A Val´ osz´ın˝ us´ egsz´ am´ıt´ as II. el˝ oad´ assorozat hatodik t´ em´ aja. ´ ´ ´ ˝ EG ´ ES ´ FELTETELES ´ ´ ´ ERT ´ ´ FELTETELES VALOSZ INUS VARHAT O EK A felt´eteles val´ osz´ın˝ us´eg ´es felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek fogalm´at nulla val´ osz´ın˝ us´eggel bek¨ovetkez˝ o felt´etelek eset´en is defini´alj´ak, teh´at olyan esetekben is, amikor a hagyom´anyos, a bevezet˝o val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´ as el˝ oad´asban tanult definici´ onak nincs ´ertelme. De e fogalmak ´ altal´ anos´ıt´ asai az ilyen esetekre a val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´ as legnehezebb fogalmai k¨ oz´e tartoznak. Ezek jobb meg´ert´ese ´erdek´eben megpr´ob´ alom el˝ osz¨ or megmutatni egy p´elda seg´ıts´eg´evel, hogy milyen szeml´eletes k´epet akarunk ennek a definici´ onak a seg´ıts´eg´evel megfogalmazni. Tekints¨ uk a k¨ ovetkez˝ o p´eld´at. Van t´ız darab l´amp´ ank, ezek ´elettartama egym´ast´ ol f¨ uggetlen, (exponenci´alis eloszl´assal ´es) 25 ´ ora v´ arhat´ o ´ert´ekkel. Egy foglalatba betessz¨ uk az els˝ o l´amp´ at, hogy bevil´ ag´ıtson egy termet. Ha a l´ampa ki´egett azonnal kicser´elj¨ uk a k¨ ovetkez˝ o l´amp´ ara. Els˝o k´erd´es: Mit v´ arunk v´ arunk, mennyi ideig elegend˝ o a t´ız l´ampa egy¨ uttesen a terem bevil´ ag´ıt´ as´ahoz? A term´eszetes v´ alasz az, hogy ez a t´ız l´ampa egy¨ uttes ´elettartam´ anak a v´ arhat´ o ´ert´eke, azaz 10×25=250 ´ ora. A m´ asodik k´erd´es a k¨ ovetkez˝ o: Megfigyelj¨ uk, hogy melyik id˝ opontban cser´elj¨ uk ki a m´ asodik l´amp´ at. Mit v´ arunk ennek az inform´ aci´ onak az ismeret´eben a t´ız l´ampa egy¨ uttes ´elettartam´ ara? Ha ez a csere 48 o´ra 22 perc m´ ulva t¨ort´enik meg, akkor a term´eszetes becsl´es a 10 l´ampa egy¨ uttes ´elettartam´ ara 48 o´ra 22 perc plusz 8 × 25 ´ ora, azaz 248 ´ ora 22 perc. Ha ez a csere 51 ´ ora 19 perc m´ ulva t¨ort´enik, akkor hasonl´oan azt v´ arjuk, hogy ez az id˝ otartam 251 ´ ora 19 perc. A fenti p´elda nem ¨ onmaga miatt ´erdekes sz´amunkra, hanem az´ert, mert r´amutat arra, hogy term´eszetes vizsg´alni a k¨ ovetkez˝ o k´erd´est. Ha adva van egy esem´eny vagy egy val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, akkor ´erdekelhet minket ennek az esem´enynek a val´ osz´ın˝ us´ege vagy ennek a val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ onak a v´ arhat´ o ´ert´eke. El˝ofordulhat, hogy m´ as esem´enyeknek a bek¨ovetkez´es´et vagy be nem k¨ ovetkez´es´et, m´ as val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok felvett ´ert´ek´et meg tudjuk figyelni, ´es ezen plusz inform´ aci´ok ismeret´eben akarjuk megbecs¨ ulni a minket ´erdekl˝ o esem´eny val´ osz´ın˝ us´eg´et vagy val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o v´ arhat´ o ´ert´ek´et. Ekkor term´eszetes olyan becsl´est adni, amely ezeket a plusz inform´ aci´okat is figyelembe veszi. A k´erd´es az, hogy hogyan tegy¨ uk ezt. Az el˝ oz˝ o p´eld´aban is ilyen k´erd´est fogalmaztam meg. Ott meg akartuk becs¨ ulni t´ız val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o o¨sszeg´enek a v´ arhat´ o ´ert´ek´et azon felt´etel mellett, hogy az els˝ o k´et v´ altoz´ o o¨sszeg´enek az ´ert´eke ismert. Olyan p´eld´at tekintett¨ unk, ahol a megfigyelt val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, az els˝ o k´et l´ampa ¨ ossz´elettartama, folytonos eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, ez´ert nulla annak a val´ osz´ın˝ us´ege, hogy az egy el˝ o´ırt ´ert´eket vesz fel. Teh´ at a keresett val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek´ere olyan felt´etel mellett vagyunk kiv´ancsiak, hogy egy nulla val´ osz´ın˝ us´egi esem´eny k¨ ovetkezett be. Viszont a bevezet˝o val´ osz´ın˝ us´eg el˝ oad´asban defini´alt felt´eteles val´ osz´ın˝ us´eg (´es felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek) csak abban az esetben volt ´ertelmes, ha a felt´etel val´ osz´ın˝ us´ege nem nulla. Szeretn´enk a felt´eteles val´ osz´ın˝ us´eg ´es felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek fogalm´ anak olyan a´ltal´ anos´ıt´ as´at adni, amely lehet˝ ov´e teszi, hogy a felt´eteles val´ osz´ın˝ us´egr˝ ol ´es felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ekr˝ ol besz´elhess¨ unk nulla val´ osz´ın˝ us´egi felt´etelek mellett is. Emellett azt is elv´ arjuk, hogy a bevezetett fogalmak megfeleljenek szeml´eletes k´ep¨ unknek, amelyet, legal´ abbis egyel˝ ore, csak hom´ alyosan tudunk megfogalmazni. Lehets´eges egy ilyen 1
definici´ ot adni, de ehhez sz¨ uks´eg¨ unk van a m´ert´ekelm´elet n´eh´ any m´ely eredm´eny´ere. Ennek az el˝ oad´asnak a c´elja a felt´eteles val´ osz´ın˝ us´eg ´es v´ arhat´ o ´ert´ek definici´ oj´anak az ismertet´ese az ´ altal´ anos esetben, illetve e fogalmak legfontosabb tulajdons´againak a t´argyal´ asa. Az el˝ oz˝ o p´elda azt sugallja, hogy egy A halmaz felt´eteles val´ osz´ın˝ us´eg´et felt´eve bizonyos ξ1 , . . . , ξk val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ´ert´ek´et u ´gy ´erdemes defini´alni, mint a ξ1 , . . . , ξk val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok alkalmas (Borel) m´erhet˝ o f¨ uggv´eny´et, azaz P (A|ξ1 = x1 , . . . , ξk = xk ) = fA (x1 , . . . , xk ), ahol fA (x1 , . . . , xk ) Borel m´erhet˝ o f¨ uggv´eny az Rk k-dimenzi´os euklideszi t´erben, ´es azt m´eri mennyire val´ osz´ın˝ u az A esem´eny felt´eve, hogy ξ1 = x1 , . . . , ξk = xk . Ezt a val´ osz´ın˝ us´eget implicit m´ odon tudjuk defini´alni. Azt v´ arjuk a P (A ∩ B) = P (B)P (A|B) azonoss´ag anal´ ogi´aj´ara, hogy b´armely A halmazra ´es B = {ω: ξ1 (ω), . . . , ξk (ω)) ∈ [x1 , x1 + dx1 ] × · · · × [xk , xk + dxk ]} alak´ u B halmazra teljes¨ ul a P ((ξ1 , . . . , ξk ) ∈ [x1 , x1 + dx1 ] × · · · × [xk , xk + dxk ] ∩ A) = P ((ξ1 , . . . , ξk ) ∈ [x1 , x1 + dx1 ] × · · · × [xk , xk + dxk ])fA (x1 , . . . , xk ) azonoss´ag. Ez az azonoss´ag azonban semmitmond´ o, mert annak mind a k´et oldala null´ aval egyenl˝o. Viszont tartalmas ´ all´ıt´ ass´a v´ alhat, ha megfelel˝ o m´ odon kiintegr´aljuk. Alkalmas integr´al´ as azt sugallja, hogy teljes¨ ulnie kell a P (A ∩ {(ξ1 , . . . , ξk ) ∈ B}) Z = fA (x1 , . . . , xk )P (ξ1 ∈ [x1 , x1 + dx1 ], . . . , ξk ∈ [xk , xk + dxk ]) (x1 ,...,xk )∈B Z = fA (x1 , . . . , xk )F ( dx1 , . . . , dxk ) (∗) (x1 ,...,xk )∈B
azonoss´agnak, ahol B az Rk k-dimenzi´os t´er tetsz˝oleges (Borel) m´erhet˝ o halmaza, F (x1 , . . . , xk ) pedig a k-dimenzi´os (ξ1 , . . . , ξk ) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ asf¨ uggv´enye. Az anal´ızis egyik fontos eredm´eny´eb˝ ol, a k´es˝obb ismertetend˝ o Radon–Nikodym t´etelb˝ ol k¨ ovetkezik, hogy l´etezik olyan fA (·, ·, ·) f¨ uggv´eny amely teljes´ıti a (∗) azonoss´agot minden m´erhet˝ o B halmazra, ´es ezek az azonoss´agok l´enyeg´eben egy´ertelm˝ uen meghat´ arozz´ak ezt az fA felt´eteles val´ osz´ın˝ us´eget. Az el˝ oz˝ o mondatban haszn´ alt ‘l´enyeg´eben egy´ertelm˝ uen’ kifejez´es ´ertelm´enek a pontos magyar´ azat´ ara k´es˝obb m´eg visszat´erek. Hasonl´ o gondolatmenet seg´ıts´eg´evel defini´alhatjuk egy η, E|η| < ∞, val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o gη (x1 , . . . , xk ) = E(η|ξ1 = x1 , . . . , ξk = xk ) felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek´et felt´eve a ξ1 = x1 , . . . , ξk = xk felt´eteleket. Ez olyan (Borel-m´erhet˝ o) gη (x1 , . . . , xk ) f¨ uggv´eny, amelyre az Z Eη(ω)I ({ω: (ξ1 (ω), . . . , ξk (ω)) ∈ B}) = η(ω) dP (ω) {ω: (ξ1 (ω),...,ξk (ω))∈B} (∗∗) Z = gη (x1 , . . . , xk )F (dx1 , . . . , dxk ) B
2
rel´ aci´ok teljes¨ ulnek a k-dimenzi´os Rk euklideszi t´er tetsz˝oleges B Borel m´erhet˝ o r´eszhalmaz´ ara, ahol I(B) jel¨oli egy B ⊂ Ω halmaz indik´ator f¨ uggv´eny´et, ´es F (x1 , . . . , xk ) a (ξ1 , . . . , ξk ) v´eletlen vektor eloszl´ asf¨ uggv´enye. Azt, hogy ilyen gη (x1 , . . . , xk ) f¨ uggv´eny val´ oban l´etezik, ´es ez a gη f¨ uggv´eny az F (x1 , . . . , xk ) eloszl´ asf¨ uggv´eny a´ltal meghat´ arozott Lebesgue–Stieltjes m´ert´ek szerint egy val´ osz´ın˝ us´eggel meg van hat´arozva szint´en a Radon–Nikodym t´etel seg´ıts´eg´evel l´athatjuk be. Meg fogom mutatni, hogy a fent v´ azolt logika ´es a Radon–Nikodym t´etel seg´ıts´eg´evel bevezethetj¨ uk a felt´eteles val´ osz´ın˝ us´eg ´es felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek egy a´ltal´ anos, ´es szeml´eletes elv´ ar´ asainknak megfelel˝ o definici´ oj´at. S˝ot, ezeket a fogalmakat n´emileg altal´ ´ anosabb esetben fogom defini´alni. El˝ofordulhat ugyanis, hogy azon el˝ ozetes inform´aci´oink, amelyek alapj´ an egy halmaz val´ osz´ın˝ us´eg´ere vagy egy val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o ´ert´ek´ere becsl´est akarunk adni nem t¨om¨or´ıthet˝ oek v´eges sok val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o megfigyelt ´ert´ek´ebe. Annak ´erdek´eben, hogy a felt´eteles val´ osz´ın˝ us´eg ´es felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek fogalm´at term´eszetes m´ odon tudjuk t´argyalni ilyen ´ altal´ anosabb esetben is, el˝ osz¨ or azt kell tiszt´aznunk, hogy mit jelent az ´ altal´ anos esetben az, hogy bizonyos megfigyelt esem´enyek f¨ uggv´enyek´ent akarunk valamit megbecs¨ ulni. Ha meg tudunk figyelni megsz´ aml´alhat´ o sok esem´enyt, akkor meg tudjuk figyelni ezek uni´oj´at, metszet´et, illetve mindegyik esem´eny komplementer´et. Ez azt jelenti, hogy a megfigyelhet˝ o esem´enyek σ-algebr´at alkotnak. Ez´ert az a´ltal´ anos k´erd´es u ´gy fogalmazhat´o meg, hogy adva egy (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝on egy F ⊂ A σ-algebra, (amely tartalmazza az ´ altalunk megfigyelt esem´enyeket, amelyek mindegyik´er˝ol tudjuk, hogy bek¨ovetkezett-e vagy sem) ´es egy A esem´eny vagy egy η val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, amelyre E|η| < ∞, akkor hogyan defini´aljuk a P (A|F)(ω) felt´eteles val´ osz´ın˝ us´eget illetve E(η|F)(ω) felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´eket felt´eve az F σ-algebr´at. Az, hogy az F σ-algebra ismeret´eben akarjuk megbecs¨ ulni az A halmaz val´ osz´ın˝ us´eg´et illetve η val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o ´ert´ek´et a P (A|F)(ω) ´es E(η|F)(ω) felt´eteles val´ osz´ın˝ us´eg definici´ oj´aban azt jelenti, hogy i.) A P (A|F)(ω) felt´eteles val´ osz´ın˝ us´eg F m´erhet˝ o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. i.′ ) Az E(η|F)(ω) felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek F m´erhet˝ o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. Az F σ-algebra szerinti felt´eteles val´ osz´ın˝ us´eg ´es felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek definici´ oj´at a (∗) k´eplethez vezet˝o ´ervel´eshez hasonl´oan a k¨ ovetkez˝ o m´ odon pr´ ob´aljuk defini´alni a P (A|F)(ω) felt´eteles val´ osz´ın˝ us´eget ´es E(η|F)(ω) felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´eket. R o B halmazra. ii.) P (A ∩ B) = B P (A|F)(ω) dP (ω) minden F m´erhet˝ R R o B halmazra. ii.′ ) B η(ω) dP (ω) = B E(η|F)(ω) dP (ω) minden F m´erhet˝ Ezut´ an bevezetem a felt´eteles val´ osz´ın˝ us´eg ´es felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek definici´ oj´at az a´ltal´ anos esetben.
