EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR SZAKDOLGOZAT FELADATVÁLTOZATOK ÉS MEGOLDÁSOK KÜLÖNBÖZŐ KOROSZTÁLYOKNAK
Témavezető:
Készítette:
Hraskó András
Szőnyi Gábor
egyetemi adjunktus
Matematika és Fizika
Matematika tanítási és Módszertani
Tanári Bsc
Központ
Budapest, 2014
2
Tartalomjegyzék Bevezetés ...........................................................................................4 I. fejezet - A számsorozatok ..............................................................5 1.1.
Mi lehet a szabály? ....................................................................................... 5
1.2.
Szabálykeresés 3 számpárhoz ...................................................................... 7
II. fejezet - Megoldási módszerek ....................................................13 2.1.
Egyszerű példák .......................................................................................... 13
2.2.
Exponenciális függvények .......................................................................... 15
2.3.
Polinomok I. ................................................................................................ 18
2.4.
Polinomok II. ............................................................................................... 20
III. fejezet - Használat, érdekes példák ...........................................25 3.1.
Köbszámok összege .................................................................................... 25
3.2.
Integrálás .................................................................................................... 28
3.3.
Pontok a kör kerületén ............................................................................... 33
Összefoglalás ...................................................................................39 Köszönetnyilvánítás ........................................................................41 Irodalomjegyzék .............................................................................42 Nyilatkozat ......................................................................................43
3
Bevezetés Mikor jelentkeztem a témavezetőmnél, azt javasolta, hogy olvassak át néhány korábban az Ő gondozása alatt készült munkát, hogy megtaláljam a számomra szimpatikus irányt. Ezt követően döntöttem úgy, hogy a példákat nem a feladatvariációk vagy a különböző megoldásaik szerint szeretném vizsgálni, hanem egy-egy problémát az eltérő korosztályok, és tudások alapján változtatva tanulmányoznék. Szakdolgozatom célja tehát néhány problémán -és azokhoz kapcsolódó példánkeresztül bemutatni, hogyan alkalmazható a sorozatok témakörének egy szelete az általános iskolától, egészen az egyetemig. Egy konkrét feladattípus kapcsán szeretném szemléltetni milyen
változatosan
használhatjuk
a sorozatokat,
a
függvények
megismertetése, az integrálás, vagy éppen a bizonyítási módszerek kiegészítő anyagaként. Illusztrálni szeretném, hogyan mélyít el egy-egy új anyagrész ismerete egy másikat. Ez arra szolgálhat, hogy akár évfolyamokon keresztül gördítsünk egy szöveges feladatot, melyben a már jól ismert "Petike" sokadszor fog bele valaminek a kiszámításába egyre erősebb, eltérő feltételek mellett. Ha a diák egy akadályba sokszor beleütközik, de azt az alapjaitól ismeri, sokkal könnyebben birkózik meg vele, mintha elsőre egy bonyolult probléma elé állítanánk. Ezt az ismétlődést több alapfeladattal alkalmazhatjuk, mindig az aktuális témát belefűzve a legideálisabb környezetbe. Sokat korrepetálok felsős általános és középiskolásokat és megtanultam, hogy ha egy feladatot nemcsak könnyítek, hanem olyan szintre csökkentek, amit a diák könnyedén megválaszol, és lassan építem fel a példát a pillanatnyi házi feladathoz, akkor jelentősen javítom a gyermek rálátását a problémára, sokkal inkább, mintha csak a megoldási módszert mondanám el. Célom, hogy ezt a dolgozatot végigolvasva mintát mutassak arra, hogyan változnak az ismerettel a kitűzhető feladatok, milyen mértékben térhet el egy általános iskolás és egy egyetemi hallgató számára egy azonos problémakörből előkerülő példa.
4
I. fejezet - A számsorozatok 1.1. Mi lehet a szabály? Már az alsó tagozatban is előfordul, hogy a tanár nem azt mondja, hogy számoljatok kettesével, hanem felír bizonyos számokat, és megkérdezi; "Mi lehet a szabály?" Ennek megválaszolása egészen más gondolkodást igényel, és a cél éppen az, hogy ezt az eltérést gyakorolják, elmélyüljön a fordított gondolkozás a gyerekekben. Ezenkívül megtanulják, hogyan lehet összefüggéseket keresni, meglátni azokat. 1.1. Feladat: Béla és Péter egy játékot játszanak, melynek címe: Mi lehet a szabály? Béla kigondol egy agyafúrt számolást, elmondja, hogy ha behelyettesíti az 1, 2, 3,.. első néhány számot, milyen eredményt kap. Majd Péternek ki kell találnia, hogyan is számolt Béla. Ez jó kiinduló példa, melyet a pusztán fejben elvégzett próbálkozásos módszerrel kezdenek megoldani a gyerekek. A fiatalabb korosztályt ez a stratégia sokáig elkíséri. Ez sokféle probléma megoldásában segíthet, nem csak a matematika órán, de más általános esetekben is. Gyakori, hogy mielőtt egy megoldást rendszerezetten levezetnénk,
végigszámolnánk,
sejtésünket
néhány
egyszerű
próbálgatással
megerősítjük, esetleg cáfoljuk. Ahogy telnek az iskolás évek, lassan megismerkednek a diákok a függvény, a hozzárendelés, és a sorozat fogalmával, pontosan definiálják azt. Kezdetben úgy tanulják, hogy tekintsünk úgy a hozzárendelésre, mint egy gépre, amibe számokat dobunk be és számok is jönnek ki (1.1. ábra). A gép valamilyen szabály szerint dolgozik, például mindig hozzáad kettőt a bedobott értékhez.
1.1. ábra A hozzárendelő gép
5
Ezt a modellt remekül lehet használni, variálni. Készíthetünk belőlük láncot; hatathatjuk a különböző gépeket egymás után. Az ilyen formájú látványos eszközöket a gyerekek könnyebben tudják használni, sokkal kézzelfoghatóbbak számukra, mint az algebrai alakok, vagy az ismeretlenek, hiszen a kisiskolások még nem tudnak absztrakt jelölésekkel, fogalmakkal dolgozni. Később, a tágabb ismeret és az eltelt évek lehetővé teszik, hogy precíz definíciókat várjunk el a tanulóktól. Ez főleg a középiskolában és az egyetemen igaz, ahol már különösképpen igaz, hogy egy definíciót nemcsak memorizálni, de értelmezni is képesek vagyunk, felfogjuk annak jelentését és korlátait is. A sorozat definíciója a következő: 1.1. Tétel: A sorozat a pozitív természetes számok halmazán értelmezett függvény. Ha a: ℕ + → 𝐻, és 𝐻 egy számhalmaz, akkor számsorozatról beszélünk. Jele: 𝑎𝑛 A továbbiakban a feladatok mindig egy számsorozatot fognak tartalmazni, melyekhez lehetséges képzési szabályt keresünk, az első pár elem ismeretében. Hasznos összefüggéseket, megoldási módszereket, és alkalmazásokat fogunk vizsgálni. Fontos megjegyezni, hogy az itt előkerülő példák, nem nyakatekert, a számokra ráerőltetett összefüggéseket próbálnak kicsikarni a diákokból, hanem tudván, hogy ezek egy ismert típusú számsorozat elemei, az adott témakörön belül valóban meghatározzák a függvényt. Végső soron ezek a műveletek a függvényillesztés alapjai, melyek a kezdeti feltételek ismeretének segítségével, pontos eredményt hoznak. A szabálykeresés problémájának esetében az az egyik legfontosabb felvetés, hogy hány darab számpárt adjunk meg. Egy számpár viszonyát értelmetlen vizsgálni a mi esetünkben, a két pár is eléggé aluldefiniált, hiszen habár egy lineáris függvényt egyértelműen kijelöl, de ezen kívül még nagyon sok minden ráilleszthető. Ezek is adhatnak érdekes feladatokat, ám mi most más típusú példákat keresünk. A 3 számpár már ígéretesebb, itt már lehet alkalmas összefüggéseket keresni, kicsit szűkebbek a lehetőségek, ám még mindig sok megoldással kecsegtetnek. A következő rész egy ilyen példát mutat be.
