ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ DIPLOMOVÁ PRÁCE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ

DIPLOMOVÁ PRÁCE

PRAHA 2014

Bc. Martin NEŠPOR

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE FAKULTA STAVEBNÍ OBOR GEODÉZIE A KARTOGRAFIE

DIPLOMOVÁ PRÁCE NÁKLON VĚŽÍ BAZILIKY SV. JIŘÍ NA PRAŽSKÉM HRADĚ

Vedoucí práce: Ing. Rudolf Urban, Ph.D. Katedra speciální geodézie

leden 2014

Bc. Martin NEŠPOR

ZDE VLOŽIT LIST ZADÁNÍ

Z důvodu správného číslování stran

ABSTRAKT Tato diplomová práce se zabývá zhodnocením výsledků etapových měření, které sledují posuny a náklony obou věží baziliky sv. Jiří. Ve druhé části se zabývá určením vlivu teploty a oslunění na náklony obou věží a na vztažnou síť.

KLÍČOVÁ SLOVA bazilika sv. Jiří deformace posun přesnost teplota

ABSTRACT This diploma thesis describes the results of measurement in stages, which are used to monitoring displacements of both towers of St. George's Basilica. In the second part it deals with influence of temperature and sunshine to tilt of both towers and the reference network.

KEYWORDS St. George's Basilica deformation displacement accuracy temperature

PROHLÁŠENÍ Prohlašuji, že jsem diplomovou práci na téma „Náklon věží baziliky sv. Jiří na Pražském hradě“ vypracoval samostatně. Použitou literaturu a podkladové materiály uvádím v seznamu zdrojů.

V Praze dne………………

………………………… Bc. Martin Nešpor

PODĚKOVÁNÍ Rád bych poděkoval vedoucímu mé diplomové práce Ing. Rudolfovi Urbanovi, Ph.D. za jeho čas, pomoc a rady při vedení mé diplomové práce. Také bych chtěl poděkovat své rodině, která mě podporovala během mých studií.

Obsah: Úvod ................................................................................................ 8 1.

Bazilika sv. Jiří ............................................................................. 9 1.1 Historie Baziliky sv. Jiří ................................................................. 9

2.

Metoda měření ............................................................................ 11 2.1 Měřická síť ................................................................................... 11 2.2 Pomůcky ...................................................................................... 12 2.3 Prostorová polární metoda ........................................................... 14

3. Vyrovnání ................................................................................... 15 3.1 Vyrovnání sítě .............................................................................. 15 3.2 GNU Gama .................................................................................. 15 3.3 Testování aposteriorní jednotkové směrodatné odchylky ............. 16

4.

Rozbory přesnosti ....................................................................... 19 4.1 Vodorovné úhly ............................................................................ 19 4.1.1 4.1.2 4.1.3

Rozbory přesnosti před měřením ..................................................... 19 Rozbory přesnosti při měření .......................................................... 21 Rozbory přesnosti po měření ........................................................... 22

4.2 Zenitové úhly ............................................................................... 23 4.2.1 4.2.2 4.2.3

5.

Rozbory přesnosti před měřením ..................................................... 23 Rozbory přesnosti při měření .......................................................... 25 Rozbory přesnosti po měření ........................................................... 25

Určení mezních posunů a náklonů ............................................. 26 5.1 Posuny a náklony v ose X ............................................................ 26 5.2 Posuny a náklony v ose Y ............................................................ 28 5.3 Posuny a náklony v ose Z ............................................................ 30

6.

Etapová měření ........................................................................... 32 6.1 Zhodnocení dosažené přesnosti .................................................... 32 6.2 Výsledky etapového měření ......................................................... 34 6.2.1 6.2.2 6.2.3 6.2.4

Posuny a náklony v ose X ............................................................... Posuny a náklony v ose Y ................................................................ Posuny a náklony v ose Z ................................................................ Náklony věží přepočtené na celkovou délku věží ........................... 6

35 37 39 41

6.3 Porovnávací měření Leica TC 1800 a Trimble S6 ........................ 42

7.

Experimentální měření ............................................................... 47 7.1 Zhodnocení dosažené přesnosti .................................................... 48 7.2 Výsledky experimentálních měření .............................................. 49 7.2.1 7.2.2 7.2.3

Posuny a náklony v ose X ............................................................... 49 Posuny a náklony v ose Y ................................................................ 51 Posuny a náklony v ose Z ................................................................ 52

7.3 Určení závislosti velikosti posunů a náklonů na teplotě ............... 53 7.3.1

Metoda nejmenších čtverců ............................................................. 54

7.4 Testování závislosti velikosti posunů a náklonů na čase a teplotě 55 7.5 Výsledky testování závislosti velikosti posunů a náklonů na čase a teplotě .................................................................................................. 57 7.5.1 7.5.2 7.5.3 7.5.4 7.5.5

Výsledky v ose X ............................................................................. Výsledky v ose Y ............................................................................. Výsledky v ose Z ............................................................................. Velikosti posunů v závislosti na čase ............................................... Velikosti posunů v závislosti na teplotě ...........................................

57 59 61 63 64

7.6 Vývoj měřické sítě v závislosti na teplotě a čase ......................... 64 7.6.1 7.6.2

Posuny bodů vztažné sítě ................................................................. 65 Změna vzdáleností mezi body vztažné sítě ..................................... 68

Závěr .............................................................................................. 72 Seznam literatury ........................................................................... 74 Přílohy ........................................................................................... 75 Etapová měření ................................................................................. 75 Mezní velikosti posunů a náklonů ........................................................... 75 Porovnávací měření Leica TC 1800 a Trimble S6 .................................. 75

Experimentální měření ...................................................................... 77 Mezní velikosti posunů a náklonů ........................................................... Posuny a náklony v ose X v závislosti na teplotě .................................... Posuny a náklony v ose Y v závislosti na teplotě .................................... Posuny a náklony v ose Z v závislosti na teplotě ....................................

7

77 77 82 86

Úvod

Úvod Dlouhodobé sledování stability stavebních objektů, patřících pod správu Pražského hradu, je prováděno katedrou speciální geodézie v pravidelných intervalech již od roku 1999. O zahájení pravidelných měření bylo rozhodnuto na žádost statika, aby bylo průběžně sledováno, zda nedochází k deformacím historických objektů, které by mohly zapříčinit jejich poškození. V průběhu času byla zahájena pravidelná sledování dalších stavebních objektů, v současné době mezi sledované objekty patří např. katedrála sv. Víta, bazilika sv. Jiří nebo letohrádek královny Anny. Průběh měření se řídí českou státní normou ČSN 73 0405 – Měření posunů stavebních objektů. Téma této diplomové práce jsem si zvolil v návaznosti na svoji bakalářkou práci, která se zabývala určením vlivu teploty a oslunění na náklon jižní věže baziliky sv. Jiří v průběhu jednoho dne. Cílem této diplomové práce je další rozšíření znalostí o vlivu teploty a oslunění na náklony obou věží a také na vztažnou síť, která byla pro účely sledování věží zřízena. V první částí diplomové práce se zabývám zpracováním etapových měření prováděných katedrou speciální geodézie, v tomto případě se jedná o sledování náklonů obou věží baziliky sv. Jiří. Byla mi poskytnuta měřená data, která jsem zpracoval a z nich jsem vypočetl náklony obou věží v jednotlivých etapách. V průběhu zpracování bylo zjištěno, že při změně přístrojového vybavení z totální stanice Leica TC 1800 na totální stanici Trimble S6 došlo ke změnám ve výsledcích. Proto jsem změřil porovnávací etapu za účelem určení rozdílů ve vlastnostech dálkoměrů obou totálních stanic. Ve druhé části diplomové práce se zabývám určením závislosti teploty vzduchu na vypočtené náklony věží a také na změny v rozměrech vztažné sítě. V průběhu jednoho roku jsem změřil ke dvěma pravidelným etapám dalších pět experimentálních etap v přibližně měsíčním intervalu. Tím došlo ke zvětšení základního souboru měření, ze kterého jsem poté určoval závislost velikosti náklonů věží na čase a teplotě. Aby byly výsledky více vypovídající, bylo experimentální měření prováděno, pokud to bylo možné, v odlišných klimatických podmínkách, než které běžně panují při měření pravidelných etap.

8

Bazilika sv. Jiří

1. Bazilika sv. Jiří 1.1

Historie Baziliky sv. Jiří

Bazilika sv. Jiří byla založena knížetem Vratislavem I. kolem roku 920. Po kostelu Panny Marie se jednalo teprve o druhou náboženskou stavbu na Pražském hradě. Její vnitřní uspořádání bylo nejspíše trojlodního charakteru s apsidami. V roce 925 nechal kníže sv. Václav převézt ostatky své babičky sv. Ludmily z Tetína a uložil je v nově zbudovaném prostoru připojenému k jižní části baziliky. Z původní baziliky se do dnešních dnů zachovaly pouze základy. Za vlády Boleslava II. byl roku 973 založen ženský benediktýnský klášter, který byl připojen k bazilice. První abatyší kláštera se stala Boleslavova sestra Mlada. Následovala přestavba a rozšíření baziliky, na její severní straně vznikly nové obytné budovy, k západní straně byl přistavěn kůr s věžovitou částí. Při obléhání Pražského hradu roku 1142 vypukl požár, který vážně poškodil klášter i baziliku. Pod vedením abatyše Berty byly provedeny rozsáhlé opravy. Ve východní části byla zbudována kaple zasvěcená Panně Marii, která se později stala součástí kaple sv. Anny. Postaveny byly vysoké bílé věže s kamennou střechou, které se zachovaly až do dnešní doby. Abatyše Berta je kvůli rozsáhlosti úprav označována jako druhá zakladatelka. Na počátku 13. století byla abatyší Anežka Přemyslovna. K jižní straně východního chóru nechala přistavět kapli sv. Ludmily. Nově byl vybudován jižní portál, předchůdce současného renesančního portálu. Při stavebních úpravách došlo k zazdění několika oken, vzniklé plochy byly ozdobeny nástěnnými malbami. Na svatojiřském reliéfu je vedle zakladatelek kláštera Mlady a Berty zobrazovaná i Anežka, známá jako obnovitelka. Ve druhé polovině 14. století byla bazilika přestavěna na popud Karla IV. Jeho snahou bylo vytvoření důstojnějšího místa pro zde uložené ostatky prvních Přemyslovců, zejména Vratislava a sv. Ludmily. Kaple sv. Ludmily získala současnou gotickou podobu, pro sv. Ludmilu byl postaven nový náhrobek. Její ležící postava zdobí víko náhrobku, po jeho stranách jsou zobrazení světci a světice. Přestavba byla ukončena roku 1371 vysvěcením hlavního oltáře. 9

Bazilika sv. Jiří V průběhu následujících století bylo provedeno mnoho změn. Jižní portál byl přestavěn do dnešní renesanční podoby, v jeho tympanonu je umístěn reliéf s vyobrazením sv. Jiří zabíjejícího draka. K dalšímu požáru na Pražském hradě došlo roku 1541. Trvalo téměř 90 let, než byl v letech 1600 – 1630 vybudován nový západní kůr. Ten se nazývá helfenburský, dle abatyše Albinky z Helfenburka. Současně byl postaven nový hlavní oltář. Mezi roky 1642 – 1659 byla vyčištěna krypta, již tehdy označovaná jako kaple sv. Mikuláše. Její klenba a sloupky získaly dnešní podobu. Dále zde byla vyhloubena hrobka a postaveny nové oltáře. Za abatyše Anny Mechtildy bylo mezi lety 1671 – 1691 přestavěno západní průčelí do barokní podoby, která se zachovala dodnes. K jižní straně průčelí byla v letech 1718 – 1722 přistavěna kaple sv. Jana Nepomuckého. Klášter benediktinek byl zrušen roku 1782. V průběhu 19. století docházelo pouze k menším opravám zabraňujícím chátrání objektu. Velké změny přinesla až rekonstrukce v letech 1887 – 1908 dle návrhu Františka Macha. Snahou bylo vrátit bazilice její románskou podobu, došlo k odstranění mnoha doplňků vzniklých při pozdějších stavebních úpravách. Podrobněji v [1] a informace o archeologickém průzkumu kláštera v [2].

Obr. 1.1 – Západní průčelí baziliky sv. Jiří se severní a jižní věží (vpravo) 10

Metoda měření

2. Metoda měření 2.1

Měřická síť

Před zahájením sledování posunů a náklonů obou věží baziliky sv. Jiří byla zřízena stanoviska S3 a S4, která jsou umístěna u zadní části katedrály sv. Víta. Jejich stabilizace byla provedena pomocí malých mosazných válečků zabetonovaných ve spárách v dlažbě. Stanovisko S3 slouží ke sledování severní věže, ze stanoviska S4 je sledována jižní věž, viz obrázek 2.1. Na západní barokní průčelí baziliky byly před nultou etapou umístěny tři odrazné štítky (body č. 54 – 56). Tyto body slouží jako vztažné při určování posunů a náklonů věží. Souřadnicová osa X je vložena do spojnice bodů č. 54 a 56, osa Y má kladný směr ke katedrále sv. Víta. Přibližné umístění stanovisek a vztažných bodů je znázorněno na obrázku 2.1. Na každé z věží je umístěno celkem sedm sledovaných bodů. Body jsou realizovány pomocí odrazných štítků nalepených na kovových destičkách připevněných k věžím. Jeden sledovaný bod je připevněn ke spodní části kříže umístěného na vrcholu kamenné hlavice věže. Zbylých šest bodů se nachází na třech hranách věže, tři body jsou umístěny v úrovni spodního kraje oken, zbylé tři body jsou v horní části věže. Sledované body jsou číslovány od 11 do 17 pro severní věž a od 21 do 27 pro jižní věž. Umístění sledovaných bodů je podrobněji zobrazeno na obrázku 2.2.

Obr. 2.1 – Měřická síť a umístění sledovaných bodů 11

Metoda měření

Obr. 2.2 – Umístění sledovaných bodů na severní a jižní věži (vpravo)

2.2

Pomůcky

V průběhu etapových měření byly použity dvě rozdílné totální stanice, a to Leica TC 1800 a Trimble S6. Porovnání jejich vlastností udávaných výrobcem je uvedeno v tabulce 2.1. Tab. 2.1 – Porovnání totálních stanic Leica TC 1800 a Trimble S6 Přesnost úhlového měření Přesnost délkového měření Zvětšení objektivu Průměr objektivu Výška nad trojnožkou

Leica TC 1800 0,3 mgon 1 mm + 2 ppm 30x 42 mm 192 mm

12

Trimble S6 0,3 mgon 1 mm +1 ppm 30x 40 mm 192 mm

Metoda měření

Obr. 2.3 – Leica TC 1800

Obr. 2.4 – Trimble S6

13

Metoda měření

2.3

Prostorová polární metoda

Měření posunů a náklonů věží baziliky sv. Jiří bylo prováděno prostorovou polární metodou. Počet skupin, ve kterých jsou etapové měření prováděna, byl určen na základě požadavku statika, aby směrodatná odchylka určení náklonu věže nepřesáhla hodnotu jednoho milimetru. Závislost přesnosti měřených veličin na počtu skupin je dále podrobněji určena v rozborech přesnosti v kapitole 4. Etapová měření náklonu věží baziliky sv. Jiří probíhají od roku 2009, do dnešního dne bylo změřeno celkem devět pravidelných etap v přibližně půlročních intervalech. V nulté až čtvrté etapě byly vodorovné a zenitové úhly měřeny totální stanicí Leica TC 1800. Měření bylo prováděno ve dvou skupinách s dvojím cílením. Od páté etapy byla totální stanice Leica TC 1800 nahrazena totální stanicí Trimble S6. Její výhodou je přítomnost funkce Autolock, která umožňuje po změření první polohy směrové skupiny automatické přibližné zacilování na body. Není tak nutné zdlouhavé vyhledávání měřených bodů, poté již stačí pouze provést ruční docílení. Z tohoto důvodu bylo upuštěno od dvojího cílení, vodorovné a zenitové úhly byly měřeny ve třech skupinách bez dvojího cílení. Délky byly vždy měřeny v obou polohách dalekohledu. Pro určení závislosti velikosti posunů a náklonů věží na teplotě vzduchu byla provedena experimentální měření. Jejich účelem bylo zvětšení počtu měření, ze kterých byla závislost určována. Protože probíhala za nepříznivých klimatických podmínek, byla pro jistotu přidána ještě jedna skupina oproti klasickým etapovým měřením. Experimentální měření tak bylo prováděno ve čtyřech skupinách. Na začátku každé etapy byla změřena teplota, tlak a vlhkost vzduchu na stanovisku. Fyzikální korekce měřených délek byly prováděny přímo totální stanici.

14

Vyrovnání

3. Vyrovnání 3.1

Vyrovnání sítě

Ke sledování náklonů věží baziliky sv. Jiří se používají dvě stanoviska, stanovisko S3 slouží k pozorování severní věže, stanovisko S4 ke sledování jižní věže. Z každého stanoviska je měřeno celkem 10 bodů, jedná se o 3 vztažné body a 7 sledovaných bodů umístěných na každé z věží Vzhledem ke skutečnosti, že je na vztažné body č. 54, 55 a 56 měřeno z obou stanovisek, je možné provést vyrovnání sítě. Z výsledků vyrovnání vychází, že pro tuto konfiguraci sítě je z celkového počtu 60 měření pouze 8 měření nadbytečných, nejedná se tedy o nijak výrazně přeurčenou síť. Pro potřeby vyrovnání sítě byly jako vstupní údaje do vyrovnání vloženy souřadnice stanovisek S3 a S4 a také prvního vztažného bodu č. 54. Souřadnice všech těchto bodů byly zvoleny jako fixní, jedná se tedy o vázanou síť. Souřadnice ostatních bodů byly výsledkem vyrovnání. Ve vstupu byla dále obsažena měřená data ve formě výsledných průměrných vodorovných a zenitových úhlů a šikmých délek včetně jejich výběrových směrodatných odchylek.