A felt´ eteles val´ osz´ın˝ us´ eg ´ es felt´ eteles v´ arhat´ o´ ert´ ek definici´ oja. Legyen adva egy (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ onek egy F ⊂ A r´esz-σ-algebr´ aja. Legyen tov´ abb´ a adva egy A ∈ A esem´eny vagy egy η(ω), E|η(ω)| < ∞, val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o ezen a val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ on. Az A esem´eny P (A|F)(ω) felt´eteles val´ osz´ın˝ us´ege felt´eve a F σ-algebr´ at olyan 3
val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, amely teljes´ıti az i.) ´es ii.) tulajdons´ agokat. Az η(ω) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o E(η|F)(ω) felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´eke felt´eve a F σ-algebr´ at olyan val´ osz´ın˝ us´egi ′ ′ v´ altoz´ o, amely teljes´ıti az i. ) ´es ii. ) tulajdons´ agokat. Az el˝ oz˝ o definici´ o mint´aj´ara bevezetem az el˝ oad´as elej´en t´argyalt felt´eteles val´osz´ın˝ us´eg ´es felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek fogalm´at felt´eve bizonyos val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ´ert´ekeinek az ismeret´et. A felt´ eteles val´ osz´ın˝ us´ eg ´ es felt´ eteles v´ arhat´ o ´ ert´ ek definici´ oja felt´ eve bizonyos val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok ´ ert´ ek´ et. Legyen adva egy A esem´eny vagy egy η val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o egy (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ on valamint v´eges sok ξ1 , . . . , ξk val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o ugyanezen a val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ on. Az A esem´eny felt´eteles val´ osz´ın˝ us´ege felt´eve, hogy ξ1 = x1 , . . . , ξk = xk egy olyan fA (x1 , . . . , xk ) k-v´ altoz´ os Borel m´erhet˝ o f¨ uggv´eny, amely teljes´ıti a (∗) rel´ aci´ ot. Egy η, E|η| < ∞, szint´en az (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ on defini´ alt val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´eke felt´eve, hogy ξ1 = x1 , . . . , ξk = xk egy olyan gη (x1 , . . . , xk ) k-v´ altoz´ os Borel m´erhet˝ o f¨ uggv´eny, amely teljes´ıti a (∗∗) rel´ aci´ ot. Meg kell mutatni, hogy a fenti tulajdons´agokkal rendelkez˝ o P (A|F)(ω) felt´eteles val´ osz´ın˝ us´eg ´es E(ξ|F)(ω) felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek val´ oban l´etezik, illetve, hogy ezek a tulajdons´agok meghat´ arozz´ ak ˝ oket. Meg fogom mutatni, hogy ez k¨ ovetkezik az al´ abb megfogalmazand´ o Radon–Nikodym t´etelb˝ ol. Ezenk´ıv¨ ul meg k´ıv´anjuk ´erteni az a´ltal´ anos esetben definini´ alt P (A|F) illetve E(η|F) felt´eteles val´ osz´ın˝ us´eg ´es felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek kapcsolat´ at az el˝ oz˝ oleg speci´alis esetben defini´alt P (A|ξ1 = x1 , . . . , ξk = xk ) ´es E(η|ξ1 = x1 , . . . , ξk = xk ) kifejez´esekkel, amelyek l´etez´es´et szint´en meg kell indokolni. El˝osz¨ or megfogalmazok egy k´erd´est, amelyre a Radon–Nikodym t´etel ad v´ alaszt. Erre az eredm´enyre sz¨ uks´eg¨ unk van a felt´eteles val´ osz´ın˝ us´eg ´es v´ arhat´ o ´ert´ek l´etez´es´enek az indokl´ as´aban is. K´ erd´ es. Legyen adva egy µ (σ-v´eges) m´ert´ek egy (Ω, F) o t´eren ´es egy az R m´erhet˝ (Ω, F) t´erenR defini´ alt F m´erhet˝ o g(·) f¨ uggv´eny, amelyre |g(ω)| µ( dω) < ∞. Ekkor uggv´eny, A ∈ F, el˝ ojeles m´ert´ek az (Ω, F) t´eren. a ν(A) = A g(ω)µ( dω) halmazf¨ (Azaz, ν σ-addit´ıv halmazf¨ uggv´eny. L´ assuk be, hogy ez k¨ ovetkezik a Lebesgue t´etelb˝ ol.) K´erd´es: Mely ν el˝ ojeles m´ert´ekek a ´ll´ıthat´ oak el˝ o ilyen m´ odon, azaz az (Ω, F) t´eren lev˝ o νR m´ert´ekek k¨ oz¨ ul melyekhez l´etezik olyan g(ω) F m´erhet˝ o f¨ uggv´eny, amelyre ν(A) = g(ω)ν( dω) minden A ∈ F halmazra? Ha l´etezik ilyen g(ω) f¨ uggv´eny, akkor az meg A van-e hat´ arozva egy´ertelm˝ uen? Vil´ agos, hogy egy a fenti integr´alel˝o´all´ıt´ as seg´ıts´eg´evel defini´ alhat´ o ν el˝ ojeles m´ert´ek v´eges,R azaz |ν(A)| ≤ K minden A ∈ F halmazra egy alkalmas K < ∞ sz´ammal. (A K = |g(ω)|µ( dω) egy alkalmas v´ alaszt´ as.) Ezenk´ıv¨ ul, ha µ(A) = 0 valamely A ∈ F R ovetkez˝ o halmazra, akkor ν(A) = A g(ω)µ( dω) = 0. Ez az ´eszrev´etel vezetett a k¨ definici´ o bevezet´es´ehez. Egy el˝ ojeles m´ ert´ ek egy m´ ert´ ek szerinti abszolut folytonoss´ ag´ anak a definici´ oja. Legyen µ (esetleg σ)-v´eges (σ-addit´ıv) m´ert´ek ´es ν v´eges (σ-addit´ıv) el˝ ojeles 4
m´ert´ek egy Ω t´eren ´ertelmezett F σ-algebr´ an. Azt mondjuk, hogy a ν el˝ ojeles m´ert´ek abszolut folytonos a µ m´ert´ek szerint, ha minden olyan B ∈ F halmazra, amelyre µ(B) = 0 a ν(B) = 0 rel´ aci´ o is teljes¨ ul. A Radon–Nikodym t´etel azt mondja ki, hogy a ν el˝ ojeles m´ert´ek fent megfogalmazott abszolut folytonoss´aga (´es v´egess´ege) nemcsak sz¨ uks´eges, hanem el´egs´eges felt´etele is ν k´ıv´ant alak´ u el˝ o´all´ıt´ as´anak. Tov´ abb´a ez az el˝ o´all´ıt´ as l´enyeg´eben egy´ertelm˝ u. Ez a k¨ ovetkez˝ ot jelenti. Vil´ agos, hogy ha a g(ω) f¨ uggv´eRnyt megv´altoztatjuk egy a µ m´ert´ek szerint null m´ert´ek˝ u halmazon, akkor a ν(A) = A g(ω)µ( dω) integr´alok ´ert´ekei nem v´ altoznak. Teh´ at ennyi szabads´agunk van a g(·) f¨ uggv´eny megv´alaszt´ as´aban. A Radon– Nikodym t´etel azt is kimondja, hogy t¨obb szabads´agunk m´ ar nincs. V´eg¨ ul szeretn´em hangs´ ulyozni, hogy a Radon–Nikodym t´etelben megjelen˝o g(·) f¨ uggv´eny F m´erhet˝ o f¨ uggv´eny. Ezt az´ert fontos ´erteni, mert sok esetben olyan (Ω, F) t´erben alkalmazzuk a Radon–Nikodym t´etelt, ahol term´eszetes m´ odon megjelenik az F σ algebra mellett egy szint´en az X t´eren defini´alt b˝ovebb A σ-algebra is, amelyre F ⊂ A. Fontos ´erteni, hogy olyan g(·) f¨ uggv´enyeket tekint¨ unk ilyen esetekben is, amelyek a (sz˝ ukebb) F σ-algebra szerint is m´erhet˝ oek. Radon–Nikodym t´ etel. Legyen adva egy Ω t´er, rajta egy F σ-algebra, tov´ abb´ a ezen az F σ-algebr´ an egy µ (σ-v´eges) m´ert´ek ´es ν (v´eges) el˝ ojeles m´ert´ek. (Az, hogy egy ν el˝ ojeles m´ert´ek v´eges azt jelenti, hogy |ν(A)| < ∞ minden A ∈ F halmazra.) Tegy¨ uk fel, hogy a ν el˝ ojeles m´ert´ek abszolut folytonos a µ m´ert´ekre n´ezve. Akkor R l´etezik olyan az Ω t´eren defini´ a lt val´ o s ´ e rt´ e k˝ u F m´ e rhet˝ o f (ω) f¨ u ggv´ e ny, amelyre |f (ω)| dµ(ω) < R abb´ a ez az f (ω) f¨ uggv´eny ∞, ´es ν(C) = C f (ω) dµ(ω) minden C ∈ F halmazra. Tov´ egy´ertelm˝ uen meg van hat´ arozva a k¨ ovetkez˝ o ´ertelemben. Ha k´et f1 (ω) ´es f2 (ω) F m´erhet˝ o f¨ uggv´eny teljes´ıti a fenti rel´ aci´ ot minden C ∈ F halmazra, akkor f1 (ω) = f2 (ω) a µ m´ert´ek szerint majdnem minden ω ∈ Ω pontban. A t´etelben kimondott tulajdons´ag´ u f (ω) f¨ uggv´enyt a ν el˝ ojeles m´ert´ek µ m´ert´ek dν szerinti Radon–Nikodym deriv´altj´ anak nevezik az irodalomban, ´es dµ (ω)-val jel¨olik. K¨ ovetkezm´ eny. Legyen adva egy (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ o, azon egy F ⊂ A σalgebra, ´es egy η(ω), E|η(ω)| < ∞ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o vagy A ∈ A esem´eny. L´etezik a definci´ o k¨ ovetelm´enyeit teljes´ıt˝ o E(η|F)(ω) felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek, illetve P (A|F)(ω) felt´eteles val´ osz´ın˝ us´eg, ´es az E(η|F)(ω) illetve P (A|F)(ω) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok egy val´ osz´ın˝ us´eggel meg van hat´ arozva. R A k¨ ovetkezm´eny indokl´ asa. Tekints¨ uk a ν, ν(B) = B η(ω) dP (ω), B ∈ F, illetve ν¯, ν¯(B) = P (A ∩ B), B ∈ F, el˝ ojeles m´ert´ekeket valamint a P val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´eket az (Ω, F) m´erhet˝ o t´eren. (Fontos, hogy az F ⊂ A ´es nem az A σ-algebr´at tekintj¨ uk.) Mind a ν, mind a ν¯ m´ert´ek abszolut folytonos a P m´ert´ekre n´ezve. Ez´ert a Radon–Nikodym dν d¯ ν t´etel alapj´ an defini´alhatjuk a ν, illetve ν¯ el˝ ojeles m´ert´ekek dP (ω), illetve dP (ω) Radon– dν Nikodym deriv´altj´ at az (Ω, F) t´eren. Ekkor az E(η|F)(ω) = dP (ω) ´es P (A|F)(ω) = d¯ ν osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok teljes´ıtik az E(η|F)(ω) felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ekre illetve dP (ω) val´ P (B|F)(ω) felt´eteles val´ osz´ın˝ us´egre el˝ o´ırt felt´eteleket. Az, hogy a felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek ´es felt´eteles val´ osz´ın˝ us´eg egy val´ osz´ın˝ us´eggel meg van hat´arozva, k¨ onnyen l´athat´ o. 5
Azt kell kihaszn´ alni, hogy ha egy az (Ω, F, P ) t´eren defini´alt F m´erhet˝ o ζ val´ osz´ın˝ us´egi R osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o v´ altoz´ ora B ζ(ω) dP (ω) = 0 minden B ∈ F halmazra, akkor a ζ val´ egy val´ osz´ın˝ us´eggel nulla. Innen k¨ ovetkezik, hogy ha ζ1 ´es ζ2 teljes´ıti az E(η|F) felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ekre el˝ o´ırt felt´eteleket akkor a ζ1 (ω) − ζ2 (ω) k¨ ul¨ onbs´eg egy val´ osz´ın˝ us´eggel nulla. 1. megjegyz´es: Legyen adva egy (Ω, A) m´erhet˝ o t´er, azon egy (σ-addit´ıv) µ m´ert´ek. A Radon–Nikodym t´etelben egy hasznos reprezent´aci´oj´at adtuk a µ m´ert´ek szerint abszolut folytonos ν el˝ ojeles m´ert´eknek. L´eteznek a µ m´ert´ek szerint nem abszolut folytonos el˝ ojeles m´ert´ekek is. Vannak p´eld´aul u ´gynevezett a µ m´ert´ekre n´ezve szingul´aris (el˝ ojeles) m´ert´ekek, amelyek egy a µ m´ert´ek szerint nulla m´ert´ek˝ u halmazba vannak koncentr´alva. Ez azt jelenti, hogy l´etezik az Ω t´ernek olyan X ⊂ Ω r´eszhalmaza, amelyre µ(X) = 0, ´es minden B ⊂ Ω\X halmazra ν(B) = 0. Tetsz˝oleges ν v´eges el˝ ojeles m´ert´ek az (Ω, A) t´eren egy´ertelm˝ uen felbonthat´ o ν = ν1 +ν2 alakban, ahol ν1 a µ m´ert´ek szerint abszolut folytonos, ν2 pedig a µ m´ert´ekre szingul´aris el˝ ojeles m´ert´ek. Tekints¨ uk azt a speci´alis esetet, amikor µ a Lebesgue m´ert´ek a sz´amegyenesen. Ekkor a µ m´ert´ekre szingul´aris m´ert´ekre p´elda egy v´eges vagy megsz´ aml´alhat´ o sok pontba koncentr´alt m´ert´ek. Vannak bonyolultabb a Lebesgue m´ert´ekre szingul´aris m´ert´ekek is, olyanok, amelyek szerint minden pont m´ert´eke nulla. A szingul´aris m´ert´ekek min´el pontosabb le´ır´asa fontos k´erd´ese a m´ert´ekelm´eletnek. De mivel ez nem tartozik a val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´ as t´emak¨or´ebe, ez´ert ezzel a probl´em´aval itt nem foglalkozunk. 2. megjegyz´es: A Radon–Nikodym t´etel tipikus egzisztencia t´etel. Nem ismert explicit m´ odszer a Radon–Nikodym deriv´alt kisz´ amol´ as´ara az ´ altal´ anos esetben. Ez a f˝ o oka annak, hogy a felt´eteles val´ osz´ın˝ us´eggel ´es felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ekkel csak nehezen tudunk sz´amolni. Van azonban egy fontos speci´alis eset, amikor a felt´eteles val´ osz´ın˝ us´egekkel ´es felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ekekkel j´ ol tudunk sz´amolni. Ha olyan val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok f¨ uggv´enyeivel dolgozunk, amelyeknek l´etezik egy¨ uttes s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye, ´es azt ismerj¨ uk, akkor explicit m´ odon ki tudjuk sz´amolni a minket ´erdekl˝ o felt´eteles val´ osz´ın˝ us´egeket ´es felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ekeket. (A s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny ismerete u ´gy ´ertend˝o ebben az esetben, hogy mindazon val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok egy¨ uttes s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´et ismerj¨ uk, amelyek vagy a felt´etelben szerepelnek vagy a vizsg´aland´o esem´eny vagy val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o t˝ol¨ uk f¨ ugg.) A matematikai statisztik´aban ilyen jelleg˝ u probl´em´akkal tal´ alkozunk. Erre a k´erd´esre k´es˝obb m´eg visszat´erek. A gη (x1 , . . . , xk ) = E(η|ξ1 = x1 , . . . , ξk = xk ) felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek l´etez´es´et az E(η|F) felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek l´etez´es´ehez hasonl´oan igazolhatjuk, csak ekkor m´ as µ m´ert´ekkel ´es ν el˝ ojeles m´ert´ekkel kell dolgozunk. Ekkor mind a µ m´ert´eket mind a ν el˝ ojeles m´ert´eket az Rk k-dimenzi´os euklideszi t´er Borel m´erhet˝ o halmazain defini´aljuk. A µ m´ert´ek a (ξ1 , . . . , ξk ) v´eletlen vektor eloszl´ asa az Rk t´er B ∈ B Borel m´erhet˝ o r´eszhalmazain, azaz µ(B) = P ((ξ1 , . . . , ξk ) ∈ B), B ∈ B, ´es ν(B) =
