EXPERIMENTÁLNÍ METODY I. 2. Zpracování měření

FSI VUT v Brně, Energetický ústav Odbor termomechaniky a techniky prostředí prof. Ing. Milan Pavelek, CSc.

EXPERIMENTÁLNÍ METODY I 2. Zpracování měření OSNOVA 2. KAPITOLY ● Zpracování výsledků měření (nezávislých a závislých veličin) ● Chyby a nejistoty měření (nejistoty absolutní a relativní, přímých a nepřímých měření)

ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ - 1 Zpracování měření NEZÁVISLÝCH VELIČIN  U přímých měření je snadnější než u nepřímých měření, jelikož měřené hodnoty jsou přímo žádané výstupní hodnoty  U nepřímých měření je třeba z naměřených hodnot vypočíst požadované hodnoty výstupních veličin Nejistoty měření lze zmenšit opakováním měření. Zpracování měření ZÁVISLÝCH VELIČIN  U přímých měření je rovněž snadnější než u nepřímých měření  U nepřímých měření je třeba nejdříve vypočíst hodnoty výstupních veličin a pak lze teprve zpracovat závislosti y = f (x), y = f (x1 , x2 , …) Výsledné hodnoty bývají ve formě tabulek, grafů, rovnic, charakteristických veličin apod.

Vyhodnocení parametrů vzduchového proudu

2

ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ - 2 Interferometrická měření, r = 1 Zpracování závislých veličin do tabulek Obraz Ra.b/h [-] Nu [-]  Je nejjednodušší S16-021A 354,9 2,788 S16-022A 692,3 3,228  Dává číselné údaje, nedává rovnice S16-023A 209,6 2,313 S16-024A 568,0 3,106  Zásady pro zpracování tabulek S16-025A 877,4 3,290 S16-026A 966,9 3,352 Tabulky mají být přehledné, s názvem S16-027A 1147,4 3,416 S16-028A 1242,9 3,492 a dalšími texty, v záhlaví sloupců či řádků S16-029A 1298,3 3,531 S16-030A 1368,0 3,537 je označení veličin, jednotky (názvy) Tabelární zpracování výsledků měření závislých veličin je nepostačující. 100 Zpracování závislých veličin do grafů  Je nejpřehlednější 10 Lze y = f (x), y = f (xi ), y = f (x1, x2) Nu 1  Nedává číselné údaje a rovnice Elenbaas, rt = 1 Aung, rt = 1, Ra.b/h < 2 Aung, rt = 0, Ra.b/h < 2  Zásady pro zpracování grafů Aung, rt = 0 až 1, Ra.b/h > 5000 0,1 Interferometrická měření [82] Graf - Název, velikost, y je vertikálně Interferometrická měření [136] Proložení měření [136] Osy - Stupnice lin., kvadr., log. (dělení 0,01 0,1 1 10 100 1000 10000 100000 1000000 1; 2; 4; 5; 1,2; 2,5), označení, jednotky Ra.b/h Hodnoty - Značky, proložení, pozn. 3 t

ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ - 3 Zpracování závislostí do rovnic  Je pro další využití nejvhodnější  Není názorné, hodnoty nutno počítat  Měřenými hodnotami prokládáme: Rovnice empirické - tvar funkce volíme (přímky, polynomy, exp., spliny atd.), jelikož není znám. Snadno lze např. z grafu určit rovnici přímky y = a0 + a1 x,

Určení rovnice přímky

kde a1 = Dy/Dx

Rovnice poloempirické - tvar funkce lze teoreticky zdůvodnit. Např. odezva termočlánku DT na jednotkový skok teploty DT0 je exponenciála, u které hledáme pouze časovou konstantu 0

 τ    ΔT  ΔT0 1  exp τ0  

Odezva termočlánku 4

ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ - 4 OCHLAZOVÁNÍ termočlánku o teplotě Tw z počáteční teploty T0 v prostředí o teplotě T (viz též přenos tepla s malými Biottovými čísly) Tepelný tok z termočlánku je dU dán změnou vnitřní energie  Q  dτ dU [J] za čas d [s]

T0 Tw = Tstř

dU m  c  dTw ρ V  c  dTw  q    S  dτ S  dτ S  dτ S [m2] m [kg] c [J.kg-1.K-1]  [kg.m-3] V [m3]

plocha termočlánku hmotnost termočlánku měrná tepelná kapacita hustota termočlánku objem termočlánku

Po dosazení za hustotu tepelného toku konvekcí q  α  Tw  T  bude Po integraci a odlogaritmování

  T d

 /  >> d / 2

ρ V  c  dTw S  dτ  α S  τ  Tw  T   exp  T0  T  ρ V  c 

 α Tw  T  

5

ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ - 5 V rovnici pro změnu teploty termočlánku zavedeme časovou konstantu 0

 τ   α S  τ  Tw  T   exp    exp  T0  T  ρ V  c   τ0 

τ0 

OHŘEV termočlánku je možné popsat vztahem

 τ  Tw  T  1 exp   T0  T  τ0 

ρ V  c α S

Tw - T T0 - T 1

Časovou konstantu lze ovlivnit:  Součinitelem přestupu tepla konvekcí na termočlánku  Tepelnou kapacitou termočlánku  Hmotností termočlánku m = .V  Velikostí povrchu termočlánku

Pro  = 30 se teplota termočlánku liší od skutečné teploty o 5 %.