6
1.2. Szabálykeresés 3 számpárhoz Különböző korosztályokban feladható az a probléma, hogy három számpárhoz milyen függvények rendelhetők hozzá. Ezek esetében legtöbbször több megoldás is elővezethető az adott szinten. megfelelően választott számok esetén akár hét- nyolc eltérő típusú képletet is meghatározhatunk. Ha olyan számpárokat adunk meg, melyek az adott esetben nem egy egyértelműen meghatározható függvényhez vezetnek, alulhatározott feladatról beszélünk. Egy ilyen alulhatározott példa lesz ennek a résznek az alapja, mely önmagában remek lehetőséget nyújt egy összefoglaló, vagy ismétlő óra anyagának, egy 9-edikes osztályban, mondjuk a függvény-transzformációk kapcsán. 1.2. Feladat: Béla azt a kérdést teszi fel az osztálynak, hogy hány különböző szabályt találnak az alábbi számpárokhoz (1.1. táblázat)? Milyen összefüggés rendelheti az n értékekhez rendre az an értékeket? n
0
1
2
an
0
1
2
1.1. táblázat Mi a szabály?
A számsor elsőre talán túl egyszerűnek tűnhet, de meglepő módon egyszerűsége rengeteg lehetőséget rejt magában. Fontos hangsúlyozni, hogy ezek a számpárok nem különlegesek, vagy nevezetesek, így ezeket helyes módon megváltoztatva, új feladatokhoz juthatunk. Elsőre természetesen az 𝑓 𝑥 = 𝑥, vagyis az identitás függvényre gondolunk. Mi sem természetesebb, hiszen a három pont illeszkedik egy egyenesre. Ebben az esetben az 𝑎𝑛 = 𝑛 összefüggéshez jutunk. Második gondolatként, a szintén egyenes szakaszok képét mutató abszolút érték függvény juthat az eszünkbe. Kezdetben választhatjuk az alapfüggvényt az 𝑓 𝑥 = 𝑥 t, mely egy V-betűt mintáz (1.2. ábra). Ám később összetettebb változatok is napvilágot láthatnak, mint például az 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 − 2 mely a koordinátarendszeren egy Wképében jelenik meg (1.3. ábra).
7
1.2. ábra Az 𝒇 𝒙 = 𝒙 függvény megjelenítése
Itt érdemes megjegyezni, hogy már az abszolút érték függvényekkel végtelen sok megoldást találtunk, mert amíg a 0; 2 intervallumon megtartjuk az egyenesünket, addig bármely hasonló eredmény ráillik a pontokra (például az 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 8 − 7 , stb.). Ha erre rájönnek a diákok, jó feladat lehet néhány grafikonokhoz tartozó képlet megkeresése is.
1.3. ábra Az 𝒇 𝒙 =
𝒙 − 𝟖 − 𝟕 függvény megjelenítése
Szintén nincs szükség transzformációkra ahhoz, hogy a pontokra illeszkedjen az egészrész függvény, melyet 𝑓 𝑥 = 𝑥 -szel szokás jelölni (1.4. ábra). Ezt azért érdemes mindenképpen kiemelni, mert a diákok csak ritkán találkoznak ezzel a függvénnyel, és akkor is legtöbbször csak ábrázolós gyakorlásként, nem pedig egy feladat lehetséges megoldásaként.
8
1.4. ábra Az egészrész függvény megjelenítése
Hasonló a helyzet az előjel függvénnyel, amely egy hasznos, ám csak ritkán előkerülő szabályt elevenít fel. Az alapfüggvényt, vagyis az 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑔𝑛 𝑥 -t a megfelelő pontokhoz kell igazítani, ehhez a transzformációs szabályokat alkalmazzuk, és ennek megfelelően, eggyel jobbra, és felfelé is eltoljuk azt, így kapjuk az 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑔𝑛 𝑥 − 1 + 1 hozzárendelést (1.5. ábra).
1.5. ábra Az 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒊𝒈𝒏 𝒙 − 𝟏 + 𝟏 függvény megjelenítése
Érdemes feladatalkotás szempontjából észrevenni, hogy célszerű a pontokat úgy megválasztani, hogy azok egy egyenesre essenek, ezzel több különböző helyes képletet lehet fellelni. Az eddigi eredményekhez (leszámítva az előjel függvényt) valamilyen módon szükséges is ez a linearitás. Most olyan megoldásokat fogunk keresni, melyek
9
nem ilyenek. Mivel szerencsére csak három pont van megadva, és ezek nem adnak túl sok feltételt, lehetséges további illeszkedő függvényeket találni. Másodfokú függvényt nem lehet illeszteni, három egy egyenesen elhelyezkedő pontra, így mással kell próbálkozni. Ésszerű a gondolat, hogy próbálkozzunk magasabb rendű polinomokkal, hiszen azoknak lehet akár több inflexiós pontjuk is. Ezek a konvexitást váltó pontok lehetővé teszik, hogy egy egyenes több mint két helyen is metsze a polinomot. Könnyen adódik, hogy ha az 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 inflexiós pontját a három koordinátánk közül a középsőhöz igazítjuk, akkor egy újabb jó megoldást kapunk, ami tehát az 𝑓 𝑥 = 𝑥 −1
3
+ 1 lesz. Természetesen itt is végtelen sok megoldás van, hiszen a
magasabb fokú polinomokkal hasonlóképpen megadhatunk ilyen függvényeket. A középiskolákban inverz függvények esetén előkerül, hogy úgy ábrázolhatjuk egy függvény inverzét, hogy az 𝑥- 𝑦 koordinátákat felcseréljük. Vagyis a függvényt az 𝑓 𝑥 = 𝑥 egyenesre tükrözzük. Jelen esetben ennek eredménye természetesen egy köbgyök függvény lesz, nevezetesen az 𝑓 𝑥 =
3
x − 1 + 1, ez a 3 függvény az 1.6.
ábrán egyszerre láthatóak.
1.6. ábra Az 𝒇 𝒙 = 𝒙 − 𝟏
𝟑
+ 𝟏 függvény tükrözése az 𝒚 = 𝒙 egyenesre
10
Mivel nem egy folytonos görbére kell illesztenünk, hanem csupán három pontra, így olyan meglepő eredmények is előkerülhetnek, mint amilyen a szinusz függvény. A megszokott ábrázolási módszer az, hogy az x-tengelyen a π többszörösei szerepelnek, ám ez csak a 2π periódusnak köszönhető, hiszen így könnyű megrajzolni a görbét. Ha a π
függvényt úgy módosítjuk, hogy a behelyettesítési értékeket megszorozzuk 2 -vel, akkor a szinusz nevezetes pontjait, az x-tengely egészeihez transzformáljuk. Ezt követően el kell még tolni a görbét hogy illeszkedjen a három megadott pontunkra, így jutunk az 𝑓 𝑥 = sin
𝜋 2
𝑥−1
+ 1 képlethez, melynek grafikonját az 1.7. ábra tartalmazza. π
Ismerve a cos x = sin x + 2
azonosságot, természetesen egy
π 2
-es eltolással a
koszinusz is jó megoldást adhat.
1.7. ábra Az 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒊𝒏
𝝅 𝟐
𝒙−𝟏
+ 𝟏 függvény megjelenítése
Látható tehát, hogy az „alulhatározott pontok” mennyi eltérő megoldáshoz vezetnek. Egy gyakorló vagy a függvények témakörében tartott összefoglaló óra keretében, remek gondolkodtató feladat lehet, hogy minél több különböző hozzárendelést találjanak a megadott pontokhoz. Ezzel átismételhetjük az ismert függvényeket. Habár sok megoldást találtunk, a középiskolában tanított függvények közül még így is sok kimaradt. Ilyenek például a logaritmus, vagy az exponenciális függvények. Ezekhez is lehet megfelelő példákat találni, sőt lehet akár egy gyakorló feladat, hogy alkossanak számpárokat az adott függvényekhez, akár többhöz is egyszerre.
11
Ebből a fejezetből tehát jól látható, hogy ha "Petike" egy konkrét szabályra gondol, és szeretné, hogy társai kitalálják azt, akkor sokkal több számpárt meg kell adnia, és további információkat is kell közölnie ahhoz, hogy csak az általa elképzelt formula bizonyuljon helyesnek. Ennek megfelelően a továbbiakban olyan példákat vizsgálunk, melyeknél akár 7-8 számpár is meg van adva, így várhatóan, csak a kigondolt szabály fog illeszkedni.
