Finan ní matematika pro kaºdého[1] - vzore ky

Finan£ní matematika pro kaºdého[1] - vzore£ky Jitka Vachtová 17. kv¥tna 2011

www.vachtova.cz

Abstrakt Uvedené vzorce nan£ní matematiky vychází p°eváºn¥ z knihy Finan£ní matematika pro kaºdého od Jarmily Radové, Petra Dvo°áka a Jí°ího Málka. Pouºívám pokud moºno shodná ozna£ení. N¥které vzore£ky jsem v²ak pro zjednodu²ení trochu upravila £i dokonce doplnila. Nejde zde zatím o úplný výb¥r z knihy. Zpracovány jsou vzorce aº po úro£ení. Dal²í vzore£ky budou postupn¥ £asem dopl¬ovány... Jde o výtah pro studijní ú£ely.

1

Základní pojmy

1.1

Procentový po£et

1 1 % = 100 100 % = 1 celek = celý p x = z · 100 x·p z = 100 p = x·100 z x procenotová £ást z základ p po£et procent

1.2

základ

Funkce

y = f (x) x nezávisle prom¥nná y závisle prom¥nná 1.2.1

Lineární funkce

y =k·x+q k, q konstanty x nezávisle prom¥nná y závisle prom¥nná P°ímá úm¥rnost 1.2.2

y=

y =k·x

Nep°ímá úm¥rnost

k x

Rovnoosá hyperbola

pokud

k = 1,

jde o rovnoosou hyperbolu

1

1.2.3

Exponenciální funkce x

y=a a > 0, x ∈ R Speciální p°ípad

y = ex

e je Eulerovo £íslo n e = lim 1 + n1 n→∞

1.2.4

Logaritmická funkce

y = loga x x ∈ (0, ∞) a > 0, a 6= 1 y logaritmus y platí a = x P°irozený logaritmus

a=e e je Eulerovo £íslo, e = 2, 71828... y = loge x =ln x

Dekadický logaritmus

a = 10

y = log10 x = log x

1.3

Pr·m¥ry

1.3.1

Aritmetický pr·m¥r n X

ma =

a1 +a2 +...+an n

=

ai

i=1 n

Váºený aritmetický pr·m¥r

ai r X

2 ·a2 +...+nr ·ar ma = n1 ·a1n+n 1 +n2 +...+nr n = n1 + n2 + ... + nr

i=1

1.3.2

mg =

=

mají £etnost

ni (ai

se opakuje

ni -krát)

ni ·ai

n

Geometrický pr·m¥r

√ n

a1 · a2 · ... · an

Váºený geometrický pr·m¥r p

mg = n an1 1 + an2 2 + ... + anr r n = n1 + n2 + ... + nr

1.4

Posloupnosti a °ady

a1 , a2 ,

... posloupnost £ísel

ai

mají £etnost

ni (ai

2

se opakuje

ni -krát)

1.4.1

Posloupnost aritmetická

ak+1 = ak + d ak = a1 + (k − 1) · d k+1 ak = ak−1 +a 2 ar = as + (r − s) · d sn = n2 · (a1 + an ) a1 první £len °ady an poslední n-tý £len n po£et £len· d diference, d ∈ R 1.4.2

°ady

Posloupnost geometrická

ak+1 = ak · q ak = a1 · q (k−1) √ | ak |= ak−1 · ak+1 ar = as · q (r−s) pro q 6= 1 n n −1 sn = a1 qq−1 = a1 1−q 1−q pro q = 1 sn = n · a1 a1 první £len °ady an poslední n-tý £len °ady n po£et £len· d (kvocient), q ∈ R

2

Úro£ení

2.1

Základní pojmy

Úroková doba

n

= doba splatnosti (doba existence smluvního vztahu)

Úrokové období = doba, za kterou se p°ipisují úroky Úroková míra (sazba):

•

Nominální úroková míra

•

Efektivní úroková míra

•

Zvaºovaná úroková míra, poºadovaná výnosnost

•

Vnit°ní výnosové procento

Nominální úroková míra (sazba):

•

p. a. (per annum) - ro£ní

•

p. s. (per semestre) - pololetní

•

p. q. (per quartale) - £tvrtletní

•

p. m. (per mensem) - m¥sí£ní

•

p. d. (per diem) - denní

3

2.1.1

Zp·sob po£ítání £asu od£ítací metodou

Z krajních dn· se obvykle první den nepo£ítá. Vzorec pro výpo£et dn· toto °e²í automaticky.