3.2

GNU Gama

Vyrovnání bylo provedeno v programu gama-local, který byl vytvořen v rámci projektu GNU Gama. Hlavním cílem projektu GNU-Gama je vyrovnání volných geodetických sítí, které jsou používané pro speciální a velmi přesná měření. Umožňuje také vyrovnání vázaných sítí, což je případ sítě použité pro sledování náklonů věží baziliky sv. Jiří. Program gama-local vznikl pod tzv. GNU GPL licencí, která umožňuje program volně kopírovat, upravovat či distribuovat. Jediným omezením je, aby programy, které jsou odvozeny z programů vzniklých pod GPL licencí, byly taktéž šířeny pod GPL licencí. Vstup pro program gama-local tvoří seznam bodů sítě, kterým lze přiřadit souřadnice a určit, zda-li se bude jednat o souřadnice fixní nebo přibližné. Program dokáže spočítat souřadnice bodů pomocí geodetických metod, není tak nutné vkládat přibližné souřadnice všem bodům. Souřadnice stačí zadat pouze pro několik bodů, 15

Vyrovnání aby byla síť jednoznačně umístěna do prostoru. Druhá část vstupu je tvořena měřenými daty, která můžou být ve formě směrů, vodorovných a zenitových úhlů, azimutů, vodorovných a šikmých délek nebo převýšení. Výstupem z gama-local jsou základní údaje o vyrovnání, jako je počet vstupujících měření, počet nadbytečných měření a také aposteriorní směrodatná odchylka, která charakterizuje výsledky vyrovnání. Hlavním výsledkem jsou vyrovnané souřadnice bodů a jejich směrodatné odchylky ve všech třech osách. Dále výsledky obsahují informace o elipsách chyb na jednotlivých bodech, velikostech jejich poloos a stočení hlavní poloosy. Dalším z výstupů, který gama-local poskytuje, je kovarianční matice vyrovnaných souřadnic, která obsahuje informace o vzájemná závislosti vyrovnaných souřadnic. Více o projektu GNU Gama je uvedeno na jeho domovských stránkách [6].

3.3 Testování aposteriorní jednotkové směrodatné odchylky Dosaženou přesnost jednotlivých měřených veličin lze testovat pomocí rozborů přesnosti uvedených v kapitole 4. Takto určené směrodatné odchylky měřených veličin jsou poté použity pro vstup do vyrovnání. Celkovou přesnost měření lze určit pomocí aposteriorní směrodatné odchylky, která je jedním z výsledků vyrovnání. Její velikost je závislá na opravách vyrovnaných veličin, váhách měřených veličin a nadbytečném počtu měření ve vyrovnání. V ideálním případě by měla být velikost aposteriorní směrodatné odchylky shodná s apriorní směrodatnou odchylkou. Pokud se vzájemně liší, znamená to, že směrodatné odchylky veličin vstupujících do vyrovnání neodpovídají přesnosti měření. Výpočet aposteriorní směrodatné odchylky probíhá pouze z omezeného počtu měření, její velikost je spočtena s určitou nejistotou. Lze tedy statisticky porovnat, jestli aposteriorní směrodatná odchylka z vyrovnání odpovídá zvolené apriorní směrodatné odchylce. Bude testována hypotéza, že náhodný výběr s výběrovou střední chybou se střední chybou

je proveden ze základního souboru

. Proto je zvolena nulová hypotéza (3.1)

16

Vyrovnání Alternativní hypotéza je (3.2) Pro testování aposteriorní jednotkové směrodatné odchylky je testovacím kritériem veličina, která má

(chí kvadrát) rozdělení (3.3)

kde

– počet nadbytečných měření – aposteriorní jednotková směrodatná odchylka – apriorní jednotková směrodatná odchylka

Pro hodnocení bude použit oboustranný test, testování bude prováděno na hladině významnosti (3.4) kde ,

– kritické hodnoty rozdělení

Do výše uvedeného vztahu se dosadí za (3.5) a dále se upraví na tvar (3.6) Apriorní směrodatná odchylka byla ve všech vyrovnáních volena

. Pro

8 nadbytečných měření se po dosazení spočte nerovnost (3.7) Ve dvou etapách bylo stanovisko S4 nepřístupné, měření bylo provedeno z volného stanoviska. Proto se v těchto dvou etapách snížil nadbytečný počet měření z 8 na 6. Pro tento případ platí nerovnost (3.8)

17

Vyrovnání Pokud bude tato nerovnost platit, nebude nulová hypotéza zamítnuta na hladině významnosti

. V opačném případě bude nulová hypotéza zamítnuta a bude

přijata alternativní hypotéza, tedy že náhodný výběr s výběrovou střední chybou není proveden ze základního souboru se střední chybou

18

.

Rozbory přesnosti

4. Rozbory přesnosti 4.1

Vodorovné úhly 4.1.1

Rozbory přesnosti před měřením

Rozbory přesnosti před měřením slouží k určení očekávané přesnosti měřených veličin v závislosti na zvoleném přístroji a počtu opakování měření. Přesnost totální stanice Trimble S6 je od výrobce definována směrodatnou odchylkou vodorovného směru v jedné skupině

.

Samotný směr nedává dostatečnou informaci o vzájemném vztahu více bodů, proto se při výpočtech používají vodorovné úhly. Vodorovný úhel měřený v jedné skupině se spočte jako rozdíl dvou vodorovných směrů (4.1) kde

– úhel měřený v jedné skupině – měřený směr

Parciální derivace dle neznámých určuje skutečné chyby (4.2) které jsou ale neznámé. Proto se následným umocněním se přejde na směrodatné odchylky (4.3) V průběhu jednoho měření lze předpokládat stejnou přesnost měření vodorovných směrů

. Poté se tvar zjednoduší (4.4)

po jeho odmocnění (4.5) Směrodatná odchylka vodorovného úhlu měřeného v jedné skupině je (4.6)

19

Rozbory přesnosti V pravidelných etapových měřeních byly úhly měřeny ve třech skupinách. Vztah pro výpočet výsledného průměrného úhlu je (4.7) kde

– úhel měřený ve třech skupinách – úhel měřený v první, druhé nebo třetí skupině

Parciální derivací dle neznámých se přejde na skutečné chyby (4.8) a následným umocněním se vyjádří směrodatné odchylky (4.9) Za předpokladu stejné přesnosti měření úhlů

dojde

ke zjednodušení tvaru na (4.10) Po jeho odmocnění (4.11) se za

dosadí z rovnice 4.6. Směrodatná odchylka vodorovného úhlu měřené-

ho ve třech skupinách je (4.12)

V experimentálních etapách, které byly měřeny mimo pravidelná etapová měření, byly vodorovné úhly měřeny ve čtyřech skupinách. Výsledný průměrný vodorovný úhel se spočte (4.13) kde

– úhel měřený ve čtyřech skupinách

20

Rozbory přesnosti – úhel měřený v první, druhé, třetí, čtvrté skupině Parciální derivace dle neznámých určují skutečné chyby (4.14) umocněním se přejde na směrodatné odchylky (4.15) Za předpokladu stejné přesnosti měření

lze

výraz zjednodušit (4.16) Po odmocnění (4.17) se do vztahu dosadí za

z rovnice 4.6. Směrodatná odchylka vodorovného

úhlu měřeného ve čtyřech skupinách je (4.18)

4.1.2

Rozbory přesnosti při měření

Zda-li přesnost měření odpovídá předpokládané přesnosti lze kontrolovat již v průběhu měření pomocí hodnot určených v rámci rozborů přesnosti při měření. V případě nedodržení očekávané přesnosti je pak možné přímo v terénu přidat další opakování měření, aby bylo docíleno požadované přesnosti. Při měření totální stanicí Leica byly měřené hodnoty zapisovány do zápisníku, bylo tak možné na místě byly porovnávat rozdíly mezi dvěma skupinami. V případě totální stanice Trimble byla měřená data registrována do kontroleru. Po dokončení měření umožňuje kontroler zobrazení směrodatné odchylky jednotlivých směrů a také zobrazení oprav mezi jednotlivými skupinami, které byly porovnány s výsledky rozborů při měření. Při testování přesnosti bude uvažována hladina významnosti povídá zvolenému koeficientu spolehlivosti 21

, která od-

. V závislosti na počtu měření

Rozbory přesnosti a hladině významnosti lze poté v příslušných tabulkách vyhledat kritickou hodnotu . Tabulka s kritickými hodnotami pro hladinu významnosti

je uvedena

například v [4]. Pro daný počet měření, která jsou v případě etapových měření tvořena 3 skupinami, je kritická hodnota

. Mezní velikost opravy pro vodorovný úhel je (4.19)

V případě experimentálních měření je pro 4 skupiny kritická hodnota , mezní velikost opravy je (4.20)

4.1.3

Rozbory přesnosti po měření

Rozbory přesnosti po měření umožňují určit, zda byla dodržena očekávaná přesnost měřených veličin. Vypočtená výběrová směrodatná odchylka měřené veličiny se porovná s mezní směrodatnou odchylkou. Pokud dojde k jejímu překročení, nebyla dodržena očekávaná přesnost. Výběrová směrodatná odchylka výsledného průměrného vodorovného úhlu se spočte ze vzorce (4.21) kde

– opravy vodorovných úhlů od průměrného vodorovného úhlu – počet skupin – počet vodorovných úhlů

Při měření vodorovných úhlů se mohou projevit systematické chyby z měření na počátek. Proto lze spočíst výběrovou směrodatnou odchylku, ve které se vliv systematických chyb neuplatní. Její výpočet probíhá podle vzorce (4.22) kde

– rozdíl opravy a průměrné opravy pro danou skupinu

22

Rozbory přesnosti Mezní směrodatná odchylka má v případě etapových měření hodnotu pro vodorovný úhel měřený ve třech skupinách (4.23) V případě experimentálních měření bylo měřeno ve čtyřech skupinách, mezní směrodatná odchylka pro vodorovný úhel ve čtyřech skupinách je (4.24)

4.2

Zenitové úhly 4.2.1

Rozbory přesnosti před měřením

Směrodatná odchylka zenitového úhlu měřeného totální stanicí Trimble S6 v jedné skupině je udávána výrobcem

.

Zenitový úhel se v případě etapových měření měří ve třech skupinách, průměrný zenitový úhel se vypočte dle vtahu (4.25) kde

– úhel měřený ve třech skupinách – úhel měřený v první, druhé nebo třetí skupině

Parciální derivace vzorce dle neznámých určují skutečné chyby (4.26) které jsou neznámé, proto se umocněním rovnice přejde na směrodatné odchylky (4.27) Lze očekávat stejnou přesnost zenitových úhlů

,

vztah se zjednoduší na tvar (4.28)

23

Rozbory přesnosti Po odmocnění (4.29) a dosazení se spočte směrodatná odchylka pro zenitový úhel měřený ve třech skupinách (4.30)

V experimentálních etapách byly zenitové úhly měřeny ve čtyřech skupinách. Vzorec pro výpočet průměrného zenitového úhlu (4.31) kde

– úhel měřený ve čtyřech skupinách – úhel měřený v první, druhé, třetí a čtvrté skupině

Parciální derivace určují skutečné chyby (4.32) umocněním se přejde na směrodatné odchylky (4.33) Očekává se stejná přesnost měření

, poté (4.34)

Po odmocnění (4.35) se dosadí za

a spočte se směrodatná odchylka pro zenitový úhel měřený ve

čtyřech skupinách (4.36)

24

Rozbory přesnosti

4.2.2

Rozbory přesnosti při měření

Stejně jako u vodorovných úhlů byla i u zenitových úhlů prováděna kontrola při měření. Pro testování byla opět použita hladina významnosti

. V rámci etapo-

vých měření byly měřeny zenitové úhly ve třech skupinách, kritická hodnota určená z tabulek je

. Mezní velikost opravy pro zenitový úhel je (4.37)

V případě experimentálních měření je pro 4 skupiny kritická hodnota . Mezní velikost opravy je (4.38)

4.2.3

Rozbory přesnosti po měření

Rozbory přesnosti po měření jsou stejné jako pro vodorovné úhly. Spočte se výběrová směrodatná odchylka výsledného průměrného zenitového úhlu (4.39) kde

– opravy zenitových úhlů od průměrného zenitového úhlu – počet skupin – počet zenitových úhlů

Následně se porovná s mezní směrodatnou odchylkou spočtenou pro etapová měření dle vzorce (4.40) V případě experimentálních měření má aposteriorní směrodatná odchylka hodnotu (4.41)

25

Určení mezních posunů a náklonů

5. Určení mezních posunů a náklonů Pro určení mezních velikostí posunů a náklonů budou použity průměrné hodnoty měřených veličin, průměrný zenitový úhel je

a průměrná šikmá délka

. Směrodatná odchylka centrace přístroje na stanovisku, při použití centrovače zabudovaného do totální stanice Trimble S6, byla určena v rámci experimentálního pokusu určení přesnosti optické centrace [7]. Výsledkem tohoto pokusu jsou směrodatné odchylky centrace v ose X

a v ose Y

(označení

os platí pro síť definovanou v rámci tohoto pokusu). Pro potřeby rozborů přesnosti určení souřadnic sledovaných bodů bude uvažována směrodatná odchylka centrace . Souřadnicová soustava je orientována tak, aby souřadnice X závisela téměř výlučně na úhlovém měření a souřadnice Y na délkovém měření. Posuny a náklony určené v jednotlivých osách lze považovat za jednorozměrné veličiny, proto bude v následujících výpočtech volen koeficient spolehlivosti

5.1

.

Posuny a náklony v ose X

Výpočet souřadnic sledovaných bodů probíhá vyrovnáním. Každá věž je však měřena pouze z jednoho stanoviska, nedochází tak k vyrovnání sledovaných bodů umístěných na věži. Mezní velikost posunu lze odvodit ze vzorce pro polární metodu. Souřadnice X se pomocí polární metody vypočte (5.1) kde

– souřadnice X určovaného bodu – souřadnice X stanoviska – měřená šikmé délka na určovaný bod – měřený zenitový úhel na určovaný bod – měřený vodorovný úhel na určovaný bod – směrník stanovisko – vztažný bod č. 54 26

Určení mezních posunů a náklonů Parciální derivace dle jednotlivých proměnných určují skutečné chyby (5.2) Souřadnice stanoviska a vztažného bodu č. 54 jsou považovány za bezchybné, proto se v předchozím vzorci nevyskytují. Vzhledem ke konfiguraci měřické sítě je součet měřeného vodorovného úhlu se směrníkem roven přibližně 305 gonů, proto lze zavést zjednodušení

a

. Poté (5.3)

Protože skutečné chyby jsou neznámé a vzájemně nezávislé, umocněním se přejde na směrodatné odchylky (5.4) Odmocněním se určí vztah pro směrodatnou odchylku souřadnice X (5.5) Do výpočtu je třeba zahrnout chybu z centrace, směrodatná odchylka určení souřadnice X se spočte (5.6) Posun bodu je rozdíl jeho souřadnic v nulté a některé z následujících etap, směrodatná odchylka posunu je (5.7) Vynásobením koeficientem spolehlivosti

se určí mezní velikost posunu v ose

X mezi etapami (5.8) Pro určení náklonu věže se nejdříve spočte rozdíl souřadnic dvou bodů, které jsou umístěné na stejné hraně věže. (5.9)

27

Určení mezních posunů a náklonů Směrodatná odchylka tohoto náklonu se určí jednoduchým odvozením, kdy parciální derivace dle neznámých určují skutečné chyby (5.10) následným umocněním se spočtou směrodatné odchylky (5.11) Lze předpokládat, že souřadnice obou bodů na stejné hraně věže, byly určeny se stejnou přesností

, poté (5.12)

V tomto případě nebude uvažována chyba z centrace, protože vliv, který má na určení souřadnic, se rozdílem vyloučí. Změna náklonu věže se následně spočte rozdílem rozdílů dvou bodů v nulté a některé z následujících etap (5.13) Směrodatná odchylka náklonu věže je (5.14) Velikost mezního náklonu se spočte vynásobením směrodatné odchylky posunu koeficientem spolehlivosti (5.15)

5.2

Posuny a náklony v ose Y

Souřadnice Y se polární metodou vypočte dle vzorce (5.16) kde

– souřadnice Y určovaného bodu – souřadnice Y stanoviska – měřená šikmé délka na určovaný bod – měřený zenitový úhel na určovaný bod

28

Určení mezních posunů a náklonů – měřený vodorovný úhel na určovaný bod – směrník stanovisko – vztažný bod č. 54 Parciální derivace vzorce dle neznámých určují skutečné chyby (5.17) Opět platí, že souřadnice stanoviska a vztažného bodu č. 54 jsou považovány za bezchybné, a proto se v předchozím vzorci nevyskytují. Zavede se stejné zjednodušení jako u osy X

a

Vzorec se zjednoduší (5.18)

jeho umocněním se dospěje ke směrodatné odchylce (5.19) Po započtení chyby z centrace se spočte směrodatná odchylka určení souřadnice Y (5.20) Směrodatná odchylka posunu se odvodí z rozdílu souřadnic v nulté a následující etapě (5.21) Stejně jako v případě osy X se určí mezní velikost posunu vynásobením koeficientem spolehlivosti (5.22) Odvození vzorce pro mezní náklon je stejné jako pro mezní náklon v souřadnici X. Velikost mezního náklonu se spočte dle vzorce (5.23)

29

Určení mezních posunů a náklonů

5.3

Posuny a náklony v ose Z

Výška přístroje se určuje zpětně od vztažného bodu č. 54, která je mezi etapami považována za neměnnou. Výška určovaných bodů se pomocí polární metody vypočte (5.24) kde

– souřadnice Z určovaného bodu – souřadnice Z vztažného bodu č. 54 – měřená šikmé délka na vztažný bod č. 54 – měřený zenitový úhel na vztažný bod č. 54 – měřená šikmé délka na určovaný bod – měřený zenitový úhel na určovaný bod

Parciální derivace dle všech proměnných určují skutečné chyby (5.25) Protože je výška vztažného bodu č. 54 považována za neměnnou, tak se její parciální derivace ve výpočtech skutečných chyb neobjevuje. Umocněním se přejde na směrodatné odchylky

(5.26) Předpokládá se stejná přesnost měřených zenitových úhlů a délek, proto a

. Dosazením se výraz zjednoduší (5.27)

Chyba z centrace nemá vliv na určení výšek, proto se v dalších výpočtech neuvažuje. Z rozdílu souřadnic v nulté a některé z následujících etap se odvodí směrodatná odchylka posunu (5.28) Mezní hodnota posunu v ose Z se spočte vynásobením směrodatné odchylky posunu

koeficientem spolehlivosti

30

Určení mezních posunů a náklonů (5.29) V případě osy Z se nejedná o náklon věže, ale o změnu její délky. Velikost mezní změny délky lze odvodit stejným způsobem jako hodnotu mezního náklonu pro osu X. Mezní změna délky se spočte (5.30)

31

Etapová měření

6. Etapová měření Sledování náklonů severní věže baziliky sv. Jiří začalo již v roce 2007 z prostoru vnitřního nádvoří přilehlého Kláštera benediktinek u sv. Jiří. Od roku 2009 bylo rozšířeno sledování náklonů obou věží ze stanovisek umístěných na náměstí U svatého Jiří u zadní části katedrály sv. Víta. V této kapitole bude provedeno zhodnocení výsledků etapových měření ze stanovisek S3 a S4, která se nacházejí u zadní části katedrály sv. Víta. Etapová měření jsou prováděna dvakrát ročně, vždy na jaře a na podzim, aby byly změny teplot v průběhu měření minimální. V následující tabulce 6.1 jsou uvedeny jednotlivé etapy a také teploty vzduchu, které byly v jejich průběhu naměřeny. Tab. 6.1 – Etapová měření a teploty v jejich průběhu Etapa

Datum

TS3

TS4

0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

23. 11. 2009 29. 6. 2010 8. 10. 2010 20. 4. 2011 25. 10. 2011 16. 5. 2012 10. 9. 2012 15. 4. 2013 20. 9. 2013

10°C 22°C 12°C 15°C 9°C 10°C 19°C 12°C 12°C

10°C 19°C 10°C 10°C 9°C 10°C 19°C 12°C 12°C

Měření byla do roku 2011 prováděna doc. Ing. Jaromírem Procházkou, CSc. Od 5. etapy měřené na jaře roku 2012 provádí měření Ing. Rudolf Urban, Ph.D. Současně v této etapě došlo ke změně přístrojového vybavení, kdy byla totální stanice Leica TC 1800 nahrazena totální stanicí Trimble S6.

