KINEMATIKA HMOTNÉHO BODU 1.
Polohový vektor charakterizující pohyb hmotného bodu je zadán parametrickou rovnicí: r t At B i Ct 2 j Dt 3k , hodnoty koeficientů jsou A = 2 m∙s-1, B = 5 m, C = 1 m∙s-2, D = 3-1 m∙s-3. Pro libovolný čas t a potom pro čas t1 = 3 s určete: a) souřadnice hmotného bodu a jeho vzdálenost od počátku, b) vektory jeho rychlosti a zrychlení a jejich velikosti, c) velikost zrychlení tečného a normálového [a) [11,-9,9](m), 16,8 m, b) v t 2, 2t, t 2 (m∙s-1), a t 0, 2,2t (m∙s-2), v1 = 11 m∙s-1, a1 = 6,32 m∙s-2, c) at = 2t, an = 2 m∙s-2]
2.
Pro rychlost hmotného bodu platí v At 2 Bt C , kde A = 9 m∙s-3, B = 8 m∙s-2, C = 3 m∙s-2. a) jakou dráhu urazí hmotný bod mezi druhou a pátou sekundou, b) kdy je zrychlení nulové a jakou rychlost má hmotný bod v tom okamžiku, c) kdy je hmotný bod v klidu? [a) 276 m, b) 4/9∙s, 11/9 m∙s-1, c) nikdy]
3.
Vyjádřete poměr rychlostí v2/v1 pomocí poměru drah s2/s1, které urazila střela v hlavni za předpokladu, že se pohybovala se stálým zrychlením. Počítejte nejdříve obecně, pak odpovězte na otázku: kolikrát je rychlost střely na konci hlavně větší, než v její polovině? [ 2 -krát]
4.
Hmotný bod se pohybuje po kružnici o poloměru R = 0,2 m, závislost úhlové dráhy na čase je vyjádřena předpisem A Bt Ct 2 , kde A = 6 rad, B = 4 rad∙s-1, C = 2 rad∙s-2. Pro čas t = 0,5 s určete a) obvodovou rychlost hmotného bodu, b) tečné a normálové zrychlení, d) úhel , který svírají průvodič bodu a vektor celkového zrychlení. (Nakreslete obrázek!) a) 1,2 m.s-1, b) 0,8 m∙s-2; 7,2 m∙s-2, c) 6° 20´
5.
Hmotný bod se začne z klidu pohybovat po kružnici o poloměru 10 m s konstantním úhlovým zrychlením 0,02 rad.s-2. Za jakou dobu od začátku pohybu bude jeho celkové zrychlení svírat se směrem jeho rychlosti úhel = 60°? [9,3 s]
Další příklady: D1.
Rovinný pohyb hmotného bodu je dán parametrickým vyjádřením x At , y Bt Ct 2 , kde A 3 m.s-1, B = 4 m.s-1, C = 2 m.s-2. Určete a) velikost počáteční rychlosti hmotného bodu, b) úhel, který svírá tečna k trajektorii s osou x v čase 0 s, c) čas, ve kterém je vektor rychlosti rovnoběžný s osou x a souřadnice bodu v tomto čase, d) souřadnici x v čase, kdy je souřadnice y = 0. a) 5 m.s-1, b) 53°, c) 1 s, [3,2] (m), d) 0 m, 6 m
D2.
Hmotný bod se pohybuje se zrychlením, které závisí na čase dle vztahu a kt , kde k = 3 m∙s-3. Určete dráhu, kterou hmotný bod urazí od konce druhé do konce šesté sekundy, je-li na počátku pohybu jeho rychlost v0 = 2 m∙s-1, počáteční dráha je nulová. [112 m]
D3.
Řidič automobilu jede mezi dvěma vzdálenými místy. Během své jízdy projíždí několika uzavřenými osadami, kde je jeho rychlost omezena na 60 km.h-1. Průjezd těmito osadami odpovídá čtvrtině celkové dráhy. Na úseku délky osminy celkové dráhy je vozovka v rekonstrukci, jede tedy sníženou rychlostí 40 km.h-1. Jakou rychlostí se musí pohybovat na zbývající trati, aby dosáhl průměrné rychlosti 80 km.h-1? 120 km∙h-1
D4.
Vlak jedoucí rychlostí 90 km/h zabrzdí na dráze 900 m. Na jaké dráze zastaví při stejně intenzivním brzdění z rychlosti 60 km/h? [400 m]
D5.
Osobní automobil dojíždí rychlostí 30 m·s-1 nákladní vůz, jehož rychlost je 10 m.s-1. Ve vzdálenosti s0 od nákladního vozu zjistí řidič osobního auta, že nákladní vůz nelze předjet, proto začne brzdit a dále se pohybuje s konstantním zpomalením o velikosti 5 m.s-2. Nákladní vůz jede dál konstantní rychlostí. Nastane srážka vozidel? Pokud ano, určete, na kterém místě a jaký je rozdíl rychlostí vozidel při srážce. Pokud srážka nenastane, určete nejmenší vzdálenost mezi vozidly. Řešte pro vzdálenosti s0 = 30 m, 40 m a 50 m. a) 50 m, 10 m.s-1, b) 80 m, 0 m.s-1, c) nesrazí se, 10 m
D6.
Kolo o poloměru R = 0,1 m se otáčí tak, že úhel otáčení závisí na čase vztahem A Bt 3 , kde A = 2 rad, B = 5 rad.s-3. Pro čas t = 2 s vypočtěte úhlovou a obvodovou rychlost, tečné a normálové zrychlení bodů na obvodu kola a popište slovně, o jaký pohyb se jedná. 60 rad.s-1, 6 m.s-1, 60 m.s-2, 360 m.s-2, nerovnoměrně zrychlený pohyb
1
DYNAMIKA HMOTNÉHO BODU 6.
Dvě tělesa o hmotnostech 2 kg a 3 kg spojená nehmotným lanem se nacházejí na vodorovné dokonale hladké podložce. Síla 10 N působí ve vodorovném směru na těleso o menší hmotnosti. Nakreslete obrázek a určete a) jaké zrychlení síla tělesům udílí, b) jakou silou je napjato lano mezi tělesy. Jakou hybnost tělesa získají po pěti sekundách působení této síly? Jaký impulz síla tělesům za 5 s udělí? [2 m.s-2, 6 N, 50 kg∙m∙s-1, 50 N∙s]
7.