12
II. fejezet - Megoldási módszerek 2.1. Egyszerű példák Gyakori módszer, hogy a szám-szám hozzárendelést egy táblázatba gyűjtve, könnyen értelmezhető elrendezésben vizsgálnak. Ezt az ábrázolás típust már igen fiatalon megismerik a gyerekek, ennek oka, hogy átlátható, és vizuálisan is jól megragad a diákok fejében. Elsőként vizsgáljunk meg egy általános iskolás példát, ezzel az a célom, hogy megmutassam, milyen egyszerűen indítható az egész. A feladat igen egyszerű, a következőképpen hangzik: 2.1. Feladat: Béla ismét kitalálósdit játszik Péterrel. A 2.1. táblázat azt mutatja meg, hogy milyen információkkal szolgált Péternek a lehetséges szabály megfejtéséhez. 𝒏
1
2
3
4
5
6
7
𝒂𝒏
7
9
11
13
15
17
19
2.1. táblázat 2.1. feladat számpárjai
A feladvány ismertetése után, leírjuk az ismert értékeket, és számolni kezdünk A szabály visszafejtéséhez azt kell vizsgálni, hogy az egymást követő számok milyen viszonyban vannak egymással, ez lehet például különbség vagy hányados. 𝒏
1
2
3
4
5
6
7
𝒂𝒏
7
9
11
13
15
17
19
𝒂𝒏+𝟏 − 𝒂𝒏
2
2
2
2
2
2
𝟐𝒏
2
4
6
8
10
12
14
𝒂𝒏 − 𝟐𝒏
5
5
5
5
5
5
5
2.2. táblázat Az 𝒂𝒏 = 𝟐𝒏 + 𝟓 megtalálása
Esetünkben elsőként a számok különbségét vizsgáljuk, a 2.2. táblázatban a két-két szám alatt tüntettük fel ezeket a különbségeket. Mivel ennek értéke mindig 2, és az 𝑛 értéke mindig egyesével növekszik, így első közelítésként a 2𝑛 függvénnyel hasonlítjuk össze.
13
Ezt követően már csak korrigálni kell a két függvény különbségét, ezt ismét a differenciák kiszámolásának segítségével tehetjük meg. Az 𝑎𝑛 − 2𝑛 = 5 konstans érték azt mutatja, hogy a lineáris alapfüggvény a 2𝑛 ami még +5-tel el van tolva, ezt a 2.1. ábrán is lehet látni. Vagyis a Béla által kitalált szabály az: 𝑎𝑛 = 2𝑛 + 5 Az eredmény ellenőrzése mindig fontos, fényt deríthet az esetleges hibákra, de ami még ennél is jelentősebb a gyerekeknek, ez ad megerősítést, hogy a gondolatmenet, amit végigkövettünk helyes.
2.1. ábra Az 𝒇 𝒙 = 𝟐𝒙 + 𝟓 függvény megjelenítése
Ennek a feladattípusnak elsődleges célja inkább a mögöttes tartalomban rejlik, az hogy a diákok a függvények tulajdonságát vizsgálják, betekintést nyernek azok viselkedésébe. Fontos továbbá a visszafelé gondolkodás erősítése, és az, hogy minél több típusú feladattal ismerkednek meg, annál szélesebb lesz a látókörük.
14
2.2. Exponenciális függvények Mielőtt részletesebben tárgyalnánk a polinomokkal kapcsolatos módszereket, szeretném egy másik típus viselkedését felderíteni, ezek az exponenciális függvények. Én úgy gondolom, hogy a függvényeket nem megérti az ember, hanem ha elég sok irányból vizsgálja, "pofozza", akkor lassan megismeri tulajdonságait, karakterisztikáját. Ezért például, mikor a hatványozással először találkoznak a gyerekek, jó módszer lehet egy táblázat kitöltése, mondjuk az 5𝑛 esetében. Felismerik, hogy a számológépbe nemcsak beütve az 54 -t kaphatják meg a táblázat megfelelő elemét, hanem a 125-t beszorozva 5-tel, is eredményhez juthatnak. Amikor egy témakör végéhez érnek a diákok, jelen esetben az exponenciális függvények megismerése után, érdekességképpen előkerülhet a már ismert játék: 2.2. Feladat: Ismerve a különbségek vizsgálatának módszerét, Béla egy más fajta formulát választott, ahol ez az eljárás nem működik (2.3. táblázat): 𝒏
1
2
3
4
5
𝒂𝒏
25
37
85
277
1045
6
7
4117 16405
2.3. táblázat A 2.2. feladat számpárjai
Mivel ebben az esetben a tagok különbsége nem lineáris, hanem ugrásszerűen növekedik,
az
egymás
után
következő
elemek
különbségét
vizsgálva
az
𝒂𝒏+𝟏 − 𝒂𝒏 értékek (a 2.4. táblázat harmadik sora) nem vezetnek eredményre. Ezekben
az esetekben az exponenciális kapcsolatra gyanakszunk. 𝒏
1
2
3
4
5
6
7
𝒂𝒏
25
37
85
277
1045
4117
16405
𝒂𝒏+𝟏 − 𝒂𝒏 𝒂𝒏+𝟏 𝒂𝒏 𝒂𝒏
12
48
1,48 2,30
192
768
3072 12288
3,26
3,77
3,94
3,98
𝟒𝒏
4
16
64
256
1024
4096
16384
− 𝟒𝒏
21
21
21
21
21
21
21
2.4. táblázat Az 𝒂𝒏 = 𝟒𝒏 + 𝟐𝟏 megtalálása
Ilyenkor a megadott értékek hányadosát (2.4. táblázat) kell kiszámítanunk, ez a hányados tartani fog valamilyen számhoz, ami a keresett függvényünk fő hatványalapja lesz. Esetünkben ez úgy tűnik a 4, így első közelítésként a 4𝑛 -nel hasonlítjuk össze az
15
𝑎𝑛 -t. Innen, már minden úgy megy, mint eddig; vizsgáljuk a differenciákat, és korrigálunk velük. Végül megállapíthatjuk, hogy Béla ez alkalommal az alábbi szabályt eszelte ki: 𝑎𝑛 = 4𝑛 + 21 A függvények kapcsán érdemes ábrát készíteni, mert a vizualizálás segít megé rteni a feladatot. A 2.2. ábrán látható, hogy a 2.2. feladat megoldása az f x = 4x (szaggatott fekete vonal) eltolásával született, megfigyelhető, hogy a görbe elején a +21 nagymértékben befolyásolja a függvény értékét, de a nagyobb számoknál már nincs jelentősége.
2.2. ábra Az 𝒇 𝒙 = 𝟒𝒙 és az 𝒇 𝒙 = 𝟒𝒙 + 𝟐𝟏 függvények összehasonlítása
További példaként összevonhatunk két exponenciális függvényt is, így a korrekciós tag is egy exponenciálisként fog előállni. A 2.6. táblázatban egy ilyen feladat megoldása látható. 2.3. Feladat: Béla ez alkalommal még egy exponenciális függvénnyel fűszerezte kérdését, mely az alábbi számokból áll (2.5. táblázat): n
1
2
3
4
5
6
7
an
1
5
19
65
211
665
2059
2.5. táblázat A 2.3. feladat hozzárendelései
A 2.2. ábrán „láthatók” a számpárok, és az is, hogy képletünk milyen meredeken emelkedik, erről itt is arra lehet következtetni, hogy exponenciális függvénnyel van dolgunk.
