f A hullámforrás frekvenciája c a közegbeli terjedési sebesség

MECHANIKAI HULLÁMOK Deformáció terjedése rugalmas közegben A tér egy adott helyén történt zavarkeltés eredménye a tőle r távolságra lévő pontban  idő múlva jelenik meg:



a zavar terjedéséhez időre van szükség:

r c

c a zavar terjedési sebessége

A hullám leírása Az x=0 helyen periodikus zavart keltünk, azc eredmény haladó hullám lesz.

y0,t   A  sin t x X=0

x



2 T

  2  f

Ez a rezgésállapot terjed a kötél mentén c sebességgel.

Az x helyen t időpillanatban az x=0 helyen  időponttal korábbi rezgési állapot lesz: yx ,t   A  sin  t  





t x  yx ,t   A  sin 2    T cT 

2  x  yx ,t   A  sin  t   T  c

Pillanatkép a hullámról

y



Hullámhossz: azonos fázisban rezgő pontok legrövidebb távolsága

  cT 



c f

c f

f 

1 T

x x

 f c

A hullámforrás frekvenciája a közegbeli terjedési sebesség

A hullámhossz nagyságát a hullám közegbeli terjedési sebességének és a hullámforrás frekvenciájának hányadosa határozza meg.

 t x yx ,t   A  sin 2   T   2 2  yx ,t   A  sin  t  x    T

yx ,t   A  sin t  kx 

A hullám térben és időben periodikus jelenség Térbeli periodicitás:

 hullámhossz

Időbeni periodicitás: T periódus idő

k

2 

hullámszám

A hullámfüggvény különböző alakjai

1

Hullám terjedése Hullámfront: azonos fázisú pontok mértani helye, merőleges a terjedési sebességre

Hullámok osztályozása •Dimenzió szerint: 1D vonal menti hullámok : pl. hullám pontsoron 2D felületi hullámok : pl: körhullám : pl. vízbe ejtett kő 3D Térbeli hullámok: gömbhullámok: pl, hang, elektromágneses hullámok •Irány szerint: a részecskék sebességének és a hullámterjedés sebességének iránya: Longitudinális hullám A két sebesség párhuzamos Sűrűsödések és ritkulások Nem polarizálható

Transzverzális hullám A két sebesség merőleges nyíróerők működnek polarizálható pl: felületi vízhullám

pl: a hang

Polarizáció: transzverzális hullám esetén a rezgési sík polarizátorral kiszűrhető

Példa: hullám rugalmas kötél mentén

Terjedési sebességek a közeg szerint: 1.Szilárd anyagban: a. Transzverzális hullám: nyíróerők jelenléte F

v

húr

F

c tr b. Longitudinális hullám: F

v

feszítettség

ctr 

cl 

F A

E 

A 

keresztmetszet sűrűség

Pl: Hangszerek húrjai

E

Young modulus Pl: földrengés

cl

2. Folyadékban a. Belül: csak longitudinális hullám van, nincs nyíróerő b. Felületen: transzverzális hullámok: felületi feszültség+gravitációs erő irányítja

cfelületi 

g   2    2 

A vízi molnárkák a víz felületén a felületi hullámok segítségével tájékozódnak

2

3. gázokban: Csak longitudinális hullámok vannak

cg  

Longitudinális hullám jellemzői

p 



cp cv

A fajhők hányadosa

Pl: hang

Transzverzális hullám jellemzői

A részecskék a terjedési iránnyal párhuzamosan rezegnek

A részecskék a terjedési irányra merőlegesen rezegnek

Sűrűsödések és ritkulások terjednek a közegben

INTERFERENCIA: HULLÁMTALÁLKOZÁS Erősítés-kioltás: mintázatképződés: példa Két hullámforrás azonos amplitúdóval, frekvenciával hullámokat bocsát ki, melyek a tér egy pontján (C) az ábra szerint találkoznak. Az addig megtett út: x1 és x 2 A két hullámfüggvény:

t x  y1  A  sin 2  1  T   t x  y 2  A  sin 2  2  T  

Az eredő hullám a két szinusz függvény szuperpozíciója: y  y1  y 2 Fáziskülönbség a két hullám között:   2 útkülönbség a két hullám között:

x2  x1





s



 2

s  x2  x1

Az eredő hullám amplitúdója és fázisa a két hullám fáziskülönbségétől függ

Feltétel:a fáziskülönbség nulla: Az útkülönbség ekkor:

  0  2n

s  n    2n

 2

Feltétel: a fáziskülönbség: Az útkülönbség ekkor:

  (2n  1) s  (2n  1)

 2

3

ÁLLÓHULLÁMOK

 fázisugrás 2

L

x

Zárt vég esetén

l-x

P

L hosszúságú kötél egyik végén elindítunk egy hullámot. Amely zárt végről visszaverődik. Bizonyos frekvenciáknál a haladó és a visszavert hullámok interferenciájának eredményeként állóhullámok alakulnak ki.

A visszaverődő hullám függvénye: Az eredő hullám:

x1  x

y1  A  sin(   t  kx1 )

A haladó hullám függvénye:

y  y1  y 2

 y 2  A  sin(   t  kx 2  ) 2

x2  l  (l  x)

Kitüntetett frekvenciáknál állóhullám alakul ki: •a kötél pontjai azonos frekvenciájú, de különböző amplitúdójú rezgőmozgást végeznek. •A csomópontok két oldalán a mozgás iránya ellentétes. Feltétel: a húr hossza a fél hullámhossz egész számú többszöröse legyen. Mivel a hullám terjedési sebessége a kötél anyagi minőségétől függő állandó, ezért a kívánt hullámhossz a frekvencia hangolásával érhető el.

A L hosszúságú húr sajátrezgései A sajátfrekvenciák értéke:

n: a félhullámhosszak száma n=1

  2L

f1 

n=2

L

f2 

n=3

L



2 L 3

Transzverzális hullám terjedési sebessége:

fn  n

c 1 n 2L 2L

F A

c

 c



 

c

c 2L 2c 2L

3c f3    2L

alaphang



F c tr  A

felharmonikusok

fn  n

c 2L

Hangmagasság: frekvencia függvénye Hangszín: hány felharmonikus szólal meg az alaphang mellett

A frekvencia a húr hosszával csökken, a hang mélyül : hegedű, brácsa, gordonka a keresztmetszet nagyságával fordítottan arányos: hegedűhúrok a húr feszítettségével nő:hegedűhúrok hangolása

4

HULLÁMJELENSÉGEK Hullámjelenségek: elhajlás, interferencia, polarizáció, Ha egy ismeretlen fizikai jelenség a hullámjelenségekhez hasonló sajátságokat mutat, megállapítható, hogy hullám. (Pl. mechanikai hullámok, elektromágneses hullámok, anyaghullámok) Hullámfront: azonos fázisban lévő pontok mértani helye A terjedési sebesség merőleges a hullámfrontra Hullámok leírása: Huygens elv: visszaverődés, törés leírására Huygens - Fresnel elv: elhajlás, mintázat kialakulása

Huygens elv: (1678) 1. A hullámfront minden pontja elemi hullámok kiindulópontja 2. Az új hullámfelület ezen elemi hullámok burkolófelülete

Visszaverődés felületről A hullám frekvenciája nem változik, ezt csak a hullámforrás határozza meg. A visszaverődés után a közeg ugyanaz marad: a terjedési sebesség sem változik.

A hullámhossz is állandó marad.

Amikor a ferdén bejövő hullámfront egyik része az A pontnál eléri a közeghatárt, ott új elemi hullám keletkezik. Az E ponthoz időkéséssel érkezik a bejövő hullám, ott az új elemi hullám időkéséssel indul.







Azonos idő alatt a bejövő és a visszaverődő hullám azonos utakat tesz meg, mivel a közeg ugyanaz:

Így az egyenesen lévő két szög is megegyezik:

  

5

Törés közeghatáron Ha új közegbe jut át a hullám, terjedési sebessége megváltozik. Mivel a frekvencia ugyanaz marad, a hullámhossz is megváltozik. A két közegben azonos idő alatt megtett utak hossza: s 2  c 2  t

Az ábráról leolvadható: c1 c  2 sin  sin 

s s AB  1  2 sin  sin 

s1  c1  t

sin  c1   n21 sin  c2 Snellius-Decartes törvény

n 21 : a 2-es közeg 1 közegre vonatkoztatott törésmutatója

A 

s2

s1 

B

A hullámhossz is megváltozik:

2 

c2 f

1 

c1 f

Gyakran a közeghatáron egyidejűleg törés és visszaverődés is történik.