Na vozíku hmotnosti 10 kg, který se pohybuje rychlostí 2 m.s-1 stojí chlapec o hmotnosti 45 kg. Chlapec během jízdy vyhodí z vozíku kámen o hmotnosti 0,6 kg ve směru jízdy pod elevačním úhlem 30° rychlostí 10 m.s-1 vzhledem k zemi. Jaká bude po vyhození kamene rychlost vozíku i s chlapcem, jakým směrem se budou pohybovat? Tření a odpor vzduchu zanedbejte. [1,93 m.s-1 v původním směru]
8.
Automobil o hmotnosti m = 1200 kg projíždí vodorovnou klopenou zatáčkou o poloměru křivosti R = 120 m rychlostí v = 18 m.s-1. a) Jaká je minimální hodnota koeficientu smykového tření mezi pneumatikami a vozovkou, aby automobil nedostal smyk? b) O jaký úhel by měl být povrch vozovky nakloněn pro zadanou rychlost? [0,277; 15°28´44″]
9.
Centrifuga pro výcvik letců se otáčí s frekvencí 18 min-1. Poloměr otáčení je 7 m. Jakému přetížení je letec při výcviku vystaven? [2,5g]
Další příklady: D7.
Určete, jakou rychlostí se začne pohybovat člověk, který stojí na velmi hladké ledové kře, po odhození kamene, který drží v rukou. Hmotnost člověka i s kamenem je 76 kg, hmotnost kamene 1 kg, počáteční rychlost kamene je 4 m.s-1. [0,053 m.s-1]
D8.
Střela o hmotnosti 10 g, pohybující se rychlostí 200 m.s-1, prorazila desku do hloubky 4 cm. Za předpokladu, že pohyb v desce je rovnoměrně zpomalený, určete dobu, po kterou se střela v desce pohybovala a velikost síly, kterou působila deska na střelu. [4.10-4 s, 5 000 N]
D9.
Při rychlostech přes 320 km∙h-1 se nemůže pilot poškozeného letounu kvůli okolnímu proudícímu vzduchu dostat ze stroje vlastní silou, musí se katapultovat. Vypočítejte sílu působící při katapultáži na sedačku s pilotem ze znalosti následujících údajů: hmotnost sedačky s pilotem je 150 kg, za dobu 0,1 s dosáhne sedačka rychlosti 25 m∙s-1. [37,5 kN]
D10. Jakou maximální rychlostí by mohl jet po vodorovném povrchu rychlobruslař, opisuje-li oblouk o poloměru 100 m a je-li součinitel smykového tření mezi bruslemi a ledem 0,4? O jaký úhel by se musel při této rychlosti odklonit od svislého směru? [20 m.s-1, 22°]
VRHY (POHYBY V HOMOGENNÍM TÍHOVÉM POLI ZEMĚ) 10. Jakou počáteční rychlost musíme ve vodorovném směru udělit tělesu, aby délka vrhu byla rovna n-násobku výšky, ze které bylo těleso vrženo?
[ n
hg 2
]
11. Pod jakým elevačním úhlem musí vystřelit dělo, aby zasáhlo pirátskou loď zakotvenou ve vzdálenosti 560 m od pevnosti? Dělo je umístěné v úrovni mořské hladiny a je schopno vystřelit náboj rychlostí 82 m∙s-1. Jak dlouho poletí dělový náboj? V jaké vzdálenosti budou piráti již mimo dostřel? [27°, 63°, 7,7 s, 15 s, 690 m] 12. Mějme dvě tělesa. První vrhneme svisle vzhůru počáteční rychlostí 4,9 m.s-1. Současně z maximální výšky, které toto těleso může dosáhnout, vrháme druhé těleso se stejnou počáteční rychlostí. Určete čas, kdy se tato tělesa střetnou, vzdálenost od povrchu Země, ve které ke střetu dojde, rychlosti obou těles v okamžiku srážky. Počítejte s hodnotou tíhového zrychlení g = 9,8 m∙s-2. [0,125 s, 0,53 m, 3,67 m.s-1, 6,12 m.s-1]
2
Další příklady: D11. Jakou rychlostí vystupuje proud vody z proudnice hasičské stříkačky směrem svisle vzhůru, jestliže dosahuje výšky 15 m a za jak dlouho po výtoku dopadne na úroveň hubice? D12. Z vysouvacího požárního žebříku vysokého 20 m stříká hasič vodu vodorovným směrem, rychlost výtoku vody je 17,2 m∙s-1. Za jakou dobu, jakou rychlostí, pod jakým úhlem s vodorovným směrem a v jaké vzdálenosti od paty kolmice spuštěné z žebříku dopadá voda? D13. Kaskadér s automobilem o hmotnosti 1250 kg a rozvoru 2,5 m opouští molo rovnoběžné se zemským povrchem rychlostí 108 km/hod a bezpečně dosedá na bližší konec pramice dlouhé 43 m tak, že zadní kola sedají na okraj. Brzdí na hranici určené součinitelem smykového tření 0,8. Jakou rychlostí narazí do bariéry připevněné na vzdálenějším okraji pramice, je-li vzdálenost od čela vozu po přední osu 0,5 m? [58 km.h-1] D14. Jak daleko od mola může být bližší okraj pramice, aby na ni doletěl automobil o rozvoru 2,5 m a hmotnosti 1250 kg, který opouští molo rovnoběžné se zemským povrchem rychlostí 81 km/hod při svislé vzdálenosti mezi povrchem mola a povrchem pramice 5 m? Určete hybnost automobilu v okamžiku opuštění mola. [20 m, 28125 kg·m·s-1] D15. Velikost počáteční rychlosti střely je rovna pětinásobku její hodnoty ve vrcholu trajektorie. Určete elevační úhel výstřelu.