6.1

Zhodnocení dosažené přesnosti

Všechna měření byla prováděna ve více opakováních, v případě totální stanice Leica byly měřeny dvě skupiny s dvojím cílením, totální stanicí Trimble bylo měřeno ve třech skupinách. Z nadbytečného počtu měření lze spočíst výběrové směrodatné odchylky měřených veličin a porovnat je s mezními směrodatnými odchylkami. Směrodatné odchylky měřených veličin pro přístroj Leica byly určené v rámci mé bakalářské práce [8], hodnoty mezních směrodatných odchylek jsou pro vodo32

Etapová měření rovné úhly

a pro zenitové úhly

. Směrodatné

odchylky vodorovných a zenitových úhlů měřených totální stanicí Trimble byly spočteny dle vzorců uvedených v kapitole 4. V tabulce 6.2 jsou uvedeny směrodatné odchylky vodorovných a zenitových úhlů a šikmých délek pro všechny etapy. Tab. 6.2 – Směrodatné odchylky vodorovných a zenitových úhlů a šikmých délek Etapa 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

σω [mgon] S3 0,28 0,41 0,12 0,25 0,09 0,11 0,13 0,11 0,11

S4 0,28 0,12 0,14 0,09 0,09 0,13 0,19 0,12 0,14

σξ [mgon] S3 0,17 0,16 0,11 0,07 0,28 0,12 0,10 0,16 0,18

S4 0,19 0,10 0,11 0,16 0,11 0,12 0,13 0,13 0,11

σd [mm] S3 0,37 0,31 0,28 0,26 0,17 0,22 0,24 0,28 0,25

S4 0,38 0,42 0,40 0,53 0,24 0,23 0,18 0,22 0,19

U vodorovných úhlů nebyla mezní směrodatná odchylka překročena v žádné z etap. Pouze ve 4. etapě byla překročena mezní směrodatná odchylka pro zenitový úhel na stanovisku S3. Proto lze říci, že všechna měření splnila očekávanou přesnost. Vypočtené směrodatné odchylky vodorovných a zenitových úhlů posloužily jako vstup do vyrovnání sítě pro určení souřadnic. Pro potřeby vyrovnání byla zvolena směrodatná odchylka šikmých délek 1 milimetr, která zahrnuje i vliv systematických chyb měření délek. Vypočtené směrodatné odchylky šikmých délek posloužily pro určení hodnot mezních posunů a náklonů. Ze směrodatných odchylek byly vypočtené hodnoty mezních posunů a náklonů, číselně jsou uvedeny v přílohách. Jedním z výsledků vyrovnání v programu gama-local je i aposteriorní směrodatná odchylka, která se porovná s intervalem určeným v rovnici 3.7 uvedené v kapitole 3.3. V tabulce 6.3 jsou uvedeny aposteriorní směrodatné odchylky určené z vyrovnání. Ve všech etapách, s výjimkou 4. etapy, nebude nulová hypotéza zamítnuta. Platí tedy, že náhodný výběr s výběrovou směrodatnou odchylkou základního souboru se směrodatnou odchylkou

je proveden ze

. Drobné překročení tohoto in-

tervalu ve 4. etapě může být způsobeno zvolením příliš přísných směrodatných odchylek měřených veličin vstupujících do vyrovnání. Protože se však jedná o stejnou

33

Etapová měření etapu, ve které byla překročena mezní směrodatná odchylka pro zenitový úhel, je možné, že měření bylo ovlivněno deštěm v průběhu měření. Tab. 6.3 – Aposteriorní směrodatné odchylky určené z vyrovnání Etapa 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

6.2

σ 1,22 0,94 0,46 0,99 1,53 1,23 1,15 0,99 0,87

Výsledky etapového měření

Rozdílem souřadnic určených vyrovnáním mezi jednotlivými etapami lze určit posuny bodů a také změny náklonů věží. Náklony budou určovány pouze pro dvojice bodů, které jsou na věži umístěny na stejné hraně věže. Na severní věži se jedná o dvojice bodů 12-13, 14-15 a 16-17, na jižní věži jsou to dvojice bodů 22-23, 24-25 a 26-27. Při posuzování náklonů je nutné vzít v úvahu, že vzájemná vzdálenost bodů v jednotlivých dvojicích je necelých 8 metrů pro severní věž a 7 metrů pro jižní věž, přičemž vrchní stabilizované body jsou umístěny ve výšce 26 metrů. Jedná se tedy o náklon určený na necelé třetině výšky věže (není brána v úvahu vrchní kamenná helmice věže). Při určování náklonů není v úvahu brána kamenná helmice věže ze dvou důvodů. Tím prvním je, že na helmici věže je umístěn pouze jeden sledovaný bod, a tak by bylo určení náklonu helmice obtížné. Tím hlavním důvodem je však nestabilita helmice věže v závislosti na teplotě a oslunění. Ve své bakalářské práci [8] jsem dospěl ke zjištění, že za slunečného dne může v jeho průběhu dojít ke změně polohy bodu, umístěného na vrcholu hlavice věže, až o několik milimetrů. V případě ostatních sledovaných bodů překročila změna jejich polohy v průběhu dne hodnotu 1 milimetru pouze ve výjimečných případech. Je to způsobeno tím, že konstrukce helmice věže není tak mohutná jako konstrukce věže samotné, je tak více ovlivněna vnějšími podmínkami.

34

Etapová měření

6.2.1

Posuny a náklony v ose X

Při přípravě etapových měření byla orientace měřické sítě volena tak, aby se při určování posunů a náklonů v osách X a Y projevil vliv pouze úhlového nebo délkového měření. Souřadnice bodů v ose X jsou nejvíce ovlivněny úhlovým měřením, vliv délkového měření je pouze minimální. Na severní věži byly prokázány posuny pouze na bodě č. 11 ve třech etapách a také na bodě č. 16 v první etapě. I na ostatních bodech v těchto etapách dosahují posuny větších hodnot než v ostatních etapách. V první a třetí etapě docházelo k velké změně teploty v průběhu měření, lze tedy očekávat značný vliv oslunění na posun bodů věže. Jelikož je posun u všech bodů přibližně stejný, neprojevily se tyto posuny v náklonu věže. Tab. 6.4 – Náklony severní věže v ose X vztažené k nulté etapě a teploty vzduchu Bod 11 12 13 14 15 16 17 12-13 14-15 16-17 Teplota

0. et 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 10°C

Posuny a náklony severní věže v ose X [mm] 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. 5. et. 6. et. 3,63 0,83 2,01 0,68 2,36 0,94 2,07 0,44 1,69 -0,07 1,55 0,68 1,13 0,05 1,22 -0,53 0,29 0,24 1,73 0,37 1,37 -0,52 0,63 0,09 1,80 0,36 1,74 0,52 0,29 0,48 2,53 1,00 1,76 -0,09 0,65 0,89 1,73 0,59 1,69 0,15 0,64 0,45 0,94 0,39 0,47 0,46 1,26 0,44 -0,07 0,01 -0,37 -1,04 0,34 -0,39 0,80 0,41 0,07 -0,24 0,01 0,44 22°C 12°C 15°C 9°C 10°C 19°C

7. et. -0,58 0,98 0,91 1,09 1,00 1,36 0,86 0,07 0,09 0,50 12°C

8. et. 1,18 1,12 0,18 0,38 0,03 0,60 0,43 0,94 0,35 0,17 12°C

U jižní věže je prokazatelných posunů mnohem více, a to zejména ve druhé a osmé etapě. Přestože tomu teploty nenaznačují, velké hodnoty posunů v osmé etapě mohly být způsobeny silným osluněním věže v průběhu měření. Oslunění se nemuselo projevit na severní věži, protože ta je v dopoledních hodinách stíněna právě jižní věží. V ostatních etapách dochází k posunům pouze u několika málo bodů, největší posuny jsou naměřeny na bodě č. 21, který se nachází na vrcholu věže. Také byl prokázán náklon věže v páté a osmé etapě.

35

Etapová měření Tab. 6.5 – Náklony jižní věže v ose X vztažené k nulté etapě a teploty vzduchu Bod 21 22 23 24 25 26 27 22-23 24-25 26-27 Teplota

0. et 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 10°C

Posuny a náklony jižní 1. et. 2. et. 3. et. 2,13 4,76 1,49 0,02 2,21 -0,26 -0,20 1,61 -0,52 -0,39 1,90 -0,18 0,08 0,84 -0,47 0,29 1,93 0,23 1,02 2,37 0,98 0,22 0,60 0,26 -0,47 1,06 0,29 -0,73 -0,44 -0,75 19°C 10°C 10°C

věže v ose X [mm] 4. et. 5. et. 6. et. 4,37 2,30 3,32 1,67 0,94 1,66 1,51 0,06 1,31 1,31 0,85 1,47 0,18 -1,03 0,06 1,66 0,99 2,46 1,17 1,04 2,46 0,16 0,88 0,35 1,13 1,88 1,41 0,49 -0,05 0,00 9°C 10°C 19°C

7. et. -2,12 -0,91 -1,73 -1,54 -2,13 -0,87 -0,15 0,82 0,59 -0,72 12°C

8. et. 6,31 3,77 2,74 2,70 0,98 4,15 3,13 1,03 1,72 1,02 12°C

Představu o závislosti velikosti posunu na teplotě si lze udělat z obrázků 6.1 a 6.2. Pro lepší názornost byly vybrány body č. 11 a č. 21, které se nacházejí na vrcholech věží. Pro hodnocení dlouhodobé stability věží tyto dva body vhodné nejsou, následující obrázky však mají za cíl znázornit závislost velikosti posunu na teplotě, která se právě nejvíce projeví na těchto bodech. Na bodě č. 11 je patrná závislost na teplotě, pouze v 6. etapě nedosahuje posun očekávané velikosti vzhledem k relativně vysoké teplotě vzduchu. Na bodě č. 21 není závislost velikosti posunu na teplotě tak výrazná. Velký posun v osmé etapě odpovídá posunům určeným na ostatních bodech věže, způsobených silným osluněním věže v průběhu měření. 7,0

25

6,0 5,0

20

3,0

15

2,0 1,0 0,0 0. et. -1,0

10 1. et.

2. et.

3. et.

4. et.

5. et.

6. et.

7. et.

Teplota [°C]

Posun ΔX [mm]

4,0 ΔX T

8. et. 5

-2,0 -3,0

0

Obr. 6.1 – Znázornění velikosti posunů bodu č. 11 v ose X a vývoj teploty vzduchu

36

Etapová měření 7,0

25

6,0 5,0

20

3,0

15

2,0 1,0

10

0,0 0. et. -1,0

1. et.

2. et.

3. et.

4. et.

5. et.

6. et.

7. et.

Teplota [°C]

Posun ΔX [mm]

4,0 ΔX T

8. et. 5

-2,0 -3,0

0

Obr. 6.2 – Znázornění velikosti posunů bodu č. 21 v ose X a vývoj teploty vzduchu

6.2.2

Posuny a náklony v ose Y

Na určení posunů a náklonů v ose Y má vzhledem k orientaci měřické sítě hlavní vliv délkové měření, vliv úhlového měření je minimální. V ose Y dochází na severní věži k překročení mezní hodnoty posunu převážně na bodě č. 11. Od 5. etapy dochází k nárůstu počtů překročení mezní hodnoty posunu a také ke změně velikosti náklonů. Tento náhlý skok ve velikosti náklonů je viditelný na obou věžích, jedná se o změnu náklonu o velikosti dva až tři milimetry oproti předchozím etapám. Tab. 6.6 – Náklony severní věže v ose Y vztažené k nulté etapě a teploty vzduchu Bod 11 12 13 14 15 16 17 12-13 14-15 16-17 Teplota

0. et 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 10°C

Posuny a náklony severní věže v ose Y [mm] 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. 5. et. 6. et. 3,33 -2,39 2,02 -1,86 -2,88 -0,38 -0,27 -2,07 -0,46 -0,84 -0,72 1,18 -0,28 -1,03 -0,48 -0,82 -0,65 0,76 0,76 -1,19 0,65 -0,47 -1,23 0,62 -0,22 -1,08 -0,36 -0,66 1,04 2,93 1,35 -0,93 0,94 -0,17 -0,80 1,12 -0,54 -1,23 -0,76 -0,91 0,34 2,14 0,01 -1,04 0,02 -0,02 -0,07 0,42 0,98 -0,11 1,01 0,19 -2,27 -2,31 1,89 0,30 1,70 0,74 -1,14 -1,02 22°C 12°C 15°C 9°C 10°C 19°C

37

7. et. 2,56 1,21 0,20 1,01 1,97 0,94 1,30 1,01 -0,96 -0,36 12°C

8. et. -2,09 0,18 0,36 -0,44 2,01 0,40 1,63 -0,18 -2,45 -1,23 12°C

Etapová měření Obdobná situace nastává u výsledků měření jižní věže. Zatímco v prvních čtyřech etapách došlo pouze výjimečně k překročení mezní velikosti posunu, od páté etapy se objevují prokazatelné posuny na většině sledovaných bodů. Tab. 6.7 – Náklony jižní věže v ose Y vztažené k nulté etapě a teploty vzduchu Bod 21 22 23 24 25 26 27 22-23 24-25 26-27 Teplota

0. et 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 10°C

Posuny a náklony jižní 1. et. 2. et. 3. et. 0,72 -2,10 -0,77 1,28 0,07 1,05 -0,85 -1,26 -0,39 0,02 0,33 -0,31 0,06 -0,36 -0,74 0,92 0,07 0,42 0,11 -0,92 -0,57 2,13 1,33 1,44 -0,04 0,69 0,43 0,81 0,99 0,99 19°C 10°C 10°C

věže v ose Y [mm] 4. et. 5. et. 6. et. -1,77 -2,10 1,24 0,14 -1,78 0,49 -0,13 2,24 3,93 -0,94 -0,96 1,95 -0,30 1,76 4,86 -0,63 -1,61 2,09 -0,40 0,74 3,51 0,27 -4,02 -3,44 -0,64 -2,72 -2,91 -0,23 -2,35 -1,42 9°C 10°C 19°C

7,0

7. et. 1,00 -0,29 2,59 0,71 2,87 -0,04 1,94 -2,88 -2,16 -1,98 12°C

8. et. -1,11 -0,87 2,68 0,15 2,97 0,10 2,06 -3,55 -2,82 -1,96 12°C

25

6,0 20

4,0 3,0

15

2,0 1,0 0,0 0. et. -1,0

10 1. et.

2. et.

3. et.

4. et.

5. et.

6. et.

7. et.

Teplota [°C]

Posun ΔY [mm]

5,0

ΔY T

8. et. 5

-2,0 -3,0

0

Obr. 6.3 – Znázornění velikosti posunů bodu č. 11 v ose Y a vývoj teploty vzduchu Právě v páté etapě došlo k nahrazení totální stanice Leica totální stanicí Trimble. Vzhledem k orientaci měřické sítě, závisí posuny a náklony v ose Y z převážné části na dálkoměru. Dálkoměr Leica má deklarovanou přesnost 1 mm + 2 ppm, dálkoměr Trimble 1 mm + 1 ppm. Kdyby však byl rozdíl mezi naměřenými délkami způsoben pouze systematickou složkou, došlo by k jejímu vyloučení při určování náklonů. Je pravděpodobné, že naměřené délky jsou ovlivněny i dalšími nesystematickými vlivy. 38

Etapová měření Pro lepší určení rozdílu mezi dálkoměry Leica a Trimble bylo provedeno porovnávací měření jedné etapy, které je podrobněji zpracováno v kapitole 6.3. Z grafů znázorňujících posuny bodů č. 11 a č. 21 je patrná závislost velikosti posunů na teplotě. S rostoucí teplotou dochází k náklonu věže ve směru k západu. Pravidelná etapová měření probíhají v dopoledních hodinách, kdy je věž osluněna z východní strany. Ta se tudíž více ohřívá a proto dochází k odklonu na západ. 7,0

25

6,0 20

4,0 3,0

15

2,0 1,0

10

0,0 0. et. -1,0

1. et.

2. et.

3. et.

4. et.

5. et.

6. et.

7. et.

