Eseményalgebra. Esemény: minden amir l a kísérlet elvégzése során eldönthet egyértelm en hogy a kísérlet során bekövetkezett-e vagy sem. Elemi esemény: a kísérlet egyes lehetséges egyes lehetséges kimenetelei. Összetett esemény: legalább 2 t le különböz esemény összegeként állítható el . Ha A csak azokban az esetekben következhet be amikor a B esemény is bekövetkezik, akkor az A maga után vonja a B eseményt, azaz A ⊂ B. A és B akkor azonos esemény, ha teljesül mind A ⊂ B, mind B⊂ A, ekkor A = B. Egy kísérlettel kapcsolatos elemi események összessége a T eseményteret alkotja. Lehetetlen esemény: ( O ) amely soha nem következik be. Biztos esemény: ( I ) amely a kísérlet során mindig bekövetkezik. A ellentett eseménye az következik be. = O, és
amely akkor, és csakis akkor következik be, amikor A nem
=I.
M veletek eseményekkel: Összeadás: A és B események A + B összegén azt az eseményt értjük, mely pontosan akkor következik be ha A és B közül legalább az egyik bekövetkezik. Kommutatív és asszociatív : A + B = B + A és A + (B + C) = (A + B) + C Szorzás: A1 A2…. An pontosan akkor következik be, ha az összes tényez bekövetkezik. Kommutatív és asszociatív:
esemény
AB = BA és A(BC) = (AB)C Ha A és B szorzata lehetetlen esemény, azaz AB = O, akkor A és B kizárják egymást. Tetsz leges A eseményre fennállnak az alábbiak: A+A=A AO = O AA = A A+I=I A+O=A AI = A A+ =I A =O Tetsz leges A, B, C eseményekre teljesül az alábbi két törvény: A(B + C) = AB + AC és A + (BC) = (A + B)(A + C) Az A és B események összegének ellentettjére és szorzatának ellentettjére fennállnak az alábbi de Morgan féle képletek:
______ _ _ ___ _ _ A + B = A B és AB = A + B Kett nél több komponens esetén: __________________ __ __ __ A1 + A2 +…+ An = A1 A2 … An Illetve ___________ __ __ __ A1 A2 … An = A1 + A2 + … + An Kivonás: B és A esemény különbsége az az esemény, mely akkor következik be, ha B teljesül de A nem, azaz: B – A = B . A B1, B2, …, Bn események teljes eseményrendszert alkotnak, ha B1 + B2 + … + Bn = I és Bi Bj = O, ha i j (i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, n) Események valószín sége Valamely kísérlettel kapcsolatos esemény a kísérlet n-szeri ismétlése során észlelt bekövetkezéseinek k száma osztva a kísérletek n számával megadja az A eseménynek a kísérletsorozatra jellemz relatív gyakoriságát. A tapasztalat azt mutatja hogy ha egyre több kísérletsorozatból határozzuk meg az A relatív gyakoriságát, akkor a kapott relatív gyakoriságok egyre kisebb mértékben ingadoznak egy rögzített szám körül. Ezt a számot az A esemény valószín ségének nevezzük és P(A)-val jelöljük. Események valószín ségére fennállnak az alábbiak: I. II. III. IV.