PRÁCE, VÝKON, ENERGIE HMOTNÉHO BODU 13. Jak velkou práci vykoná za první dvě sekundy síla F t 2i j , jejíž působiště se v čase pohybuje po trajektorii r t 3 j ? Jak velká by byla práce stejné síly, pokud by se její působiště pohybovalo se stejným časovým průběhem ale podél osy x, tj. r t 3i ? [8 J; 19,2 J] 14. Jak velkou práci je zapotřebí vykonat, abychom rovnoměrným přímočarým pohybem odtáhli za provaz bednu o hmotnosti 50 kg po vodorovné podlaze do vzdálenosti 6 m. Provaz svírá se směrem posunutí úhel 30°. Součinitel smykového tření mezi bednou a podlahou je 0,3. [0,77 kJ] 15. Určete délku dráhy s, na níž zvýší konstantní síla F, působící na hmotný bod hmotnosti m, jeho m n [
rychlost na n-násobek původní rychlosti v0?
2
1 v0 2
2F
]
Další příklady: D16. Lano vydrží zatížení 6.104 N. S jak velkým zrychlením můžeme zvedat břemeno o hmotnosti 5 tun, aniž by se lano přetrhlo? [2,2 m.s-2] D17. Na svahu skloněném pod úhlem 37° má být zřízen lyžařský vlek, jehož lano se má pohybovat rychlostí 12 km.h-1. Jak velký musí být příkon motoru lanovky, má-li být zabezpečena současná doprava 80 lyžařů, z nichž každý má průměrně hmotnost 75 kg a předpokládá-li se účinnost 30 %. [393,4 kW] D18. Ze stanice vyjíždí rovnoměrně zrychleně vlak. Tažná síla F lokomotivy je konstantní. Po projetí dráhy s dosáhne vlak rychlosti v. Jak velká je hmotnost vlaku, předpokládáme-li, že lokomotiva musí při pohybu trvale překonávat 2nFs odporovou sílu rovnu n-tině tíhy vlaku. [ 2 ] nv 2 gs
MECHANIKA TUHÉHO TĚLESA 16. Na nakloněné rovině byly naměřeny dva na sebe navazující úseky, každý o délce l 3m . Hmotný bod pohybující se působením tíhové síly po nakloněné rovině urazí první úsek za 0 ,6 s , druhý za 0 ,4 s . Určete úhel sklonu nakloněné roviny. Tření a odpor prostředí zanedbejte. 30° 17. Přes pevnou kladku je vedené lanko, na jehož koncích visí ve stejné výšce dvě závaží různých hmotností. Po dvou sekundách od začátku jejich pohybu je rozdíl jejich výšek 48 cm. Určete hmotnost těžšího závaží, pokud lehčí závaží má tíhu 10 N.[1,045 kg]
3
příklad č. 20 18. Motor o výkonu P = 0,1 kW pohání soustruh. Na soustruhu je upnut dřevěný válec o průměru d = 60 mm a otáčí se s frekvencí 100 Hz. Určete velikost síly, kterou působí nůž na válec, je-li výkon při soustružení roven 80 % výkonu motoru. [4,24 N] 2 19. Setrvačník s momentem setrvačnosti 50 kg.m se roztáčí z klidu. Za jakou dobu dosáhne frekvence 10 Hz, působí-li na něj moment síly o velikosti 314 N.m? [10 s] 20. Homogenní tyč o délce 0,8 m a hmotnosti 6 kg je zavěšena na dvou vláknech o stejné délce 0,5 m (dle obrázku). Určete tahové síly, kterými vlákna působí na tyč. [50 N] 21. Tenká tyč o hmotnosti 1 kg a délce 1 m je otáčivá kolem vodorovné osy jdoucí koncovým bodem tyče kolmo k tyči. Tyč dáme do nejvyšší polohy a uvolníme. Určete, jakou rychlostí proběhne koncový bod tyče nejnižší polohou. Jak velkou silou je namáhána osa při průchodu tyče nejnižší polohou? [7,7 m.s-1, 39,2 N] Další příklady: D19. Těleso na konci nakloněné roviny s úhlem sklonu 30° dosáhlo pouze poloviční rychlost, které by mohlo dosáhnout při pohybu bez tření. Určete součinitel smykového tření. [0,43] D20. Těleso se pohybuje po nakloněné rovině s úhlem sklonu 15°, součinitel smykového tření je 0,1. a) určete zrychlení pohybu, [1,6 m.s-1] b) do jaké vzdálenosti na nakloněné rovině vystoupí těleso, které je z úpatí vrženo vzhůru po nakloněné rovině rychlostí 5 m.s-1? [3,5 m] c) Jaký by musel být úhel sklonu nakloněné roviny, aby se těleso vlivem své tíhy pohybovalo rovnoměrně? 5º42'38" D21. Dřevěnou bednu o výšce 1 m a šířce 0,6 m překlopíme účinkem síly 350 N, kterou působíme ve vodorovném směru proti horní hraně tělesa. Jaká je hmotnost bedny? [119 kg] D22. Plný válec hmotnosti m a poloměru r klouže bez tření po nakloněné rovině se sklonem α. (Moment setrvačnosti válce je Jo = ½ mr2). Jakou rychlostí dospěje na konec nakloněné roviny, začíná-li se pohybovat z výšky H? Jakou rychlostí by dospěl válec na konec nakloněné roviny, kdyby se bez prokluzování valil?
[
2gH
,
4 gH 3
]
D23. Malé těleso klouže bez tření po nakloněné rovině, která na konci přechází ve svislou válcovou plochu o poloměru R. Určete, z jaké výšky musíme těleso vypustit, aby těleso vykonalo celou obrátku. [5/2 R] D24. Jakou nejmenší rychlostí musí vjet cyklista do svislé kruhové smyčky poloměru 5 m, aby jí bez nehody projel? Těžiště kola a cyklisty je ve výšce 1,2 m. Tření a odpor vzduchu zanedbejte. [13,65 m.s-1] D25. Z homogenního čtverce o straně a vystřihneme trojúhelník. Určete polohu těžiště zbylého útvaru.
