Erőlökés: állandó, r pedig az m 1 és m 2 tömegű testek közti távolság. Súly(erő):

Átváltások vm/s   vkm/h  : 3,6 π  radián     180 EJ  EWh  3600 T K  T C  273 pPa  patm101325 V m3  V liter 10 3 EJ  EeV1,6 10 19

 Erőlökés: F  t

Állandók, fontosabb adatok Atomi tömegegység: u  1,6606  10 27 kg Atommag sűrűsége:   1017 kg m3 Avogadro-szám: N A  6,02 1023 1 mol  23 Boltzmann-állandó: k  1,38 10 J K

 Rugóerő: Fr  D  x , ahol D  N  a rugóállandó vagy  m  direkciós erő, x pedig a megnyúlás.  Súly(erő): G  m  g  a  , ahol a a test alátámasztásá-

Erőfajták

 Gravitációs erő: Fgrav    m1  m2 , ahol  a gravitációs r2 állandó, r pedig az m1 és m2 tömegű testek közti távolság.  Nehézségi erő: F neh  m  g

 

 Lejtő által kifejtett gyorsító erő: Flejtő  m  g  sin  , ahol

 a lejtő vízszintessel bezárt szöge.

nak vagy felfüggesztésének lefelé irányuló gyorsulása.  Súrlódási erő: Fs    Fny , ahol Fny a két érintkező

2 Coulomb-törvény arányossági tényezője: k  9 109 N  m C2 1 A s Vákuum dielektromos állandója:  0  4  9 109 V  m Elektron fajlagos töltése: Qe  1,76  1011 C m kg Elektron töltése: Q -  1,6  1019 C e -

Elektron tömege: m -  9,11031 kg e Elemi töltés: e  1,6 1019 C Fényév: 1 fényév  9,468  1015 m Fénysebesség vákuumban (és levegőben): c  3 108 m s A Föld közepes átmérője: d Föld  1,274  107 m A Föld közepes távolsága a Naptól: rFöld  1,496  1011 m A Föld tömege: mFöld  5,974  10 kg 24

Gravitációs állandó:   6,67  10 11 N  m kg 2 9 A Nap átmérője: d Nap  1,392 10 m

2

A Nap tömege: mNap  1,983  1030 kg Nehézségi gyorsulás Magyarországon: g  9,81 m s2 27 Neutron tömege: m 0  1,6749 10 kg n Vákuum permeabilitása: 0  4π 107 V  s Am Planck-állandó: h  6,6 1034 J  s Proton töltése: Q   1,6 1019 C

felületet összenyomó erő nagysága,  pedig a súrlódási együttható.  Tapadási súrlódási erő maximális értéke: , ahol  a tapadási súrlódási együttható. Fmax  0  Fny 0 Minden mozgásra  Átlagsebesség: v  sösszes  m  átlag tösszes  s   A megtett út egyenlő a sebesség-idő grafikon alatti területtel. Egyenletes mozgás  Sebesség: v  s  m  t  s 

Egyenletesen változó mozgás  Átlagsebesség: vátlag  v0  v 2 v  v m   0  Gyorsulás: a   s2  t    Pillanatnyi sebesség: v  v0  a  t  Út: s  v0  t  a  t 2 m 2

p

Proton tömege: m   1,6726 1027 kg p Univerzális gázállandó: R  8,31

J mol  K

Newton II. törvénye, lendület  Lendület: I  m  v kg  m   

 A

s 

dinamika I F   N F  ma  t  Lendületmegmaradás (zárt I1  I 2  ...  állandó

alapegyenlete:

rendszerben):

1

Hajítások  Ha feldobjuk a testet, akkor - felfelé irányuló sebessége: vfel  v0  g  t , - elmozdulása: y  v0  t  g  t 2 , 2 - az emelkedés ideje: t  v0 , em g 2 - az emelkedés magassága: h  v0 . 2g  Ha ledobjuk a testet, akkor - lefelé irányuló sebessége: vle  v0  g  t , - elmozdulása: y  v0  t  g  t 2 . 2  Vízszintes hajításkor a test - vízszintes irányú sebessége: v x  v0 , -

