ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ – OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu
Kosmická geodézie úloha/zadání
název úlohy
Průběh geoidu z altimetrických měření
4/003 školní rok
2010/11
semestr
2
skupina
NG1-90
zpracoval
datum
Jan Dolista
02. 05.
klasifikace
Průběh geoidu z altimetrických měření Zadání: Jsou dána redukovaná altimetrická měření na dvou vzestupných a dvou sestupných přeletech družice TOPEX/Poseidon. Data naleznete v adresáři ftp://athena.fsv.cvut.cz/KGD/altimetrie. Zjištěná výška družice je zatížena systematickou chybou, kterou považujte za konstantu, různou pro každý přelet. Velikost této chyby určete pro jednotlivé přelety nad daným územím na základě rozdílných hodnot v bodech křížení. Výpočet proveďte vyrovnáním podle zprostředkujících měření s podmínkou, aby součet oprav ze systematických chyb byl roven nule. Opravené výšky jsou podkladem pro zobrazení průběhu geoidu dané oblasti. Číselné zadání 003: Soubor měření: zadani_-66_075.003
Vypracování: Veškeré výpočty byly provedeny v programu Octave.
1
Určení systematické chyby jednotlivých přeletů
V souboru měření, který má strukturu: č. subsat. bodu
𝜆[∘ ]
𝜙[∘ ]
ℎ𝑒𝑙 [𝑚]
ℎ𝑟𝑒𝑑 𝑎𝑙𝑡 [𝑚]
MDJ,
je ve čtvrtém sloupci výška družice nad referenčním elipsoidem určená z efemerid a v pátem sloupci pak redukovaná altimetrická výška určená z měření družice. Rekudovaná altimetrická výška je výška naměřená altimetrem opravená o excentricitu antény, konstantní složku mořské topografie (SST(p)) variabilní složku mořské topografie (SST(v)) a mořské slapy (T). Redukovaná altimetrická výška je tedy vztažena ke střední hladině moře, pomocí které je definován geoid. Odlehlost geoidu a referenčního elipsoidu je tedy dána vztahem: 𝑁 = ℎ𝑒𝑙 − ℎ𝑟𝑒𝑑 𝑎𝑙𝑡 Soubor měření svým rozsahem pokrývá území od 59∘ do 66∘ jižní šířky a od 75∘ do 105∘ východní délky. V daném rozsahu jsou 4 přelety družice, z toho dva vzestupné a dva sestupné. Body křížení přeletů označené A,B,C,D byly použity k určení systematických chyb jednotlivých přeletů. Odlehlost geoidu od elipsoidu v těchto bodech určená z jednotlivých přeletů by měla být až na systematickou chybu stejná. Odlehlosti byly v těchto bodech pro každý přelet určeny lineární interpolací ze dvou sousedních subsatelitních bodů. Pro účel interpolace byly zeměpisné souřadnice bodů považovány za pravoúhlé a byla vypočtena délka v rovině Marinova zobrazení (tzv. čtvercová mapa) [1] vydělená poloměrem Země (pro interpolaci je používán pouze poměr délek, vydělení konstantou tedy výsledek nijak neovlivní). Toto zobrazení má sice značné délkové zkreslení v polednících, které roste směrem k pólům, pro účely interpolace je však takto určená délka dostatečná.