těžiště je na ose symetrie ve vzdálenosti a/9 od středu čtverce
4
MECHANICKÉ KMITÁNÍ 22. Těleso koná netlumený harmonický pohyb s amplitudou výchylky 3 m, frekvencí 4 Hz. V čase t = 0 s se nachází ve vzdálenosti 1,5 m od rovnovážné polohy. Napište rovnice pro okamžitou výchylku, rychlost a zrychlení tělesa. [ y 3sin 8 t , v 24 cos 8 t ; a 192 sin 8 t ] 2
6
6
6
23. Těleso hmotnosti 2 kg koná netlumený harmonický pohyb podle rovnice y 0,2 sin 3 t (m,s). Ve vzdálenosti 0,1 m od rovnovážné polohy má potenciální energii 0,09 J. Určete v této poloze jeho kinetickou energii. [0,27 J] 24. Určete dobu, za kterou klesne energie tlumených kmitů se součinitelem útlumu 3 s-1 na 20 původní hodnoty. [0,27 s] 25. Vodorovná deska kmitá harmonicky ve svislém směru s periodou 0,5 s. Jak velká může být amplituda pohybu, aby závaží položené na desku nebylo při pohybu vymrštěno? [6,2 cm] Další doporučené příklady: D26. Závaží o hmotnosti 4 kg je zavěšeno na pružinu. Pružina se tím prodlouží o 16 cm vzhledem ke své nezatížené délce. a) Jaká je tuhost pružiny? b) Dané závaží odstraníme a na tutéž pružinu zavěsíme závaží o hmotnosti 0,5 kg. Poté pružinu ještě poněkud protáhneme a uvolníme. Jaká bude perioda vzniklých kmitů? [a) 245,25 N.m-1, b) 0,284 s] D27. Těleso koná netlumený harmonický pohyb tak, že jeho rychlost v rovnovážné poloze je 3 m/s a zrychlení v bodě vratu má velikost 27 m/s2. Vypočítejte jeho úhlovou frekvenci. [9 rad.s-1] D28. Výchylka harmonicky kmitající částice je v jistém okamžiku rovna jedné polovině amplitudy. Jaká část celkové mechanické energie má v tomto okamžiku formu energie a) potenciální, b) kinetické? [a) E/4, b) 3E/4] D29. Horizontální deska koná harmonický pohyb ve vodorovném směru s periodou T = 5s. Těleso, které leží na desce, začíná klouzat, jestliže amplituda kmitů dosáhne hodnoty x0 = 0.5 m. Jaký je koeficient tření mezi závažím a deskou? [0,08] D30. Uvažujte tlumené kmity, jejichž doba kmitu je T a součinitel útlumu je b. Poměr dvou po sobě jdoucích krajních výchylek na tutéž stranu je útlum λ. Vyjádřete útlum. [ ebT ] D31. Energie tlumených kmitů kyvadla se za 2 min zmenší 100 krát. Určete koeficient odporu prostředí, je-li hmotnost kyvadla 0,1 kg. [3,8∙10-3 kg.s-1]
MECHANICKÉ VLNĚNÍ 26. Bodovou řadou postupuje vlna rychlostí 300 m/s. Perioda T = 0,04 s. a) Určete fázový rozdíl dvou kmitajících bodů, které jsou ve vzdálenosti 10 m a 16 m od zdroje vlnění. b) Určete fázový rozdíl kmitání bodu nacházejícího se ve vzdálenosti 10 m od zdroje v časech 0,01 s a 0,02 s. [ rad, /2 rad] 27. Vypočítejte poměr fázové rychlosti vlnění a maximální rychlosti kmitajících částic prostředí x 80 pro vlnění šířící se v homogenním prostředí dané rovnicí y 103 sin 5000 t (m,s). 400 28. Stojaté vlnění vzniklo interferencí dvou protisměrných vlnění s frekvencí 475 Hz. Vzdálenost sousedních uzlů je 150 cm. Jaká je rychlost původního vlnění? [1425 m/s] 29. Hladinu intenzity zvuku zvětšíme o 30 dB. Kolikrát se zvýší jeho intenzita? [1000 krát] Další příklady: D32. Pod jakým úhlem musí dopadnout zvuková vlna na rozhraní vzduch-mosazná deska, aby se od desky úplně odrazila? Rychlost zvuku ve vzduchu je 340 m/s a v mosazi 3200 m/s. [6° 6´] D33. Určete hladinu výsledné intenzity zvuku Lv, sečteme-li dva zvuky o stejných intenzitách I.
o 3 dB vyšší, než hladina intenzity jednotlivých zvuků
D34. O kolik procent se musí zvýšit intenzita zvuku, aby hladina intenzity stoupla o 1 dB?
[25,9%]
D35. Jakou rychlostí se pohyboval závodní motocykl, jestliže poměr kmitočtů blížícího se a vzdalujícího se vozidla byl pro stojícího pozorovatele 5/4 (velká tercie)? Rychlost zvuku je 340 m/s. [136 km.h-1]
5
HYDRODYNAMIKA 30. Nad hladinou benzínu v uzavřené nádrži je tlak 3 atm (1 atm = 101 325 Pa). Benzín má hustotu 660 kg.m-3. Jakou rychlostí začal benzín stříkat malým otvorem v hloubce 50 cm? Rychlost pohybu hladiny zanedbejte. [25 m.s-1] 31. Ve dně válcové nádoby poloměru R je kruhový otvor poloměru r, kterým vytéká kapalina. Určete rychlost klesání hladiny v nádobě v závislosti na výšce x hladiny nade dnem nádoby. [ v r2
2 gx ] R4 r 4