 Gyorsulás:  2π  a   A   2  sin   t    A   2  sin  t    2  y T   Maximális sebesség (az egyensúlyi helyzetnél): vmax  A  

 Maximális gyorsulás (a szélső helyzeteknél): amax  A   2  Rezgőmozgást végző test mechanikai energiája: 1 Erezgő  D  A2 2  Fázis:     t (radián)  - Két időpillanatban a fázisok egyenlők, ha 1   2  2k  π, k  Z . - Két időpillanatban a fázisok ellentétesek, ha 1   2  2k  1 π, k  Z .

vízszintes irányú elmozdulása: x  v0  t , függőleges irányú sebessége: v y  g  t ,

Matematikai inga  Lengésidő: T  2π  l , ahol l a fonál hossza. g

függőleges irányú elmozdulása: y  g  t 2 , 2 2 2 sebessége: v  v0  g  t  ,

-

sebességének g t , tg  v0

-

elmozdulása: r 

vízszintessel

bezárt

v0  t 2   g  t 2  2



szögére:

2

.

Egyenletes körmozgás  Szögelfordulás:   i (radián)  , ahol i a befutott ívr hossz, r pedig a körpálya sugara.  Szögsebesség:    1  t  s   Kerületi sebesség: v k  i  r   t

 Periódusidő: T  1  2π  2π  r f  vk 1  v 1   Fordulatszám: f    k  vagy Hz T 2π 2π  r  s  2 2  Centripetális erő: Fcp  m  r   2  m  r  4π  m  v k r T2 2 2 4π v  Centripetális gyorsulás: acp  r   2  r   k T2 r Harmonikus rezgőmozgás  Körfrekvencia:   2π  2π  f  D 1  T m  s   Rezgésidő: T  1  2π  2π  m s f  D  Frekvencia: f  1    1  D 1 vagy Hz  T 2π 2π m  s  2π    Kitérés: y  A  sin   t   A  sin  t  , ahol A az ampliT  túdó.  Sebesség: v  A    cos  t   A    cos 2π  t  T 

Mechanikai hullámok  Hullámhossz:   c  T  c , ahol c a hullám terjedési f sebessége.  Interferencia: ha az azonos fázisban induló hullámok útkülönbsége k   , akkor maximális erősítés jön létre, ha pedig  k  1    , akkor kioltás, ahol k  Z . 2   A határfelületre merőlegesen érkező hullám nem törik meg.  Törési törvény: sin α  c1 , ahol  és  az 1. illetve a sin β c 2 2. közegbeli beesési és törési szög.  Az 1. közeg 2. közegre vonatkozó törésmutatója: c n1,2  2 c1  n  1 1,2 n2,1  A határszögre: sin  h  n2,1 , ahol  h az 1. közegbeli beesési szög. Munka  W  F  s J , ha az erő és az elmozdulás iránya megegyezik,  W  F  s  cos  , ha az erő és az elmozdulás által bezárt szög .  A munka egyenlő az erő-út grafikon alatti területtel.  Emelési munka: Wem  m  g  h  h0  , ahol h a választott 0-szint feletti magasság.  Gyorsítási munka: Wgy  1 m  v 2  v02  2  Rugó nyújtásakor végzett munka: Wr  1 D  x 2  x02  , 2 ahol D a rugóállandó, x pedig a megnyúlás.  Súrlódási munka: Ws    Fny  s , ahol Fny a súrlódó felületeket összenyomó erő nagysága,  pedig a felületek közti súrlódási együttható.

