Empirische vergelijking van het Black Scholes model met het GARCH model van Duan. Door: Toon Admiraal J.J.A.G. Driessen

Empirische vergelijking van het Black–Scholes model met het GARCH model van Duan

Door: Toon Admiraal 0249653

Begeleider

J.J.A.G. Driessen

tweede beoordelaar

Samenvatting Deze scriptie geeft een empirische vergelijking van het Black en Scholes model en het GARCH model van Duan, Gauthier en Simonato (1999). Gebruik makend van Europese callopties op de AEX, onderzoek ik deze twee modellen naar 1) in-sample prestatie en 2) absolute en relatieve out-of-sample waarderingsfouten. In mijn onderzoek test ik de Black en Scholes formule op basis van een spot volatiliteit die van de voorafgaande 180 slotkoersen van de AEX afgeleid wordt. De volatiliteit van het GARCH approximation model van Duan, Gauthier en Simonato wordt door het statistische progamma Eviews berekend op basis de rendementen van de AEX koersen. Het GARCH model presteert in de in-sample veel beter dan het Black en Scholes model. Ook in de out-of-sample test presteert het GARCH model beter. Uit de out-ofsample resultaten blijkt het GARCH model vooral ‘out-of-the-money’ opties beter dan het Black en Scholes model te waarderen. Een verklaring hiervoor is het in eerder onderzoek aangetoonde overwaarderen van ‘out-of-the-money’ opties door het Black en Scholes model. Het Black en Scholes model waardeert de “in-the -money’ opties echter wel beter dan het GARCH model.

2

1. Inleiding Het werk van Black en Scholes (1973) en Merton (1973) heeft voor een waarderingsformule gezorgd die onafhankelijk van risico aversie en persoonlijke voorkeuren van individuele beleggers is. Vooral de Black en Scholes (1973) optie waarderingsformule heeft erg aan populariteit gewonnen. Dit mede door zijn simpliciteit en de adequate waardering van ‘near-the-money’ opties. Ondanks dat de Black en Scholes formule vaak redelijk succesvol is in het verklaren van de optieprijs heeft het ook nog al wat beperkingen. (zie Rubbinstein 1985) Uit tal van empirisch onderzoek1 blijkt verder dat de index optieprijs systematisch van de prijs op basis van het Black en Sc holes model verschilt.

Een van de belangrijkste kernpunten bij het bepalen van de waarde van een optie is de variantie van het onderliggende goed. De variantie beïnvloedt de gevoeligheid van de waarde van de optie met betrekking tot de prijs van het onderliggende, de resterende looptijd, het interestpercentage en de variantie zelf. Een accurate bepaling van de variantie is dan ook van essentieel belang in het bepalen van de optieprijs. Sinds de ontwikkeling van de Black en Scholes formule in 1973 hebben tal van onderzoekers modellen ontwikkeld die van een stochastische volatiliteit uitgaan2. Er zijn twee soorten volatiliteit modellen: Continious -time stochastisch volatiliteit en discrete -time GARCH modellen. Continious -time stochastisch volatiliteit modellen zijn effectief voor het prijzen van opties, maar kunnen lastig te implementeren zijn. Deze modellen veronderstellen dat volatiliteit waarneembaar is, maar in praktijk is het erg moeilijk om de continue volatiliteit uit discrete waarnemingen te filteren (zie Heston en Nandi (2000) voor details). Als mogelijke oplossing hiervoor wordt meestal de geïmpliceerde volatiliteit gebruikt. Deze methode is niet altijd geschikt wanneer het bijvoorbeeld weinig verhandelde opties betreft. Verder kost het empirisch gezien een hoop rekenwerk, aangezien er voor elke datum een volatiliteit berekend dient te worden. GARCH modellen hebben het voordeel dat ze de volatiliteit kunnen waarnemen van de discrete prijsdata en er dienen slechts een paar parameters geschat worden. Er zijn de afgelopen decennia een flink aantal GARCH modellen ontwikkeld. Voorbeelden 1

Bijvoorbeeld Ait-Sahalia en Lo (1998), Bakshi, Cao en Chen (1997), Bates (1996a), Christoffersen en Jacobs (2002), Das en Sundaram (1999), Dumas, Flemming en Whaley (1998) en Jackwerth (2000) 2 Voorbeelden hiervan zijn: Scott (1987), Hull en White (1987), Wiggins (1987), Stein en Stein (1991), Heston (1993) Melino en Turnball (1990, 1995)

3

hiervan zijn het model van Engle en mustafa (1992), het NGARCH model van Duan (1995) en Hestons en Nandi’s (2000) model. Hier op aansluitend heeft er een hoop onderzoek plaats gevonden om deze modellen in de praktijk te implementeren. Engle en mustafa (1992), Armin en NG (1994) alsmede Duan (1995) maakten gebruik van een Monte Carlo simulatie om de opties te prijzen. Recentere methodes omvatten Duan en Simonato’s (1998) empirische martigale simulatie, Duan en Simonato’s (1999) Markov chain benadering, Hanke’s (1997) neutrale netwerk benadering en de “gesloten-vorm” modellen van Heston en Nandi (2000) en Duan, Gauthier en Simonato (1999)

Het doel van deze scriptie is dan ook om de empirische prestaties van het Black en Scholes model en het GARCH model zoals voorgesteld door Duan, Gauthier en Simonato (vanaf hier DGS) (1999) te evalueren. Ik heb voor het GARCH model van DGS (1999) gekozen omdat dit model (net als het model van Heston en Nandi (2000)) over een closed-form beschikt. Dit zorgt ervoor dat er voor het bepalen van de optieprijzen geen langzame, computerintensieve simulaties nodig zijn, waar dit voor andere GARCH modellen wel het geval is. Voor het Black en Scholes model worden de opties berekend op basis van een spotvolatiliteit die rechtstreeks van de AEX wordt afgeleid. Dit gebeurt volgens een methode die door Hull (2003, pp. 238-239) beschreven wordt. Het Black en Scholes model op basis van een geïmpliceerde vola tiliteit fungeert als benchmark. Voor het GARCH model van DGS (1999) wordt de volatiliteit door Eviews uit het koersverloop van de AEX gefilterd en deze varieert van dag tot dag. Ook de parameters β 0 , β 1 en β 2 worden door Eviews op basis van de AEX-koers bepaald. Deze zijn echter voor de gehele sample constant.

De empirische prestaties van de twee modellen worden naar twee maatstaven beoordeeld. De eerste maatstaaf is de in-sample prestatie. Aangezien modellen met een goede in -sample prestatie niet automatisch een betere out -of-sample voorspelling hebben, is de tweede gehanteerde maatstaf in deze scriptie daarom de out-of-sample waarderingsfout. Gebaseerd op de optieprijzen van 18/03/2003 tot en met 17/06/2005