Z
η(ω) dP (ω)
{ω: (ξ1 (ω),...,ξk (ω))∈B}
6
minden B ∈ B halmazra. A Radon–Nikodym t´etel alapj´ an l´etezik olyan gη (x1 , . . . , xk ) Borel m´erhet˝ o f¨ uggv´eny a k-dimenzi´os euklideszi t´eren, amelyre Z ν(B) = gη (x1 , . . . , xk )µ( dx1 , . . . , dxk ), B ∈ B. B
Be lehet l´atni, hogy ez a gη f¨ uggv´eny a gη (x1 , . . . , xk ) = E(η|ξ1 = x1 , . . . , ξk = xk ) felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek, azaz gη (x1 , . . . , xk ) egy olyan Borel m´erhet˝ o f¨ uggv´eny, amely teljes´ıti a (∗∗) rel´ aci´ot minden B ∈ B halmazra. Val´ oban, Z Z gη (x1 , . . . , xk )µ( dx1 , . . . , dxk ) = gη (x1 , . . . , xk ) dF (x1 , . . . , xk ), B
B
ahol F (x1 , . . . , xk ) a (ξ1 , . . . , ξk ) eloszl´ asf¨ uggv´enye, ´es ν(B) a (∗∗) baloldal´ an szerepl˝o mennyis´eg. Tov´ abb´a azt sem neh´ez bel´ atni, hogy a gη (x1 , . . . , xk ) f¨ uggv´eny a ξ1 , . . . , ξk val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok µ eloszl´ asa szerint 1 val´ osz´ın˝ us´eggel meg van hat´arozva. A felt´eteles val´ osz´ın˝ us´eg fogalm´aval nem kell k¨ ul¨ on foglalkoznunk, mert a felt´eteles val´ osz´ın˝ us´eg ´es felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek definici´ oj´ab´ ol k¨ ovetkezik, hogy tetsz˝oleges m´erhet˝o A halmazra ´es annak IA (ω) indik´ator f¨ uggv´eny´ere P (A|F)(ω) = E(IA (ω)|F)(ω) ´es P (A|ξ1 (ω) = x1 , . . . , ξk (ω) = xk ) = E(IA (ω)|ξ1 (ω) = x1 , . . . , ξk (ω) = xk ). Meg k´ıv´anom t´argyalni az E(η|F)(ω) ´es gη (x1 , . . . , xk ) = E(η|ξ1 (ω) = x1 , . . . , ξk (ω) = xk ) felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ekek k¨ oz¨ otti kapcsolatot abban az esetben, ha F = σ(ξ1 , . . . , ξk ), a ξ1 , . . . , ξk val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok ´ altal gener´ alt σ-algebra, azaz a legsz˝ ukebb olyan σ-algebra, amelyre n´ezve az ¨ osszes ξ1 (ω), . . . , ξk (ω) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o m´erhet˝ o f¨ uggv´eny. A k´et fogalom k¨ oz¨ otti kapcsolatot a k¨ ovetkez˝ o t´etelben fogalmazom meg. T´ etel a felt´ eteles v´ arhat´ o ´ ert´ ek k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o definici´ oi k¨ oz¨ otti kapcsolatr´ ol. Legyen adva v´eges sok ξ1 , . . . , ξk valamint rajtuk k´ıv¨ ul egy η, E|η| < ∞, val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o egy (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ on, ´es jel¨ olje F a ξ1 , . . . , ξk val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok a ´ltal gener´ alt σ-algebr´ at. Tekints¨ uk a kor´ abban defini´ alt E(η|F) ´es gη (x1 , . . . , xk ) = E(η|ξ1 = x1 , . . . , ξk = xk ) felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ekeket. Ezek teljes´ıtik az al´ abbi azonoss´ agot. E(η|F)(ω) = gη (ξ1 (ω), . . . , ξk (ω)) 1 val´ osz´ın˝ us´eggel. Megjegyz´es. Az egyszer˝ us´eg ´es ´ attekinthet˝obb fogalmaz´ as ´erdek´eben csak v´eges sok ξ1 , . . . , ξk val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eset´eben defini´altam a felt´eteles val´ osz´ın˝ us´eget ´es felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´eket a ξ1 = x1 , . . . , ξk = xk alak´ u felt´etelek mellett. Defini´ alhattam volna e fogalmakat akkor is, ha a felt´etelek v´egtelen sok val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o el˝ o´ırt ´ert´ekeit tartalmazz´ ak, ´es megfogalmazhattam volna a megfelel˝ o eredm´enyeket ebben az esetben is. A megfogalmaz´as ´es jel¨ol´es ekkor bonyolultabb lett volna, de nem l´epett volna fel u ´j matematikai neh´ezs´eg. 7
A t´etel bizony´ıt´ asa felhaszn´al bizonyos m´ert´ekelm´eleti eredm´enyeket, amelyeket az al´ abbi t´etelben fogalmazok meg. E t´etel bizony´ıt´ as´at a kieg´esz´ıt´esben adom meg. T´ etel val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ ok m´ erhet˝ o f¨ uggv´ enyeinek a jellemz´ es´ er˝ ol. Legyen adva egy (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ o, ´es azon ξ1 (ω), . . . , ξk (ω) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok. Jel¨ olje F a ξ1 (ω), . . . , ξk (ω) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok a ´ltal gener´ alt σ-algebr´ at. Egy η val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o akkor ´es csak akkor m´erhet˝ o erre az F σ-algebr´ ara, ha l´etezik a k-dimenzi´ os Rk euklideszi t´erben olyan Borel m´erhet˝ o f (x1 , . . . , xk ) f¨ uggv´eny, amelyre η(ω) = f (ξ1 (ω), . . . , ξk (ω)). Abban a speci´ alis esetben, amikor η(ω) egy B ∈ F halmaz indik´ atorf¨ uggv´enye az η(ω) = f (ξ1 (ω), . . . , ξk (ω)) el˝ oa ´ll´ıt´ asban szerepl˝ o f v´ alaszthat´ o k u ´gy, mint az R Euklideszi t´er egy Borel–m´erhet˝ o B1 halmz´ anak indik´ ator f¨ uggv´enye. Tov´ abb´ a, ha k´et k-v´ altoz´ os f1 (x1 , . . . , xk ) ´es f2 (x1 , . . . , xk ) Borel m´erhet˝ o f¨ uggv´enyre f1 (ξ1 , . . . , ξk ) = f2 (ξ1 , . . . , ξk ) egy val´ osz´ın˝ us´eggel, akkor f1 (x1 , . . . , xk ) = f2 (x1 , . . . , xk ) a (ξ1 , . . . , ξk ) v´eletlen vektor µ eloszl´ asa szerint majdnem minden (x1 , . . . , xk ) pontban. A felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o definici´ oi k¨ oz¨ otti kapcsolatr´ ol sz´ ol´ o t´etel bizony´ıt´ asa. Mind az E(η|F)(ω) mind a gη (ξ1 (ω), . . . , ξk (ω)) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o F m´erhet˝ o. Ez´ert el´eg azt igazolni, hogy gη (ξ1 (ω), . . . , ξk (ω)) teljes´ıti a ii.′ ) rel´ aci´ot. Ez ugyanis azt jelenti, hogy ezt a val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot is tekinthetj¨ uk az E(η|F) felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek egyik verzi´oj´anak. A kiv´ant ´ all´ıt´ as igazol´as´anak ´erdek´eben tekints¨ uk az Ω halmaz k¨ ovetkez˝ o T transzk form´aci´oj´at az R euklideszi t´erbe: T (ω) = (ξ1 (ω), . . . , ξk (ω)). Vegy¨ uk ´eszre, hogy k k T m´ert´ektart´ o transzform´ aci´oja az (Ω, A, P ) t´ernek az (R , B , µF ) t´erbe, ahol µF a (ξ1 , . . . , ξk ) vektor eloszl´ asa. Tov´ abb´a a val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok m´erhet˝ o f¨ uggv´enyeinek a jellemz´es´er˝ ol sz´ol´ o t´etel alapj´ an minden B ∈ F halmaz B = {ω: (ξ1 (ω), . . . , ξk (ω)) ∈ B1 } alakba ´ırhat´ o alkalmas B1 Borel m´erhet˝ o halmazzal. Ez´ert a m´ert´ektart´ o transzform´aci´ok ´ altal induk´ alt integr´altranszform´ aci´ok tulajdons´agaib´ol ´es a (∗∗) rel´ aci´ob´ ol k¨ ovetkezik, hogy tetsz˝oleges B ∈ F ´es neki megfelel˝ o B1 halmazra Z
B
Z
gη (ξ1 (ω), . . . , ξk (ω)) dP (ω) = gη (ξ1 (ω), . . . , ξk (ω)) dP (ω) {ω: (ξ1 (ω),...,ξk (ω)∈B1 } Z gη (x1 , . . . , xk ) dµF (x1 , . . . , xk ) = B1 Z Z = η(ω) dP (ω) = η(ω) dP (ω). {ω: (ξ1 (ω),...,ξk (ω)∈B1 }
B
Ez azt jelenti, hogy E(η|F )(ω) = gη (ξ1 (ω), . . . , ξk (ω)) v´ alaszt´ assal teljes¨ ul a ii.′ ) rel´ aci´o. L´ attuk, hogy ha F valamely ξ1 , . . . , ξk val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok a´ltal gener´ alt σalgebra, akkor egy η val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o E(η|F) felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´eke kifejezhet˝o a gη (x1 , . . . , xk ) = E(η|ξ1 = x1 , . . . , ξk = xk ) k-v´altoz´ os f¨ uggv´eny seg´ıts´eg´evel. Megford´ıtva, a gη (x1 , . . . , xk ) f¨ uggv´eny is el˝ o´all´ıthat´ o az E(η|F) felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek 8
seg´ıts´eg´evel. Ugyanis a val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok m´erhet˝ o f¨ uggv´enyeinek a jellemz´es´er˝ ol sz´ol´ o t´etel alapj´ an az E(η|F) felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek fel´ırhat´ o E(η|F) = h(ξ1 , . . . , ξk ) alakban alkalmas Borel m´erhet˝ o h(x1 , . . . , xk ) f¨ uggv´eny seg´ıts´eg´evel, ´es nem neh´ez bel´ atni, hogy ez a h(x1 , . . . , xk ) f¨ uggv´eny v´ alaszthat´o a gη (x1 , . . . , xk ) f¨ uggv´enynek. P´elda: A felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek definici´ oj´anak jobb meg´ert´ese ´erdek´eben tekints¨ uk a k¨ ovetkez˝ o p´eld´at: Legyen az (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝o az Ω = [0, 1] × [0, 1] egys´egn´egyzet, rajta a szok´ asos A Borel σ-algebr´aval, ´es legyen P = λ, a Lebesgue m´ert´ek az egys´egn´egyzet Borel-m´erhet˝ o r´eszhalmazain. Legyen F az A × [0, 1], A ∈ B1 alak´ u halmazokb´ ol ´ all´ o σ-algebra, ahol B1 a [0, 1] intervallumon gener´ alt σ-algebr´at jel¨oli. Tekints¨ unk egy tetsz˝oleges (m´erhet˝ o ´es integr´alhat´ o) f (x, y) f¨ uggv´enyt az egys´egn´egyzeten (az (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝on), ´es sz´amoljuk ki az E(f (x, y)|F) felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´eket az (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝on. Ha az f (x, y) f¨ uggv´eny val´ oban f¨ ugg mind a k´et v´ altoz´ oj´at´ ol, akkor nem F m´erhet˝ o R1 f¨ uggv´eny. Viszont defini´aljuk a g0 (x) = 0 f (x, y) dy ´es g(x, y) = g0 (x) f¨ uggv´enyeket. (A g(x, y) f¨ uggv´eny val´ oj´aban nem f¨ ugg az y koordin´ at´ ol, viszont tekinthet˝o egy az (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝on defini´alt val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ onak, ´es mivel nem f¨ ugg az y koordin´ at´ ol (´es Borel m´erhet˝ o), ez´ert F Rm´erhet˝ o. Azt ´ all´ıtom, hogy E(f (x, y)|F) = R g(x, y). Ehhez azt kell ellen˝ orizni, hogy A×[0,1] g(x, y) dx dy = A×[0,1] f (x, y) dx dy. Viszont Z Z Z Z Z 1 f (x, y) dy dx = f (x, y) dx dy, g(x, y) dx dy = g0 (x) dx = A×[0,1]
A
0
A
A×[0,1]
amint ´ all´ıtottuk. Az el˝ oz˝ o p´elda m´ odos´ıtott v´ altozata: Legyen az (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝o az Ω = [0, 1] × [0, 1] egys´egn´egyzet, rajta a szok´ asos A Borel σ-algebr´aval. R¨ ogz´ıts¨ unk egy olyan h(x, y) f¨ uggv´enyt az egys´egn´egyzeten, amelyre h(x, y) ≥ 0 minden (x, y) pontban, R1R1 h(x, y) dx dy = 1, ´es legyen a P m´ert´ek az egys´egn´egyzeten a Lebesgue 0 0 R m´ert´ek szerint h(x, y) s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´ennyel rendelkez˝ o m´ert´ek, azaz legyen P (B) = B h(x, y) dx dy az egys´egn´egyzet minden Borel-m´erhet˝ o B r´eszhalmaz´ an. Legyen F az A × [0, 1] alak´ u halmazokb´ ol ´ all´ o σ-algebra, ahol A ∈ B1 , ´es B1 a [0, 1] intervallumon gener´ alt σ-algebr´at jel¨oli. Tekints¨ unk egy tetsz˝oleges (m´erhet˝ o ´es a P m´ert´ek szerint integr´alhat´ o) f (x, y) f¨ uggv´enyt az egys´egn´egyzeten, ´es sz´amoljuk ki az E(f (x, y)|F) felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´eket az (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝on. A m´ odos´ıtott p´eld´ aban felvetett probl´ema megold´ asa. A keresett felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek a k¨ ovetkez˝ o: Defini´ aljuk a g0 (x) =
Z
0
1
f (x, y) R 1 0
h(x, y) h(x, y) dy
dy =
R1 0
f (x, y)h(x, y) dy R1 h(x, y) dy 0
´es g(x, y) = g0 (x) f¨ uggv´enyeket. Azt ´ all´ıtom, hogy a g(x, y) f¨ uggv´eny a keresett felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek. Ez a f¨ uggv´eny nem f¨ ugg az y koordin´ at´ ol, ´ıgy F m´erhet˝ o. Azt a´ll´ıtom, 9
R hogy E(f (x, y)|F) = g(x, y). Azt kell ellen˝ orizni, hogy A×[0,1] g(x, y)h(x, y) dx dy = R f (x, y)h(x, y) dx dy minden m´erhet˝ o A ⊂ [0, 1] halmazra. Viszont A×[0,1] Z
g(x, y)h(x, y) dx dy =
A×[0,1]
=
Z Z
A
1
f (x, y)h(x, y) dy
0
h(x, y) dy g0 (x) dx
0
A
Z Z
1
dx =
Z
f (x, y)h(x, y) dx dy,
A×[0,1]
amint a´ll´ıtottam. A kapott eredm´eny megfelel szeml´eletes k´ep¨ unknek, amely szerint r¨ogz´ıtett x0 sz´amra az E(f (x, y)|x = x0 ) felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´eket u ´gy sz´amolhatjuk ki, hogy az f (x0 , y) f¨ uggv´enyt kiintegr´aljuk az y v´ altoz´ o szerint, de nem a h(x0 , y) s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny, hanem ennek normaliz´altja a R 1 h(x0 ,y) s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny szerint. 0
h(x0 ,y) dy
K´es˝obb t´argyalni fogok olyan eredm´enyeket, amelyek az itt kapott k´epletet speci´ alis esetk´ent tartalmazz´ ak.