t = D2 − D1 + (M2 − M1 ) · 30 t po£et dní p°i standardu 30E/360 D1 M1 datum po£átku (nap°. uloºení pen¥z), D je den, M je m¥síc D2 M2 datum konce (nap°. vrácení pen¥z), D je den, M je m¥síc

2.2

Jednoduché úro£ení polh·tní

K·p·t p t · 360 = 100·360 u = K · 100 u=K ·i·n K pen¥ºní £ástka (kapitál), obvykle dále zna£eno jako K0 p ro£ní úroková sazba v procentech t doba splatnosti kapitálu ve dnech (obvykle 0 < t < 360) u úrok p úroková sazba vyjád°ená jako desetinné £íslo i = 100 t n = 360 doba splatnosti vyjád°ená v letech

Po£et dní:

•

ACT - zapo£ítává skute£ný po£et dní (obvykle neuvaºuje první den)

•

30E - celé m¥síce = 30 dn·

•

30A - jako 30E, ale pokud konec p°ipadne na 31. den v m¥síci a za£átek není 30 £i 31. dne v m¥síci, po£ítá se 31. Od 30 E se li²í max. o jeden den.

Standardy:

•

ACT/365 (anglická metoda) - (resp. 366)

•

ACT/360 (francouzská £i mezinárodní metoda)

•

30E/360 (n¥mecká £i obchodní metoda)

Úrokové £íslo (UC)

UC =

Úrokový d¥litel (UD) Úrok

u=

K·p·t 100·360

=

UC UD Jestliºe je £ástka

K·t 100 360 p

K·t 100

UD = =

360 p

UC UD

u=

K1 uloºena (úro£ena) t1 dní, p, pak: K2 ·t2 Kr ·tr 1 ·t1 U C1 = K100 , U C2 = 100 , ..., U Cr = 100 r X

£ástka

p°i úrokové mí°e

U Cj

u=

j=1 UD

4

K2

uloºena

t2

dní, ..., £ástka

Kr

uloºena

tr

dní v²e

2.2.1

Základní rovnice pro jednoduché polh·tní úro£ení

u = K0 · i · n Kn = K0 + u Kn = K0 + K0 · i · n = K0 (1 + i · n) Kn = K0 (1 + i · n) K0 po£áte£ní pen¥ºní £ástka (kapitál), sou£asná hodnota kapitálu p ro£ní úroková sazba vyjád°ená jako desetinné £íslo i = 100 t n = 360 doba splatnosti kapitálu v letech Kn stav kapitálu za dobu n, budoucí hodnota kapitálu u úrok 2.2.2

Odvozené rovnice

Po£áte£ní (základní) kapitál Doba splatnosti (úro£ení)

n=

Úroková sazba (výnostnost)

2.3

K0 =

Kn 1+i·n

Kn −K0 K0 ·i

u i·n

u K0 ·i

=

Kn −K0 K0 ·n

i=

=

=

u K0 ·n

Diskont (p°edlh·tní úro£ení)

Dob = Kn · d · n Kob = Kn − Dob = Kn − Kn · d · n = Kn · (1 − d · n) Kob = Kn · (1 − d · n) Dob obchodní diskont Kn nominální hodnota pohledávky splatná za dobu n, d diskontní sazba jako desetinné £íslo p.a. Kob vyplacená £ástka, sou£asná hodnota

2.4

budoucí hodnota

Vztah mezi polh·tní úrokovou sazbou a diskontní sazbou

Aby polh·tní úro£ení (úroková sazba

i)

a p°edlh·tní úro£ení (diskontní sazba

d)

bylo shodné, musí platit:

d i = 1−d·n i d = 1+i·n obecn¥ =⇒ d < i

3

Sloºené úro£ení

Jde o p°ípad, kdy

N

3.1 3.1.1

n>u ´rokov´ e obdob´ı.