0 ≤ P(A) ≤ 1 P(O) = 0, P(I) = 1 Ha AB = O, akkor P(A + B) = P(A) + P(B), illetve általánosan Ha az A1, A2, …, An, … események páronként kizárják egymást, akkor P(A1 + A2 + … + An + …) = P(A1) + P(A2) + … + P(An) + …)
A fentiekb l következnek az alábbiak: Ha az A ⊂ B, akkor P(A) P(B). Ha A és B egy kísérlet 2 eseménye, akkor P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB). Ha A1, A2, …, An teljes eseményrendszert alkotnak, akkor P(A1 + P(A2) + … + P(An) = 1. Ha A egy kísérlet egy eseménye, és ellentettje , akkor P(A) + P( ) = 1. Klasszikus valószín ségi mez Ha egy kísérletnek csak véges sok kimenetele lehet, és az egyes elemi eseményeknek azonos a valószín ségük, akkor a kísérlettel kapcsolatos események és ezek valószín ségei együtt un. klasszikus valószín ségi mez t alkotnak. Ha az A esemény a kísérlet n elemi eseménye közül k különböz elemi esemény összegéb l áll, akkor valószín sége: P(A) = k/n
A feltételes valószín ség fogalma Legyen A és B egy kísérlettel kapcsolatos 2 esemény, és P(B) ≠ 0. Az A eseménynek B feltétel melletti P(AB) feltételes valószín sége az A esemény valószín ségét jelenti, feltéve hogy a B esemény bekövetkezett, azaz P(AB) = P(AB) / P (B). Ebb l 2 esemény szorzatának valószín sége az alábbiak szerint adódik: P(AB) = P(AB) P(B). Legyenek A1, A2, …, An tetsz leges események, ezek szorzatának valószín sége: P(A1 A2 … An) = P(AnA1, …. An – 1) P(An - 1A1 … An – 2) … P(A2A1) P(A1) A teljes valószín ség tétele. Ha a B1, B2, …, Bn események teljes eseményrendszert alkotnak és P(Bi ≠ 0) (i = 1, 2, …, n), akkor tetsz leges A esemény valószín ségére érvényes az alábbi összefüggés: P(A) = P(AB1)P(B1) + P(AB2)P(B2) + … + P(ABn)P(Bn) = = i = 1Σ n P(ABi)P(Bi) Bayes tétele Ha a B1, B2, …, Bn események teljes eseményrendszert alkotnak és P(Bi ≠ 0) (i = 1, 2, …, n), továbbá tetsz leges A eseményre melyre P(A) ≠ 0, akkor P(BiA) = P(ABi)P(Bi) / j = 1Σn P(ABj)P(Bj) Események függetlensége Az A eseményt a B eseményt l függetlennek nevezzük, ha teljesül hogy P(AB) = P(A). Ha az A esemény a B eseményt l, akkor B esemény is független A-tól. A és B egymástól való függetlenségét fejezi ki az alábbi összefüggés is: P(AB) = P(A)P(B) Az A1, A2, …, An események teljesen függetlenek, ha közülük bárhogyan kiválasztva k (k = 2, 3, …, n) számú Ai1, Ai2, …, Aik eseményeket, ezekre fennáll az alábbi összefüggés: P(Ai1, Ai2, …, Aik) = P(Ai1)P(Ai2)…P(Aik) Kett nél több esemény függetlenségéhez nem elég ha páronként függetlenek, mert összességükben még fennállhat közöttük kapcsolat. Két vagy több kísérletet függetlennek nevezünk, ha mindegyik kísérlet egy – egy tetsz leges eseményét kiválasztva az így kapott események függetlenek. A és B események függetlensége azt jelenti hogy fennáll: P(AB) = P(A)P(B)
A valószín ségi változó fogalma, diszkrét valószín ségi változó és eloszlása. Egy T eseménytér elemi eseményeihez egy – egy számértéket rendelve egy függvényt értelmezünk, melyet valószín ségi változónak nevezünk és ξ-vel jelölünk. Ha a ξértékkészlete a véges, vagy végtelen x1, x2, …, xk, … sorozat, akkor ξ-t diszkrét eloszlású valószín ségi változónak, vagy rövidebben diszkrét valószín ségi változónak nevezzük. Legyen Ak a T eseménytér azon elemi eseményeinek részhalmaza melyekhez ξ az xk értéket rendeli, akkor a pk = P(ξ = xk) = P(Ak) valószín ségeket a ξ változó eloszlásának nevezzük, és azt mondjuk hogy a ξ az xk értéket pk valószín séggel veszi fel. Az Ak események teljes eseményrendszert alkotnak, ezért a megfelel valószín ségek összege: pk =