K¨ ovetkez˝ o t´em´ank a felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek legfontosabb tulajdons´againak ismertet´ese, ´es az, hogy hogyan lehet a felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ekekkel sz´amolni. Az al´ abbi t´etelben felsorolom a felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek legfontosabb tulajdons´agait. ´ Erdemes ´eszrevenni, hogy ezek a tulajdons´agok megfelelnek szeml´eletes k´ep¨ unknek. Olyan t´enyeket fejeznek ki p´eld´aul, hogy amennyiben a felt´etelben szerepl˝o F σ-algebra f¨ uggetlen a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot´ ol, amelynek a felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek´et sz´amoljuk, akkor ez a σ-algebra semmilyen inform´ aci´ot nem ad a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o viselked´es´er˝ ol, ez´ert az E(ξ|F) felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek megegyezik az Eξ v´ arhat´ o ´ert´ekkel (5. tulajdons´ag). Ha viszont a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o F m´erhet˝ o, akkor F ismeret´eben ot is ismerj¨ ˝ uk, ez´ert felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´eke megegyezik a val´ odi ´ert´ek´evel, s˝ ot ha egy ξη szorzat felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek´et sz´amoljuk, akkor ξ kiemelhet˝o a felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek el´e. (6. tulajdons´ag.) R¨ ogz´ıts¨ unk egy (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ot, ´es legyen F ⊂ A az ebben a val´ osz´ın˝ us´egi mez˝oben szerepl˝o A σ-algebra egy r´esz-σ-algebr´aja. Az al´ abbi tulajdons´agokban szerepl˝o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok az el˝ obb r¨ogz´ıtett val´ osz´ın˝ us´egi mez˝on vannak defini´alva. T´ etel a felt´ eteles v´ arhat´ o´ ert´ ek tulajdons´ agair´ ol. 1. Ha
∞ P
|ak |E|ξk | < ∞, F ⊂ A tetsz˝ oleges σ-algebra, akkor
k=1
E
∞ X
k=1
! ∞ X ak E(ξk |F)(ω) ak ξk F (ω) =
majdnem minden ω ∈ Ω pontban.
k=1
2. Ha E|ξ| < ∞, G ⊂ F ⊂ A tetsz˝ oleges σ-algebr´ ak, akkor E (E(ξ|F)|G) (ω) = E(ξ|G)(ω) majdnem minden ω ∈ Ω pontban. Speci´ alisan E (Eξ|F)) = Eξ. 3. Ha ξ olyan val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, amelyre P (a ≤ ξ ≤ b) = 1 alkalmas −∞ < a < b < ∞ sz´ amokkal, F ⊂ A σ-algebra, akkor a ≤ E(ξ|F)(ω) ≤ b majdnem minden 10
´ anosabban, ha ξ(ω) ≥ η(ω) majdnem minden ω ∈ Ω pontban, ω ∈ Ω pontban. Altal´ akkor E(ξ|F)(ω) ≥ E(η|F)(ω) majdnem minden ω ∈ Ω pontban. 4. E(ξ|A)(ω) = ξ(ω), ahol A a val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ o definici´ oj´ aban szerepl˝ o ,,legnagyobb” σ-algebra. Ha A0 jel¨ oli a trivi´ alis σ-algebr´ at, amelyik csak az Ω ´es ∅ u ¨res halmazb´ ol a ´ll, akkor E(ξ|A0 )(ω) = Eξ. 5. Ha E|ξ| < ∞, F ⊂ A, a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o f¨ uggetlen az F σ-algebr´ at´ ol, azaz 1 ha tetsz˝ oleges F ∈ F ´es a sz´ amegyenesen l´ev˝ o Borel m´erhet˝ o B ⊂ R halmazokra, P ({ω: ξ(ω) ∈ B} ∩ F ) = P ({ω: ξ(ω) ∈ B})P (F ), akkor E(ξ|F)(ω) = Eξ. 6. Ha Eξ 2 < ∞, Eη 2 < ∞, F ⊂ A, a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o F σ-algebr´ ara m´erhet˝ o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, azaz tetsz˝ oleges a sz´ amegyenesen l´ev˝ o Borel m´erhet˝ o B ⊂ R1 halmazra, {ω: ξ(ω) ∈ B} ∈ F, akkor E(ξη|F)(ω) = ξ(ω)E(η|F)(ω) majdnem minden ω ∈ Ω pontban. Speci´ alisan, ebben az esetben E(ξ|F)(ω) = ξ(ω) majdnem minden ω ∈ Ω pontban. A t´etel bizony´ıt´ asa. Az 1. tulajdons´ag bizony´ıt´ as´ahoz azt kell bel´ atni, hogy minden F ∈ F halmazra ! ! Z Z ∞ ∞ X X ak ξk )(ω) P ( dω). ak E(ξk |F)(ω) P ( dω) = F
F
k=1
k=1
Ez az a´ll´ıt´ as viszont igaz, mert a felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek definici´oja ´es az integr´al alapvet˝ o tulajdons´agai alapj´ an ! Z Z ∞ ∞ X X ak E(ξk |F)(ω) P ( dω) = ak E(ξk |F)(ω)P ( dω) F
k=1
=
k=1 ∞ X
k=1
F
ak
Z
F
ξk (ω)P ( dω) =
Z
F
∞ X
!
ak ξk (ω) P ( dω).
k=1
A fenti sz´amol´ asban a Lebesgue t´etel biztos´totta az integr´alok v´egtelen o¨sszegeivel ∞ P v´egrehajtott sz´amol´ asok jogoss´ag´ at, illetve azt a t´eny, hogy a |ak |E|ξk | < ∞ felt´etelb˝ol a
∞ P
k=1
|ak |E|E(ξk |F)| < ∞ rel´ aci´o is k¨ ovetkezik. Ez az´ert igaz, mert |E(ξk |F)| ≤
k=1
E(|ξk ||F), amit nem neh´ez k¨ ozvetlen¨ ul bel´ atni, de k¨ ovetkezik a 3.) tulajdons´agb´ol (aminek bizony´ıt´ as´aban nem haszn´ altuk az 1.) tulajdons´agot), ´es E(E(|ξk ||F)) = E|ξk |. A 2. tulajdons´ag els˝ o´ all´ıt´ as´anak bel´ at´ as´ahoz azt kell ellen˝ orizni, hogy az adott felt´etelek mellett minden G ∈ G halmazra Z Z ξ(ω)P ( dω) = E(ξ|F)(ω)P ( dω), G
G
mert a felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek definici´ oja alapj´ an Z Z E(ξ|F)(ω)P ( dω) = E(E(ξ|F)|G)(ω)P ( dω)). G
G
11
A k´ıv´ant azonoss´ag viszont igaz, mert az adott felt´etelek mellett G ∈ F. A m´ asodik all´ıt´ ´ as bel´ at´ asa ´erdek´eben tekints¨ uk a trivi´ alis csak a teljes ´es u ¨res halmazb´ol a´ll´ o A0 = {∅, Ω} σ-algebr´at, ´es vegy¨ uk ´eszre, hogy A0 ⊂ F minden a val´ osz´ın˝ us´egi mez˝on defini´alt F σ-algebr´ara, m´ asr´eszt E(η|A0 ) = Eη tetsz˝oleges η val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ora. Innen EE(ξ|F) = E(E(ξ|F)|A0 ) = E(ξ|A0 ) = Eξ. A 3. tulajdons´ag az´ert ´erv´enyes, mert, ha ξ(ω) ≥ η(ω) majdnem minden ω ∈ Ω pontban, akkor Z Z Z Z E(ξ|F)(ω)P ( dω) = ξ(ω)P ( dω) ≥ η(ω)P ( dω) = E(η|F)(ω)P ( dω) F
F
F
F
minden F ∈ F halmazra. Innen k¨ ovetkezik, hogy az F0 = {ω: E(ξ|F)(ω) < E(ξ|F)(ω)} ∈ F halmazra P (F0 ) = 0. Ellenkez˝ o esetben ugyanis nem teljes¨ ulne a fenti egyenl˝otlens´eg az F0 = F halmazra. Mivel az azonosan konstans f¨ uggv´enyek felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ekei onmagukkal egyenl˝o, ez´ert, ha a ≤ ξ ≤ b egy val´ ¨ osz´ın˝ us´eggel, akkor a = E(a|F) ≤ E(ξ|F) ≤ E(b|F) = b. A 4. tulajdons´ag bizony´ıt´ asa trivi´ alis, ez´ert azt elhagyom. Az 5. tulajdons´ag bizony´ıt´ as´ahoz azt kell bel´ atni, hogy ha F ∈ F, ´es az F σ-algebra f¨ uggetlen a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot´ ol, akkor Z
ξ(ω)P ( dω) =
F
Z
Eξ(ω)P ( dω) = P (F )Eξ.
F
Viszont ebben az esetben az RF halmaz IF (ω) indik´ator f¨ uggv´enye f¨ uggetlen a ξ(ω) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot´ ol, ez´ert F ξ(ω)P ( dω) = EIF (ω)ξ(ω) = EIF (ω)Eξ = P (F )Eξ.
A 6. tulajdons´ag bizony´ıt´ as´ahoz azt kell bel´ atni, hogy ha Eξ 2 < ∞, Eη 2 < ∞ ´es ξ F m´erhet˝ o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, akkor minden F ∈ F halmazra Z
ξ(ω)E(η|F)(ω)P ( dω) =
F
Z
ξ(ω)η(ω)P ( dω).
F
Abban az esetben, ha a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o egy B F m´erhet˝ o halmaz indik´ator f¨ uggv´enye, akkor ez az ´ all´ıt´ as nyilv´anval´ o, mert ekkor B ∩ C ∈ F, ez´ert Z
ξ(ω)E(η|F)(ω)P ( dω) =
Z
F ∩B
F
=
Z
F ∩B
E(η|F)(ω)P ( dω) Z η(ω)P ( dω) = ξ(ω)η(ω)P ( dω).
12
F
Ezut´an az ovetkezik, hogy a bizony´ıtand´ o azonoss´ag ´erv´enyes olyan P1. tulajdons´agb´ol k¨ ξ(ω) = cj IBj (ω) l´epcs˝os f¨ uggv´enyekre is, melyeket v´eges sok Bj ∈ F halmaz indik´ atorf¨ uggv´eny´enek line´aris kombin´aci´ojak´ent kapunk. Mivel tetsz˝oleges F m´erhet˝ o ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o j´ ol approxim´ alhat´ o ilyen l´epcs˝os f¨ uggv´enyekkel, innen standard hat´ar´ atmenettel be lehet l´atni az ´ all´ıt´ ast. Ennek r´eszleteit elhagyom. Megfogalmazom ´es bebizony´ıtom a fenti ´ all´ıt´ asok egy ´erdekes k¨ovetkezm´eny´et az al´ abbi t´etelben. T´ etel a felt´ eteles v´ arhat´ o´ ert´ ek egy optimum tulajdons´ ag´ ar´ ol. Legyen adva egy ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, amelyre Eξ 2 < ∞, ´es egy F σ-algebra, F ⊂ A, egy (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ on. Ekkor az E(ξ|F) felt´eteles val´ osz´ın˝ us´egnek megvan a k¨ ovetkez˝ o optimum tulajdons´ aga: 2
E [ξ(ω) − E(ξ|F)(ω)] =
inf
η F m´ erhet˝ o val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ o, Eη 2 <∞
E(ξ(ω) − η(ω))2 .
1. megjegyz´es: A fenti t´etel azt fejezi ki, hogy ha a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot az F σ-algebra esem´enyeit˝ ol f¨ ugg˝o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ oval, azaz F m´erhet˝ o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ oval akarjuk becs¨ ulni, ´es k´et becsl´es k¨ oz¨ ul azt tekintj¨ uk jobbnak a m´ asikn´al, amelyikre a becsl´es ´es a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o k¨ oz¨ otti k¨ ul¨ onbs´eg n´egyzet´enek a v´ arhat´ o ´ert´eke kisebb, akkor az E(ξ|F) felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek az optim´alis becsl´es. Megjegyzem, hogy a bevezet˝o val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´ as el˝ oad´asban szerepelt egy eredm´eny, amelyik a fenti ´ all´ıt´ as speci´ alis eset´enek tekinthet˝o. Nevezetesen bel´ attuk, hogy Var ξ = E(ξ − Eξ)2 ≤ E(ξ − a)2 tetsz˝oleges a val´ os sz´amra. Ha defini´aljuk azt a trivi´ alis F0 = {∅, Ω} σ-algebr´at, amelyik csak az u ¨res halmazb´ol ´es a biztos esem´enyb˝ol a´ll, akkor erre a σ-algebr´ara csak a konstans f¨ uggv´enyek m´erhet˝ oek, ´es erre a F0 σ-algebr´ara n´ezve E(ξ|F0 ) = Eξ. Ez´ert az el˝ obb megfogalmazott t´etel az ebben a megjegyz´esben megfogalmazott ´ all´ıt´ ast jelenti ebben a speci´alis esetben. 2. megjegyz´es: Az (Ω, A, P ) t´eren m´erhet˝ o ´es n´egyzetesen integr´alhat´ o f¨ uggv´enyek (val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok) egy u ´gynevezett L2 teret alkotnak, ami Hilbert t´er ´es az F m´erhet˝ o, n´egyzetesen integr´alhat´ o f¨ uggv´enyek e t´er egyik alter´et alkotj´ak. Ebben az interpret´aci´oban a fenti eredm´eny azt mondja ki, hogy a Hilbert t´er ezen alter´enek a Hilbert t´er egy ξ elem´ehez legk¨ozelebbi eleme az E(ξ|F) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. A Hilbert terek u ´gy tekinthet˝ok, mint (esetleg) v´egtelen dimenzi´ os euklideszi terek. Tudjuk, hogy egy euklideszi t´erben egy ponthoz egy alt´erben lev˝ o pontok k¨ oz¨ ul a legk¨ ozelebbi pont e pont mer˝oleges vet¨ ulete az alt´erre, tov´ abb´a ez a tulajdons´ag ´erv´enyes Hilbert terekre is. Az al´ abb ismertetett bizony´ıt´ as tulajdonk´eppen ezen geometriai k´ep a´ltal sugallt m´ odszer kidolgoz´ asa a most vizsg´alt esetben. A t´etel bizony´ıt´ asa. Legyen η tetsz˝oleges F m´erhet˝ o n´egyzetesen integr´alhat´ o f¨ uggv´eny. Bel´ atjuk, hogy Eη(ω)(ξ(ω) − E(ξ|F)(ω)) = 0 azaz 13
Eη(ω)ξ(ω) = Eη(ω)E(ξ|F)(ω).
