Rezgések III. r α
i r
1.
Kényszerrezgés,rezonancia
rezgıkörök csatolása, rezonanciája elektromágneses hullámok a fény visszaverıdése, törése: optika a plánparalel lemez és a prizma
Az elektromos rezgıkörökkel már megismerkedtünk, közülük most a párhuzamos rezgıkör egy fajtáját fogjuk használni. Váltakozó feszültségő áramforrásra párhuzamosan kapcsolunk egy kondenzátort és egy vasmagos tekercset. Ha a kondenzátor feltöltıdése után lekapcsoljuk a rendszert az áramforrásról, energiaátalakulás fog odavissza lejátszódni a tekercs mágneses mezıje és a kondenzátor fegyverzetei közé zárt elektromos mezı között, amelyet az ıket összekötı tekercs ohmos ellenállása idıvel csökkenteni fog. Tudjuk már azt is, hogy minden rezgıképes rendszerre jellemzı egy érték, a sajátfrekvencia. Minden ilyen rendszer külsı hatásra kényszerrezgéseket is végezhet; különleges eset, mikor a kényszerítı külsı hatás frekvenciája megegyezik a rendszer sajátfrekvenciájával, ilyenkor rezonancia léphet fel. Példánkban a periodikusan változó külsı kényszerítı hatás a rendszerre kapcsolt váltakozó feszültség, melynek hatására a rezgıkör kényszerrezgést végez. Az ún. rezonanciafrekvenciát a párhuzamos rezgıkörnél levezettük: 1 f= 2π ⋅ L ⋅ C
C
L
~
Ez tehát a rezgésszám, amelynél rezonancia lép fel, ezért ennek kell lennie a rendszer sajátfrekvenciájának is. fr = f0.
1) Rezgőkörök csatolása
L1
L2 C2
~ C1
A két rendszer között induktív csatolás van, nincs fémes összeköttetés, a mágneses indukció „köti össze” a tekercseket. Az állítható kapacitású forgókondenzátor segítségével a 2. rendszer sajátfrekvenciája változtatható, beállítható úgy, hogy megegyezzen a kényszerítı 1-es rendszerével. Ilyenkor f1 = f2
L1 · C1 = L2 · C2 Mérések alapján ekkor maximális az E-átadás a két 1. 2. rendszer között, ez a jelenség az elektromágneses rezonancia. Az 1. rendszert zárt rezgıkörnek nevezzük. A második rendszer távolításával az induktív csatolás gyengül, majd megszőnik, zárt rezgıkör E-ja csak kis távolságokra vihetı át.
2) Az elektromágneses hullám Faraday felfedezte, hogy a változó mágneses mezı körül örvényes elektromos mezı keletkezik (nyugalmi elektromágneses indukció). Az 1870-es években az elektromosságtani ismereteket rendszerezı skót fizikus, Maxwell arra a következtetésre jutott, hogy a változó elektromos mezı körül pedig örvényes mágneses mezı jön létre. Észrevehetı, hogy a két folyamat így egymást eredményezi; Maxwell feltételezései szerint ez az elektromos töltéstıl elszakadó, a mágneses- és elektromos térerısségvektorok egymásra merıleges transzverzális hullámaként a térben tovaterjedı elektromágneses sugárzást fog eredményezni. Az elektromágneses hullám számításokból kapott vákuumbeli sebessége megegyezett a fény – akkor már ismert – sebességével: m v = 3 ⋅ 10 8 s Ebbıl arra lehetett következtetni, hogy a fény is elektromágneses hullám. nsoft plus! jegyzet © nsoft 2007. you gotta learn… and it’s high time to try easier!
Ez a jegyzet letölthetı:
nsoft plus! 2 – rezgések 3.
2
Elektromágneses hullámok létrehozása: pl. antennák Zárt rezgıkör kondenzátorának fegyverzeteit kezdjük el távolítani egymástól! A lemezek közötti elektromos mezı így egyre nagyobb teret fog betölteni:
A teljesen nyitott rezgıkör alkalmas arra, hogy az elektromágneses mezıt a térbe kisugározza. Az ilyen rezgıkört antennának (dipólantennának) nevezzük. Létrehozható a tekercs meneteinek távolításával is.
→
E
Az elektromágneses hullámok tulajdonságai egyenes vonalban terjednek rendelkeznek a transzverzális hullámok tulajdonságaival: visszaverıdnek, törnek, elhajlanak, megfigyelhetı Doppler-effektus, interferencia, polarizálhatók, és állóhullámok is kialakulhatnak elektromágneses hullámok többek között a rádióhullámok, a mikrohullámok, az infravörös-, látható és ultraibolyafény, a röntgen- és gammasugárzás.
a rezgıkörök között lévı nagy távolság ellenére is létrejön rezonancia
vákuumbeli terjedési sebességük c = 3 ⋅ 10 8
frekvencia szerint növekvı vagy csökkenı sorrendbe állíthatók, az elektromágneses hullámok így kapott sorozatát teljes elektromágneses színképnek nevezzük.
r α
m . Mivel c = λ ⋅ f, és c állandó, hullámhossz vagy s
i r
2.