16
2.3. ábra Az 𝒇 𝒙 = 𝟑𝒙 − 𝟐𝒙 függvény megjelenítése
Miután hányadosnak úgy tűnik a 3 adódik, kiszámoljuk a különbséget a 3𝑛 használatával, ismét egy ugrásszerűen növekedő számsorozatot fogunk látni. 𝒏
1
2
3
4
5
6
7
𝒂𝒏
1
5
19
65
211
665
2059
𝒂𝒏+𝟏
𝒂𝒏
5
3,80
3,42
3,25
3,15
3,10
𝟑𝒏
3
9
27
81
243
729
2187
𝟑𝒏 − 𝒂𝒏
2
4
8
16
32
64
128
2.6. táblázat Az 𝒂𝒏 = 𝟑𝒏 − 𝟐𝒏 megtalálása
Ezt fontos példának tartom, mert ezt követően minden számolás nélkül fel lehet ismerni a számokat; ez a 2𝑛 lesz. Ez azért lényeges, mert ez egy ismert, és sokat használt nevezetes sorozat; többek között a számítástechnika alapja. Összerakva tehát az eddig megtudottakat a 2.3. feladat megoldására az alábbi képlet adódik: 𝑎𝑛 = 3 𝑛 − 2 𝑛
17
2.3. Polinomok I. A polinomokat már az általános iskola felső tagozatában is használják a diákok, bár legtöbbször nem ilyen néven. Ebben a részben elsőként bizonyítás nélkül használunk egy tételt, és a korrekciós módszert, mely ebben a formában bármely iskolában megtanítható. Majd ezt követően a tételt bizonyítjuk, és az általánosabb (magasabb fokú polinomokra) használatra is mutatunk egy példát. Ezt az eljárást Hraskó Andrástól tanultam, az Elemi matematika 4 gyakorlat1 keretében. Ahogy a legalapvetőbb példáknál is tesszük fejben, úgy a nehezebbeknél is gyakran célravezető az egymás után következő számok különbségeit vizsgálni. Olyannyira, hogy a különbségsorozatok különbségeit is kiszámoljuk, mégpedig az alábbi tétel felhasználásának céljából: 2.1. Tétel: Ha egy sorozat 𝑘-adik különbségi sorozata a konstans sorozat, akkor a sorozat explicit képlete egy 𝑘-adfokú polinom. Vagyis, ha „legyártjuk” a különbségsorozatok különbségeit, és egyszer csak, például a csupa négyesekből álló sorhoz jutunk, az azt jelenti, hogy egy polinommal állunk szemben. Ezt az ismeretet felhasználva, ismerve a polinom fokát, próbafüggvényekkel, lépésenként korrigálva, megadhatjuk a keresett szabályt. A tétel a 2.1. Lemma következménye, melyet a következő részben fogunk részletesebben tárgyalni, itt most csak használjuk azt. 2.4. Feladat: Béla alábbi agyafúrt fejtörőjét (2.7. táblázat) megoldhatjuk ennek segítségével: 𝒏
1
2
3
4
5
6
7
8
𝒂𝒏
3
7
13
21
31
43
57
73
2.7. táblázat A 2.4. feladat számpárjai
A számokat egymás mellé, a különbségsorozatokat pedig ezek alá írva, az alábbi számpiramist (2.4. ábra) kapjuk: 3
7 4
13 6
2
21 8
2
31 10
2
43 12
2
57 14
2
2.4. ábra Különbségpiramis a megadott értékekből
1
http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/elte/em4/fsor04ha.pdf
18
Látható, hogy a 2, mint konstans tag, két lépés után jelent meg, ez azt jelenti, hogy a keresett polinom másodfokú. 𝒏
1
2
3
4
5
6
7
8
𝒂𝒏
3
7
13
21
31
43
57
73
𝒏𝟐
1
4
9
16
25
36
49
64
𝒂𝒏 − 𝒏𝟐
2
3
4
5
6
7
8
9
𝒂𝒏 − 𝒏𝟐 − 𝒏
1
1
1
1
1
1
1
1
2.8. táblázat Az 𝒂𝒏 = 𝒏𝟐 + 𝒏 + 𝟏 megtalálása
A 2.8. táblázatban megfigyelhető, hogyan kell lépésenként közelíteni a függvényhez. Elsőként az 𝑛2 -et írom fel, majd vizsgálom az 𝑎𝑛 és az 𝑛2 különbségét. Látszik, hogy az már egy egyesével növekedő tag, tehát az 𝑛-et kivonva közelítek, hiszen az 𝑛-eket is egyesével növelem, és így a konstans egyet kapom. Vagyis az általunk keresett szabály (2.5. ábra), az alábbi polinom: 𝑎𝑛 = 𝑛2 + 𝑛 + 1 A hozzárendelés ismeretében az alábbi grafikon készíthető:
2.5. ábra Az 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 függvény megjelenítése
19
2.4. Polinomok II. Ebben a részben olyan témát mutatok be, ami már az egyetemi anyagok körébe tartozik, de egy emelt óraszámban tanuló diáknak, esetleg szakkörön, remek kiegészítő feladat lenne. Elsőként új ismeretként egy tételt bizonyítjuk be, majd a tétel használatára mutatunk egy példát, amit már a korrekciós módszerrel lényegesen bonyolultabb lenne megválaszolni. A tétel valójában lemmák következménye, melyek teljesülnek a megadott feltételek mellett, így csak a lemmákat kell bizonyítani. Ezek szintén megtalálhatóak Hraskó András Elemi Matematika 4. jegyzetében. 2.1. Lemma: Ha egy sorozat képlete egy 𝑘-adfokú polinom, akkor a sorozat különbségsorozata (𝑘 − 1)-edfokú polinommal adható meg. Bizonyítás: A polinomnak csak a legnagyobb fokú tagját vizsgálva (a többire nyilván hasonlóképpen teljesül, és kisebb fokú lesz) adódik, hogy n+1
k
k n +1 − nk = k nk −1 + k nk−2 + ⋯ + 1 2 k−1
kifejezés 𝑛-nek (k − 1)-edfokú polinomja. Következmény: Ha egy sorozatot leíró képlet egy 𝑘-adfokú polinom, akkor 𝑘-adik különbségsorozata egy konstans sorozat. 2.2. Lemma: Ha az 𝑎𝑛 , 𝑏𝑛 sorozatok 𝑘-adik különbségsorozatai konstansok és ez a két sorozat megegyezik az első
𝑘+1
elemében, akkor az 𝑎𝑛 é𝑠 𝑎 𝑏𝑛
67
129
azonosak. 1
9 8
29 20
12
38 18
6
62 24
6
221 92
30 6
349 128
36 6
2.6. ábra Példa a 2.2. lemmához, ahol 𝒂𝒏 = 𝒏𝟑 + 𝒏 − 𝟏
Bizonyítás: Az első
𝑘+1
elem különbségsorozatait képezve, majd azok
különbségsorozatait előállítva, és így tovább, egészen a konstansig, előáll egy olyan számháromszög (2.6. ábra sötétszürke rész), ami azonos lesz a két sorozat esetében, mivel az első 𝑘 + 1 elem megegyezik. Ismerve a konstans tag értékét, azt a következő elem helyére is beírhatjuk, és ennek segítségével, visszafele haladva, minden tag értéke 20
egy meghatározott szám lesz (2.6. ábra világosszürke rész). Így az eredeti sorozat elemei visszafejthetőek, és mindkét esetben egyenlők lesznek, a kezdeti feltételek miatt. 2.3. Lemma: Bármely (𝑘 + 1) megadott hely, és azokban bármely előírt értékekhez létezik, és egyértelmű az a 𝑘-adfokú polinom, amely a megadott helyeken az előírt értéket veszi fel. Bizonyítás: A 2.1. Lemma után szereplő következmény, és a 2.2. Lemma biztosítja az egyértelműséget. A létezést pedig a következő módon igazoljuk: Legyenek az alábbi polinomok az alapjaink: n , 0
n , 1
n n ,⋯, 2 k
n Ha azt tekintjük, hogy 𝑛 = 0, 𝑛 = 1, ... 𝑛 = 𝑗 − 1 esetekben j = 0 lesz, és 𝑛 = 𝑗 mellett 1, akkor az alábbi interpolációs polinomot használhatjuk a keresett képlethez: p n = a0
n n n n + a1 + a2 + ⋯ + ak 0 1 2 k
Itt a kezdeti feltételeket használva az egyes együtthatók, lépésről lépésre meghatározhatóak, hiszen kezdetben 𝑛 < 𝑗 miatt egy csomó tag kiesik. Például a 2.6. ábrát használva a kikötések a következők lesznek: p 0 = 1, p 1 = 9, p 2 = 29, p 3 = 67 n képezi az 𝑘-adfokú k n tagot, és járulékosan az alacsonyabb fokúakat is. Ezt követően az ak −1 k−1 korrigálja az 𝑘 − 1-edfokút, és az alacsonyabbak ezen már nem változtatnak. Így n minden aj j tag rögzíti az nj együtthatóját, de a j-nél nagyobb fokú tagokon már nem Általánosan úgy kell tekinteni a p n -re, hogy csak az ak
változtat. Ez az interpoláció fut végig egészen az ao -ig, így határozódik meg a polinom. Abban az esetben, ha a polinom magasabb fokú, vagy együtthatói például törtek, akkor a táblázatos közelítő módszer nagyon bonyolult, kézi számolással esetenként megoldhatatlan. Ilyenkor alkalmazzuk az előbb bemutatott módszert.
