Függvényvizsgálat Végezzük el az alábbi függvények teljes függvényvizsgálatát: 1. f HxL := x4 - 4 x3
2. f HxL := -x4 + 18 x2
3. f HxL := x5 + 5 x4
4. f HxL :=
5. f HxL :=
6. f HxL :=
7. f HxL :=
8. f HxL :=
9. f HxL :=
1 1-x2 2
x x+1
13. f HxL := e-x
2
x 1+x2
10. f HxL :=
3
x
x2 -3
14. f HxL := x e-x
2
x 1-x2
11. f HxL := x ‰-x
1 1+x2 x H1-2 xL2
12. f HxL := Hx + 2L2 ‰-x
15. f HxL := x2 ln x
ü A függvényvizsgálat lépései
1. D f ; zérushelyek (ha megállapítható); paritás; periodicitás; határértékek +¶-ben, -¶-ben (ha van értelme), szakadási pontokban, határpontokban 2. f ' vizsgálata (monotonitás, lokális szélsőértékek) 3. f " vizsgálata (konvexitás, konkávitás, inflexiós pontok). 4. Lineáris aszimptoták 5. f ábrázolása, R f meghatározása ü Emlékeztető
Tétel: Ha az f függvény deriválható az értelmezési tartományának egy x0 belső pontjában, akkor az x0 -beli lokális szélsőérték létezésének 1. szükséges feltétele: f ' Hx0 L = 0
2. elégséges feltétele: aL f ' Hx0 L = 0 és f ' előjelet vált x0 -ban
bL Ha f kétszer deriválható x0 -ban: f ' Hx0 L = 0 és f '' Hx0 L ∫ 0 H f '' Hx0 L > 0 : lok.min., f '' Hx0 L < 0 : lok. max.L
Tétel: Ha az f függvény kétszer deriválható az értelmezési tartományának egy x0 belső pontjában, akkor az x0 -beli inflexiós pont létezésének 1. szükséges feltétele: f '' Hx0 L = 0
2. elégséges feltétele: aL f '' Hx0 L = 0 és f '' előjelet vált x0 -ban
bL Ha f háromszor deriválható x0 -ban: f '' Hx0 L = 0 és f ''' Hx0 L ∫ 0
ü Aszimptoták
Definíció (Függőleges aszimptota): Az x = a egyenes az f függvény függőleges aszimptotája, ha lim f HxL = ≤¶ vagy ha xØa+
lim f HxL = ≤¶.
xØa-
Definíció (Vízszintes aszimptota): Az y = b egyenes az f függvény vízszintes aszimptotája, ha lim f HxL = b vagy ha lim f HxL = b. xض
xØ-¶
Definíció (Ferde aszimptota (tartalmazza a vízszintest is)): Az lHxL = a x + b egyenes az f függvény ferde aszimptotája, ha lim @ f HxL - lHxLD = 0 vagy ha lim @ f HxL - lHxLD = 0. Ekkor a = lim
xØ+¶
xØ-¶
xض
f HxL x
és b = lim @ f HxL - a xD. Minden olyan racionális törtfügxض
gvénynek van ferde aszimptotája, ahol a számláló fokszáma eggyel nagyobb, mint a nevezőé (ld. 9. és 10. példa).
Függvényvizsgálat.nb
2
Megoldások f HxL := x4 - 4 x3
ü 1.
D f = ; zérushely : x = 0 és x = 4
f ' HxL = 4 x3 - 12 x2 = 4 x2 Hx - 3L = 0 ñ x = 0 vagy x = 3 f '' HxL = 12 x2 - 24 x = 12 xHx - 2L = 0 ñ x = 0 vagy x = 2 lim f HxL = lim f HxL = +¶; R f = @-27, +¶L
xØ-¶
xØ+¶
80
x
x<0
0
0<x<2
2
2<x<3
3
3<x
f'
−
0
−
0
+
f
↓
0
↓
min:−27
↑
f"
+
0
−
0
+
f
‹
infl:0
›
infl:−16
‹
60 40 20
-2
1
-1
2
3
4
5
-20
f HxL := -x4 + 18 x2
ü 2.