Po£ítají se úroky z úrok·...

p°irozené £íslo (kladné celé £íslo)

Základní rovnice pro sloºené úro£ení polh·tní Úroky p°ipisovány 1-krát ro£n¥, n ∈ N

Úrokové období ro£ní, úroky p°ipisovány pravideln¥ na konci roku, doba splatnosti je

Kn = K0 · (1 + i)n K0 sou£asná hodnota (p·vodní hodnota) kapitálu Kn budoucí hodnota kapitálu n doba splatnosti (úroková doba) i ro£ní úroková sazba vyjád°ená jako desetinné £íslo (1 + i)n úro£itel

5

n

let,

n∈N

3.1.2

Úroky p°ipisovány m-krát ro£n¥, n ∈ N

m-krát ro£n¥ pravideln¥ na konci n let, n ∈ N Kn = K0 · (1 + mi )m·n K0 sou£asná hodnota (p·vodní hodnota) kapitálu Kn budoucí hodnota kapitálu n doba splatnosti (úroková doba) m po£et úrokových období za rok (£etnost p°ipisování úrok·, frekvence úro£ení) i ro£ní úroková sazba vyjád°ená jako desetinné £íslo i m úroková sazba za m-tinu roku vyjád°ená jako desetinné £íslo

Úrokové období krat²í neº jeden rok, úroky p°ipisovány

úrokového období,

doba splatnosti je

3.2 3.2.1

Kombinace jednoduchého a sloºeného úro£ení smí²ené úro£ení Úroky p°ipisovány 1-krát ro£n¥, n ∈ /N

n let, n ∈ /N Kn0 = K0 · (1 + i)n0 Kn = Kn0 · (1 + l · i) Kn = K0 · (1 + i)n0 · (1 + l · i) n = n0 + l n0 celá £ást n (nebo-li [n]), celý po£et ukon£ených let, p°irozené £íslo l necelá £ást roku (nebo-li (n − [n])), £íslo < 1 K0 po£áte£ní kapitál Kn0 kapitál po n0 letech (úro£í se sloºen¥) Kn kone£ná vý²e kapitálu v dob¥ splatnosti n (po dobu n0 úro£eno sloºen¥, po dobu l úro£eno jednodu²e) i ro£ní úroková sazba


3.2.2

Úroky p°ipisovány m-krát ro£n¥, n ∈ /N

m-krát ro£n¥ pravideln¥ na konci úrokového období, n let, n ∈ /N Kn0 = K0 · (1 + mi )n0 Kn = Kn0 · (1 + l · i) Kn = K0 · (1 + mi )n0 · (1 + l · i) n = n0 + l n0 = m · [n] + poˇ cet cel´ y ch u ´rokov y´ch obdob´ı v posledn´ım roce, p°irozené £íslo, po£et celých ukon£ených úrokových období (po£et ukon£ených m-tin roku) l £íslo men²í neº m-tina roku vyjád°ené jako £ást roku K0 po£áte£ní kapitál Kn0 kapitál po n0 úrokových obdobích (úro£í se sloºen¥) Kn kone£ná vý²e kapitálu v dob¥ splatnosti n (po dobu n0 úro£eno sloºen¥, po dobu l úro£eno jednodu²e) i ro£ní úroková sazba m po£et úrokových období za rok

Úrokové období krat²í neº jeden rok, úroky p°ipisovány doba splatnosti je

3.3 3.3.1

Výpo£et doby splatnosti Úroky p°ipisovány 1-krát ro£n¥, n ∈ N


n

let,

n∈N

Kn = K0 · (1 + i)n zlogaritmujeme ln Kn = ln K0 + n ln(1 + i) n −ln K0 n = ln K ln(1+i) Pozn: Tento vzorec pouºijeme, i pokud

n ∈ / N.

Výsledek je sice trochu nep°esný, ale nestojí to za tu

práci. Správn¥ by ²lo totiº o smí²ené úro£ení.

6

3.3.2



m-krát

ro£n¥ pravideln¥ na konci úrokového období,

n let, n ∈ N Kn = K0 · (1 + mi )m·n zlogaritmujeme ln Kn = ln K0 + m · n ln(1 + mi ) Kn −ln K0 n = lnm·ln(1+ i )

doba splatnosti je

m

Pozn: Tento vzorec pouºijeme, i pokud

n ∈ / N.

Výsledek je sice trochu nep°esný, ale nestojí to za tu

práci. Správn¥ by ²lo totiº o smí²ené úro£ení.