21
2.5. Feladat: Béla az alábbi feladattal szeretné próbára tenni, hogy valóban használható-e, a most leírt eljárás (2.9. táblázat): 𝒏
0
1
2
3
4
5
6
𝒂𝒏
10
7
4
3
6
15
32
2.9. táblázat 2.5. feladat hozzárendelései
Első lépésként a különbségsorozatokat kell kiszámítanunk, amit legegyszerűbben a számháromszögben (2.7. ábra) tudunk ábrázolni. 10
7
4
-3
-3
3 -1
0
2 2
6 3
4 2
15 9
6 2
32 17
8 2
2.78. ábra A 2.9. táblázatból keletkező különbségpiramis
Mivel a harmadik különbségsorozat konstans, ezért harmadfokú polinommal állunk szemben, alakja a következő: p n = a 0 + a 1 n + a 2 n2 + a 3 n3 Most a megadott pontokra illesszük a függvényünket, ezt
𝑛 értékeinek
behelyettesítésével tesszük meg. A polinomunkat tehát az alábbi alakban keressük: p n = b0
n n n n + b1 + b2 + b3 0 1 2 3
A behelyettesítést követően a 𝑏𝑖 értékek egyesével meghatározhatóak, a számolást az alábbi módon kell elvégezni: p 0 = 10
→
p 1 =7
→
p 2 =4
→
p 3 =3
→
0 = 10 0
→
b0 = 10
1 1 + b1 =7 0 1
→
b1 = −3
2 2 2 + b1 +b2 =4 0 1 2
→
b2 = 0
3 3 3 3 + b1 +b2 + b3 =3 0 1 2 3
→
b3 = 2
bo bo bo bo
22
Ezeket az értékeket most behelyettesítjük a 𝑝 𝑛 -be, és rendezve azt, zárt alakra hozzuk a polinomot: p n = 10
n n n n −3 +0 +2 0 1 2 3
p n = 10 − 3n + 2 p n = 10 − 3n +
p n =
n n− 1 n−2 3! n3 − 3n2 + 2n 3
n3 7 − n2 − n + 10 3 3
Érezhető, hogy ennek a feladatnak a megoldásához már a táblázatos, korrekciós módszer kevés, lényegesen bonyolultabb számításokhoz, próbálgatásokhoz vezetne, mint amit célszerű elvégezni. A 2.7. ábrán látható, hogy a megadott pontok valóban ráillenek a p n függvényre.
2.7. ábra Az 𝒑 𝒏 =
𝒏𝟑 𝟑
𝟕
− 𝒏𝟐 − 𝟑 𝒏 + 𝟏𝟎 függvény megjelenítése
Érdemes megjegyezni, hogy ezt a harmadfokú polinomot úgy generáltam, hogy bármely 𝑛-re egészet adjon. Ennek ellenőrzésére a p n = 10 − 3n + 2
n n−1 n−2 3!
-t is
elég megvizsgálni. Az n n − 1 n − 2 három egymást követő szám szorzata, melyek közül biztosan van legalább egy 3-mal osztható, és egy páros, vagyis a szorzat osztható 6-tal, ami épp 3!.
23
Észre kell még venni, hogy az előző feladatokkal ellentétben az első szám, amit behelyettesítettünk 𝑛 helyére a nulla volt és nem az egy. Ennek oka a következő; sok esetben, például rekurzív sorozatoknál (pl. Fibonacci sorozat) szokásos 0-dik elemet definiálni, hogy a képzési szabály az első elemre is működjön. Jelen esetben tudjuk, hogy polinommal állunk szemben, így az 𝑛 = 0-nak van értelme. A könnyebb számolás végett most az 𝑛 = 0 értékét is megadjuk, így az egyenletrendszerünk egyszerűbb lesz. Természetesen e nélkül is megoldható, hisz négy ismeretlen mellé, négy lineárisan független egyenlet tartozik, ezek pedig mindig megoldhatóak.
24
III. fejezet - Használat, érdekes példák 3.1. Köbszámok összege Ezt a témát érdekességnek szántam, mert egy általam már sokszor feltett kérdésre ad választ, miszerint: Hogyan jön rá az ember egy számsorozat összegképletére? Ez a kérdés merült fel bennem például akkor is, amikor megismerkedtem a négyzetszámok összegképletével: 1 + 4 + 9 + 16 + ⋯ + n2 =
n n + 1 2n + 1 6
Ilyenkor az ember agyán átfutnak, olyan kérdések, hogy: "Honnan jön az a 2n?" "Miért pont 6-tal osztok, miért nem 42-vel?" A válasz általában az: "Mert csak!" "Mert ez így kijön!" Ez mindig zavart engem, a tény, hogy a képlet egyszerű, matematikai szempontból egy általános iskolás is megérti, a legtöbb esetben mégsem tudjuk meg, hogyan jut valaki erre a megoldásra. Mikor megismertem ezt az eljárást, a mögöttes gondolatmenetet, hamar magával ragadott engem. Én elsőnek a négyzetszámok összegképletére láttam bizonyítást, és remek sikerélmény volt, hogy mikor otthon a köbszámokra elvégeztem a számolásokat, (nem ismerve az eredményt, az internetről kikeresett megoldással vetettem össze azt), helyesnek bizonyult. Ezért példaként is ezt a feladatot választom. A kérdés tehát a következő: 3.1. Feladat: Adjunk képletet az első 𝑛 darab köbszám összegére! A megoldáshoz segítségül hívjuk azt, amit eddig tanultunk Béla szabálykereső játékai során, és kicsit távolabbról szemlélve kiforgatjuk a kérdést. Az ötlet a következő; azt tudjuk, hogy ha felírjuk a köbszámokat, akkor az 𝑛3 szabályt kapnánk vissza a számolásból. Ám ha ezeket a köbszámokat már különbségsorozatnak tekintjük (3.1. ábra sötétszürke sor), és az eggyel magasabb rendű sorozatot generáljuk belőle, akkor pont a köbszámok összegének sorozatát kapjuk (3.1. ábra világosszürke sor). Tekintsük hát ezt, az eredeti számsorozatnak, és keressünk hozzá szabályt, a már ismert módszerrel.
25
0
1
9
1
36
8 7
27
64
19 12
100 125
37 18
61 24
6
225 216 91 30
6
441
6
784 343
127 36
6
3.1. ábra A köbszámok összegének különbségpiramisa
A különbségsorozatokból tudjuk, hogy egy negyedfokú polinommal leírható az összegképlet, hiszen négy lépésből konstans sorozathoz jutottunk. Hasonlóan az előbbi feladathoz, most is behelyettesítjük 𝑛 értékeit, és kiszámoljuk a polinom együtthatóit: p 0 =0
→
p 1 =1
→
p 2 =9
→
p 3 = 16
→
p 4 = 100 →
0 =0 0
→
b0 = 0
1 1 + b1 =1 0 1
→
b1 = 1
2 2 2 + b1 +b2 =9 0 1 2
→
b2 = 7
3 3 3 3 + b1 +b2 + b3 = 16 0 1 2 3
→
b3 = 12
4 4 4 4 4 + b1 +b2 + b3 + b4 = 100 → 0 1 2 3 4
b4 = 6
bo bo bo bo bo
Rendezzük az eredményeket, és megadjuk a zárt képletet: p n =0 p n = 0∙ 1+ 1∙ n+ 7
n n n n n +1 +7 + 12 +6 0 1 2 3 4
n n− 1 n n−1 n−2 n n−1 n−2 n−3 + 12 +6 2! 3! 4!
7 1 p n = n + n n − 1 + 2n n − 1 n − 2 + n n − 1 n − 2 n − 3 2 4 p n = n+
7 2 7 1 6 11 2 6 n − n + 2n3 − 6n2 + 4n + n4 − n3 + n − n 2 2 4 4 4 4 p n =
1 4 n + 2n3 + n2 4
p n =
n2 n + 1 4
26
2
A Wikipédia 2 által megadott összegképlet egy még összevontabb alakot ad meg, mert abból jól látszik, hogy az első 𝑛 köbszám összege, éppen az 𝑛-edik háromszögszámma l egyenlő: n
n n −1 i = 2
2
3
i=1
A háromszögszámok azok a számok, amik előállnak az egymást követő természetes számok összegeként. Nevét a szemléltetésről kapta, miszerint kavicsokat egyre növekvő számban egymás alá helyezünk úgy, hogy háromszög alakba rendezzük őket (3.2. ábra).
3.2. ábra Az első 𝟑 háromszögszám megjelenítése
Ez a matematika egyik érdekessége, hogy két látszólag összefüggéstelen dolog között is megjelenik kapcsolat. Ez adja a matematika szépségét, ezekért a kapcsolatokért érdemes kutatni a számok rejtelmes világát. Az itt elhangzott számítás nem a szokványos eljárás, ám a különlegessége pont ebben rejlik; az egyszerűségében, és abban, hogy önállóan eljuthatunk egy zárt képletig, ami jól használható, könnyen kezelhető. Fontos kihangsúlyozni, hogy itt nem pusztán azt bizonyítjuk, hogy egy adott képlet helyes-e, vagy sem, ez nem egy indukciós bizonyítás, nem egy eldöntendő kérdésre ad választ. Ez a gondolatmenet generálja a helyes képletet az adott problémára, ezért érzem hogy kiemelt szerepe van. Az a tény, hogy ezt megismerve, a diákokban megszüntethetünk egy aggasztó kétséget a matematikával szemben, egy vakfoltot oszlatunk el, mindenképpen megéri a rá fordított időt, legyen az fakultációs óra, de esetleg a rendes tanórák egyike.
2
Wikipédia http://hu.wikipedia.org/wiki/Köbszámok letöltés 2014. 05. 17.