Další příklady: D36. V nádobě je voda s hladinou ve výšce 50 cm. Jak vysoko nad dnem musíme udělat ve stěně nádoby otvor, aby voda stříkala co nejdále na vodorovnou rovinu, na které je nádoba postavená? [25 cm] D37. Vypočítejte průtok čerpadla a ideální rychlost, kterou stříká voda z trysky vysokotlakého vodního čerpadla s tlakem 400 MPa, je-li průměr trysky 0,5 mm. [894 m·s-1; 10,5 l·min-1] D38. Kolik vody za minutu musíme dodávat do nádrže s výškou hladiny 3 m a s otvorem o průměru 2 cm ve dně, aby hladina zůstávala v konstantní výšce? Zúžení proudu v otvoru zanedbáváme. [1,72 l] D39. Jak velkou silou musíme působit na píst stříkačky o průměru 5 cm, má-li voda vytékat z otvoru o průměru 5 mm rychlostí 30 m·s-1? [0,98 N] D40. Vítr při vichřici obtéká střechu domu rychlostí 110 km/h. Hustota vzduchu je 1,2 kg·m-3. a) Jaký je rozdíl tlaků v prostoru nad střechou a pod střechou, který se snaží střechu nadzvednout a odnést? b) Jaká bude síla nadnášející střechu o obsahu 90 m2? [560 Pa; 50,4 kN]
MOLEKULOVÁ FYZIKA A TERMODYNAMIKA 32. Základem bimetalového teploměru jsou dva tenké kovové proužky, které jsou pevně spojeny. Jedná se o proužek ocelový a zinkový, jejichž součinitele teplotní délkové roztažnosti jsou 12∙10-6 K-1 a 30∙10-6 K-1. Při teplotě 25 °C mají oba pásky shodné příčné rozměry, ocelový pásek má délku 50 cm, zinkový 49,8 cm. Určete: a) při jaké teplotě mají stejnou délku, b) při jaké teplotě mají stejný objem? [248,7 °C;99,6 °C] -1 33. Ocelová kulička je vržena svisle dolů z výšky 20 m počáteční rychlostí 4 m.s . Po dopadu se odrazí do výšky 4 m. O kolik stupňů se přitom ohřeje, předpokládáme-li, že jen 60% úbytku mechanické energie se změní v teplo? Měrná tepelná kapacita železa je 452 Jkg-1K-1. [0,22 °C] 34. Do 200 g vody v nádobě byla vhozena kostka ledu hmotnosti 50 g. Počáteční teplota vody byla 25 °C, počáteční teplota ledu byla –15 °C. Jaká bude konečná teplota vody v nádobě po ustavení rovnováhy? Vodu s ledem považujte za izolovanou termodynamickou soustavu. Předpokládejte konstantní hodnoty měrného skupenského tepla tání ledu 333,7 Jg-1, měrné tepelné kapacity ledu 2090 Jkg-1K-1 a měrné tepelné kapacity vody 4180 Jkg-1K-1. [2,5 °C] 0 35. Voda o hmotnosti 300 kg a teplotě 30 C se má za normálního tlaku smícháním se sytou vodní párou zahřát na teplotu 800C. Určete hmotnost potřebné páry; měrné skupenské teplo varu vody je za normálního tlaku 2,257 MJkg-1. [26,8 kg] 3 36. Odhadněte rozdíl hmotnosti vzduchu v nevytápěném sále o objemu 50 m v letním a zimním období, jestliže budeme předpokládat letní teplotu 30 °C a zimní 0 °C. Tlak vzduchu bude normální, tj. 1,01325105 Pa. [6,4 kg] 3 5 37. Nádrž objemu 0,015 m obsahuje dvouatomový plyn ve stavu s tlakem 210 Pa a teplotou 30°C. Vypočtěte výsledný tlak a teplotu, jestliže plyn přijme 16,8103 J tepla. [982,15 K; 6,48.105 Pa] 38. Za normálního tlaku p = 1,01325105 Pa měl plynný dusík N2 o látkovém množství n 8 mol teplotu t1 = 30°C. Teplota plynu byla při nezměněném tlaku zvýšena na t2 = 190 °C. Určete změnu vnitřní energie, teplo plynu dodané a práci, kterou plyn vykonal. [2,7.104 J; 3,7.104 J; 10 kJ] 39. Carnotův motor s chladičem teploty 10 °C má účinnost 38%. O kolik stupňů se musí zvýšit teplota ohřívače, aby se účinnost zvýšila na 45% při nezměněné teplotě chladiče? [58 °C] 6
40. Kompresor vyrobí za hodinu 50 m3 stlačeného vzduchu o tlaku 8.105 Pa. Je přitom chlazen vodou, takže je děj možno pokládat za izotermický. Vnější vzduch má tlak 105 Pa. Jaký výkon musí mít motor kompresoru, je-li jeho účinnost 60%? [38,5kW] Další příklady: D41. Na teploměru ve vzduchu je zobrazena teplota 25 °C, po jeho ponoření do vody se teplota zvýší o 32 °C. Určete tepelnou kapacitu teploměru, jestliže měření teploty vodní lázně probíhá ve vodě o hmotnosti 15 g, jejíž měrná tepelná kapacita je 4200 Jkg-1K-1 a teplota vody před měřením byla 64 °C. D42. Kus ledu o hmotnosti 250 g a teplotě -10 °C vložíme do směšovacího kalorimetru, jehož tepelná kapacita má hodnotu 3 100 JK-1. V kalorimetru je 900 g vody o teplotě 50 °C. (a) Roztaje všechen led? (b) Určete výslednou teplotu v kalorimetru po vyrovnání teplot. (c) Jakou teplotu by musela mít voda před vložením ledu, aby se roztopila právě polovina hmotnosti ledu? Tepelnou výměnu s okolím kalorimetru zanedbejte. Předpokládejte konstantní hodnoty měrného skupenského tepla tání ledu 333,7 Jg-1, měrné tepelné kapacity ledu 2090 Jkg-1K-1 a měrné tepelné kapacity vody 4180 Jkg-1K-1. [(a) ano, (b) 32,18 °C, (c) 6,84 °C] D43. Ideální plyn expandoval mezi stavy I a II (Obrázek 1.). Stavu I příslušela teplota 45°C. a) Jakého počtu molů plynu se p-V diagram týká? b) Jakou práci během expanze plyn vykonal? c) Určete teplotu plynu ve stavu II.
