kostenpercentage Volgens de wettelijke voorschriften moeten financiële instellingen de werkelijke rentevoet van de lening ook het jaarlijks kostenpercentage vermelden. Dit jaarlijks kostenpercentage moet alle kosten van de lening bevatten; er mogen bijvoorbeeld geen aparte dossierkosten aangerekend worden. We kunnen onze afbetaling beschouwen als een postnumerando annuïteit waarvan de beginwaarde gekend is (95000 €) de termijn die maandelijks betaald wordt ( 1645 €) en het aantal termijnen. (84). Hiermee kunnen we een maandelijkse rentevoeti12 gaan berekenen met de TI83

levert voor I ……………… % en uit deze maandelijkse kunnen we de werkelijke rentevoet berekenen 12

i = (1 + i12 ) −1

(1+0.9472152113/100)^12-1

=

0.1197784697

We kunnen dit resultaat met onze TI83 ook ineens krijgen


. 74

Etienne Goemaere

Indien we handmatig tewerk moeten gaan is een eerste benadering van i12 te berekenen met    n G 12 L.24. + 1 − 1.1000  n +1    ia =  1000

In een advertentie troffen we volgende reclameboodschappen aan. Welk maandelijks lastenpercentage wordt bij de leningsvormen gehanteerd? Wat is het overeenkomstig jaarlijks kostenpercentage?

Krap bij kas BELLEKREDI Kredietmakelaar Helpt u Tweekerkenstraat 456

Dringend geld nodig??? Op lange termijn en gemakkelijk betalen GRATIS ADVIES JKP van 8,6 tot 19,5 30100€ = 48 x 791€ 50000 €= 60 x 1158€ 70000 €= 84 x 1281,5€

8460 Westkerke

95000 = 84 x 1645€ 120000= 120 x 1810€ 150000 = 120 x 2250€

059/59.59.59

elke dag tot 23 uur


. 75

Etienne Goemaere

Koop op afbetaling Bij een koop op afbetaling wordt het krediet niet verstrekt door een financiële instelling maar door een verkoper. In deze gevallen schrijft de wet een minimum voorschot voor van 15% Het alstenpercentage en het jaarlijks kostenpercentage worden berekend zoals in het voorgaande punt. Voorbeelden 1.

NV HARLEY TRAPSON Prachtige moto slechts 10000 € of

Het voorschot van 1500€ voldoet aan de eis van 15% Het lastenpercentage L = Het jaarlijks kostenpercentage JKP =

1500 + 18 maal 519

2.

HIT THE ROAD JACK

Het voorschot van 2500€ voldoet aan de eis van 15% Het lastenpercentage L =

10000 € of 2500 € + 24 maal 347,58 €

Het jaarlijks kostenpercentage JKP =

3.

WAAOUUW 824,95 € of 125 €+ 32 maal 27,63€

Het voorschot van 125€ voldoet aan de eis van 15% Het lastenpercentage L = Het jaarlijks kostenpercentage JKP =


. 76

Etienne Goemaere

9.

HYPOTHECAIRE LENING

Om een huis te (ver-)bouwen wordt meestal een grote som geld geleend bij een financiële instelling die in ruil voor de lening een onroerend goed als waarborg eist (meestal het huis in kwestie). Dergelijke leningen noemt men een hypothecaire lening. De schuldaflossing gebeurt meestal door middel van een constante annuïteit waarbij de betalingen gebeuren op het einde van de periode. Vermits men in dergelijke gevallen vertrekt van de huidige kostprijs dus A 0 . De meest gebruikte formules zijn dan ook: A0 = a. a =

1 − u−n i

A0 .i 1 − u−n

Voorbeeld Voor de bouw van hun huis leent het echtpaar Decadt-Vindevogel 62500 € tegen een jaarlijkse rentevoet van 6,75%. De lening heeft een looptijd van 15 jaar. •

Wat is de jaarlijkse termijn?

•

Wat is de maandelijkse termijn?