3.4

Sou£asná hodnota p°i sloºeném úro£ení

3.4.1

Úroky p°ipisovány 1-krát ro£n¥, n ∈ N


n

let,

n∈N

Kn = K0 · (1 + i)n Kn −n K0 = (1+i) n = Kn · (1 + i) n 1 1 = νn (1+i)n = 1+i −1

1 = (1 + i) ν = 1+i ν diskontní faktor K0 =Kn · ν n K0 sou£asná hodnota (p·vodní hodnota) kapitálu, SH, Kn budoucí hodnota kapitálu, BH, FV n doba splatnosti (úroková doba) i ro£ní úroková sazba vyjád°ená jako desetinné £íslo

3.4.2

PV



m-krát


n let, n ∈ N Kn = K0 · (1 + mi )m·n K0 = (1+Ki n)m·n

doba splatnosti je

m

K0 sou£asná hodnota (p·vodní hodnota) kapitálu, SH, PV Kn budoucí hodnota kapitálu, BH, FV n doba splatnosti (úroková doba) m po£et úrokových období za rok (£etnost p°ipisování úrok·, frekvence i ro£ní úroková sazba vyjád°ená jako desetinné £íslo i m úroková sazba za m-tinu roku vyjád°ená jako desetinné £íslo

3.5

úro£ení)

Sou£asná hodnota p°i smí²eném úro£ení

3.5.1

Úroky p°ipisovány 1-krát ro£n¥, n ∈ /N


Kn = K0 · (1 + i)n0 · (1 + l · i) n K0 = (1+i)nK0 ·(1+l·i) n = n0 + l n0 celá £ást n (nebo-li [n]), celý po£et ukon£ených let, p°irozené £íslo l necelá £ást roku (nebo-li (n − [n])), £íslo < 1 K0 sou£asná hodnota (p·vodní hodnota) kapitálu, SH, PV Kn0 kapitál po n0 letech (úro£í se sloºen¥) Kn budoucí hodnota kapitálu, BH, FV v dob¥ splatnosti n (po dobu n0 úro£eno jednodu²e)

i

ro£ní úroková sazba

7

n

let,

n∈ /N

úro£eno sloºen¥, po dobu

l

3.5.2

istá sou£asná hodnota

K1 , K2 , ..., Kn na sou£asnou hodnotu K0 K1 K2 Kn K0 = (1+i) + + ... + (1+i) 1 n (1+i)2 ˇ CSH = K0 − poˇ ca ´teˇ cn´ı investice ˇ CSH £istá sou£asná hodnota (NPV net present value)

P°epo£ítáme pen¥ºní toky

3.5.3

Vnit°ní míra výnosu (vnit°ní výnosové procento i)

u2 un u1 K = (1+i) 1 + (1+i)2 + ... + (1+i)n K vynaloºený kapitál n doba ºivotnosti investice, doba na kterou po£ítáme míru výnosu u1 ... un pen¥ºní toky spojené s investicí v jednotlivých letech i vnit°ní míra výnosu (vnit°ní výnosové procento) Výpo£et i není snadný, pouºívají se po£íta£e...

3.6 3.6.1

Výpo£et výnosnosti (úrokové sazby) Úroky p°ipisovány 1-krát ro£n¥, n ∈ N


n

let,

n∈N

n Kn = qK0 · (1 + i) n Kn i= K0 − 1 K0 sou£asná hodnota (p·vodní hodnota) kapitálu Kn budoucí hodnota kapitálu n doba splatnosti (úroková doba) i ro£ní úroková sazba vyjád°ená jako desetinné £íslo

3.6.2


m-krát ro£n¥ pravideln¥ na konci n let, n ∈ N Kn = K0 · (1 + mi )m·n q n i = m · ( m·n K K0 − 1) K0 sou£asná hodnota (p·vodní hodnota) kapitálu, SH, PV Kn budoucí hodnota kapitálu, BH, FV n doba splatnosti (úroková doba) m po£et úrokových období za rok (£etnost p°ipisování úrok·, frekvence úro£ení) i ro£ní úroková sazba vyjád°ená jako desetinné £íslo i m úroková sazba za m-tinu roku vyjád°ená jako desetinné £íslo


úrokového období,

doba splatnosti je

3.7 3.7.1

Výpo£et úroku Úroky p°ipisovány 1-krát ro£n¥, n ∈ N


n

let,

n∈N

u = Kn − K0 = K0 · (1 + i)n − K0 = K0 · [(1 + i)n − 1] 3.7.2



n let, n ∈ N u = Kn − K0 = K0 · (1 + mi )m·n − K0 = K0 · (1 +

m-krát


doba splatnosti je

8

i m·n m)

