ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopravní
Statistika
Semestrální práce
Zdražování pohonných hmot
Jména:
Martina Jelínková, Jakub Štoudek
Studijní skupina:
2 37
Rok:
2012/2013
Obsah Úvod ........................................................................................................................................... 2 Použité značení ....................................................................................................................... 3 Naměřené hodnoty .................................................................................................................. 3 Bodový odhad ............................................................................................................................ 4 Intervalový odhad ....................................................................................................................... 5 Test hypotéz ............................................................................................................................... 6 Závěr........................................................................................................................................... 7 Použité zdroje ............................................................................................................................. 8 Seznam příloh ............................................................................................................................. 9 Příloha č. 1 – Bodový odhad ................................................................................................ 10 Příloha č. 2 – Intervalový odhad ........................................................................................... 11 Příloha č. 3 – Test hypotéz ................................................................................................... 12
1
Úvod Semestrální práce z předmětu Statistika zkoumá, jak řidiči reagují na zdražování pohonných hmot. Našim úkolem je zjistit, jak moc cena pohonné hmoty ovlivní počet najetých kilometrů. Přesněji jaká je mezní cena, kterou jsou lidé ochotni zaplatit za jeden litr, než začnou omezovat svůj počet najetých kilometrů, popřípadě využívat jiné dopravní prostředky. Hodnoty použité v této práci jsme získali z dotazníkového šetření zveřejněného na internetu. Data jsme zpracovali pomocí matematických metod a vzorců za pomoci počítačového programu MATLAB. Použité příkazy jsou v závěru práce jako přílohy. Program MATLAB nám umožnil výpočty, jako je intervalový odhad, bodový odhad a test hypotéz.
2
Použité značení: µ - střední hodnota
x - aritmetický průměr
s - směrodatná odchylka
s2- výběrový rozptyl
t - studentovo rozdělení
mo - modus
α - hladina významnosti
me - medián
n - počet
Naměřené hodnoty: Jak je již výše zmíněno, pomocí dotazníku jsme zjistili potřebné hodnoty. Vyšla nám tříděná data, kde x jsou ceny zdražování a y je četnost a z nich jsme následně dopočetli: zvýšení ceny o
x = [5,15,25]
četnost
y = [42,85,94]
celkový počet
n = 221
aritmetický průměr
x = 17,3529
modus
mo = 20
medián
me = 15
3
Bodový odhad Z použitých zdrojů jsme si dohledali vzoreček na výpočet odhadu střední hodnoty, který je 1 μ=x= ∙ n
n
xi i=1
a dále vzoreček na odhad rozptylu: 1 σ =s = ∙ n 2
n
2
xi − x
2
i=1
Výpočet X = [5,15,25] Y = [42,85,94 n = 221 Střední hodnota 1 x= ∙ n
n
xi i=1
x = 17,3529
Rozptyl a směrodatná odchylka 1 s = ∙ n
n
2
xi − x
2
i=1
s 2 = 56,0028 s = 7,4835
Výsledek Vypočetli jsme, že bodový rozptyl vychází x = (17,3526 ± 7,4835) Kč, což je zdražení, při kterém by spotřebitelé rapidně omezili spotřebu.
4
Intervalový odhad Vzorec pro výpočet je odhad střední hodnoty µ, ale náš případ je kdy neznáme σ 2, z toho důvodu použijeme tyto vzorce: x− μ s ~t n − 1 n p −t α
x − tα
2
≤
∙ 2
x− μ s ≤ tα n
s n
=1−α
2
≤ μ ≤ x + tα
∙ 2
s n
Výpočet
Intervalový odhad
X = [5,15,25]
α = 5%
Y = [42,85,94
s = 7,5004
n = 221
x = 17,3529 tα
2
= 1,9708
n = 221
μ = 17,3529 − 1,9708 ∙
7,5004 221
; 17,3529 + 1,9708 ∙
7,5004 221
μ = 16,3586; 18,3473 Výsledek Intervalový odhad na hranici 95 % nám vyšel 𝜇 = 16,3586; 18,3473 𝐾č , tento interval představuje zdražení v korunách, kdy by lidé omezili spotřebu pohonných hmot.
5
Test hypotéz Pro test hypotéz se využívá následující vzorec, ze kterého nám vyjde interval, a s ním porovnáme zvolené zdražení a určíme, zda hypotézu zamítneme nebo naopak.
p 0≤
x− μ s ≤ t2 n
= 1−α
Hypotéza zdražení H0 = 25 Kč/l
Intervalový odhad
HA = zpoždění > 25 Kč/l
α = 5% s = 7,5004
Výpočet
x = 17,3529
X = [5,15,25]
tα
Y = [42,85,94
n = 221
2
= 1,9708
n = 221
μ = 17,3529 − 1,9708 ∙
7,5004 221
;∞
μ = 16,3586, ∞
Výsledek Hypotéza zdražení nám ukázala, že H0 nezamítáme, neboť zdražení o 25 Kč/l spadá do vypočteného intervalu, který nám vyšel 𝜇 = 16,3586, ∞ Kč.
