ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ – OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE KATEDRA VYŠŠÍ GEODÉZIE název předmětu

Geodetická astronomie úloha/zadání

název úlohy

Aplikace keplerovského pohybu

3/6 školní rok

2010/11

semestr

1

skupina

NG1-88

zpracoval

datum

Jan Dolista

11. 12.

klasifikace

Aplikace keplerovského pohybu Zadání: V heliocentrickém ekliptikálním souřadnicovém systému jsou dány dráhové elementy komety k epoše 55480 MJD a dráhové elementy Země k epoše 55400. Pro zadané datum a stanovisko vypočtěte její geocentrické rovníkové souřadnice, vzdálenost od Země i od Slunce a velikost elongace. Graficky znázorněte její geocentrickou dráhu z vypočtených obzorníkových souřadnic s vyznačením její ev. pozorovatelnosti. Uveďte obecný postup řešení úlohy a výsledky uspořádejte do přehledné tabulky. Pozn.: Převod aktuálního data na MJD vč. hvězdného času pro půlnoc UT zjistíte např. na http://www.astro.cz/obloha/vypocty. Dráhové elementy komety: Ω = 219.7602∘ 𝜔 = 181.2005∘ 𝑖 = 13.6184∘ 𝑎 = 3.47256𝐴𝑈 𝑒 = 0.69513 𝑛 = 0.1523156∘ /𝑑𝑒𝑛

Dráhové elementy Země: Ω = 172.089∘ 𝜔 = 102.971∘ 𝑖 = 0.0014∘ 𝑎 = 1.00000𝐴𝑈 𝑒 = 0.01669 𝑛 = 0.985607∘ /𝑑𝑒𝑛 𝑀0 = 197, 510∘

Datum a souřadnice stanoviska: datum: 6.8.2010 𝜙 = 50∘ 06′ 20′′ 𝜆 = 0ℎ 57𝑚 33.4𝑠 Další potřebné vstupní hodnoty: 𝜀 = 23∘ 26′ 16.77′′

Vypracování: Veškeré výpočty byly provedeny v programu Octave.

1

Převod data

Pomocí webového formuláře na http://www.astro.cz/obloha/vypocty bylo zadané datum převedeno na juliánské datum. To bylo dále převedeno na modifikované juliánské datum. 𝑀 𝐽𝐷 = 𝐽𝐷 − 2400000.5 𝑀 𝐽𝐷0 = 55414 Zároveň byl ve stejném webovém formuláři zjištěn hvězdný čas pro světovou půlnoc 𝑆0 , tedy greenwichský hvězdný čas pro 0ℎ UT1. 𝑆0 = 20ℎ 57𝑚 42𝑠

2

Epochy výpočtu

Jelikož stanovisko se nachází v České republice, byly obzorníkové souřadnice hvězdy určovány v závislosti na Středoevropském čase (SEČ) a to v kroku jedné hodiny v rámci daného dne, tedy 0 − 24ℎ SEČ dne 6.8.2010.

Zadané keplerovské elementy komety a Země jsou však vztaženy k MJD, které je spojeno s časem UT1 (celočíselné MJD je v 0ℎ UT1), proto byly výpočetní časy převedeny na UT1. 𝑆𝐸𝐶 = 𝑈 𝑇 𝐶 + 1ℎ 𝑈 𝑇 1 = 𝑈 𝑇 𝐶 + 𝐷𝑈 𝑇 1 Z čehož plyne 𝑈 𝑇 1 = 𝑆𝐸𝐶 − 1ℎ + 𝐷𝑈 𝑇 1, kde hodnota 𝐷𝑈 𝑇 1 = −47.6802 𝑚𝑠 byla pro dané datum vyhledána v bulletinu B dostupného na ftp://hpiers.obspm.fr/iers/bul/bulb_new/bulletinb.272. Dále bylo určeno MJD výpočetní epochy 𝑀 𝐽𝐷𝑒𝑝𝑜𝑐ℎ𝑦 = 𝑀 𝐽𝐷0 +

𝑈𝑇1 , 24ℎ

jelikož je SEČ 0 − 24ℎ , je pro první epochu UT1 záporné a tedy MJD odpovídá konci předchozího dne.

