Wiskunde 20 maart 2014 versie 1-1 -

Wiskunde

20 maart 2014

versie 1

-1-

1

1.

𝑎2 2 𝑎3

=

1. −√𝑎.

1

2. 6

√𝑎

3.

. 2,AppB.2/

4

√𝑎3 .

Rekenregels voor machten: als je twee machten op elkaar deelt, trek je de exponenten van elkaar af. De exponent van a wordt dan 1 2 1 −1 1 1 − = − .𝑎 6 = 1 = 6 2 3 6 ( ) √𝑎 𝑎 6 2.

1

Gegeven is de functie ℎ: 𝑥 → 2𝑥. Voor welke waarde van x is de helling (richtingscoëfficiënt) van de grafiek van h gelijk aan 1? 1

1. Als 𝑥 = − 2. 1

2. Als 𝑥 = 2. 3. Voor geen enkele waarde van x.3,297/ 1

Volgens de differentiëerregels is de afgeleide van h: ℎ′ (𝑥) = − 2𝑥 2. 1

Bepaal nu wanneer geldt dat ℎ′ (𝑥) = − 2𝑥 2 = 1 1

−1 = 2𝑥 2 , dus 𝑥 2 = − 2 Voor deze vergelijking is geen oplossing (een kwadraat kan niet negatief zijn). 3.

Oogkleur is genetisch bepaald. Stel dat voor een bepaald ouderpaar de kans op een 1 1 blauwogig kind gelijk is aan 2, de kans op een groenogig kind gelijk is aan 4, en de kans 1

op een bruinogig kind ook gelijk is aan 4. Het stel wil drie kinderen. Hoe groot is de kans dat twee van hun kinderen groene ogen hebben en één kind blauwe ogen heeft? 1. 2. 3.

1

.

32 1

.

16 3

. 3,AppD/

32

Wiskunde

20 maart 2014

versie 1

-2-

Er zijn drie volgordes mogelijk, namelijk het blauwogige kind wordt als eerste, als tweede of als derde geboren, terwijl de rest groene ogen heeft. 1 1 1 3 De kans op twee groenogige kinderen en één blauwogig kind is 3 ∙ 2 ∙ 4 ∙ 4 = 32 4.

Welke grafiek hoort bij de functie 𝑓: 𝑥 →

1

? 𝑒 (𝑥−2)



y









c



b





a 













O











x





1. a. 2. b 2,AppB/ 3. c Bereken bv. het snijpunt met de y-as door x=0 in te vullen. Dit geeft

1 𝑒 −2

≈ 7,39. De enige

grafiek die door het punt (0;7,39) gaat is grafiek b.

5.

Gegeven is de functie f met het functievoorschrift 𝑓: 𝑥 → √𝑥 2 − 2. Wat is het Domein van functie f?

Wiskunde

20 maart 2014

versie 1

-3-

1. ⟨←, −√2] en [√2, →⟩1,H7/ 2. [0, →⟩ 3. ℝ Beredeneer welke waarden in het functievoorschrift passen. Onder wortel mag geen negatief getal komen te staan. Er moet dus gelden: 𝑥 2 − 2 > 0. Los deze ongelijkheid op, dan zie je dat deze alleen waar is als 𝑥 > √2 of als 𝑥 < −√2 6.

Het Centraal Bureau voor de statistiek rapporteert: “In 2013 kwamen er 162 duizend immigranten naar Nederland. De grootste groep migranten is afkomstig uit Polen. Per saldo vestigden zich in 2013 bijna 10 duizend in Polen geboren personen in Nederland.” Wat w as in 2013 het percentage Polen ond er d e im m igranten naar N ed erland ? 1. Ongeveer 0,06% 2. Ongeveer 6%2,29/ 3. Ongeveer 16%

Het percentage Polen is (bijna) 10000/162000. Dit is ongeveer 0,062, ongeveer 6%

LET OP - U heeft van dit tentamen versie 1 gemaakt. Geef dit aan in de versiecode op het meerkeuzeformulier.

