1
Wiskunde binnen de economische wetenschap
De wiskunde is een nuttig en krachtig instrument behulpzaam bij het formuleren en het oplossen van een brede waaier van economische problemen. Aan de hand van enkele voorbeelden wil ik deze stelling ondersteunen. Elk voorbeeld zal illustreren dat de verbale aanpak nuttig en relevant is maar vaak tekortschiet om een precies antwoord te formuleren. We gaan van start met een typische macro-economische redenering (naar Berlage en Decoster, 2005, p50): Als de Belgische frank duurder wordt, dan worden onze producten in het buitenland duurder en dus gaat onze export afnemen. De daling van de export leidt tot een toename van de werkloosheid in de Belgi¨e. Daardoor zal de consumptie teruglopen. Ook de overheidsontvangsten zullen dalen, want er worden minder belastingen betaald. Dat verhoogt het overheidsdeficit, wat op zijn beurt de intrestvoet opdrijft. Daardoor versterkt de Belgische frank, ... We merken meteen op dat het gaat om een redenering. Constructies en termen zoals als ..., dan,
dus,
daardoor,
want,
...
wijzen op het voeren van een argumentatie. Het voorbeeld illustreert bovendien hoe moeilijk het is om verbaal de draden bij elkaar te houden. De export, werkloosheid, consumptie, belastingen, overheidsschuld, intrestvoet zijn allemaal economische grootheden. De economische wetenschap bestudeert dergelijke grootheden en de verbanden ertussen. Binnen de wiskunde is het begrip functie ontworpen om dergelijke verbanden te beschrijven. Het is precies daarom dat economen zo dikwijls een beroep doen op wiskundige modellen opgebouwd met behulp van allerlei functies. We werken een tweede voorbeeld—uit de micro-economie—iets verder uit. We bekijken het gebruik van functies bij het modelleren van een consument. De individuele vraag naar een goed hangt onder meer af van de eenheidsprijs van dat goed. We voeren de volgende notatie in: • p = de prijs per eenheid, • q = het gevraagde aantal eenheden. Dat de gevraagde hoeveelheid afhankelijk is van de prijs per eenheid kan dan beschreven worden door de functie f : R+ −→ R+ : p 7−→ q = f (p). We lezen: f is een functie van R+ naar R+ , die een prijs p in R+ afbeeldt op de gevraagde hoeveelheid q = f (p).1 Dergelijke functies zullen zelden in vol ornaat ten tonele gebracht worden. Men zal bijna altijd afkorten tot: 1
Het domein van f is R+ . De vraagfunctie geeft voor ‘elk’ getal in R+ de corresponderende gevraagde hoeveelheid. De uitkomsten of beelden behoren tot R+ . Hoeveelheden zijn nu eenmaal niet negatief.
1
Het verband tussen de prijs per eenheid p en de gevraagde hoeveelheid q wordt beschreven door de functie f : p 7→ q = f (p). Eenmaal het begrip ‘vraagfunctie’ gekend is, volstaat het volgende: We beschouwen een bepaald goed. We noteren met p de prijs per eenheid, met q de gevraagde hoeveelheid, en met f de vraagfunctie. Het is hierbij goed om de gevraagde hoeveelheid q (dit is een bepaald getal) te onderscheiden van de vraagfunctie f (een verband tussen p en q). De pijltjes → en 7→ in de notatie zijn bijzonder suggestief. De functie f is een input-output-machine. Je stopt een prijs p in de machine f en de machine genereert als output de corresponderende gevraagde hoeveelheid f (p).2 Naast de prijs per eenheid speelt ook het inkomen van de individuele consument een belangrijke rol in de vraagfunctie. We noteren het inkomen met y. De gevraagde hoeveelheid hangt nu af van twee variabelen. Voluit geschreven, hebben we: f : R+ × R+ −→ R+ : (p, y) 7−→ q = f (p, y). Met het oog op een visuele ondersteuning van bepaalde redeneringen, worden dikwijls parti¨ele functies in grafiek gebracht. Een parti¨ele functie ontstaat uit een functie met twee (of meer) argumenten door slechts ´e´en