Teplota [°C]

Posun ΔY [mm]

5,0

ΔY T

8. et. 5

-2,0 -3,0

0

Obr. 6.4 – Znázornění velikosti posunů bodu č. 21 v ose Y a vývoj teploty vzduchu

6.2.3

Posuny a náklony v ose Z

Prokazatelné posuny v ose Z se u severní věže vyskytují hlavně v etapách, při kterých byly naměřeny nejvyšší teploty vzduchu, tedy v první a šesté etapě. Tab. 6.8 – Náklony severní věže v ose Z vztažené k nulté etapě a teploty vzduchu Bod 11 12 13 14 15 16 17 12-13 14-15 16-17 Teplota

0. et 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 10°C

Posuny a náklony severní věže v ose Z [mm] 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. 5. et. 6. et. 2,94 1,34 1,01 -0,14 0,31 2,55 2,37 0,62 0,60 0,66 0,36 0,83 0,89 0,25 0,18 0,20 -0,51 0,35 1,80 0,90 0,51 0,19 0,11 0,86 0,83 0,05 0,10 -0,34 -0,32 0,14 1,19 0,41 -0,22 0,16 -0,03 1,00 1,08 1,15 0,49 0,80 0,11 0,46 1,48 0,37 0,42 0,46 0,87 0,48 0,97 0,85 0,41 0,53 0,43 0,72 0,11 -0,74 -0,71 -0,64 -0,14 0,54 22°C 12°C 15°C 9°C 10°C 19°C

39

7. et. 0,51 -0,30 -0,62 -0,90 -1,43 -0,93 -0,76 0,32 0,53 -0,17 12°C

8. et. 1,51 0,48 0,00 0,57 -0,58 0,33 0,55 0,48 1,15 -0,22 12°C

Etapová měření V ostatních etapách dochází pouze k výjimečnému překročení hodnoty mezního posunu. U jižní věže se též vyskytují výraznější posuny v první etapě téměř na všech sledovaných bodech. Více posunů bylo prokázaných také v posledních třech etapách. Tab. 6.9 – Náklony jižní věže v ose Z vztažené k nulté etapě a teploty vzduchu Bod 21 22 23 24 25 26 27 22-23 24-25 26-27 Teplota

0. et 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 10°C

Posuny a náklony jižní 1. et. 2. et. 3. et. 3,69 0,69 1,13 1,67 0,62 0,74 1,23 0,75 0,51 1,61 0,36 0,65 1,53 0,87 0,34 1,31 -0,05 -0,03 1,14 0,09 -0,43 0,44 -0,13 0,23 0,08 -0,51 0,31 0,17 -0,14 0,40 19°C 10°C 10°C

věže v ose Z [mm] 4. et. 5. et. 6. et. -0,47 1,17 3,35 0,17 0,69 1,58 0,01 -0,09 0,49 -0,38 0,59 1,63 -0,56 -0,31 0,54 -1,35 -0,36 0,94 -0,37 -0,41 0,21 0,16 0,78 1,09 0,18 0,90 1,09 -0,98 0,05 0,73 9°C 10°C 19°C

7. et. 0,72 -0,33 -1,45 -1,05 -1,67 -0,69 -0,65 1,12 0,62 -0,04 12°C

8. et. 0,99 1,18 0,14 0,78 0,20 0,20 -0,36 1,04 0,58 0,56 12°C

Ze všech tří os je v ose Z nejlépe viditelná závislost velikosti posunu na teplotě. S rostoucí teplotou dochází k roztahování konstrukce věže, což způsobuje větší posun bodů. 7,0

25

6,0 5,0

20

3,0

15

2,0 1,0 0,0 0. et. -1,0

10 1. et.

2. et.

3. et.

4. et.

5. et.

6. et.

7. et.

Teplota [°C]

Posun ΔZ [mm]

4,0 ΔZ T

8. et. 5

-2,0 -3,0

0

Obr. 6.5 – Znázornění velikosti posunů bodu č. 11 v ose Z a vývoj teploty vzduchu

40

Etapová měření 7,0

25

6,0 5,0

20

3,0

15

2,0 1,0

10

0,0 0. et. -1,0

1. et.

2. et.

3. et.

4. et.

5. et.

6. et.

7. et.

Teplota [°C]

Posun ΔZ [mm]

4,0 ΔZ T

8. et. 5

-2,0 -3,0

0

Obr. 6.6 – Znázornění velikosti posunů bodu č. 21 v ose Z a vývoj teploty vzduchu

6.2.4

Náklony věží přepočtené na celkovou délku věží

Náklony obou věží se určují z rozdílu posunu dvou bodů umístěných na stejné hraně věže. Pro lepší představu o náklonu celé věže lze spočtené náklony poměrově přepočítat na celkovou délku věže (kamenná hlavice věže opět nebude brána v úvahu). Vzdálenost mezi dvojicí bodů umístěných na stejné hraně věže je necelých 8 metrů u severní věže a 7 metrů u jižní věže. Vrchní body se nachází ve výšce 26 metrů. Koeficient přepočtu na celkovou délku věže se spočte vydělením výšky věže vzdáleností mezi dvěma sledovanými body. Pro severní věž má koeficient hodnotu 3,3 a pro jižní věž 3,8. Vynásobením spočteného náklonu tímto koeficientem se spočte náklon celé věže. V tabulce 6.10 jsou uvedeny náklony severní věže. Všechny prokazatelné náklony jsou v ose Y, která je závislá na délkovém měření. V případě hrany definované body 14-15 se všechny tři prokazatelné náklony se vyskytují v etapách, které byly měřeny pomocí totální stanice Trimble. Z tabulky 6.11 je patrné, že většina prokazatelných posunů se vyskytuje opět v ose Y, a to od páté etapy, kdy byla totální stanice Leica nahrazena totální stanicí Trimble. Tyto posuny se také velmi liší svou velikostí, oproti posunům prokázaným v ostatních osách jsou téměř dvojnásobné. Protože výsledky v souřadnici Y jsou zá-

41

Etapová měření vislé na délkovém měření, budou tyto náklony pravděpodobně způsobeny rozdílnými dálkoměry totálních stanic Leica a Trimble. Tab. 6.10 – Náklony přepočtené na celou délku severní věže vztažené k nulté etapě Náklony severní věže přepočtené na celou délku věže [mm] Náklon Osa 0. et. 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. 5. et. 6. et. 7. et. X 0 3 1 2 2 4 1 0 12-13 Y 0 0 -3 0 0 0 1 3 Z 0 5 1 1 2 3 2 1 X 0 0 0 -1 -3 1 -1 0 14-15 Y 0 3 0 3 1 -8 -8 -3 Z 0 3 3 1 2 1 2 2 X 0 3 1 0 -1 0 1 2 16-17 Y 0 6 1 6 2 -4 -3 -1 Z 0 0 -2 -2 -2 0 2 -1 Teplota 10°C 22°C 12°C 15°C 9°C 10°C 19°C 12°C

8. et. 3 -1 2 1 -8 4 1 -4 -1 12°C

Tab. 6.11 – Náklony přepočtené na celou délku jižní věže vztažené k nulté etapě Náklony jižní věže přepočtené na celou délku věže [mm] Náklon Osa 0. et. 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. 5. et. 6. et. 7. et. X 0 1 2 1 1 3 1 3 22-23 Y 0 8 5 5 1 -15 -13 -11 Z 0 2 0 1 1 3 4 4 X 0 -2 4 1 4 7 5 2 24-25 Y 0 0 3 2 -2 -10 -11 -8 Z 0 0 -2 1 1 3 4 2 X 0 -3 -2 -3 2 0 0 -3 26-27 Y 0 3 4 4 -1 -9 -5 -7 Z 0 1 -1 2 -4 0 3 0 Teplota 10°C 19°C 10°C 10°C 9°C 10°C 19°C 12°C

6.3

8. et. 4 -13 4 7 -11 2 4 -7 2 12°C

Porovnávací měření Leica TC 1800 a Trimble S6

Délková měření pomocí totálních stanic Leica a Trimble vykazují znatelné rozdíly, které mají vliv na výsledky pravidelných sledovacích měření. Proto bylo v rámci poslední experimentální etapy provedeno porovnávací měření pro určení rozdílů mezi těmito totálními stanicemi. Nejprve bylo provedeno měření experimentální etapy totální stanicí Trimble ve čtyřech skupinách. Poté byla beze změny centrace do trojnožky vsazena totální stanice Leica. Přestože totální stanice Leica uvádí měřené délky na čtyři desetinná místa, rozdíl mezi jednotlivými opakováními měření na daný bod byl buď nulový nebo měl

42

Etapová měření vždy hodnotu násobku celých milimetrů. Měření tak bylo provedeno pouze v jedné skupině s dvojím cílením, protože dalším zvýšením počtu opakování měření by vzhledem k přesnosti dálkoměru Leica nedošlo k výraznému snížení velikosti nahodilé chyby dálkoměru. Šikmá délka tedy byla pomocí totální stanice Leica měřena na každý bod čtyřikrát. Stejný postup byl opakován také na druhém stanovisku. V tabulce 6.12 jsou uvedeny rozdíly mezi vyrovnanými souřadnicemi a náklony určenými z měření totálními stanicemi Leica a Trimble. Pro úhlové měření mají obě totální stanice deklarovanou přesnost od výrobce pro vodorovný směr a zenitový úhel měřený v jedné skupině

. Nedají se tedy předpokládat vý-

razné rozdíly v souřadnicích X a Z, které nejvíce závisí na úhlovém měření. Což se potvrdilo, žádný z rozdílů v ose X nepřekročil 1 milimetr, v ose Z je výraznější pouze rozdíl na bodě 12, který mohl být způsoben chybou měření. Tab. 6.12 – Rozdíly v souřadnicích a náklonech porovnávacího měření Severní věž – Rozdíly [mm] Bod X Y Z 11 0,70 1,56 -0,91 12 -0,18 1,75 -1,72 13 0,60 1,71 -0,42 14 -0,17 1,58 -0,24 15 0,26 3,51 -0,42 16 -0,18 0,98 -0,56 17 -0,56 2,74 -0,91 12-13 -0,78 0,04 -1,30 14-15 -0,43 -1,93 0,18 16-17 0,38 -1,76 0,35

Bod 21 22 23 24 25 26 27 22-23 24-25 26-27

Jižní věž – Rozdíly [mm] X Y -0,01 0,19 0,38 -0,74 0,53 2,82 0,56 1,38 0,55 4,38 0,39 -0,52 -0,21 1,89 -0,15 -3,56 0,01 -3,00 0,60 -2,41

Z 0,32 0,21 0,11 -0,43 0,29 0,18 0,22 0,10 -0,72 -0,04

Tab. 6.13 – Měřené šikmé délky a jejich rozdíly Bod 54 12 13 14 15 11 16 17 55 56

Trimble Leica Rozdíl [mm] 62,5309 62,5317 -0,80 101,6513 101,6534 -2,10 100,1617 100,1634 -1,67 96,3265 96,3281 -1,65 94,7608 94,7643 -3,44 102,8482 102,8499 -1,61 96,8240 96,8251 -1,09 95,2957 95,2986 -2,90 63,7335 63,7342 -0,69 70,2686 70,2703 -1,69

Bod 54 55 22 23 24 25 21 26 27 56

43

Trimble 72,2219 69,9164 108,5732 107,2802 102,2529 100,8483 109,1668 102,7246 101,3622 69,8613

Leica Rozdíl [mm] 72,2228 -0,94 69,9165 -0,05 108,5725 0,75 107,2830 -2,75 102,2544 -1,41 100,8526 -4,34 109,1670 -0,11 102,7241 0,50 101,3641 -1,92 69,8612 0,05

Etapová měření Výraznější rozdíly jsou dle předpokladů v ose Y. Porovnávací měření bylo provedeno beze změny centrace a obě totální stanice mají stejnou výšku točné osy dalekohledu nad trojnožkou, lze přímo porovnávat šikmé délky. V tabulce 6.13 jsou uvedeny měřené šikmé délky a jejich rozdíly. Vzhledem k proměnlivé velikosti rozdílů mezi měřenými délkami lze říci, že tyto rozdíly nejsou způsobeny pouze systematickou chybou dálkoměru. Spočtené rozdíly byly použity jako opravy k měřeným délkám v již naměřených etapách. Opraveny byly šikmé délky v nulté až čtvrté etapě, které byly měřeny totální stanicí Leica. Tyto etapy byly zvoleny proto, že měření pomocí totální stanice Leica již bylo ukončeno, a tak nebude nutné v budoucnu zavádět tyto opravy do dalších vyrovnání. Nově vyrovnané posuny a náklony v ose Y jsou uvedeny v tabulkách 6.14 a 6.15. Opravené posuny a náklony pro souřadnice X a Z jsou uvedeny v přílohách. Tab. 6.14 – Opravené náklony severní věže v ose Y vztažené k nulté etapě Bod 11 12 13 14 15 16 17 12-13 14-15 16-17 Teplota

0. et 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 10°C

Posuny a náklony severní věže v ose Y [mm] 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. 5. et. 6. et. 3,25 -2,49 1,93 -1,87 -4,47 -1,97 -0,26 -2,06 -0,45 -0,83 -2,76 -0,86 -0,27 -1,03 -0,48 -0,82 -2,33 -0,92 0,77 -1,18 0,65 -0,47 -2,78 -0,93 -0,21 -1,09 -0,36 -0,66 -2,31 -0,42 1,37 -0,93 0,95 -0,17 -1,86 0,06 -0,53 -1,23 -0,75 -0,91 -2,50 -0,70 0,01 -1,03 0,03 -0,01 -0,43 0,06 0,98 -0,09 1,01 0,19 -0,47 -0,51 1,90 0,30 1,70 0,74 0,64 0,76 22°C 12°C 15°C 9°C 10°C 19°C

7. et. 0,97 -0,83 -1,48 -0,54 -1,38 -0,12 -1,54 0,65 0,84 1,42 12°C

8. et. -3,68 -1,86 -1,32 -1,99 -1,34 -0,66 -1,21 -0,54 -0,65 0,55 12°C

Ve všech etapách měřených totální stanicí Leica byly opraveny všechny měřené délky stejně, proto nedošlo v těchto etapách k výrazným změnám ve velikostech posunů a náklonů. Teprve až od páté etapy dochází ke změnám hodnot posunů. V případě severní věže byly v páté etapě prokázány posuny na všech bodech. Protože hodnoty posunů mají velmi podobnou velikost i znaménko, lze předpokládat, že byly způsobeny systematickou chybou měření. Vzhledem ke stejným teplotám, které byly změřeny v průběhu nulté a páté etapy, nelze tento systematický posun zdůvodnit rozdílnými teplotami v průběhu měření. V následujících etapách už nebyly podobně velké posuny u všech bodů prokázány, mohlo se tak jednat např. o chybu

44

Etapová měření v centraci na stanovisku. Taktéž nebyly potvrzeny náklony určených na hraně definované body 14-15 v etapách č. 5, 6 a 7. Nově byl prokázán náklon hrany 16-17 v sedmé etapě. Výsledky měření jižní věže vykazují větší změny, u většiny dříve prokázaných posunů došlo ke zmenšení jejich velikosti. Totéž platí pro určení náklonů věže. Zatímco v případě etapových měření došlo k překročení mezní hodnoty náklonu ve všech etapách měřených totální stanicí Trimble, nyní v těchto etapách nebyl prokázán žádný náklon. Tab. 6.15 – Opravené náklony jižní věže v ose Y vztažené k nulté etapě Bod 21 22 23 24 25 26 27 22-23 24-25 26-27 Teplota

0. et 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 10°C

Posuny a náklony jižní 1. et. 2. et. 3. et. 0,64 -2,19 -0,75 1,29 -0,03 0,96 -0,85 -1,26 -0,49 0,02 0,34 -0,40 0,07 -0,25 -0,63 0,93 0,07 0,42 0,12 -0,92 -0,56 2,14 1,23 1,45 -0,05 0,59 0,23 0,81 0,99 0,98 19°C 10°C 10°C

věže v ose Y [mm] 4. et. 5. et. 6. et. -1,75 -2,27 1,07 0,04 -1,09 1,18 -0,23 -0,52 1,17 -0,93 -2,41 0,50 -0,29 -2,46 0,64 -0,63 -1,12 2,58 -0,30 -1,11 1,66 0,27 -0,57 0,01 -0,64 0,05 -0,14 -0,33 -0,01 0,92 9°C 10°C 19°C

7. et. 0,83 0,40 -0,17 -0,74 -1,35 0,45 0,09 0,57 0,61 0,36 12°C

8. et. -1,28 -0,18 -0,08 -1,30 -1,25 0,59 0,21 -0,10 -0,05 0,38 12°C

Tab. 6.16 – Náklony přepočtené na celou délku severní věže vztažené k nulté etapě Náklony severní věže přepočtené na celou délku věže [mm] Osa 0. et. 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. 5. et. 6. et. 7. et. X 0 3 1 2 2 4 2 0 12-13 Y 0 0 -3 0 0 -1 0 2 Z 0 5 1 1 2 4 2 2 X 0 0 0 -1 -4 1 -2 0 14-15 Y 0 3 0 3 1 -2 -2 3 Z 0 3 3 1 2 1 2 1 X 0 3 1 0 -1 -1 1 1 16-17 Y 0 6 1 6 2 2 3 5 Z 0 0 -2 -2 -2 -1 1 -1 Teplota 10°C 22°C 12°C 15°C 9°C 10°C 19°C 12°C

Náklon

8. et. 3 -2 2 1 -2 3 0 2 -1 12°C

V tabulkách 6.16 a 6.17 jsou uvedeny náklony přepočtené na celkovou délku věží. Pro severní věž nebyly prokázány náklony pro hranu věže definovanou body 14-15 v žádné etapě. Nově došlo k prokázání náklonu v páté etapě hrany definované body 12-13 v ose X a v sedmé etapě hrany 16-17 v ose Y. 45

Etapová měření U jižní věže se nyní nepodařilo prokázat žádný z náklonů určený v ose Y od páté etapy dále, všechny dříve prokázané náklony byly způsobeny rozdílnými dálkoměry totálních stanic. U náklonů v osách X a Z nedošlo k žádným změnám, protože vliv délkového měření na souřadnice v těchto osách je minimální. Tab. 6.17 – Náklony přepočtené na celou délku jižní věže vztažené k nulté etapě Náklon

Osa X 22-23 Y Z X 24-25 Y Z X 26-27 Y Z Teplota

Náklony jižní věže přepočtené na celou délku věže [mm] 0. et. 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. 5. et. 6. et. 7. et. 0 1 2 1 1 3 1 2 0 8 5 5 1 -2 0 2 0 2 0 1 1 1 2 2 0 -2 4 1 4 7 5 2 0 0 2 1 -2 0 -1 2 0 0 -2 1 1 2 3 1 0 -3 -2 -3 2 -1 -1 -4 0 3 4 4 -1 0 3 1 0 1 0 2 -4 -1 1 -2 10°C 19°C 10°C 10°C 9°C 10°C 19°C 12°C

8. et. 3 0 2 6 0 1 3 1 1 12°C

Zavedením oprav k měřeným délkám došlo ke zlepšení výsledků. Lze předpokládat, že posuny a náklony, prokázané v rámci etapových měření v posledních čtyřech etapách, nebyly způsobeny pouze samotným pohybem věží, ale i rozdílnými dálkoměry totálních stanic. Jak dokazují proměnlivé rozdíly naměřených šikmých délek, nepůsobí zde pouze systematické chyby dálkoměru, ale i další nahodilé chyby. Jejich příčinu však nelze spolehlivě určit.