4

blijkt dat het GARCH model van DGS (1999) zowel in de ‘in -sample’ als de ‘out-ofsample’ testen beter te presteren. In de ‘in-sample’ test ligt de gemiddelde volatiliteit van het GARCH model dichter bij de volatiliteit van de benchmark dan de gemiddelde volatiliteit van het Black en Scholes model. Ook volgt de volatiliteit van het GARCH model de schommelingen in de volatiliteit van de benchmark beter. Zo maakt de GARCH volatiliteit in 71% van metingen dezelfde beweging als de volatiliteit van de benchmark, tegenover 53% voor het Black en Scholes model. En als laatste en belangrijkste maatstaaf heeft het GARCH model ook een lager waarderingsverschil dan het Black en Scholes model. Ook in de ‘out-of-sample’ test presteert het GARCH model beter dan het Black en Scholes model. Zowel de nominale, de absolute nominale, evenals de absolute relatieve waarderingsverschillen van het GARCH model zijn over de hele sample gemeten lager dan die van het Black en Scholes model. Als deze resultaten in klassen naar resterende looptijd en ‘moneyness’ verdeeld worden, valt op dat het GARCH model opties met een S/K ratio van minder dan 1 beter waardeert dan het Black en Scholes model. Maar dat het Black en Scholes model opties met een met een S/K ratio van meer dan 1 beter waardeert. Dat het GARCH model juist beter dan het Black en Scholes model presteert voor ‘out-of-the -money’ opties sluit aan bij de resultaten van eerder onderzoek. Zo blijkt het Black en Scholes model kortlopende opties te onderwaarderen (Black 1975; Whaley 1982) en ‘out-of-the-money’ opties te overwaarderen (Rubinstein 1985; alsmede Jiang en Sluis 1999)

Ondanks dat het Black en Scholes model de ‘in-the-money’ opties beter waardeert, kan er op basis van de resultaten alleen geconcludeerd worden dat de waardering van de opties door middel van het GARCH model beter is dan die van het Black en Scholes model. Mijn scriptie is als volgt opgebouwd: in hoofdstuk 2 worden het Black en Scholes model en het GARCH optie waarderingsmodel van Duan, Gauthier en Simonato (1999) uiteen gezet. De beschrijving van de data komt in hoofdstuk 3 aan bod. De maximale waarschijnlijkheids bepalingsmethode en de onderzoeksmethode wordt in hoofdstuk 4 beschreven. Vervolgens worden in hoofdstuk 5 en 6 de uitkomsten van respectievelijk de in-sample en de out-of-sample testen uitvoerig gepresenteerd. Tenslotte worden de conclusies in hoofdstuk 7 beschreven. 5

2. Optie waarderingsmodellen In dit hoofdstuk worden de twee modellen die in deze scriptie met elkaar vergeleken gaan worden besproken. Als eerste komt het Black en Scholes (1973) model aan bod, waarna het GARCH model van DGS (1999) uiteengezet wordt.

2.1 Het Black en Scholes model Het Black en Scholes model gaat er van uit dat de volatiliteit van de aandelenprijs constant is. Bij de ontwikkeling van de optie waarderingsformule gingen Black en Scholes (1973) buiten deze assumptie, die inhoudt dat de distributie van iedere mogelijke aandelenprijs lognormaal verdeeld is en dat de variantie van de opbrengst van het aandeel constant is, van nog een zestal “ideale condities” voor de markt uit. De resterende aannames die zij maakte, zijn de volgende:

1. De korte rente is bekend en constant 2. Het aandeel betaalt geen dividend of andere uitkeringen 3. Het gaat om Europese opties 4. Er zijn geen transactie kosten 5. Het is mogelijk om elke fractie van de prijs van het aandeel te lenen tegen de korte rente 6. Het is mogelijk om zonder extra kosten short te gaan

Onder deze assumpties is de waarde van de optie alleen afhankelijk van de aandelenprijs, de looptijd en variabellen die constant geacht worden. Als er een hedge positie wordt gecreëerd die bestaat uit een long positie in het aandeel en een short positie in de optie, dan is de optieprijs niet afhankelijk van de aandelenprijs, maar van de looptijd en de waarde van bekende constanten. De Black en Scholes formule voor het waarderen van een Europese calloptie op een geen dividend uitkerend aandeel luidt dan:

C = S0 N (d1 ) − X e− rT N (d 2 )

6

(1)

Waarbij

d1 = d2 =

ln( S 0 / X ) + ( r + σ 2 / 2 )T

(2)

σ T ln( S 0 / X ) + (r − σ 2 / 2)T σ T

= d1 − σ T

(3)

De functie N(x) is de cumulatieve kansverdelingfunctie voor de standaard normale verdeling. Anders geformuleerd geeft het de kans weer dat een variabele met een standaard normale verdeling, φ (0 ,1) kleiner dan x zal zijn. De variabele C is de Europese callprijs, S0 is de aandelen prijs op tijdstip nul, X is de uitoefenprijs (strike price), r is de cumulatieve risicovrije rente, σ is de volatiliteit van het aandeel en T is de resterende looptijd. De waardering van de optie als functie van de prijs van het aandeel is onafhankelijk van de verwachte opbrengst van het aandeel. De verwachte opbrengst van de optie is echter wel afhankelijk van het verwachte rendement van het aandeel. Hoe sneller de aandelenprijs stijgt, des te meer de optieprijs door de functierelatie stijgt.

De Volatiliteit van het Black en Scholes model De enige parameter die in de Black en Scholes formule niet direct geobserveerd kan worden is de volatiliteit van het aandeel. De volatiliteit van een aandeel geeft een meeting van de onzekerheid die over het te behalen rendement van een aandeel bestaat. Voor het empirisch bepalen van de volatiliteit van een aandeel moet de prijs hiervan met een vast interval worden waargenome n (dagelijks, wekelijks of maandelijks). Vervolgens kan de volatiliteit volgens de methodologie die door Hull (2003, pp. 238-239) beschreven is benaderd worden. Bij deze methode zijn onderstaande variabelen als volgt gedefinieerd: n+1 = het aantal observaties

S i = Aandelenprijs op het einde van interval i τ = Lengte van de tijdsinterval in jaren En

 S  ui = ln  i   Si −1 

voor i = 1, 2, ...,

(4)

De gebruikelijke benadering van de standaard deviatie wordt weergegeven door: 7

s=

1 n ∑ (ui − u ) n − 1 i =1

2

(5)

Of

1 n 2 1  n  s= ui −  ∑ ui  ∑ n − 1 i =1 n( n − 1)  i =1 

2

(6)

De standaard deviatie van de ui ’s is gelijk aan σ τ . Het is dus mogelijk om σ te benaderen als σˆ waarbij geldt dat:

σˆ =

s

(7)

τ

In de praktijk werken analisten gewoonlijk met wat bekend staat als de geïmpliceerde volatiliteit. Dit is een volatiliteit die door de waargenomen optieprijzen geïmpliceerd wordt op basis van (in dit geval) het Black en Scholes model. In het Black en Scholes model is het niet mogelijk om de formule te herschrijven zodat σ als een functie van S 0 , X, r, T en C kan worden weergegeven. Het is echter wel mogelijk om σ op basis

van een iteratieve zoekmethode te benaderen. Uit onderzoek van o.a. Rubinstein (1985) en Sheikh (1991) blijkt deze geïmpliceerde volatiliteit echter te variëren. Dit is in tegenspraak met de assumptie dat de volatiliteit constant is. Zo blijkt de volatiliteit te dalen naarmate er sprake is van een hogere uitoefenprijs. Voor opties met een gelijkblijvende uitoefenprijs blijkt de volatiliteit lager naarmate de looptijd toeneemt. De vorm van de geïmpliceerde volatiliteit curve in relatie tot de uitoefenprijs wordt geduid als de “volatility skew” (Hull 2003, p.334) Andere tekortkomingen die uit empirisch onderzoek naar voren komen zijn: het onderwaarderen van ‘out-of-the-money’ opties (Black 1975; Gultekin e.a. 1982), het onderwaarderen van opties op waarborgen met een laag volatiel (Black 1975; Gultekin e.a. 1982; Whaley 1982), alsmede het onderwaarderen van opties met een korte looptijd Black 1975; Whaley 1982)