van de variabelen te laten bewegen. Voor elk koppel (p, y) genereert de vraagfunctie f twee parti¨ele functies, met name f (p, . ) : R+ −→ R+ : y 7−→ q = f (p, y), f ( . , y) : R+ −→ R+ : p 7−→ q = f (p, y). De parti¨ele functie f ( . , y) beschrijft het effect van prijswijzigingen op de gevraagde hoeveelheid, het inkomen wordt hier geparkeerd op het vaste niveau y. Door twee parti¨ele functies f ( . , y0) en f ( . , y1)—gekoppeld aan twee inkomensniveaus y0 en y1 met y0 < y1 —met elkaar te vergelijken, kan het effect van een stijging in het inkomen bestudeerd worden. De grafieken zijn als volgt:3 2
Dikwijls wordt het voorschrift q = f (p) gebruikt als verwijzing naar de functie f . Deze afkorting laat het ‘functie-zijn’ van f enigszins verwateren. Net zoals f (1) is ook het getal f (p) of f (x) geen functie. Zinsneden zoals ‘de functie f (x)’ of ‘f (x) is continu’ hebben even weinig zin als ‘de functie f (1)’ of ‘f (1) is continu’. Continu¨ıteit, afleidbaarheid, convexiteit, ... zijn eigenschappen van de functie f en niet van een functiewaarde! We geven nog een voorbeeld: x2 is geen functie, x2 is het kwadraat van x. De kwadrateerfunctie is een input-output-machine: stop er x in en er komt x2 uit. We noteren dit als x 7→ x2 . Deze notatie kan zonder verlies vervangen worden door z 7→ z 2 , of door t 7→ t2 , of door β 7→ β 2 ,... Om het even welke letter kan gebruikt worden om de werking van de kwadrateerfunctie te beschrijven. Deze vrijheid laat ons toe om letters te kiezen die naar de specifieke contekst verwijzen: e.g. p voor de prijs per eenheid en q voor de gevraagde hoeveelheid (quantity). 3
Economen tekenen de vraag naar een goed in het (q, p)-vlak met de q-as horizontaal en de p-as verticaal. Zij tekenen dus de grafiek van de inverse vraagfunctie.
2
prijs
f ( . , y0 )
p f ( . , y1 ) q0
q1
gevraagde hoeveelheid
De tekening is gebaseerd op de eerste graadsfunctie f : (p, y) 7→ a − b p + c y met a, b, en c positieve parameters. Voor elk prijsniveau heeft de expansie van het budget een positief effect op de gevraagde hoeveelheid: voor elke p geldt dat q0 = f (p, y0 ) < q1 = f (p, y1). De expansie van het inkomen y verschuift de grafiek van de parti¨ele vraagfunctie f ( . , y) naar boven. In de economie worden de effecten van een wijziging in een exogene grootheid dikwijls ondersteund en verduidelijkt met dergelijke tekeningen. Inzicht in het fenomeen ‘parti¨ele functie’ levert meteen ook inzicht in het onderscheid tussen een beweging ‘op’ de grafiek en een beweging ‘van’ de grafiek. Deze vraagfuncties zijn bijzonder nuttig in de theorie van het consumentengedrag. Nochtans is het moeilijk om zo een vraagfunctie te observeren. We zouden dan een experiment moeten uitvoeren waarbij we telkens de gevraagde hoeveelheden noteren, terwijl we het individu voortdurend confronteren met verschillende prijzen en inkomens.4 Daarom zal de econoom dikwijls modellen hanteren met niet gespecifieerde functies. De econoom kan dan veronderstellen dat de vraagfunctie dalend is in p en stijgend in y. Laten we nu overstappen van de individuele vraag naar de marktvraag en deze confronteren met het marktaanbod. Notatie: • p = de eenheidsprijs van het goed, • QV = de marktvraag naar het goed, • QA = het marktaanbod van het goed. De marktvraag is de som van alle individuele gevraagde hoeveelheden, en het marktaanbod is de som van alle individuele aangeboden hoeveelheden. We gebruiken de hoofdletter Q, het subscript V (resp. A) verwijst naar de vraagzijde (resp. aanbodzijde). De functies 4
Markten onderhevig aan prijsschommelingen zoals de markt van brandstoffen of de wisselmarkt zijn omgevingen waar de reactie van de consument op een prijswijziging gemakkelijker observeerbaar is.
