ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ – OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu
Kosmická geodézie úloha/zadání
název úlohy
Určování astronomických zeměpisných souřadnic a azimutu z měření na Slunce
5/ školní rok
2010/11
semestr
2
skupina
NG1-90
zpracoval
Jan Dolista, Radka Junová Rudolf Šrutka
datum
9. 5. 2011
klasifikace
Určování astronomických zeměpisných souřadnic a azimutu z měření na Slunce Zadání: 1. Z měřených zenitových vzdáleností Slunce a časů určete zeměpisnou šířku stanoviska. Zeměpisnou délku získáte výpočtem ze souřadnic pilíře na střeše budovy B, kde se měření uskuteční. Pro opravu z astronomické refrakce je nezbytné zjišťovat teplotu a atmosférický tlak. Údaje potřebné pro převody časů hledejte na http://maia.usno.navy.mil/. 2. Z měřených vodorovných směrů na Slunce a zvolený trigonometrický bod a registrovaných časů určete směrník vybraného pozemního cíle v S-JTSK. Číselné zadání:
Pilíř č.4 ve směru od kopule Hradčany, chrám sv. Víta
𝑋 [𝑚] 1040891.676 1042459.180
𝑌 [𝑚] 744945.041 744233.460
Vypracování: Veškeré výpočty byly provedeny v programu Octave.
1
Určení zeměpisné šířky
1.1
Měření
Měření bylo provedeno 22.3.2011. Použit byl teodolit Zeiss Theo 010 (č. 801286). Měřeny a zapisovány byly zenitové úhly a okamžiky měření. Časy byly měřeny pomocí pracovních stopek, kteé byly synchronizovány se středoevropským časem SEČ pomocí hodin řízených radiovým signálem. Každý člen měřil zenitové úhly dle schematu: ∙ 3x spodní okraj Slunce v I.poloze ∙ 3x spodní okraj Slunce v II.poloze ∙ 3x horní okraj Slunce v II.poloze ∙ 3x horní okraj Slunce v I.poloze Pozn.: Pořadí měření na spodní a horní okraj mohlo být zaměněno. V průběhu měření byla několikrát zaznamenána teplota a tlak. Teplota byla zaznamenávána častěji neboť se rychleji měnila. Hodnoty jsou uvedeny v přiložených zápisnících.
1.2
Vyhledání hodnot v tabulkách
Nejprve byl v astronomických tabulkách vyhledán greenwichský hvězdný čas pro světovou půlnoc daného dne. 𝑆0 = 11ℎ 56𝑚 37.218𝑠 Dále byla vyhledána rektascenze a deklinace pro datum měření a vypočteny 1. diference a to vždy jedna zpět a dvě následující k datu měření. Hodnoty rektascenze a deklinace jsou v tabulkách uvedeny v kroku 1 den a to vždy pro 0h terestrického času TČ. 𝛼0 ℎ 𝑚 0 3 44.5𝑠
∆𝐼−0.5 3𝑚 38.7𝑠
∆𝐼+0.5 3𝑚 38.5𝑠
∆𝐼+1.5 3𝑚 38.5𝑠
𝛿0 ∘ 0 24′ 19′′
∆𝐼−0.5 23′ 42′′
∆𝐼+0.5 23′ 41′′
∆𝐼+1.5 23′ 39′′
1.3
Převod okamžiku měření ze SEČ na TČ
Pro interpolaci v tabulkách bylo nutné převést okamžiky měření ze SEČ na čas terestrický, pro který jsou hodnoty tabelovány. Nejprve byly časy měření převedeny na časy UTC: 𝑈 𝑇 𝐶 = 𝑆𝐸𝐶 − 1ℎ a ty následně převedeny na čas terestrický TČ: 𝑇 𝐶 = 𝑈 𝑇 𝐶 + 34𝑠 + 32.184𝑠 kde 34𝑠 je rozdíl mezi koordinovaným časem UTC a atomovým časem TAI 32.184𝑠 je rozdíl mezi atomovým časem TAI a dynamickým časem TČ
1.4
