Financiële Algebra. wegens inflatie kan geld aan koopkracht verliezen, een zekere 1 nu wordt verkozen boven een onzekere 1 later

Financiële Algebra

Het is duidelijk dat geld een (positieve) tijdwaarde heeft: een individu verkiest consumptie nu boven een toekomstige consumptie en verwacht een beloning voor de derving van onmiddellijke consumptie, wegens inflatie kan geld aan koopkracht verliezen, een zekere € 1 nu wordt verkozen boven een onzekere € 1 later. We beschrijven eerst hoe deze tijdwaarde kan uitgedrukt worden voor één kasstroom. Hierbij gaan we in het bijzonder in op samengestelde intrestrekening, waarna ook nominale rentevoeten verrekend per deelperiode aan bod komen. Vervolgens bekijken we de situatie waarbij meerdere kasstromen betrokken zijn. Na een algemene bespreking van annuïteiten behandelen we slotwaarde en aanvangswaarde van (constant dadelijk ingaande) postnumerando perpetuïteiten en annuïteiten. Hierna komen prenumerando annuïteiten en exponentieel groeiende perpetuïteiten aan bod, met als toepassing het “Dividend Discount Model” voor aandelen. Het gebruik en de berekening van netto contante waarde (“net present value”) en interne rentabiliteit (“internal rate of return”) komen vervolgens aan bod. We bespreken aansluitend obligaties en het gebruik van financiële functies in Excel. Talrijke opgaven ronden het geheel af.

Bank- en beurswezen, Financiële algebra (Paul Verheyen)

1

1 Tijdwaarde van geld: één kasstroom 1.1 Inleiding De situatie waarbij je in ruil voor € 1 000 op het moment 0 er € 1 200 ontvangt op het moment 2, schematisch voorgesteld door een tijdlijn: Tijd (in jaar)

0

Waarde (in €)

1 000

2 1 200

heeft een return op 2 jaar van

1200 − 1000 200 = = 0,2 1000 1000

( 01 ) = 20% .∗

Een dergelijke return heeft nadelen in verband met de manier van toewijzen over de verschillende jaren en levert moeilijk vergelijkbare getallen op. Wat is namelijk beter: 10% op 1 jaar of 20% op 2 jaar? Daarom wordt de rente 1°) geannualiseerd en 2°) betrokken op de beginwaarde (“intrestrekening”) of betrokken op de eindwaarde (“discontorekenen”). Het lineair annualiseren levert de enkelvoudige intrest en de handelsdiscontovoet op, terwijl exponentieel annualiseren leidt tot samengestelde intrest en wiskundig disconto. De corresponderende enkelvoudige intrestvoet k wordt bepaald door de verkregen rente lineair te annualiseren en te betrekken op de aanvangswaarde 1000: 1200 − 1000 100 2 k= = = 0,1 = 10% 1000 1000 met (boek)waarde Wt op het moment t gelijk aan

1000 ⋅ (1 + t ⋅ k ) .

∗

Opmerking: we noteren in deze tekst getallen met een komma, waarbij een spatie de scheiding is voor duizendtallen. We wijzen hier op het feit dat je zeer voorzichtig moet zijn met het gebruik van punten en komma’s in Excel. Deze worden bepaald door de regionale instellingen in het (Windows)besturingssysteem. Het symbool “°/1” lees je als ‘peruun’ (“per une” d.w.z. per munteenheid, hier € 1) en wordt meestal weggelaten: 0,1 staat voor 10%. In formules hanteren we rentevoeten dan ook steeds als een “perunage” en niet als een percentage.

2


De overeenkomstige handelsdiscontovoet δ wordt bekomen door de lineair geannualiseerde rente te betrekken op de slotwaarde 1200: 1200 − 1000 100 2 δ= = ≈ 8,33% 1200 1200 met boekwaarde Wt = 1200 ⋅ (1 − 2 − t  ⋅ δ ) voor 0 ≤ t ≤ 2.

De samengestelde intrestvoet r wordt bepaald uit 1200 = 1000 ⋅ (1 + r ) , 2

d.w.z.

r = 1,2 − 1 ≈ 9,54% . Als boekwaarde bekomen we Wt = 1000 ⋅ (1 + r ) . t

Het wiskundige of samengestelde disconto d wordt gevonden uit 1000 = 1200 ⋅ (1 − d) . 2

1.2 Alleen samengestelde intrestrekening is consistent Wat betreft renteberekeningen is alleen samengestelde intrestrekening consistent. Beschouw de volgende situatie (over een periode van twee jaar): een belegging van € 100 brengt gedurende het eerste jaar 100% op, maar het volgende jaar is er een verlies van 50%. Men zegt hierbij soms (foutief) dat dit op 2 jaar een rendement geeft van 100% - 50% = 50%, en dus op 1 jaar een rendement van 25%. In werkelijkheid werd € 100 na 1 jaar € 200, en vervolgens op het einde van het tweede jaar € 100, wat een rendement r van 0% oplevert: 100 · (1 + 1) · (1 - 0.5) = 100 · (1+ r)2.


3

1.3 Samengestelde intrest In wat volgt concentreren we ons op de consistente manier van berekenen via samengestelde intrest. De algemene formule voor de situatie waarbij je in ruil voor een bedrag V0 op het moment 0 een bedrag Vn bekomt op het moment n, schematisch voorgesteld door Tijd (in jaar)

0

n

Waarde (in €)

V0

Vn

wordt gegeven door Vn = V0 ⋅ (1 + r )

n

.

Bovenstaande formule Vn = V0 ⋅ (1 + r ) noemt men de kapitalisatieforn

mule. Deze formule berekent bij een gekende aanvangswaarde V0 , duur n (jaar) en (samengestelde) rentevoet r de slotwaarde: men spreekt over oprenten. In plaats van aanvangswaarde gebruikt men ook de term contante waarde (of actuele waarde, “present value”) en in plaats van slotwaarde spreekt men over de toekomstige waarde (“future value”).

Uit deze formule kunnen onmiddellijk een aantal andere worden afgeleid, die telkens bij drie gegeven waarden uit de vier mogelijke ( V0 , Vn, n, r ) de vierde waarde berekent. Zo bekomen we de actualisatieformule: V0 = Vn ⋅ (1 + r ) , −n

de rendementsformule:

r=

n

Vn −1 V0

en de looptijdformule:

Vn V0 n= . ln (1 + r ) ln

4


1.4 Gelijkwaardige rentevoeten Naast de (jaarlijks) samengestelde rentevoet r is het mogelijk dat een financiële instelling je een rentevoet per maand voorschotelt (zeg 0,5%). In een dergelijk geval is 12 ⋅ 0,5% = 6% de nominale rentevoet verrekend per maand (de zogenaamde maandelijks samengestelde rentevoet). In werkelijkheid wordt de corresponderende effectieve (jaarlijkse) rentevoet r gevonden uit 1 + r = 1, 00512 . Indien (algemeen) een jaar wordt onderverdeeld in q (even lange) deelperiodes en wanneer de rentevoet per deelperiode gegeven wordt door p °/1, dan noemt men j (q) := q ⋅ p de nominale rentevoet verrekend per deelperiode [“APR: Annual Percentage Rate”, ‘per deelperiode samengestelde rentevoet’]. De overeenkomstige effectieve of reële (jaarlijkse) rentevoet r [“EAR: Effective Annual Percentage Rate”, ‘WR of WRR: Werkelijke (Reële) Rentevoet’, “APY: Annual Percentage Yield”] wordt gevonden uit q

1 + r = (1 + p )

q

j ( q)   = 1 +  .   q  

Als limietgeval wanneer q naar +∞ nadert, spreekt men over een continu samengestelde rentevoet J := j( +∞ ) . Uit het feit dat q

 J 1 + r = lim 1 +  = eJ q → +∞ q  volgt J= ln(1+r)

en

r = eJ − 1 .

Bij een opgegeven nominale rentevoet J zonder specificatie van de kapitalisatieperiode drukt deze laatste formule uit dat eJ − 1 de maximale corresponderende effectieve jaarrentevoet is.


5

1.5 Inflatie en belastingen Inflatie De term nominaal treedt ook naar voor in een andere context, nl. deze van verlies aan koopkracht. Veronderstel dat we te maken hebben met een uniforme inflatievoet g °/1 op jaarbasis, d.w.z. dat je om op 1 jaar vanaf nu over dezelfde koopkracht te beschikken als deze van € 1 momenteel je op dat tijdstip t = 1 een bedrag van € 1 + g moet bezitten (en analoog voor de volgende jaren). In een dergelijk geval is er sprake van een nominale rentevoet i en een reële rentevoet iR (beide op jaarbasis), waarbij het verband tussen beide gegeven wordt door 1+i 1 + iR = 1+g d.w.z. iR =

i−g . 1+g

Indien g zeer klein is, dan gebruikt men de benadering iR ≈ i − g . Voor een overzicht van alle maandelijkse inflatiecijfers vanaf 1952 zie http://economie.fgov.be/nl/statistieken/cijfers/economie/consumptieprijzen/inflatie/

en http://www.belgium.be/nl/economie/economische_informatie/inflatie/ . Bijkomende informatie kan je raadplegen op de site van de Europese Centrale Bank http://www.ecb.europa.eu/ecb/educational/hicp/html/index.nl.html .

Belastingen Als er een belastingperunage T °/1 geldt, dan is de netto rentevoet na belastingen gelijk aan deze vóór belasting vermenigvuldigd met de factor 1–T.

6


2 Tijdwaarde van geld: meerdere kasstromen Een (constante) annuïteit is een periodische (jaarlijkse) betaling van een vast bedrag a, gedurende n jaar, waarbij dit bedrag vanaf de storting samengestelde intrest opbrengt aan r °/1 (per jaar). Indien al deze betalingen gebeuren bij het einde van het jaar, spreekt men over een postnumerando annuïteit, zoals bij het schema Tijd

0

Waarde

1

2

3

.....

n–1

n

a

a

a

.....

a

a

Een prenumerando annuïteit betreft betalingen die telkens gebeuren bij het begin van het jaar: Tijd

0

1

2

3

.....

n–1

Waarde

a

a

a

a

.....

a

n

We spreken af dat n kasstromen (i.e. n stortingen) overeenstemmen met een duur van n jaar voor de annuïteit. Alle annuïteiten kunnen dadelijk ingaand zijn, uitgesteld of vervroegd. Een dadelijk ingaande annuïteit betekent dat de eerste betaling gebeurt tijdens het eerstvolgende jaar vanaf nu (d.w.z. bij het einde van het jaar voor een postnumerando en bij het begin [=nu] voor een prenumerando annuïteit). Een m jaar uitgestelde annuïteit impliceert dat het moment van de eerste betaling berekend wordt m jaar vanaf nu. Bij een m jaar vervroegde annuïteit werd de eerste storting berekend vanaf m jaar vóór nu. Een perpetuïteit is een eeuwigdurende annuïteit. Zonder verdere aanduidingen staat een annuïteit vanaf nu voor een dadelijk ingaande, constante, postnumerando annuïteit. Dit wordt analoog uitgebreid naar perpetuïteiten.


7

2.1 Aanvangswaarde van een perpetuïteit Indien je op moment 0 € 1 uitzet aan samengestelde intrest r (peruun), r > 0, en je elk volgend jaar de bekomen rente van deze rekening haalt, bekom je eeuwigdurend het volgende tijdschema: Tijd

0

Waarde

1

2

3

.....

r

r

r

.....

1

2

3

.....

1

1

1

.....

aanvangswaarde €1

of equivalent Tijd

0

Waarde

aanvangswaarde € 1/r

wat impliceert dat voor een perpetuïteit de beginwaarde gegeven wordt door

Tijd Waarde

0

1

2

3

.....

a

a

a

.....

aanvangswaarde W (0∞) W (0∞) = a ⋅

1 r

als r > 0.

Uit deze formule voor een perpetuïteit kan je eenvoudig de formule afleiden voor de aanvangswaarde van een annuïteit met looptijd n jaar.

8


2.2 Aanvangswaarde van een annuïteit Tijd

0

Waarde

1

2

3

.....

n–1

n

a

a

a

.....

a

a

aanvangswaarde W0

W0 = a ⋅

1 − (1 + r )

−n

.

r

nl. duur n duur ∞ duur ∞ W post, = W post, − W post, ⋅ (1 + r ) 0 0 0

−n

= a⋅

Jaar

Perp. A

Waarde

1

2

…

n

n+1

n+2

…

op t=0

1

1

…

1

1

1

…

1 r

1

1

…

Perp. B Ann.

1 1 −n − a ⋅ ⋅ (1 + r ) . r r

1

1

…

1

a

Men gebruikt soms de notatie intrestfactor voor annuïteiten

1 − (1 + r ) r


n r

−n 1 ⋅ (1 + r ) r −n 1 1 − ⋅ (1 + r ) r r

op t=n

1 r

voor de contante waarde-

−n

.

9

2.3 Slotwaarde van een annuïteit Tijd

0

Waarde

1

2

3

.....

n–1

n

a

a

a

.....

a

a

slotwaarde Wn

Uit de slotwaardeformule voor samengestelde intrest Wn = W0 ⋅ (1 + r )

n

volgt onmiddellijk

(1 + r ) = a⋅

n

Wn

−1

r

(1 + r )

n

Soms noteert men s n

voor deze annuïteitsfactor

−1

, en r spreekt men over de toekomstige waarde-intrestfactor voor annuïteiten. r

2.4 Contante waarde en slotwaarde voor prenumerando (dadelijk ingaande) annuïteiten [“annuity due”] Tijd

0

1

2

3

.....

n–1

Waarde

a

a

a

a

.....

a

aanvangswaarde W0

n

slotwaarde Wn

Hierbij geldt duur n duur n −1 W pre, = a + W post, 0 0

en duur n W pre, = W npost, duur n +1− a n

10


De contante en toekomstige waarde-intrestfactoren voor prenumerando s n r , waarbij annuïteiten worden respectievelijk genoteerd als ɺɺ a n r en ɺɺ

ɺɺ an

r

= 1 + a n−1

r

= s n +1

r

en

ɺɺ sn

r

− 1.