50
-4
D f = ; zérushely : x = 0 és x = ≤ 3
f '' HxL = -12 x2 + 36 = 0 ñ x = - 3 vagy x =
4
-50
f ' HxL = -4 x3 + 36 x = 4 xI-x2 + 9M = 0 ñ x = -3 vagy x = 0 vagy x = 3
-100
3
lim f HxL = lim f HxL = -¶; R f = H-¶, 81D
xØ-¶
2
-2
2 ; f páros;
-150
xØ+¶
x
x<−3
−3
−3<x<− 3
− 3
− 3 <x<0
f'
+
0
−
0
f
↑
max:81
↓
f"
−
f
›
0
0<x< 3
3
3 <x<3
3
3<x
+
0
−
min:0
↑
max:81
↓
0
+
0
−
infl:45
‹
infl:45
›
f HxL := x5 + 5 x4
ü 3.
D f = ; zérushely : x = 0 és x = -5
f ' HxL = 5 x4 + 20 x3 = 5 x3 Hx + 4L = 0 ñ x = -4 vagy x = 0 f '' HxL = 20 x3 + 60 x2 = 20 x2 Hx + 3L = 0 ñ x = -3 vagy x = 0 lim f HxL = -¶, lim f HxL = +¶; R f =
xØ-¶
xØ+¶
300
x
x<−4
−4
−4<x<−3
f'
+
0
f
↑
max:256
−3
−3<x<0
0
0<x
200
−
0
+
100
↓
min:0
↑
-4
2
-2 -100
f"
−
0
+
0
+
-200
f
›
infl:162
‹
0
‹
-300 -400
Függvényvizsgálat.nb
f HxL :=
ü 4.
1 1+x2
lim f HxL = 0, lim f HxL = 0
D f = ; zérushely nincs; f páros f ' HxL = f '' HxL =
xØ-¶
2x
=0ñx=0
2
I1+x2 M
2 I-1+3 x2 M 2 3
I1+x M
1
=0ñx=-
vagy x =
vízszintes aszimptota : y = 0 R f = H0, 1D
1
3
xØ+¶
3
1.0
x
1
x<−
1
−
3
−
3
1
<x<0
0
0<x<
1
1
1
3
3
3
3
f'
+
0
−
f
↑
max:1
↓
<x 0.8 0.6 0.4
f
+
f"
‹
−
0
+
0
0.2
infl:
3 4
›
infl:
3 4
‹ -3
f HxL :=
ü 5.
f ' HxL =
lim f HxL = 0,
x
xØ1-0
2 I1+3 x2 M
f '' HxL = -
lim xØ-1-0
3
I-1+x2 M
f HxL = -¶,
lim xØ-1+0
f HxL = +¶
lim f HxL = +¶, lim f HxL = -¶, lim f HxL = 0
=0ñx=0
2
2
1
xØ-¶
I-1+x2 M
1
-1
1-x2
D f = \8-1, 1<; zérushely nincs; f páros 2x
-2
xØ+¶
xØ1-0
vízszintes aszimptota : y = 0, függőleges aszimptota : x = -1, x = 1
∫0
R f = H-¶, 0L ‹ @1, +¶L
x<−1 −1<x<0
0
3
0<x<1 1<x
f'
−
−
0
+
+
f
↓
↓
min:1
↑
↑
f"
−
f
›
2 1
+
-4
−
2
-2
4
-1
‹
›
-2 -3
f HxL :=
ü 6.
x 1+x2
0.4 0.2
D f = ; zérushely : x = 0; f páratlan f ' HxL = f '' HxL =
-10
1-x2 2
I1+x2 M
2 I-3 x+x3 M 2 3
I1+x M
5
-5
= 0 ñ x = -1 vagy x = 1
10
-0.2
= 0 ñ x = - 3 vagy x = 0 vagy x =
-0.4
3
lim f HxL = 0, lim f HxL = 0; vízszintes aszimptota : y = 0; R f = A- 2 , 2 E 1
xØ-¶
x
1
xØ+¶
x<− 3
− 3
f'
−
f
↓
f"
−
f"
›
− 3 <x<−1
−1<x<0
3
1 2
0<x<1
1
1<x< 3
3 <x
3 −
0 1 2
↑
max:
+
0
−
0
‹
infl:0
›
infl:
min:−
4
0 +
0
0 infl:−
−1
↓ + 3 4
‹
3
3
Függvényvizsgálat.nb
4
x 1-x2
f HxL :=
7.
