FUNGSI A. PENGERTIAN DAN UNSUR-UNSUR FUNGSI Fungsi Fungsi ialah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan ketergantungan (hubungan fungsional) antara satu variabel dengan variabel lain. Sebuah fungsi dibentuk oleh beberapa unsur. Unsur-unsur pembentuk fungsi adalah variabel, koefisien dan konstanta. Variabel dan koefisien senantiasa terdapat dalam setiap bentuk fungsi. Akan tetapi tidak demikian halnya dengan konstanta. Sebuah fungsi, yang secara kongkret dinyatakan dalam bentuk persamaan atau pertidaksamaan, mungkin sekali mengandung sebuah konstanta dan mungkin pula tidak. Walaupun sebuah persamaan atau sebuah pertidaksamaan tidak mengandung konstanta, tidaklah mengurangi artinya sebagai sebuah fungsi. Variabel Variabel ialah unsur pembentuk fungsi yang mencerminkan atau mewakili faktor tertentu, dilambangkan (berdasarkan kesepakatan umum) dengan huruf-huruf Latin. Dalam matematika, variabel-variabel dalam sebuah persamaan lazimnya ditulis dengan huruf-huruf kecil, melambangkan sumbu-sumbu dalarn sistem koordinat (absis dan ordinat, x dan y). Dalam ekonomika, tidak terdapat ketentuan bahwa variabel dalam suatu persamaan harus dituliskan dengan huruf kecil. Berdasarkan kedudukan atau sifatnya, di dalam setiap fungsi terdapat dua macam variabel yaitu variabel bebas dan variabel terikat. Variabel bebas (independen[ variable) ialah variabel yang nilainya tidak tergantung pada variabel lain, sedangkan variabel terikat (independent variable) ialah variabel yang nilainya tergantung pada variabel lain. Koefisien dan Konstanta Koefisien ialah bilangan atau angka yang terkait pada dan terletak di depan suatu variabel dalam sebuah fungsi. Adapun konstanta ialah bilangan atau angka yang (kadang-kadang) turut membentuk sebuah fungsi tetapi berdiri sendiri sebagai bilangan dan tidak terkait pada suatu variabel tertentu. Notasi sebuah fungsi secara umum: y = f(x) Contoh kongkret: y = 5 + 0,8x Atau, karena y = f(x), bisa pula: f(x) = 5 + 0,8x Bentuk y = f(x) di atas berarti menyatakan bahwa y merupakan fungsi x, besar kecilnya nilai y tergantung pada atau fungsional terhadap nilai x. Masing-masing x dan y adalah variabel. Dalam hal ini, x adalah variabel bebas karena nilainya tidak tergantung pada nilai variabel lain (y) dalam fungsi tersebut. Sebaliknya, y adalah variabel terikat karena nilainya tergantung pada nilai x. Angka 0,8 adalah koefisien variabel x, karena ia terkait pada variabel tersebut. Pada variabel y sesungguhnya terkandung sebuah koefisien lagi, yang besarnya sama dengan 1. Namun karena angka 1 di depan sebuah variabel biasanya tidak dituliskan, maka koefisien 1 yang terkait pada variabel y itu seakan-akan tidak ada. Angka 5 dalam persamaan di atas adalah sebuah konstanta. B. JENIS-JENIS FUNGSI
1
Fungsi dapat digolong-golongkan menjadi beberapa kelompok. Secara garis besar fungsi dikelompokkan atas kelompok fungsi aljabar dan kelompok fungsi nonaljabar. Rincian jenis-jenis fungsi selengkapnya dapat dilihat pada Skema 2 di halaman berikut.
Skema 2. Pembagian Jenis Fungsi Fungsi polinom ialah fungsi yang mengandung banyak suku (polinom) dalam variabel bebasnya. Bentuk umum persamaan polinom adalah: y = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn. Pangkat tertinggi pada variabel suatu fungsi polinom mencerminkan derajat polinomnya, sekaligus juga mencerminkan derajat persamaan atau fungsi tersebut. Fungsi linear ialah fungsi polinom khusus yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu, oleh karenanya sering juga disebut fungsi berderajat satu. Bentuk umum persamaan linear adalah: y = a0 + a1x; di mana a0 adalah konstanta dan a1 ≠ 0. Fungsi-fungsi lain yang pangkat tertinggi dari variabelnya lebih dari satu, secara umum disebut fungsi non-linear; ini meliputi fungsi kuadrat, fungsi kubik, fungsi bikuadrat dan seterusnya. Fungsi kuadrat ialah fungsi polinom yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua, sering juga disebut fungsi berderajat dua. Bentuk umum persamaan kuadrat adalah: y = a0 + a1x + a2x2 ; di mana a0 adalah konstanta, sedangkan a1 dan a2 adalah koefisien, a2 ≠ 0. Fungsi berderajat n ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat n (n = bilangan nyata). Bentuk umumnya: y = a0 + a1x + a2x2 + ... + an-1xn-1 + anxn; di mana a0 adalah konstanta, a1 hingga an adalah koefisien, dan an ≠ 0. Fungsi pangkat ialah fungsi yang variabel bebasnya berpangkat sebuah bilangan nyata bukan nol. Bentuk umumnya : y = xn ; n = bilangan nyata bukan nol. Fungsi eksponensial ialah fungsi yang variabel bebasnya merupakan pangkat dari suatu konstanta bukan nol. Bentuk umumnya: y = nx ; n > 0. (Bandingkan pengertian atau bentuk fungsi eksponensial ini dengan pengertian atau bentuk fungsi pangkat. Perhatikan letak-letak n dan x pada kedua jenis 2