2

Mechanikai energiák [J]  Helyzeti energia: Eh  m  g  h  Mozgási vagy kinetikus energia: Em  1 m  v 2 2 1 2  Rugó energiája: Er  D  x 2  A mechanikai energia megmaradásának tétele (konzervatív erőtérben): Em  Eh  Er  Em ' Eh ' Er '  Munkatétel: Wgy  Em , ahol Wgy a gyorsítóerők munkája. Teljesítmény  P  W W  t  Egyenletes mozgásnál: P  F  v , ahol F a test v sebességével párhuzamos mozgató erő.  Hatásfok:   Whasznos  Whasznos  Etermelt Wbefektetett Ebefektetett Ebefektetett Egyensúly  Pontszerű test egyensúlyának feltétele:  F  0  Forgatónyomaték: M  F  k N  m , ahol k az erőkar (a tengely és az erő hatásvonalának távolsága).  Erőpár forgatónyomatéka: M  F  d , ahol d a két erő távolsága.  Merev test egyensúlyának feltételei:  M  0 és F 0 - Stabil egyensúly: a testet kicsit elmozdítva, visszatér egyensúlyi helyzetébe. - Semleges egyensúly: a testet kicsit elmozdítva, új egyensúlyi helyzetet vesz fel. - Labilis egyensúly: a testet kicsit elmozdítva, kibillen egyensúlyi helyzetéből. Hőtágulás  Lineáris hőtágulás: l  l0   T , ahol l a hosszváltozás, l0 a test kezdeti hossza,  az anyag lineáris hőtágulási együtthatója, T pedig a hőmérsékletváltozás.  Térfogati hőtágulás: V  V0    T , ahol V a térfogatváltozás, V0 a test kezdeti térfogata,  pedig az anyag térfogati hőtágulási együtthatója.    3

 Nyomás: p  F Pa , ha F erőt fejtünk ki az A felületA re.  Sűrűség:   m  kg  , ahol V a test térfogata. V  m3   Boyle-Mariotte-törvény: ha akkor T  állandó , , ahol a gáz hőmérséklete. p1  V1  p2  V2 T K   Gay-Lussac I. törvénye: ha p  állandó , akkor V1  V2 . T1 T2  Gay-Lussac II. törvénye: ha V  állandó , akkor p1 p2 .  T1 T2  Egyesített gáztörvény: p1  V1  p2  V2 T1 T2  Az ideális gáz állapotegyenlete:  m  , ahol R az univerp V  n  R  T    R T  N  k T   M  zális gázállandó, k pedig a Boltzmann-állandó. Munka, belső energia, a hőtan I. főtétele  Ha p  állandó , akkor a V térfogatváltozáson áteső gázon végzett munka: W   p  V , a gáz által végzett munka pedig Wgáz  p  V .  A munka abszolút értéke egyenlő a nyomás-térfogat grafikon alatti területtel.  Szabadsági fok: f  3 egyatomos gázra, f  5 kétatomosra, f  6 többatomosra  Belső energia: f f m f Eb   n  R  T    R  T   N  k  T 2 2 M 2  I. főtétel: Eb  Q  W , ahol Q J  a folyamat során közölt hő, - zárt rendszerben: 0  Q  W , - izobar ( p  állandó ) folyamatra: Eb  Q  p  V , -

izochor ( V  állandó ) folyamatra: Eb  Q , izoterm ( T  állandó ) folyamatra: 0  Q  W , adiabatikus ( Q  0 ) folyamatra: Eb  W .

 Hőerőgép munkája: W  Qfelvett  Qleadott  Hőerőgép hatásfoka:   W  1  Qleadott  1  Thideg Qfelvett Qfelvett Tmeleg

Molekuláris gázelmélet  Anyagmennyiség: n  N  m mol , ahol M a moláNA M ris tömeg, N pedig a részecskeszám.  1 mol normálállapotú gáz térfogata: Vnorm  0,0224 m3  A gáz nyomása: p  1   vátl2 , ahol  a gáz sűrűsége, 3 vátl pedig a gázrészecskék átlagos sebessége.  A gáz hőmérséklete: T  1 m  vátl , ahol m egy gázré3 k szecske tömege, k a Boltzmann-állandó, T pedig a gáz hőmérséklete. 2

Gáztörvények, állapotegyenlet

3

Halmazállapot-változások, hő  Termikus kölcsönhatáskor: Qfelvett  Qleadott  Hőmérsékletváltozáskor:

 

 

Q  C  T  c  m  T  c * n  T , ahol C  J  a test  K  hőkapacitása, c  J  a fajhője, c *  J  pe kg  K   mol  K    dig a mólhője. f  R cp    1  , 2   M f R cV   , ahol cp és cV a gáz fajhője állandó nyo2 M más illetve térfogat mellett. Olvadáshoz szükséges hő: Q  Lo  m , ahol L  J  o    kg  az olvadáshő. Fagyáskor felszabaduló hő: Q  Lfagyás  m , ahol

Lfagyás   Lo a fagyáshő.