3
die de p-afhankelijkheid van de markt beschrijven, noteren we met fV en fA . De markt is de ‘abstracte’ plaats waar vragers (kopers) en aanbieders (verkopers) met elkaar in contact treden. De markt is in evenwicht indien er geen vraag- of aanbodoverschotten zijn. Dit evenwicht wordt bereikt bij die prijs die ervoor zorgt dat gevraagde en aangeboden hoeveelheid precies aan elkaar gelijk zijn. De evenwichtsprijs, genoteerd met p∗ , is bijgevolg de oplossing van het stelsel ∗ ∗ (gedrag consument), QV = fV (p ) ∗ ∗ (gedrag producent), QA = fA (p ) ∗ ∗ QV = QA (evenwicht). We onderkennen twee types van vergelijkingen in dit stelsel. De eerste en tweede lijn van het stelsel modelleren de marktvraag en het marktaanbod. Hier herkennen we de functievoorschriften die beschrijven hoe consumenten en producenten reageren op een prijs. Deze vergelijkingen noemen we gedragsvergelijkingen. In de derde lijn wordt opgelegd dat de gevraagde hoeveelheid samenvalt met de aangeboden hoeveelheid. Deze vergelijking noemen we de evenwichtsvergelijking. Het marktevenwicht, i.e. de oplossing van het stelsel, kunnen we verkorten tot (p∗ , Q∗ ).5
We brengen nu naast de vraag- en de aanbodzijde een derde speler ten tonele: de overheid. De overheid kan ingrijpen op het marktgebeuren via het innen van een belasting. We bekijken een vaste belasting van t euro per verhandelde eenheid. Dit wil zeggen dat de consument bij de aankoop van een eenheid t euro meer betaalt dan wat de producent ontvangt. De vaste belasting drijft een wig tussen de producenten- en de consumentenprijs. We moeten bijgevolg deze twee prijzen van elkaar onderscheiden. Dit betekent extra notatie: • pV = de eenheidsprijs die de consument (vraagzijde) betaalt, • pA = de eenheidsprijs die de producent (aanbodzijde) ontvangt. De introductie van de belasting verstoort het oorspronkelijke evenwicht (p∗ , Q∗ ). In de nieuwe contekst bekomen we het volgende stelsel: ∗ QV = fV (p∗V ) (gedrag consument), Q∗ = f (p∗ ) (gedrag producent), A A A ∗ ∗ (de overheid int een vaste belasting), pV = pA + t ∗ ∗ QV = QA (evenwicht). 5
Indien we met QV = fV (p) zouden verwijzen naar de functie fV , dan botsen we op volgend probleem. Enerzijds zouden we met QV = fV (p) een functie noteren, anderzijds noteren we met Q∗ = fV (p∗ ) een specifieke functiewaarde. Dit dubbel gebruik van in wezen dezelfde notatie verhoogt geenszins de transparantie. Nogmaals, de notaties fV versus fV (p∗ ) laten toe om de vraagfunctie te onderscheiden van een gevraagde hoeveelheid.