fungsi tersebut). Fungsi logaritmik ialah fungsi balik (inverse) dari fungsi eksponensial, variabel bebasnya merupakan bilangan logaritmik. Bentuk umumnya : y = nlog x. Fungsi trogonometrik dan fungsi hiperbolik ialah fungsi yang variabel bebasnya merupakan bilangan-bilangan goneometrik. Contoh persamaan trigonometrik: y = sin 5x Contoh persamaan hiperbolik: y = arc cos 2x. Selain pembagian jenis fungsi sebagaimana yang baru saja diuraikan di atas, berdasarkan letak ruas variabel-variabelnya fungsi dibedakan menjadi dua jenis yaitu fungsi eksplisit dan fungsi implisit. Fungsi eksplisit ialah fungsi yang variabel bebas dan variabel terikatnya terletak di ruas yang berlainan. Sedangkan fungsi implisit ialah fungsi yang variabel bebas dan variabel terikatnya terletak di satu ruas yang sama, di ruas kiri semua atau di ruas kanan semua. Secara operasional, bentuk umum persamaan fungsi yang eksplisit dan yang implisit dapat dilihat sebagai berikut:
Setiap fungsi yang berbentuk eksplisit senantiasa dapat diimplisitkan, tetapi tidak semua fungsi implisit dapat diubah menjadi bentuk eksplisit. Sebagai contoh, persamaan implisit x2 – 5x + y2 – 3y = 0 adalah mustahil untuk dieksplisitkan. C. PENGGAMBARAN FUNGSI LINEAR Penggambaran fungsi linear adalah yang paling mudah dilakukan. Sesuai dengan namanya, setiap fungsi linear akan menghasilkan sebuah garis lurus (boleh juga disebut kurva linear) jika digambarkan. Contoh:
3
Letak garis atau kurva dari sebuah fungsi linear tidak selalu di kuadran pertama, pada x positif dan y positif. Melainkan mungkin pula di kuadran II, III atau IV. D. PENGGAMBARAN FUNGSI NON-LINIER Contoh penggambaran fungsi non-linear:
4
Kurva non-linier mempunyai sifat-sifat tertentu. Melalui sifat-sifat khas ini dapat diantisipasi atau diketahui pola kurvanya. Sifat-sifat kurva non-linier yang dibahas di sini meliputi penggal (titik potong), simetri, perpanjangan, asimtot dan faktorisasi. (1) Penggal Penggal sebuah kurva adalah titik-titik potong kurva tersebut pada sumbusumbu koordinat. Penggal pada sumbu x dapat dicari dengan memisalkan y = 0 dalam persamaan yang bersangkutan, sehingga nilai x dapat dihitung. Penggal pada sumbu y dicari dengan memisalkan x = 0, sehingga nilai y dapat dihitung. Contoh: y = 16 - 8x + x2 Penggal pada sumbu x : y = 0 ⇒ x = 4 Penggal pada sumbu y : x = 0 ⇒ y = 16 (2) Simetri Dua buah titik dikatakan simetrik terhadap sebuah garis apabila garis tersebut berjarak sama terhadap kedua titik tadi dan tegak lurus terhadap segmen garis yang menghubungkannya. Dua buah titik dikatakan simetrik terhadap titik ketiga apabila titik ketiga ini terletak persis di tengah segmen garis yang menghubungkan kedua titik tadi.
5
Secara ringkas dapat dirumuskan bahwa kurva dari suatu persamaan f(x, y) = 0 adalah simetrik terhadap: sumbu x jika f(x, y) = f(x, −y) = 0 sumbu y jika f(x, y) = f(−x, y) = 0 titik pangkal jika f(x, y) = f(−x, −y) = 0 Contoh: 1) Kurva dari persamaan x2 + y3 − 5 = 0 adalah simetrik terhadap sumbu x, sumbu y dan titik pangkal. f(x, −y) = x2 + (−y)2 − 5 = x2 + y2 − 5 ; ternyata f(x, −y) ekivalen dengan f(x, y) = 0, berarti f(x, y) simetrik terhadap sumbu x f(−x, y) = (−x)2 + y2 − 5 = x2 + y2 − 5 ; ternyata f(−x, y) ekivalen dengan f(x, y) = 0, berarti f(x, y) simetrik terhadap sumbu y f(−x, −y) = (−x)2 + (−y)3 − 5 = x2 – y3 − 5 ; ternyata f(−x, −y) ekivalen dengan f(x, y) = 0, berarti f(x, y) simetrik terhadap titik pangkal. (3) Perpanjangan Konsep perpanjangan dalam seksi ini akan menjelaskan apakah ujung-ujung sebuah kurva dapat terus menerus diperpanjang sampai tak terhingga (tidak terdapat batas perpanjangan), ataukah hanya dapat diperpanjang sampai nilai x atau y tertentu (terdapat batas perpanjangan). Contoh : 1) Selidiki apakah terdapat batas perpanjangan bagi kurva yang dicerminkan oleh persamaan x2 − y2 − 25 = 0 Penyelesaian untuk x: x = ± 25 + y 2 Berapapun nilai y, bilangan di bawah tanda akar akan selalu positif sehingga x akan selalu berupa bilangan nyata. Berarti perpanjangan kurva searah sumbu y tidak terbatas. Penyelesaian untuk y: y = ± x 2 − 25 Jika x < 5 atau x > -5, bilangan di bawah tanda akar akan negatif dan y akan menjadi bilangan khayal atau maya (tidak nyata). Berarti perpanjangan kurva searah sumbu x terbatas hanya sampai x = ± 5. Jadi pada contoh ini, tidak terdapat batas perpanjangan bagi kurva untuk variabel x (searah sumbu y), tetapi terdapat batas perpanjangan untuk variabel y (searah sumbu x).
6