46

Experimentální měření

7. Experimentální měření Jak ukazují výsledky etapových měření, velikost posunů a náklonů je závislá na teplotě. Pro podrobnější určení této závislosti však nejsou etapová měření příliš vhodná, protože teploty, panující v průběhu měření, se mezi jednotlivými etapami ve většině případů mnoho nelišilí. Proto byla provedena experimentální měření, jejichž cílem je určení závislosti posunů a náklonů věží baziliky sv. Jiří na teplotě vzduchu a také určení stability vztažné sítě v závislosti na teplotě vzduchu. V průběhu jednoho roku bylo změřeno ke dvěma pravidelným etapám pět experimentálních etap. Termíny experimentálních měření byly voleny tak, aby mezi jednotlivými etapami byl přibližně měsíční rozestup. Současně byla snaha, aby teplotní podmínky v průběhu měření byly co nejvíce odlišné od podmínek panujících při pravidelných etapových měřeních. Vzhledem k rozdílným výsledkům z měření pomocí totálních stanic Leica a Trimble nebudou pro zkoumání závislosti velikosti posunů a náklonů na teplotě použita měření provedená totální stanicí Leica. Jako nultá etapa pro vyhodnocení bude použita první etapa měřená totální stanicí Trimble, která je v rámci etapových měření značena jako pátá etapa. Tab. 7.1 – Etapová měření a teploty v jejich průběhu Etapa

Datum

TS3

TS4

0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

16.05.2012 10.09.2012 22.03.2013 15.04.2013 14.05.2013 20.06.2013 20.09.2013 16.10.2013 7.11.2013

10°C 19°C -1°C 12°C 22°C 31°C 12°C 10°C 14°C

10°C 19°C -1°C 12°C 24°C 30°C 12°C 9°C 14°C

V tabulce 7.1 jsou uvedeny měření jednotlivých etap. Z uvedených teplot vzduchu je patrné, že celkový rozsah teplot, za kterých bylo měření prováděno, přesahuje 30°C. Jedná se o velké zvětšení tohoto rozsahu oproti etapovým měřením, kde byl rozdíl mezi nejvyšší a nejnižší teplotou pouze 13°C. Výsledky za využití experi47

Experimentální měření mentálních měření by tedy měly mít větší vypovídající hodnotu, než kdyby byla použita pouze pravidelná etapová měření.

7.1

Zhodnocení dosažené přesnosti

Stejným způsobem, jako v etapových měřeních, byly spočteny směrodatné odchylky měřených veličin, jejich velikosti jsou uvedeny v tabulce 7.2. K překročení mezní směrodatné odchylky pro zenitové úhly došlo ve druhé etapě na stanovisku S3, a to pouze o jednu setinu miligonu. V páté etapě došlo k překročení mezních směrodatných odchylek pro vodorovné i zenitové úhly. Jedná se o etapu, kdy byla naměřena nejvyšší teplota vzduchu. Protože jsem měření prováděl sám, nebyly nohy stativu stíněny. Mohlo tak dojít k posunu hlavy stativu v průběhu měření, což zapříčinilo zvětšení směrodatných odchylek. Větší směrodatné odchylky se poté projeví zvětšením mezních velikostí posunů a náklonů v jednotlivých osách pro tuto etapu. Ze směrodatných odchylek byly vypočtené hodnoty mezních posunů a náklonů, číselně jsou uvedeny v přílohách. Tab. 7.2 – Směrodatné odchylky vodorovných a zenitových úhlů a šikmých délek Etapa 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

σω [mgon] S3 0,11 0,13 0,13 0,11 0,15 0,45 0,11 0,10 0,13

S4 0,13 0,19 0,20 0,12 0,20 0,24 0,14 0,11 0,12

σξ [mgon] S3 0,12 0,10 0,20 0,16 0,16 0,20 0,18 0,13 0,12

S4 0,12 0,13 0,13 0,13 0,17 0,21 0,11 0,12 0,12

σd [mm] S3 0,22 0,24 0,28 0,28 0,28 0,34 0,25 0,22 0,25

S4 0,23 0,18 0,28 0,22 0,38 0,34 0,19 0,28 0,27

Vypočtené směrodatné odchylky pro vodorovné a zenitové úhly byly použity do vyrovnání. Pouze směrodatná odchylka délky byla zvolena 1 milimetr, která zahrnuje i vliv systematických chyb měření délek. Aposteriorní směrodatné odchylky určené z vyrovnání jsou uvedeny v tabulce 7.3. Ve čtvrté a páté etapě nebylo stanovisko S4 přístupné kvůli rekonstrukci chrámu sv. Víta, měření proto probíhalo z volného stanoviska vzdáleného asi dva metry od stanoviska S4. Souřadnice tohoto volného stanoviska nebyly známé a byly určovány z měření na vztažné body, proto poklesl počet nadbytečných měření v těchto etapách z 8 na 6. 48

Experimentální měření Porovnáním aposteriorních směrodatných odchylek s nerovnostmi určenými v kapitole 3.3 je patrné, že jediná etapa, ve které je zamítnuta nulová hypotéze, je druhá etapa. Pro ostatní etapy platí, že náhodný výběr s aposteriorní směrodatnou odchylkou

je proveden ze základního souboru se střední chybou

. Vyšší aposteri-

orní směrodatná odchylka ve druhé etapě může být způsobena zvolením příliš malých směrodatných odchylek měřených veličin. Protože se jedná o etapu, ve které byla naměřena nejnižší teplota, může mít vliv na velikost aposteriorní směrodatné odchylky i změna rozměru vztažné sítě. Tab. 7.3 – Aposteriorní směrodatné odchylky určené z vyrovnání Etapa 0. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

7.2

n' 8 8 8 8 6 6 8 8 8

σ 1,23 1,15 1,70 0,99 0,49 1,06 0,87 0,76 0,93

Výsledky experimentálních měření

Stejně jako v případě etapových měření byly vyrovnáním určeny souřadnice sledovaných bodů v jednotlivých etapách. Poté byly určeny posuny bodů a náklony hran věže vztažené k nulté etapě. Protože cílem experimentálních měření je určení míry závislosti velikosti posunu na teplotě, bylo v některých etapách měření prováděno za velmi odlišných teplotních podmínek, a tak v nich dochází k překročení hodnoty mezní posunu u většiny bodů. Červeně jsou vyznačeny posuny a náklony, které překročily hodnotu mezního posunu nebo náklonu.

7.2.1

Posuny a náklony v ose X

Výsledky experimentálních měření na severní věži prokazují posuny bodů v ose X (vliv úhlového měření) převážně v páté etapě, která byla měřena v extrémních teplotních podmínkách. V ostatních etapách nebyly další posuny prokázány, s výjimkou třetí a osmé etapy, kdy došlo k překročení hodnoty mezního posunu na bodě č. 11. V případě posunů dochází k pravidelnému překročení mezní hodnoty náklonu na 49

Experimentální měření hraně věže určené body 12-13. Na ostatních hranách jsou posuny prokázané vždy jen v jedné etapě. V páté etapě byly naměřeny větší hodnoty náklonů hran 14-15 a 16-17 oproti ostatním etapám, vzhledem k větším směrodatným odchylkám vodorovných a zenitových úhlů v této etapě je však nelze spolehlivě prokázat. Stejně jako v případě etapových měření, i v experimentálních měřeních je více prokazatelných posunů bodů na jižní věži. A to zejména ve třetí a šesté etapě, kdy byly překročeny mezní hodnoty posunu téměř na všech bodech, v ostatních etapách jsou posuny prokázány pouze výjimečně. Větší hodnoty náklonů se pravidelně vyskytují pouze na hraně věže 24-25, na ostatních hranách věže jsou překročeny mezní hodnoty vždy pouze v jednom případě. Tab. 7.4 – Náklony severní věže v ose X vztažené k nulté etapě a teploty vzduchu Bod 11 12 13 14 15 16 17 12-13 14-15 16-17 Teplota

0. et 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 10°C

Posuny a náklony severní věže v ose X [mm] 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. 5. et. 6. et. -1,42 -1,06 -2,94 0,12 2,25 -1,18 -0,87 -0,97 -0,57 0,25 2,01 -0,43 -0,05 -0,15 0,62 0,15 1,41 -0,11 -0,54 -0,33 0,46 0,32 2,21 -0,25 0,19 -0,11 0,71 0,55 1,22 -0,26 0,24 -0,35 0,71 1,25 3,82 -0,05 -0,19 -0,33 0,22 0,19 2,11 -0,21 -0,82 -0,82 -1,19 0,10 0,60 -0,32 -0,73 -0,22 -0,25 -0,23 0,99 0,01 0,43 -0,02 0,49 1,06 1,71 0,16 19°C -1°C 12°C 22°C 31°C 12°C

7. et. -0,44 -0,44 0,22 -0,32 -0,44 0,00 -0,50 -0,66 0,12 0,50 10°C

8. et. -2,02 -1,03 0,09 -0,71 -0,55 -0,04 -0,17 -1,12 -0,16 0,13 14°C

Tab. 7.5 – Náklony jižní věže v ose X vztažené k nulté etapě a teploty vzduchu Bod 21 22 23 24 25 26 27 22-23 24-25 26-27 Teplota

0. et 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 10°C

Posuny a náklony jižní 1. et. 2. et. 3. et. 1,02 -1,35 -4,42 0,72 -1,21 -1,85 1,25 -0,68 -1,79 0,62 -1,14 -2,39 1,09 0,13 -1,10 1,47 -0,88 -1,86 1,42 -0,75 -1,19 -0,53 -0,53 -0,06 -0,47 -1,27 -1,29 0,05 -0,13 -0,67 19°C -1°C 12°C

50

věže v ose X [mm] 4. et. 5. et. 6. et. -1,93 -0,11 4,01 -0,49 0,88 2,83 1,09 0,73 2,68 -1,03 0,08 1,85 0,69 1,69 2,01 -0,50 2,36 3,16 -0,21 3,14 2,09 -1,58 0,15 0,15 -1,72 -1,61 -0,16 -0,29 -0,78 1,07 24°C 30°C 12°C

7. et. 2,10 1,00 0,84 0,29 0,76 1,06 1,07 0,16 -0,47 -0,01 9°C

8. et. 1,59 0,88 1,58 0,63 0,65 1,33 1,34 -0,70 -0,02 -0,01 14°C

Experimentální měření

7.2.2

Posuny a náklony v ose Y

Pokud velikosti posunů na severní věži v ose Y (vliv délkového měření) překročily mezní hodnotu pro posun, došlo k tomu vždy u téměř všech bodů v dané etapě. A to zejména v etapách, ve kterých byly teploty velmi odlišné od teplot v nulté etapě. Náklony hran věží v ose Y nebyly prokázány, výjimku tvoří třetí a čtvrtá etapa. Ve třetí etapě překročily náklony na dvou hranách věže mezní velikost náklonu, ve čtvrté etapě byl prokázán pouze k jeden náklon. Oproti severní věži byly na jižní věži prokázány posuny navíc i ve druhé a osmé etapě. Stále však platí, že pokud došlo k překročení hodnoty mezního náklonu, došlo k tomu u většiny bodů v dané etapě. K prokázání náklonu věže došlo pouze v první etapě na hraně věže určené body 26-27. Tab. 7.6 – Náklony severní věže v ose Y vztažené k nulté etapě a teploty vzduchu Bod 11 12 13 14 15 16 17 12-13 14-15 16-17 Teplota

0. et 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 10°C

Posuny a náklony severní věže v ose Y [mm] 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. 5. et. 6. et. 2,50 0,64 5,44 6,40 5,29 0,79 1,90 -0,71 1,93 3,02 2,92 0,90 1,41 -1,11 0,85 2,39 2,68 1,01 1,85 -0,57 2,24 3,64 4,31 0,79 1,89 -1,38 0,93 2,49 3,74 0,97 1,92 -1,33 1,74 3,04 4,15 1,20 1,80 -1,45 0,96 3,18 3,55 1,29 0,49 0,40 1,08 0,63 0,24 -0,11 -0,04 0,81 1,31 1,15 0,57 -0,18 0,12 0,12 0,78 -0,14 0,60 -0,09 19°C -1°C 12°C 22°C 31°C 12°C

7. et. 0,89 0,97 0,61 1,54 1,16 0,69 1,10 0,36 0,38 -0,41 10°C

8. et. 1,75 1,04 0,73 1,31 1,16 1,29 1,17 0,31 0,15 0,12 14°C

Tab. 7.7 – Náklony jižní věže v ose Y vztažené k nulté etapě a teploty vzduchu Bod 21 22 23 24 25 26 27 22-23 24-25 26-27 Teplota

0. et 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 10°C

Posuny a náklony jižní věže v ose Y [mm] 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. 5. et. 6. et. 3,34 -1,01 3,10 3,79 5,13 0,99 2,27 -1,85 1,49 2,30 2,50 0,91 1,69 -2,41 0,35 0,92 1,51 0,44 2,91 -1,62 1,67 2,55 3,21 1,11 3,10 -1,78 1,11 2,62 3,60 1,21 3,70 -1,66 1,57 3,23 4,48 1,71 2,77 -1,49 1,20 2,49 4,07 1,32 0,58 0,56 1,14 1,38 0,99 0,47 -0,19 0,16 0,56 -0,07 -0,39 -0,10 0,93 -0,17 0,37 0,74 0,41 0,39 19°C -1°C 12°C 24°C 30°C 12°C

51

7. et. 0,15 0,12 -0,12 0,42 0,51 0,41 0,34 0,24 -0,09 0,07 9°C

8. et. 1,66 1,32 0,69 1,87 1,62 1,73 1,61 0,63 0,25 0,12 14°C

Experimentální měření

7.2.3

Posuny a náklony v ose Z

Posuny alespoň jednoho bodu se vyskytují téměř ve všech etapách. Nejméně posunů je prokázáno v etapách, ve kterých byly teploty vzduchu blízké nulté etapě. Výjimku tvoří čtvrtá etapa, ve které byla překročena mezní velikost pro posun pouze jednou, přestože rozdíl teplot mezi touto a nultou etapou překročil 12°C. Změny délky věže nebyly prokázány v žádné z etap. Tab. 7.8 – Náklony severní věže v ose Z vztažené k nulté etapě a teploty vzduchu Bod 11 12 13 14 15 16 17 12-13 14-15 16-17 Teplota

0. et 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 10°C

Posuny a náklony severní věže 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. 2,24 -2,10 0,20 1,58 0,47 -1,94 -0,66 0,03 0,86 -0,54 -0,11 0,32 0,75 -1,21 -1,01 0,21 0,46 -1,20 -1,11 -0,61 1,03 -1,64 -0,90 -0,15 0,35 -0,91 -0,87 0,38 -0,39 -1,40 -0,55 -0,29 0,29 -0,01 0,10 0,82 0,68 -0,73 -0,03 -0,53 19°C -1°C 12°C 22°C

v ose Z [mm] 5. et. 6. et. 5,76 1,20 1,60 0,12 1,34 0,51 2,79 0,46 1,54 -0,26 2,22 0,36 1,13 0,44 0,26 -0,39 1,25 0,72 1,09 -0,08 31°C 12°C

7. et. 0,34 -0,43 -0,24 0,72 -0,31 0,17 0,20 -0,19 1,03 -0,03 10°C

8. et. -0,27 -1,02 -0,40 0,00 -0,88 -0,51 -0,51 -0,62 0,88 0,00 14°C

Více prokazatelných posunů je opět na jižní věži. Jedná se v podstatě o stejné etapy jako u věže severní. Zejména ve druhé etapě, která byla měřena za velmi nízké teploty vzduchu, jsou patrné posuny všech bodů a také zkrácení věže na dvou jejích hranách. Tab. 7.9 – Náklony jižní věže v ose Z vztažené k nulté etapě a teploty vzduchu Bod 21 22 23 24 25 26 27 22-23 24-25 26-27 Teplota

0. et 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 10°C

Posuny a náklony jižní věže v ose Z [mm] 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. 5. et. 6. et. 2,18 -2,92 -0,45 0,58 4,04 -0,18 0,89 -2,42 -1,02 0,26 1,43 0,49 0,58 -1,26 -1,36 -0,52 0,57 0,23 1,04 -2,33 -1,64 -0,41 1,49 0,19 0,85 -1,16 -1,36 0,04 1,13 0,51 1,30 -1,68 -0,33 0,75 2,40 0,56 0,62 -1,03 -0,24 0,09 0,20 0,05 0,31 -1,16 0,34 0,78 0,86 0,26 0,19 -1,17 -0,28 -0,45 0,36 -0,32 0,68 -0,65 -0,09 0,66 2,20 0,51 19°C -1°C 12°C 24°C 30°C 12°C

52

7. et. -0,96 -0,34 -0,20 -0,37 -0,09 0,13 -0,21 -0,14 -0,28 0,34 9°C

8. et. -0,51 -0,79 -0,59 -0,12 -0,23 -0,30 0,23 -0,20 0,11 -0,53 14°C

Experimentální měření

7.3 Určení závislosti velikosti posunů a náklonů na teplotě Jak ukazují výsledky etapových i experimentálních měření, velikost posunů je závislá na teplotě. Při dlouhodobém sledování stavebních objektů, které mají za cíl určení stability objektu, může dojít ke zkreslení výsledků vlivem teploty a oslunění. Velikosti posunů určené v každé etapě lze rozdělit dle příčiny vzniku. A to na část posunu vzniklou samotnou deformací sledovaného objektu, která může být způsobena vlastní hmotnostní stavby nebo změnami v podloží stavby, a na část posunu vzniklou deformací objektu vlivem teploty a oslunění. Toto rozdělení lze zapsat (7.1) kde

– naměřený posun v dané etapě – posun vzniklý vlastní deformací objektu – posun vzniklý teplotní deformací objektu

Výše uvedený vzorec lze přepsat do následujícího tvaru (7.2) kde

– posun vzniklý deformací objektu za časovou jednotku – časová vzdálenost dané etapy od nulté etapy – posun vzniklý deformací objektu při změně teploty vzduchu o 1°C – rozdíl teploty v dané a nulté etapě

Tento model předpokládá lineární změnu velikosti posunu jak v průběhu času, tak se změnou teploty. Posuny jsou výsledky měření, časová vzdálenost dané etapy od etapy nulté je známa. Všechny etapy byly měřeny v rámci přibližně jednoho a půl roku, proto byla jako základní časová jednotka zvolena jeden měsíc. Rozdíl teplot dané etapy od nulté etapy je také známý. Neznámé tedy v tomto případě jsou

a .