lim f HxL = 0,
D f = \8-1, 1<; zérushely : x = 0; f páratlan f ' HxL =
1+x
xØ1-0
2 I3 x+x3 M
0
+
+
+
f
↑
↑
↑
f"
+
−
0
+
−
f
‹
›
infl:0
‹
›
2 1
-4
-2
H1-2 xL2
lim f HxL = 0, lim f HxL = 0, lim
1
f '' HxL =
x
=0ñx
8 H1+xL H-1+2 xL4
xØ-¶
1 = -2
−1<x<− −
f
↓
1
xØ- -0
f HxL = +¶,
R f = A- 8 , +¶M 1
1
−
1
1
1
1
2
2
2
− <x<
2
0
<x 0.6
+
−
min:−
1 8
↑
↓ 0.2
−
f
›
0 infl:−
f HxL :=
ü 9.
1 9
+
−
‹
›
-4
2
-2
4
x2 x+1
D f = \81<; zérushely : x = 0 f ' HxL = f '' HxL =
2 x+x2 H1+xL2 2 H1+xL3
= 0 ñ x = -2 vagy x = 0 ∫0
lim f HxL = +¶, lim f HxL = +¶, lim
xØ-¶
xØ+¶
xØ-1-0
f HxL = -¶,
lim xØ-1+0
f HxL = +¶
függőleges aszimptota : x = -1, ferde aszimptota : y = x - 1 Rf = x
x<−2
−2
f'
+
0
−
f
↑
max:−4
↓
1
−2<x<−1 −1<x<0
0
0<x
−
0
+
↓
min:0
↑
5
f"
−
+
f"
›
‹
-4
-3
-2
1
-1 -5
-10
f HxL = +¶
2
0.4
f"
lim xØ- +0
vízszintes aszimptota : y = 0, függőleges aszimptota : x =
2
f'
xØ+¶
2
= 0 ñ x = -1
−1
x<−1
4
-1
D f = \9 2 =; zérushely : x = 0 H-1+2 xL3
2
-2
x
f HxL :=
f ' HxL =
xØ+¶
xØ1+0
0<x<1 1<x
f'
-1-2 x
f HxL = -¶
Rf =
x<−1 −1<x<0
ü 8.
lim xØ-1+0
vízszintes aszimptota : y = 0, függőleges aszimptota : x = -1, x = 1
=0ñx=0
3
I-1+x2 M
f HxL = +¶,
lim xØ-1-0
lim f HxL = +¶, lim f HxL = -¶, lim f HxL = 0
∫0
2
I-1+x2 M
f '' HxL = -
x
xØ-¶
2
2
3
1 2
Függvényvizsgálat.nb
x3
f HxL :=
ü 10.
x2 -3
15 10
f ' HxL =
-9 x2 +x4
f '' HxL =
6 I9 x+x3 M
5
3 >; zérushely : x = 0; f páratlan
D f = \:- 3 ,
-4
2
-2
= 0 ñ x = 0 vagy x = -3 vagy x = 3
2
I-3+x2 M
-10
I-3+x M
-15
=0ñx=0
2 3
lim f HxL = -¶,
xØ-¶
lim xØ- 3 -0
f HxL = -¶,
lim xØ- 3 +0
függőleges aszimptota : x = - 3 , x =
f HxL = +¶,
lim xØ 3 -0
f HxL = -¶,
x<−3
−3
−3<x<− 3
− 3 <x<0
0
0<x< 3
f'
+
0
−
−
0
−
−
f
↑
↓
↓
0
↓
↓
max:−
9 2
lim xØ 3 +0
3 <x<3
xØ+¶
3
3<x
0
+
min:
f"
−
+
0
−
+
f
›
‹
infl:0
›
‹
9 2
+
f HxL := x „-x
f '' H1L < 0 fl f H1L =
D f = ; zérushely : x = 0
f ' HxL = -‰-x H-1 + xL = 0 ñ x = 1 f '' HxL = ‰-x H-2 + xL = 0 ñ x = 2 f ''' HxL = -‰-x H-3 + xL
ü 12.
f HxL = +¶, lim f HxL = +¶
3 , ferde aszimptota : y = x; R f =
x
ü 11.