4
De introductie van de overheid verplicht ons over te stappen van een stelsel met drie naar een stelsel met vier vergelijkingen in vier onbekenden. De oplossing van dit stelsel, i.e. het evenwicht na de introductie van de belasting, kan nu genoteerd worden met een triple (p∗V,t , p∗A,t , Q∗t ). Het subscript t werd toegevoegd, en Q∗t staat voor Q∗V,t (= Q∗A,t ). Tenslotte, indien je de belasting t op 0 zet, dan keer je terug naar het vorige model. Verdere vragen borrelen op. Hoe groot is het effect op de verhandelde hoeveelheid, op de omzet ? Zal de belasting vooral afgewenteld worden op de consument of eerder op de producent ? Met andere woorden, hoe groot is Q∗t ten opzichte van Q∗ , en Q∗t × p∗A,t ten opzichte van Q∗ × p∗ ? Hoe positioneert de oorspronkelijke evenwichtsprijs p∗ zich ten opzichte van p∗A,t en p∗V,t ? Wat is het effect van een belastingverhoging op de inkomsten van de overheid ? Stuk voor stuk onderzoeksvragen voor de econoom. De verbale of de meer intu¨ıtieve benadering is hierbij bijzonder belangrijk, hieruit zal de econoom inspiratie putten. De formele aanpak is echter noodzakelijk om een meer precies antwoord te geven, om een zicht te krijgen op de omvang van de effecten, om de essenti¨ele parameters op te sporen in dergelijke oefeningen (i.c. de prijselasticiteiten van vraag en aanbod). Indien men een meer concrete oefening wil opstellen, dan kan men in het oorspronkelijke evenwicht (p∗ , Q∗ ) de functies fV en fA benaderen door eerste graadsfuncties. Dit is een mooie toepassing op het begrip afgeleide. De volgende tekening illustreert deze gedachte. prijs
QA = −γ + δp
aanbod
p∗
• vraag
QV = α − βp Q∗
hoeveelheid
De tekening toont de grafieken van de inverse marktvraag en het inverse marktaanbod in de buurt van het evenwichtspunt. In het evenwichtspunt raakt de rechte met vergelijking QV = α − βp aan de grafiek van fV−1 en de rechte met vergelijking QA = −γ + δp aan de grafiek van fA−1 . De parameters α, β, γ, en δ zijn allemaal positief. Wanneer we deze benadering gebruiken, dan bekomen we het stelsel ∗ ∗ QV = α − βp , Q∗ = −γ + δp∗ , A Q∗V = Q∗A , 5
> 0 en evenwichtsvolume Q∗ = αδ−βγ . Deze uitkomst is met als evenwichtsprijs p∗ = α+γ β+δ β+δ zinvol zodra αδ − βγ ≥ 0. De introductie van een vaste belasting verschuift dit evenwicht t α+γ−β t αδ−βγ−βδ t naar (p∗V,t , p∗A,t , Q∗t ) = ( α+γ+δ , β+δ , ). β+δ β+δ Een laatste voorbeeld vinden we bij de bespreking van de outputbeslissing van de onderneming. In dit kader wordt winstmaximalisatie als werkhypothese vooropgezet. Winst is het verschil tussen ontvangsten en kosten. We bekijken enkel de ontvangstenzijde, dit is de prijs per eenheid vermenigvuldigd met het aantal verkochte eenheden. In een omgeving van volmaakte mededinging wordt verondersteld dat de ondernemer een prijsnemer is—i.e. in zijn eentje kan de ondernemer de prijs per eenheid niet be¨ınvloeden–, en dat de markt voldoende groot is om zijn volledige aanbod te verhandelen. De ontvangsten voor deze ondernemer worden dus beschreven door de functie q 7−→ p × q, met p in R+ de marktprijs en q de aangeboden hoeveelheid. Indien het gaat om een monopolist, dan wijzigt de ontvangstenzijde. De monopolist is de enige die het product op de markt brengt en kan dus zelf een prijs zetten. Om zijn ontvangsten in te schatten, gebruikt hij de marktvraag. De ontvangsten van de monopolist worden nu beschreven door de functie q 7−→ PV (q) × q, met PV de inverse marktvraag. Inderdaad, indien de monopolist q eenheden wil verkopen, dan moet hij die prijs p zetten die voldoet aan q = QV (p) of p = PV (q) met PV de inverse van QV . Elk van de aangehaalde voorbeelden illustreert de transparantie en de voordelen van een wiskundige analyse. Bij de bouw van een model moet de econoom beslissen welke variabelen worden opgenomen en welke niet. Om een bredere kijk te ontwikkelen, kan hij een beperkt model verrijken. Omgekeerd, kan een complex model ook vereenvoudigd worden. Telkens moet de econoom de nodige veronderstellingen expliciet noteren en motiveren. Hier wordt hij uitgenodigd om de robuustheid van een resultaat te onderzoeken: wat gebeurt er indien een veronderstelling wijzigt of afgezwakt wordt, of indien een variabele wordt toegevoegd ? De voorbeelden illustreren ook dat het beschikken over een kookboek vol met recepten voor het berekenen van een afgeleide, het berekenen van een integraal, het oplossen van een kwadratische vergelijking, het oplossen van een stelsel, het berekenen van een limiet, het berekenen van een reekssom, ... ruimschoots onvoldoende is om inzicht te krijgen in een economisch probleem. Wiskunde wordt bruikbaar en toepasbaar wanneer de concepten centraal staan. Waarom en wanneer gebruiken we een afgeleide, een integraal, een reekssom, ... ? Het zijn deze vragen en de antwoorden erop die een begrip kunnen bijbrengen en verduidelijken. Pas wanneer de concepten ontwikkeld zijn, kunnen de wiskundige technieken hierop ge¨ent worden en vrucht dragen.