Bij een hypothecaire lening bestaat elke termijn uit twee delen: een kapitaalbestanddeel en een rentebestanddeel . Het kapitaalbestanddeel is de terugbetaling van een gedeelte van het ontleede bedrag en wordt aflossing genoemd. Het rentebestanddeel is een gedeelte van de verschuldigde rentevergoeding en wordt kortweg rente, intrest of intrestlast genoemd.

a = km + rm

 rm      km

rentebes tan ddeel kapitaalbes tan ddeel


. 77

Etienne Goemaere

Berekening van het rentebestanddeel Een rentebestanddeel is de intrest gedurende 1 periode op de nog uitstaande schuld Bij het afsluiten van de lening is de schuld A0 , het eerste rentebestanddeel r1 is dan ook gelijk aan A0 .i Bij het begin van de tweede periode is de nog uitstaande schuld A0 − k1 en het tweede rentebestanddeel r2 is dan gelijk aan (A0 − k1 ).i Bij het begin van de derde periode is de nog uitstaande schuld A0 − k1 − k2 en het tweede rentebestanddeel r3 is dan gelijk aan (A0 − k1 − k2 ).i

Bij het begin van de mde periode is de nog uitstaande schuld A0 − k1 − k2 − mde rentebestanddeel is dan gelijk aan (A0 − k1 − k2 −

...

...

−km−1

en het

−km−1 ).i

Berekening van het kapitaalbestanddeel •

Berekening van het eerste kapitaalbestanddeel

k1 = a − r1

k1 = a.u−n

= a − A0 .i = a−

.i

of ook =

.

1 un

=

= . . .

het eerste rentebestanddeel bekomen we zo met een van de formules

k1 =

A0 .i un − 1 of

k1 = a.u−n


. 78

Etienne Goemaere

•

Berekening van het tweede rentebestanddeel k2 = a − r2 = a − (A0 − k1 ).i = a − A0 .i + k1 .i N = a − r1 + k1 .i N = k1 + k1 .i = k1 .( 1 + i) = k1 .u

•

Op analoge manier berekent men k3 ,k4

...

km

k3 = k2 .u = k1 .u.u = k1 .u2 k4 = k3 .u =

....

= k1 .u3

... km = k1 .um−1

Voorbeeld In 1997 heb ik een bedrag geleend van 2,5 miljoen tegen een jaarlijkse rentevoet van 8,75%. Dit kapitaal moet ik aflossen met 20 jaarlijkse termijnen. •

De jaarlijks te betalen termijn is

•

Het eerste kapitaalbestanddeel is

•

Het tweede kapitaalbestanddeel is

•

Het tiende kapitaalbestanddeel is

•

Het tiende rentebestanddeel is


. 79

Etienne Goemaere

Aflossingsplan Van een hypothecaire lening kunnen we het kapitaalbestanddeel en rentebestanddeel van elke termijn berekenen en samen met de vervaldagen en het nog verschuldigde bedrag schematisch in een tabel onderbrengen : de aflossingstabel of schuldelgingstabel. Werkwijze: • Bereken de jaarlijkse termijn • Bereken het eerste kapitaalbestanddeel • Bereken de volgende kapitaalbestanddelen door telkens te vermenigvuldigen met u • Maak de kolom met de rentebestanddelen • Maak de kolom met de schuldsaldi

Bedrag van de lening 50000 € Looptijd van de lening : 20 jaar Rentevoet : 7% Jaarlijkse Vervaldagnu Kapitaalbestanddeel mmer termijn 1

Cobab Rentebestanddeel

schuldsaldo

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20


. 80

Etienne Goemaere

We kunnen deze aflossingstabel ook genereren met onze TI83 We zullen de formules zelf ingeven We zorgen dat ons toetsel geen oude lijsten bevat: 2nd 0 (dus CATALOG), druk C en beweeg met de pijltoets naar beneden tot ClrAllLists, ENTER en nogmaals ENTER. We drukken ook op STAT en kiezen voor 5:SetUpEditor en ENTER om de standaardlijsten L1, ... ,L6 te bekomen We maken een lijst aan met de volgnummers 1 tot 20 2nd 0 (dus CATALOG), druk op S en beweeg met de neerwaartse pijltoets tot seq( (let op niet Seq ) en ENTER, typ nu X,X,1,20) 2nd 1 (dus L1 ) en ENTER Op het scherm verschijnt