Elhajlás: hullám az árnyéktérben Csak az interferencia ismeretében érthető meg- Fresnel

Huygens-Fresnel elv (1819) 1. hullámfront minden pontja elemi hullámok kiindulópontja 2. Az új hullámfelületet ezen hullámok interferenciája adja meg.

A hullámjelenségek értelmezése a Huygens-Fresnel elv segítségével 1.Visszaverődés: fázisugrás lehet 2. Törés: közeghatáron: a terjedési sebesség változik 3. Interferencia: hullámok találkozása, koherencia, mintázat 4. Elhajlás: hullám az árnyéktérben 5. Polarizáció: csak transzverzális hullám esetén

6

Interferencia Az interferencia akkor észlelhető, ha a találkozó hullámok koherensek: fáziskülönbségük időben állandó. •Hullámtalálkozás két dimenzióban: Koherens hullámok találkozásakor mintázat alakul ki a felületen. Maximális erősítés: Kioltás:

r2  r1  2n

 2

r2  r1  2(n  1)

 2

Két adott ponttól mért távolságok különbsége állandó: mértani hely: hiperbola

r1r1

rr2r12

Két hiperbola sereg: egyik a maximális erősítések, másik pedig a kioltások helye.

r2

n=1,2 3 ……

Elhajlás résen: mintázat képződés A hullám az árnyéktérbe is bejut. Huygens-Fresnel elv (1819) A rés minden pontján elemi hullámok indulnak ki, melyek találkoznak egymással- interferencia Maximumok:  irány

Fresnel féle  2

s sin   d

d  sin   2k  1 

  2

-es zónák

A nyalábot zónákra osztjuk, a szomszédos zónák között az útkülönbség fél hullámhossz.

d

s

Az erősítés irányában páratlan számú zóna van.

Elhajlási kép változása a résmérettel Minél kisebb a rés mérete, annál nagyobb az  elhajlás.

szög: annál nagyobb mértékű az

7

Elhajlás rácson 1. Rács: több rés van egymás mellett, és a rések mérete elhanyagolható a távolságukhoz képest. Feltételezzük, hogy az egyedi résen való elhajlás elhanyagolható, csak a szomszédos résekből kiinduló hullámok interferenciáját észleljük. d-rácsállandó A rések távolsága

A szomszédos rések elemi hullámai közötti útkülönbség α irányba:

s  d  sin 

Az erősítés feltétele: az útkülönbség a hullámhossz egész számú többszöröse: Az erősítés iránya:

d  sin   n  

s  n  

Bragg egyenlet

A hullámhossz és a szög ismeretében a d rácsállandó meghatározható. Minél kisebb a rácsállandó, annál nagyobb az elhajlás mértéke. Az elhajlás akkor jelentős, ha a hullámhossz és a rácsállandó mérete összemérhető nagyságrendű.

Elektromágneses hullámok Az elektromágneses hullámok is mutatnak hullámtulajdonságokat. Pl. fény •

Fény elhajlása rácson: lézer segítségével sin  

x L

n 

x L

Az ernyőn látható intenzitás eloszlása Például: A távoli Nap fényét félig lecsukott szemmel, szempillánkon keresztül nézve körkörös fényeket látunk. Ilyen távolságból a Nap fénye párhuzamos nyaláb. •

Vékonyréteg interferencia : állandó útkülönbséget vékony réteg interferenciával is el lehet érni:

ahol d az olajréteg vastagsága , n és pedig a törésmutató

8

Az interferencia erősítésének feltétele az , hogy az útkülönbség a hullámhossz egész számú többszöröse legyen.

Az egyenletből látszik, hogy a feltétel a rétegvastagságtól és a beesés szögétől is függ.