[0,76 mol; 8 kJ; 2 848 K]
D44. Píst velmi rychle, proto lze předpokládat, že adiabaticky, stlačil kyslík na 1/50 původního objemu. Jestliže byla počáteční teplota kyslíku 20 °C, jaké teploty bylo dosaženo po stlačení? [1129 °C] D45. Kyslík má počáteční teplotu 200 °C a koná ideální Carnotův kruhový děj. Nejprve expanduje izotermicky na dvojnásobek objemu, poté expanduje adiabaticky na trojnásobek počátečního objemu, aby byl stlačen izotermicky na takový objem, který umožní následnou adiabatickou kompresí uzavřít celý cyklus. Kyslíku je 2000 mol. Vypočtěte práci kyslíku v každé ze čtyř částí kruhového děje. Stanovte účinnost daného kruhového děje. Použijte hodnotu Poissonovy konstanty 1,4. [ AI 5, 45 MJ; AII 2,95 MJ; AIII 4, 64 MJ; AIV 2,95 MJ; 15% ]
GRAVITAČNÍ POLE 41. Ve kterém místě na spojnici středů Země a Měsíce a) se nachází družice, je-li kosmonaut na palubě ve stavu beztíže? b) se intenzita výsledného gravitačního pole obou těchto těles rovná nule? Uvažujte, že hmotnost Země je 81-krát vyšší než hmotnost Měsíce. Vzdálenost (L) středů Země a Měsíce je rovna 60-ti násobku poloměru Země. [9/10 L] 42. Jakou hmotnost má největší planeta sluneční soustavy, Jupiter, přitahuje-li ho Slunce gravitační silou o velikosti 4,2.1023 N? Hmotnost Slunce je 2.1030 kg, planeta Jupiter obíhá kolem Slunce ve střední vzdálenosti 7,8.108 km. Jaká je intenzita gravitačního pole Slunce v této vzdálenosti? Jaká je ve středu Slunce intenzita gravitačního pole Jupiteru? [1,9.1027 kg, 2,2.10-4 m.s-2, 2,1.10-7 m.s-2] Další příklady: D46. Určete gravitační zrychlení na povrchu Venuše, jestliže střední hustota látek, které tvoří planetu Venuši, je 4900 kg.m-3 a její poloměr je 6200 km. [8,5 m.s-2] D47. Jakou rychlostí musí být vrženo těleso svisle vzhůru z povrchu Země, aby vystoupilo do výšky rovné poloměru Země? [7910 m.s-1] D48. Doba, za kterou kolem první družice s člověkem na palubě oběhla Zemi, byla 89 min. Určete výšku nad povrchem Země, v níž se družice pohybovala, za předpokladu, že její trajektorií byla kružnice. (MZ = 5,98∙1024 kg, RZ = 6378 km, = 6,67∙10-11 N∙m2∙kg-2) [229 km]
7
ELEKTROSTATICKÉ POLE 43. Vyjádřete obecně poměr velikosti Coulombovy síly Fel a gravitační síly Fg, kterou na sebe působí dva protony ze vzdálenosti r. Náboj protonu označte e a jeho hmotnost mp. Vyhledejte v tabulkách hodnoty příslušných konstant a dopočítejte číselně. [1,24·1036] 44. Dva stejné bodové náboje umístěné ve vzdálenosti l = 20 cm působí na sebe ve vzduchu elektrostatickou silou F. V jaké vzdálenosti by musely být umístěny v oleji o relativní permitivitě r = 5, aby velikost elektrostatické síly, kterou by na sebe vzájemně působily, byla stejná. [8,9 cm] 45. Kam na spojnici souhlasných nábojů Q a 4Q vzdálených l = 0,9 m je třeba umístit třetí náboj Q, aby výslednice elektrostatických sil byla nulová? Jak se změní řešení úlohy v případě nesouhlasných zdrojových nábojů (Q a -4Q)? [0,3 m] 46. Do homogenního elektrického pole vstupuje nabitá částice (Q = 5·10-6 C) s kinetickou energií 12 mJ a vystupuje z tohoto pole s kinetickou energií 28 mJ. Pohyb částice v poli se děje pouze vlivem elektrické síly. Vypočítejte napětí mezi deskami. [3,2 kV] 47. Desky kondenzátoru o ploše 2 m2 jsou ve vakuu ve vzdálenosti 5 mm. Na kondenzátoru je udržováno napětí 104 V. Stanovte kapacitu kondenzátoru, náboj každé desky, plošnou hustotu náboje a intenzitu pole mezi deskami. Co se změní, dáme-li mezi desky kondenzátoru pertinax o relativní permitivitě εr = 5? [3,54 nF; 3,54.10-5 C;1,77.10-5 C·m-2;2.106 V·m-1] 48. V soustavě kondenzátorů na následujícím obrázku je bod O uzemněn, v bodě M je udržován potenciál 1200 V. Určete náboj každého kondenzátoru a potenciál v bodě N. Kapacita prvního kondenzátoru je 3 F, druhého 4 F a třetího 2 F. [2,4.10-3 C; 1,6.10-3 C; 0,8.10-3 C; 400 V] C2 příklad č. 48 M
N
O C3
C1
49. V nabitém kondenzátoru je akumulována energie 2,7 mJ. Určete kapacitu kondenzátoru a náboj na jeho deskách, víte-li že napětí na deskách kondenzátoru je 85 V. [7,47.10-7 F; 6,35.10-5 C] Další příklady: D49. Homogenním elektrostatickým polem E = 15 kV∙m-1, jehož siločáry mají svislý směr, prochází svazek elektronů tak, že jejich počáteční rychlost v0 je kolmá na vektor intenzity E. Po uražení dráhy x = 0,05 m se odkloní od vodorovného směru o y = 1.10-3 m. Stanovte velikost počáteční rychlosti v0. [5,7.107 m.s-1] D50. Částice (+Q, m) se pohybuje směrem ke kladnému bodovému náboji +q rychlostí v. Do jaké vzdálenosti R se tato částice může k náboji přiblížit? Řešte obecně a pak pro pozitron s rychlostí 5,7∙10 6 m/s a částici [3,1.10-11 m] D51. Při radioaktivním rozpadu je z jádra atomu polonia emitována částice (jádro He) s rychlostí 1,6.107 m/s. Vypočítejte její kinetickou energii (v eV). Jakým potenciálovým rozdílem by musela částice projít, aby získala stejnou rychlost? Hmotnost částice považujte za konstantní. [5,3 MeV; 2,67.106 V]
8
ELEKTRICKÝ PROUD 50. Dává-li baterie proud 3 A, je její svorkové napětí 24 V. Při proudu 4 A klesne svorkové napětí na 20 V. Určete, jaký vnější odpor je v obou případech zapojený do obvodu, vnitřní odpor baterie a její elektromotorické napětí. [8 Ω; 5 Ω; 4 Ω; 36 V]
51. Vypočítejte proud jdoucí odporem R3 v síti podle obrázku. Je dáno 1 = 20 V, 2 = 30 V, R1 = 200 , R2 = 50 , R3 = 100 . Vnitřní odpory zdrojů můžeme zanedbat.