3

Poloha komety a Země v heliocentrické ekliptikální soustavě

Pro výpočetní epochy byla určena jak poloha komety v heliocentrické ekliptikální soustavě, tak poloha Země v této soustavě. Poloha byla určena na základě keplerovských elementů dráhy a výpočetní epochy.

3.1 3.1.1

Poloha komety Střední anomálie

Jelikož pro kometu není zadána hodnota střední anomálie, je tato hodnota 𝑀0 = 0, tedy kometa se v této epoše nachází v perihéliu. 𝑀 = 𝑛 · (𝑡 − 𝑡0 ), kde 𝑡 je MJD výpočetní epochy, 𝑡0 je MDJ ke kterému jsou vztaženy keplerovské elementy a 𝑛 je střední denní pohyb. 3.1.2

Excentrická anomálie 𝐸 = 𝑀 + 𝑒 sin 𝐸

Excentrická anomálie byla určena iteračně, kdy v první iteraci je hodnota excentrické anomálie volena 𝐸0 = 𝑀 + 𝑒 sin 𝑀 . V dalších iteracích je hodnota anomálie dána vztahem 𝐸𝑖 = 𝑀 + 𝑒 sin 𝐸𝑖−1 . Výpočet je opakován, dokud rozdíl ve dvou po sobě jdoucích iteracích není menší než 10−10 . 3.1.3

Pravá anomálie

(︃ √

1+𝑒 𝐸 𝑣 = 2𝑎𝑡𝑎𝑛 √ 𝑡𝑔 1−𝑒 2 3.1.4

Průvodič 𝑟 = 𝑎(1 − 𝑒 cos 𝐸)

)︃

3.1.5

Vektor polohy v rovině dráhy ⎛

⎞

cos 𝑣 ⎟ ⎜ 𝑟 = 𝑟 ⎝ sin 𝑣 ⎠ 0 Tento vektor obsahuje pravoúhlé souřadnice s počátkem v ohnisku elipsy dráhy, kladná osa x směřuje do perihélia a rovina xy leží v rovině dráhy. 3.1.6

Vektor souřadnic v heliocentrické ekliptikální soustavě

Transformace z roviny dráhy do ekliptikální heliocentrické soustavy byla provedena trojitou rotací. Nejprve byla kladná osa x otočena z perihélia do výstupního uzlu a to rotací kolem osy z o úhel −𝜔 (argumet výstupního uzlu). V druhém kroku byla sklopena rovina dráhy do roviny ekliptiky, tedy rotace kolem nové osy x o úhel −𝑖 (sklon dráhy). Posledním krokem bylo otočení nové osy x z výstupního uzlu do jarního bodu, rotace kolem nové osy z o úhel −Ω (rektascenze výstupního uzlu). Xkom = RZ (−Ω)RX (−𝑖)RZ (−𝜔)r, e kde matice rotace ⎞

⎛

1 0 0 ⎟ ⎜ RX (−Ω) = ⎝ 0 cos (−Ω) sin (−Ω) ⎠ 0 − sin (−Ω) cos (−Ω)

⎞

⎛

cos (−𝑖) sin (−𝑖) 0 ⎟ ⎜ RZ (−𝑖) = ⎝ − sin (−𝑖) cos (−𝑖) 0 ⎠ 0 0 1

⎛

⎞

1 0 0 ⎜ ⎟ RX (−𝜔) = ⎝ 0 cos (−𝜔) sin (−𝜔) ⎠ 0 − sin (−𝜔) cos (−𝜔) 3.1.7

Vzdálenost komety a Sluce

|. Vzdálenost Slunce a komety je velikost vektoru souřadnic 𝑑𝑆𝐾 = |Xkom e

3.2

Poloha Země

Poloha Země je vypočtena obdobně, jediným rozdílem je, že epocha k níž jsou vztaženy keplerovské elementy není epocha průchodu perihéliem. Střední anomálie je pak dána vztahem 𝑀 = 𝑀0 + 𝑛 · (𝑡 − 𝑡0 ), kde 𝑀0 je střední anomálie v epoše, k níž jsou vztaženy keplerovské elementy dráhy.