k=1
P(ξ = xk ) = Σ P(Ak) = 1
k=1
k=1
Eloszlásfüggvény, folytonos valószín ségi változó eloszlásfüggvénye. Egy ξ valószín ségi változó F(x) eloszlásfüggvénye azt adja meg, hogy milyen valószín séggel veszi fel ξ az x-nél kisebb értékeket: F(x) = P(ξ < x). Az F(x) tulajdonságai: 1. monoton növekv , azaz F(x2) ≥ F(x1) ha x2 > x1 2. lim F(x) = 0 x→-
3. lim F(x) = 1 x→
4. lim F(x) = F(x0) x → x0 – 0
Jelentse az A esemény azt hogy ξ értékére fennáll a ≤ ξ < b, ekkor P(a) = P(a ≤ ξ < b) = F(b) – F(a) Diszkrét valószín ségi változó eloszlásfüggvénye lépcs s függvény. Egy ξ valószín ségi változó s r ségfüggvényének nevezzük az f(x) függvényt ha ezzel a ξ F(x) eloszlásfüggvénye az alábbiak szerint adható meg: x
F(x) = f(t) dt. -
Ha ξ-nek létezik s r ségfüggvénye, akkor F(x) folytonos, ilyenkor ξ-t folytonos (eloszlású) valószín ségi változónak nevezzük. Ekkor fennáll: F’(x) = f(x). A s r ségfüggvény tulajdonságai: f(x) ≥ 0 (nem negatív) -
f(x) dx = 1
Jelentse az A esemény hogy ξ felvett értékeire teljesül hogy a ≤ ξ < b. Legyen f(x) ξ s r ségfüggvénye, ekkor fennáll: b
P(A) = P(a ≤ ξ < b) = f(x) dx. a
A várható érték Ha egy valószín ségi változóval kapcsolatban független kísérleteket hajtunk végre, akkor a ezek során valószín ségi változó felvett értékei, - és számtani középértékük is, általában egy meghatározott szám körül ingadoznak. Minél több kisérletet végzünk, az ingadozás annál kisebb mérték lesz. Azt az (elméleti) értéket, mely körül a tapasztalati értékek ingadoznak, várható értéknek nevezzük. Ha ξ diszkrét valószín ségi változó, mely az xk (k = 1, 2, ..) értéket pk (k = 1, 2, …) valószín séggel veszi fel, akkor ξ várható értéke M(ξ) = Σ pk xk . Ha ξ végtelen sok értéket vehet fel, akkor a várható értéket csak akkor értelmezzük ha a fenti sor abszolút konvergens, azaz Σ xkpk <
k=1
Ha ξ folytonos eloszlású val. Változó, melynek s r ségfüggvénye f(x), akkor várható értéke: M(ξ) = x f(x) dx, feltéve hogy -
-
x f(x) dx konvergens.
A szórás A szórás a valószín ségi változó várható értéke körüli szóródását méri. Négyzete az un. szórásnégyzet, ξ és M(ξ) eltérése négyzetének várható értéke, azaz D2(ξ) = M {[ξ - M(ξ)]2}. A szórást D(ξ)-vel jelöljük, ez a szórásnégyzet négyzetgyöke, mindkett csak akkor van értelmezve ha a fenti várható értékek léteznek. Az alábbi összefüggéssel a szórás egyszer bben számítható ki: D2(ξ) = M(ξ2) – [M(ξ)]2 Ha ξ diszkrét valószín ségi változó, szórásnégyzete, - amennyiben létezik, - az alábbiak szerint számítható ki: D2(ξ) = Σ xk 2 pk – ( Σ xk pk )2 k=1
k=1
Ha ξ folytonos eloszlású valószín ségi változó, melynek s r ségfüggvénye f(x), akkor szórásnégyzete – amennyiben létezik, az alábbiak szerint adódik: D2(ξ) =
-
x2f(x) dx – [
-
x f(x) dx ]2