(Ez jelenti azt, hogy ξ(ω) − E(ξ|F)(ω) a ξ(ω) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o ortogon´ alis vet¨ ulete az F m´erhet˝ o ´es n´egyzetesen integr´alhat´ o f¨ uggv´enyek alter´ere.) Ez az a´ll´ıt´ as az´ert igaz, mert Eη(ω)ξ(ω) = E(E(ηξ|F)(ω)) = Eη(ω)E(ξ|F)(ω) a felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek el˝ oz˝ o t´etelben megfogalmazott 2. ´es 6. tulajdons´agai alapj´ an. Innen tetsz˝oleges η F m´erhet˝ o, n´egyzetesen integr´alhat´ o f¨ uggv´enyre 2
E(η − ξ)2 = E ((η − E(ξ|F)) + (E(ξ|F) − ξ))
2
= E(η − E(ξ|F))2 + E (E(ξ|F) − ξ) + 2E(η − E(ξ|F))(E(ξ|F) − ξ)) 2
= E(η − E(ξ|F))2 + E (E(ξ|F) − ξ) ≥ E(ξ − E(ξ|F))2 , mert E(η − E(ξ|F))(E(ξ|F) − ξ)) = Eη(E(ξ|F) − ξ)) − E(E(ξ|F))(E(ξ|F) − ξ)) = 0. (E(E(ξ|F))(E(ξ|F) − ξ)) = 0, mert E(ξ|F) F m´erhet˝ o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, ´ıgy η = E(ξ|F) v´ alaszt´ assal is alkalmazhatjuk az Eη(ξ − E(ξ|F)) = 0 azonoss´agot.) Az E(η − ξ)2 ≥ E(ξ − E(ξ|F))2 egyenl˝otlens´egb˝ol k¨ ovetkezik a t´etel a´ll´ıt´ asa. Az el˝ oz˝ o t´etelben megfogalmazott eredm´eny fontos mind a val´ osz´ın˝ us´egsz´am´ıt´ asban, mind a statisztik´aban. A statisztik´aban alapvet˝ o k´erd´es az, hogy hogyan lehet egy ismeretlen mennyis´eget (jelen esetben egy val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot) ismereteink alapj´ an (jelen esetben a F σ-algebra, illetve annak ismeret´eben, hogy e σ-algebra mely halmazai k¨ ovetkeztek be, ´es melyek nem) min´el jobban megbecs¨ ulni. A becsl´es j´ os´ag´ anak term´eszetes m´er´ese az, hogy milyen kicsi a becsl´es ´es becs¨ ult mennyis´eg k¨ oz¨ otti k¨ ul¨ onbs´eg n´egyzet´enek a v´ arhat´ o ´ert´eke. A fenti eredm´enyt u ´gy lehet interpret´alni, hogy az E(ξ|F)(ω) felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek a ξ(ω) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o legjobb k¨ ozel´ıt´ese valamely F m´erhet˝ o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ oval (az L2 (Ω, A, P ) t´erben). Egy komoly kellemetlens´eg, hogy a felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek kisz´ am´ıt´ asa nagyon bonyolult feladat. Egy fontos speci´alis esetben azonban, amikor norm´ alis eloszl´ as´ u vektor bizonyos koordin´ at´ ainak ismeret´eben a t¨obbi koordin´ ata felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek´et akarjuk kisz´ am´ıtani ez a probl´ema viszonylag egyszer˝ u. Err˝ol sz´ol a k¨ ovetkez˝ o feladat. Csak azt a speci´ alis esetet tekintem, amikor egy k´etdimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as´ u vektor egyik koordin´ at´ aj´anak a felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek´et akarjuk kisz´ amolni a m´ asik koordin´ ata ismeret´eben. De ezt a feladatot viszonylag k¨ onnyen ´ altal´ anos´ıthatjuk. Feladat: Legyen (ξ, η) egy k´et-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as´ u v´eletlen vektor. Sz´ am´ıtsuk ki az E(ξ|η) felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´eket. Megold´ as: L´ attuk, (l´ asd a t¨obbv´ altoz´ os cent´alis hat´areloszl´ast´etel el˝ oad´as eredm´enyeit) hogy ξ = aη + ζ alakban ´ırhat´ o, ahol az a konstans alkalmas v´ alaszt´ as´aval (nevezetesen Cov (ξ,η) alaszt´ assal) el´erhet˝ o, hogy a ζ = ξ − aη ´es η val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok az a = Var η v´ f¨ uggetlenek legyenek. Ezzel az a v´ alaszt´ assal E(ξ|η) = E((aη + ζ)|η) = aE(η|η) + E(ζ|η) = aη + Eζ = a(η − Eη) + Eξ Cov (ξ, η) = (η − Eη) + Eξ Var η 14
a v´ arhat´ o ´ert´eknek az el˝ oz´ o t´etelben szerepl˝o 1., 5. ´es 6. tulajdons´agai alapj´ an. Megjegyz´es: Vegy¨ uk ´eszre, hogy a fenti feladat eredm´enye szerint egy norm´ alis eloszl´ as´ u v´eletlen vektor egyik koordin´ at´ aj´anak a felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´eke a felt´etelben szerepl˝o koordin´ ata line´aris f¨ uggv´enye. Ez az ´ all´ıt´ as ´erv´enyes az itt nem t´argyalt magasabb dimenzi´oj´ u norm´ alis vektorokra term´eszetes m´ odon megfogalmazhat´ o a´ltal´ anosabb probl´ema eset´eben is. L´ attuk, egy el˝ oz˝ o eredm´enyben, hogy egy val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´eke felt´eve bizonyos m´ as val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat megegyezik a tekintett val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ onak a felt´etelben szerepl˝o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok seg´ıts´eg´evel megadhat´ o legjobb k¨ ozel´ıt´es´evel az L2 norm´ aban. A fenti feladat eredm´enye (illetve annak itt meg nem fogalmazott magasabb dimenzi´ os ´ altal´ anos´ıt´ asa) azt mondja, hogy abban a speci´ alis esetben, ha egy norm´ alis vektor koordin´ at´ ainak a felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek´et akarjuk kisz´ amolni felt´eve m´ as koordin´ at´ ak ´ert´ekeit, akkor ez a legjobb L2 norm´ aban vett k¨ ozel´ıt´es egyben a legjobb (a felt´etelben szerepl˝o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okkal kifejezhet˝o) L2 norm´ aban vett line´ aris k¨ ozel´ıt´es. E t´eny alapvet˝ o szerepet j´ atszik sok elm´eleti statisztikai vizsg´alatban. L´ attuk kor´ abban, hogy egy v´eletlen vektor f¨ uggv´enyeinek a v´ arhat´ o ´ert´ek´et ki tudjuk sz´amolni a v´eletlen vektor eloszl´ asa szerinti alkalmas (Lebesgue) integr´al seg´ıts´eg´evel. Felmer¨ ul a k´erd´es: Lehet-e hasonl´o kalkulust kidolgozni a felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ekek kisz´ amol´ as´ara? A felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ekeket szeretn´enk a felt´eteles eloszl´ asok seg´ıts´eg´evel kisz´ amolni. Erre a k´erd´esre l´enyeg´eben pozit´ıv v´ alaszt lehet adni. A megfelel˝ o kalkulus kidolgoz´ asa ´erdek´eben a k¨ ovetkez˝ o k´et probl´em´ at kell megoldani. i. Adjunk meg j´ o felt´eteles eloszl´ asokat, azaz defini´aljuk a P (ξ ∈ A|F)(ω) felt´eteles val´ osz´ın˝ us´egek rendszer´et minden B Borel m´erhet˝ o halmazra u ´gy, hogy j´ ol tudjunk vele sz´amolni. ii. Tal´ aljuk meg az integr´alformul´ akat a felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ekek kisz´ amol´ as´ara. E k´et probl´ema k¨ oz¨ ul a m´ asodik a kev´esb´e neh´ez. Az els˝ o probl´ema kapcs´an komoly neh´ezs´egek l´epnek fel. Ezek azzal f¨ uggnek ¨ ossze, hogy Lebesgue integr´alt csak (σ-addit´ıv) m´ert´ekek szerint tudunk alkalmazni, ez´ert a felt´eteles eloszl´ asokat u ´gy kell defini´alni, hogy azok majdnem minden ω-ra m´ert´ekek legyenek. A felt´eteles val´ osz´ın˝ us´egek felsorolt tulajdons´agai k¨ oz¨ ul az els˝ o egy ilyen jelleg˝ u tulajdons´agot fogalmaz meg, ha az ott fel´ırt azonoss´agot ξk = I(ω: ξ(ω) ∈ Ak ) alak´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okra alkalmazzuk. De a felt´eteles val´ osz´ın˝ us´eg csak egy val´ osz´ın˝ us´eggel van defini´alva. Elk´epzelhet˝o, hogy a megk¨ovetelt azonoss´agok k¨ oz¨ ul az egyik egy null m´ert´ek˝ u halmazon nem teljes¨ ul. Akkor ezt ki tudjuk jav´ıtani a felt´eteles val´ osz´ın˝ us´egek m´ odos´ıt´ as´aval egy null m´ert´ek˝ u halmazon. De m´eg a legegyszer˝ ubb esetekben is kontinum sok egy val´ osz´ın˝ us´eggel teljes¨ ul˝ o azonoss´agot kell egyszerre teljes´ıteni. Az, hogy ez lehets´eges kor´ antsem mag´ at´ ol ´ertet˝ od˝ o. Van egy fontos speci´ alis eset, amikor a k´ıv´ant tulajdons´ag´ u felt´eteles eloszl´ asoknak nemcsak a l´etez´es´et tudjuk biztos´ıtani, hanem azokat explicit m´ odon meg is tudjuk adni, ´ıgy j´ ol tudunk vel¨ uk sz´amolni. Err˝ol sz´ol a k¨ ovetkez˝ o, statisztikai alkalmaz´asokban fontos eredm´eny. Ebben a k¨ ovetkez˝ o k´erd´essel foglalkozunk. 15
Egy k + l dimenzi´ os (ξ1 , . . . , ξk , η1 , . . . , ηl ) v´eletlen vektornak ismerj¨ uk a (l´etez˝o) f (x1 , . . . , xk , y1 , . . . , yl ) s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´et, ´es ki akarjuk sz´am´ıtani e v´eletlen vektor valamely h(ξ1 , . . . , ξk , η1 , . . . , ηl ) f¨ uggv´eny´enek a felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek´et az η1 = y1 , . . . , ηl = yl felt´etelek mellett. Ennek ´erdek´eben egy olyan formul´ at bizony´ıtunk a (ξ1 , . . . , ξk ) v´eletlen vektor felt´eteles eloszl´ as´ara, felt´eve az η1 = y1 , . . . , ηl = yl felt´eteleket, amely lehet˝ ov´e teszi, hogy a k¨ oz¨ ons´eges v´ arhat´ o ´ert´ekek kisz´ amol´ as´ara tanult formul´ akat adapt´aljuk erre az esetre is, ´es kisz´ am´ıtsuk a minket ´erdekl˝ o felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ekeket. T´ etel felt´ eteles eloszl´ asok kisz´ amol´ as´ ar´ ol. Legyen (ξ1 , . . . , ξk , η1 , . . . , ηl ) egy olyan v´eletlen vektor az Rk+l k + l dimenzi´ os euklideszi t´erben, amelynek l´etezik s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye, amit f (x1 , . . . , xk , y1 , . . . , yl )-lel fogok jel¨ olni. Ebben az esetben l´etezik a (ξ1 , . . . , ξk ) v´eletlen vektornak felt´eteles s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye felt´eve az η1 = y1 , . . . , ηl = yl felt´eteleket, ´es az megadhat´ o az f (x1 , . . . , xk |y1 , . . . , yl ) =
f (x1 , . . . , xk , y1 , . . . , yl ) , g(y1 , . . . , yl )
k´eplet seg´ıts´eg´evel, ahol g(y1 , . . . , yl ) =
Z
f (x1 , . . . , xk , y1 , . . . , yl ) dx1 , . . . dxk ,
azaz az (η1 , . . . , ηl ) v´eletlen vektor s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye. Ez azt jelenti, hogy tetsz˝ oleges Borel m´erhet˝ o A ⊂ Rk halmazra P ({ω: (ξ1 (ω), . . . , ξk (ω)) ∈ A}|η1 (ω) = y1 , . . . , ηl (ω) = yl ) Z = f (x1 , . . . , xk |y1 , . . . , yl ) dx1 . . . dxk . A
A t´etel bizony´ıt´ asa. Annak igazol´as´ahoz, hogy a fenti felt´eteles val´ osz´ın˝ us´egeket az adott m´ odon ki lehet sz´amolni a (∗) formul´ at kell ellen˝ orizni ebben az esetben, azaz azt kell k l megmutatni, hogy minden A ⊂ R ´es B ∈ R Borel m´erhet˝ o halmazp´arra P ({ω: (ξ1 (ω), . . . , ξk (ω)) ∈ A} ∩ {ω: (η1 (ω), . . . , ηl (ω)) ∈ B}) Z Z = f (x1 , . . . , xk |y1 , . . . , yl ) dx1 . . . dxk g(y1 , . . . , yl ) dy1 . . . dyl . B
A
Ez az azonoss´ag viszont ´erv´enyes, mert Z Z f (x1 , . . . , xk |y1 , . . . , yl ) dx1 . . . dxk g(y1 , . . . , yl ) dy1 . . . dyl A B Z = f (x1 , . . . , xk , y1 , . . . , yl ) dx1 . . . dxk dy1 . . . dyl A×B
= P ({ω: (ξ1 (ω), . . . , ξk (ω)) ∈ A} ∩ {ω: (η1 (ω), . . . , ηl (ω)) ∈ B}) . 16
Megfogalmazom az el˝ oz˝ o t´etel egy megfelel˝ oj´et, amely azt ´ all´ıtja, hogy a sz´amunkra ´erdekes felt´eteles eloszl´ asok l´eteznek az ´ altal´ anos esetben. E t´etel bizony´ıt´ as´at, amely nem egyszer˝ u, a kieg´esz´ıt´esben adom meg. Az eredm´eny sz´eps´eghib´ aja az, hogy csak egzisztenciat´etel, ´es nem ad lehet˝ os´eget a felt´eteles eloszl´ asok effektiv kisz´ amol´ as´ara. T´ etel regul´ aris felt´ eteles eloszl´ asok l´ etez´ es´ er˝ ol. Legyen (ξ1 (ω), . . . , ξk (ω)) egy kdimenzi´ os val´ osz´ın˝ us´egi vektor egy (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ on, F ⊂ A σ-algebra. k Jel¨ olje B a Borel σ-algebr´ at az R k-dimenzi´ os euklideszi t´eren. A (ξ1 (ω), . . . , ξk (ω)) v´eletlen vektornak l´etezik az F σ-algebra szerinti regul´ aris felt´eteles eloszl´ asa, azaz meg 1 lehet adni egy olyan F (B, ω), F (B, ω): B × Ω → R , f¨ uggv´enyt, amelyre i.) F (B, ·) minden B ∈ B halmazra F m´erhet˝ o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. k ii.) F (·, ω) minden ω ∈ Ω pontra val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ek az R k-dimenzi´ os euklideszi k t´erB σ-algebr´ a j´ a n, azaz F (R , ω) = 1, 0 ≤ F (B, ω) ≤ 1 minden B ∈ B halmazra, ∞ ∞ S P F Bk , ω = F (Bk , ω) minden diszjunkt Bk ∈ B, k = 1, 2, . . . , halmazokb´ ol k=1
k=1
a ´ll´ o rendszerre. iii.) F (B, ω) = P ((ξ1 (ω), . . . , ξk (ω)) ∈ B|F) (ω) minden B ∈ B halmazra. Ez azt jelenti, hogy az F (B, ω) f¨ uggv´eny u ´gy tekinthet˝ o, mint a P ((ξ1 (ω), . . . , ξk (ω)) ∈ B|F) (ω) felt´eteles val´ osz´ın˝ us´eg egyik verzi´ oja. A k¨ ovetkez˝ o t´etelben megfogalmazom azt az eredm´enyt, amely miatt az el˝ oz˝ o k´et eredm´eny hasznos volt. Ebben egy v´eletlen vektor f¨ uggv´eny´enek a v´ arhat´ o ´ert´ek´et sz´amoljuk ki, mint ennek a f¨ uggv´enynek a v´eletlen vektor eloszl´ asa szerinti integr´alt. De e t´etel alkalmaz´as´ahoz sz¨ uks´eges a regul´ aris felt´eteles eloszl´ asok l´etez´ese. Ezt biztos´ıtja ´ altal´ anos esetben az el˝ oz˝ o t´etel. Az el˝ otte t´argyalt t´etel felt´eteles eloszl´ asok kisz´ amol´ as´ ar´ ol eredm´enye lehet˝ ov´e teszi e regul´ aris felt´eteles eloszl´ as explicit kisz´amol´as´at egy fontos speci´ alis esetben. A t´etel bizony´ıt´ as´at a kieg´esz´ıt´esben ´ırom le.