2.5 Annuïteiten met andere dan jaarlijkse betalingen Wanneer we te maken hebben met bijvoorbeeld maandelijkse betalingen (‘mensualiteiten’), dan wordt het verband tussen de maandelijkse rentevoet p en de corresponderende reële jaarlijkse rentevoet r gegeven door 1 + r = (1 + p)12 . Als er gedurende n jaar maandelijks een bedrag M betaald wordt, dan is bijvoorbeeld de aanvangswaarde gelijk aan

M⋅

1 − (1 + p)−12n . p

Alle formules in verband met jaarlijkse betalingen zijn eenvoudig om te zetten wanneer je beseft dat a, r en n staan voor respectievelijk het periodiek bedrag, de rentevoet per periode en het aantal periodes (gemeten met deze periode als eenheid).

2.6 Exponentieel groeiende perpetuïteit Beschouw een exponentieel groeiende perpetuïteit met groeivoet g rentevoet r 01 : Tijd Waarde

0

1

2

a

3

0

1

en

.....

a⋅(1+g)2

a⋅(1+g)

.....

aanvangswaarde W (0∞ )

Dan geldt


11

W (0∞)=

a a ⋅ (1 + g) a ⋅ (1 + g)2 + + +⋯ 1+r (1 + r)2 (1 + r)3

  1 + g (1 + g)2 ⋅ 1 + + + ⋯ 2 (1 + r) (1 + r)   a 1 = ⋅ 1+r 1−1+g 1+r

a = 1+r

als

1+ g < 1, 1+r d.w.z. als g < r. Bijgevolg is W (0∞ ) =

a r−g

als

g
.

2.7 Opmerking Het is ook mogelijk om vertrekkend van de kennis van de slotwaardeformule voor een annuïteit de formule voor een perpetuïteit te bepalen: Tijd

0

Waarde

1

2

3

.....

n–1

n

a

a

a

.....

a

a

slotwaarde Wn

Wn = a + a ⋅ (1 + r) + a ⋅ (1 + r)2 + ⋯ + a ⋅ (1 + r)n −3 + a ⋅ (1 + r)n − 2 + a ⋅ (1 + r)n −1 = a ⋅ 1 + (1 + r) + (1 + r)2 + ⋯ + (1 + r)n − 3 + (1 + r)n −2 + (1 + r)n −1 

(1 + r ) = a⋅

n

−1

(1 + r) − 1

d.w.z.

(1 + r ) = a⋅

n

Wn

−1

r

De perpetuïteitformule voor r > 0 volgt uit het feit dat −n 1 − (1 + r ) 1 lim = . n → +∞ r r

12


3 Aandelen 3.1 Constante dividenden groei-model voor aandelen

Een toepassing van de aanvangswaardeformule voor een exponentieel groeiende perpetuïteit vind je bij het constante dividenden groei-model voor aandelen [DDM: “Dividend Discount Model”, Gordon of GordonShapiro groeimodel]. Dit model geeft aan welke de waarde is van een aandeel wanneer het betreffende dividend een constante (eeuwigdurende) groeivoet g 01 heeft en aandeelhouders een rendement r 01 eisen voor dit aandeel. Noteer Dt voor de waarde van het dividend op het moment t, dan geldt Dt +1 = Dt ⋅ (1 + g) = D0 ⋅ (1 + g)t +1

en P0 =

D1 r−g

als

g
waarbij P0 de huidige prijs van dit aandeel weergeeft (op het moment 0, net na de uitkering van het dividend D0 ). Deze formule bij constante groei van dividenden kan herschreven worden als

r=

D1 +g , P0


13

d.w.z. dat het vereist rendement gelijk is aan het dividendrendement  D1    plus het kapitaalwinstrendement (g). P  0  In de veronderstelling van een vaste winstreservering waarbij het ingehouden gedeelte van de winst geherinvesteerd wordt in projecten met eenzelfde rendement bekomen we een dergelijke constante groei voor dividenden. Neem aan dat elk jaar b °/1 van de winst wordt ingehouden, d.w.z. dat Dt = (1 − b) ⋅ Et waarbij Et de winst gedurende jaar t voorstelt (“Earnings”). Men spreekt over b als de “plowback ratio”. Verder wordt het ingehouden gedeelte (bEt ) geïnvesteerd in projecten met rendement R °/1 zodat Et +1 = (1 + bR) ⋅ Et . Dan geldt Dt +1 = (1 − b) ⋅ Et +1 = (1 − b)(1 + bR) ⋅ Et = (1 + bR) ⋅ Dt , waardoor g = bR .

3.2 Koers/winst verhouding bij aandelen Een andere veelgebruikte ratio in deze context is de koers/winstP verhouding (“price/earnings ratio”) gegeven door 0 . Onder bovenE1 staande voorwaarden geldt

P0 1−b = , E1 r − bR wat in het speciale geval van r = R leidt tot

P0 1 = , E1 r de gebruikelijke interpretatie van koers/winst-verhouding als een omgekeerd rendement.

14


We beschouwen een

VOORBEELD

met E1 = 4, r = 16% waarbij 60% van

de winst geherinvesteerd wordt in projecten met een rendement R = 20%. P Dan is b = 0,6 zodat g = bR = 0,12 en P0 = 40 waardoor 0 = 10 . E1 Wanneer er geen mogelijkheid was voor deze onderneming om te investeren in projecten met een rendement R > 16%, dan bevonden we ons in het speciale geval r = R en zou de prijs nu gelijk zijn aan E1 4 = = 25 . r 0,16 Wegens de mogelijkheid tot investeren in projecten met rendement 20%, kent deze onderneming groeimogelijkheden. Men spreekt hierbij over een huidige waarde van de groeimogelijkheden gelijk aan 15 (= 40 ● – 25) [“Present Value of Growth Opportunities”].

Koers-winstverhouding BEL 20 (2007-2011)

Bron: http://www.indexx.nl/bel20.html Zie bv. http://www.indexx.nl/Sector.html voor voortschrijdend gemiddelde koers-winstverhoudingen in de jaren 2007, 2008, 2009, 2010 en 2011 gegeven voor aandelen genoteerd aan de AEX, AMX, BEL 20, CAC 40, DAX, FTSE 100 en OMX Stockholm gemiddelde K/W per sector op datum van 6 mei 2011. Op deze site http://www.indexx.nl/index.html vind je naast de koerswinstverhouding, ook het dividendrendement en de winst per aandeel van alle aandelen die genoteerd zijn aan de beurzen van Amsterdam (AEX, AMX), Brussel (BEL 20), Parijs (CAC 40), Frankfurt (DAX), Londen (FTSE 100) en Stockholm (OMX).


15

Bron: http://www.analist.nl/images/c6b99b0a_kwcocacola.jpg

We

wijzen

tenslotte

op

het

feit

dat

een

aantal

gepubliceerde P koers/winst-verhoudingen gebruik maken van de formule 0 en dus E0 eerder een retrospectieve ratio geven dan een prospectieve. The price-to-earnings ratio (P/E) is a valuation method used to compare a company’s current share price to its per-share earnings. The market value per share is the current trading price for one share in a company, a relatively straightforward definition. However, earnings per share (EPS) may not be as intuitive for most investors. The more traditional and widely used version of the EPS calculation comes from the previous four quarters of the price-to-earnings ratio, called a trailing P/E. Another variation of the EPS can be calculated using a forward P/E, estimating the earnings for the upcoming four quarters. Both sides have their advantages, with the trailing P/E approach using actual data and the forward P/E predicting possible outcomes for the stock. Forward P/E uses the future earnings guidance instead of trailing figures and is useful for comparing current earnings to future earnings, as well as gaining a clearer picture of what earnings will look like without charges and other accounting adjustments. There are problems with forward P/E, however. A company's stated estimate could have any number of motivations behind it. Most companies could underestimate earnings so they are set up to beat the estimate P/E when the next quarter's earnings are announced. Others may overstate the estimate and later adjust it going into their next earnings announcement. Also, not only do companies provide estimates, but analysts do as well, and these estimates can be different. If you're using forward P/E as a central basis of your investment thesis, research the companies regularly. If the company updates its guidance, this will affect the forward P/E in a way that might make you reconsider your opinion. Trailing P/E relies on what is already done. It uses the current share price and divides by the total EPS earnings over the past 12 months: "P/E (ttm)" where ttm is a Wall Street acronym for trailing twelf months. It's the most popular P/E metric because it's the most objective. Since it uses

16


what already happened, there's little room for debate, assuming the company reported earnings accurately. Some investors prefer to look at the trailing P/E because they don't trust somebody else's earnings estimates. Trailing P/E is not without problems, however. What a company did in the past is not necessarily an indicator of what it will do in the future. Most investors have horror stories of losing big after believing that a company would return to its former glory. Investors should commit money based on future earnings power, not the past. The fact that the EPS number remains constant while the stock prices fluctuate is a problem as well. If a major company event drives the stock price significantly higher or lower, the trailing P/E will be less able to reflect those changes. (see http://www.investopedia.com/articles/investing/041013/differencesbetween-forward-pe-and-trailing-pe.asp and http://www.investopedia.com/university/peratio/ )


17

4

Investeringsbeslissingen: netto waarde en interne rentabiliteit

contante

Bij het beoordelen van investeringsprojecten zijn twee vragen belangrijk: 1°) is een project rendabel, d.w.z. is het de moeite waard om de voorgestelde investering uit te voeren? 2°) hoe rangschik je de rendabele projecten in volgorde van wenselijkheid om uit te voeren (bv. bij het slechts kunnen beschikken over een beperkte hoeveelheid te investeren kapitaal)? Naast terugbetalingstijd (“payback”) wordt hier meestal gebruik gemaakt van de begrippen netto contante waarde (“net present value [NPV]”, netto huidige waarde of netto actuele waarde) en interne rentabiliteit (“internal rate of return [IRR]”). We bespreken deze twee begrippen, waarbij enkel de netto contante waarde methode een ‘goed’ antwoord geeft op beide bovengestelde vragen. We beschouwen hierbij als voorbeeld een project dat jaarlijks de volgende kasstromen genereert over de looptijd 5 jaar:

jaar 0 1 2 3 4 5 € −1000 300 300 300 300 300 waarbij negatieve bedragen wijzen op uitgaven, positieve op inkomsten en waarbij de kasstroom in jaar t genoteerd wordt als Ct. Bij een gegeven marktrentevoet r, d.w.z. de opportuniteitskost voor kapitaal die we voor de eenvoud gelijk nemen aan zowel de rentevoet voor lenen als deze voor beleggen, wordt de netto contante waarde [“Net Present Value”] gedefinieerd als de huidige waarde van al deze kasstromen: 1 − (1 + r)−5 NPV(r) = −1000 + 300 ⋅ r of algemeen bij een looptijd n jaar als

NPV(r) =

n

∑C t =0

t

⋅ (1 + r)− t .

Bij een marktrentevoet r gelijk aan 10% geldt NPV(0,1) ≈ 137,24 €. Als we de waarde van deze netto contante waarde uitrekenen voor elke mogelijke waarde van r bekomen we een kromme: het netto contante waarde profiel

18


Netto Contante Waarde 600.00 € 400.00 €

NPV

200.00 € 0.00 € -200.00 €

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-400.00 € -600.00 € -800.00 € marktrentevoet

Indien de vergelijking NPV(r) = 0 slechts één zinvolle oplossing heeft, dan noemt men deze oplossing de interne rentabiliteit IRR [“internal rate of return”] van dit project. Voor bovenstaand voorbeeld geldt IRR ≈ 15,24% (of 0,1524°/1) De berekening van deze IRR kan gebeuren via een iteratieve techniek steunend op lineaire interpolatie zoals beschreven als volgt. Door te experimenteren met verschillende waarden van r in NPV(r) zoek je twee waarde a en a1 waarvoor respectievelijk NPV(a) > 0 en NPV(a1) < 0. Neem hier a = 0,15 en a1 = 0,16: NPV(0,15) ≈ 5,65 NPV(0,16) ≈ - 17,71

NPV

a

a2

a1

r

We benaderen de grafiek tussen (a, NPV(a)) en (a1, NPV(a1)) door het lijnstuk dat deze twee punten met elkaar verbindt. Het snijpunt (a2, 0)


19

van deze rechte met de X-as wordt gevonden door lineaire interpolatie, ∆y d.w.z. door de richtingscoëfficiënt van deze rechte te berekenen als ∆x via de punten (a, NPV(a)) en (a1, NPV(a1)) en vervolgens via (a, NPV(a)) en (a2, 0):

NPV(a1 ) − NPV(a) 0 − NPV(a) = a1 − a a2 − a d.w.z.

a2 − a =

−NPV(a) ⋅ (a1 − a) NPV(a1 ) − NPV(a)

a2 = a −

NPV(a) ⋅ (a1 − a) NPV(a1 ) − NPV(a)

i.e.

of numeriek a2 ≈ 0,1524. Indien we de berekeningen uitvoeren tot op 7 cijfers na het decimale punt, dan bekomen we a2 ≈ 0,152 417 3 terwijl het resultaat van NPV hiervoor tot op 6 cijfers nauwkeurig gelijk is aan NPV(a2) ≈ -0,082 497 Door de bovenstaande procedure te hernemen met a en a2 i.p.v. met a en a1 levert dit de volgende benadering op voor een waarde a3 : a3 ≈ 0,152 382 5 waarbij NPV(a3) ≈ - 0,000 378

NPV

a3 a

20

a2

a1

r


Door op een dergelijke wijze iteratief te werk te gaan en telkens twee waarden te nemen met een verschillend teken voor de bijhorende NPVresultaten, bekom je achtereenvolgens a4 ≈ 0,152 382 4 a5 ≈ 0,152 382 4 De iteratie stopt zodra je twee waarden vindt die gelijk zijn (tot op een aantal decimalen), zodat een benadering voor IRR op deze wijze gegeven wordt door 0,152 382 4.

Als andere benaderingstechniek kan je de regel van Newton-Raphson hanteren, waarbij uitgegaan wordt van het snijpunt van de raaklijn in (a, NPV(a)) aan de grafiek van NPV met de X-as om “a2” te bepalen, f(a) met f = NPV, a2 = a − f ' a) waarna met deze a2 wordt verder gewerkt (zoals in Excel tot op 7 decimalen): IRR ≈ 0,152 382 4 ≈ 15,24%


21

Gebruik voor evaluatie van investeringsprojecten Aanvaardingsprincipe NPV Een investeringsproject is te aanvaarden als de netto contante waarde ervan groter is dan of gelijk is aan 0.