4

Poloha komety a Země v heliocentrické rovníkové soustavě

Transformace z ekliptikální do rovníkové soustavy byla provedena rotací kolem osy x o úhel −𝜀 (sklon ekliptiky) Xr = RX (−𝜀)Xe , kde

⎛

⎞

1 0 0 ⎜ ⎟ RX (−𝜀) = ⎝ 0 cos (−𝜀) sin (−𝜀) ⎠ 0 − sin (−𝜀) cos (−𝜀) Částečnou kontrolou výpočtu je porovnání délky mezi Sluncem a kometou resp. Sluncem a Zemí v ekliptikální a rovníkové soustavě. Délka musí zůstat stejná.

5

Poloha komety v geocentrické rovníkové soustavě 𝑆𝑟2

Změna počátku byla provedena odečtením vektoru souřadnic Země od vektoru souřadnic komety. Xr2 = Xkom − XZeme , r r Z pravoúhlých souřadnic komety byla vyjádřena rektascenze a deklinace )︂ (︂ 𝑦𝑟2 𝛼 = 𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑥𝑟2 (︂ )︂ 𝑧𝑟2 𝛿 = 𝑎𝑠𝑖𝑛 |Xr2 | Vzdálenost Země a komety je velikost vektoru souřadnic. 𝑑𝑍𝐾 = |Xr2 |.

6

Elongace komety

Elongace je úhel mezi kometou a Sluncem pozorovaný ze Země. Ten byl vypočten z pravidla pro skalární součin u · v = |u| · |v| cos 𝜃. Elongaci lze tedy vyjádřit 𝑒𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑐𝑒 = arccos

Slunce Xkom r2 · Xr2 , Slunce | |Xkom r2 | · |Xr2

je vektor souřadnic slunce v geocentrické rovníkové soustavě. kde XSlunce = −XZeme r r2

7

Poloha komety v geocentrické rovníkové soustavě 𝑆𝑟1

Pravoúhlé souřadnice v soustavě 𝑆𝑟1 byly získány rotací kolem osy z o úhel 𝑠 (místní hvězdný čas). Xr1 = RZ (𝑠)Xr2 , kde

⎛

⎞

cos (𝑠) sin (𝑠) 0 ⎟ ⎜ RZ (𝑠) = ⎝ − sin (𝑠) cos (𝑠) 0 ⎠ 0 0 1 Místní hvězdný čas 𝑠 = 𝑆0 + (𝑈 𝑇 1) · (1 + 𝜇) + 𝜆, kde 1 + 𝜇 = 1.0027379093 je změna měřítka mezi hvězdným a slunečním časem.

8

Poloha komety v obzorníkové soustavě 𝑆𝑜

Pravoúhlé souřadnice v obzorníkové soustavě byly vypočteny rotací o úhel 90∘ − 𝜙 (zeměpisná šířka stanoviska) Xo = Rx (90∘ − 𝜙)Xr1 , kde

⎛

⎞

cos (90∘ − 𝜙) 0 − sin (90∘ − 𝜙) ⎜ ⎟ ∘ 0 1 0 RZ (90 − 𝜙) = ⎝ ⎠ ∘ ∘ sin (90 − 𝜙) 0 cos (90 − 𝜙)

Následně byl vyjádřen azimut a zenitová vzdálenost (︂ )︂ −𝑦𝑜 𝑎 = 𝑎𝑡𝑎𝑛 𝑥𝑜 (︂ )︂ 𝑧𝑜 𝑧 = 𝑎𝑠𝑖𝑛 |Xo | Průběh azimutu a zenitové vzdálenosti byl vynesen do grafů. Zároveň byl v grafu zenitové vzdálenosti znázorněn obzorník, aby bylo možné určit, kdy je kometa z daného stanoviska pozorovatelná.