4
-5
f ''' H2L > 0 fl f H2L =
1 º 0.37 lokális maximum ‰ 2 ‰2
º 0.27 inflexiós pont
lim f HxL = -¶, lim f HxL = 0; R f = J-¶, ‰ F 1
xØ-¶
xØ+¶
f HxL := Hx + 2L2 „-x
D f = ; zérushely : x = -2
f ' HxL = -‰-x x H2 + xL = 0 ñ x = -2 vagy x = 0
f '' HxL = ‰-x I-2 + x2 M = 0 ñ x = - 2 vagy x = f ''' HxL = -‰
-x
2
I-2 - 2 x + x M 2
f '' H-2L > 0 fl f H-2L = 0 lokális minimum; f '' H0L < 0 fl f H0L = 4 lokális maximum
f ''' J- 2 N < 0 fl f J- 2 N º 1.41 inflexiós pont; f ''' J 2 N > 0 fl f J 2 N º 2.83 inflexiós pont lim f HxL = +¶, lim f HxL = 0; R f = @0, +¶L
xØ-¶
xØ+¶
f HxL Hx + 2L2 ‰-x
f HxL x ‰-x
8 0.2 6 1
-1
2
3
4
4
5
2
-0.2
-0.4 -2
2
4
6
5
6
Függvényvizsgálat.nb
f HxL := e-x
ü 13.
2
f '' H0L < 0 fl f H0L = 1 lokális maximum
D f = ; zérushely nincs; f páros f ' HxL = -2 ‰
-x2
f '' HxL = 2 ‰-x I-1 + 2 x2 M = 0 ñ x = ≤
1
2
f ''' HxL = -4 ‰
f ''' J-
x=0ñx=0
2
-x
2
º ≤ 0.71
x I-3 + 2 x M 2
f ''' J
1
2 1 2
N < 0 fl f J-
N > 0 fl f J
f HxL := x e-x
2
2
N=
N= 1
1
º 0.61 inflexiós pont
‰
inflexiós pont
‰
lim f HxL = 0, lim f HxL = 0; R f = H0, 1D
xØ-¶
ü 14.
1
1
xØ+¶
2
D f = ; zérushely : x = 0; f páratlan f ' HxL = -‰-x I-1 + 2 x2 M = 0 ñ x = ≤ 2
1
º ≤ 0.71
2
f '' HxL = 2 ‰-x x I-3 + 2 x2 M = 0 ñ x = ≤
3 2
2
º ≤ 1.22
f ''' HxL = -2 ‰-x I3 - 12 x2 + 4 x4 M 2
f '' J-
1 2
N > 0 fl f J3 2
f ''' -
1 2
N=3 2
> 0 fl f -
º -0.43 lokális minimum; f '' J
1 2‰
lim f HxL = 0, lim f HxL = 0; R f = B-
xØ-¶
3 2
º -0.27 inlexiós pont; f '''
xØ+¶
1 2‰
2
N < 0 fl f J 3 2
> 0 fl f
1 2
N=
1
º 0.43 lokális maximum;
2‰
º 0.27 inflexiós pont
F
1
,
1
2‰
f HxL := x2 ln x
ü 15.
f '' H0L > 0 fl f K
D f = + ; zérushely : x = 1 f ' HxL = x + 2 x lnHxL = 0 ñ x = f '' HxL = 3 + 2 lnHxL = 0 ñ x = f ''' HxL =
1
º 0.61
‰ 1
‰3ë2
f ''' J
1 ‰3ë2
‰
N > 0 fl f J
O = - 2 ‰ º -0.18 lokális minimum 1
1 ‰3ë2
N=-
3 2 ‰3
º -0.07 inflexiós pont
lim f HxL = 0, lim f HxL = +¶; R f = B- 2 ‰ , +¶F
º 0.22
1
xØ+¶
xØ0+0
2 x
f HxL ‰-x
1
2
f HxL x ‰-x
1.0
2
f HxL x2 lnHxL
0.4 0.2
0.8 0.2 0.6
0.1
0.4
-3
-2
1
-1
2
3 0.2
-0.2
0.2
-3
-2
-1
-0.1 1
2
3
-0.4
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