A látható fény
Az emberi szem által észlelt fény a 400-800 nm hullámhossztartományba (=750 000 – 375 000 GHz frekvenciatartományba) esı elektromágneses hullám. Fényforrásnak nevezünk minden olyan tárgyat, amely fényt bocsát ki, az elsıdleges fényforrások saját fénnyel rendelkeznek, míg a másodlagosak egy másik fényforrás fényét verik vissza. A fényben, mint minden elektromágneses hullámban energia terjed: ezért melegszenek fel tartós világításra a testek; ill. a napelem is a fényben terjedı energiát hasznosítja. Ebbıl az is következik, hogy a fényt kibocsátó test E-át veszít. A fény terjedéséhez – hasonlóan a többi elektromágneses hulláméhoz – nincs szükség közvetítı közegre. Tudjuk ugyan, hogy az elektromágneses tér az anyagnak egy nagyon finom, nem elemi szintő rendezettsége, de elemi részecskékbıl, ill. azok alkotóelemeibıl felépülı közegre – mint pl. a hangnál a két ember között lévı levegıre, folyadékra, stb. – nincs szükség a fény tovaterjedéséhez. Ez azonban nem jelenti, hogy a közeg, melyen áthalad nincs hatással a hullámra: különbözı közegek eltérı mértékben nyelik el a fényt. Átlátszó az az anyag, melyen a fény nagy része áthalad, vagyis a rajta áthaladó elektromágneses hullám E-jának nagy része megmarad, átlátszatlan, amely az áthaladó fény nagy részét elnyeli. A fény egynemő (homogén) közegben minden irányban és egyenes vonalban terjed (ez pl. az árnyékjelenség magyarázata). Pontszerő egy fényforrás, ha mérete sokkal kisebb, mint a fennálló távolságok. Ha a fény útjába egy olyan átlátszatlan lemezt helyezünk, amelyen igen kis rés van, azon egyetlen fénysugár lép ki. A fény útját általában irányított egyenesekkel jelöljük. Sokszor tapasztaljuk, hogy a tőzı napon kinnfelejtett ruha megfakul, a fénynek kitett fotópapír elszínezıdik. A liftek és automata ajtós jármővek ajtajánál található fotocella katódjából elektronok lépnek ki (szintén a fény hatására). Ezen jelenségekbıl a fény anyagi jellegére következtethetünk, hiszen a fény kölcsönhatásba lépett az anyaggal, amellyel érintkezett. Erre magyarázatot a foton létezése adhat. Ez a jegyzet letölthetı:
nsoft plus! 2 jegyzet © nsoft 2007. you gotta learn… and it’s high time to try easier! phys_7D7303_rezgese3_V1
nsoft plus! 2 – rezgések 3.
3
A fény terjedési sebessége más-más anyagokban eltérı. Optikailag azt a közeget tekintjük sőrőbbnek, amelyben a fény kisebb sebességgel halad. Ennek megfelelıen az a közeg ritkább, amelyben a fény terjedési sebessége nagyobb. Csillagászatban használt távolság-mértékegység a fényév, amely a fény egy év alatt megtett útjával egyenlı. Jelölése: ly (lightyear), 1 ly = 10 ⋅ 1012 km.
1) A fény visszaverődése és törése Optikailag új közeg határára érkezve a fény részben behatol a közegbe, részben visszaverıdik (új felületre érkezéskor tehát megfigyelhetı egyszerre visszaverıdés és törés is). Teljes visszaverıdés csak akkor valósulhat meg, ha a fény a sőrőbb közeg felıl éri el a határfelületet, egy bizonyos értéknél (a határszögnél) nagyobb beesési szög mellett. Felmerülhet a kérdés, hogy ez esetben a tükör miért veri vissza a fényt, hiszen az üveg optikailag sőrőbb, mint a levegı. Egy tükörben nem az üveg, hanem a mögötte elhelyezkedı fémréteg, általában ezüst vagy alumínium veri vissza a fényt, az üvegréteget azért helyezik elé, hogy a fémréteg ne oxidálódjon (és az üveg a róla visszavert fényt sem nyeli el). A tükör nem veri vissza a teljes ráesı fényt, pl. egy ezüstbevonatú tükör reflexiója kb. 98%.