 Forráshoz szükséges hő: Q  Lf  m , ahol L  J  a f  kg    forráshő.  Lecsapódáskor felszabaduló hő: Q  Ll  m , ahol Ll   Lf a lecsapódási hő.  Párolgáshoz szükséges hő: Q  Lp,T  m , ahol  J  Lp,T   a párolgáshő.  kg 

Elektromos mező  Coulomb-törvény: F  k  Q1  Q2 , ahol F a Q1 és Q2 r2 töltések közt ható erő nagysága, k az arányossági tényező, r pedig a töltések távolsága.  Térerősség: E  F , E   N , ahol Q C a töltés, F Q C pedig a töltésre ható erő.  Ponttöltés elektromos terének erőssége a töltéstől r távolságra: E  k  Q r2  Homogén mezőben az erővonalakra merőleges A felület fluxusa: Ψ  E  A  Az A és B pont közti feszültség: U  WAB V , ahol AB Q WAB a mező munkája, miközben a Q töltést A-ból Bbe viszi.  Munkatétel: U feszültség hatására a Q töltés Em  Q U mozgási energiára és v  2Q  U sebesm ségre tesz szert.  U AB  U A  U B , ahol U A az A, U B pedig a B pont potenciálja.  Kondenzátor kapacitása: C  Q U 2 1  Kondenzátor energiája: E  Q  U  1 C  U 2  1 Q 2 2 2 C  Síkkondenzátorban a térerősség nagysága: Q , ahol  0 a vákuum dielektromos állandóE 0 r  A

ja,  r a lemezek közti közeg relatív dielektromos állandója, A pedig a lemezfelület.  Síkkondenzátor kapacitása: C   0   r  A , ahol d a d lemeztávolság. Egyenáram  Áramerősség: I  Q A , ahol Q a vezető keresztt metszetén átáramló töltésmennyiség.  Ellenállás: R  U Ω I  Fajlagos ellenállás:   R  A Ω  m, ahol A a vezető l keresztmetszete, l pedig a hossza.  Ohm-törvény a teljes áramkörre: E  I  Rk  Rb   U k  U b , ahol E az elektromotoros erő, Rk a külső, Rb a belső ellenállás, U k a kapocsfeszültség, U b pedig a belső ellenálláson eső feszültség. 2

 Munka: W  U  I  t  I 2  R  t  U  t R 2  Teljesítmény: P  U  I  I 2  R  U R  Ellenállások soros kapcsolásakor: - eredő ellenállás: Re  R1  R2  ... - áramerősség: I  I1  I 2  ... - feszültség: U  U1  U 2  ... - feszültségek aránya: U1 : U 2 : ...  R1 : R2 : ...  Ellenállások párhuzamos kapcsoláskor: - eredő ellenállás: 1  1  1  ... Re R1 R2 - feszültség: U  U1  U 2  ... - áramerősség: I  I1  I 2  ... - áramerősségek aránya: I : I : ...  1 : 1 : ... 1 2 R1 R2  Áramforrások soros kapcsolásakor: - eredő elektromotoros erő: E  E1  E2  ... - eredő belső ellenállás: Rb,e  Rb,1  Rb,2  ...  Egyforma elektromotoros erejű áramforrások párhuzamos kapcsolásakor: - elektromotoros erő: E  E1  E2  ... - eredő belső ellenállás: 1  1  1  ... Rb,e Rb,1 Rb,2  Faraday-törvény: ha az elektrolitba t időn keresztül I áramot vezetünk, akkor az elektródákon kiváló, Z vegyértékű ionok anyagmennyisége: n  I  t  mol . 96500Z C