Rangschikking via NPV Onderling onafhankelijke projecten met dezelfde looptijd mag je rangschikken op basis van grootte van NPV, d.w.z. dat een project met een hoge NPV verkozen wordt over een project met lage NPV.

Gezien NPV gedefinieerd werd als de totale huidige waarde van alle kasstromen uit het project, d.w.z. “equivalente cash in de hand” is dit voor de hand liggend.

IRR Een project met IRR ≥ r is aanvaardbaar als het om een investeringsproject gaat, d.w.z. een belegging (maar de regel keert om als het een lening betreft!).

Projecten mag je niet rangschikken via IRR! Beschouw bv. de volgende projecten met gegeven kasstromen en met r = 10%:

22

kasstroom jaar 0 kasstroom jaar 1

A -1 10

B -100 000 200 000

NPV(r) IRR

8,09 9 (= 900%)

81 818 1 (=100%)


5 Obligaties Een obligatie is een schuldbekentenis van een bedrijf, overheidsinstelling of staat. Wanneer een dergelijke instelling geld nodig heeft, kan die een beroep doen op het publiek dat zijn spaargeld op langere termijn wil beleggen. Dat gebeurt via het uitschrijven van een obligatielening. Het bedrag dat ontleend wordt, wordt opgedeeld in kleine coupures, waarop beleggers kunnen intekenen. Bij een gewone obligatie bestond vroeger het eigenlijke waardepapier uit een mantel (met vermelding van het betrokken kapitaal, d.w.z. de nominale waarde van de obligatie) en een couponblad, maar deze effecten werden gedematerialiseerd (i.e. zij bestaan nu slechts onder de vorm van een inschrijving op rekening). Na 31 december 2013 bleven alleen de gedematerialiseerde en de nominatieve effecten bestaan en verdween het effect aan toonder.


23

•

Effect aan toonder: een effect op papier, dat materieel kan worden aangehouden of op een effectenrekening kan worden geplaatst. Deze mogen vandaag niet meer materieel geleverd worden. • Gedematerialiseerd effect: een effect dat bij een erkende rekeninghouder op een effectenrekening wordt aangehouden. • Nominatief effect: een effect dat ingeschreven is in een door de emittent bijgehouden nominatief register. De wet van 14/12/2005 voorziet in de afschaffing van de effecten aan toonder. Door het KB van 12/1/2006 wordt het werkterrein van het effectenvereffeningsstelsel uitgebreid met bepaalde vennootschapsobligaties om deze dematerialisatie mogelijk te maken (zie o.a. de site van Nationale Bank van België http://www.nbb.be/pub/01_00_00_00_00/01_01_00_00_00/01_01_08_00_00/01_01 _08_05_00.htm?l=nl of http://www.dmat.be/index.html?page=0&lang=nl ).

Wat de rentevergoeding betreft, zijn er verschillende mogelijkheden: bij vastrentende obligaties ligt de couponrente vast tot de eindvervaldag; bij ‘floating rate notes’ wordt de rentevergoeding periodiek aangepast aan de marktrente; indien de intresten meermaals per jaar worden uitgekeerd, is deze couponrente een schijnbare d.w.z. nominale rentevoet j(q) verrekend per deelperiode; een nulcoupon obligatie heeft couponrente 0%. Er zijn geen periodieke uitbetalingen van coupons en daarom worden ze verkocht met een grote korting op de nominale waarde. In plaats van coupons ontvang je als opbrengst op de vervaldag een hogere terugbetalingswaarde. De werkelijke rentevoet of het actuarieel rendement y (“yield to maturity”) is de rentevoet waarbij de aankoopprijs P van de obligatie gelijk is aan de actuele waarde van de bedragen die de koper als obligatiebezitter nog zal ontvangen tot de eindvervaldag. Beschouw een vastrentende obligatie met looptijd n (jaar), nominale waarde (gelijk aan de terugbetalingsprijs) Vnom, jaarlijkse couponrente c °/1 en prijs P (op tijdstip 0). Noem Ct het uitgekeerde bedrag op moment t een natuurlijk getal tussen 1 en n), dan geldt C1 = C2 = ⋯ = Cn −1 = Vnomc terwijl Cn = Vnomc + Vnom = Vnom ⋅ (1 + c ) . Het actuarieel rendement y wordt gevonden uit P=

n

∑ C ⋅ (1 + y ) t =1

t

−t

.

Deze berekening kan in Excel gebeuren via de functie RATE, YIELD of IRR [zie supra].

24


Indien het actuarieel rendement y gekend is, kan je de functie PRICE of PV gebruiken om P te bepalen. Merk op dat bij een semestriële couponuitbetaling c een nominale rentevoet is verrekend per semester (een semestrieel samengestelde rentevoet): c = j(2), waarbij de resterende formules hierop afgestemd worden. Naast de couponrentevoet

en het actuarieel rendement (“rendement op eindvervaldag”, “yield to maturity”), te bepalen via o.a. = RATE, = YIELD of = IRR, bestaat ook het “lopend rendement” (Engelstalig: “current yield”), d.w.z. de coupon gedeeld door de huidige prijs:

Het behaalde rendement op één jaar wordt gegeven door

→

Zo is →

Merk op dat

⟺

⟺

en

Voor een overzicht rond lineaire obligaties (OLO’s: Obligations Linéaires - Lineaire Obligaties) verwijzen we naar http://www.debtagency.be/nl_products_olo.htm . Sinds hun lancering in 1989 zijn deze lineaire obligaties uitgegroeid tot de belangrijkste obligatiemarkt in België. Het gaat om overheidsobligaties met gestandaardiseerde kenmerken die via veilingen geplaatst worden bij institutionele beleggers.

Ook bij Febelfin, de overkoepelende federatie voor de Belgische financiele sector, vind je informatie over beleggingsinstrumenten (zie http://www.febelfin.be/sites/default/files/files/beleggingsinstrumenten.pdf).


25

6 Financiële functies in Excel In een rekenblad zoals Excel moet je rekening houden met de afspraak dat uitgaande kasstromen als negatieve getallen worden ingegeven en inkomende kasstromen als positieve getallen. In wat volgt gebruiken we een Engelstalige versie van Excel, waarbij we de argumenten in een functie scheiden door een komma (en het decimaalteken een punt is). Indien je een Nederlandstalige Excel gebruikt, dien je hier puntkomma’s te plaatsen. Bij het einde van deze paragraaf geven we een vertaling van het Engels naar het Nederlands voor de vermelde functies. De formules in verband met tijdwaarde voor geld voor samengestelde intrest Vn = V0 ⋅ (1 + r )

n

en voor annuïteiten

(1 + r ) = a⋅

n

Wn = a ⋅ s n W0 = a ⋅ a

r

n r

= a⋅

−1

r −n 1 − (1 + r ) r

worden respectievelijk weergegeven door Vn = FV (r, n, 0, – V0 ), Wn = FV (r, n, –a) en W0 = PV (r, n, –a). Hierbij worden de functies FV [“Future Value”] en PV [“Present Value”] gebruikt: = FV (rate, nper, pmt, pv, type) = PV (rate, nper, pmt, fv, type) met verplichte argumenten vetgedrukt weergegeven. De namen van de argumenten spreken voor zich, uitgenomen “type” waarmee je specificeert of het gaat om postnumerando [type = 0 of (standaard) weggelaten] of prenumerando betalingen [type = 1] .

26


De klassieke vraagstukken waarbij je uit de kennis van op één na alle betrokken ingrediënten uit een formule deze onbekende bepaalt, kunnen opgelost worden via deze functies of via = RATE (nper, pmt, pv, fv, type, guess) , = NPER (rate, pmt, pv, fv, type) en = PMT (rate, nper, pv, fv, type) Het argument “guess” bij RATE wordt standaard op 0,1 ingesteld. Enkel indien je met zeer lage rentevoeten werkt is het mogelijk dat je zelf deze gok moet ingeven.

Zo vertaalt voor samengestelde −n V0 = Vn ⋅ (1 + r ) zich in

intrest

de

actualisatieformule

– V0 = PV (r, n, 0, Vn ),


27

bekomen we als rendementsformule r = RATE (n, 0, – V0 , Vn ) en als looptijdformule n = NPER (n, 0, – V0 , Vn ). Voor annuïteiten geldt –a = PMT (r, n, W0 ) = PMT (r, n, 0 , Wn ), r = RATE (n, –a, W0 ) = RATE (r, –a, 0 , Wn ), n = NPER (r, –a, W0 ) = NPER (r, –a, 0 , Wn ).

Wanneer de kapitalisatieperiode niet gelijk is aan 1 jaar, kan je uit het “Analysis Toolpak” de functies EFFECT en NOMINAL gebruiken: = EFFECT (nominal_rate, npery) = NOMINAL (effect_rate, npery) Deze “add-in” moet geactiveerd worden: bij veelvuldig gebruik zorg je ervoor dat de het “Analysis Toolpak” steeds in het geheugen geladen wordt door bij de menu-optie Tools, Add-Ins de keuze Analysis Toolpak aan te kruisen. Je moet deze “add-in” eventueel wel installeren wanneer je dat niet hebt gedaan bij het installeren van Excel.

Om een aflossingstabel op te stellen voor een (postnumerando) annuïteitslening, kan je de functies IPMT [“Interest PayMenT”] en PPMT [“Principal PayMenT”] gebruiken: = IPMT (rate, per, nper, pv, fv, type) = PPMT (rate, per, nper, pv, fv, type)

De netto contante waarde van een kasstroom wordt bepaald via = NPV (rate, value1, value2, ...) waarbij je goed moet beseffen dat deze “Net Present Value” niet dezelfde is als deze uit de meeste financiële teksten.

28


In Excel berekent NPV nl. de contante waarde van een kasstroom waarbij de eerste betaling één jaar na nu te situeren valt (het is in feite een ‘present value’). Je moet dus voor een kasstroom C0 , C1 , ⋯ , Cn op de respectievelijke tijdstippen 0, 1, ... , n een formule zoals

= C0 + NPV (r,C1, ⋯ ,Cn ) of

= NPV (r,C0 ,C1, ⋯ ,Cn ) ⋅ (1 + r)

gebruiken. Voer ook de argumenten van de Excelfunctie zoveel mogelijk als één bereik in.

De interne opbrengstvoet of interne rentabiliteit is te bepalen via “Internal Rate of Return”: = IRR (values, guess). De gok (“guess”) wordt 0,1 verondersteld als je deze niet invult. In de Analysis Toolpak add-in vind je ook de functies = PRICE (settlement, maturity, rate, yld, redemption, frequency, basis) en = YIELD (settlement, maturity, rate, pr, redemption, frequency, basis) om respectievelijk de prijs en het actuarieel rendement van een obligatie te berekenen op een nominale waarde gelijk aan 100. Je dient hierbij een aanpassing uit te voeren indien de nominale waarde verschilt van 100. Om efficiënt te werken met een datumnotatie (die bij deze functies als een “serial number” moet gehanteerd worden), plaats je een dergelijke datum best in een cel en verwijs je naar deze cel zodat Excel automatisch converteert naar een “serial number”. Controleer wel de opmaak van een datum: jaar/maand/dag is niet hetzelfde als dag/maand/jaar of jaar/dag/maand!


29

Financiële functies in Excel: Engels – Nederlands We geven een vertaling van Engels naar Nederlands voor de belangrijkste financiële functies in Excel. FV PV RATE NPER PMT EFFECT NOMINAL IPMT PPMT NPV IRR PRICE YIELD

TW HW RENTE NPER BET EFFECT.RENTE NOMINALE.RENTE IBET PBET NHW IR PRIJS.NOM RENDEMENT

De argumenten van deze functies vertalen zich op aangepaste wijze. Zo bekom je o.a. TW (rente, aantal-termijnen, bet, hw, FV (rate, nper, pmt, pv, type) type_getal) RENTE (aantal-termijnen, bet, hw, tw, RATE (nper, pmt, pv, fv, type, guess) type_getal, schatting) IPMT(rate, per, nper, pv, IBET(rente, termijn, aantal-termijnen, fv, type) hw, tw, type_getal)

30


7 Elementaire opgaven Deze opgaven bestaan uit twee delen en de oplossingen zijn beschikbaar als een Excel bestand, waarbij je telkens gelijkaardige oefeningen (en hun oplossing) kan genereren voor deel B.

Deel A 01. Je hebt over 2 jaar € 70 000 nodig voor de aankoop van een appartement. Je hebt momenteel € 50 000 gespaard. Heb je voldoende gespaard in de veronderstelling dat de jaarlijkse rentevoet 6% bedraagt? Indien niet, wat kom je vandaag tekort? 02. Bepaal de huidige waarde van de volgende kasstroom indien de jaarlijkse rentevoet 6% bedraagt: jaar 1 2 3

Kasstroom (in €) 2 000 4 000 5 000

03. Bepaal telkens de jaarlijkse intrestvoet:

a) b) c)

Huidige waarde 100 200 100

Toekomstige waarde 115,76 262,16 110,41

Periode 3 jaar 4 jaar 5 jaar

04. Hoe lang duurt het voor € 400 om aan te groeien tot € 1 000 aan de volgende jaarlijkse rentevoeten: a) 4%, b) 8%, c) 16%? 05. Wat is de wekelijks samengestelde nominale rentevoet voor een lening aan 1% per week (d.w.z. de nominale rentevoet verrekend per week)? Welke is de effectieve jaarlijkse rentevoet? 06. Wat is het meest voordelig: geld lenen aan 8,6% nominaal verrekend per semester of aan 8,4% nominaal verrekend per maand? 07. Je wil een nieuwe wagen aanschaffen, maar kan slechts € 2 000 contant betalen (nu, bij de aankoop als initiële betaling) en vervolgens maandelijks € 400 voor de volgende maanden (steeds postnumerando).