Érdes felületrıl a fénynyaláb szétszórt (diffúz) módon, sima, csiszolt felületrıl (pl. síktükörrıl) egy nyalábban verıdik vissza. A fényvisszaverıdés a beesı fénysugár, a beesési merıleges és a visszavert fénysugár egy síkban vannak a beesési szög megegyezik a visszaverıdési szöggel, α = α’
beesési merıleges
α c1
α’
c1
1-es (most optikailag ritkább) közeg új közeg határa
A fénytörés
a beesı fénysugár, a beesési merıleges és a megtört fénysugár egy síkban vannak 2-es (most β a sőrőbb közegben kisebb szög van. Ezt úgy is optikailag meg lehet fogalmazni, hogy sőrőbb közegben a sőrőbb) közeg fénysugár a beesési merılegeshez, ritkábban a c2 merılegestıl törik. a határfelületre merılegesen érkezı fénysugár az új közegben irányváltoztatás nélkül halad tovább, nem törik meg ha a fénysugár ferdén érkezik a határfelületre, akkor a beesési szög szinusza egyenesen arányos a törési szög szinuszával, vagyis hányadosuk állandó, és egyenlı a két közegben mért terjedési sebességek arányával. Ezt az arányt a 2-es közeg 1-es közegre vonatkoztatott törésmutatójának nevezzük (Snellius-Descartes-törvény):
n2;1 =
c 1 sin α = c 2 sin β
mivel a fénysugár útja megfordítható, ezért ha a fény a 2-es közegbıl lép a 1-es az egyes közegbe, a terjedési sebességek aránya az elızı hányados reciproka lesz, így az 1-es közeg 2esre vonatkoztatott törésmutatója is a 2-es közeg 1-esre vonatkoztatottjának reciproka,
n1;2 =
c2 1 = c 1 n2;1
az anyagok vákuumra vonatkoztatott törésmutatóját abszolút törésmutatónak nevezzük. Mivel a törésmutató felírható a terjedési sebességek hányadosaként is, és a fény sebessége vákuumban a legnagyobb, ezért egy anyag abszolút törésmutatója mindig nagyobb egynél. Ilyen értelmezésben az abszolút törésmutató azt is megmutatja, hogy a fény vákuumban mennyiszer gyorsabban terjed, mint az adott anyagban. Így az optikailag sőrőbb anyagnak nagyobb a törésmutatója, vagyis a fény lassabban terjed benne. Az anyagok egymásra vonatkoztatott (relatív) törésmutatója megadható abszolút törésmutatójuk hányadosaként: cv cv cv c1 n c n n n1 = ; n2 = ; n 2;1 = = 1 = v ⋅ 2 = 2 cv c1 c2 c2 n1 c v n1 n2 Ez a jegyzet letölthetı:
nsoft plus! 2 jegyzet © nsoft 2007.
you gotta learn… and it’s high time to try easier! phys_7D7303_rezgese3_V1
nsoft plus! 2 – rezgések 3.
4
Fénytörés sőrőbbıl ritkább közegbe lépı fénysugárnál, a teljes visszaverıdés Ritkábból sőrőbb közegbe lépéskor a fénysugár a beesési merılegeshez törik, α > β (ld. elızı ábra). Sőrőbbıl ritkábba lépéskor azonban a beesési merılegestıl; ez azt jelenti, hogy elérhetünk egy olyan αh határszöget, amelyhez β = 90o-os törési szög tartozik. Ha a fénysugár ennél nagyobb beesési szöggel éri a felületet, nem lép ki az optikailag sőrőbb közegbıl, hanem azon – mint tökéletes tükrön – teljesen visszaverıdik (totális, 100%-os reflexió). Ekkor már nem érvényes a törési törvény (a számolás módjától függıen 1-nél nagyobb értéket kapnánk a törési szög szinuszára), a visszaverıdés szabályszerőségei alapján α = β, (a beesési és a visszaverıdési szögek egyenlıek). az αh határszöget meghatározhatjuk: sin α h 1 n r,s = sin α h = n r,s = o n s,r sin 90
β1 90
α2 αh
o
β2
α1
2-es (most optikailag ritkább) közeg
1-es (most optikailag sőrőbb) közeg
teljes visszaverıdések útján terjed a fény optikai kábelekben és képfordító prizmákban
2) A síktükör képalkotása a síktükör által alkotott kép: egyenes állású, látszólagos (a virtuális kép mindig egyenes állású) a kép nagysága megegyezik tárgy nagyságával, a képtávolság a tárgytávolsággal ha a tisztánlátás távolságát kb. 25 cm-nek vesszük, 12,5 cm-re kell elhelyezkedni a tükörtıl a visszavert sugarak maguk nem, csak azok meghosszabbításai találkoznak
3) A vízfelszín, mint teljesen visszaverő tükör a pohár alja felıl megfelelı szögbıl nézve a vízfelszín ezüstösen csillog, és a pohár másik oldalán lévı tárgy képét látjuk benne, a vízfelszín felett lévı tárgy egyáltalán nem látszik. A magyarázat, hogy a vízfelszínt elérı fénysugár nem lép ki az optikailag sőrőbb közegbıl, hanem teljesen visszaverıdik. ugyanez a jelenség figyelhetı meg a természetben, mikor délibábot látunk. A napsugárzás felmelegíti a földfelszínt, amelytıl a közvetlen felette lévı légréteg is átmelegszik. A meleg levegı optikailag eltér a hidegtıl, így, mint új közeg határán, a fény visszaverıdik, a meleg légrétegben lévı tárgyak feljebb elhelyezkedı szemlélı számára nem láthatók (pl. a török idıkben a magyarok térdre borultak imádkozni, az ıket üldözı, a domb mögül elıbukkanó török seregek szeme elıl így rejtve maradtak).