4

Mágneses mező  Indukció: B  M max T , ahol M max az N menetszáN I  A mú, A keresztmetszetű tekercsre ható maximális forgatónyomaték, ha a tekercsben I nagyságú áram folyik.  Az indukcióvonalakra merőleges A felület mágneses fluxusa: Φ  B  A Wb.  Egyenes tekercs (szolenoid) belsejében az indukció:     I  N , ahol  a vákuum permeabilitása,  B 0 r r 0 l pedig a tekercsbeli közeg (pl. vasmag) relatív permeabilitása.  Körtekercs (toroid) belsejében az indukció: 0   r  I  N , ahol R a toroid középvonalának sugaB 2R  π ra.  Hosszú, áramjárta vezeték keltette indukció a vezetéktől r távolságban: B   0   r  I . 2r  π  Áramhurok keltette indukció a hurok közepén:   I B  0 r , ahol R a körhurok sugara. 2R  Egy nagyon hosszú és egy vele párhuzamos, tőle r távolságra levő, l hosszúságú áramjárta vezeték közt ható erő: F  0   r  I1  I 2  l . 2r  π  l hosszúságú áramjárta vezetékre ható Lorentz-erő nagysága, ha a vezeték merőleges az indukcióvonalakra: F  l  I  B .  Lorentz-erő (mozgó töltésre ható erő), ha a Q töltés v sebessége merőleges az indukcióvonalakra: F  Qv B.  Az indukcióvonalakra merőlegesen haladó töltés körpályájának sugara: r  m  v . B Q  Mozgási indukció: U ind  B  l  v , ahol U ind az l hosszúságú, v sebességű vezeték végei közt indukálódó feszültség, ha a sebesség merőleges az indukcióvonalakra.  Faraday-féle indukciós törvény: U ind   N  ΔΦ , ahol t U ind az N menetszámú tekercs végei közt indukálódó feszültség, ha Φ a tekercs keresztmetszetének fluxusváltozása.  Önindukció: U ind   L  I , ahol U ind az L H önint dukciós együtthatójú tekercs végei közt I áramerősség-változás hatására indukálódó feszültség.  Tekercs mágneses mezejének energiája: E  1 L  I 2 2 Váltakozó áram  Induktív ellenállás: X L  L   , ahol L a tekercs önindukciós együtthatója, ω pedig az áram körfrekvenciája.  Kapacitív ellenállás: X C  1 , ahol C a kondenzátor C  kapacitása.  Soros rezgőkör impedanciája: Z  R2  X L  X C 

2

Ω

 Az áramerősség fáziskésésére: tg  X L  X C R  Saját-körfrekvencia (Thomson-képlet):   0

1 CL

 Sajátfrekvencia: f  1  1 0 2π C  L  Effektív feszültség: U  U max , ahol U max a váltakozó eff 2 feszültség maximális értéke.  Effektív áramerősség: I  I max eff 2  Effektív teljesítmény: Peff  U eff I eff  Pmax 2  Hatásos teljesítmény: Ph  I 2  R  U eff  I eff  cos   Transzformátor primer és szekunder tekercsének feszültsége, áramerőssége és menetszáma közti öszszefüggések: U p  I sz  N p . U sz I p N sz Optika  A határfelületre merőlegesen érkező fény nem törik meg.  Törési törvény vagy Snellius-Descartes-törvény: sin α c1 , ahol c a fény terjedési sebessége, α és β  sin β c 2 pedig az 1. illetve a 2. közegbeli beesési és törési szög.  Az 1. közeg 2. közegre vonatkozó törésmutatója: c n1,2  2 c1  n  1 1,2 n 2,1  A közeg abszolút törésmutatója: n  c vákuum c közeg  n  n1 1,2 n2  A határszögre: sin  h  n2,1 , ahol  h az 1. közegbeli beesési szög.  Résen való elhajláskor, ha  a fény hullámhossza, d pedig a rés szélessége: - a kioltási irányok: sin   k   k  Z ; d - az intenzitásmaximumok irányai:  2k  1  sin    kZ . d 2  Rácson való elhajláskor, ha  a fény hullámhossza, d a rácsállandó, L a középső és a vele szomszédos ( k  1 ) fényfolt távolsága, D pedig az ernyő és a rács távolsága: - a maximális erősítés irányai: sin   k   k  Z ; d d  L - a fény hullámhossza:   . D  Gömbtükör fókusztávolsága: f  r , ahol r a tükör 2