Pro každý z bodů křížení byla odlehlost určena dvakrát a lze tedy sestavit rovnici pozorování pro vyrovnání MNČ: 𝑁𝐴1 + 𝑑ℎ1 = 𝑁𝐴4 + 𝑑ℎ4 𝑁𝐵1 + 𝑑ℎ1 = 𝑁𝐵2 + 𝑑ℎ2 𝑁𝐶2 + 𝑑ℎ2 = 𝑁𝐶3 + 𝑑ℎ3 𝑁𝐷3 + 𝑑ℎ3 = 𝑁𝐷4 + 𝑑ℎ4, kde 𝑁𝑋𝑖 je odlehlost bodu X určená z i-tého přeletu, a 𝑑ℎ𝑖 je systematická chyba daného přeletu. Jednoduchou úpravou lze rovnice zapsat ve tvaru: 𝑁𝐴1 − 𝑁𝐴4 = 𝑑ℎ4 − 𝑑ℎ1 𝑁𝐵1 − 𝑁𝐵2 = 𝑑ℎ2 − 𝑑ℎ1 𝑁𝐶2 − 𝑁𝐶3 = 𝑑ℎ3 − 𝑑ℎ2 𝑁𝐷3 − 𝑁𝐷4 = 𝑑ℎ4 − 𝑑ℎ3 Levé strany rovnic pak tvoří vektor měření 𝑙 , derivací pravých stran podle neznámých systematických chyb 𝑑ℎ1, 𝑑ℎ2, 𝑑ℎ3, 𝑑ℎ4 dostaneme matici plánu 𝐴 : ⎛ ⎜ ⎜ 𝑙=⎜ ⎜ ⎜ ⎝
𝑁𝐴1 − 𝑁𝐴4 𝑁𝐵1 − 𝑁𝐵2 𝑁𝐶2 − 𝑁𝐶3 𝑁𝐷3 − 𝑁𝐷4 0
⎞
⎛
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
⎜ ⎜ 𝐴=⎜ ⎜ ⎜ ⎝
−1 0 0 1 −1 1 0 0 0 −1 1 0 0 0 −1 1 1 1 1 1
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
Vektor měření i matice plánu byly rozšířeny o řádek odpovídající pseudoměření, které do výpočtu zavádí podmínku: 𝑑ℎ1 + 𝑑ℎ2 + 𝑑ℎ3 + 𝑑ℎ4 = 0
Vektor vyrovnaných neznámých je určen vyrovnáním MNČ: ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
𝑑ℎ1 𝑑ℎ2 𝑑ℎ3 𝑑ℎ4
⎞ ⎟ (︁ )︁−1 ⎟ 𝐴𝑇 𝑙 ⎟ = 𝐴𝑇 𝐴 ⎠
Jelikož rovnice pozorování jsou lineární, není v daném případě nutné provádět kontrolu linearizace pomocí I. a II. výpočtu oprav.
2
Určení zbytkové chyby v bodech křížení
Odlehlosti v bodech křížení byly opraveny o systematické chyby. Odlehlosti bodů křížení určené z různých přeletů však ani poté nebudou stále stejné, neboť budou zatíženy zbytkovou chybou. Proto byla odlehlost v bodech křížení určena jako průměr z obou přeletů: 𝑁𝐴 =
𝑁𝐴1 + 𝑑ℎ1 + 𝑁𝐴4 + 𝑑ℎ4 2
𝑁𝐵1 + 𝑑ℎ1 + 𝑁𝐵2 + 𝑑ℎ2 2 𝑁𝐶2 + 𝑑ℎ2 + 𝑁𝐶3 + 𝑑ℎ3 𝑁𝐶 = 2 𝑁𝐷3 + 𝑑ℎ3 + 𝑁𝐷4 + 𝑑ℎ4 𝑁𝐷 = 2 Pro každý z bodů křížení a příslušný přelet byla určena zbytková chyba jako rozdíl odlehlosti opravené o systematickou chybu od průměru. 𝑁𝐵 =
3
Určení odlehlosti geoidu od referenčního elipsoidu v subsatelitních bodech
Pro každý ze subsatelitních bodů byla ze souboru měření určena odlehlost geoidu od elipsoidu a opravena o systematickou chybu podle toho, kterému z přeletů bod přísluší. Zbytková chyba pro každý subsatelitní bod byla určena lineární interpolací resp. extrapolací ze známých hodnot zbytkových chyb v bodech křížení. Každému přeletu přísluší dva body křížení ve kterých je známa zbytková chyba. Těmito hodnotami byla proložena přímka a určena její směrnice. Zbytková chyba v subsatelitních bodech pak byla určena na základě vzdálenosti od bodů křížení. Použita byla opět vzdálenost ze „čtvercové“ mapy. Výsledná odlehlost je pak součtem měřené hodnoty, systematické chyby a zbytkové chyby.
4
Zpracování výstupů
Grafické výstupy byly vytvořeny v programu ArcGIS. Pro interpolaci modelu geoidu z měřených hodnot v subsatelitních bodech byla použita metoda spline. Model byl zvýrazněn pomocí barevné hypsometrie a pomocí vrstevnic. Krok vrstevnic byl volen 1m, vrstevnice v kroku 5m byly zvýrazněny a doplněny popisem.