9

Číselné výsledky SEČ 0ℎ 1ℎ 2ℎ 3ℎ 4ℎ 5ℎ 6ℎ 7ℎ 8ℎ 9ℎ 10ℎ 11ℎ 12ℎ 13ℎ 14ℎ 15ℎ 16ℎ 17ℎ 18ℎ 19ℎ 20ℎ 21ℎ 22ℎ 23ℎ 24ℎ

𝑑𝑆𝐾 1.38066 𝐴𝑈 1.38032 𝐴𝑈 1.37999 𝐴𝑈 1.37965 𝐴𝑈 1.37932 𝐴𝑈 1.37898 𝐴𝑈 1.37865 𝐴𝑈 1.37831 𝐴𝑈 1.37798 𝐴𝑈 1.37764 𝐴𝑈 1.37731 𝐴𝑈 1.37697 𝐴𝑈 1.37664 𝐴𝑈 1.37630 𝐴𝑈 1.37597 𝐴𝑈 1.37564 𝐴𝑈 1.37530 𝐴𝑈 1.37497 𝐴𝑈 1.37463 𝐴𝑈 1.37430 𝐴𝑈 1.37396 𝐴𝑈 1.37363 𝐴𝑈 1.37330 𝐴𝑈 1.37296 𝐴𝑈 1.37263 𝐴𝑈

𝑑𝑍𝐾 2.29387 𝐴𝑈 2.29360 𝐴𝑈 2.29334 𝐴𝑈 2.29307 𝐴𝑈 2.29280 𝐴𝑈 2.29254 𝐴𝑈 2.29227 𝐴𝑈 2.29200 𝐴𝑈 2.29174 𝐴𝑈 2.29147 𝐴𝑈 2.29120 𝐴𝑈 2.29093 𝐴𝑈 2.29067 𝐴𝑈 2.29040 𝐴𝑈 2.29013 𝐴𝑈 2.28986 𝐴𝑈 2.28960 𝐴𝑈 2.28933 𝐴𝑈 2.28906 𝐴𝑈 2.28880 𝐴𝑈 2.28853 𝐴𝑈 2.28826 𝐴𝑈 2.28799 𝐴𝑈 2.28773 𝐴𝑈 2.28746 𝐴𝑈

𝛼 21ℎ 33𝑚 59.509𝑠 21ℎ 34𝑚 06.994𝑠 21ℎ 34𝑚 14.480𝑠 21ℎ 34𝑚 21.968𝑠 21ℎ 34𝑚 29.459𝑠 21ℎ 34𝑚 36.951𝑠 21ℎ 34𝑚 44.446𝑠 21ℎ 34𝑚 51.942𝑠 21ℎ 34𝑚 59.440𝑠 21ℎ 35𝑚 06.941𝑠 21ℎ 35𝑚 14.443𝑠 21ℎ 35𝑚 21.947𝑠 21ℎ 35𝑚 29.454𝑠 21ℎ 35𝑚 36.962𝑠 21ℎ 35𝑚 44.472𝑠 21ℎ 35𝑚 51.984𝑠 21ℎ 35𝑚 59.498𝑠 21ℎ 36𝑚 07.014𝑠 21ℎ 36𝑚 14.533𝑠 21ℎ 36𝑚 22.053𝑠 21ℎ 36𝑚 29.575𝑠 21ℎ 36𝑚 37.099𝑠 21ℎ 36𝑚 44.625𝑠 21ℎ 36𝑚 52.153𝑠 21ℎ 36𝑚 59.683𝑠

𝛿 −6∘ 47′ 04.915′′ −6∘ 46′ 37.532′′ −6∘ 46′ 10.129′′ −6∘ 45′ 42.707′′ −6∘ 45′ 15.266′′ −6∘ 44′ 47.805′′ −6∘ 44′ 20.325′′ −6∘ 43′ 52.826′′ −6∘ 43′ 25.307′′ −6∘ 42′ 57.769′′ −6∘ 42′ 30.212′′ −6∘ 42′ 02.635′′ −6∘ 41′ 35.039′′ −6∘ 41′ 07.423′′ −6∘ 40′ 39.788′′ −6∘ 40′ 12.134′′ −6∘ 39′ 44.461′′ −6∘ 39′ 16.768′′ −6∘ 38′ 49.056′′ −6∘ 38′ 21.325′′ −6∘ 37′ 53.574′′ −6∘ 37′ 25.804′′ −6∘ 36′ 58.015′′ −6∘ 36′ 30.206′′ −6∘ 36′ 02.378′′