T´ etel a felt´ eteles v´ arhat´ o´ ert´ ek kisz´ amol´ as´ ar´ ol regul´ aris felt´ eteles eloszl´ asok seg´ıts´ eg´ evel. Legyen adva egy (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ o, azon egy F ⊂ A σalgebra, egy ξ = (ξ1 , . . . , ξk ) k-dimenzi´ os ´es η = (η1 , . . . , ηl ) l-dimenzi´ os v´eletlen v´eletlen vektor. Legyen tov´ abb´ a az (η1 , . . . , ηl ) v´eletlen vektor F m´erhet˝ o, ´es jel¨ olje F (B, ω), k B ∈ B , ω ∈ Ω, a (ξ1 , . . . , ξk ) v´eletlen vektor regul´ aris felt´eteles eloszl´ as´ at felt´eve az F σ-algebr´ at. Legyen h(x1 , . . . , xk , y1 , . . . , yl ) egy k + l v´ altoz´ os Borel m´erhet˝ o f¨ uggv´eny, amelyre E|h(ξ1 , . . . , ξk , η1 , . . . , ηl )| < ∞. Az E (h(ξ1 , . . . , ξk , η1 , . . . , ηl )|F) (ω) felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´eket ki lehet sz´ am´ıtani a k¨ ovetkez˝ o k´eplet seg´ıts´eg´evel: E (h(ξ1 , . . . , ξk , η1 , . . . , ηl )|F) (ω) Z = h(x1 , . . . , xk , η1 (ω), . . . , ηl (ω))F (dx1 , . . . , dxk , ω). Megjegyz´es: A fenti eredm´eny azt mondja ki, hogy a felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´eket a term´eszetes m´ odon sz´amolhatjuk ki egy regul´ aris felt´eteles eloszl´ as szerint. Azoknak a 17
val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ oknak, amelyek F m´erhet˝ oek, tudjuk az ´ert´ek´et a felt´etelben szerepl˝o F σ-algebra ismeret´eben, ez´ert term´eszetes ezek ´ert´ekeit behelyettes´ıteni a tekintett val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ oknak abba a f¨ uggv´eny´ebe, amelynek felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek´et ki akarjuk sz´amolni. Ezut´ an ezt a felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´eket u ´gy sz´ amolhatjuk ki, hogy a helyettes´ıt´es ut´ an kapott f¨ uggv´enyt integr´aljuk a t¨obbi val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o F σalgebra szerinti felt´eteles eloszl´ asa szerint. Megjegyzem, hogy ez az eredm´eny, illetve ´ ismertetett v´ annak albb altozata a felt´eteles eloszl´ asok kisz´ amol´ as´ ar´ ol sz´ ol´ o t´etel eredm´eny´evel egy¨ utt egyszer˝ u elj´ar´ ast ad az el˝ oz˝ o p´elda m´ odos´ıtott v´ altozata n´even tekintett feladat megold´ as´ara. Megfogalmazom a felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek kisz´ am´ıt´ as´ar´ ol sz´ol´ o t´etel megfelel˝ oj´et arra az esetre, ha az E(h(ξ1 , . . . , ξk , η1 , . . . , ηl )|η1 = y1 , . . . , ηl = yl ) felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´eket akarjuk kisz´ amolni a P ((ξ1 , . . . , ξk ) ∈ A|η1 = y1 , . . . , ηl = yl ) felt´eteles regul´ aris eloszl´ as ismeret´eben. A felt´ eteles v´ arhat´ o ´ ert´ ek kisz´ amol´ as´ ar´ ol sz´ ol´ o t´ etel egy v´ altozata. Legyen adva egy (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ o, azon egy egy ξ = (ξ1 , . . . , ξk ) k-dimenzi´ os ´es η = (η1 , . . . , ηl ) l-dimenzi´ os v´eletlen vektor. Legyen adva tov´ abb´ a a ξ = (ξ1 , . . . , ξk ) v´eletlen vektor F (B|y1 , . . . , yl ) felt´eteles eloszl´ asa felt´eve az (η1 , . . . , ηk ) v´eletlen vektort, azaz legyen F (B|y1 , . . . , yl ), B ∈ Bk , yj ∈ R, 1 ≤ j ≤ l, egy f¨ uggv´eny a k¨ ovetkez˝ o tulajdons´ agokkal: a) Minden (y1 , . . . , yl ) vektorra F (·|y1 , . . . , yl ) val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ek az (Rk , Bk ) euklideszi t´erben. b) Minden B ∈ Bk halmazra F (B|·, ·, ·) Borel m´erhet˝ o f¨ uggv´eny az (Rl , Bl ) t´erben. c) P ((ξ1 , . . . , ξk ) ∈ B|η1 = y1 , . . . , ηl = yl ) = F (B|y1 , . . . , yl ). Legyen h(x1 , . . . , xk , y1 , . . . , yl ) egy k + l v´ altoz´ os Borel m´erhet˝ o f¨ uggv´eny, amelyre E|h(ξ1 , . . . , ξk , η1 , . . . , ηl )| < ∞. Ekkor E (h(ξ1 , . . . , ξk , η1 , . . . , ηl )|η1 = y1 , . . . , ηl = yl ) Z = h(x1 , . . . , xk , y1 , . . . , yl )F (dx1 , . . . , dxk |y1 , . . . , yl ). Ha l´etezik f (x1 , . . . , xk |y1 , . . . , yl ) felt´eteles s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye az F (B|y1 , . . . , yl ) felt´eteles eloszl´ asf¨ uggv´enynek, azaz l´etezik olyan f (· · · | · · · ) f¨ uggv´eny, amelyre teljes¨ ul az F (B|y1 , . . . , yk ) =
Z
f (x1 , . . . , xk |y1 , . . . , yl ) dx1 . . . dxk
minden B ∈ Bk halmazra
B
azonoss´ ag, akkor E (h(ξ1 , . . . , ξk , η1 , . . . , ηl )|η1 = y1 , . . . , ηl = yl ) Z = h(x1 , . . . , xk , y1 , . . . , yl )f (x1 , . . . , xk |y1 , . . . , yl ) dx1 . . . dxk . 18
Befejez´es¨ ul a k¨ ovetkez˝ o k´et feladat megold´ as´at t´argyalom. 1. feladat: Legyen ζ ´es η k´et f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, G(u, v) k´et-v´ altoz´ os m´erhet˝ o f¨ uggv´eny. Mutassuk meg, hogy EG(ζ, η)|η = y) = EG(ζ, y). 2. feladat: Legyen (ξ, η) k´et-dimenzi´ os norm´ alis eloszl´ as´ u v´eletlen vektor. Mutassuk meg, hogy Cov (ξ, η)2 2 P (ξ < x|η = y) = Φm,σ (x), m = Eξ + Cov (ξ,η)(y−Eη) ´ e s σ = Var ξ − Var η Var ξ param´eterekkel, ahol Φm,σ (·) az m v´ arhat´ o ´ert´ek˝ u ´es σ sz´or´ as˝ u norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ asf¨ uggv´enye. Megjegyz´es: Az 1. feladat ´ all´ıt´ asa heurisztikusan term´eszetes. Ugyanis, ha η = y, akkor G(ζ, η) = G(ζ, y) ´es mivel η ´es ζ f¨ uggetlen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok, ez´ert η ismerete semmilyen inform´ aci´ot nem ad a ζ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o viselked´es´er˝ ol. Ez azt sugallja, hogy az EG(ζ, η)|η = y) felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´eket u ´gy kapjuk meg, hogy a G(ζ, y) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o v´ arhat´ o ´ert´ek´et sz´amoljuk ki a (ζ eredeti eloszl´ asa szerint). A 2. feladat ´ all´ıt´ as´at az 1. feladat ´ all´ıt´ asnak ´es annak a t´enynek a seg´ıts´eg´evel tudjuk bel´ atni, hogy egy k´et-dimenzi´ os v´eletlen norm´ alis eloszl´ as´ u vektor els˝ o koordin´at´ aja kifejezhet˝o a m´ asodik koordin´ ata ´es egy att´ol f¨ uggetlen norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o line´aris kombin´aci´ojak´ent. Vegy¨ uk ´eszre, hogy a 2. feladat eredm´enye szerint ξ felt´eteles eloszl´ asa r¨ogz´ıtett η = y felt´etel eset´en norm´ alis eloszl´ as, amelynek sz´or´ asa nem f¨ ugg az η = y felt´etelt˝ ol. Az 1. feladat megold´ asa: Legyen osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o eloszl´ asR F (u) a ζ, H(y) az η val´ f¨ uggv´enye. Ekkor EG(ζ, y)R= G(u, y)F ( du), ´es azt kell bel´ atnunk, hogy tetsz˝oleges Borel-m´erhet˝ o A halmazra A EG(ζ, y)H( dy) = EG(ζ, η)IA (η). Viszont EG(ζ, η)IA (η) =
Z
IA (y)G(u, y)F ( du)H( dy) Z Z Z = IA (y) G(u, y)F ( du) H( dy) = EG(ζ, y)H( dy) A
a Fubini t´etel alapj´ an, ahol IA (·) az A halmaz indik´atorf¨ uggv´eny´et jel¨oli. A 2. feladat megold´ asa. A t¨obbdimenzi´ os norm´ alis eloszl´ asr´ ol sz´ol´ o el˝ oad´as eredm´enyei alapj´ an a (ξ, η) v´eletlen vektor ξ koordin´ at´ aja el˝ o´all´ıthat´ o ξ = aη + ζ alakban a = Cov (ξ,η) v´ alaszt´ assal u ´gy, hogy ζ = ξ −aη ´es η f¨ uggetlen, norm´ alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi Var η v´ altoz´ ok. Ez´ert P (ξ < x|η = y) = P (aη + ζ < x|η = y) = P (ay + ζ < x) az 1. feladat eredm´enye alapj´ an. (Ez az 1. feladat eredm´eny´eb˝ ol k¨ ovetkezik, ha azt a k¨ ovetkez˝ o G(u, v) = Gx (u, v) f¨ uggv´enyre alkalmazzuk: G(u, v) = 1, ha u + av < x, ´es G(u, v) = 0, 19
Cov (ξ,η) alis eloszl´ as´ u val´ osz´ın˝ us´egi Var η .) Viszont ζ norm´ Cov (ξ,η)Eη 2 v´ arhat´ o ´ert´ekkel ´es Var ξ + a Var η − 2aCov (ξ, η) = Var η
ha u + av ≥ 0, ahol a =
v´ altoz´ o
Eξ − aEη = Eξ −
Var ξ −
Cov (ξ,η) Var ξ
2
sz´or´ asn´egyzettel. M´asr´eszt Eay+ζ = ay+Eζ, ´es Var (ay+ζ) = Var ζ, ahonnan k¨ ovetkezik, hogy a feladat megold´ as´aban megjelen˝o norm´ alis eloszl´ asnak val´ oban az ott megadott m v´ arhat´ o ´ert´eke ´es σ 2 sz´or´ asn´egyzete van. Kieg´ esz´ıt´ es. El˝osz¨ or a k¨ ovetkez˝ o az el˝ oad´as f˝ o r´esz´eben megfogalmazott eredm´eny bizony´ıt´ as´at ismertetem. A val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok m´erhet˝ o f¨ uggv´enyeinek a jellemz´es´er˝ ol sz´ ol´ o t´etel bizony´ıt´ asa. Az anal´ızis ´ altal´ anos eredm´enyeib˝ol k¨ ovetkezik, hogy ha g(x1 , . . . , xk ) Borel m´erhet˝ o f¨ uggv´eny, akkor a g(ξ1 , . . . , ξk ) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o m´erhet˝ o a ξ1 , . . . , ξk val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok a´ltal gener´ alt F σ-algebr´ara. Az ´ all´ıt´ as megford´ıt´ as´at el˝ osz¨ or a F m´erhet˝ o indik´ator f¨ uggv´enyekre l´atom be, azaz megmutatom, hogy ha A ∈ F, akkor l´etezik olyan g(x1 , . . . , xk ) Borel m´erhet˝ o f¨ uggv´eny, amelyre g(ξ1 (ω), . . . , ξk (ω)) = 1, ha ω ∈ A, ´es g(ξ1 (ω), . . . , ξk (ω)) = 0, ha ω ∈ / A. Tov´ abb´a ez a g(x1 , . . . , xk ) f¨ uggv´eny v´ alaszthat´o k u ´gy, mint az R t´er egy Borel m´erhet˝ o halmaz indik´ator f¨ uggv´enye. k Q Abban a speci´ alis esetben, ha A = I({ω: ξj (ω) ∈ Bj }) valamely B1 , . . . , Bk j=1
Borel m´erhet˝ o halmazokkal, ´es I(B) egy B halmaz indik´ator f¨ uggv´eny´et jel¨oli, az all´ıt´ ´ as nyilv´anval´ o a g(x1 , . . . , xk ) = 1, ha xj ∈ Bj , 1 ≤ j ≤ k, ´es g(x1 , . . . , xk ) = 0 egy´ebk´ent f¨ uggv´enyv´ alaszt´ assal. Ez´ert el´eg bel´ atni, hogy a k´ıv´ant tuladjons´ aggal rendelkez˝ o halmazok σ-algebr´at alkotnak. Ez viszont k¨ ovetkezik a k¨ ovetkez˝ o ´eszrev´etelb˝ ol. Ha I(ω: ω ∈ A) = g(ξ1 (ω), . . . , ξk (ω)), akkor I(ω: ω ∈ / A) = 1 − g(ξ1 (ω), . . . , ξk (ω)), ∞ S ´es ha I(ω: ω ∈ Aj ) = gj (ξ1 (ω), . . . , ξk (ω)), j = 1, 2, . . . , akkor I(ω: ω ∈ Aj ) = j=1