8

2.2 Het GARCH optie waarderingsmodel In tegenstelling tot het Black en Scholes model, gaat het GARCH model van Duan ervan uit dat het onderliggende goed van de optie een General AutoRegressief Conditional Hetroskedastic (GARCH) proces volgt. Het GARCH proces in dit artikel verschilt van voorgaande onderzoeken doordat het wordt uitgebreid met het risiconeutrale onderzoek van Rubinstein (1976) en Brennam (1979). Door de complexiteit van het GARCH proces is het nodig om gebruik te maken van een algemene versie van risico neutralisatie, ‘locally risk-neutral valuation relationship’ (LRNVR) genaamd. LRNVR stelt, in tegenstelling tot het conventionele GARCH proces, dat de conditionele variantie over 1-periode onafhankelijk is van veranderingen die veroorzaakt worden door het risiconeutraal maken. Bij het nu volgende model wordt uitgegaan van het niet- lineaire asymmetrische GARCH model van Engle en Ng(1993). Deze specifieke vorm van het GARCH model is verkozen omdat het de mogelijkheid biedt om leverage effecten in de berekeningen mee te nemen. Zoals aangetoond in Engle en Ng (1993) en Duan (1997) biedt dit GARCH model goede empirische rendementen. Duan (1995) gaat van een discrete tijdseconomie uit, waarin de prijs van een goed op tijdstip t gegeven wordt door S t . Het rendement over 1 periode wordt conditioneel lognormaal verondersteld met waarschijnlijkheid P. Dit kan als volgt weergegeven worden: ln

S t +1 1 = r + λ ht +1 − ht +1 + ht +1 ε t +1 St 2

voor t = 0,1,…,

(8)

Waarbij

ht +1 = β 0 + β 1ht + β 2 ht (ε t − θ ) 2

voor t = 0,1,…,

(9)

en P

ε t ~ N ( 0,1)

(10)

Waarbij r de cumulerende risicovrije interest voor 1 periode weergeeft, λ geeft de risicopremie weer, ht +1 is de conditionele variantie van het rendement van de index en

{ε t : t = 0,1,...} vormt een reeks van willekeurige onafhankelijke standaard normale variabellen onder waarschijnlijkheid P.

9

Op basis van een evenwicht argumentatie leidt Duan (1995) af dat, de dynamiek van de prijs onder de lokale risiconeutrale waarschijnlijkheidsweging Q als volgt kan worden weergegeven:

ln

St +1 1 = r − ht +1 + ht +1 ∈t +1 St 2

(11)

Waarbij

ht +1 = β 0 + β 1 ht + β 2 ht (∈t −θ − λ ) 2

(12)

en Q

∈t ~ N (0 ,1)

(13)

In deze formule geeft ∈t = ε t + λ de standaard normale willekeurige variabele onder de risiconeutrale meting Q weer. Er moet hierbij opgemerkt worden dat dit risiconeutrale systeem een NGARCH model blijft, waarbij alleen de leverage variabel ? wordt vervangen door de term ?+?. Met andere woorden, voor het prijzen van een optie zijn er slechts vier relevante parameters die allen bekend zijn; namelijk β 0 , β 1 , β 2 en θ + λ . Elk ander GARCH model dat in staat is om het leverage effect

mee te nemen heeft tenminste 5 verschillende parameters nodig om een relevante optiewaardering te maken. Als β1 + β 2 [1 + (θ + λ ) 2 ] < 1 , dan heeft het stochastische proces (11) een eerste orde stationair punt (mits de geschikte h1 gekozen wordt). De verwachtte stationaire waarde (of de onconditionele variantie van het goed) wordt dan gegeven door: h * = β 0 {1 − β1 − β 2 [1 + (θ + λ ]} −1 . Deze risico neutrale waarderingsmethode vormt de

ruggengraat voor het waarderen van opties, aangezien het prijzen van de derivaten niets anders wordt dan het middelen van de verdisconteerde rendementen van de opties.

Darrow en Ruud (1982) benaderen de optieprijs analytisch, gebruikmakend van een algemeen kader, via een Edgeworth uitbreiding onder een stochastisch proces. Op basis van een vergelijkbare methode leiden DGS (1999) de volge nde benadering voor het waarderen van Europese callopties af. Hiermee kan de waarde van een calloptie met uitoefenprijs K en looptijd T benaderd worden: 10

Capprox = C + κ 3 A3 + κ 4 A4

(14)

Waarbij ~

~

C = S0 N (d ) − Ke −rt N (d − σ pt )

(15)

En de constante A3 en A4 zijn gedefinieerd

A3 = A4 =

~ ~ ~ 1 S0σ pt [(2σ pt − d ) n(d ) − σ 2pt N (d )], 3! ~ 2 ~ ~ ~ 1 S 0σ pt {[(d − 1 − 3σ pt (d − σ pt )]n( d ) + σ 3pt N (d )} 4!

(16) (17)

Waarbij ~

d = d + δ,

(18)

1 ln( S 0 / K ) + ( rT + σ 2pt ) 2 d= σ pt

(19)

1 µ pt − rT + σ 2pt 2 δ = σ pt

(20)

Hierbij geeft pt = ln( ST / S0 ) het cumulatieve rendement van het onderliggende goed weer; µ PT en σ PT zijn het gemiddelde rendement en de standaard deviatie van pt conditioneel onder F0 en de risiconeutrale meting van Q; κ 3 en κ 4 zijn respectief de skewness en de kurtosis coëfficiënten onder F0 onder Q. n(.) En N(.) zijn functies van respectief de dichtheid en cumulatieve verdeling van de standaard normale willekeurige variabel.

Momenten van cumulatieve opbrengsten Om de formule (14) te kunnen toepassen, moeten er eerst 4 momenten van cumulatieve opbrengst berekend worden: daarmee bedoeld DGS (1999) dat

[

]

E Q pTi F0 voor i = 1,...,4 berekend dient te worden. Vanwege de complexiteit van deze berekeningen is het bijna ondoenlijk om het derde en vierde cumulatieve moment hiervan in Excel te berekenen. In mijn onderzoek beperk ik mij dan ook tot de eerste twee cumulatieve momenten. Met andere woorden de callprijzen die in deze 11

scriptie op basis van het GARCH model berekend worden zullen niet voor skewness (mate van asymmetrie van een frequentie verdeling) dan wel kurtosis (mate van de dikte van de “staarten” van de verdeling) aangepast worden. De berekende callprijzen zijn met behulp van callprijzingsformule (15) berekend. DGS (1999) beginnen het berekenen van de eerste twee cumulatieve rendementen met de volgende formule die gebaseerd is op vergelijking (11) voor k ∈ {1,2}: k t   St  1 t   Q  E  ln  = E0  tr − ∑ hi + ∑ hi ε i   voor t ∈ {1,2,...,} 2 i =1 i =1     S 0  Q 0

Waarin E 0Q [•] een korte notatie voor verwacht, conditioneel van

(21)

F0 onder

waarschijnlijkheid Q is. Nadat zij de rechterkant van de vergelijking hebben uitgebreid komen zij tot uitdrukkingen in de volgende vorm:

t

t

t

t

[

γ ∑∑∑∑ E 0Q hi p1 ε iq1 h jp 2 ε qj 2 h kp 3 ε kq3 h mp 4 ε mq 4 i =1 j =1 k =1 m =1

]

(22)