5
Výsledky
Odlehlost geoidu a referenčního elipsoidu v bodech křížení drah: bod
A B C D
𝜙
𝜆
N1
dh1
∘
∘
[m] 9.01 3.21 — —
[m] -0.24 -0.24 — —
[ ] 89.3582 93.5620 89.3626 85.0607
[ ] -61.9676 -63.0880 -63.9867 -63.0885
N1 + dh1 [m] 8.78 2.97 — —
N2
dh2
[m] — 2.56 8.08 —
[m] — 0.22 0.22 —
N2 + dh2 [m] — 2.78 8.30 —
N3
dh3
[m] — — 8.27 14.39
[m] — — -0.16 -0.16
N3 + dh3 [m] — — 8.11 14.23
N4
dh4
[m] 8.79 — — 13.87
[m] 0.17 — — 0.17
N4 + dh4 [m] 8.97 — — 14.04
průměr [m] 8.87 2.88 8.21 14.14
Určení zbytkové chyby v bodech křížení drah: bod 𝑁𝑚𝑒𝑟𝑒𝑛𝑒 dh zbytková chyba N [m] [m] [m] [m] 1.přelet A 9.01 -0.24 0.10 8.87 B 3.21 -0.24 -0.10 2.88 2.přelet B 2.56 0.22 0.10 2.88 C 8.08 0.22 -0.10 8.21 3.přelet C 8.27 -0.16 0.10 8.21 D 14.39 -0.16 -0.10 14.14 4.přelet A 8.79 0.17 -0.10 8.87 D 13.87 0.17 0.10 14.14 Pozn.: Případná odchylka v součtu v řádu cm je způsobena zaokrouhlením dílčích výsledků pouze pro uvedení v tabulce, jinak byly výpočty prováděny s plným počtem cifer v programu Octave. Odlehlost geoidu od referenčního elipsoidu v subsatelitních bodech: číslo 𝜆 𝜙 𝑁𝑚𝑒𝑟𝑒𝑛𝑒 dh zbytková N bodu [∘ ] [∘ ] [m] [m] chyba [m] [m] 987 84.1194 -60.2680 20.64 -0.24 0.34 20.74 988 88.4948 -61.7343 10.25 -0.24 0.14 10.15 989 93.2995 -63.0326 3.36 -0.24 -0.08 3.04 990 98.5339 -64.1376 0.33 -0.24 -0.32 -0.23 1266 79.5862 -65.4338 16.54 0.22 -0.54 16.22 1267 85.4359 -64.6884 13.11 0.22 -0.27 13.06 1268 90.9133 -63.7096 6.10 0.22 -0.03 6.29 1269 95.9727 -62.5223 -0.66 0.22 0.21 -0.23 1270 100.5999 -61.1522 -5.39 0.22 0.42 -4.75 2741 76.0509 -60.4275 27.07 -0.16 -0.51 26.41 2742 80.4702 -61.8775 22.02 -0.16 -0.30 21.56 2743 85.3200 -63.1569 13.96 -0.16 -0.08 13.72 2744 90.5981 -64.2403 6.53 -0.16 0.15 6.52 2745 96.2749 -65.1021 2.48 -0.16 0.40 2.72 2746 102.2870 -65.7189 -3.69 -0.16 0.66 -3.18 3021 77.5199 -64.5971 19.84 0.17 0.43 20.44 3022 82.9553 -63.5954 16.13 0.17 0.19 16.49 3023 87.9700 -62.3880 10.74 0.17 -0.03 10.88 3024 92.5524 -61.0003 4.31 0.17 -0.24 4.25 3025 96.7134 -59.4571 2.01 0.17 -0.43 1.75 Pozn.: Případná odchylka v součtu v řádu cm je způsobena zaokrouhlením dílčích výsledků pouze pro uvedení v tabulce, jinak byly výpočty prováděny s plným počtem cifer v programu Octave.
Výřez modelu EGM-96 s přibližným zákresem zájmového území
Zdroj: prezentace k přednáškám prof. Kosteleckého
Závěr: Ze čtyř přeletů družice TOPEX/Poseidon nad zájmovým územím byl vytvořen model geoidu. Altimetrická měření pro každý přelet byla opravena o systematickou chybu. Ta byla určena vyrovnáním zprostředkujících s doplňující podmínkou. Zbytkové chyby pak byly rozděleny úměrně vzdálenosti od bodů křížení. Model geoidu byl graficky zobrazen pomocí vrstevnic a barevné hypsometrie. Výsledky byly srovnány s modelem EGM-96. Výpočty byly provedeny v programu Octave. Zdrojový kód k výpočtům není přílohou technické zprávy (v případě potřeby bude zaslán).
Zdroje: [1] BUCHAR Petr. Matematická kartografie. 2007.
V Kralupech nad Vltavou 02.05.2011
Jan Dolista (
[email protected])