31

a) Wat is de maximale prijs die je voor een wagen kan veroorloven indien de maandelijks samengestelde nominale rentevoet 12% bedraagt en je 48 maandelijkse betalingen uitvoert? b) Wat als je de betalingen gedurende 60 maanden uitvoert? 08. Beschouw een lening met voorafbetaalbare intrest: je leent € 10 000 op 1 jaar aan een rentevoet van 10%, in de zin dat je als intrestbedrag € 10 000 . 10% = € 1 000 dient te betalen, maar dan vooraf, d.w.z. dat je nu € 9 000 ontvangt en over 1 jaar € 10 000 afbetaalt. Wat is de effectieve rente van deze transactie? 09. Jouw bouwfirma kan een vrachtwagen leasen aan € 14 000 per jaar op een termijn van 6 jaar. Je kan deze wagen echter ook aankopen aan € 70 000. In beide gevallen heeft de vrachtwagen een economisch levensduur van 6 jaar (d.w.z. dat deze na 6 jaar waardeloos is). Is het beter om te kopen of te leasen wanneer je geld kan lenen en investeren aan 7% (per jaar) als a) de betalingen postnumerando gebeuren voor de leasing, b) de betalingen prenumerando verlopen? 10. Er zijn twee mogelijkheden om een wagen te kopen die volgens de verkoper een waarde van € 12 000 heeft: a) je betaalt cash en krijgt een korting van € 1 000, b) je betaalt maandelijks gedurende 4 jaar € 250 (d.w.z. je verkrijgt een 0% financiering op 48 maanden). Wat verkies je als de maandelijkse rentevoet 1% bedraagt? 11. Je ontvangt over 3 jaar € 100 uit een spaarfonds. De nominale rentevoet bedraagt 8%. a) Wat is de huidige waarde van deze transactie? b) Veronderstel dat er jaarlijks een inflatie van 3% is voor de volgende drie jaren. Wat is de huidige waarde van deze transactie in termen van € vandaag? c) Wat is de reële intrestvoet? d) Toon aan dat de berekening in reële waarden overeenkomt met de berekening volledig in nominale waarden. 12. Jouw meter plaatste bij je geboorte € 1 000 op een bankrekening. Veronderstel dat deze bankrekening de eerste 8 jaar van je leven 6% opleverde en vervolgens 4%. Hoeveel staat er op deze rekening als je 21 jaar oud bent? 13. Een obligatie met nominale waarde € 1 000 (gelijk aan de terugbetalingsprijs) en looptijd 6 jaar betaalt jaarlijks een coupon van € 80 uit en wordt nu verkocht aan € 950. Bepaal de couponrentevoet, het “lopend rendement” (d.w.z. de huidige prijs gedeeld door de coupon, Engelstalig: “current yield”) en het actuarieel rendement (“rendement op eindvervaldag”, “yield to maturity”). 32


14. Vele jaren geleden gaf jouw bedrijf obligaties uit aan nominale waarde € 1 000 (gelijk aan de terugbetalingsprijs) met een (toenmalig) actuarieel rendement gelijk aan 5%. Vandaag is de resterende looptijd ervan nog 8 jaar, maar wegens economische problemen is het actuarieel rendement nu gestegen tot 12%. a) Bepaal de huidige prijs van deze obligatie. b) Wat is het actuarieel rendement als de investeerders slechts 80% van de nominale waarde als terugbetalingsprijs zullen ontvangen op de eindvervaldag. 15. Een aandeel betaalt (op het einde van het jaar) een dividend van € 3, waarbij men verwacht dat dit dividend jaarlijks zal aangroeien met 4% (eeuwigdurend). Het vereiste rendement is 12%. a) Wat is de prijs voor dit aandeel? b) Bepaal de huidige waarde van de groeimogelijkheden indien er een winst is van € 3,2 per aandeel (“EPS, Earnings Per Share”). 16. Je verwacht dat een aandeel de volgende drie jaar als dividenden respectievelijk € 1,00, € 1,25 en € 1,50 zal uitbetalen en dat dit aandeel op het einde van die 3 jaar verkocht kan worden aan € 20. a) Wat is een correcte prijs indien het vereiste rendement 10% bedraagt? b) Bepaal het dividendenrendement. 17. Een onderneming betaalt momenteel een dividend van € 2 per aandeel. Dit aandeel wordt verkocht aan € 30. a) Welk rendement behaal je op dit aandeel als de dividenden groeien aan 3% per jaar? b) Wat moet de groeivoet zijn voor de dividenden als investeerders een rendement van 10% eisen? c) Bepaal het rendement dat deze onderneming moet halen op nieuwe investeringen indien 40% van de winst geherinvesteerd wordt in deze nieuwe projecten en er een groeivoet van 5% is. 18. Een onderneming zal dit jaar een winst (“earnings”) van € 6 per aandeel maken. Het vereiste rendement voor dit aandeel is 15% en dit is ook het rendement dat behaald wordt op nieuwe investeringen. a. Bepaal de geïmpliceerde constante groei van de dividenden en de prijs van het aandeel indien de onderneming het volgende percentage van de winst herinvesteert in de onderneming: (i) 0%, (ii) 40%, (iii) 60%. b. Herhaal a. indien het rendement dat behaald wordt op nieuwe investeringen gelijk is aan 20%. Bereken telkens de huidige waarde van de groeimogelijkheden en de koers/winst verhouding.


33

19. Klassiek gekend zijn de vraagstukken van een bepaalde/gemiddelde vervaldag en substitutie van annuïteiten. Bij een bepaalde vervaldag vervangt men verschillende schulden met verschillende vervaldagen door één betaling op een welbepaalde datum. Bij een gemiddelde vervaldag vervangt men verschillende schulden met verschillende vervaldagen door één welbepaalde betaling (meestal de som van de individuele schulden) op een te bepalen datum. Bij substitutie van een annuïteit vervangt men een reeks betalingen, i.h.b. een annuïteit door een gelijkwaardige annuïteit die voor beide partijen marktneutraal is maar mogelijk beter past bij de situatie van een van beide betrokken partijen. In dat geval wijzigt men één van de volgende drie factoren: de duur van de annuïteit, de aanvangsdatum ervan of het periodiek betalingsbedrag. Los de volgende opgaven rond dit type problemen op bij gebruik van samengestelde intrestrekening. 1) Je dient twee schulden met waarden € 5 000 en € 8 000 af te lossen op de respectievelijke tijdstippen 18 maanden en 2 jaar vanaf nu. Met welke betaling op moment 3 jaar vanaf nu kan je deze vervangen indien de (jaarlijks) samengestelde rentevoet 6% bedraagt? 2) Je dient twee schulden met waarden € 5 000 en € 8 000 af te lossen op de respectievelijke tijdstippen 18 maanden en 2 jaar vanaf nu. Wanneer kan je deze twee schulden aflossen met een eenmalig bedrag € 13 000 indien de (jaarlijks) samengestelde rentevoet 6% bedraagt? 3) Het bedrijf waarvoor je werkt, financierde een uitbreiding van haar productiecapaciteit met een lening aangegaan op 1/1/2014 tegen een interestvoet van 5%. Het terugbetalingenschema ziet er uit als volgt: a) 6 000 Euro op 1/1/2015 b) 6 500 Euro op 1/7/2015 c) 15 000 Euro op 1/1/2018 d) 17 500 Euro op 1/7/2021 Het bedrijf wenst deze lening echter integraal terug te betalen door een storting van 45 000 Euro. Wanneer zal deze betaling moeten gebeuren zodat zowel het bedrijf als de kredietverstrekker hierdoor geen schade lijden? 4) Een onderneming ging voor het financieren van enkele investeringsprojecten een aantal leningen aan. Het schema met toekomstige verplichtingen ziet er als volgt uit: a) € 12 000 op 1 oktober 2014, b) € 20 000 op 1 april 2016, c) € 4 000 op 1 oktober 2017, d) € 14 000 € op 1 april 2018.

34


Het zou deze verplichtingen graag gewijzigd zien in één verplichting die zal worden afgelost door 15 gelijke jaarlijkse betalingen waarvan de eerste betaling plaatsvindt op 1 april 2014. Bepaal het bedrag van de jaarlijkse betaling in de veronderstelling dat de effectieve jaarlijkse interestvoet 8% bedraagt. 5) Kris en Yves zijn twee broers die op dezelfde dag verjaren. Kris viert vandaag zijn 60e verjaardag en Yves zijn 55e. Yves is op zijn 50e verjaardag begonnen met een pensioenspaarplan. Op die dag heeft hij een bedrag gestort van 10 000 euro. Sindsdien (dus vanaf zijn 51e verjaardag) stort Yves elk jaar op zijn verjaardag 5 000 euro in het fonds. Yves is van plan om de laatste storting te doen op zijn 60e waarna hij op pensioen zal gaan. Kris wil op dezelfde dag op pensioen (dus op zijn 65e) maar heeft tot op vandaag nog niet gespaard voor zijn pensioen. Daarom wil Kris starten met een pensioenspaarplan waarbij hij elk jaar op zijn verjaardag een bepaald bedrag zal storten, de eerste storting zal hij vandaag doen en de laatste storting op de dag van zijn 65e verjaardag. Het is voor Kris de bedoeling om bij zijn pensioen evenveel gespaard te hebben als zijn broer. Hoeveel zal Kris jaarlijks moeten storten gegeven dat beide pensioenplannen een jaarlijkse (effectieve) interestvoet van 5% bieden? 20. Onderneming XYZ betaalde gisteren € 1 dividend per aandeel. Zij verwacht een constante dividendgroei van 4% per jaar. a. Wat zijn de verwachte dividenden in de eerstkomende 3 jaren? b. Indien het vereist rendement 12% bedraagt, wat is dan nu de koers? c. Wat is de verwachte koers binnen 3 jaar? d. Welke ontvangsten zal je van het aandeel krijgen als je van plan bent om het 3 jaar bij te houden? 21. De verkopen en dividenden van een aandeel krimpen jaarlijks met 10%. a. Wat is de koers indien het vereist rendement 15% is en het eerstvolgende dividend € 3 bedraagt? b. Wat zal de koers zijn volgend jaar? c. Bepaal het gerealiseerde rendement (“holding period return”), dw.z. DIV1 + (P1 − P0 ) P0 22. De aandelenprijs van NV FarAway bedraagt vandaag 120 $. De dividendgroei bedraagt de komende twee jaar 10% per jaar. Het dividend dat gisteren werd uitgekeerd, bedraagt 20 $ , terwijl het rendement op het aandeel gelijk is aan 22%. Welke constante groeivoet verwacht je na de komende 2 jaar? 23. TroubleInc heeft net (t = 0) een dividend betaald van 2 euro. Het management kondigt echter aan dat er de volgende 2 jaren geen divi-


35

dend zal uitgekeerd worden. Pas over 3 jaar (t = 3) zal er terug een dividend van 2 euro uitbetaald worden. Vanaf dat moment zal het dividend wel jaarlijks met 5% groeien. a) Gegeven dat het geëiste rendement op de aandelen van TroubleInc 12% bedraagt, wat is dan volgens het DDM de waarde van het aandeel op dit moment (t = 0)? b) Wat is de waarde op dit moment als je weet dat je het aandeel na 5 jaar (t = 5) terug zal verkopen? 24. Beschouw de volgende kasstromen C" op de momenten t: C 22, C C% C& 20 en C( 40. a) Controleer dat er twee “IRR waarden” zijn: één lichtjes boven 7% en één licht beneden 34%. b) Is dit project aantrekkelijk bij een marktrentevoet van 5%? c) Wat bij 20%? d) En wat bij 40%? e) Waarom is dit project aanvaardbaar bij middelhoge marktrentevoet en niet aanvaardbaar bij een zeer lage of zeer hoge marktrentevoet? 25. Een 30-jarige staatsobligatie wordt uitgegeven met nominale waarde gelijk aan € 1 000 en met coupon € 60. Kort na uitgifte stijgen de rentevoeten. Wat gebeurt er dan met: a) het couponrendement? b) de koers? c) het actuarieel rendement? d) het lopend rendement? 26. Een obligatie met nominale waarde € 1 000 en couponrendement heeft een huidige koers gelijk aan € 970. a) Is het actuarieel rendement groter dan of kleiner dan 8%? b) Wat met het lopend rendement?

8%

27. Een obligatie met nominale waarde € 1 000 en couponrendement heeft een lopend rendement van 7%. Wat is de huidige koers?

8%

28. Een staatsobligatie heeft nominale waarde € 10 000 en couponrendement 3%. Zij loopt nog tot oktober 2020. De koers in oktober 2010 was € 9 886. a) Hoeveel bedroeg toen (in 2010) het lopend rendement? b) Wat was het actuarieel rendement in 2010? 29. Een obligatie heeft nog 10 jaar tot einde looptijd, heeft nominale waarde € 1 000, huidige koers € 1 100 en couponrendement 8%. Een jaar later blijkt het actuarieel rendement gestegen tot 8%. a) Wat is de koers dan? b) Hoeveel bedraagt het behaalde rendement in dat jaar?

36


c) Wat is het behaalde reële rendement bij een inflatie van 3%? 30. Je kan voor 100 000 € investeren in een oliebron die het afgelopen jaar dagelijks 10 vaten olie leverde met een verkoopprijs van 20 € per vat. De jaarlijkse productie daalt echter met 10% terwijl de prijzen jaarlijks stijgen met 5%. a) Wat is de netto contante waarde van deze investering als de jaarlijkse rentevoet 10% bedraagt en de olieproductie na 40 jaar stopt? Veronderstel dat er geen kosten verbonden zijn aan dit project (noch voor onderhoud, noch bij het beëindigen). Ga uit van een jaarlijkse postnumerando opbrengst voor de vaten olie. b) Wat wordt dit resultaat als je uitgaat van een continue opbrengst voor de vaten olie?