Színek a természetben: vékonyréteg interferencia látható fénnyel. Egyenlő vastagság görbék: irizáló színek Ugyanolyan vastag a réteg más szögből más színűnek látszik, mivel más hullámhosszra teljesül az erősítés feltétele. Pl. olajfolt a víz felszínén, gyöngykagylók színe, lepkeszárny

gyöngykagyló

Morpho lepke

Eozin máz

Az irizáló színek s természetben mindig interferencia következményei

Egyenlő beesés görbék Különböző vastagságú rétegeket nézünk azonos irányból: más rétegvastagság-más szín Példák: Szappanhártya, olajréteg víz felszínén, newton gyűrűk

Olajfolt a tengeren

Szappanhártya színei

Természetesen ezeknél a jelenségeknél is igaz az, hogy a rétegvastagságnak összemérhetőnek kell lennie a fény hullámhosszával.

9

Röntgen sugarak elhajlása rácson: Röntgen diffrakciós szerkezet vizsgálat A röntgen sugarak hullámhossz tartománya:

Kísérleti elrendezés

Intenzitás eloszlás a szög függvényében

DNS kettős spirál Watson és Krick, 1958

Az intenzitás szögeloszlás ismeretében meghatározható: Kristályrácsok: rácsparaméter, rácsszerkezet, kristályhibák mérete, eloszlása, nagyobb molekulák esetén: a kötésszögek, kötéstávolságok, A vizsgált objektumok karakterisztikus mérete a röntgen sugár hullámhosszával összemérhető kell legyen!

Kvantummechanika: az anyag részecske-hullám kettős természete Fotoeffektus: A fény, mint részecske. Einstein, Nobel díj A fémek felületéről elektronok léphetnek ki ,ha a fémet megvilágító fényben

az energiaadagok, vagyis a fotonok energiája nagyobb vagy egyenlő a kilépési munkánál. ,

Egy foton energiája:

E  h f 1 h  f  Wki  m  v 2 2

A kilépő elektronok energiája nem a megvilágítás erősségétől,hanem a megvilágítás színétől, vagyis a fémre eső fény frekvenciájától függ. Ha ugyanolyan frekvenciájú, de erősebb (nagyobb intenzitású) fényt használunk, akkor a fémből kilépő elektronok energiája változatlan marad, csak az elektronok száma nő meg.

10

Anyaghullámok:elektronok elhajlása rácson Jönsson,1961 m tömegű, v sebességű elektron elhajlása rácson:

me  9,11031 kg

e  1.6 10 19 C

p  m c

impulzus: Hullámhossz:



De Broglie :A v sebességű elektron hullámhosszának meghatározása: •

energia kifejezése a hullámtulajdonságokkal:

E  h f

•

energia kifejezése a részecske tulajdonságokkal:

E  mc 2  p  c

•

a kettő egyenlővé tételével:

h f  pc

c f

h  6,62 1034 Js

h c   p f

Az m tömegű, v sebességgel mozgó elektron de Broglie hullámhossza: A hullámhossz az elektron sebességével fordítottan arányos.



h me  ve

Elektronmikroszkópia Az elektronmikroszkópban az elektront sztatikus elektromos tér segítségével megfelelő sebességre kell felgyorsítani:

2𝑒𝑈 𝑚 A sebesség ismeretében a de Broglie hullámhossz kiszámítása: W=∆𝐸𝑚𝑜𝑧𝑔

𝜆=

1 2

eU = m𝑣 2

𝑣=

me  9,11031 kg

ℎ ℎ = 𝑚𝑒 ∙ 𝑣𝑒 2𝑒 ∙ 𝑈 ∙ 𝑚

h  6,62 1034 Js

e  1.6 10 19 C 100 kV gyorsító feszültség esetén az elektron hullámhossza: ~1nm •

Diffrakciós üzemmódban: : A direkt és az elhajlott nyalábokat is ráengedik az ernyőre:diffrakciós kép: Elektron diffrakciós képek egykristályon különböző irányból Rácsparaméter fémek esetén:

d  0,1nm

11

• Transzmissziós üzemmódban: az elektronmikroszkóp képernyőjére csak a direkt nyalábot engedik rá, a szórt nyalábot nem: ilyenkor a minta „képét” lehet látni A fénymikroszkóphoz hasonlóan működik, csak sokkal nagyobb a felbontása.

A fénymikroszkóp és az elektronmikroszkóp leképezésének összehasonlítása

12