ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ – OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu
Fyzikální geodézie úloha/zadání
název úlohy
Gravitační potenciál a jeho derivace
2/7 školní rok
2010/11
semestr
1
skupina
NG1-88
zpracoval
datum
Jan Dolista
10. 11.
klasifikace
Gravitační potenciál a jeho derivace Zadání: 1. Zemské těleso lze v prvním přiblížení nahradit koulí téhož objemu pomocí středního průvodiče 𝑅 a střední hustoty 𝜎 konstantní v celém objemu. Pro tuto homogenní kouli určete hodnoty gravitačního potenciálu a jeho první i druhé derivace na jejím povrchu i v daných hloubkách ℎ𝑖 a též nad jejím povrchem ve výškách 𝐻𝑖 podle numerického zadání. Vypočtené hodnoty využijte k zakreslení průběhu těchto tří funkcí. 2. Obdobně postupujte v případě, že Zemi nahradíte dvěma homogenními kulovými vrstvami o tloušťkách daných poloměry 𝑅1 , 𝑅2 , 𝑅3 a hustotách 𝜎1 a 𝜎2 . Body, v nichž budete určovat gravitační potenciál a jeho derivace, volte podle vlastního uvážení vně, ve "vnitřním"prostoru (dutině) i uvnitř vlastních hmotností tohoto sféricky symetrického tělesa. Průběhy zkoumaných funkcí porovnejte s předchozím případem a v závěru úlohy okomentujte. Číselné zadání 7: 𝑅 = 6, 371 · 106 𝑚 𝐺 = 6, 672 · 1011 𝑚3 · 𝑘𝑔 −1 · 𝑠−2 𝜎 = 5, 520 𝑔 · 𝑐𝑚−3 ℎ𝑖 = [0, 33, 413, 984, 2000, 2898, 4000, 4980, 5120, 6371] 𝑘𝑚 𝐻𝑖 = [0, ..., 25000] 𝑘𝑚, kde v uvedeném rozmezí vhodně zvolte alespoň 20 výpočetních výšek 𝑅3 = 𝑅 𝑅2 = 𝑅3 − 𝑛 · 2 𝑘𝑚 𝑅1 = 𝑅2 − (𝑘 + 7) · 4 𝑘𝑚 𝑛=7 𝑘 = 88 Hustoty vrstev 𝜎1 a 𝜎2 převezměte z Bullenova hustotního modelu Země (typ A’) podle toho, do které Bullenovy zóny modelu A’ spadne vnitřní rozhraní vaší vrstvy.
Vypracování: Veškeré výpočty byly provedeny v programu Octave.
1 1.1
Gravitační potenciál homogenní koule Uvnitř koule
Zadaná hloubka pod povrchem Země byla převedena na délku průvodiče ze středu Země k potenciálovému bodu 𝜌𝑖 = 𝑅 − ℎ𝑖 . Jelikož potenciálový bod leží uvnitř homogenní koule, byly použity vzorce pro vnitřní bod: 2 𝑉𝑖 = − 𝜋 𝐺 𝜎 𝜌2𝑖 + 2 𝜋 𝐺 𝜎 𝑅2 3 𝜕𝑉𝑖 4 = − 𝜋 𝐺 𝜎 𝜌𝑖 𝜕𝜌 3 𝜕 2 𝑉𝑖 4 =− 𝜋 𝐺𝜎 𝜕𝜌2 3
1.2
Vně koule
Zadaný interval pro výšku byl rozdělen rovnoměrně na 20 hodnot, tedy po 1250 km. Poté byla vypočtena délka průvodiče ze středu Země k potenciálovému bodu 𝜌𝑒 = 𝑅 + 𝐻𝑖 . Pro výpočet gravitačního potenciálu a jeho derivací byly použity vzorce pro vnejší bod: 𝑉𝑒 =
𝑅3 4 𝜋𝐺𝜎 3 𝜌𝑒
𝜕𝑉𝑒 4 𝑅3 =− 𝜋 𝐺𝜎 2 𝜕𝜌 3 𝜌𝑒 𝜕 2 𝑉𝑒 8 𝑅3 = 𝜋 𝐺 𝜎 𝜕𝜌2 3 𝜌3𝑒 Vypočtené hodnoty gravitačního potenciálu a jeho derivací byly vyneseny do grafu jako funkce průvodiče.
2
Gravitační potenciál kulových vrstev
Nejprve byly vypočteny průměry kulových vrstev: 𝑅1 = 5977000 𝑚 𝑅2 = 6357000 𝑚 𝑅3 = 6371000 𝑚 Poté byly z Bullenova hustotního modelu Země určeny hustoty pro obě kulové vrstvy: 𝜎1 = 3640 𝑘𝑔 · 𝑚−3 𝜎2 = 3320 𝑘𝑔 · 𝑚−3 Gravitační potenciál a jeho 1. a 2. derivace byly počítány aditivně, tedy jako součet příspěvků 1. a 2. vrstvy. Z tohot důvodu byl průvodič pro výpočet rozdělen do čtyř intervalů a to 𝜌1 ∈ ⟨0, 𝑅1 ⟩, 𝜌2 ∈ ⟨𝑅1 , 𝑅2 ⟩, 𝜌3 ∈ ⟨𝑅2 , 𝑅3 ⟩ a 𝜌4 ∈ ⟨𝑅3 , 25000𝑘𝑚⟩. Pro každý z těchto intervalů lze jednoznačně určit, zda je potenciálový bod, k němuž je průvodič vztažen, pro vrstvy 1 a 2 v dutině, uvnitř vrstvy nebo vnějším bodem. V každém intervalu bylo zvoleno 10 hodnot délky průvodiče, rovnoměrně rozložených.