0,632

0 0

0



Význam časové konstanty 6

ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ - 6

 y  y i   F ,

i 1

 aj

0

4300

y = 0,016x2 - 1,5668x + 4213,3

Měrná tepelná kapacita -1 -1 [J.kg .K ]

Metody prokládání naměřených hodnot  Grafická metoda  Komerční programy (Excel …)  Proložení pomocí splinů  Proložení funkcí metodou nejmenších i n čtverců F 2

4200

H 2O

4100

Naměřená hodnota Proložená funkce

4000 0

20

40

60

80

100

Teplota [°C]

Prokládání n bodů polynomem m-1 st. metodou nejmenších čtverců DIM x(1 TO n), y(1 TO n) 'Souřadnice prokládaných bodů DIM C(1 TO m, 1 TO m + 1) 'Matice pro metodu nejmenších čtverců DIM a(1 TO m) 'Vektor výsledných koeficientů Načtení hodnot x( ), y( ), 'Polynom y  a1  a2 x  a3 x 2 ... am x m-1 REM Metoda nejmenších čtverců - naplnění matice C FOR i = 1 TO m: FOR j = 1 TO m: C(j, m + 1) = 0: C(i, j) = 0 FOR k = 1 TO n: C(i, j) = C(i, j) + x(k) ^ (j - 1) * x(k) ^ (i - 1) C(j, m + 1) = C(j, m + 1) + x(k) ^ (j - 1) * y(k) NEXT k, j, i REM Řešení soustavy rovnic daných maticí C → výpočet vektoru „a“ 7

ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ - 7 REM Gaussova eliminacni metoda na reseni soustavy rovnic b=0 G1: b = b + 1 FOR k = b TO m IF c(k, b) <> 0 THEN GOTO G2 NEXT k PRINT "Uloha nema reseni" GOTO KONEC G2: IF k = b THEN GOTO G3 j=m+1 FOR z = b TO j SWAP c(b, z), c(k, z): NEXT z G3: FOR j = m + 1 TO b STEP -1 c(b, j) = c(b, j) / c(b, b) NEXT j z=m+1

FOR i = k + 1 TO m FOR j = b + 1 TO z c(i, j) = c(i, j) - c(i, b) * c(b, j) NEXT j, i IF b <> m THEN GOTO G1 FOR i = m TO 1 STEP -1: a(i) = c(i, z) FOR k = i - 1 TO 1 STEP -1 c(k, z) = c(k, z) - c(k, i) * a(i) NEXT k, i: a(m + 1) = 0 REM Tisk koeficientu polynomu CLS PRINT "KOEFICIENTY PROLOZENEHO POLYNOMU" PRINT FOR i = 1 TO m PRINT "a ("; i - 1; ") = "; a(i) NEXT i KONEC:

8

ZPRACOVÁNÍ VÝSLEDKŮ MĚŘENÍ - 8 Zpracování měření ve formě charakteristických veličin  Vyjádření extrémních hodnot  Vyjádření derivací, integrálů a transformací  Vyjádření středních hodnot - proložením, průměrováním, použitím filtrů, ale též pomocí věty o střední integrální hodnotě b

pro y = f (x)

1 y f x dx  b aa

pro y = f (r)

2 2 y 2 f r  r dr 2  R2  R1 R1

pro y = f (x1 , x2)

y

R

Průměrování v rotačně symetrickém objektu

1 f x 1 ,x 2 dx 1dx 2  SS ri  R

2 i  1 2 n

9

CHYBY A NEJISTOTY MĚŘENÍ - 1 CHYBY dělíme na:  Hrubé (lze je odhalit a hodnoty vyloučit nebo upravit)  Systematické (lze je odhalit a hodnoty upravit)  Nahodilé - NEJISTOTY měření (nelze je vyloučit a hodnoty upravit) Chyby a nejistoty měření mohou být Absolutní ε  y  y * ,

Relativní

y je naměřená a y* je správná hodnota

ε η y*

ZÁKONY MATEMATICKÉ STATISTIKY Pravděpodobnost výskytu hodnoty y v intervalu  až b β

P   py dy α

Pro hustotu pravděpodobnosti platí

1  y  y *  py   exp 2σ 2 σ 2π

2

p = f(y) pro různé výběrové směrodatné odchylky 

10

CHYBY A NEJISTOTY MĚŘENÍ - 2 VYJÁDŘENÍ NEJISTOT MĚŘENÍ  Výběrovou směrodatnou odchylkou  V tolerančním poli   se nachází 68,3 % všech hodnot Zápis výsledku y* = (y  ) jednotka  Krajní odchylkou k = 3 V tolerančním poli  k se nachází 99,7 % všech hodnot Zápis výsledku y* = (y  k) jednotka  Pravděpodobnou odchylkou J = 2 /3 V tolerančním poli  J se nachází 50 % všech hodnot Zápis výsledku y* = (y  J) jednotka Závislost krajní odchylky k a třídy přesnosti přístroje Tp

TP 

κ

Y

 100 ,

kde Y je rozsah přístroje. 11

CHYBY A NEJISTOTY MĚŘENÍ - 3 NEJISTOTY PŘÍMÝCH MĚŘENÍ  Nejistota opakovaných měření A - TYPU A (pro nestabilní veličiny) Pro jedno, každé z opakovaných měření yi*

σA 

2   y  y  i

Pro střední hodnotu y opakovaných měření

σA 

i

n 1

2   y  y  i i

nn  1

 Nejistota jednoho měření B - TYPU B (z manuálu přístroje nebo z Tp)

σC  σ A2  σ B2

 Kombinovaná nejistota C - TYPU C

σC  σ A2  σ B2

NEJISTOTY NEPŘÍMÝCH MĚŘENÍ jsou funkcí nejistot jednotlivých veličin a, b, c..., ze kterých se výsledná veličina y = f(a, b, c…) počítá 2

2

2

 f   f   f       σy   σa    σb    σ c   ...... a  b  c  Podobně platí i pro odchylky k ,J, κ , J

12