37

Deel B (1) Wat is de effectieve jaarlijkse rentevoet voor een lening met 8% nominale rentevoet verrekend per maand (d.w.z. een maandelijks samengestelde rentevoet)? (2) a) Als je vandaag € 80 op een rekening plaatst die jaarlijks een rente 4% oplevert, wat is dan de slotwaarde na 32 jaar? b) Wat is het antwoord indien de rentevoet een semestrieel samengestelde rentevoet is (d.w.z. een nominale rentevoet verrekend per semester)? c) Wat gebeurt er indien de rentevoet een maandelijks samengestelde rentevoet is (d.w.z. een nominale rentevoet verrekend per maand)? (3) a) Als je vanaf nu jaarlijks € 80 op een rekening plaatst, die jaarlijks een rente 4% geeft, wat is dan de slotwaarde na 32 jaar? Beantwoord de vraag voor een postnumerando storting. b) Wat is het antwoord voor een prenumerando storting (met in totaal 32 stortingen)? c) Wat is de aanvangswaarde postnumerando? d) Wat is de aanvangswaarde prenumerando? (4) Welke is de meest gunstige investering: € 100 beleggen aan (a) 4,20% per semester of aan (b) 0,67% per maand? (5) Wat is de huidige waarde van € 1 000 op 32 jaar van nu aan 8% (a) jaarlijks samengestelde intrest (b) semestriële samengestelde intrest (d.w.z. nominale rentevoet verrekend per semester)? (6) Voor elke € 5 die je vandaag leent, moet je over 7 dagen € 6 terugbetalen. Bepaal de effectieve jaarlijkse rente van deze lening. (7) Een plaatselijke financieringsmaatschappij vraagt 5% rente nominaal voor leningen met een looptijd van 1 jaar. Voor een lening van € 10 000 bedraagt de rente dus € 500. Aangezien je in totaal € 10 500 moet betalen, eist deze financieringsmaatschappij dat je de volgende 12 maanden telkens € 875 afbetaalt. Wat is de effectieve jaarlijkse rente voor deze lening? (8) Een obligatie met resterende looptijd 35 jaar heeft als nominale waarde € 1 000 gelijk aan de terugbetalingsprijs en een jaarlijkse couponrente 8%. De volgende drie couponbetalingen vervallen, maar worden op de vervaldag zonder rente uitbetaald. Beleggers eisen een rendement van 18% om deze obligatie aan te kopen. Wat is de correcte prijs voor deze obligatie?

38


(9) Welk bedrag moet je vandaag tegen 8% uitzetten opdat je over 32 jaar beschikt over een bedrag van € 290 000? (10) Welk bedrag moet je jaarlijks postnumerando tegen 8,00% uitzetten gedurende 32 jaar zodat je op dat eindmoment 32 beschikt over een bedrag van € 290 000? (11) Los de vorige vraag op voor een prenumerando situatie, d.w.z welk bedrag moet je jaarlijks prenumerando tegen 8% uitzetten gedurende 32 jaar zodat je op dat eindmoment 32 beschikt over een bedrag van € 290 000? (12) Bepaal de prijs voor een obligatie met looptijd 32 jaar (neem “settlement date” 1 januari 2000, en “maturity date” 1 januari 2032), coupon 8,00%, nominale waarde gelijk aan de terugbetalingsprijs € 100, met actuarieel rendement (i) 3,00%, (ii) 8,00%, (iii) 13,00%. Veronderstel dat het gaat om a. jaarlijkse couponbetalingen, b. semestriële couponbetalingen, Los vervolgens dezelfde vraag op voor een nominale waarde gelijk aan de terugbetalingsprijs van € 1 000. (13) Beschouw de volgende projecten met gegeven kasstromen: jaar 0 1 2 3 4 5

A -11 888 2 560 2 880 3 200 3 840 4 480

B -11 888 4 480 3 840 3 200 2 880 2 560

Bereken van beide projecten de netto contante waarde in de veronderstelling dat de marktrentevoet gelijk is aan 8,00% . Bepaal ook de interne rentabiliteit en teken het netto contante waarde profiel.


39

8 Verdere Excel opgaven E01: Breng een tabel in die voor een gegeven aanvangswaarde de slotwaarde aan samengestelde intrest toont voor zeven opeenvolgende percentages (met gegeven beginwaarde en gegeven stapwaarde) en voor tien opeenvolgende jaren met gegeven beginwaarde zoals de volgende: Samengestelde intrest Aanvangswaarde: Beginjaar: Beginpercentage:

1 000 1 6,00%

Stapwaarde percentage: 0,50%

Jaar\Percent 6,00% 6,50% 7,00% 7,50% 8,00% 8,50% 9,00% 1

1 060

1 065

1 070

1 075

1 080

1 085

1 090

2

1 124

1 134

1 145

1 156

1166

1177

1 188

3

1 191

1 208

1 225

1 242

1 260

1 277

1 295

4

1 262

1 286

1 311

1 335

1 360

1 386

1 412

5

1 338

1 370

1 403

1 436

1 469

1 504

1 539

6

1 419

1 459

1 501

1 543

1 587

1 631

1 677

7

1 504

1 554

1 606

1 659

1 714

1 770

1 828

8

1 594

1 655

1 718

1 783

1 851

1 921

1 993

9

1 689

1 763

1 838

1 917

1 999

2 084

2 172

10

1 791

1 877

1 967

2 061

2 159

2 261

2 367

(1) Doe dit door zelf formules in te typen (geen functies) en zoveel mogelijk te kopiëren. Zorg ervoor dat een wijziging van het beginjaar, het beginpercentage of de stapwaarde van dit percentage onmiddellijk een gewijzigde tabel oplevert. (2) Doe dit door een financiële functie (hier FV) te gebruiken. Doe dit in hetzelfde werkboek als voor (1), maar in een werkblad (“worksheet”) met naam functies. (3) Gebruik “data tables” (wat als...-tabellen) om een gelijkaardige tabel te bekomen in een derde werkblad (met naam data tables) in hetzelfde werkboek. Gebruik hiervoor Data, Table (uit het Excelmenu voor werkbladen). Om dit correct uit te voeren moet je wel enkele wijzigingen aanbrengen aan de tabel en het werkblad zoals hierboven getoond zodat je werkelijk een gelijkaardig werkblad krijgt, maar niet exact hetzelfde. Verberg ook de storende formule in de linkerbovenhoek van de tabel.

40


E02: Herhaal opgave E01 voor a) de slotwaarde van een postnumerando annuïteit (met een jaarlijks te betalen bedrag 1 000), b) de slotwaarde van een prenumerando annuïteit (weer met een jaarlijks bedrag 1 000). Gebruik voor a) en b) telkens een ander werkboek.

E03:

Stel een aflossingstabel op voor een lening met huidige waarde € 1 000 000, met looptijd 10 jaar en jaarlijkse rentevoet 10%. (i) Doe dit voor jaarlijkse betalingen en a) een annuïteitslening onder b.v. de volgende vorm: Jaren 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Uitstaande schuld 1 000 000 937 255 868 235 792 313 708 799 616 933 515 881 404 724 282 451 147 950

Rentedeel 100 93 86 79 70 61 51 40 28 14

Aflossingsdeel

000 725 823 231 880 693 588 472 245 795

62 69 75 83 91 101 111 122 134 147

745 020 922 514 866 052 157 273 500 950

Annuïteit 162 162 162 162 162 162 162 162 162 162

745 745 745 745 745 745 745 745 745 745

Afgeloste schuld 62 745 131 765 207 687 291 201 383 067 484 119 595 276 717 549 852 050 1 000 000

b) een lening met eenmalige aflossing (enkel jaarlijkse intrestbetalingen) zoals Jaren 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Uitstaande schuld 1 000 000 1 000 000 1 000 000 1 000 000 1 000 000 1 000 000 1 000 000 1 000 000 1 000 000 1 000 000

Rentedeel 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100

Aflossingsdeel

000 000 000 000 000 000 000 000 000 000


0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 000 000

"Annuïteit" 100 100 100 100 100 100 100 100 100 1 100

000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Afgeloste schuld 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 000 000

41

c) een lening met gelijke jaarlijkse aflossingen Jaren 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Uitstaande schuld 1 000 000 900 000 800 000 700 000 600 000 500 000 400 000 300 000 200 000 100 000

Rentedeel 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Aflossingsdeel 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100

"Annuïteit"

000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

200 190 180 170 160 150 140 130 120 110

000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

Afgeloste schuld 100 000 200 000 300 000 400 000 500 000 600 000 700 000 800 000 900 000 1 000 000

Gebruik hiervoor één werkboek en drie werkbladen. (ii) Herneem voor maandelijkse betalingen.

E04: (1) Bepaal de prijs voor een obligatie met looptijd 7 jaar, coupon 8% en nominale waarde (gelijk aan de terugbetalingsprijs) 100 die een actuarieel rendement van 9% heeft. Gebruik hiervoor de functie PRICE. (2) Doe hetzelfde voor een obligatie met looptijd 7 jaar, coupon 8% en nominale waarde (gelijk aan de terugbetalingsprijs) 1000 die een actuarieel rendement van 9% heeft. Behandel telkens de situatie van jaarlijkse en semestriële couponbetalingen.

E05: Bereken het actuarieel rendement voor een obligatie met looptijd 7 jaar, coupon 8% en uitgifteprijs 99,90% (i.e. die een koers 99,90 heeft en een terugbetalingsprijs 100). Gebruik hiervoor de functie YIELD.

E06: (1) Gebruik de “array-formulas” MINVERSE en MDETERM om respectievelijk de inverse en de determinant te berekenen van de vierkante 1 2 1  4 −1   matrices  en 3 4 −1 .  2 0  0 2 0  (2) Voer in het bereik (“range”) A1:A9 van een werkblad de getallen 79, 85, 78, 85, 83, 81, 95, 88 en 97 in. Deze getallen stellen scores voor van negen studenten op een test, waarbij de scores gehele getallen zijn. Gebruik de FREQUENCY functie om te bepalen hoeveel studenten een score behalen in de intervallen [0,70], ]70,79], ]79,89] en ]89,100]. Ter vergelijking met dit dynamische gebruik van de FREQUENCY func-

42


Histogram Data gebruiken

tie kan je vervolgens de optie

uit

Data Analysis

bij de

groep Analysis in de tab om hetzelfde resultaat te bekomen. Bekijk hierbij eveneens de grafieken die je als output kan bekomen.

E07: (1) Om een grafiek te verkrijgen van een kostenfunctie (de kosten C in functie van de [geproduceerde] hoeveelheid q van een product), kan je als volgt te werk gaan. Je neemt voor de q-waarden (op de horizontale as) bijvoorbeeld achtereenvolgens de waarden 0; 0,2; 0,4; 0,6; ... ; 3,8; 4; 4,2; 4,4 d.w.z. vertrekkend van een startwaarde 0 neem je telkens een stap 0,2 en je neemt zo 22 stappen. Op de verticale as plaats je de kosten geassocieerd met deze qwaarden, neem bijvoorbeeld C(q) = q3 – 6q2 +13q + 2 en plot deze grafiek in Excel op de voor de hand liggende wijze (d.w.z. als een XY [scatter] chart of spreidingsgrafiek). Dit is een goed moment om na te denken over het verschil tussen een XY grafiek en (o.a.) een lijngrafiek. Bewaar het werkboek met deze grafiek. De volgende opgaven moeten niet bewaard worden, maar wel uitgevoerd. Verander de startwaarde (0 in het voorbeeld). Verander nu de stapwaarde 0,2 in 0,3 en beschouw de nieuwe grafiek. Hoe verander je het aantal stappen (en de bijhorende figuur)? (2) Bepaal een nieuw werkblad in hetzelfde werkboek als onder (1) waarin je op één grafiek tegelijkertijd de kostenfunctie uit (1), de marginale kostenfunctie en de gemiddelde kostenfunctie toont.

E08: Bereken de netto contante waarde en de interne rentabiliteit voor de projecten A en B met de volgende kasstromen als de marktrentevoet (opportuniteitskost voor kapitaal) gelijk is aan 7%: jaar t 0 1 2

kasstromen project A project B -4000 -2000 2500 1400 3000 1800

(1) Welk project heeft je voorkeur? (2) Teken het netto contante waarde profiel voor deze projecten (in een eigen grafiekblad).


43

E09: (1) Een financiële instelling vraagt je om de volgende 10 jaren telkens € 100 te betalen en belooft in ruil daarvoor om aan jou of je erfgenamen daarna telkens € 100 uit te betalen (eeuwigdurend). Is dit een goede transactie als de jaarlijkse rentevoet 6% bedraagt? Veronderstel dat het om postnumerando betalingen handelt. (2) Wat moet de jaarlijkse rentevoet zijn om hiervan een eerlijke transactie te maken voor beide partijen?.

E10: (1) Bereken voor de volgende projecten de netto contante waarde (NPV) voor een rentevoet van 10% en de interne rentabiliteit (IRR): jaar\project

A

B

C

D

0

-1500

-1500

-1500

-1500

1

300

0

150

150

2

450

0

300

1350

3

750

450

450

150

4

750

1050

600

-150

5

900

1950

1875

-600

Hint voor D: het gebruik van IRR levert voor project D geen resultaat op. Hier moet je de netto contante waarde van dit project gelijk maken aan nul door gebruik te maken van Goal Seek uit de de optie

What-If Analysis

van de groep

Data Tools

in de tab

Data en een geschikte startwaarde te nemen (-1,1 is uitstekend). (2) Teken de netto contante waardeprofielen van deze 4 projecten.