R1
R2
příklad č. 51
R3 1
2
[0,2 A]
52. Vlákno svítící žárovky o výkonu 1 kW při napětí 220 V má teplotu 1600 °C. Stanovte teplotní koeficient odporu tohoto vlákna, je-li jeho odpor za studena (při 0°C) 4 . [6,94.10-3 K-1]
53. Jaký odpor bychom museli předřadit žárovce o výkonu P = 3 W a pro napětí U = 6 V, chcemeli ji připojit k napětí U = 220 V? Nakreslete schéma zapojení. [428 Ω]
54. Jaká úprava nám umožní použít miliampérmetru s rozsahem Im = 200 mA a odporem cívky Ra = 2,8 , k měření proudů do I´m = 3 A? Nakreslete schéma zapojení. [bočník 0,2 Ω]
Další doporučené příklady: D52. Jak velký odpor má za studena (při 0°C) vlákno wolframové žárovky 60 W/220 V, vztahují-li se údaje na provozní teplotu 2 500°C. Teplotní součinitel odporu je 48∙10 -4 K-1. Jak velký je proud při svícení a jak velký je nárazový proud v okamžiku rozsvícení? [62 ; 273 mA; 3,5 A] D53. Jaká úprava nám umožní použít voltmetr s maximálním povoleným napětím Um= 25 V a vnitřním odporem Ra = 25 k, k měření napětí do U´m = 250 V? [předřadný odpor 225 k ] D54. Jaký odpor je třeba předřadit obloukové lampě, na níž je při průchodu proudu I 0 = 6 A spád napětí U0 = 39 V, máme-li ji připojit ke zdroji napětí U = 60 V? [3,5 ] D55. Demonstrační přístroj o rozsahu 0-1mA je třeba použít pro měření proudů do I´m = 1 A. Stanovte odpor potřebného bočníku, je-li vnitřní odpor miliampérmetru Ra = 100 . [0,1 ]
9
příklad č. 55
MAGNETICKÉ POLE D0 55. Velmi dlouhý tenký, přímý proudovodič, kterým teče proud I = 2,5 A, vytváří v určitém místě kruhový závit o průměru D0 = 4,14 cm, ležící v S rovině proložené proudovodičem. Vypočítejte magnetickou indukci ve středu uvedeného závitu (ve vzduchu)! [0,1 mT] 56. Vypočtěte magnetickou indukci uvnitř solenoidu s jádrem délky l = 25 cm, majícího N = 2000 závitů, protéká-li jím proud I = 0,5 A, relativní permeabilita jádra je r = 250. Předpokládáme, že délka solenoidu je mnohem větší než jeho průměr. [0,4 T] 57. Deuteron urychlený neznámým potenciálovým rozdílem obíhá v magnetickém poli o indukci B = 1,5 T po kruhové dráze o poloměru 40 cm. Určete rychlost deuteronu, dobu jednoho oběhu a urychlovací napětí. [2,9.107 m·s-1 ; 8,7.10-7 s; 8,8 MV] 58. Vedením v elektrárně může při zkratu procházet proud až 104 A. Jakou silou na sebe v tomto případě působí dvě rovnoběžná vedení dlouhá 3 m a vzdálená od sebe 0,5 m? [120 N] Další příklady: D56. Vypočtěte magnetickou indukci uvnitř toroidu o středním poloměru R = 10 cm, majícího N = 1000 závitů, protéká-li jím proud I = 0,5 A, nejdříve bez jádra, pak s jádrem o relativní permeabilitě r = 500. [1mT; 0,5 T] D57. Jaký poloměr musí mít dlouhá cívka vinutá měděným drátem o průměru 1,2 mm závit vedle závitu v jedné vrstvě, aby při průtoku proudu 2 A byl magnetický indukční tok touto cívkou 3.10 -6 Wb? Pole uvnitř cívky pokládejte za homogenní. [2,1 cm] D58. Mezi póly magnetu je homogenní magnetické pole indukce 0,1 T. V poli je umístěn měděný vodič délky 70 cm tak, že je kolmý k indukčním čarám. Jaký proud by musel procházet vodičem, aby se v magnetickém poli vznášel? Hustota mědi je 8930 kg∙m3, poloměr drátu je 1,2 mm. [3,96 A] D59. Za jakých podmínek a za jak dlouho by mohlo dojít k roztavení vodiče z předchozího příkladu (počítejte s těmito parametry: teplota tání mědi je 1083°C; měrná tepelná kapacita c = 383 J∙kg-1∙K-1; měrný odpor 17,8∙10-6∙m; teplotní součinitel odporu 4∙10-3 K-1)?