Posuny a náklony jsou určeny celkem v osmi etapách, neznáme se určí vyrovnáním pomocí metody nejmenších čtverců.

53

Experimentální měření

7.3.1

Metoda nejmenších čtverců

Jedná se o způsob vyrovnání, který při nadbytečném počtu měření najde takové řešení, aby platila podmínka (7.3) kde

– váhy měření – opravy

Základem pro vyrovnání bude rovnice 7.2. Její parciální derivací dle neznámých se spočte matice plánu A

(7.4)

Počet řádků matice plánu je roven počtu etap, ve kterých byly určeny posuny a náklony bodů. O hodnotách neznámých veličin nejsou žádné informace, proto byly přibližné hodnoty vyrovnávaných veličin voleny rovné nule (7.5) Dále se spočte vektor redukovaných měření (7.6) kde

– vektor přibližných veličin – vektor měřených veličin

Přírůstky se následně spočtou (7.7) V tomto případě byla váhová matice

volena jako jednotková. Vyrovnané

hodnoty se poté spočtou (7.8) Výsledky vyrovnání lze zkontrolovat dvojím výpočtem oprav

54

Experimentální měření (7.9) (7.10) Rozdíl těchto oprav by měl být rovný nebo velmi blízký nule. Pokud tomu tak není, většinou to znamená, že zvolené přibližné hodnoty vyrovnávaných veličin jsou příliš odlišné od vyrovnaných hodnot. Přidá se tedy další iterace vyrovnání, kdy nově určené vyrovnané hodnoty jsou použity jako přibližný odhad neznámých pro nové vyrovnání. Aposteriorní směrodatná odchylka vyrovnání se spočte (7.11) kde

– vektor oprav – jednotková matice vah – počet nadbytečných měření

Výsledky vyrovnání se určují z osmi měřených etap, neznámé jsou velikost posunu v závislosti na čase a velikost posunu v závislosti na teplotě. Nadbytečných měření je tedy 6. Směrodatné odchylky vyrovnaných veličin se určí z kovarianční matice vyrovnaných veličin (7.12) kde

– kovarianční matice

Variance vyrovnaných veličin se nacházejí na diagonále kovarianční matice, jejich odmocněním se spočtou směrodatné odchylky vyrovnaných veličin (7.13) kde

– směrodatné odchylky vyrovnaných veličin

7.4 Testování závislosti velikosti posunů a náklonů na čase a teplotě Výsledky vyrovnání lze statisticky otestovat, je zvolena nulová hypotéza, že posun bodu nezávisí na čase. 55

Experimentální měření (7.14) Alternativní hypotéza je, že dochází k posunu bodů v závislosti na čase (7.15) Pro testování závislosti je testovacím kritériem veličina, která má studentovo rozdělení (7.16) Stejným způsobem byla zvolena nulová hypotéza, že velikost posunu nezávisí na teplotě. H0 :

(7.17)

Alternativní hypotéza je, že dochází k posunu bodů v závislosti na teplotě H1 :

(7.18)

Pro testování závislosti je testovacím kritériem veličina, která má studentovo rozdělení (7.19) Interval spolehlivosti se určí dle následující nerovnosti (7.20) kde – nadbytečný počet měření Obě testované veličiny mají studentovo rozdělení a jejich hodnoty byly určeny vyrovnáním s 6 nadbytečnými měřeními, budou tak testovány vůči stejnému oboustrannému intervalu spolehlivosti. Jedná se o oboustranný test, pro 6 nadbytečných měření je interval spolehlivosti studentova rozdělení na hladině významnosti

(7.21) Pokud bude platit výše uvedená nerovnost, bude přijata nulová hypotéza, že velikost posunu nezávisí na čase nebo na teplotě vzduchu. V opačném případě bude 56

Experimentální měření nulová hypotéza zamítnuta a bude přijata alternativní hypotéza, tedy že velikost posunu závisí na čase nebo teplotě vzduchu.

7.5 Výsledky testování závislosti velikosti posunů a náklonů na čase a teplotě Vyrovnané hodnoty

představují velikost posunu bodu za jeden měsíc,

směrodatné odchylky tohoto posunu. Obdobně vyrovnané hodnoty likost posunu bodu pro změnu teploty o 1°C,

7.5.1

jsou

představují ve-

jsou směrodatné odchylky posunu.

Výsledky v ose X

Pro severní věž byla při testování závislosti velikosti posunu na čase v ose X (vliv úhlového měření) zamítnuta nulová hypotéza pouze pro hranu věže určenou body 1213. V ostatních případech byla nulová hypotéza přijata a nebyla tak prokázána závislost velikosti posunu na čase. Při sledování závislost velikosti posunu na teplotě byla prokázána tato závislost na bodech č. 12, 15, 16 a 17. Alternativní hypotéza byla také přijata v případě hrany 16-17. Tab. 7.10 – Výsledky vyrovnání a testovací kritéria v ose X pro severní věž Bod

Výsledky vyrovnání a testovací kritéria v ose X Tx x [mm] mx [mm] y [mm] my [mm]

11 12 13 14 15 16 17 12-13 14-15 16-17

-0,086 -0,041 0,008 -0,014 -0,010 0,008 -0,012 -0,049 -0,005 0,021

0,044 0,023 0,012 0,022 0,014 0,024 0,017 0,017 0,015 0,009

-1,97 -1,81 0,68 -0,64 -0,68 0,35 -0,71 -2,84 -0,31 2,23

0,086 0,074 0,036 0,064 0,047 0,119 0,064 0,038 0,018 0,055

0,057 0,029 0,016 0,029 0,018 0,031 0,023 0,023 0,019 0,012

Ty 1,53 2,51 2,28 2,22 2,52 3,84 2,85 1,67 0,92 4,56

V případě jižní věže byla nulová hypotéza přijata ve všech případech, nebyla tak prokázána závislost velikosti posunu a náklonu na čase. Závislost velikosti posunu a náklonu jižní věže na teplotě vzduchu taktéž nebyla prokázána pro žádný z bodů. V následujících grafech bude zobrazena závislost velikosti posunu na teplotě vzduchu vždy pro dvojici bodů umístěných na stejné hraně věže. Na obrázku 7.4 je znázornění závislosti velikosti posunů bodů č. 12 a 13 v závislosti na teplotě vzdu57

Experimentální měření chu. Je patrné, že větší posuny jsou na bodě č. 12, který je na věži umístěn výše. Změna polohy věže se na něm projeví více. Tab. 7.11 – Výsledky vyrovnání a testovací kritéria v ose X pro jižní věž Bod

Výsledky vyrovnání a testovací kritéria v ose X Tx x [mm] mx [mm] y [mm] my [mm]

21 22 23 24 25 26 27 22-23 24-25 26-27

0,039 0,029 0,047 -0,005 0,042 0,045 0,041 -0,019 -0,047 0,004

0,083 0,045 0,040 0,042 0,027 0,049 0,037 0,020 0,024 0,017

0,47 0,64 1,18 -0,11 1,57 0,92 1,11 -0,93 -1,95 0,25

-0,019 0,028 0,040 0,012 0,045 0,063 0,086 -0,012 -0,033 -0,023

0,108 0,058 0,052 0,055 0,035 0,063 0,048 0,026 0,031 0,022

Ty -0,18 0,49 0,78 0,22 1,29 0,99 1,79 -0,46 -1,05 -1,07

3

Posun ΔX [mm]

2 1 12

0 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

13

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 7.1 – Posuny bodů č. 12 a 13 v ose X v závislosti na teplotě vzduchu Posuny bodů č. 22 a 23 na obrázku 7.2 jsou odlišné od posunů bodů na severní věži. Velká změna ve velikosti posunu, která je v rozmezí teplot 10°C až 15°C, se vyskytuje u všech bodů jižní věže, nejedná se tedy o chybu měření pouze jednoho či dvou bodů. Přestože teplota vzduchu byla v obou etapách 12°C, mohlo dojít k naměření dvou zcela jiných velikostí posunů bodů kvůli rozdílné intenzitě slunečního záření v průběhu měření. Znázornění posunů a náklonů ostatních bodů v závislosti na teplotě je uvedeno v přílohách. 58

Experimentální měření 3

Posun ΔX [mm]

2 1 22

0 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

23

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 7.2 – Posuny bodů č. 22 a 23 v ose X v závislosti na teplotě vzduchu

7.5.2

Výsledky v ose Y

V ose Y (vliv délkového měření) byly na všech bodech severní věže, s výjimkou bodu č. 11, zamítnuty nulové hypotézy jak pro závislost velikosti posunu na čase, tak závislost velikosti posunu na teplotě. Posuny všech bodů tedy závisí na teplotě, byl také prokázán vývoj posunů v čase. Změny velikosti posunů jsou na všech bodech přibližně stejné, neprojeví se tak na velikostech náklonů věže. Pro všechny náklony byla přijata nulová hypotéza, tedy že jejich velikost je nezávislá na čase nebo teplotě. Tab. 7.12 – Výsledky vyrovnání a testovací kritéria v ose Y pro severní věž Bod 11 12 13 14 15 16 17 12-13 14-15 16-17

Výsledky vyrovnání a testovací kritéria v ose Y Tx x [mm] mx [mm] y [mm] my [mm] 0,131 0,059 0,034 0,078 0,045 0,053 0,050 0,025 0,033 0,003

0,063 0,019 0,009 0,020 0,007 0,011 0,011 0,013 0,019 0,012

2,07 3,15 3,80 3,83 6,05 4,62 4,77 1,91 1,77 0,22

0,200 0,128 0,123 0,161 0,156 0,173 0,159 0,005 0,005 0,013

0,082 0,024 0,012 0,027 0,010 0,015 0,014 0,017 0,025 0,016

Ty 2,43 5,25 10,60 6,05 16,09 11,57 11,61 0,30 0,22 0,84

Obdobné výsledky jsou v ose Y i na jižní věži, závislost velikosti posunu na teplotě byla prokázána na všech sledovaných bodech, avšak tato závislost nebyla 59

Experimentální měření prokázána pro žádnou z hran věže. V případě časové závislosti posunů došlo k překročení kritické hodnoty na bodě č. 27 a také na hraně 22-23, v ostatních případech nebyla závislost velikosti posunu na čase prokázána. Tab. 7.13 – Výsledky vyrovnání a testovací kritéria v ose Y pro jižní věž Bod

Výsledky vyrovnání a testovací kritéria v ose Y Tx x [mm] mx [mm] y [mm] my [mm]

21 22 23 24 25 26 27 22-23 24-25 26-27

0,066 0,027 -0,015 0,047 0,039 0,054 0,043 0,042 0,007 0,011

0,032 0,020 0,020 0,022 0,019 0,023 0,015 0,013 0,008 0,010

2,06 1,30 -0,77 2,11 2,05 2,32 2,89 3,11 0,96 1,08

0,217 0,144 0,116 0,162 0,179 0,210 0,179 0,028 -0,017 0,030

0,042 0,027 0,026 0,029 0,025 0,030 0,020 0,018 0,010 0,013

Ty 5,22 5,42 4,50 5,61 7,14 6,88 9,15 1,61 -1,68 2,35

Z obrázku 7.3 je patrná závislost posunu obou bodů na teplotě, velikosti posunů jsou téměř identické. S rostoucí teplotou dochází ke zvětšování velikosti posunů obou bodů. 5 4

Posun ΔY [mm]

3 2 12

1

13 0 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 7.3 – Posuny bodů č. 12 a 13 v ose Y v závislosti na teplotě vzduchu V případě bodů č. 22 a 23 umístěných na jižní věži se v ose Y neprojevil výrazný rozdíl ve velikostech posunů pro etapy měřené při teplotách vzduchu okolo 12°C jako v ose X. Závislost velikosti posunu na teplotě je opět velmi dobře viditelná.

60

Experimentální měření Znázornění posunů a náklonů ostatních bodů je uvedeno v přílohách. 5 4

Posun ΔY [mm]

3 2 22

1

23 0 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 7.4 – Posuny bodů č. 22 a 23 v ose Y v závislosti na teplotě vzduchu

7.5.3

Výsledky v ose Z

Závislost velikosti posunu na čase byla v ose Z na severní věži prokázána pouze u bodů č. 12 a č. 15 a také na hranách věže 12-13 a 14-15. Závislost velikosti posunu a náklonu na teplotě byla prokázána na všech bodech a také na všech hranách věže s výjimkou hrany 12-13. Tab. 7.14 – Výsledky vyrovnání a testovací kritéria v ose Z pro severní věž Bod

Výsledky vyrovnání a testovací kritéria v ose Z Tx x [mm] mx [mm] y [mm] my [mm]

11 12 13 14 15 16 17 12-13 14-15 16-17

-0,002 -0,051 -0,009 -0,007 -0,048 -0,031 -0,017 -0,042 0,041 -0,014

0,027 0,016 0,011 0,024 0,019 0,022 0,015 0,012 0,007 0,013

-0,08 -3,25 -0,84 -0,28 -2,57 -1,42 -1,12 -3,36 6,08 -1,08

0,224 0,094 0,059 0,100 0,070 0,100 0,056 0,035 0,030 0,044

0,036 0,020 0,015 0,031 0,024 0,028 0,019 0,016 0,009 0,017

Ty 6,28 4,61 4,04 3,24 2,87 3,56 2,92 2,16 3,37 2,57

Pro jižní věž byla prokázána závislost velikosti posunu na čase na bodech č. 21 a 22, a také na hraně 24-25. S výjimkou bodu č. 23 byla prokázána závislost velikosti

61

Experimentální měření posunu a náklonu na teplotě na všech bodech věže, tato závislost byla prokázána i na hranách věže 22-23 a 26-27. Tab. 7.15 – Výsledky vyrovnání a testovací kritéria v ose Z pro jižní věž Bod

Výsledky vyrovnání a testovací kritéria v ose Z Tx x [mm] mx [mm] y [mm] my [mm]

21 22 23 24 25 26 27 22-23 24-25 26-27

-0,066 -0,052 -0,040 -0,054 -0,026 -0,018 -0,016 -0,012 -0,028 -0,002

0,020 0,020 0,019 0,026 0,020 0,014 0,010 0,009 0,011 0,015

-3,33 -2,52 -2,09 -2,10 -1,32 -1,27 -1,61 -1,30 -2,52 -0,11

0,206 0,106 0,046 0,100 0,065 0,117 0,037 0,059 0,034 0,081

0,026 0,027 0,025 0,033 0,025 0,019 0,013 0,012 0,014 0,019

Ty 8,00 3,98 1,86 2,98 2,55 6,34 2,76 5,12 2,40 4,21

Jak je patrné z obrázku 7.5, je i v případě osy Z patrná závislost velikosti posunu na čase, zvláště na bodě č. 12. Přesto je oproti ostatním osám křivka znázorňující velikost posunu více nepravidelná, zvláště při teplotách okolo 15°C dochází ke změnám ve velikosti posunu. Velikosti posunů obou bodů si vzájemně odpovídají, při extrémních teplotách jsou větší posuny na bodě č. 12, který je umístěn výše na věži. 3

Posun ΔZ [mm]

2 1 12

0 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

13

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 7.5 – Posuny bodů č. 12 a 13 v ose Z v závislosti na teplotě vzduchu Obdobný trend je vidět na obrázku 7.6, který zobrazuje posuny bodů č. 22 a 23, při extrémních teplotách jsou větší posuny na bodě umístěném výše na věži.

62

Experimentální měření Znázornění posunů ostatních bodů a náklonů věže v ose Z je taktéž uvedeno v přílohách. 3

Posun ΔZ [mm]

2 1 22

0 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

23

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 7.6 – Posuny bodů č. 22 a 23 v ose Z v závislosti na teplotě vzduchu

7.5.4

Velikosti posunů v závislosti na čase

Vyrovnané hodnoty proměnné

jsou velikosti posunu daného bodu nebo náklonu

hrany za jeden měsíc. Pokud se tedy tato hodnota vynásobí 18 měsíci, což je doba, za kterou byla provedena měření použitá k určení závislosti změny velikosti posunu na teplotě vzduchu a čase, výsledkem budou velikosti posunů vzniklé na jednotlivých bodech za tuto dobu bez vlivu teploty. Tab. 7.16 – Posuny a náklony obou věží za dobu 18 měsíců Posuny a Bod 11 12 13 14 15 16 17 12-13 14-15 16-17

náklony severní věže X Y -1,54 2,35 -0,74 1,07 0,15 0,61 -0,26 1,41 -0,17 0,81 0,15 0,95 -0,22 0,91 -0,89 0,46 -0,08 0,60 0,37 0,05

[mm] Z -0,04 -0,92 -0,17 -0,12 -0,87 -0,55 -0,30 -0,75 0,75 -0,25

Posuny a náklony jižní věže [mm] Bod X Y Z 21 0,70 1,18 -1,18 22 0,51 0,48 -0,93 23 0,85 -0,28 -0,72 24 -0,08 0,84 -0,97 25 0,75 0,71 -0,47 26 0,81 0,98 -0,33 27 0,74 0,78 -0,30 22-23 -0,34 0,75 -0,21 24-25 -0,84 0,13 -0,50 26-27 0,07 0,19 -0,03

63

Experimentální měření V tabulce 7.16 jsou uvedeny velikosti posunů a náklonů vzniklé za 18 měsíců. Červeně jsou označeny posuny, u kterých byla zamítnuta nulová hypotéza a přijata alternativní hypotéza, tedy že posuny a náklony jsou závislé na čase.