6
2
Schrijven en voorlezen
Wiskunde is het vak bij uitstek om zich te bekwamen in het redeneren, het abstraheren, het argumenteren, ... Het goed leren communiceren is hierbij uiterst belangrijk. Uitleggen wat je precies bedoelt en precies uitleggen wat je bedoelt, zijn geen gemakkelijke opdrachten. Het beheersen van een taal is een eerste vereiste. Omdat de moedertaal nu eenmaal bovenaan de lijst van de gekende talen staat, ligt het voor de hand om wiskunde aan te brengen in die moedertaal. Wel zal men af en toe moeten wijzen op verschillen tussen de spreektaal en de taal van de wiskunde. Het typische voorbeeld is het ‘als-dan’-fenomeen. Met een zin zoals Als het morgen goed weer is, dan ga ik met mijn vriendin tennissen,
(1)
bedoelt men vaak ook Als het morgen geen goed weer is, dan ga ik niet tennissen.
(2)
Nochtans geeft uitspraak (1), strikt genomen, geen enkele informatie omtrent wat er morgen zal gebeuren in geval van slecht weer. In een logische argumentatie zal men steeds de strikte betekenis aanhouden. De uitspraak Als x gelijk is aan 1, dan is x2 gelijk aan 1,
(3)
mag dus niet verward worden met Als x verschilt van 1, dan verschilt x2 van 1.
(4)
Merk op dat uitspraken (3) en (4) van elkaar verschillen. Uitspraak (3) is waar en uitspraak (4) is vals. Inderdaad, voor x gelijk aan −1 (verschillend van 1) is x2 toch gelijk aan 1. De regels die gebruikt worden in wetenschappelijke teksten zijn absoluut duidelijk. De uitspraken “ als ..., dan ... ”
of
“ uit ..., volgt dat ... ”
betekenen exact wat er staat, niets meer en ook niets minder. De uitvinding van symbolen voor allerlei berekenbare concepten zorgt ervoor dat binnen de wiskunde een compacte taal gebruikt kan worden. Dit is dikwijls een stap voorwaarts. Zo gebruiken we f ′ (a) als een afkorting voor lim
h→0
f (a + h) − f (a) , h
waarbij f : R → R een afleidbare fuctie is. Een goede keuze van afkortingen of van notatie is bijzonder belangrijk. Soberheid en veiligheid zijn twee criteria waaraan voldaan moet zijn. Zo is in de afkorting f ′ (a) elke essenti¨ele bouwsteen van het begrip afgeleide opgenomen: de functie f , het punt a waarin 7
de afgeleide berekend wordt, en het accent ′ verwijst naar “afgeleide”. De afgeleide functie kan dan genoteerd worden als f ′ . Er zitten geen overbodigheden in de afkortingen.6 Deze notaties zijn sober. df De historische notatie dx (x) suggereert dat de afgeleide een quoti¨ent zou zijn. Dit is pertinent fout: de afgeleide is geen quoti¨ent, de afgeleide is de limiet van een quoti¨ent. df (x) is Bovendien heeft de “dx in de noemer” geen enkele betekenis. Besluit: de notatie dx niet echt veilig. Onzorgvuldig gekozen notatie of slordig taalgebruik kunnen een gedeeltelijke of een gehele verduistering veroorzaken. Ik geef twee voorbeelden. Het eerste beschrijft de evolutie van een populatie. De volgende tekst komt uit een jong handboek.