Interpolace v astronomických tabulkách
Pro Slunce byly vyinterpolovány souřadnice 𝛼, 𝛿 pro každý okamžik měření. Použit byl Besselův interpolační polynom 2.stupně. Kromě 1.diferencí získaných z tabulek bylo tedy nutné dopočítat 2.diference 𝐼 𝐼 ∆𝐼𝐼 0 = ∆+0.5 − ∆−0.5 𝐼 𝐼 ∆𝐼𝐼 +1 = ∆+1.5 − ∆+0.5
a jejich průměr )︁ 1 (︁ 𝐼𝐼 ∆0 + ∆𝐼𝐼 +1 . 2 Rektascenze Slunce v okamžiku pozorování je pak dána vztahem:
∆𝐼𝐼 +0.5 =
1 𝛼 = 𝛼0 + 𝑛 · ∆𝐼+0.5 + 𝑛(𝑛 − 1) · ∆𝐼𝐼 +0.5 2 resp. deklinace v okamžik pozorování: 1 𝛿 = 𝛿0 + 𝑛 · ∆𝐼+0.5 + 𝑛(𝑛 − 1) · ∆𝐼𝐼 +0.5 , 2 kde 𝑛 = 𝑇𝐶
1.5
Hodinový úhel v okamžiku měření
Pro každý z okamžiků měření zenitové vzdálenosti byl určen hodinový úhel s použitím rektascenze vyinterpolované pro střed intervalu měření: 𝑡 = 𝑆0 + (𝑈 𝑇 𝐶 + 𝐷𝑈 𝑇 1) · (1 + 𝜇) + 𝜆 − 𝛼, kde 𝐷𝑈 𝑇 1 = −200.6907 𝑚𝑠 je rozdíl mezi rotačním časem UT1 a koordinovaným časem UTC získaný z Bulletinu B 1 + 𝜇 = 1.0027379093 je změna měřítka mezi hvězdným a slunečním časem 𝜆 je zeměpisná délka pilíře spočtená ze souřadnic v programu Matkart
1.6
Převod čtení v II. poloze
Pro měření byl použit stroj se setinným dělením kruhu, tedy: 𝑧 ′ = 400𝑔 − 𝑜𝐼𝐼 Pro čtení v I. poloze platí: 𝑧 ′ = 𝑜𝐼 Zenitové vzdálenosti 𝑧 ′ byly zároveň převedeny z grádů na stupně.
1.7
Oprava o refrakci, denní aberaci a paralaxu
Zenitové vzdálenosti byly opraveny o refrakci: (︁
)︁
𝑅′′ = 60.27′′ · tan 𝑧 ′ − 0.07′′ · tan3 𝑧 ′ ·
𝑏 1.0342 · 1048.6 1 + 0.00367 · 𝑡
kde 𝑡 je teplota v okamžiku měření v ∘ 𝐶 𝑏 je atm. tlak v 𝑚𝐵𝑎𝑟 o denní paralaxu: 𝜋 ′′ = 𝜋0 · sin 𝑧 ′ kde 𝜋0 = 8.794′′ je horizontální rovníková paralaxa Sluce o denní aberaci: ∆𝑧 ′′ = −0.32′′ · cos 𝜙 · sin 𝑎 cos 𝑧 ′ kde 𝜙 je zem. šířka pilíře určená ze souřadnic v programu Matkart 𝑎 je astronomický azimut určený z nautického trojúhelníka: (︂
𝑎 = arcsin
sin 𝑡 · cos 𝛿 sin 𝑧
)︂
Opravená zenitová vzdálenost pak je: 𝑧 = 𝑧 ′ + 𝑅 + 𝜋 + ∆𝑧
1.8
Určení zeměpisné šířky 𝜙
Z nautickeho trojúhelníka platí kosinová věta: cos 𝑧 = sin 𝜙 · sin 𝛿 + cos 𝜙 · cos 𝛿 · cos 𝑡 1.8.1
Zavedení substitucí
Do kosínové věty jsou zavedeny substituce: sin 𝛿 = 𝑚 sin 𝑀 cos 𝛿 · cos 𝑡 = 𝑚 sin 𝑀 Po umocnění obou výrazů a jejich sečtení lze ze substitucí vyloučit proměnnou 𝑀 a tedy vyjádřit neznámou 𝑚: √︁ 𝑚 = sin2 𝛿 + cos2 𝛿 · cos2 𝑡 Obdobně lze poměrem obou substitucí vyloučit proměnnou 𝑚 a získat výraz pro proměnnou 𝑀 : tan 𝛿 cos 𝑡 Dosazením substitucí do kosínové věty je získán výraz: tan 𝑀 =
cos 𝑧 = 𝑚 sin 𝑀 · sin 𝜙 + 𝑚 cos 𝑀 · cos 𝜙 Aplikací součtového vzorce je získán výraz: cos 𝑧 = cos(𝜙 − 𝑀 ) 𝑚 Následně je pak vyjádřena zeměpisná šířka: cos 𝑧 𝜙 = 𝑀 + arccos 𝑚 (︂
)︂
Z daného vztahu byla určena zeměpisná šířka pro každou z dvojic měřená zenitová vzdálenost - hodinový úhel (závislý na okamžiku měření). Výsledná zeměpisná šířka určovaného bodu byla určena aritmetickým průměrem dílčích výsledků a to nejprve zvlášť pro každého člena skupiny a následně pro celou skupinu.