𝑧 57∘ 30′ 50.714′′ 57∘ 04′ 03.574′′ 59∘ 32′ 25.951′′ 64∘ 34′ 03.708′′ 71∘ 32′ 57.426′′ 79∘ 52′ 34.321′′ 89∘ 01′ 51.267′′ 98∘ 35′ 00.917′′ 108∘ 08′ 31.458′′ 117∘ 16′ 58.253′′ 125∘ 28′ 02.921′′ 131∘ 57′ 39.158′′ 135∘ 50′ 51.884′′ 136∘ 20′ 40.004′′ 133∘ 19′ 59.307′′ 127∘ 27′ 43.130′′ 119∘ 39′ 24.691′′ 110∘ 42′ 45.300′′ 101∘ 12′ 52.576′′ 91∘ 36′ 31.111′′ 82∘ 17′ 13.967′′ 73∘ 39′ 46.423′′ 66∘ 13′ 31.274′′ 60∘ 33′ 49.410′′ 57∘ 18′ 06.827′′

𝑎 348∘ 31′ 48.309′′ 6∘ 15′ 22.235′′ 23∘ 33′ 06.320′′ 39∘ 27′ 21.617′′ 53∘ 40′ 16.790′′ 66∘ 26′ 35.935′′ 78∘ 16′ 28.555′′ 89∘ 45′ 20.653′′ 101∘ 31′ 43.776′′ 114∘ 19′ 04.305′′ 128∘ 56′ 49.794′′ 146∘ 11′ 46.775′′ 166∘ 14′ 02.816′′ 187∘ 47′ 08.457′′ 208∘ 26′ 26.310′′ 226∘ 29′ 24.030′′ 241∘ 46′ 23.591′′ 254∘ 58′ 49.695′′ 266∘ 57′ 03.890′′ 278∘ 26′ 17.479′′ 290∘ 06′ 10.666′′ 302∘ 33′ 05.203′′ 316∘ 19′ 28.273′′ 331∘ 46′ 15.326′′ 348∘ 46′ 37.273′′

𝑒𝑙𝑜𝑛𝑔𝑎𝑐𝑒 19∘ 34′ 38.058′′ 19∘ 34′ 08.180′′ 19∘ 33′ 38.330′′ 19∘ 33′ 08.506′′ 19∘ 32′ 38.710′′ 19∘ 32′ 08.941′′ 19∘ 31′ 39.199′′ 19∘ 31′ 09.484′′ 19∘ 30′ 39.796′′ 19∘ 30′ 10.136′′ 19∘ 29′ 40.503′′ 19∘ 29′ 10.896′′ 19∘ 28′ 41.317′′ 19∘ 28′ 11.765′′ 19∘ 27′ 42.240′′ 19∘ 27′ 12.743′′ 19∘ 26′ 43.272′′ 19∘ 26′ 13.829′′ 19∘ 25′ 44.412′′ 19∘ 25′ 15.023′′ 19∘ 24′ 45.661′′ 19∘ 24′ 16.326′′ 19∘ 23′ 47.019′′ 19∘ 23′ 17.738′′ 19∘ 22′ 48.485′′

Závěr: Z keplerovských elementů komety a Země v heliocentrickém ekliptikálním systému byly určeny obzorníkové souřadnice v průběhu daného dne. Souřadnice byly určovány v kroku jedné hodiny. Zároveň byly určeny i geocentrické rovníkové souřadnice, elongace, vzdálenost komety od Slunce a vzdálenost komety od Země. Obzorníkové souřadnice komety byly vyneseny do grafu a byla určena její viditelnost. Kometa je z daného místa pozorovatelná, pokud se nachází nad obzorem, tedy zenitová vzdálenost je menší než 90∘ resp. menší než cca 80∘ . Je totiž nutné uvažovat rozdíl mezi obzorníkem a skutečným obzorem, zvláště pokud je na obzoru kopcovitý terén nebo zástavba. Z grafů je patrné, že kometa je pozorovatelná v noci a to přibližně do 6 hodin ráno a následně přibližně od 19 hodin. Maximální výšky nad obzorem dosahuje kometa mezi půlnocí a jednou hodinou SEČ. Výpočty byly provedeny v programu Octave. Zdrojový kód k výpočtům není přílohou technické zprávy (v případě potřeby bude zaslán).

V Kralupech nad Vltavou 11.12.2010

Jan Dolista ([email protected])