Druk ju nu op STAT en kies je voor 1:Edit dan zie je deze lijst 1 in een neerwaartse tabel

We berekenen de termijn a =

A0 .i en slaan die op als A 1 − u−n

Wensen we dat de termijn opgeslagen wordt afgerond naar boven op bv 2 cijfers na de komma dan kan dat door het volgende te doen: 2nd 0 (dus CATALOG), druk R en beweeg met neerwaartse pijltoets tot de functie round( , druk op ENTER en typ nu 50000*0.07/(1-1.07^-20),2) A en ENTER

Opmerking: we kunnen de functie round ook bekomen via MATH scroll naar NUM en kies 2:round


. 81

Etienne Goemaere

We maken een tweede lijst aan waar 20 keer dezelfde constante termijn instaat druk CATALOG , druk S, scroll naar seq( en ENTER , typ nu A ( ALPHA X, 1 , 20) L2 dit laatste via 2nd 2 en ENTER

MATH) ,

het resultaat: In het basisscherm

In de lijsteneditor ( STAT 1:Edit)

We bereken het eerste kapitaalsbestanddeel k1 = a.u−n en slaan het op in K A*1.07^-20 K We bouwen een lijst ( L3 ) op met de opeenvolgende kapitaalsbestanddelen seq(K*1.07^(X-1),X,1,20)

L3

Ook hier kun je zorgen voor een precisie op 2 cijfers na de komma door in te tikken seq(round(K*1.07^(X-1),2),X,1,20) L3

Als je de pijltjestoets gebruikt kun je doorheen de rij scrollen. Je kan uiteraard ook terug gaan kijken naar het resultaat in de lijsteneditor.


. 82

Etienne Goemaere

De lijst met de rentebestanddelen kunnen we het best aanmaken in de lijsteneditor Waar we ook staan we scrollen tot heel bovenaan tot we in de rij staan waar de lijstnamen staan. We gaan met de zijwaartse pijltoets naar L4 en drukken op ENTER. Hierdoor komen we onderaan in het scherm terecht waar we voor L4 de volgende formule invullen: L2 − L3 en terug op ENTER drukken. Het Resultaat:

Om tenslotte de kolom van de schuldsaldi er te krijgen moeten we even gebruik maken van de formule voor het schuldsaldo op het mde moment die hierna afgeleid wordt: un − um Lm = A0 . n u −1 seq(round(50000*(1.07^20-1.07^X) ÷ (1.07^20-1),2) ,X,1,20)

L4


. 83

Etienne Goemaere

We kunnen gebruik maken van de ingebouwde financiële functies Termijnberekening Druk op APPS en kies voor de applicatie FINANCE en ga met de neerwaartse pijltoets naar 2:tvm_Pmt. Bij deze functie ziet de volgorde van de (al dan niet noodzakelijk) in te vullen argumenten er als volgt uit tvm_Pmt(N,I%,PV,FV,P/Y,C/Y) Hier zorgen we voor de lijn tvm_Pmt(20,7,50000)

A

Dit geeft als resultaat:

Let op dat in uw TVM Solver de juiste gegevens staan van de annuïteit anders kun je hier wel eens voor verrassingen komen te staan

Bemerk dat de uitkomst negatief is. Dit is evenwel te verantwoorden door het feit dat het hier om een te betalen bedrag gaat We maken een lijst aan waar 20 keer dezelfde constante termijn instaat druk CATALOG , druk S, scroll naar seq( en ENTER , typ nu A ( ALPHA , 20) L2 dit laatste via 2nd 2 en ENTER

MATH) , X, 1

Berekening van de kapitaalsbestanddelen Druk op APPS en kies voor de applicatie FINANCE en ga met de neerwaartse pijltoets naar 0:SPrn( Bij deze functie ziet de volgorde van de (al dan niet noodzakelijk) in te vullen argumenten er als volgt uit SPrn( pmt1,pmt2[roundvalue]). Deze functie berekent het afgeloste kapitaal tussen twee opgegeven termijnbetalingen (pmt). Vullen we hier twee keer hetzelfde in dan berekent deze functie de kapitaalsaflossing van die termijn.