ELEKTROMAGNETICKÉ POLE, STŘÍDAVÉ PROUDY 59. Chceme-li připojit žárovku pro napětí 6 V a výkon 5 W k síti 220 V (frekvenci 50 s-1), můžeme to učinit tak, že jí předřadíme kondenzátor. Vypočtěte potřebnou kapacitu a účiník zapojení. [12 F; 0,027] 60. Do oscilačního elektrického obvodu je ke kondenzátoru o kapacitě C1 paralelně připojen další kondenzátor o kapacitě C2 = 3C1. Poté se frekvence kmitů zmenší o 500 Hz. Určete frekvenci kmitů původního obvodu. [1000 Hz] 61. Cívka s odporem vinutí R = 10 a o indukčnosti L se zapojí sériově s kondenzátorem o kapacitě C = 100 F. Při frekvenci 50 Hz je obvod v rezonanci. Vypočtěte napětí na kondenzátoru a proud procházející cívkou, je-li napětí na celém obvodu U = 110 V. [350 V, 11 A] Další příklady: D60. Přímá kovová tyč délky 1 m se otáčí kolem jednoho svého konce v rovině kolmé k indukčním čarám homogenního magnetického pole o indukci 1 T. Vypočítejte, jak velké indukované napětí vzniká mezi oběma konci tyče při frekvenci otáčení 10 s-1? [31,4 V] D61. Obvodem s ohmickým odporem protéká při napětí 220 V a frekvenci 50 s-1 proud 10 A. Stanovte kapacitu kondenzátoru, který je nutno zařadit do obvodu, aby proud klesl na 6 A. Určete hodnoty napětí na odporu a na kondenzátoru pro toto zapojení. [109F; 132 V; 176 V] D62. Kolik závitů musí mít primární vinutí transformátoru s jádrem o průřezu S = 4.10-3 m2? Primární napětí je U1 = 220 V a transformátor má pracovat při maximální indukci B = 1 V, f = 50 Hz. Nepřihlížíme k rozptylu, hysterezním ztrátám ani k ohmickému odporu vinutí! [248]
10
OPTIKA 62. Potápěč je 10 m pod hladinou klidného jezera. Jaký je průměr kruhu na hladině, kterým může potápěč vidět svět vně vody? Když se potápěč ponoří hlouběji, jak se změní průměr tohoto kruhu? Index lomu vody je 1,33. [22,8 m] 63. Určete předmětovou vzdálenost předmětu tak, aby duté zrcadlo vytvořilo jeho převrácený, a) 4krát větší; b) 4krát menší obraz. [1,25f ; 5f] 64. Poloměr vypuklého zrcadla je 20cm.Ve vzdálenosti 30cm od zrcadla je umístěn předmět velikosti 1cm. Vypočítejte, kde vznikne obraz a jak bude velký. [-7,5 cm; 0,25 cm] 65. Předmět je pozorovaný lupou, která je ve vzdálenosti c = 0,02 m od oka. Vypočítejte ohniskovou vzdálenost lupy, jestliže při 6-ti násobném úhlovém zvětšení se obraz vytvoří ve vzdálenosti 0,3 m od lupy. [0,045m]
66. Předmět je umístěn 8cm před rozptylkou, která má ohniskovou vzdálenost 24cm. Vypočítejte obrazovou vzdálenost a příčné zvětšení předmětu. [– 0,06 m; 0,75] 67. Určete nejvyšší řád spektra, ve kterém je ještě možno pozorovat červenou čáru vlnové délky 700 nm pomocí optické mřížky, která má 300 vrypů na milimetr. [4] 68. Svazek bílého světla dopadá kolmo na optickou destičku tloušťky 400 nm a indexu lomu 1,5. Destička je ve vzduchu. Vypočítejte, které vlnové délky viditelné části spektra se v odraženém světle zesilují, a odhadněte, jaké barvy jim odpovídají. [480 nm] Další příklady: D63. Jakou minimální výšku h musí mít rovinné zrcadlo visící na svislé stěně, aby pozorovatel výšky 180 cm v něm mohl vidět celou svou postavu? [0,9 m] D64. Vypočítejte zvětšení mikroskopu s optickým intervalem 0,16 m, přičemž předmětové ohniskové vzdálenosti objektivu a okuláru jsou 2 mm a 20 mm. [1000] D65. Na štěrbinu o šířce 0,5 mm dopadá kolmo světlo o vlnové délce 760 nm. Vypočítejte vzdálenost 1. tmavého pruhu od středu obrazu štěrbiny na stínítku vzdáleném 2,5m od štěrbiny. [3,8 mm]
11
ATOMOVÁ A JADERNÁ FYZIKA 69. Na kovovou desku dopadá monochromatické světlo o vlnové délce 0,413.10-6 m. Tok elektronů emitovaných z kovu je úplně zastaven brzdícím napětím 1 V. Určete výstupní práci kovu a mezní vlnovou délku. [2 eV; 619 nm]
70. Při fotoefektu s platinovou katodou bylo naměřeno brzdné napětí 0,8 V. Výstupní práce platiny je 5,3 eV. Vypočítejte a) vlnovou délku světla, kterého bylo použito; b) mezní vlnovou délku. [234 nm; 203 nm]
71. Konečným produktem radioaktivního rozpadu rozpadu uvolní z 1 g výchozího materiálu?
232 90
Th je
208 82
Pb . Kolik a částic se při
[6 x , 4 x ; 1,56·1022, 1,04·1022]
72. Poločas -rozpadu izotopu plutonia 239 Pu je 24100 let. Kolik % z původního počtu atomů plutonia se rozpadne po 20000 letech? [43,7%]
73. Vypočítejte, jak silná hliníková deska je třeba ke snížení intenzity kobaltového zářiče 60Co na desetinu. Absorpční koeficient zářiče je 0,153 cm-1. [15 cm]
Další příklady: D66. Určete, kolik gramů helia vznikne ze 12 g čistého 239 Pu po 20 000 letech (viz př. 72). Do výsledného množství helia nezahrnujte helium, které vzniká rozpadem vedlejších produktů reakce. [87,8 mg]
D67. Vypočítejte krátkovlnnou hranici spojitého rentgenového spektra v případě, že na RTG lampě je napětí 30 kV. [4,14·10-11 m]
D68. Jaká je vlnová délka fotonu, který se vyzáří při přechodu elektronu ze čtvrté na druhou kvantovou dráhu podle Bohrova modelu atomu vodíku? [0,485.10-6 m]
D69. Vypočítejte parametry fotonu (energii, kmitočet, vlnovou délku, úhlový vlnočet, hmotnost a hybnost), má-li ionizovat atom cesia. Ionizační potenciál cesia má hodnotu 3,88 V. [E = 6,20810-19 J; ν = 0,9371015 Hz; = 3,19610-7 m; k = 3,14106 m-1; m = 0,6910-35 kg; p = 2,0710-27 kgms-1]
D70. Při léčbě rakoviny se užívá nuklid
198
Au s poločasem rozpadu 2,7 dní. Jakou hmotnost tohoto nuklidu potřebujeme,
abychom dosáhli aktivitu 250 Ci? Jednotka curie (Ci) je přibližně rovna aktivitě jednoho gramu hodnotu 3,7∙1010 Bq.
226 88 Ra
, tj. má [1,02 mg]
D71. Aktivita aktivitu
14 6C 14 6C
, která byla naměřena v dřevěném uhlí hmotnosti 5 g, odpovídala 63 rozpadů za minutu. Živý strom má 15,3 rozpadů za minutu z 1 g. Poločas rozpadu
14 6C
je 5730 let. Jak starý je vzorek dřevěného uhlí? [1600 let]
98
D72. Spočtěte energii Q reakce pro štěpení Mo na dva stejné fragmenty. Hmotnosti, které budete k výpočtu potřebovat, jsou: 97,90541u pro 98 Mo a 48,95002u pro 49 Sc . [5 MeV]
12