1.9
Číselné výsledky
měření 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 průměr
50∘ 50∘ 50∘ 50∘ 50∘ 50∘ 49∘ 49∘ 49∘ 49∘ 49∘ 49∘ 50∘
Dolista 30′ 37.289′′ 30′ 02.146′′ 30′ 21.058′′ 31′ 59.894′′ 31′ 57.052′′ 31′ 48.310′′ 43′ 29.531′′ 43′ 42.484′′ 43′ 51.595′′ 42′ 01.605′′ 42′ 07.283′′ 42′ 10.832′′ 07′ 00.757′′
49∘ 49∘ 49∘ 49∘ 49∘ 49∘ 50∘ 50∘ 50∘ 50∘ 50∘ 50∘ 50∘
𝜙 Junová 43′ 02.469′′ 42′ 53.361′′ 43′ 04.666′′ 44′ 58.684′′ 45′ 10.157′′ 45′ 26.303′′ 29′ 49.109′′ 29′ 39.619′′ 29′ 43.899′′ 27′ 40.243′′ 27′ 41.462′′ 27′ 33.737′′ 06′ 23.642′′
50∘ 50∘ 50∘ 50∘ 50∘ 50∘ 49∘ 49∘ 49∘ 49∘ 49∘ 49∘ 50∘
Šrutka 26′ 57.927′′ 33′ 36.487′′ 26′ 43.582′′ 28′ 06.936′′ 28′ 10.578′′ 28′ 03.070′′ 39′ 43.239′′ 46′ 35.925′′ 46′ 50.319′′ 38′ 37.643′′ 45′ 20.142′′ 52′ 07.615′′ 06′ 44.455′′
Průměrná zeměpisná šířka určovaného bodu za skupinu: 𝜙 = 50∘ 06′ 42.951′′ Zeměpisná šířka bodu určená ze souřadnic: 𝜙 = 50∘ 06′ 16.281′′
1 - Jan Dolista, 2 - Radka Junová, 3 - Rudolf Šrutka, 4 - průměr, 5 - ze souřadnic
2
Určení azimutu
2.1
Měření
Měření bylo provedeno 22.3.2011. Použit byl opět přístroj Zeiss Theo 010 (č. 801286), pomocí kterého byly měřeny vodorovné směry na kostel a Slunce. Ke směrům na Slunce byly rovněž registrovány časy měření, k tomu byly použity ruční stopky synchronizované s hodinanmi řízenými radiovým signálem. Každý z členů skupiny zaměřil dvě jednotky dle schematu: ∙ vodorovný směr na kostel v I.poloze ∙ vodorovný směr na levý okraj Slunce v I.poloze ∙ vodorvný směr na pravý okraj Slunce v II.poloze ∙ vodorovný směr na levý okraj Slunce v I.poloze ∙ vodorvný směr na pravý okraj Slunce v II.poloze ∙ vodorovný směr na kostel v II.poloze Mezi I. a II.polohou při měření na Slunce musel být dodržen maximální časový odstup 2 minuty.