 1 3 5 7  In deze formule staat γ voor een constante: p1 , p 2 , p 3 , p 4 ∈ 0 , ,1, ,2 , ,3, ,4  en  2 2 2 2 

q1 , q2 , q3 , q 4 ∈ {0,1,2,3,4}. Om de som van deze verwachtingen te kunnen evalueren moet de tijdsvolgorde van de verschillende termen benadrukt worden. Som (22) kan dan ook herschreven worden als de volgende uitdrukking:

t

∑ E [h

t −i t −i − jt −i − j −k

γ ∑∑ ∑ i =1 j =1 k =1

Q 0

m=1

p1 i

ε iq1 hi p+2j ε iq+2 j hi p+3 j +k ε iq+3 j + k hip+4j + k +m ε iq+4 j +k + m

[

]

(23)

p q p q p q p q Vervolgens kan de uitdrukking E 0Q hi 1 ε i 1 h i +2j ε i +2 j hi +3j +k ε i +3 j + k hi +4j + k +m ε i +4 j + k +m

] als een

functie van de momenten van hi uitgedrukt worden middels de voorspelbaarheid van het ht proces en het feit dat ε t normaal verdeeld is. Voor de uitwerking van deze twee lemma’s verwijs ik naar appendix B van DGS (1999)

12

3 Beschrijving van de data De optieprijzen van de AEX zijn uit Datastream afkomstig. De dataset bevat de AEXoptie quoteringen, de uitoefenprijs, de looptijd en de AEX-quoteringen tussen juli 2003 en februari 2005. De AEX-opties zijn Europese opties die op de AEX geschreven zijn. Mijn onderzoek baseert zich alleen op de callopties. Ook de interesten dividendpercentages zijn uit Datastream afkomstig. Voor de risicovrije rente gebruik ik de Euribor rente die het dichts bij de resterende looptijd van de optie in de buurt komt en voor het dividend gebruik ik het ex-post dividendpercentage. Grafiek 1 geeft het koersverloop en de rendementen in de sample periode weer. Grafiek 1.: Koersverloop en rendement van de AEX in de sample periode 800 700 600 500 400 300 200 100 0 1-3-1995

1-3-1996

1-3-1997

1-3-1998

1-3-1999

1-3-2000

1-3-2001

1-3-2002

1-3-2003

1-3-2004

1-3-2005

1-3-1997

1-3-1998

1-3-1999

1-3-2000

1-3-2001

1-3-2002

1-3-2003

1-3-2004

1-3-2005

0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 -0,02 -0,04 -0,06 -0,08 -0,1 1-3-1995

1-3-1996

3.1 Sampling In mijn onderzoek deel ik de opties op in categorieën op basis van de S/K ratio en de resterende looptijd. Voor de S/K ratio wordt de koers van de AEX op tijdstip t door de uitoefenprijs van de calloptie gedeeld, dit geeft een indicatie van de mate van ‘moneyness’ weer. Een optie wordt als ‘at-the-money’ (ATM) gedefinieerd als S / K ∈ (0. 97 ,1 . 03) ; ‘out -of-the-money’ (OTM) als S / K ≤ 0.97 ; en ‘in-the -money’

(ITM) wanneer S / K ≥ 1.03 . Hiermee volg ik de methodologie zoals die door Bakshi, Cao en Chen (1997) gehanteerd wordt. Door deze criteria verder te verfijnen met

S / K ≤ 0.94 en S / K ≥ 1.06 ontstaan er een zestal klassen die de mate van ‘moneyness’ van de opties weergeven. Met betrekking tot de looptijd kunnen de opties geclassificeerd worden als (i) korte termijn (<30 dagen), (ii) middellange 13

termijn (30-90 dagen) en (iii) lange termijn (>90 dagen). De voorgestelde verdeling naar S/K ratio en looptijd resulteert in 18 klassen waarvoor empirische resultaten gepresenteerd zullen worden. Ongefilterd beslaat de sample 20,224 waargenomen optieprijzen. In mijn onderzoek filter ik de sample echter op een tweetal criteria. Opties waarvan de ratio tus sen de index- en uitoefenprijs niet tussen 0.8 en 1.2 liggen worden uit de sample gefilterd. Op deze manier worden opties die heel erg ‘in-the-money’ dan wel ‘out-of-the money’ zijn en daardoor weinig verhandeld worden buiten het onderzoek gehouden. Verder zullen alleen opties met een looptijd tussen de 10 en 150 dagen meegenomen worden. Opties met een heel korte looptijd hebben veel last van tijdsverval, waardoor het moeilijk kan zijn om de volatiliteit parameters te isoleren. Het argument om opties met een zeer lange looptijd uit de sample te filteren is dat ze niet actief verhandeld worden. Deze twee filteringen zijn conform de methodologie van Bakshi, Cao en Chen (1997) Na het toepassen van deze filters blijft er een sample van 17,912 waarnemingen over. De verschillen in gemiddelde prijs die deze filter veroorzaakt, zijn voor bijna alle klassen marginaal. Alleen voor de optie een S/K ratio van meer dan 1.06 is het verschil groot, daarin dalen de gemiddelde prijzen van 44.04, 44.27 en 45.63 naar respectievelijk 35.98, 37.94 en 41.15. Tabel 1 . Sample eigenschappen van de AEX-index opties looptijd

S/K

Subtotaal

<30 0,13 (1636)

30-90 2,01 (343)

>90 3,44 (902)

0,94 -0,97

0,59 (839)

4,05 (650)

8,06 (264)

(1753)

0,97-1

2,22 (920)

6,59 (988)

12,30 (274)

(2182)

1-1,03

7,48 (959)

11,60 (1056)

16,78 (257)

(2272)

1,03 -1,06

15,64 (922)

18,41 (1044)

22,76 (280)

(2246)

< 0,94 OTM

ATM

ITM

(2881)

35,98 37,94 41,15 (6578) (2520) (3124) (934) Subtotaal (7796) (7205) (2911) (17912) Tabel 1: De eigenschappen van de gefilterde sample van de AEX -index opties die in deze studie gebruikt zijn. Per klasse wordt de gemiddelde callprijs in Euro’s weergegeven, met daaronder het aantal waarnemingen in die klasse. >1,06

14

Van de 17,912 waargenomen callopties, zijn 49.3% ITM en 24.8% ATM callopties. De gemiddelde optieprijs varieert van € 0.13 voor kortlopende OTM tot € 41.15 voor langlopende ITM callopties.