6
Závěr Semestrální práce z předmětu Statistika byla velmi zajímavá, neboť zvolené téma této práce je velmi aktuální a v dnešní době tuto problematiku řeší téměř každý. Zdražování pohonných hmot je velmi často zmiňované téma nejen u nás v médiích, ale i v celém světě. Naše práce ukázala, že i kdyby nadále cena pohonných hmot rostla, lidé by ji i přesto dále kupovali, což je celkem logické, neboť mnozí z nich musejí dojíždět za prací. Omezili by počet najetých kilometrů, až v případě kdyby cena vzrostla o téměř 20 Kč za litr. Spotřebitelé by byli ochotni jezdit beze změny až do té doby, kdy by cena jednoho litru pohonných hmot stála 55 Kč, pak by svoji spotřebu začali výrazně omezovat.
7
Použité zdroje HÁTLE, J., LIKĚŠ, J.: Základy počtu pravděpodobnosti a matematické statistiky. SNTL Alfa, 1972
www.fd.cvut.cz/personal/nagyivan/PrpStat/Stat/statistika
8
Seznam příloh Příloha č. 1 – Bodový odhad Příloha č. 2 – Intervalový odhad Příloha č. 3 – Test hypotéz
9
Příloha č. 1 – Bodový odhad %% BODOVY ODHAD X=[5,15,25]
%jednotlive zdrazeni
Y=[42,85,94]
%cetnost
n=sum(Y); mesicne
%pocet lidi kteri zmeni pocet ujetych km
Sx=X*Y' %soucet Sx=3835 prumer=1/n*Sx %bodovy odhad, metoda maximalni verohodnosti, Gaussovo-normalni rozdeleni prumer=17.3529 Z=[5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25] %netridena data
5 5 5 15 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 25 25 25 25 25
5 5 5 15 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 25 25 25 25 25
5 5 5 15 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 25 25 25 25 25
5 5 5 15 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 25 25 25 25 25
5 5 5 15 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 25 25 25 25 25
5 5 5 15 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 25 25 25 25 25
5 5 5 15 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 25 25 25 25 25
5 5 5 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 25 25 25 25 25 25
S2=1/n*sum((Z-prumer).^2) %rozptyl S2=56.0028 S=sqrt(S2) S=7.4835
%smerodatna odchylka
10
Příloha č. 2 – Intervalový odhad %% INTERVALOVY ODHAD X=[5,15,25]
%jednotlive zdrazeni
Y=[42,85,94]
%cetnost
Z=[5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25] %netridena data
5 5 5 15 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 25 25 25 25 25
5 5 5 15 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 25 25 25 25 25
5 5 5 15 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 25 25 25 25 25
5 5 5 15 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 25 25 25 25 25
5 5 5 15 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 25 25 25 25 25
5 5 5 15 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 25 25 25 25 25
5 5 5 15 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 25 25 25 25 25
5 5 5 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 25 25 25 25 25 25
n=length(Z); mesicne
%pocet lidi kteri zmeni pocet ujetych km
t=t_inv(1-0.025,n-1) vyznamnosti 5% t=1.9708
%studentovo rozdeleni, na hranici
prumer=mean(Z) prumer=17.3529
%prumer
S=std(Z) S=7.5004
%smerodatna odchylka
intervalovy_odhad=[prumer-S/sqrt(n)*t,prumer+S/sqrt(n)*t] %intervalovvy odhad intervalovy_odhad=<16.3586,18.3473>
11
Příloha č. 3 – Test hypotéz %% TEST HYPOTEZY X=[5,15,25]
%jednotlive zdrazeni
Y=[42,85,94]
%cetnost
Z=[5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25] %netridena data
5 5 5 15 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 25 25 25 25 25
5 5 5 15 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 25 25 25 25 25
5 5 5 15 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 25 25 25 25 25
5 5 5 15 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 25 25 25 25 25
5 5 5 15 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 25 25 25 25 25
5 5 5 15 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 25 25 25 25 25
5 5 5 15 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 25 25 25 25 25
5 5 5 15 15 15 15 15 15 15 25 25 25 25 25 25 25 25 25
n=length(Z); mesicne
%pocet lidi kteri zmeni pocet ujetych km
t=t_inv(1-0.025,n-1) vyznamnosti 5% t=1.9708
%studentovo rozdeleni, na hranici
prumer=mean(Z) prumer=17.3529
%prumer
S=std(Z) S=7.5004
%smerodatna odchylka
hypoteza=[prumer-S/sqrt(n)*t,inf.] hypoteza=<16.3586,inf)
12