E11: Consumentenkrediet is elk krediet dat voor iets anders wordt gebruikt dan om de aankoop van een onroerend goed te financieren: auto, elektrische huishoudapparatuur, reizen, huwelijk, enz. Het kan daarbij bv. gaan om een lening op afbetaling (een lening van bepaalde duur met vaste maandelijkse afbetalingen), een verkoop op afbetaling (waarbij je de prijs in meerdere schijven betaalt en waarbij een voorschot van ten minste 15% hoort), een leasing (huurovereenkomst voor een goed waarvoor je een aankoopoptie verwerft), een kredietopening (overeenkomst waarbij je over een kapitaalreserve beschikt volgens jouw behoeften) of een brugkrediet (een krediet op korte termijn bedoeld om fondsen voor te schieten in afwachting van de ontvangst van een grote som geld die in een keer kan worden terugbetaald. ). Zie de website http://economie.fgov.be/nl/consument/consumentenkrediet/index.jsp voor 44


meer informatie. . De wet op het consumentenkrediet kende al talrijke wijzigingen, zie b.v. http://www.economie2.fgov.be/protection_consumer/Credit/Credit_CD/ WCK/ACCUEIL.htm of http://economie.demoroom.be/nl/home/ voor een “Geannoteerd Wetboek Consumentenkrediet” en een “Gecoördineerde administratieve tekst tot 10 januari 2011” (opgenomen in Toledo als Loi_Wet_19910612_cred_consom_consum_kred_coord_20110110_tcm325-106200.pdf ), of het in Toledo opgenomen document law_credit_010.pdf met de oudere gecoördineerde administratieve tekst tot 1 februari 2007 gebaseerd op het “Koninklijk besluit van 4 augustus 1992” (zie http://www.economie2.fgov.be/protection_consumer/Credit/Credit_CD/WCK/ACCUEIL.htm of http://www.ejustice.just.fgov.be/cgi_loi/change_lg.pl?language=nl&la=N&table_name=wet&cn= 2000052233 ). In Bijlage_consumentenkrediet.pdf op Toledo vind je uittreksels uit dit KB terug. Teneinde het jaarlijks kostenpercentage te berekenen vermeldt dit koninklijk besluit van 4 augustus 1992 aangaande het consumentenkrediet in bijlage I (van dit KB) het volgende:

“… De berekening van het jaarlijkse kostenpercentage gebeurt door uitwerking van de basisvergelijking bepaald in artikel 4, § 1, van dit besluit. … De basisvergelijking die het jaarlijkse kostenpercentage definieert, kan opgelost worden, hetzij door de algebra, hetzij door opeenvolgende benaderingen, desgevallend, geprogrammeerd op een computer of op een rekenmachine, op voorwaarde dat een resultaat bekomen wordt dat gelijk is aan dat van de onderstaande voorbeelden.”

In de recente tekst Loi_Wet_19910612_cred_consom_consum_kred_coord_20110110_tcm325106200.pdf wordt het JKP in Hoofdstuk I, Artikel 1, 6° omschreven als “…het jaarlijkse kostenpercentage : het percentage dat de gelijkheid uitdrukt op jaarbasis, van de geactualiseerde waarden van het geheel van de verbintenissen van de kredietgever (kredietopnemingen) en de consument (aflossingen en totale kosten van het krediet voor de consument), bestaand of toekomstig, en die berekend wordt aan de hand van de elementen die de Koning aanduidt en op de wijze die Hij bepaalt.”

Zie ook

http://economie.fgov.be/nl/consument/consumentenkrediet/Kredietkosten/index.jsp:

“ … Deze kosten worden uitgedrukt in een jaarlijks kostenpercentage (JKP), waarmee de consument de totale prijs van verschillende kredietvoorstellen met elkaar kan vergelijken, ongeacht de kredietvorm en het kredietbedrag. Het JKP kan berekend worden met behulp van een computerprogramma, bijvoorbeeld, de kredietcalculator op deze website.”

en Bijlage I van de richtlijn 2008/48/eg van het europees parlement en de raad van 23 april 2008 inzake kredietovereenkomsten voor consumenten en tot intrekking van richtlijn 87/102/EEG van de Raad via http://economie.fgov.be/nl/binaries/410_directive_200848EG_23042008_tcm325-69922.pdf. Zie verder http://economie.demoroom.be/nl/art-4-kb-berekening-jkp-vergelijkingveronderstellingen/ voor ARTIKEL 4, § 1 (KB) : DE VERONDERSTELLING en ARTIKEL 4, § 2 (KB) : JKP EN RESIDUELE WAARDE.


45

ARTIKEL 4, § 1 (KB) : DE VERONDERSTELLING De vergelijking: de vergelijking van de berekening van het JKP wordt verduidelijkt in richtlijn 2008/48/EG en overgenomen in het Koninklijk Besluit van 4 augustus 1992 zoals gewijzigd door het Koninklijk Besluit van 21 juni 2011. De berekening van de tijd. De regel: het tijdsverschil tussen twee opnemingen wordt uitgedrukt in jaren of fracties van jaren. Een jaar wordt geacht 365 dagen (voor schrikkeljaren 366 dagen), 52 weken of 12 gelijke maanden te tellen. Een gelijke maand wordt geacht 30,41666 dagen te tellen (d.w.z. 365/12), zowel voor gewone jaren als schrikkeljaren. Wanneer het tijdsinterval tussen de eerste kredietopneming en de volgende opneming niet kan worden uitgedrukt in een geheel aantal jaren, maanden of weken, dan legt artikel 4, § 1, 2e lid KB de verplichting op om rekening te houden met het exacte aantal dagen, desgevallend in combinatie met het geheel aantal jaren, maanden of weken van de overige termijnen. Het besluit laat geen enkele andere combinatie van jaren of fracties van jaren toe dan deze van dagen met ofwel jaren, ofwel maanden, ofwel weken. Het verslag aan de Koning voorafgaand aan het KB van 21 juni 2011 verduidelijkt: Op grond van de informatie verstrekt door de Europese Commissie moet het voor de berekening van het JKP gebruikte tijdsintervallen krachtens de artikelen 11, § 1, tweede lid, 7°, 11bis, § 2, tweede lid, 6° en 14, §§ 2, 9°, en 3, 8° van de WCK (artikelen 5, 6 en 10 van de richtlijn) meegedeeld worden aan de consument. De aflossingstabel bedoeld in de artikelen 14, § 1, tweede lid, en § 2, 11° van de wet, en de bedragen bedoeld in artikel 14, § 2, 10°, van de wet moeten niettemin de bedragen bevatten die de consument in werkelijkheid moet betalen. Ook moeten de voorwaarden die de toepassing van de debetrentevoet regelen in de artikelen 11, § 1, tweede lid, 6° en § 2, tweede lid, 5°, en 14, § 2, 8° en § 3, 7°, van de wet de tijdsintervallen bepalen die in werkelijkheid toegepast worden. De voorbeelden 1, 5, 11, 13, 15, 20 en 26, opgenomen in bijlage 1 bij dit ontwerp van besluit, illustreren de keuze voor die enige toegelaten methode. De nauwkeurigheid: artikel 4, § 1 KB verduidelijkt: De uitkomst van de berekening wordt ten minste tot op de eerste decimaal weergegeven. Als de volgende decimaal groter is dan of gelijk is aan 5, wordt de voorgaande decimaal met 1 vermeerderd. De beperking tot een decimaal wordt bepaald door richtlijn 2008/48/EG. De regeling die van kracht was voor de omzetting van deze richtlijn door de wet van 13 juni 2010 bepaalde twee decimalen. De nieuwe formulering van het KB verduidelijkt dat de verduidelijking ten minste een decimaal moet bedragen. De administratie beveelt aan om twee decimalen te blijven gebruiken zodat de consument nauwkeurig wordt geïnformeerd. De uniformiteit van de berekening: Artikel 4, § 1 KB verduidelijkt: De toepasselijke oplossingsmethodes voor de vergelijking geven, bij het invoeren van gelijke gegevens, een jaarlijks kostenpercentage dat gelijk is aan dat van de voorbeelden 1 tot 26 opgenomen in bijlage 1 van dit besluit. Deze bepaling heeft als doel de berekeningsmethodes te uniformiseren. Deze bepaling heeft tot doel alle rekenvoorbeelden in de bijlage bij het koninklijk besluit van 4 augustus 1992, bij het invoeren van gelijke gegevens tot een JKP gelijk aan de rekenvoorbeelden te laten leiden en aldus bindend te maken. Andere termijnbedragen, bijvoorbeeld ingevolge de toepassing van andere contractuele afrondingsregels, kunnen tot andere resultaten leiden (Verslag aan de Koning, voorafgaand aan het Koninklijk Besluit van 21 juni 2011).

46


ARTIKEL 4, § 2 (KB) : JKP EN RESIDUELE WAARDE De residuele waarde van de financieringshuur: Voor de financieringshuur, wanneer de residuele waarde niet vermeld is in de kredietovereenkomst, legt artikel 4, § 2 van het KB de verplichting op om het JKP te berekenen rekening houdend met de vraag of het gehuurde goed het voorwerp uitmaakt van een lineaire aflossing waardoor de waarde ervan nul wordt op het einde van de normale duur van de huur zoals bepaald in de kredietovereenkomst. Hieruit vloeit voort dat het JKP hoger zal zijn dan het JKP dat berekend wordt rekening houdend met een residuele waarde op het einde van de overeenkomst. Het gaat om een aanpassing van de berekeningsregels van de basisvergelijking aan het bijzondere geval van de financieringshuur. In de reclame volstaat het dus het JKP te vermelden zonder dat de methode moet verduidelijkt worden die wordt aangenomen voor de berekening van de residuele waarde. In de SECCI en in de overeenkomst moet de veronderstelling die wordt gebruikt voor de berekening van de rentevoet daarentegen duidelijk worden vermeld (artikel 11, § 1, 7° en 14, § 2, 9° WCK). Artikel 4, § 4, in fine van het KB legt eveneens de verplichting op, wanneer de financieringshuur verschillende tijdstippen voorziet waarop de koopoptie kan gelicht worden, om het jaarlijkse kostenpercentage voor elk geval afzonderlijk te berekenen. De kredietovereenkomst moet verschillende JKP’s vermelden in functie van de datum van de uitoefening van de lichting van de optie. Overeenkomstig artikel 11, § 1, 7° en artikel 14, § 2, 9° WCK moeten alle voor de berekening van dit percentage gebruikte veronderstellingen worden vermeld. De SECCI en de overeenkomst moeten de verschillen in JKP die verband houden met de data van uitoefening van de lichting van de optie dus in de verf zetten.

Voer de berekeningen voor de voorbeelden 1 tot en met 10 efficiënt uit in Excel.


47

We vatten hier deze opgaven samen, terwijl oplossingen volgens het KB in Bijlage_consumentenkrediet.pdf worden aangereikt (zie Toledo, http://www.economie2.fgov.be/protection_consumer/Credit/Credit_CD/WCK/Legislatio n/1992_08_04_Ann_I_TAUX.htm , http://economie.demoroom.be/nl/home/ , http://economie.demoroom.be/nl/bilage-1(1).html , http://economie.demoroom.be/nl/ressext/ex-voorb1.pdf , http://economie.demoroom.be/nl/ressext/ex-voorb2.pdf , http://economie.demoroom.be/nl/ressext/ex-voorb3.pdf , http://economie.demoroom.be/nl/ressext/ex-voorb4.pdf , http://economie.demoroom.be/nl/ressext/ex-voorb5.pdf , http://economie.demoroom.be/nl/ressext/ex-voorb6.pdf , http://economie.demoroom.be/nl/ressext/ex-voorb7.pdf , http://economie.demoroom.be/nl/ressext/ex-voorb8.pdf , http://economie.demoroom.be/nl/ressext/ex-voorb9.pdf , http://economie.demoroom.be/nl/ressext/ex-voorb10.pdf ):

Voorbeeld 1 Kredietovereenkomst voor een bedrag van 1000 euro terug te betalen in een termijnbedrag van 1200 euro, na 1,5 jaar. Voorbeeld 2 Kredietovereenkomst voor een bedrag van 1000 euro en dossierkosten van 50 euro, terug te betalen in een termijnbedrag van 1200 euro, na 1,5 jaar. Voorbeeld 3 Lening op afbetaling voor een bedrag van 1000 euro terug te betalen in twee termijnbedragen van 600 euro, respectievelijk na 1 en 2 jaar. Voorbeeld 4 Lening op afbetaling voor een bedrag van 1000 euro terug te betalen in drie termijnbedragen van respectievelijk 272 euro na 3 maanden, 272 euro na 6 maanden en 544 euro na 12 maanden. Voorbeeld 5 Verkoop op afbetaling van een goed met een waarde van 2500 euro; de overeenkomst voorziet een voorschot van 500 euro en 24 maandelijkse termijnbedragen van 100 euro. Voorbeeld 6 Financieringshuur van een goed met een waarde van 15000 euro; de overeenkomst voorziet 48 maandelijkse termijnbedragen van 350 euro; het eerste termijnbedrag wordt betaald op het moment van de terbeschikkingstelling van het goed; na 48 maanden kan de koopoptie gelicht worden tegen de betaling van een residuele waarde van 1250 euro.

48


Voorbeeld 7 Verkoop op afbetaling van een goed met een waarde van 2500 euro; de overeenkomst voorziet een voorschot van 500 euro en 24 maandelijkse termijnbedragen van 100 euro. De overeenkomst voorziet dat de eerste betalingstermijn 20 dagen bedraagt. Voorbeeld 8 Kredietopening van bepaalde duur van 6 maanden van een bedrag van 2500 euro; de overeenkomst voorziet een maandelijkse betaling van de totale kosten van het krediet en de terugbetaling van het kredietbedrag op het einde van de overeenkomst; de jaarlijkse debetrente is 8% en de kosten bedragen 0,25% per maand. Voorbeeld 9 Kredietopening van onbepaalde duur van een bedrag van 2500 euro; de overeenkomst voorziet een semesteriële minimale betalingsregeling van 25% van het verschuldigd blijvende saldo in kapitaal en debetinteresten; de jaarlijkse debetrente is 12% en de openingskosten van het dossier bedragen 50 euro onmiddellijk te betalen. Voorbeeld 10 Kredietopening van onbepaalde duur met een kaart die een functie bezit bij de kredietverlening, voor een bedrag van 700 euro; de overeenkomst voorziet een maandelijkse minimale betalingsregeling van 5% van het verschuldigde saldo in kapitaal en debetinteresten, zonder dat het termijnbedrag, verminderd met de kaartkosten, lager mag zijn dan 25 euro; jaarlijkse kaartkosten van een kaart opgelegd als kredietopnemingsmiddel ten belope van 20 euro; de jaarlijkse debetrente is 10%. Voor de huidige maximale JKP verwijzen we naar http://economie.fgov.be/nl/consument/consumentenkrediet/Kredietkosten/Maximale_t arieven/index.jsp .