2.2
Zpracování zápisníku
Pro měření byl použit zápisník astronomické orientace na Slunce, který byl spočten dle pokynů v záhlaví. Nejprve byl vypočten průměr z měření v I. a II.poloze a také průměr z časů měření v I. a II.poloze. Výpočtem průměru z I. a II.polohy měření na Slunce byl vodorovný směr vztažen ke středu Slunce ačkoliv měření bylo prováděna na jeho levý, resp. pravý okraj. Díky tomu mohla být dále použita rektascenze a deklinace uváděná v astronomických tabulkách. Následně byl jako rozdíl dvou směrů vypočten vodorovný úhel 𝜔 mezi kostelem a středem Slunce.
2.3
Hodinový úhel v okamžiku měření
Hodinový úhel byl spočten stejným způsobem jako při určování zeměpisné šířky a to včetně převodu časů a interpolace v astronomických tabulkách (viz. kap. 1.2 - 1.5).
2.4
Určení azimutu 𝐴
Azimut Slunce se spočte z nautického trojúhelníka jako: sin 𝑡 · cos 𝛿 𝑎 = arctan sin 𝜙 · cos 𝛿 · cos 𝑡 − cos 𝜙 · sin 𝛿 ′
(︂
)︂
kde 𝜙 je zem. šířka pilíře spočtená ze souřadnic v programu Matkart Takto určený azimut byl opraven o denní aberaci (denní paralaxa je zanedbatelná): 𝛿𝑎 = −0.32′′ · cos 𝜙 · cos 𝑎′ · cos 𝑧 kde 𝑧 je zenitová vzdálenost spočtená z nautického trojúhelníka: (︂
𝑧 = arcsin
sin 𝑡 · cos 𝛿 sin 𝑎′
)︂
Azimut Slunce opravený o denní aberaci je pak: 𝑎 = 𝑎′ + 𝛿𝑎 Azimut věže kostela A se spočte jako: 𝐴 = 180∘ + 𝑎 + 𝜔 kde 𝜔 je vodorovný úhel mezi věží kostela a středem Slunce.
2.5
Určení směrníku 𝜎
Výsledný směrník je pak určen vztahem: 𝜎 = 𝐴 − 180∘ + 𝑐 + 10′′ kde 𝑐 = −7∘ 51′ 29.1322′′ je meridiánová konvergence, která byla spočtena v programu Matkart 10′′ je rozdíl mezi astronomickým a geodetickým poledníkem
2.6
Číselné výsledky
měření 1 2 3 4 průměr
Dolista ∘ 335 48′ 19.898′′ 335∘ 34′ 46.909′′ 335∘ 34′ 50.968′′ 335∘ 34′ 49.317′′ 335∘ 34′ 49.065′′
𝜎𝑃 4,𝑉 𝑖𝑡 Junová 335∘ 34′ 37.141′′ 335∘ 34′ 45.315′′ 335∘ 07′ 48.023′′ 335∘ 34′ 50.014′′ 335∘ 34′ 44.157′′
Šrutka 34′ 49.395′′ ∘ 335 34′ 51.803′′ 335∘ 23′ 53.484′′ 335∘ 34′ 45.123′′ 335∘ 34′ 48.774′′ 335∘
Pozn.: Hodnoty zvýrazněné tučně byly z výpočtu průměru vyloučeny kvůli velké odlehlosti od ostatních hodnot.
Průměrný směrník z pilíře č.4 na chrám sv.Víta za skupinu: 𝜎 = 335∘ 34′ 47.331′′ Směrník určený ze souřadnic: 𝜎 = 335∘ 35′ 02.206′′
Závěr: Z měření zenitových vzdáleností na Slunce a časů měření byla vypočtena zeměpisná šířka stanoviska. Průměrná hodnota z měření celé skupiny je 50∘ 06′ 42.951′′ . Hodnota určená ze souřadnic pilíře je 50∘ 06′ 16.281′′ . Dosažený rozdíl tedy činí 26.670′′ . Dílčí výsledky každého z členů skupiny jsou uvedeny v technické zprávě včetně zobrazení bodů v mapě. Z měřených vodorovných směrů na Slunce a věž kostela a časů měření byl vypočten směrník stanoviska a chrámu sv. Víta. Výsledná hodnota byla spočtena jako průměr z měření všech členů skupiny, tj. 335∘ 34′ 47.331′′ . Směrník určený ze souřadnic má hodnotu 335∘ 35′ 02.206′′ . Rozdíl tedy činí 14.875′′ .
V Praze 4.5.2011
Jan Dolista Radka Junová Rudolf Šrutka