2.1
Průvodič z intervalu ⟨0, 𝑅1 ⟩
Pro vrstvu 1 je bod v dutině. Příspěvek této vrstvy k celkovému potenciálu v daném bodě a jeho 1. a 2. derivace je určen ze vzorců: 𝑉𝑑1 = 2 𝜋 𝐺 𝜎1 (𝑅22 − 𝑅12 ) 𝜕𝑉𝑑1 =0 𝜕𝜌 𝜕 2 𝑉𝑑1 =0 𝜕𝜌2 Pro vrstvu 2 je bod rovněž v dutině. Příspěvek této vrstvy je tedy: 𝑉𝑑2 = 2 𝜋 𝐺 𝜎2 (𝑅32 − 𝑅22 ) 𝜕𝑉𝑑2 =0 𝜕𝜌 𝜕 2 𝑉𝑑2 =0 𝜕𝜌2 Výsledný potenciál pro daný bod a hodnoty 1. a 2. derivace jsou určeny součtem obou příspěvků: 𝑉1 = 𝑉𝑑1 + 𝑉𝑑2 𝜕𝑉1 𝜕𝑑𝑉𝑑1 𝜕𝑑𝑉𝑑2 = + 𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝜕 2 𝑉1 𝜕 2 𝑉𝑑1 𝜕 2 𝑉𝑑2 = + 𝜕𝜌2 𝜕𝜌2 𝜕𝜌2
2.2
Průvodič z intervalu ⟨𝑅1 , 𝑅2 ⟩
Pro vrstvu 1 je bod uvnitř vrstvy. Pro příspěvek této vrstvy k celkovému potenciálu v daném bodě a jeho 1. a 2. derivace platí vzorce: 𝑉𝑖1 = −
𝑅3 2 4 𝜋 𝐺 𝜎1 𝜌22 − 𝜋 𝐺 𝜎1 1 + 2 𝜋 𝐺 𝜎1 𝑅22 3 3 𝜌2
𝜕𝑉𝑖1 4 4 𝑅3 = − 𝜋 𝐺 𝜎1 𝜌2 + 𝜋 𝐺 𝜎1 21 𝜕𝜌 3 3 𝜌2
𝜕 2 𝑉𝑖1 𝑅13 4 8 = − 𝜋 𝐺 𝜎 − 𝑝𝑖 𝐺 𝜎 1 1 𝜕𝜌2 3 3 𝜌32 Pro vrstvu 2 je bod stále v dutině a platí tedy vzorce: 𝑉𝑑2 = 2 𝜋 𝐺 𝜎2 (𝑅32 − 𝑅22 ) 𝜕𝑉𝑑2 =0 𝜕𝜌 𝜕 2 𝑉𝑑2 =0 𝜕𝜌2 Výsledný potenciál a jeho 1. a 2. derivace jsou opět součet obou příspěvků: 𝑉2 = 𝑉𝑖1 + 𝑉𝑑2 𝜕𝑉2 𝜕𝑉𝑖1 𝜕𝑉𝑑2 = + 𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝜕 2 𝑉2 𝜕 2 𝑉𝑖1 𝜕 2 𝑉𝑑2 = + 𝜕𝜌2 𝜕𝜌2 𝜕𝜌2
2.3
Průvodič z intervalu ⟨𝑅2 , 𝑅3 ⟩
Pro vrstvu 1 se jedná o vnější bod. Příspěvek této vrstvy je tedy dle vzorců: 𝑉𝑒1 =
4 𝑅3 − 𝑅13 𝜋 𝐺 𝜎1 2 3 𝜌3
4 𝑅3 − 𝑅3 𝜕𝑉𝑒1 = − 𝜋 𝐺 𝜎1 2 2 1 𝜕𝜌 3 𝜌3 8 𝑅3 − 𝑅3 𝜕 2 𝑉𝑒1 = 𝜋 𝐺 𝜎1 2 3 1 2 𝜕𝜌 3 𝜌3 Bod leží uvnitř vrstvy 2 a tedy její příspěvek je dán vzorci: 𝑉𝑖2 = −
4 𝑅3 2 𝜋 𝐺 𝜎2 𝜌23 − 𝜋 𝐺 𝜎2 2 + 2 𝜋 𝐺 𝜎2 𝑅32 3 3 𝜌3
𝜕𝑉𝑖2 4 4 𝑅3 = − 𝜋 𝐺 𝜎2 𝜌3 + 𝜋 𝐺 𝜎2 22 𝜕𝜌 3 3 𝜌3 4 8 𝑅23 𝜕 2 𝑉𝑖2 = − 𝜋 𝐺 𝜎 − 𝜋 𝐺 𝜎 2 2 𝜕𝜌2 3 3 𝜌33 Výsledný potenciál a hodnoty 1. a 2. derivace jsou součtem příspěvků obou vrstev: 𝑉3 = 𝑉𝑒1 + 𝑉𝑖2 𝜕𝑉3 𝜕𝑉𝑒1 𝜕𝑉𝑖2 = + 𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝜕 2 𝑉3 𝜕 2 𝑉𝑒1 𝜕 2 𝑉𝑖2 = + 𝜕𝜌2 𝜕𝜌2 𝜕𝜌2
2.4
Průvodič z intervalu ⟨𝑅3 , 25000𝑘𝑚⟩
Pro vrstvu 1 se jedná o vnější bod a platí tedy vzorce: 𝑉𝑒1 =
4 𝑅3 − 𝑅13 𝜋 𝐺 𝜎1 2 3 𝜌4
𝜕𝑉𝑒1 4 𝑅3 − 𝑅3 = − 𝜋 𝐺 𝜎1 2 2 1 𝜕𝜌 3 𝜌4 8 𝜕 2 𝑉𝑒1 𝑅23 − 𝑅13 = 𝜋 𝐺 𝜎 1 𝜕𝜌2 3 𝜌34 Pro vrstvu 2 se rovněž jedná o vnější bod a tedy vzorce jsou obdobné: 𝑉𝑒2 =
𝑅3 − 𝑅23 4 𝜋 𝐺 𝜎2 3 3 𝜌4