sugara.  Lencserendszer fókusztávolsága: 1  1  1  ... f f1 f 2

5

 Leképezési törvény: 1  1  1 , ahol f pozitív homorú f t k tükör és domború lencse esetén, különben negatív; t a tárgytávolság, k a képtávolság. k pozitív, ha valódi a kép, negatív, ha virtuális.  Nagyítás: N  K  k , ahol N és k negatív, ha virtuális T t a kép; K a kép, T pedig a tárgy nagysága.  Dioptria: D  1  1  f  m  A speciális relativitáselmélet következményei  Idődilatáció: Δt ' , ahol t a nyugvó megfigyeΔt  v2 1 2 c lő szerint eltelt, t' pedig a v sebességgel mozgó testhez rögzített rendszerben mért idő. 2  Hosszúságkontrakció: l  l ' 1  v , ahol l a nyugvó c2 megfigyelő szerinti, l' pedig a v sebességgel mozgó testhez rögzítet rendszerben mért hossz.  Tömegnövekedés: m0 , ahol m a mozgó test m v2 1 2 c tömege, m0 a nyugalmi tömeg.  Tömeg-energia ekvivalencia: E  m  c 2 , ahol E a test összenergiája. Kvantumfizika

 Foton energiája:   h  f  h  c , ahol h a Planck állandó, f a foton frekvenciája,  a hullámhossza, c pedig a fénysebesség.  Fotoeffektus: - Einstein-egyenlet: h  f  Wki  Em , ahol Wki a kilépési munka, Em pedig a fémlemezből kilépő elektronok mozgási energiája. - határfrekvencia: f h  Wki h - határhullámhossz:   c  h h Wki  Kvantumszámok: - fő: n  1,2,3,... - mellék: l  0(s),1( p),2(d ),3( f ),..., n  1 - mágneses: m  0,1,2,3,...,l - spin: s   1 2  Ha egy elektron az n-edik pályáról az m-edikre ugrik, akkor az elnyelt vagy kibocsátott foton energiája: hc   h f   En  Em   A H-atombeli elektronra: - Az alapállapotbeli elektron energiája: E1  2,19 1018 J - Az n-edik energiaszint: En  E1 n2 - A legbelső elektronpálya sugara: r1  5,26 1011 m - Az n-edik elektronpálya sugara: rn  r1  n2  Foton tömege: m  h  f  h c2 c

 Foton lendülete: I  h  f  h c   Részecskenyaláb hullámhossza (de Broglieh h hullámhossz):    , ahol I a lendülete, m a I mv tömege, v pedig a sebessége egy részecskének.  Heisenberg-féle határozatlansági reláció: Δx  ΔI x   , 2 ahol Δx a részecske x-koordinátájának, ΔI x pedig lendülete x irányú komponensének bizonytalansága; h .  2π Atom- és magfizika  Az atom tömege: m  Ar  u , ahol Ar a relatív atomtömeg, u pedig az atomi tömegegység.  -sugárzás egyenlete: ZA X  ZA42 Y  42 He , ahol Z a rendszám, A pedig a tömegszám.   -sugárzás egyenlete: ZA X  ZA1 Y  e  +   -sugárzás egyenlete: ZA X  ZA1 Y  e   -sugárzás egyenlete: ZA X ZA X    Tömegdeffektus: m  mmag  Z  m   A  Z  m



 Kötési energia: Ek  m  c

p

n0



2

 Fajlagos kötési energia: E k  Ek A  N  Aktivitás: A  Bq , ahol N a t idő alatt elbomló t részecskék száma.  Bomlási törvény, ha A0 és N0 a kezdeti aktivitás és részecskeszám, T1/2 pedig a felezési idő: t

→

 1  T1 / 2 A  A0    , 2

→

 1  T1 / 2 N  N0    . 2

t

 Elnyelt dózis: D  Esugárzási m

Gy,

ahol Esugárzási az m tö-

megű test által elnyelt sugárzási energia.  Dózisegyenérték: H  Q  D Sv  , ahol Q a sugárzás minőségi tényezője.  Rákos megbetegedés valószínűsége: 1 R  0,0165  H Sv

6