4. Onderzoeksmethode: Bij het toepassen van optiewaarderingsmethodes is er altijd de moeilijkheid dat de spotvolatiliteit en de structurele parameters niet waarneembaar zijn. Om dit probleem te omzeilen wordt er gebruik gemaakt van de door de optiewaarderingsmethode geïmpliceerde volatiliteit. Door hier van gebruik te maken wordt niet alleen het aantal benodigde waarnemingen drastisch teruggebracht maar dit resulteert er ook in dat de resultaten significant verbeteren. (Bates (1996a), Boduhrtha en Courtadon (1987) en Melino en Turnbull (1990, 1995)). Deze methode zal ik toe passen om de volatiliteit voor de benchmark te bepalen. Dit wordt gedaan door de volgende twee stappen te volgen: Stap 1. Is het verzamelen van N optieprijzen van hetzelfde punt in tijd genomen (of dezelfde dag) op de AEX-index, voor elke N groter of gelijk aan één plus het aantal te schatten parameters. Voor elke n = 1,...,N, geven τ n en K n respectievelijk de tijd tot expiratie en de uitoefenprijs van de n de optie weer. In deze vergelijking geeft Cˆ n (t ,τ n ; K n ) de in de markt waargenomen optieprijs verdisconteerd met het dividend percentage en C (t ,τ n ; K n ) de optieprijs op basis van de Black en Scholes formule weer. Het verschil tussen Cˆ n en Cn is een functie van V(t)

ε n [V (t )] ≡ Cˆ n (t ,τ n ; K n ) − C n (t ,τ n ; K n ) Stap 2. Is het vinden van de waarden van V(t), om de volgende functie op te lossen: SSE(t ) ≡ min V ( t)

n

∑ ε [V (t )]

2

n

n =1

Deze stappen leiden tot het bepalen van de geïmpliceerde spotvariantie voor datum t. Deze stappen worden herhaald totdat de volatiliteit voor alle dagen in de sample bepaald is. De benchmark voor de relatieve test wordt bepaald door de procedure nogmaals uit te voeren, waarbij niet de SSE maar de ARPE geminimaliseerd wordt.

15

De volatiliteit voor het Black en Scholes model wordt direct van de AEX-index afgeleid. Om een goede out-of-sample test te kunnen uitvoeren is het nodig dat er voor elke datum een nieuwe volatiliteit wordt berekend Dit gebeurt volgens de eerder besproken methode, die door Hull (2003, pp. 238-239) beschreven wordt. Zoals Hull daar echter opmerkt is het moeilijk om het geschikte aantal waarnemingen te bepalen. Meer data leiden tot meer accuratie, maar aangezien s in de tijd verandert kunnen te oude data niet relevant voor het voorspellen van de toekomst zijn. Als compromis adviseert hij de slotkoersen van de laatste 180 handelsdagen te gebruiken. De parameters voor het GARCH approximation model van DGS (1999) worden door het statistische programma Eviews 4.1 bepaald. Dit programma berekent de bèta’s op basis van de AEX-koersen van de sample perioden. Door Eviews wordt, op basis van het GARCH model, voor elke datum een nieuwe volatiliteit berekend.

5 Geïmpliceerde parameters en de “in -sample” fit Bij het implementeren van de eerder beschreven methode gebruik ik alle beschikbare callopties op de AEX-index van die dag, ongeacht de resterende looptijd dan wel S/K ratio, om de geïmpliceerde volatiliteit te bepalen. Dit wordt afzonderlijk gedaan voor elke handelsdag in de periode van 18/03/2003 tot en met 17/06/2005. Dit leidt voor de benchmark tot een gemiddelde geïmpliceerde volatiliteit van 20,02% met een standaarddeviatie van 6,56%. Het minimaliseren op basis van de “Absolute Relative Pricing Error” ARPE leverde een geïmpliceerde volatiliteit van 17,24% met een standaarddeviatie van 5,90% op. Tabel 2: Geïmpliceerde volatiliteit Black en Scholes naar looptijd en S/K ratio looptijd

VOLATILITEIT 0 0,94

<30

30-90

>90

0,115878 0,112954

0,172445 0,167462

0,205837 0,199809

0,97 0,126071 0,173573 0,209347 1 0,12512 0,175955 0,213854 1,03 0,085063 0,189816 0,222764 1,06 0,082986 0,223878 0,249801 Tabel 2: De gemiddelde geïmpliceerde volatiliteit van elke calloptie op de AEX uit de sample die d.m.v. de Black en Scholes formule te herleiden valt, verdeeld naar ‘moneyness’ en resterende looptijd. S/K

De gegevens uit tabel 2 tonen de geïmpliceerde volatiliteit, als deze per klasse naar resterende looptijd en S/K-ratio verdeeld wordt. Deze gegevens laten een duidelijke stijging zien als de looptijd van de optie toeneemt. De toename van de volatiliteit naar 16

mate de optie meer ‘in-the-money’ is, is alleen goed zichtbaar bij een looptijd van meer dan 30 dagen. Deze resultaten onderschrijven de bevindingen van Rubinstein (1985) en Sheik (1991) dat de volatiliteit varieert en dus niet consta nt is zoals in de aannames van Black en Scholes gesteld wordt.

De spotvolatiliteit voor het Black en Scholes model bedraagt gemiddeld 22,88% met een standaard deviatie van 11,48%. Deze volatiliteit is volgens de reeds beschreven methodologie uit Hull (2003, pp. 238-239) berekend op basis van de slotkoersen van de 180 laatste handelsdagen. De gemiddelde volatiliteit is met 22,88% ruim 2,8% hoger dan de gemiddelde volatiliteit van de benchmark die 20.02% bedraagt. Ook is de standaard deviatie van deze volatiliteit bijna twee keer zo groot als die van de benchmark. Statistische programma’s zoals Eviews 4.1 schatten de parameters ook op basis van een maximale waarschijnlijkheidsmethode op basis van de rendementsdata en stoppen echter niet als ze een negatieve volatiliteit tegenkomen. Eviews kwam in drie runs na elf iteraties telkens tot dezelfde resultaten, deze zijn weergegeven in tabel 3. De Tabel 3: Bepaling van de GARCH parameters Dependent Variable: LOG(AEX3) Method: ML - ARCH (Marquardt) Date: 05/12/05 Time: 12:08 Sample(adjusted): 3/01/2002 2/28/2005 Included observations: 782 after adjusting endpoints Convergence achieved after 11 iterations Variance backcast: ON Coefficient Std. Error LOG(AEX3(-1))

1,000105

6,73E-05

z-Statistic

Prob.

14857,56

0

1,392915 5,628909 61,13712

0,1636 0 0

Variance Equation C ARCH(1) GARCH(1)

9,41E-07 0,096695 0,9024

6,76E-07 0,017178 0,01476

R-squared 0,986248 Mean dependent var 5,836728 Adjusted R-squared 0,986195 S.D. dependent var 0,157332 S.E. of regression 0,018486 Akaike info criterion -5,722663 Sum squared resid 0,265861 Schwarz criterion -5,698817 Log likelihood 2241,561 Durbin -Watson stat 2,008798 Tabel 3: Weergaven van de Eviews output waarin de berekende bèta’s weergegeven worden en de door Eviews gegenereerde statistische criteria

17

Eviews komt voor GARCH-parameter bèta 0 uit op een waarde van 9,41E -07. De waarde van bèta 0 heeft echter een p-waarde van 0.1636, wat te hoog is om significant te zijn. Verder is t-waarde 1,3929 te laag om uit te sluiten dat bèta 0 niet nul is . De door Eviews benaderde waarde voor bèta 1 en bèta 2 bedragen respectievelijk 0,9024 en 0,0967. Zowel bèta 1 als bèta 2 zijn met een p-waarde van 0 en een t-waarde die voor beiden veel meer bedragen dan 2 wel significant. De regressie van de variabellen heeft verder met 0,986248 een hoge r² en ook de adjusted r² is met 0,986195 erg hoog. Dit betekent dat 98,6% van de veranderingen in de AEX door de GARCH parameters verklaard worden. Anders gezegd slechts 1,4% van de veranderingen worden door willekeurige, dan wel onafhankelijke variabellen, verklaard. Verder sluit de Eviews output uit dat er bij de variabellen sprake is van autocorrelatie. Een Durbin-Watson statistiek van 2,008798 wat nagenoeg gelijk aan 2 is, duidt er op dat er geen sprake van autocorrelatie is De dagelijkse volatiliteit wordt ook door middel van Eviews verkregen. Eviews biedt namelijk ook de mogelijkheid om de volatiliteit van het onderliggende op basis van het GARCH model te schatten. In mijn test gebruik ik dan ook voor elke datum van de sample de ht die door Eviews is bepaald. Deze volatiliteit, die door Eviews op basis van tien jaar AEX-koersen is bepaald, wordt weergegeven in grafiek 2. Grafiek 2.: De GARCH volatiliteit berekend door Eviews 4.0 0,002 0,0018 0,0016 0,0014 0,0012 0,001 0,0008 0,0006 0,0004 0,0002 0 1-3-95

1-3-96

1-3-97

1-3-98

1-3-99

1-3-00

1-3-01

1-3-02

1-3-03

1-3-04

1-3-05

Grafiek 2: De volatiliteit zoals deze op basis van de prijzen van de AEX-index van 01-03-1995 t’m 17-06-2005 door Eviews 4.0 berekend zijn.