Reken je liever met positieve kapitaalsbestandelen dan tik je uiteraard -SPrn in


. 84

Etienne Goemaere

Om nu de volledige lijst met kapitaalsbestanddelen in L3 te krijgen, gaan we als volgt te werk: 2nd STAT ( dus LIST) , beweeg naar OPS en kies 5:seq , plaats het – teken (niet de bewerking!) , druk op we FINANCE , en kiezen voor 0:SPrn( X,X,2),X,1,20) L3

en drukken op ENTER, nu typen we

Berekening van de rentebestanddelen Ofwel kies je hier voor L2 − L3

L4 , ofwel maak je ook hier gebruik van de ingebouwde

functie Sint(pmt1,pmt2,[roundvalue]) die de betaalde intresten betaald tussen twee opgegeven termijnbetalingen (pmt) en die dus eveneens het rentebestanddeel van een termijn zal geven als we twee keer hetzelfde invullen

Voor de rij van de rentebestanddelen hebben we nodig: seq(-Sint(X,X,2),X,1,20)

L4

Berekening van de schuldsaldi De ingebouwde functie die hiervoor kan gebruikt worden is bal(npmt[,roundvalue])

Voor de rij met schuldsaldi afgerond op 2 cijfers na de komma seq(bal(X,2),X,1,20)


L5

. 85

Etienne Goemaere

Als we nu tenslotte naar de lijsteditor gaan via STAT 1:Edit kunnen we de volledige schuldaflossingstabel overlopen

Voor een grafische illustratie van de gevonden resultaten zorgen we eerst dat onder Y= niets meer ingegeven staat van functies en dan kiezen we voor2nd Y= (dus STAT PLOT) . We kiezen daar nu bijvoorbeeld 1:Plot1 en drukken op ENTER, wie kiezen voor On, voor het type " en zet bij Xlist:L1 en bij Ylist:L2 , druw op WINDOW en zet het zo dat

x ∈ [−1, 21]

en y ∈ [−5500, 500 ] . Hiermee hebben we een voorstelling van de constante

termijn. Als we een voorstelling wensen van kapitaalsbestanddelen en rentebestanddelen dan voeren we bij 2:Plot2 Ylist voor L3 en bij 3:Plot3 voor L4 . Dit geeft onderstaande beelden bij een druk op TRACE en door bewegen met de pijltjestoetsen

Wens je de schuldsaldi voorstellen dan kies je eerst andere vensterinstellingen x ∈ [−1, 21] ,

en y ∈ [−10000, 65000 ] zet je de Plots2 en 3 af en geef je bij Ylist de 5de lijst in


. 86

Etienne Goemaere

Een andere mogelijkheid tot het genereren van deze schuldaflossingstabel is door te gaan werken in de sequence MODE van het toestel

Druk op MODE en selecteer Seq

Het nadeel van deze MODE is evenwel dat we maar toegang hebben tot 3 tabellen. We laten hier dan ook de lijst met volgnummers en met de constante termijn vallen. Druk nu op Y= en vul onderstaande zaken in nMin=1 u(n)= -SPrn(n,n,2) u(nMin)= -SPrn(1,1,2) v(n)= -SInt(n,n,2) v(nMin)= -SInt(1,1n,2) w(n)=bal(n,2) w(nMin)= bal(1,2)

Druk op 2nd WINDOW (= TBL SET) en zet TblStart = 1 en +Tbl = 1, de rest op Auto Druk nu op

2nd GRAPH (=TABLE)

Bemerk dat het bewegen in deze tabel niet zo vlot gaat. Via WINDOW en GRAPH kunnen we de zaken laten tekenen