g(ξ1 (ω), . . . , ξk (ω)) g(x1 , . . . , xk ) = max g(x1 , . . . , xk ) v´ alaszt´ assal, ´es az ´ıgy defini´alt 1≤j<∞
g(x1 , . . . , xk ) f¨ uggv´eny szint´en egy Borel m´erhet˝ o halmaz indik´ator f¨ uggv´enye. Ezut´ an k¨ onnyen l´athat´ o, hogy amennyiben az η val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o l´epcs˝os f¨ uggl P v´eny az (Ω, F, P ) t´eren, azaz fel´ırhat´ oη = cl I(Aj ) v´eges ¨ osszeg alakban valamely j=1
Aj ∈ F diszjunkt halmazok ¨ osszegek´ent, akkor l´etezik η = g(ξ1 , . . . , ξk ) alak´ u el˝ o´all´ıt´ asa alkalmas Borel m´erhet˝ o f¨ uggv´eny seg´ıts´eg´evel. Tov´ abb´a, ha ηj , j = 1, 2 . . . , l´epcs˝os f¨ uggv´enyek, sup ηj (ω) < ∞ minden ω ∈ Ω elemi esem´enyre, akkor az η = sup ηj val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o is el˝ o´all´ıthat´ o a k´ıv´ant η = g(x1 , . . . , xk ) alakban. Val´ oban, legyen ηj = gj (ξ1 , . . . , ξk ), j = 1, 2, . . . , ´es defini´aljuk a g(x1 , . . . , xk ) = sup gj (x1 , . . . , xk ) f¨ uggv´enyt, ha sup gj (x1 , . . . , xk ) < ∞, ´es legyen g(x1 , . . . , xk ) = 0, ha sup gj (x1 , . . . , xk ) = ∞. Ez megadja a k´ıv´ant el˝ o´all´ıt´ ast. Mivel tetsz˝oleges pozit´ıv F m´erhet˝ o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o el˝ o´all´ıthat´ o, mint monoton n¨ovekv˝o elemi f¨ uggv´enyek limesze, innen k¨ ovetkezik az ilyen val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ok k´ıv´ant alak´ u el˝ o´all´ıt´ asa is. Ezut´an egy ´ altal´ anos η val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot fel´ırva η = η+ − η− alakban, ahol η+ = 20
max(η, 0), η− = − min(η, 0), megkapjuk a k´ıv´ant reprezent´aci´ot tetsz˝oleges F m´erhet˝ o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ora. A k´ıv´ant el˝ o´all´ıt´ as (a t´etel ´ertelm´eben vett) egy´ertelm˝ us´eg´enek bel´ at´ asa ´erdek´eben vegy¨ uk egy η val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o k´et η(ω) = g1 (ξ1 (ω), . . . , ξk (ω)) ´es
η(ω) = g2 (ξ1 (ω), . . . , ξk (ω))
el˝ o´all´ıt´ as´at ´es a h(x1 , . . . , xk ) = g1 (x1 , . . . , xk ) − g2 (x1 , . . . , xk ) k¨ ul¨ onbs´egf¨ uggv´enyt. Ekkor h(ξ1 (ω), . . . , ξk (ω)) = 0 majdnem minden ω ∈ Ω elemi esem´enyre, ´es ez csak u ´gy lehets´eges, ha h(x1 , . . . , xk ) = 0 a (ξ1 , . . . , xk ) v´eletlen vektor µ eloszl´ asa szerint majdnem minden pontban. A felt´eteles regul´ aris eloszl´ as l´etez´es´er˝ ol sz´ol´ o t´etelnek al´ abbi a´ltal´ anosabb alakj´ at bizony´ıtom, amelyben ´ert´ek¨ uket tetsz˝oleges teljes szepar´ abilis metrikus t´erben felvev˝o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okat tekintek. T´ etel regul´ aris felt´ eteles eloszl´ asok l´ etez´ es´ er˝ ol. Legyen ξ(ω) egy ´ert´ekeit valamely (U, ρ) teljes szepar´ abilis metrikus t´erben felvev˝ o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o egy (Ω, A, P ) val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ on, ´es legyen adva a val´ osz´ın˝ us´egi mez˝ o valamely F ⊂ A r´esz-σ-algebr´ aja. Jel¨ olje B a Borel σ-algebr´ at az (U, ρ) metrikus t´eren. A ξ(ω) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ onak l´etezik az F σ-algebra szerinti regul´ aris felt´eteles eloszl´ asa, azaz meg lehet adni egy olyan F (B, ω), F (B, ω): B × Ω → R1 f¨ uggv´enyt, amelyre i.) F (B, ·) minden B ∈ B halmazra F m´erhet˝ o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o. ii.) F (·, ω) minden ω ∈ Ω pontra val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ek az (U, ρ) metrikus t´er B σalgebr´ aj´ an, azaz F (U, ω) = 1, 0 ≤ F (B, ω) ≤ 1 minden B ∈ B halmazra, ´es ! ∞ ∞ [ X Bk , ω = F (Bk , ω) F k=1
k=1
minden diszjunkt Bk ∈ B, k = 1, 2, . . . , halmazokb´ ol a ´ll´ o rendszerre. iii.) F (B, ω) = P (ξ(ω)) ∈ B|F) (ω) minden B ∈ B halmazra. Ez azt jelenti, hogy az F (B, ω) f¨ uggv´eny u ´gy tekinthet˝ o, mint a P (ξ(ω)) ∈ B|F) (ω) felt´eteles val´ osz´ın˝ us´eg egyik verzi´ oja. Ez u ´gy is megfogalmazhat´ o, hogy F (B, ω) annak a QB m´ert´eknek a a P B val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´ek szerinti dQ altja az (Ω, F, P ) m´ert´ekt´eren, dP Radon–Nikodym deriv´ amelyet a QB (A) = P (B ∩ A), A ∈ F, k´eplet defini´ al. A t´etel bizony´ıt´ asa el˝ ott megfogalmazok n´eh´ any a bizony´ıt´ asban hasznos a´ll´ıt´ ast lemma form´aj´aban. Ezek bizony´ıt´ as´at itt nem t´argyalom. 1. lemma. Egy (X, A) m´erhet˝ o t´er megsz´ aml´ alhat´ o sok A m´erhet˝ o halmaz´ ab´ ol a ´ll´ oC halmazrendszert tartalmaz´ o legsz˝ ukebb algebra szint´en megsz´ aml´ alhat´ o sz´ amoss´ ag´ u. 2. lemma. Legyen (X, ρ) egy szepar´ abilis teljes metrikus t´er, ´es µ egy v´eges m´ert´ek e t´er A Borel σ-algebr´ aj´ an. Ekkor minden B ∈ A halmazra ´es ε > 0 sz´ amra l´etezik olyan K ⊂ B kompakt halmaz, amelyre µ(K) ≥ µ(B) − ε. 21
3. lemma. Legyen K1 ⊇ K2 ⊇ · · · egym´ asba skatuly´ azott kompakt halmazok csal´ adja ∞ T Kn = ∅. egy (X, ρ) szepar´ abilis teljes metrikus t´erben, amelyek metszete u ¨res, azaz n=1
Ekkor l´etezik olyan n index, amelyre Kn = ∅.
4. lemma. Legyen µ egy (v´egesen) addit´ıv, nem negat´ıv halmazf¨ uggv´eny egy X t´er C algebr´ aj´ an. Ez a µ halmazf¨ uggv´eny σ-addit´ıv a C algebr´ an, ha teljes´ıti a k¨ ovetkez˝ o folytonoss´ agi tulajdons´ agot: Minden olyan egym´ asba skatuly´ azott B1 ⊇ B2 ⊇ B3 ⊇ · · · , ∞ T Bn = ∅ teljes¨ ul a lim µ(Bn ) = 0 Bn ∈ C, n = 1, 2, . . . , halmazrendszerre, amelyre n→∞
n=1
rel´ aci´ o.
Az ¨ ot¨ odik lemma megfogalmaz´asa el˝ ott bevezetem a k¨ ovetkez˝ o definici´ ot. Monoton halmazoszt´ alyok definici´ oja. Ha egy X halmaz r´eszhalmazainak C csal´ ad∞ S Cn ∈ C, ja olyan tulajdons´ ag´ u, hogy Cn ∈ C, Cn ⊆ Cn+1 , n = 1, 2, . . . , eset´en C∞ =
´es Cn ∈ C, Cn ⊇ Cn+1 , n = 1, 2, . . . , eset´en C∞ =
∞ T
n=1
Cn ∈ C, akkor C-t monoton
n=1
halmazoszt´ alynak nevezz¨ uk.
5. lemma. Egy C algebr´ at tartalmaz´ o monoton halmazoszt´ aly tartalmazza a C algebra a ´ltal gener´ alt σ-algebr´ at is. A t´etel bizony´ıt´ asa. El˝osz¨ or megmutatom, hogy a t´etel bizony´ıt´ as´at a k¨ ovetkez˝ o ‘A tulajdons´ag’ igazol´as´ara lehet visszavezetni. A tulajdons´ ag: L´etezik egy (megsz´aml´alhat´ o sok halmazb´ol a´ll´ o) C ⊂ B algebra az (X, ρ) metrikus t´eren u ´gy, hogy a B σ-algebra a C algebra ´ altal gener´ alt legsz˝ ukebb σ-algebra, valamint a Q(C, ω) = P (ξ(ω) ∈ C|F)(ω) felt´eteles val´ osz´ın˝ us´egeknek egy verzi´oja minden C ∈ C halmazra ´es egy olyan Ω0 ⊂ Ω a P (Ω0 ) = 1 ´es Ω0 ∈ F tulajdons´agokat teljes´ıt˝ o halmaz, amelyekre a P (·|F)(ω) halmazf¨ uggv´eny 1-re norm´ alt m´ert´ek a C algebr´an minden ω ∈ Ω0 elemi esem´enyre. El˝osz¨ or megmutatom, hogy feltehetj¨ uk, hogy az ‘A tulajdons´ag’-ot teljes´ıt˝ o rendszerben Ω0 = Ω. Ennek ´erdek´eben r¨ogz´ıts¨ unk egy tetsz˝oleges P0 val´ osz´ın˝ us´egi m´ert´eket a C algebr´an, ´es terjessz¨ uk ki a Q(C, ω) = P (ξ ∈ C|F)(ω) f¨ uggv´enyt az ω ∈ Ω0 halmazr´ ol az ω ∈ Ω halmazra a k¨ ovetkez˝ o k´eplet seg´ıts´eg´evel: Q(C, ω) = P (C|F)(ω) = P0 (C) minden C ∈ C halmazra ´es ω ∈ Ω \ Ω0 elemi esem´enyre. Ezut´ an tekints¨ uk minden ω ∈ Ω elemi esem´enyre a Q(·, ω) m´ert´ek egy´ertelm˝ u kiterjeszt´es´et a C algebr´ar´ ol a B σ-algebr´ara. Azt ´ all´ıtom, hogy az ´ıgy kapott Q(B, ω), B ∈ B, ω ∈ Ω, f¨ uggv´eny v´ alaszthat´o, mint a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o Q(B, ω) = F (B, ω) = P (ξ(ω) ∈ B|F)(ω) felt´eteles eloszl´ asa az F σ-algebra szerint. Ehhez azt kell bel´ atni, hogy a Q(B, ω) f¨ uggv´eny teljes´ıti a t´etelben felsorolt (i), (ii) ´es (iii) tulajdons´agot. Tekints¨ uk azon B halmazok B0 oszt´aly´ at, amelyek teljes´ıtik az (i) tulajdons´agot. Ekkor C ⊂ B0 , ´es nem neh´ez bel´ atni, hogy B0 monoton halmazoszt´ aly. Ez´ert az 22
5. lemma alapj´ an B ⊆ B0 , teh´at az (i) tulajdons´ag teljes¨ ul. A (ii) tulajdons´ag teljes¨ ul´ese nyilv´ anval´ o. A (iii) tulajdons´ag igazol´as´ahoz azt kell ellen˝ orizni, hogy P (B ∩ F ) = R Q(C, ω) dP (ω) minden F ∈ F ´es B ∈ B halmazra. Ennek ´eRrdek´eben defini´aljuk minF den F ∈ F halmazra a µ1,F (B) = P (B ∩ F ) ´es µ2,F (B) = F Q(B, ω) dP (ω), B ∈ B, halmazf¨ uggv´enyeket. Mivel mind µ1,F mind µ2,F m´ert´ek, ´es µ1,F (C) = µ2,F (C) minden C ∈ C halmazra, a m´ert´ekek kiterjeszt´es´enek egy´ertelm˝ us´ege miatt egy algebr´ar´ ol az altala gener´ ´ alt legsz˝ ukebb σ-algebr´ara a k´et m´ert´ek megegyezik, ´es a (iii) tulajdons´ag is teljes¨ ul. Ezut´ an be kell l´atni az ‘A tulajdons´ag’-ot. Felhaszn´alva azt, hogy (X, ρ) szepar´ abilis metrikus t´er, tudunk v´ alasztani megsz´ aml´alhat´ o sok (ny´ılt) g¨omb¨ot, amelyek gener´ alj´ak a B σ-algebr´at. (Vehet¨ unk egy minden¨ utt s˝ ur˝ u megsz´ aml´alhat´ o halmazt az (X, ρ) metrikus t´eren ´es az e halmaz pontjai k¨ or¨ uli racion´alis sugar´ u g¨omb¨oket.) Az e halmazokat ´es az X halmazt tartalmaz´o legsz˝ ukebb algebra szint´en megsz´ aml´alhat´ o sok elemb˝ol a´ll az 1. lemma szerint, ´es ezt fogjuk v´ alasztani az A tulajdons´agot teljes´ıt˝ o rendszerben a C algebr´anak. Vezess¨ uk be a µ(B) = P (ξ ∈ B), B ∈ B, k´eplettel defini´alt µ m´ert´eket az (X, ρ) metrikus t´er B Borel σ-algebr´aj´an. Ezut´an, felhaszn´alva a 2. lemma eredm´eny´et ´es azt a t´enyt, hogy k´et kompakt halmaz uni´oja is kompakt halmaz v´ alaszthatunk minden C ∈ C halmazhoz kompakt halmazok olyan K1,C ⊆ K2,C ⊆ · · · monoton sorozat´at, amelyre Kn,C ⊆ C minden 1 ≤ n < ∞ indexre, ´es lim µ(Kn,C ) = µ(C). Ezut´ an vezess¨ uk n→∞ be az ¨ osszes C ∈ C ´es Kn,C , n = 1, 2, . . . , C ∈ C halmazt tartalmaz´o legsz˝ ukebb C1 algebr´at. A C1 algebra szint´en csak megsz´ aml´alhat´ o sok elemet tartalmaz. Azt a´ll´ıtom, hogy l´etezik olyan Ω0 ⊂ Ω, P (Ω0 ) = 1, Ω0 ∈ F halmaz ´es egy Q(C, ω), C ∈ C1 , ω ∈ Ω1 halmazf¨ uggv´eny, amely teljes´ıti a k¨ ovetkez˝ o tulajdons´agokat. i. Q(C, ω) = P (ξ1 (ω) ∈ C|F)(ω) minden C ∈ C1 halmazra, azaz Q(C, ω) tekinthet˝o, mint e felt´eteles val´ osz´ın˝ us´eg (csak 1 val´ osz´ın˝ us´eggel meghat´ arozott) verzi´oja. ii. Q(C, ω) nem-negat´ıv, addit´ıv halmazf¨ uggv´eny, ´es Q(X, ω) = 1 a C1 algebr´an minden ω ∈ Ω0 elemi esem´enyre. iii. lim Q(Kn,C , ω) = Q(C, ω) minden C ∈ C halmazra ´es ω ∈ Ω0 elemi esem´enyre. n→∞