Een vaak gebruikte hypothese stelt dat de mate waarin een populatie op een bepaald tijdstip aangroeit of inkrimpt, recht evenredig is met de grootte van de populatie op dat moment (genoteerd als P (t)) en ook recht evenredig met de lengte van de tijdsperiode waarover we de verandering bekijken. Wanneer we de evenredigheidsconstante noteren met behulp van α, dan kunnen we dit wiskundig neerschrijven als ∆P = α P (t) ∆t, of na limietovergang dP = α P dt. Dit is een gewone differentiaalvergelijking ...
Deze argumentatie is moeilijk te begrijpen. Over welke limietovergang gaat het hier ? Wat is de betekenis van ∆t → dt en van ∆P → dP ? Dergelijke duistere overgangen zijn eenvoudig te vermijden. De notaties dt en dP —wat hun betekenis ook moge wezen—zijn volstrekt overbodig.7 Het begrip afgeleide is voldoende om tot de differentiaalvergelijking te komen. Laten we de tekst als volgt herschrijven.
6 7
Zo kan de notatie
Rb a
f (x) dx voor een bepaalde integraal vereenvoudigd worden tot
Rb a
f.
Het jonge handboek hanteert de betekenis “oneindig kleine toename”. Indien met dit concept een re¨ele toename bedoeld wordt die kleiner is dan elk willekeurig positief re¨eel getal, dan kan een oneindig kleine toename alleen maar een 0-toename zijn. De bijdrage van dit concept is dan meteen ook nihil!
8
De wijziging P (t + h) − P (t) in de populatiegrootte is evenredig met P (t) en met de lengte h van de tijdsperiode waarover we de wijziging bekijken, i.e. P (t + h) − P (t) = α h P (t)
P (t + h) − P (t) = α P (t). h
of nog
Veronderstel nu dat de functie P afleidbaar is en neem de limiet h → 0. We bekomen P ′(t) = α P (t). Dit is een gewone differentiaalvergelijking ...
De overbodige symbolen (dP en dt) en de duistere overgangen (∆ → d) werden verwijderd. De begeleidende tekst is helder en verhelderend. Als tweede voorbeeld presenteer ik twee versies van het bewijs van de uniciteit van een maximum. De eerste versie is gecopieerd uit een oud handboek.
Stelling. Een niet-ledige deelverzameling van R heeft ten hoogste ´e´en maximum. Bewijs. Uit het ongerijmde. Veronderstel a en b zijn maxima van A en a 6= b. a is maximum van A
∧
b is maximum van A
⇓ (a ∈ A | {z } |
|
∧
⇓ ∀x ∈ A : x ≤ a) | {z
∧
||
⇓
{z
b≤a |
{z ⇓
(b ∈ A }
∧
∀x ∈ A : x ≤ b) | {z }
⇓
|
}
a≤b }
a=b in strijd met de veronderstelling.
2
De tweede versie brengt dezelfde redenering dichter bij de spreektaal.