−1

3.8

Efektivní úroková sazba

1 + ie = (1 + mi )m ie ideální efektivní úroková sazba i ro£ní úroková sazba m po£et úrokových období, m-krát ie = (1 + mi )m − 1

3.9

za rok p°ipisovány úroky

Úroková intenzita spojité úro£ení i m m) 1 m m)

1 + ie = lim (1 + m→∞

= lim

h

m→∞

(1 +

1

m i

m

)i

ii

= ei

e = lim (1 + m→∞ e je Eulerovo £íslo, e = 2, 71828... ie = ei − 1 i = ln(1 + ie ) ie úroková intenzita i ro£ní úroková sazba m po£et úrokových období v roce Spojité úro£ení

Kn = K0 · ei·n

Spojité diskontování

K0 = Kn · e−i·n

K0 po£áte£ní kapitál Kn hodnota kapitálu za i ro£ní úroková sazba 3.9.1

Kr

dobu

n

Nominální a reálná úroková sazba

reálná vý²e kapitálu

K0 kapitál na po£átku úrokového období i nominální úroková míra vyjád°ená jako desetinné £íslo ir reálná úroková míra vyjád°ená jako desetinné £íslo ii míra inace Úrokové období ro£ní

Kr = K0 · (1 + i) ·

Kr = K0 · (1 + ir ) Fisherova rovnice

ir ii ir = i − ii protoºe

3.10 K0

1 1+ii

i = ir + ii + ir ii ⇒ zjednodu²en¥:

je malé

Hrubý a £istý výnos

po£áte£ní kapitál

ucˇ £istý výnos (úrok) i nominální úroková míra vyjád°ená jako desetinné £íslo (hrubá icˇ £istá výnosnost (£istá úroková sazba) d da¬ová sazba vyjád°ená jako desetinné £íslo n doba splatnosti vyjád°ená v letech (obvykle 0 < n < 1) cˇKn £istá kone£ná vý²e kapitálu Hrubý výnos

u=K ·i·n

9

výnosnost), n¥kdy zna£eno

ih

istý výnos

ucˇ = K0 · i · n − d · K0 · i · n = K0 · i · (1 − d) · n

istá kone£ná vý²e kapitálu istá ro£ní výnosnost

icˇ =

cˇKn

c ˇKn −K0

K0 ·n

icˇ = i · (1 − d) icˇ ih = (1−d)

4

= K0 + ucˇ = K0 + K0 · i · (1 − d) · n = K0 · [1 + i · (1 − d) · n] =

ucˇ K0 ·n

B¥ºné ú£ty

4.1

Z·statkový zp·sob

Úrok se po£ítá z úro£ení z·statk· ú£tu.

K·t 100 vý²e kapitálu (z·statku na ú£tu)

Úrokové £íslo (UC)

K t úrokové

UC =

období ve dnech

Úrokový d¥litel (UD) UC UD Z·statek ú£tu

Úrok

UD =

360 p

u=

úrokové mí°e

p,

K1

je úro£en

t1

dní, z·statek

K2

je úro£en

t2

dní, ..., z·statek

Kr

je úro£en

tr

dní v²e p°i

pak:

1 ·t1 U C1 = K100 , U C2 = r X

K2 ·t2 100 , ...,

U Cr =

Kr ·tr 100

U Cj

u=

4.2

j=1 UD

Postupný zp·sob

Úrok se po£ítá z úro£ení jednotlivých p°íjm· a výdaj·. Úrok se po£ítá ze zm¥n na ú£tu (z p°íjm· a výdaj·), a to od data zm¥ny aº do konce období. Po£áte£ní stav a p°íjmy mají kladné

U C,

výdaje mají záporné

U C.

Úroková £ísla se se£tou a vyd¥lí úrokovým d¥litelem.

r X

u=

U Cj

j=1 UD

Reference [1] RADOVÁ, Jarmila; DVOÁK, Petr; MÁLEK, Ji°í. Finan£ní matematika pro kaºdého. 7. vydání. Praha 7 : GRADA Publishing, a.s., 2009. 296 s. ISBN 978-80-247-3291-6. [kniha]

10

Finan ní matematika pro kaºdého[1] - vzore ky

Recommend Documents