7.5.5

Velikosti posunů v závislosti na teplotě

Vyrovnané hodnoty proměnné

jsou velikosti posunu daného bodu nebo náklonu

hrany při změně teploty o 1°C. Vynásobením této hodnoty 30°C, což je přibližný rozsah teplot naměřených v průběhu experimentálních měření, lze získat představu, jak velké posuny způsobí změna teploty. Červeně jsou opět označeny posuny a náklony, u kterých bylo prokázáno, že jsou závislé na změně teploty. Tab. 7.17 – Posuny a náklony obou věží způsobené změnou teploty o 30°C Posuny a Bod 11 12 13 14 15 16 17 12-13 14-15 16-17

náklony severní věže X Y 2,59 5,99 2,22 3,84 1,08 3,69 1,93 4,83 1,40 4,67 3,58 5,18 1,93 4,78 1,13 0,16 0,53 0,16 1,64 0,40

[mm] Z 6,73 2,83 1,78 3,00 2,10 3,00 1,68 1,04 0,90 1,32

Posuny a náklony jižní věže [mm] Bod X Y Z 21 -0,58 6,52 6,18 22 0,85 4,33 3,17 23 1,21 3,48 1,39 24 0,36 4,85 2,99 25 1,34 5,36 1,95 26 1,88 6,29 3,52 27 2,58 5,38 1,10 22-23 -0,36 0,85 1,78 24-25 -0,98 -0,51 1,03 26-27 -0,70 0,91 2,42

Porovnáním výsledků z tabulek 7.16 a 7.17 lze dojít k závěru, že posuny a náklony způsobené změnou teploty dosahují mnohem větších hodnot, než náklony vzniklé samotnou deformací objektu v průběhu času. Při vyhodnocování výsledků etapových měření je tedy nutné vzít v úvahu vliv teploty a oslunění na velikost výsledných posunů a náklonů.

7.6

Vývoj měřické sítě v závislosti na teplotě a čase

Souřadnice stanovisek i vztažného bodu č. 54 jsou ve vyrovnání brány jako neměnné. Jakákoliv změna vzdálenosti mezi nimi se projeví zvětšením aposteriorní směrodatné odchylky, které se používá pro hodnocení výsledků vyrovnání. V této kapitole budou zkoumány posuny vztažných bodů a změny vodorovných vzdáleností mezi body vztažné sítě v závislosti na teplotě a čase.

64

Experimentální měření Stanoviska jsou tvořena mosaznými válečky zabetonovanými v dlažbě na náměstí, vztažné body jsou realizovány pomocí odrazných folií Leica nalepených na fasádě baziliky sv. Jiří. Tím by měla být zajištěna stabilita vztažné sítě.

7.6.1

Posuny bodů vztažné sítě

V tabulce 7.18 jsou uvedeny posuny vztažných bodů č. 55 a 56 pro jednotlivé etapy. K překročení hodnoty mezního posunu dochází pouze v etapách, které byly teplotně velmi odlišné od nulté etapy. V ose X byl posun prokázán pouze na bodě č. 56 v první a páté etapě. Prokazatelné posuny v ose Y naznačují změnu vzdálenosti mezi stanovisky a vztažnými body umístěnými na fasádě baziliky sv. Jiří. V případě osy Z nedošlo k překročení hodnoty mezního posunu v žádné etapě, lze tedy usuzovat, že vztažná síť je výškově stabilní. Tab. 7.18 – Posuny bodů vztažné sítě a teploty vzduchu Bod

Osa X 55 Y Z X 56 Y Z Teplota

Posuny bodů vztažné sítě [mm] 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. 5. et. 0,48 -0,93 -0,39 -0,04 1,19 2,50 -1,92 0,05 0,52 2,53 0,08 0,58 0,30 0,07 0,05 1,86 -0,70 -0,14 0,30 2,02 0,26 -1,57 -0,02 0,86 2,11 0,29 0,33 0,27 0,39 0,23 19°C -1°C 12°C 24°C 30°C

0. et 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 10°C

6. et. 0,18 0,35 0,38 1,32 -0,19 0,32 12°C

7. et. -0,19 0,46 0,54 0,43 0,40 0,42 9°C

8. et. -0,03 0,40 0,67 0,72 -0,36 0,30 14°C

3

Posun ΔX [mm]

2 1 55

0 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

56

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 7.7 – Posuny vztažných bodů č. 55 a 56 v ose X v závislosti na teplotě vzduchu 65

Experimentální měření Následující grafy zobrazují závislosti velikosti posunů na teplotě. V ose X jsou větší posuny naměřeny na bodě č. 56. Ten je umístěný ve větší vzdálenosti od počátečního vztažného bodu č. 54 než bod č. 55, deformace fasády způsobené teplotou se tedy na tomto bodě projeví více. 3

Posun ΔY [mm]

2 1 55

0 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

56

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 7.8 – Posuny vztažných bodů č. 55 a 56 v ose Y v závislosti na teplotě vzduchu 3

Posun ΔZ [mm]

2 1 55

0 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

56

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 7.9 – Posuny vztažných bodů č. 55 a 56 v ose Z v závislosti na teplotě vzduchu Z grafu 7.8 je patrná změna polohy bodů v ose Y se změnou teploty. Tato změna polohy je téměř lineární, jediným výrazným posunem, který neodpovídá naměřené

66

Experimentální měření teplotě vzduchu, je posun bodu č. 55 určený ve druhé etapě, ve které byla naměřena teplota vzduchu 19°C. Graf 7.9 znázorňuje posuny bodů v ose Z. Posuny obou bodů jsou téměř neměnné a jejich velikost v žádné etapě nepřekročila hodnotu 1 milimetru. Závislost velikosti posunů na teplotě a na čase lze otestovat stejně jako v případě sledovaných bodů umístěných na obou věžích. Postup testování je identický s postupem uvedeným v kapitole 7.4, byly zvolené stejné nulové i alternativní hypotézy, značení neznámých zůstává také stejné. Testovací kritérium bylo taktéž určováno vyrovnáním s 6 nadbytečnými měřeními, pro testování bude použit stejný interval spolehlivosti uvedený ve vzorci 7.21. Tab. 7.19 – Výsledky vyrovnání a testovací kritéria pro vztažné body Bod 55

56

Výsledky vyrovnání a testovací kritéria pro body vztažné sítě Tx Osa x [mm] mx [mm] y [mm] my [mm] X Y Z X Y Z

-0,017 -0,009 0,033 0,023 -0,019 0,023

0,010 0,023 0,003 0,021 0,013 0,003

-1,80 -0,38 10,99 1,09 -1,43 6,58

0,056 0,132 -0,019 0,078 0,098 0,000

0,012 0,030 0,004 0,028 0,017 0,005

Ty 4,49 4,42 -4,71 2,83 5,68 0,08

Závislost velikosti posunu na čase byla prokázána pro oba vztažné body pouze v ose Z. V ostatních osách nebyla prokázána závislost velikosti posunu na čase. Závislost velikosti posunu na teplotě byla prokázána ve všech osách u obou vztažných bodů s výjimkou osy Z pro vztažný bod č. 56. Tab. 7.20 – Posuny vztažných bodů za 18 měsíců a při změně teploty o 30°C Posuny vztažných bodů [mm] Bod 55

56

Osa

t = 18 měs.

T = 30°C

X Y Z X Y Z

-0,31 -0,16 0,60 0,42 -0,34 0,41

1,68 3,95 -0,56 2,33 2,95 0,01

V tabulce 7.20 jsou spočtené velikosti posunů bodů v jednotlivých osách pro dobu 18 měsíců a změnu teploty o 30°C. Červeně jsou označeny posuny, pro které

67

Experimentální měření byla prokázána závislost na čase nebo teplotě. Z výsledků je patrné, že zvláště se změnou teploty by mělo docházet ke změnám v souřadnicích vztažných bodů.

7.6.2

Změna vzdáleností mezi body vztažné sítě

Souřadnice stanovisek a vztažného bodu č. 54 jsou do vyrovnání zadávány s pevně danými souřadnicemi, nelze tedy přímo hodnotit změnu jejich vzájemné polohy. Mezi stanovisky není přímá viditelnost, nelze tedy vzdálenost mezi nimi přímo změřit. Je ale možné sledovat změny vodorovných délek mezi stanovisky a vztažnými body č. 55 a 56 spočtené z vyrovnaných souřadnic. Taktéž lze sledovat vývoj vodorovných vzdáleností mezi vztažnými body. Tab. 7.21 – Rozdíly vodorovných délek mezi etapami a teploty vzduchu Bod S3-55 S3-56 S4-55 S4-56 54-55 54-56 55-56 Teplota

0. et. 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 10°C

Rozdíly ve vodorovných délkách [mm] 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. 5. et. 6. et. -2,38 1,73 -0,12 -0,52 -2,29 -0,31 -1,38 1,39 -0,11 -0,33 -1,33 0,29 -2,54 2,03 0,01 -0,51 -2,67 -0,37 -2,17 1,78 -0,07 -0,47 -2,18 -0,13 0,43 -0,89 -0,39 -0,05 1,13 0,17 1,84 -0,68 -0,14 0,30 2,00 1,32 1,38 0,23 0,25 0,34 0,83 1,14 19°C -1°C 12°C 22°C 31°C 12°C

7. et. -0,49 -0,21 -0,43 -0,39 -0,20 0,43 0,62 10°C

8. et. -0,40 -0,03 -0,39 -0,28 -0,04 0,72 0,75 14°C

Rozdíly vodorovných délek mezi etapami jsou uvedeny v tabulce 7.21. Pro lepší názornost jsou v následujících grafech zobrazeny rozdíly vodorovných délek v závislosti na teplotě vzduchu naměřené v jednotlivých etapách. Z grafů 7.10 a 7.11 je patrné zkracování vzdálenosti mezi stanovisky a vztažnými body s rostoucí teplotou. U stanovisek, která jsou zabetonovány v zemi, nelze předpokládat velkou změnu polohy vlivem teploty. Z větší části by tedy měly být rozdíly způsobeny náklonem fasády baziliky sv. Jiří. Při zkrácení vzdálenosti dochází k náklonu fasády směrem k západu, což odpovídá výsledkům prokázaným u obou věží v rámci etapových měření. Vzdálenosti ke vztažnému bodu č. 54 nebyly sledovány, protože souřadnice tohoto bodu jsou společně se souřadnicemi stanovisek ve vyrovnání fixovány a tak je vodorovná délka mezi etapami neměnná. Změna vzdálenosti mezi vztažnými body č. 55 a 56 a stanovisky je vždy velmi podobná, lze tedy předpokládat stejnou změnu vzdálenosti mezi stanovisky a vztažným bodem č. 54. 68

Experimentální měření 3

Rozdíl délek [mm]

2 1 S3-55

0 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

S3-56

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 7.10 – Změna vzdálenosti mezi stanoviskem S3 a vztažnými body 3

Rozdíl délek [mm]

2 1 S4-55

0 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

S4-56

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 7.11 – Změna vzdálenosti mezi stanoviskem S4 a vztažnými body Naopak pro vztažné body umístěné na jedné fasádě platí, že s rostoucí teplotou se vzdálenost mezi body zvětšuje, jak je vidět na obrázku 7.12. Tato změna však na výsledky vyrovnání nemá vliv, protože vzdálenosti mezi vztažnými body nejsou fixovány a v každém vyrovnání se určují znovu.

69

Experimentální měření 3

Rozdíl délek [mm]

2 1 54-55 0

54-56 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

55-56

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 7.12 – Změna vzdálenosti mezi vztažnými body a vývoj teploty Také závislost rozdílů délek na čase a teplotě lze otestovat dle postupu uvedeného v kapitole 7.4. Výsledky statistického testování jsou uvedeny v tabulce 7.22. Tab. 7.22 – Výsledky vyrovnání a testovací kritéria pro vztažné body Délka

Výsledky vyrovnání a testovací kritéria Tx x [mm] mx [mm] y [mm] my [mm]

S3-55 S3-56 S4-55 S4-56 54-55 54-56 55-56

0,006 0,018 0,011 0,012 -0,017 0,023 0,040

0,022 0,013 0,023 0,020 0,009 0,021 0,015

0,26 1,38 0,48 0,62 -1,85 1,11 2,70

-0,120 -0,082 -0,138 -0,118 0,053 0,077 0,022

0,028 0,017 0,031 0,026 0,012 0,027 0,019

Ty -4,27 -4,74 -4,53 -4,57 4,41 2,81 1,13

Závislost změn vzdáleností mezi vztažnými body na čase byla prokázána pouze pro délku mezi body č. 55 a 56. Naopak závislost změny vzdálenosti na teplotě vzduchu byla prokázána pro všechny délky s výjimkou délky mezi body č. 55 a č. 56. V tabulce 7.23 jsou spočteny změny délek mezi body měřické sítě za 18 měsíců a při změně teploty o 30°C. Zvláště při změně teploty dochází k velkým změnám v délkách. Délky mezi stanovisky a vztažným bodem č. 54 nemohly být určeny, lze však předpokládat, že se v závislosti na teplotě mění stejně jako v případě ostatních délek.

70

Experimentální měření Tab. 7.23 – Změny délek za 18 měsíců a při změně teploty o 30°C Posuny vztažných bodů [mm] Bod

t = 18 měs.

T = 30°C

S3-55 S3-56 S4-55 S4-56 54-55 54-56 55-56

0,10 0,33 0,20 0,22 -0,31 0,42 0,73

-3,60 -2,46 -4,14 -3,53 1,59 2,30 0,66

Všechny tyto výsledky potvrzují, že se změnou teploty dochází ke změnám ve vztažné síti. V extrémních případech může být změna vodorovných vzdáleností mezi etapami až několik milimetrů, což při zvolené směrodatné odchylce délkového měření

již ovlivní velikost aposteriorní směrodatné odchylky. Pokud tedy

při testování aposteriorní směrodatné odchylky došlo k překročení kritické hodnoty a zamítnutí nulové hypotézy, nemusí to být způsobeno pouze nevhodně zvolenými směrodatnými odchylkami měřených veličin vstupujících do vyrovnání, ale i změnou rozměrů vztažné sítě.

71

Závěr

Závěr V první částí této diplomové práce byly vyhodnoceny výsledky pravidelných etapových měření baziliky sv. Jiří na Pražském hradě prováděných od roku 2009. Většina prokazatelných posunů byla zjištěna v etapách, které byly teplotně odlišné od nulté etapy. Nejlépe je tato závislost patrná v ose Z, lze ji vypozorovat i v ose X a Y. Míra závislosti posunu jednotlivých bodů na teplotě a čase byla poté podrobněji určena v rámci experimentálních měření. Při zpracovávání výsledků byl zjištěn rozdíl v délkovém měření totálních stanic Leica TC 1800 a Trimble S6, proto byla změřena porovnávací etapa. Porovnáním přímo měřených délek bylo zjištěno, že naměřené délky měřené totální stanicí Leica a Trimble se mezi sebou liší až o několik milimetrů. Tento rozdíl však není způsoben systematickou chybou dálkoměru, protože rozdíly mezi délkami na jednotlivé body jsou proměnlivé. O tyto rozdíly bylo opraveno měření provedené totální stanicí Leica a poté byly souřadnice sledovaných bodů znovu určeny novým vyrovnáním. Došlo ke zlepšení výsledků etapových měření, ukázalo se, že mnoho původně prokázaných posunů a náklonů bylo způsobeno rozdílnými dálkoměry totálních stanic. Při změně přístrojového vybavení v průběhu dlouhodobých sledování deformací objektů by v ideálním případě měla být změřena alespoň jedna etapa pomocí obou totálních stanic, aby případné rozdílné vlastnosti totálních stanic, zejména dálkoměru, neovlivnily výsledky pozorování. Ve druhé části diplomové práce byly vyhodnoceny výsledky experimentálních měření, jejichž cílem bylo určení závislosti velikosti posunů a náklonů obou věží baziliky sv. Jiří na teplotě a čase a také změny vztažné sítě v závislosti na teplotě a čase. Při hodnocení výsledků je nutné brát v úvahu orientaci měřické sítě. Osa X je orientována ve směru sever-jih, hlavní vliv na posuny a náklony v této ose má úhlové měření. Osa Y je orientována ve směru západ-východ, v této ose má na posuny a náklony hlavní vliv délkové měření. Statistickým testováním byla prokázána závislost změny velikosti posunu na teplotě u téměř všech sledovaných bodů v ose Y. Všechna měření probíhala v do-

72

Závěr poledních hodinách, kdy slunce osvětluje východní stranu věže, dochází tak k odklonu věží směrem k západu. V ose X byla prokázána závislost velikosti posunů na teplotě pouze pro polovinu bodů severní věže, v případě jižní věže nebyla tato závislost prokázána pro žádný z bodů. Jižní věž má mohutnější konstrukci než věž severní, v jejím případě nemusí dojít v dopoledních hodinách k výrazné změně polohy ve směru sever-jih. Závislost velikosti posunu na čase byla prokázána pro většinu sledovaných bodů na severní věži v ose Y. Všechny etapy experimentálních měření byly měřeny pouze totální stanicí Trimble, výsledky by v tomto případě neměly být ovlivněny systematickou chybou dálkoměru. V ostatních osách byla závislost prokázána pouze ve výjimečných případech. V ose Z byla prokázána závislost na teplotě pro většinu posunů a náklonů. Tato závislost odpovídá skutečnosti, že s rostoucí teplotou dochází k roztahování stavebního materiálu, ze kterého jsou věže postaveny. Změna vztažné sítě v závislosti na teplotě byla prokázána pro vztažné body č. 55 a 56 ve všech třech osách s výjimkou osy Z pro bod č. 56. Závislost změny souřadnic bodů vztažné sítě na čase byla prokázána u obou bodů pouze pro osu Z, posuny vztažných bodů v osách X a Y jsou na čase nezávislé. Závislost změny délek mezi vztažnými body na teplotě byla prokázána pro všechny délky mimo délku mezi body č. 55 a 56. Také byla prokázána závislost změny délky mezi stanovisky a vztažnými body na teplotě. Naopak pouze u délky mezi body č. 55 a 56 byla prokázána závislost změny délky na čase. Z výsledků statistických testování je patrné, že změna teploty vzduchu neovlivní pouze velikost posunů sledovaných bodů umístěných na věžích baziliky sv. Jiří, ale má i značný vliv na rozměry vztažné sítě. Všechny tyto skutečnosti je tak nutné brát v úvahu při vyhodnocování pravidelných etapových měření.