Val´ oban, tekints¨ uk a Q(C, ω) = P (ξ1 (ω) ∈ C|F)(ω) felt´eteles val´ osz´ın˝ us´eg egyik verzi´oj´at minden C ∈ C1 halmazra ´es ω ∈ Ω elemi esem´enyre. Bel´ atom, hogy el lehet hagyni egy Ω1 , P (Ω1 ) = 0, Ω1 ∈ F, halmazt u ´gy, hogy a (ii) ´es (iii) tulajdons´agok teljes¨ ulnek minden ω ∈ Ω\Ω1 halmazra. Egy ilyen v´ alaszt´ as teljes´ıti az (i) tulajdons´agot is. A (ii) tulajdons´ag biztos´ıt´ asa kapcs´an vegy¨ uk ´eszre, hogy ez megsz´ aml´alhat´ o sok olyan felt´etel biztos´ıt´ as´at jelenti, amelyek mindegyike teljes¨ ul egy 1 val´ osz´ın˝ us´eg˝ u ´es F m´erhet˝ o halmazon. Ez´ert l´etezik olyan Ω2 ⊂ Ω, P (Ω2 ) = 0, Ω2 ∈ F halmaz u ´gy, hogy a (ii) tulajdons´ag teljes¨ ul minden ω ∈ / Ω2 elemi esem´enyre. Ha ω ∈ Ω \ Ω2 akkor a Q(Kn,C , ω) f¨ uggv´enysorozat monoton n˝ovekszik az n v´ altoz´ oban minden C ∈ F halmazra, ´es Q(Kn,C , ω) ≤ Q(C), n = 1, 2, . . . . M´asr´eszt a 23
felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek tulajdons´aga miatt lim
n→∞
Z
Q(Kn,C , ω) dP (ω) = lim µ(Kn,C ) = µ(C) = n→∞
Z
Q(C, ω) dP (ω)
minden C ∈ C halmazra. Innen k¨ ovetkezik, hogy lim Q(Kn,C , ω) = Q(C, ω) egy n→∞ null m´ert´ek˝ u F m´erhet˝ o halmazt kiv´eve minden ω ∈ Ω elemi esem´enyre. Mivel a (iii) felt´etelben megsz´ aml´alhat´ o sok ilyen tulajdons´ag teljes¨ ul´es´et ´ırtuk el˝ o, ez´ert l´etezik olyan Ω3 ⊂ Ω, P (Ω3 ) = 0, Ω3 ∈ F halmaz u ´gy, hogy a (iii) tulajdons´ag teljes¨ ul minden ω ∈ Ω\Ω3 elemi esem´enyre. Ez´ert a k´ıv´ant tulajdons´agok mindegyike teljes¨ ul a Q(C, ω) f¨ uggv´enyre az Ω0 = Ω \ (Ω2 ∪ Ω3 ) halmazon. Ezut´ an el´eg megmutatni, hogy az (i), (ii) ´es (iii) tulajdons´agokb´ ol k¨ ovetkezik, hogy a C algebra teljes´ıti az A tulajdons´agot. A 4. lemma alapj´ an ehhez el´eg megmutatni azt, hogy minden olyan Cn ∈ C, n = 1, 2, . . . , C1 ⊆ C2 ⊆ · · · halmazsorozatra, amelyre ∞ T Cn = ∅ ´es ω ∈ Ω1 elemi esem´enyre lim Q(Cn , ω) = 0. n→∞
n=1
Ezen a´ll´ıt´ as igazol´asa ´erdek´eben r¨ogz´ıts¨ unk egy kis ε > 0 sz´amot ´es v´ alasszunk mindegyik Cn halmazhoz egy olyan n ¯ (n) = n ¯ (n, ε, ω) indexet, amelyre Q(Kn¯ (n),Cn , ω) ≥ ∞ ∞ T T Kn¯ (n),Cn = ∅, ´es Cn = ∅ rel´ aci´o ´es a 3. lemma alapj´ an Q(Cn , ω) − 2−(n+1) ε. A n=1
l´etezik olyan n0 index, amelyre
n T0
n=1
Cn0 ⊂
n0 [
n=1
Kn¯ (n),Cn = ∅. Mivel n0 \
(Cn0 \ Kn¯ (n),Cn ) ∪
n=1
n=1
Kn¯ (n),Cn
!
innen k¨ ovetkezik, hogy Q(Cn0 , ω) ≤
n0 X
Q(Cn0 \ Kn¯ (n),Cn , ω) ≤
∞ P
(Q(Cn , ω) − Q(Kn¯ (n),Cn , ω)),
n=1
n=1
´es ez´ert Q(Cn0 , ω) ≤
n0 X
ε2−(n+1) = ε. (Ebben a l´ep´esben kihaszn´ altuk, hogy a Q(·, ω)
n=1
halmazf¨ uggv´eny a C1 algebr´an is addit´ıv.) Ez´ert Q(Cn0 , ω) ≤ ε, ´es lim sup Q(Cn , ω)) ≤ ε n→∞
minden ω ∈ Ω0 elemi esem´enyre. Ez minden ε > 0 sz´amra igaz, ´ıgy lim Qn (Cn , ω) = 0. n→∞
A felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ekek kisz´ amol´ as´ar´ ol sz´ol´ o t´etelnek regul´ aris eloszl´ asok seg´ıts´eg´evel szint´en l´etezik ´ altal´ anos´ıt´ asa ´ altal´ anos terekben defini´alt val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ okra. Ennek az al´ abb megfogalmazott eredm´enynek a bizony´ıt´ as´at fogom ismertetni. A felt´ eteles v´ arhat´ o´ ert´ ek regul´ aris felt´ eteles eloszl´ asok seg´ıts´ eg´ evel val´ o kisz´ amol´ as´ ar´ ol sz´ ol´ o t´ etel ´ altal´ anos´ıt´ asa. Legyen adva k´et (X, U) ´es (Y, V) m´erhet˝ o t´er, egy (Ω, A, P ) val´ osz´ an˝ us´egi mez˝ o mez˝ o ´es azon egy F ⊂ A σ-algebra. Legyen 24
ezenk´ıv¨ ul adva egy ξ, ´ert´ekeit az (X, U) egy η, ´ert´ekeit az (Y, V) t´erben felvev˝ o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, amelyek k¨ oz¨ ul η F m´erhet˝ o, ´es egy olyan h(x, y) m´erhet˝ o f¨ uggv´eny az (X × Y, U × V) szorzatt´eren, amelyre E|h(ξ, η)| < ∞. Tegy¨ uk fel ezenk´ıv¨ ul, hogy a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ onak l´etezik egy F (B, ω), P (ξ(ω) ∈ B|F)(ω) = F (B, ω), B ⊂ U, ω ∈ Ω, regul´ aris felt´eteles eloszl´ asa az F σ-algebr´ ara n´ezve. Ekkor fel´ırhat´ o az E(h(ξ, η)|F)(ω) =
Z
h(x, η(ω))F (dx, ω)
(1)
azonoss´ ag. A t´etel bizony´ıt´ asa. Azt kell bel´ atni, hogy az (1) formula jobboldal´ an szerepl˝o integr´al F m´erhet˝ o val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, ´es teljes´ıti a felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek definici´ oj´aban ′ megadott ii. ) felt´etelt. L´ assuk be a m´erhet˝ os´egr˝ol sz´ol´ o´ all´ıt´ ast el˝ osz¨or abban az esetben, ha h(x, y) egy az X × Y t´erben m´erhet˝ o C halmaz indik´ator f¨ uggv´enye. Ha C = A × B, A ∈ U, B ∈ V alak´ u, akkor ez az ´ all´ıt´ as nyilv´anval´ o. Ugyancsak nyilv´anval´ o akkor, ha C v´eges sok ilyen diszjunkt t´eglalap uni´oja. Viszont az ilyen halmazok algebr´at alkotnak. Ezut´an viszonylag egyszer˝ uen ellen˝ orizhet˝o, hogy azon C halmazok, amelyek indik´ator f¨ uggv´enye teljes´ıti a k´ıv´ant m´erhet˝ os´egi felt´etelt monoton halmazoszt´ alyt alkotnak. Ez´ert az 5. lemma alapj´ an az ilyen halmazok csal´adja tartalmazza az el˝ obb tekintett A × B alak´ u halmazok ´ altal gener´ alt, azaz az U × V σalgebr´at. A m´erhet˝ o halmazok indik´atorf¨ uggv´enyeire m´ ar bizony´ıtott a´ll´ıt´ ast felhaszn´alva megkapjuk, hogy az (1) formula jobboldal´ an szerepl˝o integr´al F m´erhet˝ o akkor, ha h(x, y) l´epcs˝os f¨ uggv´eny, majd az ´ altal´ anos f¨ uggv´enyeket l´epcs˝ os f¨ uggv´enyek e f¨ uggv´enyhez konverg´ al´ o sorozat´aval k¨ ozel´ıtve megkapjuk a k´ıv´ ant F m´erhet˝ os´egi a´ll´ıt´ ast minden olyan m´erhet˝ o h(x, y) f¨ uggv´enyre, amelyre E|h(ξ, η)| < ∞. A ii.′ ) felt´etelt is el˝ osz¨ or m´erhet˝ o halmazok indik´ator f¨ uggv´enyeire l´atjuk be. Ezen bel¨ ul is el˝ osz¨ or azt az esetet tekintj¨ uk, amikor h(x, y) = IA (x)IB (u), A ∈ U, B ∈ V. Ekkor E(h(ξ, η)|F) = E(IA (ξ)|F)IB (η) = F (A, ω)IB (η(ω) ´es ez nyilv´an egyenl˝o az (1) formula jobboldal´ an szerepl˝o integr´allal ebben az esetben. Egy a´ltal´ anos C ∈ U × V halmaz indik´atorf¨ uggv´eny´ere a k¨ ovetkez˝ o rel´ aci´ot kell ellen˝ orizni. R¨ ogz´ıts¨ unk egy tetsz˝oleges G ∈ F esem´enyt, ´es defini´aljuk el˝ osz¨ or a µ1,G (C) = P ({ω: (ξ(ω), η(ω)) ∈ A} ∩ F ),
C ∈ U × V,
m´ert´eket az (X ×Y, U ×V) t´eren. Ezut´an vezess¨ uk be minden y ∈ Y pontra ´es C ∈ U ×V halmazra a C halmazra a k¨ ovetkez˝ o C(y) ∈ U (metszet)halmazt: C(y) = {x: (x, y) ∈ C}. Vezess¨ uk be tov´ abb´a a H(y, ω) = HC (y, ω) = F (C(y), ω) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot, ahol F (·, ω) a ξ val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o felt´eteles eloszl´ asf¨ uggv´enye, felt´eve a F σ-algebr´at. (A H(y, ω) val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ ot u ´gy defini´altam, hogy ez az (1) f¨ uggv´eny jobboldal´ an 25
defini´alt integr´allal egyenl˝o akkor, ha h(·) a C halmaz indik´atorf¨ uggv´enye. Ezut´ an defini´aljuk a Z µ2,G (C) = H(η(ω)) dP (ω), A ∈ Rk+l G
m´ert´eket az (X × Y, U × V) szorzatt´eren. Azt kell igazolni, hogy µ1,G (C) = µ2,G (C) minden C ∈ U × V halmazra, ami azt jelenti, hogy a ii′ ) azonoss´ag igaz minden ilyen halmaz indik´atorf¨ uggv´eny´ere. Ezt az azonoss´agot m´ ar ellen˝ orizt¨ uk abban a speci´alis esetben, amikor C = A × B, A ∈ U, B ∈ V, ´es a k´ıv´ant azonoss´ag k¨ ovetkezik ebb˝ol tetsz˝oleges C ∈ U × V halmazra is a µ1,G ´es µ2,G m´ert´ekek kiterjeszt´es´enek egy´ertelm˝ us´ege miatt a U × V σ-algebr´ara. Az a´ltal´ anos eset visszavezet´ese a m´ ar bebizony´ıtott ´ all´ıt´ ashoz hasonl´o, csak egyszer˝ ubb ´ervel´esen alapul. R¨ ogz´ıts¨ unk egy G ∈ F esem´enyt ´es defini´aljuk minden olyan h(x, y) m´erhet˝ o f¨ uggv´enyre, amelyre E|h(ξ, η)| < ∞ a K1 (G, h) =
Z
h(ξ(ω), η(ω)) dP (ω)
G
´es K2 (G, h) =
Z Z
h(x, η(ω))F (dx, ω) dP (ω)
G
integr´alokat. Azt kell bel´ atni, hogy K1 (G, h) = K2 (G, h) minden olyan h f¨ uggv´enyre, amelyre E|h(ξ, η)| < ∞. Ezt az azonoss´agot tudjuk abban az esetben, ha h(·) az X × Y t´er egy m´erhet˝ o halmaz´ anak indik´ator f¨ uggv´enye. Mivel mind K1 (G, h) mind K2 (G, h) a h f¨ uggv´enynek line´aris f¨ uggv´enye (r¨ogz´ıtett G ∈ F esem´enyre) ez´ert ez az a´ll´ıt´ as igaz minden l´epcs˝os f¨ uggv´enyre. Ezut´an limeszel´essel megkapjuk azt nem-negat´ıv majd tetsz˝oleges f¨ uggv´enyekre. Az (egyszer˝ u) r´eszletek kidolgoz´ as´at elhagyom. A felt´eteles v´ arhat´ o ´ert´ek kisz´ amol´ as´ ar´ ol sz´ ol´ o t´etel egy v´ altozata eredm´eny hasonl´oan bizony´ıthat´ o, ez´ert ennek t´argyal´ as´at elhagyom.
26