Deze volatiliteit kan naar jaarlijkse volatiliteit teruggerekend worden door deze met de vierkantswortel van het aantal handelsdagen in een jaar te vermenigvuldigen. Dit komt neer op

252 . Deze volatiliteit wordt in grafiek 3 weergegeven, waarin ook de

volatiliteit van de benchmark en die van de Black en Scholes spotvolatiliteit is meegenomen. 18

Grafiek 3: Volatiliteit van benchmark, GARCH en Black en Scholes model 80,00% 70,00% 60,00% 50,00% 40,00% 30,00% 20,00% 10,00% 0,00% 17-3-03

17-9-03

17-3-04

GARCH volatiliteit

Benchmark

17-9-04

17-3-05

Black en Scholes

Grafiek 3: : De volatiliteit teruggerekend naar volatiliteit op jaarbasis zoals deze voor de drie modellen in de sample is gebruikt

De GARCH volatiliteit is in het begin ongeveer twee keer zo hoog als die van de benchmark. Na anderhalve maand is deze echter tot ongeveer het niveau van de benchmark gedaald. Hierna volgen de volatiliteit van de benchmark en die van het GARCH model ongeveer hetzelfde patroon. Van de 592 bewegingen in deze grafiek zijn er 416 op dezelfde datum in dezelfde richting, positief danwel negatief. Dit komt neer op 70,27%. Ter vergelijking maakt de spotvolatiliteit voor het Black en Scholes model slechts 319 bewegingen in dezelfde richting als de benchmark, wat neer komt op 53,88%. Verder ligt de gemiddelde volatiliteit van het GARCH model ook dichter bij de benchmark dan de Black en Scholes volatiliteit. De gemiddelde volatiliteit van het GARCH model bedraagt namelijk 18,72% met een standaarddeviatie van 10,53% wat 1,31% lager is dat het gemiddelde van de benchmark. De spot volatiliteit die voor het Black en Scholes model gebruikt wordt is 2,86% hoger dan de benchmark. Ook dit is dus in het voordeel van het GARCH model.

De berekende volatiliteit en de GARCH parameters worden als input voor de modellen en de benchmark gebruikt om voor alle callopties een prijs op basis van de modellen te maken. Deze prijzen in combinatie met de marktprijzen dienen als basis om de SSE voor de modellen te berekenen.

19

De Squared Sum Errors (SSE) voor de benchmark bedraagt 47.866 voor de totale sample en gemiddeld 2,026 per optie. Van de twee modellen is de SSE van het GARCH model met 82.259 voor de totale sample en gemiddeld 3,483 per optie het laagst, maar nog altijd 71% hoger dan de benchmark. Een mogelijke verklaring voor dit grote verschil is dat het GARCH model dat ik gebruik de optieprijzen niet voor skewness en kurtosis aanpast. Ondanks deze beperking is de SSE van het GARCHmodel in vergelijking met het Black en Scholes model 33,8% lager. Tabel 4: Squared Sum Error’s per model Benchmark Black-Scholes GARCH SSE totale sample 47.866,48 124.345,85 82.258,83 gemiddelde SSE 2,02661 5,26465 3,48274 Tabel 4: De Squared Sum Error’s per model over de gehele ongefilterde sample van AEX-callopties

Bij de som van het kwadratische verschil tussen de werkelijke en model prijzen, komt de nadruk meer te liggen op relatieve dure opties (m.a.w. ‘in-the-money’ opties en opties met een lange looptijd) ten opzichte van goedkope opties (‘out-of-the -money’ opties en opties met een korte looptijd) Als alternatief hiervoor zou de som van de procentuele misprijzing genomen kunnen worden. Dit leidt er echter toe dat goedkopere opties een zwaardere weging in de functie krijgen ten opzichte van de duurdere opties. In mijn scriptie zal ik daarom buiten de absolute resultaten ook de relatieve re sultaten presenteren. Mijn conclusies zal ik in geval van tegenstrijdige resultaten tussen de beide testen echter op de absolute resultaten baseren en wel om de volgende drie reden: (i) kortlopende, ‘out-of-the-money’ opties zijn minder liquide dan langlopende, ‘in-the money’ opties (ii) in de markt worden beslissingen op basis van absolute prijzen gemaakt en niet op basis van relatieve prijzen (iii) Bates (1991, 1996a,b), Dumas Fleming en Whaley (1995), Longstraff (1995), Madan en Chang (1996), Nandi (1996) alsmede Baski, Cao en Chen (1997) maken in hun artikelen ook gebruik van de kwadratische verschillen. Tabel 5: Gemiddelde “Absolute Relative Pricing Error’s” per model Benchmark Black-Scholes GARCH gemiddelde ARPE 0,23319 0,761284 0,51507 Tabel 5: De gemiddelde ‘Absolute Relative Pricing Error’s’ per model over de gehele ongefilterde sample van AEX -callopties

20

Ook relatief gezien heeft het GARCH model een betere fit dan het Black en Scholes model en leidt het kijken naar de relatieve resultaten niet tot andere uitkomsten. Uit al deze test blijkt dat (i) de gemiddelde volatiliteit van het GARCH model dichter bij de benchmark ligt dan de gemiddelde volatiliteit van het Black en Scholes model (ii) de volatiliteit de bewegingen van de volatiliteit van de benchmark beter volgt (iii) het GARCH model een lagere absolute en relatieve waarderingsfout dan het Black en Scholes model heeft. Op basis van al deze gegevens kan dan ook niet anders geconcludeerd worden dan dat het GARCH model een betere in -sample fit heeft dan het Black en Scholes model. Aangezien modellen met een goede in-sample prestatie niet automatisch een betere out-of-sample voorspelling hebben, volgen nu de out -of-sample prestaties. 6 Out-of-sample waarderingsresultaat We hebben gezien dat het GARCH model een betere in-sample fit vertoonde dan het Black

en

Scholes

model.