OP DE VOLGENDE PAGINA VINDT U DE OPEN VRAGEN

Wiskunde

20 maart 2014

versie 1

-4-

Open vragen Let op: u kunt alleen punten voor een antwoord ontvangen als u laat zien hoe u aan het antwoord bent gekomen door redeneerstappen of berekeningen op te schrijven. 1. Gegeven zijn de functies 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 2 en 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 + 3𝑥 − 4. a) Bepaal de snijpunten met de x-as en met de y-as voor de grafiek van f. (1 punt). Snijpunt y-as: 𝑓(0) = −2, dus snijpunt is (0, −2). Snijpunt x-as: 2𝑥 − 2 = 0. Dit klopt voor 𝑥 = 1, dus snijpunt is (1,0) b) Bepaal de snijpunten met de de x-as en met de y-as voor de grafiek van g (als deze snijpunten er zijn). (2 punten) Snijpunt y-as: (0, –4). Snijpunten x-as: Los op 𝑥 2 + 3𝑥 − 4 = 0. Ontbinden met productsommethode: (𝑥 − 1)(𝑥 + 4) = 0 Oplossingen zijn x = 1 of 𝑥 = −4. Dit kan ook met de abc-formule. Snijpunten met de x-as zijn (1,0) en (-4,0). c) Bepaal of de grafieken van f en g elkaar snijden en zo ja, bereken de coördinaten van het snijpunt of de snijpunten. (2 punten) Stel de functievoorschriften aan elkaar gelijk om de x-coördinaten van de snijpunten te vinden. 2𝑥 − 2 = 𝑥 2 + 3𝑥 − 4 𝑥2 + 𝑥 − 2 = 0 Ontbinden met productsommethode: (𝑥 − 1)(𝑥 + 2) = 0 Oplossingen zijn x = 1 of 𝑥 = −2. Vul deze waarden in in het functievoorschrift van f of van g om de bijbehorende y-coördinaten te vinden, dit geeft: (−2, −6) en (1,0) d) Schets de grafieken van f en g in een assenstelsel. (1 punt) 

y

f 





g 













O 



















x



Wiskunde

2.

20 maart 2014

versie 1

-5-

3𝑦 = 𝑦 − 6𝑥 a. Los op: { (2 punten) 2𝑥 = −𝑦 + 1 Stelsel van twee eerstegraadsvergelijkingen. Met substitutiemethode: Herschrijf bovenste vergelijking 3𝑦 = 𝑦 − 6𝑥 2𝑦 = −6𝑥 𝑦 = −3𝑥 Substitueer voor y in de onderste vergelijking −3𝑥: 2𝑥 = 3𝑥 + 1 −𝑥 = 1 𝑥 = −1 Invullen in één van de twee vergelijkingen levert 𝑦 = 3 Oplossing (−1,3) b. Los op: 2log 𝑥 + 2log(𝑥 − 4) = 2log 12 (3 punten) 2

log 𝑥 (𝑥 − 4) = 2log 12

Dus moet gelden: 𝑥(𝑥 − 4) = 12 𝑥 2 − 4𝑥 − 12 = 0 Ontbind in factoren: (𝑥 − 6)(𝑥 + 2) = 0 of gebruik abc-formule. Oplossingen: 𝑥 = 6 of 𝑥 = −2. Logaritmen kunnen geen negatieve getallen aan, dus de enige oplossing is 𝑥 = 6

3. Het aantal muizen in een bepaald gebied neemt exponentieel toe met de formule 𝑀 = 𝐵 ∙ 1,70𝑡 Hierbij stelt M het aantal muizen voor, t is de tijd in aantal jaren, en B is het aantal muizen waarmee het begon bij t = 0. Neem aan dat er in het begin 8 muizen waren (dus B = 8). a. Hoeveel muizen zijn er na 10 jaar? Rond af op hele muizen. (1 punt) 𝑀 = 8 ∙ 1,7010 ≈ 1613. Na 10 jaar zijn er 1613 muizen. b. Na hoeveel jaar zijn er 10.000 muizen? Rond naar boven af op hele jaren. (2 punten) Los de vergelijking 8 ∙ (1,70)𝑡 = 10000 op voor t, dat is het aantal jaren dat het duurt voordat er 10000 muizen zijn. 1,70𝑡 = 1250. Neem aan weerszijden de logaritme met het grondtal 1,70:

Wiskunde 𝑡=

1,70

log 1250 =

20 maart 2014 log 1250 log 1,70

versie 1

-6-

≈ 13,4 Naar boven afronden op hele jaren: na 14 jaren waren er

10000 muizen. Toen er 15.000 muizen waren kwam een uilenfamilie in het gebied wonen. Sindsdien nam het aantal muizen af met de formule 𝑀 = 𝑈 ∙ 𝑔𝑡 . In deze formule staat M weer voor het aantal muizen in een bepaald jaar, U staat voor het aantal muizen toen de uilen erbij kwamen (dus 15.000), t is weer de tijd in jaren en g is de groeifactor. Vijf jaar (dus als t = 5) nadat de uilen in het gebied kwamen wonen is het aantal muizen afgenomen tot 10.000. c. Bepaal de groeifactor g in twee decimalen nauwkeurig. (2 punten) 10000 = 15000 ∙ 𝑔5 𝑔5 =

10000 2 = 15000 3

5 2 𝑔 = √ ≈ 0,92 3

De groeifactor g = 0,92

Punten mc:

0-2 goed: 0 pt; 3 goed: 1 pt; 4 goed: 2 pt; 5 goed: 3 pt; 6 goed: 4 pt.

Punten open vragen: maximaal 16 Eindcijfer = 1 + (punten mc +

punten open vragen 2

9

) ∙ 12