27
3.2. Integrálás Az alábbi részben az a célom, hogy kitekintést nyújtsak a "Mi a szabály?" típusú feladatokból, ám olyan példát mutassak, amihez felhasználhatóak a korábban a számsorozatok körében szerzett ismeretek. Így például egy középiskolai emelt órán, vagy szakkörön az integrálás bevezetése kapcsán, előkerülhet egy régebbi feladat megoldása. Egy adott síkidom, vagy egy görbe alatti terület kiszámítása nagyon fontos a matematika, a fizika vagy akár a pénzügy területén is. Erre természetesen az integrálszámítást használjuk, ebben a részben azt szemléltetem, hogyan végezhetőek el csupán a sorösszegek segítségével, hogyan válthatunk ki egy-egy ilyen integrálást. Ez a módszer valójában az integrálszámítás előfutára volt, jól tükrözik a feladat bonyolultságát, és egy középiskolai szakkörön remekül előadható, mint bevezetés az integrálszámításhoz. A 3.1. részben sikerült meghatároznunk a köbszámok összegképletét, így most egy olyan példát választottam, amelyben kihasználhatjuk ezt az ismeretünket. A problémát egy középiskolai szakköri füzet gyakorló feladatai között találtam 3 . 3.2. Feladat: Az 𝑓 𝑥 = 𝑥 3 függvény a 3.3. ábrán látható módon a 0; 1 intervallumban meghatároz egy síkidomot, ennek keressük a területét.
3.3. ábra Az 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 függvény alatti területe
3
Dr. Máté László - Rekurzív Sorozatok (18. oldal 11. feladat)
28
Az eljárás során először alulról aztán felülről fogjuk becsülni a területét, majd ezeket fogjuk összehasonlítani. Kezdetben a 0; 1 intervallumot, osszuk 𝑛 egyenlő részre. Most meghatározzuk a téglalapok területét, melyeket az intervallum darabok, és a függvény minimumai határolnak a részintervallumokban (3.4. ábra). A téglalapok 1
szélessége mindig 𝑛 , magassága pedig 𝑥 3 lesz, tehát az elsőé a harmadiké
1
3 3
𝑛
𝑛
1
1 3
𝑛
𝑛
, a másodiké
1
2 3
𝑛
𝑛
,
és így tovább.
3.4. ábra Az 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 függvény egy alsó közelítése
Ha tehát a 0; 1 intervallumot 𝑛 egyenlő részre osztjuk fel, akkor a téglalapok területének összegére az alábbi képlet adódik: 𝑡𝑛 =
1 13 23 33 𝑛− 1 + 3 + 3 + ⋯+ 3 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛3
3
Láthatjuk, hogy a zárójelen belüli törtek számlálói rendre a köbszámok, és közös nevezőjük miatt, valójában egy tört van a zárójelben, melynek számlálója az első 𝑛 − 1 köbszám, nevezője pedig az 𝑛3 . Ha tehát felhasználjuk a 3.1. részben meghatározott 1 3 + 2 3 + 3 3 + ⋯ + n3 =
n 2 n+1 2 4
.
képletet, és az 𝑛-ek helyére 𝑛 − 1-et írunk, akkor a területösszegre az alább i összefüggés adódik: 𝑡𝑛∗
n− 1 = 4𝑛2
29
2
Ez a formula tehát alulról becsüli meg a függvényünk értékét. Ha az eredeti 𝑡𝑛 területösszegző képletbe 𝑛 helyére behelyettesítjük a 4-et akkor a következő eredményhez jutunk: 𝑡4 =
1 13 23 33 1 + 8 + 27 36 + + = = = 0,14063 4 43 43 43 43 256
A 3.1. táblázatban néhány nagyobb helyettesítési értéket is meghatározunk, de ebben az esetben természetesen már a 𝑡𝑛∗ összegképletet alkalmazzuk. Nyilvánvaló, hogy az 𝑛 = 4-re is ugyanazt az értéket kapjuk, és sejthető az is, hogy elég nagy számok esetén 1
a görbe alatti terület tart az 4 -hez. n
4
5
10
100
1000
10000
tn*
0,14063
0,16000
0,20250
0,24503
0,24950
0,24995
3.1. táblázat A 𝒕∗𝒏 néhány behelyettesített értéke
Azért, hogy a sejtésünket igazolni is tudjuk, érdemes az előzőhöz hasonlóan, felülről is becslést adni. Az adott intervallumrészeken vett téglalapok magassága most az intervallumdarabok maximumai lesznek (3.5. ábra): 1 13 23 33 𝑛− 1 𝑇𝑛 = + + + ⋯ + 𝑛 𝑛3 𝑛3 𝑛3 𝑛3
3
+ 1 = 𝑡𝑛 +
3.5. ábra Az 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟑 függvény egy felső közelítése
30
1 𝑛
Kihasználva, hogy a zárójelen belül a számláló ez alkalommal az első 𝑛 köbszám összege, az alábbi képletet alkalmazhatjuk: 𝑇𝑛∗ =
n +1 4𝑛2
2
Ha ezeket a felülbecsléseket vizsgáljuk az 𝑛-ek behelyettesítésével (3.2. táblázat), hasonlóan az alulbecsléshez, ismét azt a következtetést vonhatjuk le, hogy a síkidom 1
területe tart az 4 -hez. n Tn
*
4
5
10
100
1000
10000
0,39063
0,36000
0,30250
0,25503
0,25050
0,25005
3.2. táblázat A 𝑻∗𝒏 néhány behelyettesített értéke
Ha a két eredményünket valós függvényként ábrázoljuk egy logaritmikus skálán (3.6. ábra) akkor látható, hogy valóban mindkettő tart a kívánt határértékhez. Ezt az is megerősíti, sőt szükséges feltétele is, hogy az alsó és a felsőbecslések ∆ különbsége is tart a nullához. ∆= 𝑇𝑛∗ − 𝑡𝑛∗ =
1 𝑛
1
és lim𝑛 →∞ 𝑛 = 0
Természetesen a becslésünk tovább finomítható, sokkal nagyobb pontosságot is elérhetünk, ha a téglalapmódszer helyett a trapéz módszerrel közelítjük az intervallumok területét. Ez az eljárás kisebb számok esetén precízebb eredményt ad, de a feladat megoldásának menete szempontjából azonos módon zajlik.
3.6. ábra Az alsó és a felső közelítések határértékének megjelenítése
31
Remek kontrasztot nyújt, ha megmutatjuk, hogy ehhez képest a hosszas számoláshoz képest, ismerve az integrálszámítás alapjait, milyen egyszerűen, akár egy sorban is eljuthatunk a megoldáshoz. Ha ismerjük a Newton- Leibniz formulát, akkor az alábbi módon kell gondolkoznunk: 1
1 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 4 4 3
0
1 0
1 1 1 = 14 − 04 = 4 4 4
Láthatjuk, hogy kitűnő átkötő példa két témakör között. Amit be szerettem volna mutatni az az, hogy egy látszólag eltérő típusú feladvány kapcsán is alkalmazhatóak a matematika más területéről vett tudások. Nagyon fontosnak tartom ezt a feladatot, mert személyes sikerélmény fűz hozzá, amit az órákon szívese n látnék vissza a diákoktól is. Általában a könyvek, feladatsorok a négyzetszámok összegének problémáját, valamint az f x = x 2 alatti terület értékét, szokták bemutatni, a Rekurzív sorozatok című könyv is így tesz. Ezért is választottam a köbös feladatváltozatokat, így elsőként a köbszámok
összegképletének
megtalálása
hozott
helyes
eredményt,
majd
a
területszámítás, melyeket így össze is tudtam fűzni. Ha ebben a sorrendben kerülnek elő ezek a kérdések nincs szükség arra, hogy például az összegképletet előismeretek nélkül közöljem, pusztán az integrálás megoldásának céljából, azt ismertnek vehetem. Szerintem nagyon eltérő gondolat van amögött, hogy felírom a képletet emlékeztetőül, vagy egyszerűen kijelentem, hogy ezt az összefüggést kell használni.