E12: De in E11 besproken JKP kadert ook binnen de richtlijnen van de Europese Commissie i.v.m. het consumentenkrediet. De volgende tekstfragmenten kan je vinden in • • • • •

http://ec.europa.eu/consumers/citizen/my_rights/consumer-credit/index_en.htm , http://ec.europa.eu/consumers/citizen/my_rights/consumercredit/documents/130522_ccd_5r_en.pdf , http://ec.europa.eu/consumers/index_en.htm , http://economie.demoroom.be/nl/ressext/guidelines_consumer_credit_directive_s wd2012_128_en.pdf , http://ec.europa.eu/consumers/rights/fin_serv_en.htm : Credit is an umbrella term that covers a range of financial services such as bank loans and credit cards. Consumer credit is a type of credit used to purchase products and services, such as a car or a package holiday, without having to pay the full amount at once. This means that you commit to paying it back at a later date in the future, usually with added interest. Consumer credit can be


49

useful when employed wisely but it is not without its risks, so make sure you’re prepared and aware of your rights. The European Commission adopted in September 2002 a proposal for a new directive on consumer credit. The existing EU-wide rules from 1987 have not kept pace with the important evolution in this sector and, at the same time, only set minimum standards. They have largely been overtaken by national regulation. The absence of common rules reduced cross-border transactions and led to differences in consumer protection in Member States. New EU-wide rules for consumer credit will be expanded to modern forms of consumer credit today. Borrowers will gain improved transparency on products (costs, terms and conditions) and can more easily compare offers on a crossborder basis. Lenders will gain improved opportunity to assess borrower risk, but in return they will be subject to ”know thy client“ obligations before granting any credit. Consumers will also have the right of withdrawal within 14 days, free of charge and without justification. Harmonised consumer credit rules throughout the Union will not only increase the protection of consumers across borders but also their confidence and thus strengthen the functioning and the stability of the consumer credit market in the European Union.

50


Twenty years after the adoption of the first Directive on consumer credit in 1987, a new EU initiative in the area is necessary due to the constant and fast evolution of financial products and to the continued fragmentation of the EU market. There is also evidence that more needs to be done to encourage the provision of consumer credit across national borders. Further integration of the markets and a high level of consumer protection are the main objectives of the new Directive on Credit Agreements for consumers. The Directive focuses on transparency and consumer rights. It provides for a comprehensible set of information to be given to consumers in good time before the contract is concluded and also as part of the credit agreement. In order to enhance the comparability of different offers and to make the information better understandable, the pre-contractual information needs to be supplied in a standardised form (Standard European Consumer Credit Information, http://ec.europa.eu/consumers/citizen/my_rights/consumercredit/standardised-form-explained/index_en.htm ), i.e. every creditor has to use this form when marketing a consumer credit in any Member State, and consumers will receive the Annual Percentage Rate of Charge (APR, a single figure, harmonised at EU level, representing the cost of the credit). In addition, the Commission has examined the economic impact of the Consumer Credit Directive (see http://ec.europa.eu/consumers/rights/docs/ccd_benchmarking_study_en.pdf ). The Commission adopted on 28th October 2004 a modified proposal for a Directive on Consumer Credit following the opinion voted by the European Parliament (EP) on 20 April 2004. After the modified proposal was published, the Commission continued consultation with Member States and stakeholders. As a result, the Commission concluded that a consolidated text would be useful. In addition the consultations showed the need for further substantial modifications in order to avoid unintentionally burdening consumer credit business whilst at the same time ensuring a high level of protection for consumers. The final 2009 report “Study on the calculation of the annual percentage rate of charge for consumer credit agreements” can be found at http://ec.europa.eu/consumers/rights/docs/study_APR_en.pdf . On 14 November 2011 the Commission adopted the Directive amending Part II of Annex I to the Directive on Credit Agreements for Consumers (http://eurlex.europa.eu/LexUriServ/LexUriServ.do?uri=CELEX:32011L0090:EN:NOT ). This provides a modified set of assumptions necessary for the calculation of the Annual Percentage Rate of charge.

De EC gebruikt de naam ‘APR’ of ‘APRC’ (“Annual Percentage Rate of Charge”) voor “the total cost of the credit to the consumer, expressed as an annual percentage of the total amount of credit”, wat in België wordt vervangen door hoger vernoemd JKP (zie E11). Zoals de supra aangehaalde (Belgische) voorbeelden, stonden in de oorspronkelijke (Europese) versie ook een aantal voorbeelden, die in een later stadium aangepast werden en weggelaten in het finale richtlijnvoorstel. The Consumer Credit Directive (CCD) is a piece of legislation, adopted at EU level and transposed into national legislation, which gives European consumers rights when taking out credit agreements. This enhanced protection aims to inform consumers of their rights when seeking credit and thereby encourage consumers to make informed decisions and shop around.


51

The proposal for a Directive on consumer credit of 2002 contained a set of examples for the calculation of the APR which was not retained in the current regulatory framework given by Directive 2008/48/EC. Instead the Commission published this final report of the study which adapts the examples to Directive 2008/48/EC and the products marketed in the EU.

Er werd zelfs een ‘simulator’ in Excel ontwikkeld: To help Member States to correctly apply the Consumer Credit Directive, the Commission published on 8 May 2012 Guidelines on the application of the Directive 2008/48/EC in relation to costs and the Annual Percentage Rate of charge. The Guidelines provide comprehensive explanations how to delineate the total cost of credit, in particular to be included in the calculation of APR, and how to apply assumptions as amended by the Directive 2011/90/EU. As from 1 January 2013, Directive 2011/90/EU will be in force. As it amends the assumptions for the calculation of the APR, a new simulator was developed. The new simulator should be applied as from 1 January 2013. The simulator shows the amortisation table of a credit agreement whose characteristics are entered by the user and calculates the ‘APR’ of the credit: download http://ec.europa.eu/consumers/rights/docs/simulator_2013_en.xls and see description on how to use it.

52


Voer de berekeningen voor “Examples 1 - 24” (p. 130-174) in http://ec.europa.eu/consumers/rights/docs/study_APR_en.pdf efficiënt uit in Excel. Zie ook p. 175-183 voor een beschrijving van de simulator in Excel. We geven hieronder de formulering weer van deze voorbeelden. De oude 2002 voorbeelden zijn terug te vinden achteraan study_APR_en.pdf als ‘Annex: Examples of the calculation of the APR in the 2002 proposal’. As regards borrowing rates, the examples of instalment credits (examples 1 to 17), unless otherwise stated, assume a nominal annual rate of 9% which is charged periodically using a proportional conversion method, and the examples of revolving credits (examples 18 to 24), unless otherwise stated, use an effective annual rate of 12% which is charged periodically using the corresponding compounding frequency. See also the list of assumptions on p. 71-77 of study_APR_en.pdf , http://economie.demoroom.be/nl/ressext/guidelines_consumer_credit_d irective_swd2012_128_en.pdf en http://eur-lex.europa.eu/LexUriServ/LexUriServ.do?uri=OJ:L:2011:296: 0035:01:NL:HTML Commission Directive 2011/90/EU of 14 November 2011 amends Part II of Annex I to Directive 2008/48/EC of the European Parliament and of the Council providing additional assumptions for the calculation of the annual percentage rate of charge Text with EEA relevance. Deel II van bijlage I bij Richtlijn 2008/48/EG wijzigt daardoor als volgt: "II. De aanvullende hypothesen voor de berekening van het jaarlijkse kostenpercentage luiden als volgt: a) Indien de consument op grond van de kredietovereenkomst vrij kan kiezen hoeveel krediet hij opneemt, wordt verondersteld dat het totale kredietbedrag onmiddellijk volledig wordt opgenomen. b) Indien een kredietovereenkomst de consument in het algemeen de vrijheid biedt om te kiezen hoeveel krediet hij opneemt, maar bij de verschillende wijzen van kredietopneming een beperking oplegt met betrekking tot het bedrag en de termijn, wordt verondersteld dat het kredietbedrag op de vroegste datum waarin de overeenkomst voorziet, overeenkomstig deze kredietopnemingsbeperkingen wordt opgenomen. c) Indien een kredietovereenkomst mogelijkheden van kredietopneming met verschillende kosten of debetrentevoeten biedt, wordt verondersteld dat het totale kredietbedrag tegen de hoogste kosten en debetrentevoet wordt opgenomen, toegepast op het meest gebruikelijke mechanisme voor kredietopneming waarvan in het kader van dat soort kredietovereenkomst wordt gebruikgemaakt. d) In geval van een geoorloofde debetstand op een rekening wordt verondersteld dat het totale kredietbedrag volledig en voor de volledige duur van de kredietovereenkomst wordt opgenomen. Indien de duur van de geoorloofde debetstand onbekend is, wordt bij de berekening van het jaarlijkse kostenpercentage uitgegaan van de hypothese dat de duur van het krediet drie maanden bedraagt.


53

e) In geval van een andere kredietovereenkomst voor onbepaalde tijd dan een geoorloofde debetstand wordt geacht dat: (i) het krediet vanaf de datum van de eerste kredietopneming voor een periode van één jaar wordt verstrekt en dat de laatste betaling door de consument het saldo van het kapitaal, de rente en de eventuele overige kosten dekt; (ii) het kapitaal vanaf één maand na de datum van de eerste kredietopneming door de consument in gelijke maandelijkse termijnen wordt terugbetaald. In gevallen waarin het kapitaal binnen elke betalingstermijn uitsluitend volledig in één betaling moet worden terugbetaald, worden achtereenvolgende kredietopnemingen en terugbetalingen door de consument van het gehele kapitaal geacht over de periode van één jaar plaats te vinden. Rente en overige kosten worden overeenkomstig deze kredietopnemingen en terugbetalingen van kapitaal toegepast zoals in de kredietovereenkomst vastgelegd. In dit punt wordt onder een kredietovereenkomst voor onbepaalde tijd een doorlopend krediet verstaan, met inbegrip van een krediet dat binnen of na een bepaalde periode volledig moet worden terugbetaald, maar vervolgens, na terugbetaling, weer beschikbaar is om te worden opgenomen. f) In geval van andere kredietovereenkomsten dan geoorloofde debetstanden en kredieten voor onbepaalde tijd zoals bedoeld in de hypothesen in de punten d) en e): (i) indien de datum of het bedrag van een door de consument te verrichten terugbetaling van kapitaal niet kan worden vastgesteld, wordt de terugbetaling geacht te zijn verricht op de vroegste datum en met het laagste bedrag waarin de kredietovereenkomst voorziet; (ii) indien de datum waarop de kredietovereenkomst is gesloten, niet bekend is, wordt de datum van de eerste kredietopneming geacht de datum te zijn met de kortste tijdspanne tussen deze datum en de datum waarop de consument de eerste betaling moet verrichten. g) Wanneer de datum of het bedrag van een door de consument te verrichten betaling op basis van de kredietovereenkomst of op basis van de hypothesen in de punten d), e) of f) niet kan worden vastgesteld, wordt de betaling geacht te zijn verricht overeenkomstig de data en voorwaarden van de schuldeiser en, indien deze onbekend zijn: (i) wordt de rente samen met de terugbetalingen van kapitaal betaald; (ii) worden in één bedrag uitgedrukte niet-rentekosten betaald op de datum waarop de kredietovereenkomst wordt gesloten; (iii) worden in verschillende betalingen uitgedrukte niet-rentekosten in periodieke termijnen betaald, te beginnen op de datum van de eerste terugbetaling van kapitaal, en indien het bedrag van dergelijke betalingen onbekend is, worden deze geacht gelijke bedragen te zijn; (iv) dekt de laatste betaling het saldo van het kapitaal, de rente en de eventuele overige kosten. h) Indien het plafond dat op het krediet van toepassing is, nog niet is overeengekomen, wordt het geacht 1500 EUR te bedragen.

54


i) Indien voor een beperkte termijn of een beperkt bedrag verschillende debetrentevoeten en kosten worden aangeboden, worden de hoogste rentevoet en de hoogste kosten geacht de debetrentevoet en de kosten voor de gehele duur van de kredietovereenkomst te zijn. j) Met betrekking tot consumentenkredietovereenkomsten waarvoor een vaste debetrentevoet voor de eerste periode is overeengekomen en waarvoor aan het eind van deze periode een nieuwe debetrentevoet wordt vastgesteld die vervolgens periodiek wordt aangepast volgens een overeengekomen indicator, wordt bij de berekening van het jaarlijkse kostenpercentage uitgegaan van de hypothese dat vanaf het eind van de periode met vaste debetrentevoet de debetrentevoet dezelfde is als op het ogenblik van de berekening van het jaarlijkse kostenpercentage, gebaseerd op de waarde van de overeengekomen indicator op dat moment.".

EXAMPLE 1 Credit agreement for a total amount of credit of €6000 repayable in a single instalment of €6270 in six months. EXAMPLE 2 Credit agreement for a total amount of credit of €6000 repayable in 4 equal annual instalments of €1852.01 EXAMPLE 3 Credit agreement for a total amount of credit of €6000 repayable in 24 equal monthly instalments of €274.11 EXAMPLE 4 Credit agreement for a total amount of credit of €6000 repayable in 24 equal monthly instalments, the first of which must be paid in a specific number of days (20) from the conclusion of the agreement. EXAMPLE 5 Credit agreement for a total amount of credit of €6000 repayable in 24 equal monthly instalments of €274.11. Administrative charges of €60 payable on conclusion of the agreement. EXAMPLE 6 Credit agreement for a total amount of credit of €6000 repayable in 24 equal monthly instalments of €274.11. Administrative charges of €60 spread over the repayments. EXAMPLE 7 Credit agreement for a total amount of credit of €6000 repayable in 24 equal monthly instalments of €274.11. Administrative charges of €60 payable on conclusion of the agreement plus insurance costs of 5% of the credit limit spread over the repayments.