Diszkrét eloszlások Binomiális eloszlás Legyen egy kísérlet valamely A eseményének valószín sége P(A) = p, és az ellentett eseményé P( ) = 1 – p = q. Ismételjük meg a kísérletet n-szer, egymástól függetlenül! Legyen a ξ valószín ségi változó értéke az A esemény bekövetkezéseinek száma. Annak valószín sége hogy ξ az xk = k (k = 0, 1, …, n) értéket veszi fel, n Pk = P(ξ =k) = ( )pk qn – k (k = 0, 1, …, n) k A binomiális eloszlású valószín ségi változó várható értéke és szórása: M(ξ) = np, D2(ξ) = npq Az eloszlás csak akkor szimmetrikus, ha p = 0,5 Poisson eloszlás Ha a ξ val. változó az xk = k (k = 0, 1, 2, …) értékeket veheti fel és eloszlásfüggvénye P(ξ = k) = pk = (λk / k!) e-λ (k = 0, 1, 2, …), ahol λ > 0 tetsz leges adott szám, ξ eloszlását λ paraméter Poisson eloszlásnak nevezzük. A Poisson eloszlású ξ valószín ségi változó várható értéke és szórása: D(ξ) = (λ)1/2
M(ξ) = λ,
A Poisson eloszlás tagjai bizonyos esetekben megfelel paraméter választásával jól közelítik a binomiális eloszlás tagjait: ha nagy a binomiális eloszlásban n értéke k-hoz képest, és p értéke kicsi, akkor λ = np választva fennáll : n ( ) pk qn – k k
[ (np)k /k! ] e – np = (λk /k!)e - λ
Legegyszer bben az alábbi rekurziós formulával számítható: P(0) = e- λ , és P(k + 1) = [λP(k)] / (k + 1) Folytonos eloszlások Egyenletes eloszlás Egy ξ folytonos eloszlású valószín ségi változót az (a,b) intervallumon egyenletes eloszlásúnak mondunk, ha s r ségfüggvénye: 0, ha x ≤ a; 1/ (b – a), ha a < x ≤ b; f(x) = 0, ha x > b. Ebb l következ en eloszlásfüggvénye:
0, ha x ≤ a; (x – a) / (b – a), ha a < x ≤ b; 1, ha x > b.
F(x) = P(ξ < x) =
Annak valószín sége hogy ξ az (a’, b’) részintervallumba (a’ ≥ a, b’ ≤ b) esik, egyenl a részintervallum hosszának és a teljes (a,b) intervallum hosszának hányadosával, vagyis: b’
P(a’ ≤ ξ < b’) = f(x) dx = (b’ – a’) / (b – a) a’
Várható értéke és szórásnégyzete: M(ξ) = (a + b) / 2
D2(ξ) = (b – a)2 /12
illetve
Exponenciális eloszlás Egy ξ folytonos eloszlású s r ségfüggvényének alakja:
változót
exponenciális
eloszlásúnak
nevezünk,
ha
f(x) = 0, ha x ≤ 0, és f(x) = λe-λx , ha x > 0, λ tetsz leges pozitív szám, az eloszlás paramétere. ξ eloszlásfüggvénye: F(x) = P(ξ < x) =
0,
1 – e-λx ,
ha x ≤ 0; ha x > 0.
A λ paraméter exponenciális eloszlású valószín ségi változó várható értéke és szórása: M(ξ) = 1 / λ;
illetve D(ξ) = 1 / λ.
Ha a ξ valamilyen esemény bekövetkezéséig eltelt id tartamot jelöli és ξ olyan tulajdonságú hogy ha a kiinduló id ponttól tetsz leges T id pontig még nem következett be az esemény, akkor tekinthet ez a T id pont is kiinduló id pontnak, vagyis: P(ξ ≥ T + t ξ ≥ T) = P(ξ ≥ t), akkor ξ exponenciális eloszlású. Ez esetben kis ∆t értékekre az esemény bekövetkezésének feltételes valószín sége, feltéve hogy a ∆t szakasz kezdetéig az esemény nem következett be: P(ξ < T + ∆tξ ≥ T) = λ∆t. Vagyis az esemény bekövetkezésének esélye az id múlásával nem n , - az exponenciális eloszlású változó nem öregszik. Normális eloszlás Egy ξ valószín ségi változót normális eloszlásúnak nevezünk, ha s r ségfüggvénye:
f(x) = [1 / (2 )1/2 ]e –u
u = [(x – m)2/ 2 2]
ahol m tetsz leges valós szám, paramétere.
tetsz leges pozitív szám lehet; m és
az eloszlás 2
eloszlásfüggvénye: 1/2
F(x) = P( < x) = 1/ [ (2 ) várható értéke és szórása: M( ) = m; D( ) = Ha m = 0 és
x -u
] e dt ; -
u = [(t – m)2/2 2]
.