9
Stelling. Zij A een niet-ledige deelverzameling van R. Dan heeft A ten hoogste ´e´en maximum. Bewijs. Veronderstel dat a en b maxima zijn van A. We moeten dan aantonen dat a en b aan elkaar gelijk zijn. Welnu, uit de veronderstelling volgt dat a en b beide tot de verzameling A behoren. Verder is a groter dan of gelijk aan elk element van A. In het bijzonder geldt a ≥ b. Ook b is groter dan of gelijk aan elk element van A. Bijgevolg b ≥ a. We hebben aldus twee ongelijkheden: a ≥ b en b ≥ a. Hieruit volgt dat a en b inderdaad aan elkaar gelijk zijn. 2 De argumentatie wordt gebracht in de moedertaal van de student. Er is geen transliteratie meer nodig. De zinnen zijn eenvoudig en grammaticaal correct. Het verhaal is duidelijk en heeft het voordeel dat het kan worden verteld tijdens een wandeling, zonder papier, zonder bord. De tekst kan luidop voorgelezen worden. En dit is de ultieme test voor een argumentatie. Goede communicatie is pas mogelijk wanneer de schrijver of de spreker volwaardige en betekenisvolle zinnen gebruikt. De voorleestest is een eerste middel om gebreken op te sporen. Studenten die zich een goede schrijf- of argumenteerstijl willen eigen maken, kunnen zichzelf dus voortdurend testen. De zinnen die zij neerschrijven bij het oplossen van een oefening moeten de voorleestest doorstaan. Een tekst die de voorleestest niet doorstaat, moet herschreven worden. Als de oplossingen kunnen voorgelezen worden als normale betekenisvolle zinnen, dan zit het wellicht snor.
10
3
Inhoud
De zomercursus is opgebouwd rond vier thema’s: (i) Elementaire vaardigheden, (ii) Functies, (iii) Afgeleiden en integralen, (iv) Lineaire algebra en meetkunde. In het eerste deel wordt de ‘spelling’ van de taal van de wiskunde nog even overlopen. Waar een schrijffout in een roman meestal onschadelijk is, zo kan een schrijffout in een wiskundige uitdrukking wel ‘fatale’ gevolgen hebben.8 Dit deel vervolgt met wat elementaire logica en sluit af met eenvoudige telproblemen. Het tweede deel bespreekt allerlei aspecten van het concept ‘functie’. Functies zijn, zeker in economische toepassingen, zowat de werkwoorden van de wiskunde. Dit gedeelte is dan ook veruit het grootste in omvang. De logaritme en de exponenti¨ele worden opgefrist. Functies duiken ook al eens op om problemen te modelleren (leningen, de Yatzy). Het derde deel gaat verder in op functies. Nu zijn de begrippen afgeleide en integraal aan de orde. In de metafoor van ‘functies als werkwoorden’ stemmen ‘afleiden en integreren’ overeen met het vervoegen van de werkwoorden. Onontbeerlijk dus. Het vierde deel behandelt enkele topics uit de lineaire algebra. Matrices worden ten tonele gebracht en gebruikt om lineaire stelsels op te lossen. Ook hier komt het modelleren af en toe aan bod. Problemen binnen een bepaalde contekst worden omgezet naar een wiskundig probleem, worden opgelost, en besproken.
8
Veronderstel even dat er een typefout sluipt in de winstfunctie W van een producent: 2 3 W : q 7−→ 17 q − q − 15 q 2 + 135 q , 3
met q de aangeboden kwantiteit. Zonder typefout had er gestaan: 2 3 2 q − 15 q + 135 q , W : q 7−→ 107 q − 3 een nulletje (0) meer in de eerste term van de winstfunctie. Deze producent, die zijn winst (zonder de typefout) maximaliseert in het punt q ∗ = 14, wordt “dankzij” deze typefout geadviseerd het bedrijf te sluiten. De maximale winst (met de typefout) wordt bereikt in q ∗ = 0.
11
4
Literatuur
Berlage L en A Decoster, 2005, Inleiding tot de economie, Universitaire Pers Leuven. Halmos PR, 1985, I want to be a mathematician, an automathography, Springer-Verlag New York Inc. Quaegebeur J, 1996, Wiskunde voor economisten, Wolters Leuven. Steenrod NE, PR Halmos, MM Schiffer, JA Dieudonn´e, 1981, How to write mathematics, Rhode Island: American Mathematical Society. Thomson W, 1999, The young person’s guide to writing economic theory, Journal of Economic Literature 37 (1), 157-183. Thomson W, 2001, A guide for the young economist, MIT Press.
12