73

Seznam literatury

Seznam literatury [1] MERHAUTOVÁ-LIVOROVÁ, Anežka. Bazilika sv. Jiří na Pražském hradě. 1. vyd. Praha: Odeon, 1972, 71 s. Umělecké poklady; sv. 11. ISBN 01-506-72. [2] BORKOVSKÝ, Ivan. Svatojiřská bazilika a klášter na Pražském hradě. 1. vyd. Praha: Academia, 1975, 162 s. [3] RATIBORSKÝ, Jan. Geodézie 10. 2. vyd. Praha: Česká technika – nakladatelství ČVUT, 2007, 234 s. ISBN 978-80-01-03332-6. [4] BAJER, Milan a PROCHÁZKA, Jaromír. Inženýrská geodézie: návody ke cvičením. Vyd. 2. Praha: Nakladatelství ČVUT, 2008, 192 s. ISBN 978-80-0103923- 6. [5] PROCHÁZKA, Jaromír a kol. Stabilita historických objektů. Vyd. 1. Praha: České vysoké učení technické v Praze, 2011, 229 s. ISBN 978-80-01-04776-7. [6] ČEPEK, Aleš. GNU Gama. [online]. [cit. 2013-10-31]. Dostupné z: http://www. gnu. org/software/gama/ [7] VANĚČEK, J. – ŠTRONER, M. Experimentální určení přesnosti optické centrace. Geodetický a kartografický obzor. 2011, roč. 57, č. 6, s. 125-133. ISSN 0016-7096. [8] NEŠPOR, Martin. Zhodnocení náklonu jižní věže baziliky sv. Jiří na Pražském hradě. Praha, 2012, 55 s. Bakalářská práce na Stavební fakultě ČVUT na katedře speciální geodézie. Vedoucí bakalářské práce Doc. Ing. Jaromír Procházka, CSc

74

Přílohy

Přílohy Etapová měření Mezní velikosti posunů a náklonů Tab. 1 – Mezní velikosti posunů a náklonů pro severní věž

Posun

Náklon

Osa X Y Z X Y Z

Severní věž – Mezní velikosti posunů a náklonů [mm] 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. 5. et. 6. et. 7. et. 2,07 1,69 1,82 1,68 1,68 1,70 1,68 1,70 1,68 1,67 1,64 1,65 1,66 1,69 1,06 0,93 0,85 1,44 0,95 0,91 1,07 2,14 1,32 1,62 1,27 1,29 1,33 1,29 1,35 1,29 1,25 1,17 1,20 1,23 1,30 1,50 1,31 1,20 2,04 1,35 1,28 1,51

8. et. 1,68 1,67 1,11 1,29 1,24 1,56

Tab. 2 – Mezní velikosti posunů a náklonů pro jižní věž

Posun

Náklon

Osa X Y Z X Y Z

Jižní věž – Mezní velikosti posunů a náklonů [mm] 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. 5. et. 6. et. 7. et. 1,69 1,71 1,68 1,68 1,70 1,75 1,69 1,80 1,78 1,91 1,67 1,67 1,64 1,66 1,00 1,02 1,16 0,99 1,00 1,03 1,04 1,32 1,35 1,27 1,27 1,33 1,45 1,32 1,57 1,53 1,81 1,26 1,25 1,19 1,23 1,41 1,44 1,63 1,41 1,42 1,45 1,48

8. et. 1,71 1,65 0,98 1,36 1,20 1,39

Porovnávací měření Leica TC 1800 a Trimble S6 Tab. 3 – Opravené náklony severní věže v ose X vztažené k nulté etapě Bod 11 12 13 14 15 16 17 12-13 14-15 16-17 Teplota

0. et 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 10°C

Posuny a náklony severní věže v ose X [mm] 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. 5. et. 6. et. 3,73 0,84 2,09 0,67 2,47 1,05 2,17 0,45 1,77 -0,07 1,66 0,79 1,23 0,05 1,30 -0,54 0,37 0,32 1,81 0,36 1,43 -0,53 0,70 0,16 1,90 0,36 1,81 0,52 0,52 0,71 2,61 0,99 1,82 -0,11 0,73 0,97 1,82 0,59 1,76 0,14 0,97 0,78 0,94 0,40 0,47 0,47 1,29 0,47 -0,09 0,00 -0,38 -1,05 0,18 -0,55 0,79 0,40 0,06 -0,25 -0,24 0,19 22°C 12°C 15°C 9°C 10°C 19°C

75

7. et. -0,47 1,09 0,99 1,16 1,23 1,44 1,19 0,10 -0,07 0,25 12°C

8. et. 1,29 1,23 0,26 0,45 0,26 0,68 0,76 0,97 0,19 -0,08 12°C

Přílohy Tab. 4 – Opravené náklony jižní věže v ose X vztažené k nulté etapě Bod 21 22 23 24 25 26 27 22-23 24-25 26-27 Teplota

0. et 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 10°C

Posuny a náklony jižní 1. et. 2. et. 3. et. 2,22 4,79 1,57 0,11 2,24 -0,16 -0,11 1,64 -0,43 -0,31 1,92 -0,09 0,17 0,87 -0,38 0,38 1,96 0,32 1,10 2,39 1,06 0,22 0,60 0,27 -0,48 1,05 0,29 -0,72 -0,43 -0,74 19°C 10°C 10°C

věže v ose X [mm] 4. et. 5. et. 6. et. 4,43 2,42 3,44 1,74 1,02 1,74 1,58 0,32 1,57 1,37 1,04 1,66 0,24 -0,68 0,41 1,72 1,04 2,51 1,21 1,36 2,78 0,16 0,70 0,17 1,13 1,72 1,25 0,51 -0,32 -0,27 9°C 10°C 19°C

7. et. -2,00 -0,83 -1,47 -1,35 -1,78 -0,82 0,17 0,64 0,43 -0,99 12°C

8. et. 6,43 3,85 3,00 2,89 1,33 4,20 3,45 0,85 1,56 0,75 12°C

Tab. 5 – Opravené náklony severní věže v ose Z vztažené k nulté etapě Bod 11 12 13 14 15 16 17 12-13 14-15 16-17 Teplota

0. et 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 10°C

Posuny a náklony severní věže v ose Z [mm] 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. 5. et. 6. et. 2,97 1,37 1,05 -0,13 0,91 3,15 2,37 0,62 0,60 0,66 0,84 1,31 0,89 0,25 0,18 0,20 -0,25 0,61 1,80 0,89 0,51 0,19 0,49 1,24 0,83 0,05 0,10 -0,34 0,23 0,69 1,19 0,41 -0,22 0,16 0,23 1,26 1,07 1,14 0,49 0,79 0,57 0,92 1,48 0,37 0,42 0,46 1,09 0,70 0,97 0,84 0,41 0,53 0,26 0,55 0,12 -0,73 -0,71 -0,63 -0,34 0,34 22°C 12°C 15°C 9°C 10°C 19°C

7. et. 1,11 0,18 -0,36 -0,52 -0,88 -0,67 -0,30 0,54 0,36 -0,37 12°C

8. et. 2,11 0,96 0,26 0,95 -0,03 0,59 1,01 0,70 0,98 -0,42 12°C

Tab. 6 – Opravené náklony jižní věže v ose Z vztažené k nulté etapě Bod 21 22 23 24 25 26 27 22-23 24-25 26-27 Teplota

0. et 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 10°C

Posuny a náklony jižní 1. et. 2. et. 3. et. 3,72 0,73 1,13 1,68 0,64 0,77 1,23 0,75 0,53 1,61 0,36 0,68 1,53 0,84 0,32 1,31 -0,05 -0,02 1,13 0,08 -0,44 0,45 -0,11 0,24 0,08 -0,48 0,36 0,18 -0,13 0,42 19°C 10°C 10°C

76

věže v ose Z [mm] 4. et. 5. et. 6. et. -0,47 1,24 3,42 0,19 0,54 1,43 0,02 0,35 0,93 -0,38 0,94 1,98 -0,57 0,40 1,25 -1,34 -0,47 0,83 -0,39 -0,10 0,52 0,17 0,19 0,50 0,19 0,54 0,73 -0,95 -0,37 0,31 9°C 10°C 19°C

7. et. 0,79 -0,48 -1,01 -0,70 -0,96 -0,80 -0,34 0,53 0,26 -0,46 12°C

8. et. 1,06 1,03 0,58 1,13 0,91 0,09 -0,05 0,45 0,22 0,14 12°C

Přílohy

Experimentální měření Mezní velikosti posunů a náklonů Tab. 7 – Mezní velikosti posunů a náklonů pro severní věž Severní věž – Mezní velikosti posunů a náklonů [mm] Osa 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. 5. et. 6. et. 7. et. X 1,50 1,51 1,49 1,52 2,00 1,49 1,48 Y 1,56 1,58 1,58 1,58 1,63 1,56 1,54 Z 0,73 1,04 0,92 0,89 1,06 0,97 0,79 X 0,73 0,73 0,65 0,80 2,01 0,65 0,62 Y 0,92 1,01 1,01 1,01 1,14 0,93 0,88 Z 1,03 1,47 1,30 1,26 1,50 1,37 1,12

Posun

Náklon

8. et. 1,50 1,56 0,79 0,71 0,93 1,11

Tab. 8 – Mezní velikosti posunů a náklonů pro jižní věž Jižní věž – Mezní velikosti posunů a náklonů [mm] Osa 1. et. 2. et. 3. et. 4. et. 5. et. 6. et. 7. et. X 1,56 1,59 1,50 1,57 1,62 1,52 1,50 Y 1,53 1,58 1,55 1,66 1,63 1,53 1,58 Z 0,77 0,78 0,79 0,93 1,08 0,70 0,75 X 0,93 1,02 0,72 0,97 1,13 0,79 0,70 Y 0,83 1,01 0,89 1,24 1,15 0,84 1,00 Z 1,09 1,10 1,12 1,31 1,52 0,99 1,06

Posun

Náklon

8. et. 1,50 1,58 0,76 0,72 1,00 1,08

Posuny a náklony v ose X v závislosti na teplotě

3

Posun ΔX [mm]

2 1 0

11 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 1 – Posuny bodu č. 11 v ose X v závislosti na teplotě vzduchu

77

Přílohy 4

Náklon ΔX [mm]

3 2 1 12-13

0 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 2 – Náklon hrany věže 12-13 v ose X v závislosti na teplotě vzduchu 3

Posun ΔX [mm]

2 1 14

0 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

15

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 3 – Posuny bodů č. 14 a 15 v ose X v závislosti na teplotě vzduchu 4

Náklon ΔX [mm]

3 2 1 14-15

0 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 4 – Náklon hrany věže 14-15 v ose X v závislosti na teplotě vzduchu 78

Přílohy 4

Posun ΔX [mm]

3 2 1

16 17

0 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 5 – Posuny bodů č. 16 a 17 v ose X v závislosti na teplotě vzduchu 4

Náklon ΔX [mm]

3 2 1 16-17

0 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 6 – Náklon hrany věže 16-17 v ose X v závislosti na teplotě vzduchu 5 4

Posun ΔX [mm]

3 2 1 0

21

-1 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

-2 -3 -4 -5

Teplota [°C]

Obr. 7 – Posun bodu č. 21 v ose X v závislosti na teplotě vzduchu 79

Přílohy 4 3 Náklon ΔX [mm]

2 1 22-23

0 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 8 – Náklon hrany věže 22-23 v ose X v závislosti na teplotě vzduchu 3 2 Posun ΔX [mm]

1 24

0 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

25

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 9 – Posun bodů č. 24 a 25 v ose X v závislosti na teplotě vzduchu 4

Náklon ΔX [mm]

3 2 1 24-25

0 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 10 – Náklon hrany věže 24-25 v ose X v závislosti na teplotě vzduchu 80

Přílohy 4

Posun ΔX [mm]

3 2 1

26 27

0 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 11 – Posun bodů č. 26 a 27 v ose X v závislosti na teplotě vzduchu 4

Náklon ΔX [mm]

3 2 1 26-27

0 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 12 – Náklon hrany věže 26-27 v ose X v závislosti na teplotě vzduchu

81

Přílohy

Posuny a náklony v ose Y v závislosti na teplotě

7 6

Posun ΔY [mm]

5 4 3 2

11

1 0 -1 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

-2 -3

Teplota [°C]

Obr. 13 – Posun bodu č. 11 v ose Y v závislosti na teplotě vzduchu

5 4 Náklon ΔY [mm]

3 2 1

12-13

0 -1

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

-2 -3

Teplota [°C]

Obr. 14 – Náklon hrany věže 12-13 v ose Y v závislosti na teplotě vzduchu

82

Přílohy 5 4

Posun ΔY [mm]

3 2 14

1

15

0 -1

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

-2 -3

Teplota [°C]

Obr. 15 – Posun bodů č. 14 a 15 v ose Y v závislosti na teplotě vzduchu 5 4 Náklon ΔY [mm]

3 2 1

14-15

0 -1

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

-2 -3

Teplota [°C]

Obr. 16 – Náklon hrany věže 14-15 v ose Y v závislosti na teplotě vzduchu 5 4

Posun ΔY [mm]

3 2 16

1

17

0 -1

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

-2 -3

Teplota [°C]

Obr. 17 – Posun bodů č. 16 a 17 v ose Y v závislosti na teplotě vzduchu 83

Přílohy 5 4 Náklon ΔY [mm]

3 2 1

16-17

0 -1

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

-2 -3

Teplota [°C]

Obr. 18 – Náklon hrany věže 16-17 v ose Y v závislosti na teplotě vzduchu 7 6

Posun ΔY [mm]

5 4 3 2

21

1 0 -1 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

-2 -3

Teplota [°C]

Obr. 19 – Posun bodu č. 21 v ose Y v závislosti na teplotě vzduchu 5 4 Náklon ΔY [mm]

3 2 1

22-23

0 -1

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

-2 -3

Teplota [°C]

Obr. 20 – Náklon hrany věže 22-23 v ose Y v závislosti na teplotě vzduchu 84

Přílohy 5 4

Posun ΔY [mm]

3 2 24

1

25

0 -1

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

-2 -3

Teplota [°C]

Obr. 21 – Posun bodů č. 24 a 25 v ose Y v závislosti na teplotě vzduchu 5 4 Náklon ΔY [mm]

3 2 1

24-25

0 -1

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

-2 -3

Teplota [°C]

Obr. 22 – Náklon hrany věže 24-25 v ose Y v závislosti na teplotě vzduchu 5 4

Posun ΔY [mm]

3 2 26

1

27

0 -1

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

-2 -3

Teplota [°C]

Obr. 23 – Posun bodů č. 26 a 27 v ose Y v závislosti na teplotě vzduchu 85

Přílohy 5 4 Náklon ΔY [mm]

3 2 1

26-27

0 -1

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

-2 -3

Teplota [°C]

Obr. 24 – Náklon hrany věže 26-27 v ose Y v závislosti na teplotě vzduchu

Posuny a náklony v ose Z v závislosti na teplotě

7 6

Posun ΔZ [mm]

5 4 3 2

11

1 0 -1 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

-2 -3

Teplota [°C]

Obr. 25 – Posun bodu č. 11 v ose Z v závislosti na teplotě vzduchu

86

Přílohy 3

Náklon ΔZ [mm]

2 1 0

12-13 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 26 – Náklon hrany věže 12-13 v ose Z v závislosti na teplotě vzduchu 3

Posun ΔZ [mm]

2 1 14

0 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

15

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 27 – Posun bodů č. 14 a 15 v ose Z v závislosti na teplotě vzduchu 3

Náklon ΔZ [mm]

2 1 0

14-15 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 28 – Náklon hrany věže 14-15 v ose Z v závislosti na teplotě vzduchu 87

Přílohy 3

Posun ΔZ [mm]

2 1 16

0 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

17

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 29 – Posun bodů č. 16 a 17 v ose Z v závislosti na teplotě vzduchu 3

Náklon ΔZ [mm]

2 1 0

16-17 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 30 – Náklon hrany věže 16-17 v ose Z v závislosti na teplotě vzduchu 7 6

Posun ΔZ [mm]

5 4 3 2

21

1 0 -1 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

-2 -3

Teplota [°C]

Obr. 31 – Posun bodu č. 21 v ose Z v závislosti na teplotě vzduchu 88

Přílohy 3

Náklon ΔZ [mm]

2 1 0

22-23 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 32 – Náklon hrany věže 22-23 v ose Z v závislosti na teplotě vzduchu 3

Posun ΔZ [mm]

2 1 24

0 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

25

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 33 – Posun bodů č. 24 a 25 v ose Z v závislosti na teplotě vzduchu 3

Náklon ΔZ [mm]

2 1 0

24-25 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 34 – Náklon hrany věže 24-25 v ose Z v závislosti na teplotě vzduchu 89

Přílohy 3

Posun ΔZ [mm]

2 1 26

0 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

27

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 35 – Posun bodů č. 26 a 27 v ose Z v závislosti na teplotě vzduchu 3

Náklon ΔZ [mm]

2 1 0

26-27 -5

0

5

10

15

20

25

30

35

-1 -2 -3

Teplota [°C]

Obr. 36 – Náklon hrany věže 26-27 v ose Z v závislosti na teplotě vzduchu

90