Voor

de

‘out-of-sample’

prestatie

van

de

waarderingsmodellen maak ik net als Baski, Cao en Chen (1997) gebruik van de optieprijzen van de vorige dag om de benodigde parameters/volatiliteit te bepalen. En deze parameters/volatiliteit dienen als input voor het bepalen van de hedendaagse optieprijs. Deze optieprijzen worden vervolgens gebruikt als input voor de volgende formules:

RPE =

pˆ i − p i pi

ARPE =

NPE = pˆ i − pi

pˆ i − pi pi

NPE = pˆ i − p i

Waarbij

pˆ i de geobserveerde prijs verdisconteerd met het dividendpercentage en p i de optieprijs op basis van het model weergeven

Op basis van deze formules wordt zowel het absolute waarderingsverschil als het relatieve waarderingsverschil bepaald. Deze procedures worden voor elke calloptie en elke dag in de sample herhaald, om zodoende het gemiddelde absolute en de gemiddelde relatieve waarderingsfout te verkrijgen evenals de bijbehorende standaarddeviaties. Ik richt mij daarbij op de algehele prestatie van het model en de prestatie op subniveau van de sample. De waarderingsfouten zijn opgedeeld naar S/K-ratio en 21

resterende looptijd. De “Relative Pricings Error”(RPE) en de “Nominal Pricings Error”(NPE) geven de tekortkomingen van het model weer. Een RPE en NPE die niet gelijk aan nul is kan dan ook als een indicatie voor structurele waarderingsfouten van een model gezien worden. De “Absolute Relative Pricing Error” (ARPE) en de “Absolute Nominal Pricing Error” (ANPE) meten zowel de afwijking als de effectiviteit van de waardering. Ook voor de out-of-sample test geldt dat, ingeval van tegenstrijdige resultaten tussen de absolute en relatieve testen, de absolute resultaten leidend zijn voor de conclusies.

In tabel 6 worden de resultaten voor de verschillende waarderingsmodellen over de gehele gefilterde sample weergegeven. De resultaten laten een eenduidig beeld zien, uit alle testen komt het GARCH model beter naar voren dan het Black en Scholes model. In alle testen zijn de mediaan en het gemiddelde van de waarderingsfout voor het GARCH model het laagst. Tabel 6: Out-of-sample resultaten RPE Model Mediaan Mean St.dev Mediaan Benchmark Benchmark 0,028309 0,106711 0,986821 0,045873 Black & Scholes -0,027230 -0,586038 2,252726 Black & Scholes 0,139622 GARCH GARCH -0,009768 -0.305506 1,447477 0,118712 Model

ARPE Mean St.dev 0,172123 0,728642 0,770628 2,192484 0,354814 1,377938

Nominal difference Absolute nominal difference Model Mediaan Mean St.dev Mediaan Mean St.dev Benchmark Benchmark -0,056017 -0.069893 1,447659 0,631790 0.951117 1,103030 Black & Scholes -0,170518 -0,657555 2,244037 Black & Scholes 0,795368 1,502093 1,790405 GARCH GARCH -0,071796 0,463237 1,834372 0,621116 1,308752 1,467376 Tabel 6: De “out-of-sample” resultaten van de benchmark, het Black en Scholes model en het GARCH model voor de gefilterde sample callopties op de AEX-index: de mediaan het gemiddelde en de standaard deviatie (in %) voor de relatieve waarderingsfouten RPE en de absolute de relatieve waarderingsfouten ARPE. De waarden worden voor het nominale verschil en het absolute nominale verschil worden in Euro’s weergegeven Model

De resultaten uit deze tabel zullen vervolgens verder uitgesplitst worden naar looptijd en S/K ratio. Zo toont Tabel 7 de resultaten van de NPE opgedeeld naar klassen van S/K ratio en resterende looptijd. Wat hierin opvalt, is dat het GARCH model en het Black en Scholes model in evenveel klassen beter presteert dan de ander. De klassen waar het GARCH model beter scoort bevat hoofdzakelijk ‘out-of-the -money’ opties en kortlopende opties. De klassen waarin het Black en Scholes model beter presteert bevat ‘in-the -money’ opties en opties met een lange resterende looptijd.

22

Tabel 7: Nominale pricings error’s verdeeld naar resterende looptijd en ‘moneyness’

S/K

Model

Nominal difference looptijd

< 0,94

Benchmark Black-Scholes GARCH

0,94 - 0,97

Benchmark Black-Scholes GARCH

0,97 - 1

1 - 1,03

1,03 - 1,06

Benchmark Black-Scholes GARCH Benchmark Black-Scholes GARCH Benchmark Black-Scholes GARCH

<30 -0,02800 -0,14474 0,03931 -0,33037 -0,43084 -0,04045 -0,53567 -0,60705 -0,15159 -0,24830 -0,34653

30-90 -0,55862 -1,43321 0,26621 -0,81868 -1,55764 0,28567 -0,70295 -1,45139 0,49030 -0,20800 -0,89949

>90 -0,58767 -2,10943 1,62549 -0,40352 -1,78169 2,37204 0,17361 -1,02547 2,81362 0,38016 -0,57821

0,05453 0,69868 2,41052 0,09542 0,15765 0,78265 -0,03943 -0,63571 -0,08688 0,15107 0,70185 2,59167

alle looptijden -0,398782 -1,205773 0,429592 -0,591679 -1,169425 0,405202 -0,539989 -1,080335 0,507118 -0,159319 -0,637083 0,624285 0,210380 -0,324886 0,713933

Benchmark 0,10796 0,48872 1,46388 0,483476 Black-Scholes 0,01960 -0,09687 0,63607 0,051713 GARCH -0,07709 0,22143 1,97839 0,351978 Benchmark -0,09037 -0,18107 0,38254 -0,069893 Alle S/K Black-Scholes -0,19030 -0,92093 -0,91751 -0,657555 GARCH -0,01443 0,37071 2,07962 0,463273 Tabel 7: Nominale “out-of-sample” waarderingsfouten (in Euro’s) van de benchmark, het Black en Scholes model en het GARCH approximation model van Duan voor callopties op de AEX-index. >1,06

De NPE test biedt, in tegenstelling tot de testen die op basis van absolute getallen werken, de mogelijkheid om te laten zien of de opties in een klasse gemiddeld onder dan wel overgewaardeerd worden. Zo duiden negatieve getallen op overwaardering en positieve getallen op onderwaardering. Zowel de benchmark als het Black en Scholes model laten overwaardering van ‘out-of-the-money’ opties zien. Daarbij moet op gemerkt worden dat het Black en Scholes model in deze test alle opties die een S/K ratio van minder dan 1,06 overwaarderen. Maar de benchmark die ook op het Black en Scholes model gebaseerd is laat die overwaardering duidelijker zien bij ‘out-of-the money’ opties. Dit is in tegenspraak met bevindingen van Black (1975) en Gultekin e.a. (1982) die aantoonden dat het Black en Scholes model ‘out-of-the-money’ opties onderwaardeert. Echter het onderzoek van Rubinstein (1985) toont aan dat het Black en Scholes model tussen 1976 en 1977 out-of-the-money opties overwaardeerde. En in recenter onderzoek komen Jiang en Sluis (1999) ook tot de conclusie dat het Black en Scholes model ‘out-of-the-money’ opties overgewaardeerd. Mijn resultaten komen dus overeen met die van Rubinstein (1985) alsmede Jiang en Sluis (1999)