= 1, akkor s r ségfüggvénye:
Az eloszlásfüggvénye pedig:
(x) = 1/ (2 )1/2 e-v ;
(x) = 1 / (2 )
v = x2 /2
x -v
1/2 -
e dt; v = t2/2
Ezt standard normális eloszlásnak nevezzük. A (x) és (x) függvényekkel az m és paraméter normális eloszlású valószín ségi változó s r ségfüggvénye és eloszlásfüggvénye az alábbiak szerint adható meg: f(x) = (1 / ) [(x – m)/ ], illetve
F(x) = [(x – m)/ ]
A normális eloszlás s r ségfüggvénye szimmetrikus a várható értékre. Így fennállnak az alábbi összefüggések: (-x) = (x);
(-x) = 1 – (x)
Ebb l következ en a standard normális eloszlásra P( -x < ≤ x) = (x) – (-x) = (x) – [1 – (x)] = 2 (x) – 1 χ2 eloszlás Csak pozitív számokra értelmezzük. Legyenek x1, x2, …, xn egymástól független standard normális eloszlású valószín ségi változók. Ekkor a χ2 = x12 + x22 + … + xn2 . χ2 eloszlású valószín ségi változó, n szabadsági fokkal. Paramétere n, várható értéke M(χ2 ) = n, szórásnégyzete D2(χ2 ) = 2n. Az eloszlás nem szimmetrikus.
Student eloszlás
W. Gosset ír kémikustól származik. Legyenek Y, x1, x2, …, xn független, standard normális eloszlású valószín ségi változók. Képezzük az n szabadsági fokú χ2 eloszlású valószín ségi változót. Osszuk el ezt a szabadsági fokok számával, és vonjunk a hányadosból négyzetgyököt. Így (χ2/n)1/2 –hez jutunk. Ha az Y standard normális eloszlású valószín ségi változót osztjuk a fenti kifejezéssel, az n szabadsági fokú Student eloszlású valószín ségi változóhoz jutunk:
tn = (n)1/2Y / (x12 + x22 + … + xn2)1/2 értelmezési tartománya - ∞ < x < + ∞. Paramétere n, ahol n pozitív egész szám. n ≥ 20 esetén gyakorlatilag egybeesik a normális eloszlással. Fisher eloszlás (F eloszlás) Legyen 2 független χ2 eloszlású n1 és n2 szabadsági fokú valószín ségi változó, X1 és X2. A hányadosukból képzett F = (X1 / n1) / (X2 / n2 ) eloszlás. Két paramétere n1 és n2, várható értéke:
valószín ségi változó eloszlása a Fisher
M(F) = n2 / (n2 – 2), feltéve hogy n2 > 2. Szórásnégyzete: D2(F) = [2n22 (n1 + n2 – 2)] / [n1(n2 – 2)2 (n2 – 4)] Els sorban szórások összehasonlítására alkalmazzák.
Megoldandó feladatok a gyakorlatra: 1. 2 játékos felváltva dob kosárra, ha egyikük dobása sikeres abbahagyják a játékot. 0,5 a valószín sége. hogy a kezd játékos talál, 0,6 a val. a másik sikeres dobásának. Írjuk fel annak a valószín ségi változónak az eloszlását melynek értékei azon dobások száma, melyet a játékosok a sikeres dobással együtt végeznek 2. 2 pontot választunk találomra egy egységnyi hosszúságú szakaszon. Mennyi a 2 pont távolságának várható értéke?