4) Plánparalel lemez
= párhuzamos síklapokkal határolt fénytörő közeg
α
d
1. közeg
β
2. közeg
β’ α’
1. közeg x
β = β’, (mivel váltószögek), ezért α = α’ (hiszen a lemez mindkét oldalán ugyanaz a közeg szerepel, és a törésmutatók egymás reciprokai, ill. az egyik szöget is ismerjük). a plánparalel lemez a beesı fénysugarat – kétszeres törés után – önmagával párhuzamosan eltolja, az eltolás mértéke: cos α x = d ⋅ sin α ⋅ 1 − 2 2 n − sin α Ez a jegyzet letölthetı:
nsoft plus! 2 jegyzet © nsoft 2007. you gotta learn… and it’s high time to try easier! phys_7D7303_rezgese3_V1
nsoft plus! 2 – rezgések 3.
5
5) Prizmák = szöget bezáró síklapokkal határolt fénytörő közegek a prizmákat több szempont szerint csoportosíthatjuk; az, hogy egy prizma hogyan töri meg a fényt, függ a prizma jellemzıitıl (törıszög (φ), anyagi minıség, stb.) illetve attól, hogy a fény milyen szögben éri. Az optikai eszközökben alkalmazott ún. képfordító prizmáknál (ld. balra) a fénysugár merılegesen éri a prizma felületét (így törés nélkül halad tovább benne), majd teljes visszaverıdések után – szintén merılegesen – kilép a prizmából. kevésbé speciális, általánosabb esetben a fény kétszeri megtöréssel halad át a prizmán. C
a CABD négyszög húrnégyszög (mivel a D pontnál szintén a prizma törıszöge található (merıleges szárú szögek), o így a CADB négyszög szemközti szögei 180 -ra egészítik ki egymást) az ABD háromszög külsı szöge φ, ami egyenlı a nem szomszédos két belsı szög összegével:
φ = β1 + β2
φ E α1
δ
A β1
A prizma törıszöge egyenlı a prizmán belüli szögek összegével. az EADB négyszög A-nál illetve B-nél található belsı szögei rendre α1, ill. α2, mivel csúcsszögek, így a négyszög belsı szögösszege: o
o
o
360 = (180 – δ) + (180 – φ) + α1 + α2
δ = α1 + α2 – φ
B β2 D
α1, α2 – a prizmán kívüli szögek β1, β2 – a prizmán belüli szögek φ – a prizma törıszöge δ – az eltérítés szöge (az eredeti és a kétszer megtört fénysugár bezárt szöge)
Az eltérítés szöge egyenlı a prizmán kívüli szögek összegének és a prizma törıszögének különbségével.
6) Diszperzió
= színszóródás, a fehér fény színekre bontása
Prizmára fehér fényt bocsátva az színeire bomlik, a felfogó ernyın színes sávok jelennek meg a következı sorrendben: vörös, narancs, sárga, zöld, kék, ibolya. (Ezt a sávrendszert spektrumnak vagy színképnek nevezzük.) Tudjuk, hogy a fénysugár színe attól függ, hogy mekkora a hullámhossza (vagy a frekvenciája). A jelenség magyarázata, hogy az anyagok törésmutatója – vagyis, hogy hogyan törik meg a hullámot (hogy a hullám milyen sebességgel halad bennük) – kis mértékben függ a hullámhossztól is.
Ez a jegyzet letölthetı:
nsoft plus! 2 jegyzet © nsoft 2007. you gotta learn… and it’s high time to try easier! phys_7D7303_rezgese3_V1
α2
φ