55

EXAMPLE 8 Credit agreement for a total amount of credit of €6000 repayable in 24 equal monthly instalments. Administrative charges of €60 payable on conclusion of the agreement plus single-sum insurance costs of 5% of the credit limit which are financed. EXAMPLE 9 Balloon-type credit agreement for a total amount of credit of €6000 repayable in 23 equal monthly instalments plus a final payment in month 24th representing 25% of the initial amount of the credit. Administrative charges of €60 payable on conclusion of the agreement plus insurance costs of 5% of the credit limit spread over the repayments. EXAMPLE 10 Credit agreement for a total amount of credit of €6000 repayable in 24 equal monthly instalments plus an advance payment representing 25% of the initial amount of the credit. Administrative charges of €60 payable on conclusion of the agreement. EXAMPLE 11 Credit agreement of the hire‐purchase type for goods with a price of €20000 over a period of 2 years. The agreement stipulates an advance payment of 50% of the price, 23 monthly instalments plus a final payment of 10% of the price. Administrative charges of €60 payable on conclusion of the agreement. EXAMPLE 12 Credit agreement for a total amount of credit of €6000 with two payment periods of 11 and 13 months respectively. The second‐period instalment corresponds to 60% of the first‐period instalment. Administrative charges of €60 payable on conclusion of the agreement. EXAMPLE 13 Credit agreement for a total amount of credit of €6000 with two payment periods of 11 and 13 months respectively. The first‐period instalment corresponds to 60% of the second‐period instalment. Administrative charges of €60 payable on conclusion of the agreement. EXAMPLE 14 Credit agreement for a total amount of credit of €1000 repayable in two instalments of either €700 after one year and €500 after two years, or €500 after one year and €700 after two years. EXAMPLE 15 Credit agreement for a total amount of credit of €1000 repayable in four equal monthly instalments calculated by applying a borrowing rate

56


(nominal rate) of 18%, plus administrative charges of €60 spread over the payments. EXAMPLE 16 Credit agreement for a total amount of credit of €6000 repayable in 24 monthly instalments. The borrowing rate (nominal rate) increases from 5% to 9% after the first year and remains in this new level until the end of the agreement. Administrative charges of €60 payable on conclusion of the agreement. EXAMPLE 17 Credit agreement for a total amount of credit of €6000 and administrative charges of €60. EXAMPLE 18 Credit agreement for a maximum amount of €1000 for a period of two years. The credit agreement provides for payment of the total cost of the credit every month and repayment of the total amount of the credit at the end of the agreement. Administrative charges amount to 0.25% of the credit limit per month. EXAMPLE 19 Credit agreement for a maximum amount of €1000 in the form of an overdraft facility. The credit agreement does not impose any requirements in terms of repayment of capital, but provides for monthly payment of the total cost of the credit. Administrative charges amount to €2.5 per month. EXAMPLE 20 Credit agreement for an open‐end credit for a maximum amount of €1000. The credit agreement provides for payment of a fixed amount of €100 every month until the complete repayment of the credit is made. Administrative charges of €25 payable on conclusion of the agreement. EXAMPLE 21 Credit agreement for an open‐end credit for a maximum amount of €1000. The credit agreement provides for payment of the total cost of the credit every month plus a minimum monthly payment of 20% of the outstanding balance (capital) with a minimum of €20. Administrative charges of €25 payable on conclusion of the agreement. EXAMPLE 22 Credit agreement for an open‐end credit for a maximum amount of €1000. The credit agreement provides for payment of the total cost of the credit every month plus a minimum monthly payment of 20% of the outstanding balance (capital) with a minimum of €20. Administrative


57

charges of €25 payable on conclusion of the agreement plus monthly insurance costs given as 1.5% of the outstanding balance. EXAMPLE 23 Credit agreement for an open‐end credit for a maximum amount of €1000. The credit agreement provides for a minimum monthly payment of 20% of the outstanding balance (capital and interest), with a minimum of €20. The administrative charge payable on conclusion of the agreement is €25. EXAMPLE 24 Credit agreement for an open‐end credit for a maximum amount of €1000 involving the use of a card for drawdowns. The credit agreement provides for a minimum monthly payment of 20% of the outstanding balance (capital and interest), with a minimum of €20. The annual cost of the card linked to the credit facility is €25. The borrowing rate is 0% for the first instalment and 12% for the subsequent instalments.

E13: Soms gebruikt men een benaderende formule voor de berekening van het JKP bij een “mensualiteit”: n JKP ≈ 24 ⋅ mlp ⋅ n+1 waarbij n het aantal maandelijkse terugbetalingen aangeeft en mlp het maandelijkse lastenpercentage weergeeft, bepaald door de eis dat de maandelijkse afbetaling (som van aflossingsdeel en rentedeel) M gelijk is aan de som van enerzijds het ontleend bedrag V gedeeld door n en anderzijds V . mlp: V M = + V ⋅ mlp n Deze benadering werd in het verleden bij het KB 18 september 1974 verplicht gesteld als toenmalige berekening voor het wettelijke reële lastenpercentage (Belgisch Staatsblad, 2 oktober 1974). Op dat moment was er in feite geen ICT infrastructuur ter beschikking (zelfs slechts zeer rudimentaire zakrekenmachines), waardoor een ‘exacte’ berekening enkel binnen de mogelijkheden van de informaticadienst van zeer grote bedrijven of van financiële instellingen lag. Denk er zelfs aan dat er toen nog gewerkt werd met zogenaamde logaritmetafels. Gelukkig beschikt momenteel praktisch iedereen over programma’s zoals een elektronisch rekenblad om dit type van berekeningen zelf uit te voeren. (1) Stel een aflossingstabel op voor een dergelijke lening van € 100 000 op 120 maanden aan een JKP van 4,61%. Bereken het mlp en de benadering van het JKP volgens bovenstaande formule. Ga vervol-

58


gens naar de site van een financiële instelling zoals KBC om een simulatie te maken voor deze gegevens. (2) Bepaal voor een lening van € 10 000 aan een JKP van 6% deze benadering voor 12, 24, 36 en 48 maanden. Zorg ervoor dat je de oplossing voor 12 maanden zo uitvoert, dat je door te kopiëren de antwoorden kan vinden voor de drie overige looptijden.

E14: Op bv. http://www.spaargids.be/sparen/simulatie-woonlening.html kan je simulaties uitvoeren i.v.m. woonleningen. Stel zelf een aflossingstabel op voor een “annuïteitslening” van € 90 000 op 20 jaar met jaarlijks kostenpercentage 5,00 % en vaste maandelijkse afbetalingen (analoog aan E03). en vergelijk met de bekomen resultaten op bovenstaande site.


59

…..

Onderstaande figuur toont de opsplitsing van het maandelijks te betalen bedrag in aflossingsdeel (onderaan, geel) en rentedeel (bovenaan, groen), maar de assen zijn niet benoemd.

Construeer een gelijkaardige grafiek in Excel in één van de versies zoals hieronder getoond.

60


700

Aflossingstabel

600

Betaling

500 400 Rentedeel

300

Aflossingsdeel

200 100 1 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151 166 181 196 211 226

0 Jaren

700

Aflossingstabel

600

Betaling

500 400 Rentedeel

300

Aflossingsdeel

200 100 1 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151 166 181 196 211 226

0 Jaren

700

Aflossingstabel

600

Betaling

500 400 Aflossingsdeel

300

Rentedeel

200 100 1 16 31 46 61 76 91 106 121 136 151 166 181 196 211 226

0 Jaren


61

E15:

Bestudeer het nesten van functies en het zelf definieren van een functie in Excel via VBA in Finance_PV bij de Basisprincipes Excel 2013 vooraleer je deze opgave oplost.

Lees hierbij ook de informatie over macro’s bij de optie Macro’s, i.h.b. hoe je de tab Developer toont in Excel: • • • •

Klik op de File en kies voor Options. Selecteer dan bij Categories de optie Customize Ribbon, waar je bij de main tabs Developer aankruist. Eindig met OK en sluit het dialoogvenster af.

(1) Gebruik een geneste IF functie om de forfaitaire beroepskosten te berekenen voor het aanslagjaar 2005 bij een gegeven bruto-inkomen (in €). De hiertoe te volgen procedure wordt weergegeven in de volgende tabel. Bij een brutoinkomen van meer dan 0 4 570 9 080 15 110 53 610

62

maar niet meer dan 4 570 9 080 15 110 53 610

bedragen de forfaitaire beroepskosten 25% 1 142.50 1 593.50 1 895 3 050

plus over het meerdere 0 10% 5% 3% 0


In het werkblad moet de gebruiker in een duidelijk aangegeven cel zijn bruto-inkomen aangeven, waarna de forfaitaire beroepskosten in een andere duidelijk herkenbare cel verschijnen. (2) Gebruik de VLOOKUP functie om hetzelfde te bekomen. Bewaar deze laatste methode in hetzelfde werkboek, maar in een ander werkblad. (3) Definieer zelf een functie (via VBA) om deze opgave op te lossen. (4) Herneem deze opgave met de huidige geldende criteria qua aanslagjaar.

E16: Definieer via VBA een functie in Excel om het constante dividenden groei-model (zie supra) te implementeren. Concreet: definieer een VBA functie met als argumenten het eerstvolgende dividend (D1), de rentevoet (vereist rendement r) en de groeivoet (g). Indien g < r moet deze functie als resultaat de huidige prijs voor dit aandeel geven, terwijl in het andere geval de melding “bestaat niet” wordt weergegeven.


63

Bibliografie Brealey, R., Myers, S.C., & Marcus, A.J. (2011). Fundamentals of Corporate Finance, 7th Edition. New York: McGraw-Hill. http://ec.europa.eu/consumers/citizen/my_rights/consumer-credit/ http://ec.europa.eu/consumers/index_en.htm , http://ec.europa.eu/consumers/rights/docs/ccd_benchmarking_study_en.pdf http://ec.europa.eu/consumers/rights/docs/simulator_2013_en.xls http://ec.europa.eu/consumers/rights/docs/study_APR_en.pdf http://ec.europa.eu/consumers/rights/fin_serv_en.htm http://economie.demoroom.be/nl/art-4-kb-berekening-jkp-vergelijkingveronderstellingen/ http://economie.demoroom.be/nl/bilage-1(1).html http://economie.demoroom.be/nl/home/ http://economie.demoroom.be/nl/ressext/ex-voorb1.pdf http://economie.demoroom.be/nl/ressext/ex-voorb2.pdf http://economie.demoroom.be/nl/ressext/ex-voorb3.pdf http://economie.demoroom.be/nl/ressext/ex-voorb4.pdf http://economie.demoroom.be/nl/ressext/ex-voorb5.pdf http://economie.demoroom.be/nl/ressext/ex-voorb6.pdf http://economie.demoroom.be/nl/ressext/ex-voorb7.pdf http://economie.demoroom.be/nl/ressext/ex-voorb8.pdf http://economie.demoroom.be/nl/ressext/ex-voorb9.pdf http://economie.demoroom.be/nl/ressext/ex-voorb10.pdf http://economie.demoroom.be/nl/ressext/guidelines_consumer_credit_directive_swd2 012_128_en.pdf http://economie.fgov.be/nl/binaries/410_directive_200848EG_23042008_tcm32569922.pdf http://economie.fgov.be/nl/consument/consumentenkrediet/index.jsp http://economie.fgov.be/nl/consument/consumentenkrediet/Kredietkosten/index.jsp http://economie.fgov.be/nl/consument/consumentenkrediet/Kredietkosten/Maximale_t arieven/index.jsp

64


http://economie.fgov.be/nl/statistieken/cijfers/economie/consumptieprijzen/inflatie/ http://eur-lex.europa.eu/LexUriServ/LexUriServ.do?uri=CELEX:32011L0090:EN:NOT http://eur-lex.europa.eu/LexUriServ/LexUriServ.do?uri=OJ:L:2011:296:0035:01:NL:H TML http://www.analist.nl/images/c6b99b0a_kwcocacola.jpg http://www.belgium.be/nl/economie/economische_informatie/inflatie/ http://www.consumercredit.be/nl/art-4-%C2%A71-berekening-van-tijd.html http://www.dmat.be/index.html?page=0&lang=nl http://www.ecb.europa.eu/ecb/educational/hicp/html/index.nl.html http://www.economie2.fgov.be/protection_consumer/Credit/Credit_CD/WCK/ACCUEIL. htm http://www.ejustice.just.fgov.be/cgi_loi/change_lg.pl?language=nl&la=N&table_name =wet&cn=2000052233 http://www.economie2.fgov.be/protection_consumer/Credit/Credit_CD/WCK/Legislatio n/1992_08_04_Ann_I_TAUX.htm http://www.febelfin.be/sites/default/files/files/beleggingsinstrumenten.pdf http://www.indexx.nl/bel20.html http://www.indexx.nl/index.html http://www.indexx.nl/Sector.html http://www.investopedia.com/articles/investing/041013/differences-between-forwardpe-and-trailing-pe.asp http://www.investopedia.com/university/peratio/ http://www.nbb.be/pub/01_00_00_00_00/01_01_00_00_00/01_01_08_00_00/01_01 _08_05_00.htm?l=nl http://www.spaargids.be/sparen/simulatie-woonlening.html http://economie.fgov.be/nl/consument/consumentenkrediet/Kredietkosten/index.jsp

Doorheen de tekst staan de verschillende webadressen vermeld voor meer informatie.


65

Inhoudsopgave 1 Tijdwaarde van geld: één kasstroom........................................... 2 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Inleiding ..................................................................................... 2 Alleen samengestelde intrestrekening is consistent .......................... 3 Samengestelde intrest .................................................................. 4 Gelijkwaardige rentevoeten ........................................................... 5 Inflatie en belastingen .................................................................. 6

2 Tijdwaarde van geld: meerdere kasstromen ................................ 7 2.1 2.2 2.3 2.4

Aanvangswaarde van een perpetuïteit ............................................ 8 Aanvangswaarde van een annuïteit ................................................ 9 Slotwaarde van een annuïteit ...................................................... 10 Contante waarde en slotwaarde voor prenumerando (dadelijk ingaande) annuïteiten [“annuity due”] ......................................... 10 2.5 Annuïteiten met andere dan jaarlijkse betalingen ........................... 11 2.6 Exponentieel groeiende perpetuïteit ............................................. 11 2.7 Opmerking ................................................................................ 12

3 Aandelen ................................................................................13 3.1 Constante dividenden groei-model voor aandelen .......................... 13 3.2 Koers/winst verhouding bij aandelen ............................................ 14

4 Investeringsbeslissingen: netto contante waarde en interne rentabiliteit ............................................................................18 Gebruik voor evaluatie van investeringsprojecten ................................ 22

5 Obligaties ...............................................................................23 6 Financiële functies in Excel .......................................................26 Financiële functies in Excel: Engels – Nederlands ................................ 30

7 Elementaire opgaven ...............................................................31 Deel A ........................................................................................... 31 Deel B ........................................................................................... 38

8 Verdere Excel opgaven.............................................................40 Bibliografie ................................................................................64

66


Financiële Algebra. wegens inflatie kan geld aan koopkracht verliezen, een zekere 1 nu wordt verkozen boven een onzekere 1 later

Recommend Documents