. 87

Etienne Goemaere

Schuldsaldo op een willekeurig tijdstip Wie een hypothecaire lening voor het einde van de looptijd wenst terug te betalen, doet een vervroegde aflossing. Bemerk dat dergelijke operaties niet aan te raden zijn. In het begin van de lening gaat het grootste deel van de termijn immers naar intrestlasten. Wie halverwege zijn hypothecaire lening afkoopt zal tot de ontnuchterende vaststelling komen dat zeker nog niet de helft van de schuld is afgelost Wie toch overgaat naar zo’n vervroegde aflossing zal niet alleen de termijn en het verschuldigde saldo moeten betalen maar ook een wederbeleggingsintrest. Vandaar dat in praktijk dergelijke operatie alleen voorkomt bij het herschikken van verschillende leningen tot een lening. Het nog af te lossen kapitaal kan men aflezen op het aflossingsplan van de lening maar kan men ook berekenen met een formule die we hieronder gaan afleiden: Stellen we het schuldsaldo van de lening na de m de termijn voor met Lm Lm = A0 − k1 − k2 −

...

= A0 − ( k1 + k2 +

−km ...

+km )

= A0 − ( k1 + k1 .u + k1 .u2 + = A0 − k1 . ( 1 + u + u2 +  um − 1 = A0 − k1 .   u − 1

  

 um − 1 = A0 − k1 .   i

  

k1 =

... + k1 .um−1 ) ...

A0 . i n

+um−1 )

Het schuldsaldo na de m de termijn

u −1

A . i u −1 = A0 − n0 . u −1 i um − 1 = Ao − A0 . n u −1  um − 1   = A0 . 1− n  u − 1  m

Lm

um − 1 = A0 . n u −1

 un − 1 − (um − 1)  = A0 .    un − 1  = A0 .

un − um un − 1

Voorbeeld Het schuldsaldo van een lening van 2 miljoen terug te betalen over 20 jaar tegen een rentevoet van 7% per jaar is


. 88

Etienne Goemaere

Oefeningen op schuldaflossing 1) Een hypothecaire lening van 3 500 000 € loopt over 25 jaar tegen 0,55% per maand. a) Bepaal de maandelijks te betalen termijn

b) Bereken de schuldsaldi na 5 jaar, 10 jaar en 15 jaar

2) Ik wens een lening terug te betalen met 15 jaarlijkse stortingen van 75 000 €. De rentevoet is 7,25%. Welk bedrag kan ik lenen?

3) Een financiële instelling kan de maandelijkse termijn van een hypothecaire lening bereken met de gelijkwaardige rentevoet of met de jaarlijkse gedeeld door 12. Welke van deze rentevoeten heeft de instelling aangewend als de lening van 500 000 € afbetaald wordt over 10 jaar met 6 070 € per maand als de jaarlijkse rentevoet 7,5% is?


. 89

Etienne Goemaere

4) Stel het aflossingsplan op voor een lening van 250000€ terugbetaalbaar in 10 jaarlijkse termijnen als de rentevoet 8,75% is.

Kapitaal : 250000 €

Rentevoet: 8,75% Duur : 10 jaar Vervaldag-

Jaarlijkse termijn

Terugbetaling met constante termijn

aflossingsbestandrentebestanddeel deel

schuldsaldo

5) De bank staat mij een lening toe van 170000 € tegen een rentevoet van 6,85%. Het kapitaal moet ik terugbetalen door 20 jaarlijkse termijnen. a) Bereken de jaarlijkse termijn

b) Na 5 jaar verhoogt de rentevoet tot 7%. Hierdoor mag ik de lening zonder bijkomende kosten vervroegd terug betalen. Met welk bedrag kan ik dit?

Als ik niet vervroegd wens terug te betalen en het aantal termijnen wens te behouden wat zal dan de aangepaste termijn worden voor de resterende 15 jaar?