𝜕𝑉𝑒2 4 𝑅3 − 𝑅3 = − 𝜋 𝐺 𝜎2 3 2 2 𝜕𝜌 3 𝜌4 8 𝜕 2 𝑉𝑒2 𝑅33 − 𝑅23 = 𝜋 𝐺 𝜎 2 𝜕𝜌2 3 𝜌34 Výsledný potenciál a jeho 1. a 2. derivace jsou opět součet obou příspěvků: 𝑉4 = 𝑉𝑒1 + 𝑉𝑒2 𝜕𝑉4 𝜕𝑉𝑒1 𝜕𝑉𝑒2 = + 𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝜕𝜌 𝜕 2 𝑉4 𝜕 2 𝑉𝑒1 𝜕 2 𝑉𝑒2 = + 𝜕𝜌2 𝜕𝜌2 𝜕𝜌2 Pro průvodič ležící na rozhranní intervalů byla hodnota gravitačního potenciálu a jeho derivací vypočtena ze vzorců platných pro oba intervaly a následně obě hodnoty vyneseny do grafu. Tak bylo určeno zda, je funkce na rozhraní vrstev spojitá či nikoliv. Na závěr byly hodnoty gravitačního potenciálu a jeho derivací vyneseny do grafu jako funkce délky průvodiče.
Závěr: Byl vypočten gravitační potenciál a jeho 1. a 2. derivace pro Zemi nahrazenou nejprve homogenní koulí a poté dvěmi kulovými vrstvami. Výsledky byly vyneseny do grafů a oba způsoby nahrazení porovnány. Porovnáním obou modelů bylo zjištěno, že vně Země je průběh funkce gravitačního potenciálu stejný pro oba modely. Funkce je klesající konvexní. Liší se však hodnota potenciálu, což je způsobeno různou hustotou použitou v modelech. Uvnitř Země je však průběh funkce u obou modelů značně rozdílný. Zatímco pro homogenní kouli je funkce klesající konkávní, pro dvě kulové vrstvy je funkce nejprve konstatní (dutina) a dále klesající (průchod vrstvami). Obdobný je i průběh 1. derivace. Vně Země mají oba modely stejný průběh. Rostoucí, konkávní funkce. Uvnitř homogenní koule je průběh 1. derivace klesající lineární funkce. Pro dvě kulové vrstvy je hodnota 1. derivace nejprve rovna 0 (dutina) a poté klesající lineární funkce (průchod vrstvami). První derivace je vždy záporná. Pro homogenní kouli je 2. derivace nejprve konstatní (uvnitř koule) a poté klesající konvexní funkce (vně koule). Pro model se dvěma kulovými vrstvami je 2. derivace nejprve rovna 0 (dutina), poté rostoucí funkce (průchod vrstvami) a vně Země klesající konvexní funkce. Vně Země je pro oba modely průběh 2. derivace opět obdobný. Z grafů je rovněž patrné, že gravitační potenciál a 1. derivace jsou spojité, zatímco 2. derivace je nespojitá na rozhraní vrstev. Výpočty byly provedeny v programu Octave.
Přílohy: 1. Zdrojový kód pro výpočet v programu Octave
V Kralupech nad Vltavou 10.11.2010
Jan Dolista (
[email protected])