32
3.3. Pontok a kör kerületén Korábban már foglalkoztunk azzal a kérdéssel, hogy hány darab számpár megadása szükséges egy szabály meghatározásához. A válasz természetesen az, hogy "attól függ", hiszen ha plusz információkat adunk meg például; "a szabály egy 𝑛-edfokú polinom", akkor szűkítjük a megfelelő megoldások számát. Ha pedig nem csak számpárokat, hanem egy konkrét problémát vizsgálunk, akkor a kitalált szabályunknak bizonyítottan illeszkednie kell a feladathoz. Ebben a részben ezt szeretném szemléltetni egy példával, mely az óvatlan szem számára becsapós lehet. Kezdjük 5 egyszerű számpárral és találjuk meg a szabályt. n
1
2
3
4
5
an
1
2
4
8
16
3.3. táblázat Egy egyszerű példa
Rögtön azt mondhatjuk, hogy ez az f n = 2n−1 , és ha csak ennyi számot kapunk, akkor ez jó megoldásnak is tűnhet. Ha azonban egy másik matematikai probléma első pár megoldásaként nézzük más sejtés is kialakulhat bennünk. Az alábbi feladattal először a Kombinatorikai feladatmegoldó
gyakorlaton
találkoztam, amit Juhász Péter tartott 4 . Ott annak kapcsán került elő, hogy milyen fontos a sejtés és a bizonyítás közötti különbség, miért nem szabad semmit sem bizonyítás nélkül hagyni. Amikor a feladat a szakdolgozatom kapcsán ismét előkerült, akkor ismerkedtem meg Varga Tamás cikkével5 , mely még átfogóbban vizsgálja azt. 3.3. Feladat: Vegyünk fel 𝑛 darab pontot egy kör kerületén, majd kössünk össze minden pontot a többi ponttal. Hány részre osztják ezek a szakaszok a kört?
3.7. ábra Az első 5 eset illusztrálása
4 5
Juhász Péter - http://www.cs.elte.hu/~jpet/01.pdf letöltés 2012. 05. 19. Varga Tamás - Pontok a kör kerü letén A Matematika Tanítása 1968/ 2.
33
A példát természetesen néhány rajz készítésével érdemes kezdeni, a 3.7. ábrán azt láthatjuk, hogy az első 5 pont hogyan alakítja a körök felosztását. Néhány próbálkozás után sejthetjük, hogy itt a részek száma független a pontok helyzetétől. Hasonlóan a kezdetben felvetett számpárokhoz a 3.3. táblázatban, megfigyelve a pontok és a részek száma közötti összefüggést, az látható, hogy a részek mindig megkétszereződ nek, tehát 𝑛 pont esetén 2𝑛−1 részre oszlik a kör.
3.8. ábra 6 pont esetén 30 és 31 mező is keletkezhet
Azonban, ha 6 pont használatával próbáljuk előállítani a soron következő 32 részt, kudarcot vallunk, mindig csak 30 vagy 31 szeletet tudunk létrehozni. A 30 rész akkor keletkezik (3.8. ábra, bal oldali kör), ha a kör egy belső pontján 3 szakasz is áthalad, azok ugyanis az egyik pont elmozdításával újabb darabot határolnak (3.8. ábra, jobb oldali elrendezés). Ehhez az elrendezéshez az szükséges, hogy a 3 szakasznak ne legyenek közös végpontjai a kör kerületén, amihez legalább 6 pontra van szükség, tehát 𝑛 = 6 a legkisebb ilyen eset. A továbbiakban az egyszerűség kedvéért ezt nem engedjük, kizárjuk ezeket az eseteket, így mindig csak a maximálisan előállítható részek számát vizsgáljuk. Ahhoz, hogy szabályt tudjunk alkotni, meg kell vizsgálnunk, hogy egy új pont felvételekor hány új elkülönített terület keletkezik. Ehhez a 3.8. ábrán látható jobb oldali körre felveszünk egy 7-dik pontot és behúzunk rajta egy szakaszt a P1 és a P7 pont között. (3.9. ábra). A szakasz 6 új metszéspontot hozott létre, és ennél 1-gyel több azaz 7 elkülönített területet vágott két fele. Meggondolható, hogy a darabok, mindig 2 részre esnek szét, hiszen konvex síkidomot egyenesek mindig konvex részekre osztanak, és a kezdeti síkidomunk, a kör, is konvex volt.
34
3.9. ábra A 𝑷𝟏 𝑷𝟕 szakasz behúzásával keletkező metszéspontok
Vagyis az új idomok száma attól függ, hogy a felvett szakasz hány metszéspontot hoz létre, ami pedig a szakasz két oldalán elhelyezkedő régi pontok számának szorzata szerint változik. A 7-dik felvett pont esetében, ha minden korábbival összekötjük a 3.4. táblázatban feltüntetett módon, összesen 26 új darabot hasít ki a körön belül. Pontok száma az új szakasz oldalán Bal Jobb 0 5
Új metszéspontok száma
A részek számának növekedése
0
1
1
4
4
5
2 3 4 5
3 2 1 0
6 6 4 0
7 7 5 1 Összesen:
26
3.4. táblázat 𝟔 → 𝟕 pont alatt keletkező új darabok száma
Ezt a módszert követve kis számolással megadhatjuk a további esetek számát is, így a 8-dik pont felvételekor 42-vel, majd 64-gyel, és a 10-dik pont esetén 93-mal nő a különálló területek száma. A 3.5. táblázat ennek a számolásnak a segítségével lett kitöltve, hiszen ezeknek az ábráknak a megrajzolása egyre nehezebb feladat lenne, ám a szükséges műveletek könnyen elvégezhetőek. Pontok száma (n) Részek száma (an)
0 1
1 1
2 2
3 4
4 8
5 16
6 31
7 57
8 99
9 163
10 256
3.5. táblázat A részek száma a pontok függvényében
Habár az új szakaszok két oldalán lévő pontok számának vizsgálata eredményes, de nagyobb számok esetén már igen körülményes is, érdemes tehát keresni egy explicit képletet, aminek ismeretében a számolás egyszerűbbé válik. Mivel ismerjük az első
35
néhány an értéket, érdemes a 2.4. részben megismert különbségsorozatok vizsgálatának módszerét használni. A 3.6. táblázatban látható, hogy a negyedrendű különbségsorozat konstans, ami azt jelenti, hogy a feladat megoldása megadható egy negyedfokú polinommal a 2.3. lemma miatt. 1
1
2
0
4
1 1
8
2 1
4 2
0
8
2 1
31 15
4
1 1
16 7
26 11
3
4
1
57
1
99 42
16 5
1
163 64
22 6
1
256 93
29 7
1
3.6. táblázat A mezők számából keletkezett számpiramis
Ennek kiszámolását az előzőekhez hasonlóan a bn együtthatók meghatározásával kell kezdenünk: p 0 =1
→
p 1 =1
→
p 2 =2
→
p 3 =4
→
p 4 =8
→
0 =1 0
→
b0 = 1
1 1 + b1 =1 0 1
→
b1 = 0
2 2 2 + b1 +b2 =2 0 1 2
→
b2 = 1
→
b3 = 0
4 4 4 4 4 + b1 +b2 + b3 + b4 =8 → 0 1 2 3 4
b4 = 1
bo bo bo
3 3 3 3 + b1 +b2 + b3 =4 0 1 2 3
bo bo
Majd a behelyettesítés, és az egyszerűbb alakra ho zás következik; rendezzük az eredményeket, és megadjuk a zárt képletet: p n =1
n n n n n +0 +1 +0 +1 0 1 2 3 4
p n = 1+
n n−1 n n−1 n−2 n− 3 + 2! 4!
1 1 1 4 6 3 11 2 6 p n = 1 + n2 − n + n − n + n − n 2 2 24 24 24 24 p n =
n4 − 6n3 + 23n2 − 18n + 24 24
36
Ez a képlet tehát megadja, hogy 𝑛 pont között behúzott szakaszok, maximálisan hány részre vágják szét a kört. A 3.10. ábrán megfigyelhető, hogy a fekete f n = 2n−1 és a piros 𝑝 n megoldás a 1; 5 intervallumban azonos, ám ezt követően egyre nagyobb eltérés tapasztalható. Az ábra azt is jól szemlélteti, hogy miért volt olyan csábító az a feltételezés, hogy a részek száma mindig megkétszereződik.