. 90

Etienne Goemaere

PROGRAMMAATJE FINANCE INTIKT OF HET NAAR EIGEN IDEEËN WIL AANPASSEN HIER HEB JE

HET:

Lbl 0 Menu("FINANCE","SIMPLE INT",1,"COMPOUND INT",2,"FUTURE VALUE",3,"PRESENT VALUE",4,"QUIT",5) Lbl 1 Menu("SIMPLE INT","INTEREST",A,"PRINCIPAL",B,"RATE",C,"TIME",D,"QUIT",0) Lbl 2 Menu("COMPOUND INT","AMOUNT",G,"PRINCIPAL",H,"PER. RATE",I,"PERIODS",J,"EFF. RATE",K,"QUIT",0) Lbl 3 Menu("FUTURE VALUE","FUTURE VALUE",N,"PAYMENT",O,"PERIODS",P,"RATE",Q,"QUIT",0) Lbl 4 Menu("PRESENT VALUE","PRESENT VALUE",T,"PAYMENT",U,"PERIODS",V,"RATE",W,"QUIT",0) Lbl 5 Stop Lbl A Input "PRIN=",P Input "RATE=",R Input "TIME=",T round(P*R*T,2)üI Disp "INT =" Pause I Goto 1 Lbl B Input "INT =",I Input "RATE=",R Input "TIME=",T round(I/(R*T),2)üP Disp "PRIN=" Pause P Goto 1 Lbl C Input "PRIN=",P Input "INT =",I Input "TIME=",T I/(P*T)üR Disp "RATE=" Pause R Goto 1 Lbl D Input "PRIN=",P Input "INT =",I Input "RATE=",R round(I/(P*R),2)üT Disp "TIME=" Pause T Goto 1 Lbl G Input "PRIN=",P Input "RATE=",I Input "PER.=",N round(P*(1+I)^N,2)üA Disp "AMOUNT =" Pause A Goto 2 Lbl H Input "AMT.=",A Input "RATE=",I Input "PER.=",N round(A/(1+I)^N,2)üP Disp "PRINCIPAL=" Pause P Goto 2 Lbl I Input "PRIN=",P Input "AMT.=",A Input "PER.=",N NÍð(A/P)-1üI Disp "PER. RATE=" Pause I Goto 2 Lbl J Input "PRIN=",P Input "AMT.=",A Input "RATE=",I round(ln(A/P)/ln(1+I),2)üN Disp "PERIODS =" Pause N Goto 2 Lbl K Input "RATE=",I


. 91

Etienne Goemaere Input "P/YR=",M (1+I)^M-1üR Disp "EFF. RATE=" Pause R Goto 2 Lbl N Input "PMT.=",A Input "RATE=",I Input "PER.=",N round(A*((1+I)^N-1)/I,2)üF Disp "F.V.=" Pause F Goto 3 Lbl O Input "F.V.=",F Input "RATE=",I Input "PER.=",N round(F*I/((1+I)^N-1),2)üA Disp "PMT=" Pause A Goto 3 Lbl P Input "PMT.=",A Input "F.V.=",F Input "RATE=",I round(ln(1+F*I/A)/ln(1+I),2)üN Disp "PER.=" Pause N Goto 3 Lbl Q Input "PMT.=",A Input "F.V.=",F Input "PER.=",N solve(((1+I)^N-1)/I-F/A,I,NÍð(F/A)-1)üI Disp "RATE=" Pause I Goto 3 Lbl T Input "PMT.=",A Input "RATE=",I Input "PER.=",N round(A*(1-(1+I)^úN)/I,2)üP Disp "P.V.=" Pause P Goto 4 Lbl U Input "P.V.=",P Input "RATE=",I Input "PER.=",N round(P*I/(1-(1+I)^úN),2)üA Disp "PMT=" Pause A Goto 4 Lbl V Input "P.V.=",P Input "PMT.=",A Input "RATE=",I round(úln(1-P*I/A)/ln(1+I),2)üN Disp "PER.=" Pause N Goto 4 Lbl W Input "P.V.=",P Input "PMT.=",A Input "PER.=",N solve((1-(1+I)^(úN))/I-P/A,I,A*N/P-1)üI Disp "RATE=" Pause I Goto 4


. 92

Financiële Wiskunde. 1

Recommend Documents