3.9. ábra A 𝒑 𝒏 és az 𝒇 𝒏 = 𝟐𝒏−𝟏 függvények összehasonlítása
Mostanra már három módszerrel is kiszámolhatjuk a megadott pontokból a pontokhoz tartozó területek számát. Elsőként használhatjuk a 3.4. táblázat módszerét, ahol a pontok elhelyezkedése szerint rekurzívan adjuk meg az értéket, másrészről természetesen közvetlen 𝑛 pont esetén is megmondhatjuk a helyes megoldást az explicit képletünk segítségével. Még nem esett szó a harmadik módszerről, mely igen kényelmes és egyszerű. Felhasználva a 3.6. táblázat számpiramisát, ha a legalsó sorban a csupa 1-es konstans sorozatot folytatjuk, akkor ezt felhasználva visszafejthetőek a felsőbb sorok szomszédos elemei. Tehát akkor is eredményhez juthatunk, ha visszafele kitöltjük a piramist. Eltérő megoldásnak nem nevezhető, de alakra mindenképpen más, úgyhogy érdemes kiemelni, az alábbi megoldást. Varga Tamás cikkében megtalálható egy részlet Pólya Györggyel folytatott levelezéséből, melyben szó esik erről a feladatról. Ebben Pólya professzor egy másik képletet ismertet, amely binomiális együtthatókkal adja meg a végeredményt: p n =
n n n n n + + + + 0 1 2 3 4
37
Fontos megjegyezni, hogy ez az alak annyiban eltér a mi megoldásunktól, hogy az 𝑛 értékeket 1-gyel eltolva alkalmazza, tehát 𝑛 pont esetén például nem 2-t, hanem 4-et ad eredményül. Ez azért van így, mert Pólya György egy másik témakörből vett feladat megoldásával hozza párhuzamba ezt a problémát. Ez az alak az alábbi polinomot adja meg megoldásnak: p n =
n4 − 2n3 + 11n2 + 14n + 24 24
Látható, hogy a két képlet nagyon hasonló. A polinomunk kiszámolása közben természetesen mi is megtaláltuk a megfelelő binomiális együtthatós alakot, ám ez a helyes hozzárendelést alkalmazza: p n =
n n n + + 0 2 4
Ez a formula elég egyszerűnek tűnik, így várhatóan van mögöttes tartalma. Ismerve a végeredményt sikerült kombinatorikai magyarázatot találnom, mely egy újabb bizonyítást eredményez. Maga a kör területe 1 résznek felel meg, melyet most jelöljünk n formában. Ezt követően vizsgálnunk kell, mikor keletkezik új rész a körön belül. 0 Ha új húr jelenik meg a körben, akkor mindig lesz 1 új darab is, tehát minden húrhoz n tartozik egy új terület. A húrok száma pedig lesz, hiszen 𝑛 darab pontból kell 2 kiválasztanunk 2-t. Ezen kívül még akkor jön létre új darab, ha 2 húr metszi egymást. Itt a következő képpen kell gondolkodnunk; 1 metszésponthoz 4 oldal tartozik. Kezdetben van maga az 1 darab üres terület, azt már valamilyen formában számoltuk (vagy maga a kör, vagy húrból, metszéspontból keletkezett), majd a 2 szakasz behúzásakor még 2 oldal, hiszen ezek a szakaszok a már felhasznált húrok. Tehát minden metszéspont esetén csak 1 új szeletet kell feljegyeznünk. Bármely a kör kerületén lévő 4 pont között pontosan 1 olyan elrendezés van, amikor a pontokhoz tartozó szakaszok metszik egymást. Ez azt jelenti, hogy 𝑛 pont esetén a körben, maximálisan annyi metszéspont jöhet létre, ahány féle képpen kiválaszthatunk n 4 pontot, vagyis . Más módon nem jön létre új mező, vagyis ezen három komponens 4 összege lesz az összes rész száma.
38
Összefoglalás Dolgozatom célja az volt, hogy a nagyon egyszerű "Mi a szabály?" feladattal és a számsorozatok segítségével a különböző témák és korosztályok között példát mutassak ezek sokszínűségére. Kezdetben 3 számpárhoz kerestünk minél több eltérő szabályt, mely jó példa volt arra, hogy egy aluldefiniált feladat sok megoldást adhat. Gyakorló, ismétlő vagy esetleg összefoglaló óra keretében érdemes ilyet választani, ahol a gyerekek több nézőpontból vizsgálhatják a számokat. Miután kiismerték a függvények néhány sajátosságát, módszereket mutattunk, hogyan kell egy konkrét esetben, ahol felismertük a függvény típusát, kiszámolni annak együtthatóit, meghatározni a keresett szabályt. Ilyen módszerek voltak az egymást követő számok különbségeinek vizsgálata, mely a lineáris függvények kapcsán hozott eredményt, és a szomszédos tagok hányadosainak elemzése, mely az exponenciális összefüggésekhez volt alkalmazható. Tételeket ismertünk meg a polinomokkal kapcsolatban, melyeket a próbafüggvények mellett hasznosítottunk. Ezt követően pedig a különbségsorozatok tulajdonságait aknázhattuk ki, nem csak egy adott polinom kapcsán, de összetett feladatok megoldásához is. A köbszámok esetében megalkottunk egy explicit képletet, az első 𝑛 köbszám összegére, mellyel az előző tagok kiszámítása nélkül megkaphatjuk a kívánt értéket. Ezt az eredményt pedig, egy teljesen eltérő témakörben, az integrálszámítás megismertetése közben használtuk fel, ahol egy végtelen összeg határértékének kiszámításában volt nagy szerepe. A "pontok a körön" problémánál, egy rossz sejtés után sikeres konstrukciót adtunk a megoldásra, és a végeredmény előállításához ismét felhasználtuk a különbségsorozatok vizsgálatának technikáját. Ezt követően tovább elemeztük a végeredményt, és nem csupán három számolási módszert, de két teljesen eltérő bizonyítást is adtunk a feladatra. Ezekből a feladványokból jól látható, milyen sokoldalúan használhatóak a sorozatok, és az is, hogy bizonyos esetekben, milyen jó ugródeszka lehet egy jól bevált módszer alkalmazása. Ilyen volt a "pontok a körön" is, ahol miután megadtam a végeredmény 39
képletét, abból visszakövetkeztetve sikerült egyszerűbb és sokkal szebb bizonyítást adnom a kombinatorika segítségével. Ezt a frappáns megoldást magamtól nem sikerült n n n kigondolnom, de látva a p n = + + alakot, jelentést tudtam társítani az 0 2 4 egyes tagokhoz. Ez a dolgozat példa arra, hogyan lehet néhány probléma feltárásával megismerni egy-egy témakört, melyet a későbbiek során több helyen felhasználhatunk. A matematikában fontosnak tartom, hogy minél több eszköz legyen a kezünkben, olyanok mint a teljes indukció, a fordított gondolkozás, a különbségsorozatok vizsgálata, vagy esetleg csak a rajzolás, a jó ábra készítésének készsége. Remélem, hogy dolgozatommal én is új eszközt adhattam az olvasó repertoárjához.
40
Köszönetnyilvánítás Ez úton szeretném megköszönni a munkát témavezetőmnek Hraskó András egyetemi adjunktusnak, valamint Ambrus Gabriella egyetemi adjunktusnak akik rengeteg segítséget nyújtottak munkámhoz; feladatokkal és számos hasznos tanáccsal láttak el engem. Köszönetet mondok a BSc-s tanulmányaim alatt tanúsított végtelen szeretetért, kitartásért és bizalomért, szüleimnek Tóth Máriának és Szőnyi Gábornak, öcsémnek Szőnyi Tamásnak, Botos Renátának és Andrási Gábornak. Ezenkívül köszönök minden segítséget tanáraimnak, és hallgatótársaimnak.
41
Irodalomjegyzék 1. Varga Tamás: Pontok a kör kerületén, A Matematika Tanítása 1968/2. 2. Máté László: Rekurzív sorozatok, Tankönyvkiadó, Budapest, 1980. 3. Laczkovich Miklós és T. Sós Vera: Analízis I., Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2005. 4. Lovász László, Pelikán József és Vesztergombi Katalin : Diszkrét matematika, Typotex, Budapest, 2006. 5. Freud Róbert: Lineáris algebra, ELTE Eötvös kiadó, Budapest, 2007. 6. Hraskó András: Elemi matematika 4. jegyzet http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Hrasko_Andras/elte/em4/fsor04ha.pdf
7. Juhász Péter: Kombinatorikai feladatmegoldó gyakorlat http://www.cs.elte.hu/~jpet/01.pdf 8. Köbszámok összege http://hu.wikipedia.org/wiki/Köbszámok 9. Matematikai intézet http://www.cs.elte.hu
A grafikonok elkészítéséhez a Graph elnevezésű, szabad felhasználású programot használtam. A program letölthető az alábbi web címről: http://www.padowan.dk/ A 3.3. részben található ábrákat a körökről pedig a Geogebra programmal készítettem. A program internetes címe: http://www.geogebra.org/cms/
42
Nyilatkozat
Név: Szőnyi Gábor ELTE Te rmészettudományi Kar, s zak: Matematika BSc, Matematika-Fizika tanári NEPTUN azonosító: I4MGID Szakdolgozat címe: Feladatváltozatok és megoldások különböző korosztályoknak
A szakdolgozat szerzőjeként fegyelmi felelősségem tudatában kijelentem, hogy a dolgozatom önálló munkám eredménye, saját szellemi termékem, abban a hivatkozások és idézések standard szabályait következetesen alkalmaztam, mások által írt részeket a megfelelő idézés nélkül nem használtam fel.
Budapest, 2014. május 29.
_______________________________ a hallgató aláírása
43