23

Een andere tekortkoming van het Black en Scholes model is het onderwaarderen van opties

met een korte resterende looptijd (Black 1975; Gultekin e.a. 1982, Jiang en Sluis 1999 ). Als we echter naar de resultaten van de NPE kijken dan is daar geen direct bewijs voor te vinden. Dit blijkt uit de resultaten van de benchmark voor alle langlopende opties met een S/K ratio van meer dan 0,97. Een mogelijke verklaring waarom dit niet voor de langlopende opties met een lagere S/K ratio geldt, is dat het overwaarderen van ‘out-of-the-money’ opties waarschijnlijk een grotere invloed heeft. De NPE test heeft als groot manco dat grote positieve en negatieve waarderingsfouten elkaar compenseren, of zelfs ongedaan maken. Dit maakt dat er op basis van deze test geen conclusies getrokken kunnen worden met betrekking tot de performance van de modellen. Aangezien de RPE dezelfde beperking heeft als de NPE, zal ik de detaillistische weergave va n de resultaten achterwege laten. Ik richt mij dan ook meteen op de ANPE en ARPE die dit manco niet hebben. De resultaten van de ANPE die in tabel 8 weergegeven zijn, laten wederom een gelijke verdeling van klassen zien wat betreft het beter presteren ten opzichte van elkaar. Zowel het GARCH model als het Black en Scholes model presteren in negen klassen beter dan de ander. Er ligt een duidelijke scheidslijn bij opties met een S/K ratio van minder dan 1. Van de negen klassen waarbij de opties een S/K ratio van minder dan 1 heeft, presteert het GARCH model in acht van die klassen het beste. In drie klassen presteert het GARCH model zelfs beter dan de benchmark. Het gaat daarbij om opties met een S/K ratio van minder dan 0,94 met een resterende looptijd van minder dan 90 dagen evenals opties met een S/K ratio tussen de 0,94 en 0,97 met een resterende looptijd van minder dan 30 dagen. Verder is het zo dat het GARCH model in vier van de zes klassen met daarin opties met een korte resterende looptijd, beter presteert dan het Black en Scholes model. Het GARCH model presteert juist beter dan het Black en Scholes model in klassen waar het kortlopende ‘out-of-the-money’ money betreft. Dit kan verklaard worden door de in eerder onderzoek aangetoonde overwaardering van ‘out-of-the-money’ opties (Rubinstein 1985, Jiang en Sluis 1999) alsmede het onderwaarderen van kortlopende opties

(Black 1975, Whaley 1982, Jiang en Sluis 1999) door het Black en Scholes model. Omgekeerd presteert het Black en Scholes model in acht van de negen klassen, waarin de S/K ratio meer dan 1 bedraagt, het beste. Het is dan ook niet verwonderlijk dat in de subresultaten naar S/K ratio, het GARCH model als beste naar voren komt voor de opties met een S/K ratio van minder dan 1 en het Black en Schole s model voor opties 24

met een S/K ratio van meer dan 1. Hieruit kan afgeleid worden dat de ‘moneyness’ van een optie van groot belang is welk optiewaarderingsmodel beter presteert. Tabel 8:Absoluut nominaal verschil verdeeld naar resterende looptijd en ‘moneyness’ Absolute nominal difference looptijd alle S/K Model looptijden <30 30-90 >90 Benchmark 0,10010 0,58972 1,54458 0,601906 < 0,94 Black-Scholes 0,20967 1,47502 3,06115 1,449483 GARCH 0,07919 0,42280 1,71167 0,537811 Benchmark 0,39912 0,89768 1,27544 0,757874 0,94 - 0,97 Black-Scholes 0,51050 1,72425 3,22295 1,450310 GARCH 0,23909 1,06034 2,95830 0,976381 Benchmark 0,67735 0,91251 1,42523 0,880455 0,97 - 1 Black-Scholes 0,76790 1,79708 3,59411 1,606330 GARCH 0,54092 1,63731 3,92455 1,476209 Benchmark 0,59680 0,84123 1,86605 0,854604 1 - 1,03 Black-Scholes 0,75241 1,69134 3,77288 1,537032 GARCH 0,73689 1,95317 4,46479 1,732797 Benchmark 0,52516 1,11386 1,96950 0,981438 1,03 - 1,06 Black-Scholes 0,63447 1,80561 3,59903 1,553561 GARCH 0,71556 2,21854 4,57413 1,901816 Benchmark 0,56189 1,56136 2,71704 1,347482 >1,06 Black-Scholes 0,55546 1,69053 3,36630 1,499414 GARCH 0,61657 1,85515 3,64282 1,632858 Benchmark 0,46006 1,03383 1,96044 0,951117 Alle S/K Black-Scholes 0,53320 1,65843 3,30725 1,502093 GARCH 0,47915 1,41161 3,16268 1,308752 Tabel 8: Absolute nominale “out-of-sample” waarderingsfouten (in Euro’s) van de benchmark, het Black en Scholes model en het GARCH approximation model van Duan voor callopties op de AEXindex.

Voor de subresultaten naar resterende looptijd komt het GARCH model, voor alle drie de categorieën van looptijd als beste naar voren. De looptijd heeft dus geen extra invloed op het presteren van het GARCH model. Ongeacht de looptijd presteert dit model beter. Dit leidt er mede toe dat het GARCH model ook over de gehele sample opties beter waardeert dan het Black en Scholes model.

Zoals eerder aangegeven is er bij het testen op basis van de nominale verschillen de mogelijkheid dat relatief dure opt ies (met andere woorden ‘in-the-money’ opties en opties met een lange looptijd) een zwaarder gewicht in de uitkomsten krijgen ten opzichte van goedkope opties (‘out-of-the-money’ opties en opties met een korte looptijd). Daarom volgen nu de resultaten van de procentuele waarderingsverschillen, 25

waarbij relatief goedkope opties ten opzichte van de relatief duurdere opties een zwaardere weging krijgen. (zie de gegevens in Tabel 9) Deze resultaten laten een ander beeld zien dan de nominale test, maar zullen in de conclusie niet leidend zijn. Tabel 9: Absoluut relatief verschil verdeeld naar resterende looptijd en ‘moneyness’ ARPE

Benchmark Black-Scholes GARCH Benchmark Black-Scholes GARCH

<30 0,73146 1,24253 0,85918 0,36101 0,90944 0,68918 0,17121 0,42493 0,52798

looptijd 30-90 0,25156 2,50399 0,66424 0,11737 0,71415 0,71260 0,10974 0,32513 0,35550

>90 0,19923 3,05571 0,68454 0,18533 0,39399 0,41796 0,19631 0,30638 0,35913

Benchmark Black-Scholes GARCH Benchmark Black-Scholes GARCH

0,06395 0,10601 0,28359 0,04068 0,04143 0,04703

0,11052 0,14635 0,17653 0,09709 0,10152 0,12386

0,21101 0,25174 0,30054 0,16341 0,17637 0,22023

0,102564 0,141491 0,234189 0,082443 0,086443 0,104668

Benchmark Black-Scholes GARCH

0,01851 0,01734 0,01923

0,05419 0,09202 0,04891 0,08769 0,05380 0,09 518

0,046066 0,042480 0,046410

S/K

Model

< 0,94

Benchmark Black-Scholes GARCH

0,94 - 0,97

0,97 - 1

1 - 1,03

1,03 - 1,06

>1,06

alle looptijden 0,391635 2,257654 0,728287 0,214665 0,749160 0,670199 0,143028 0,361187 0,421882

Benchmark 0,23319 0,12989 0,16097 0,172123 Black-Scholes 0,44326 0,84788 1,30118 0,770628 GARCH 0,36605 0,34361 0,36518 0,354814 Tabel 9: Absolute relatieve “out -of-sample” waarderingsfouten (in procenten) van de benchmark, het Black en Scholes en het GARCH approximation model van Duan voor callopties op de AEX-index. Alle S/K

In deze test heeft het Black en Scholes model in meer dan de helft van de klassen een beter waarderingsresultaat dan het GARCH model. Zo heeft het Black en Scholes model voor alle opties met een S/K ratio van meer dan 0,97 een betere waardering dan het GARCH model. Dit leidt er toe dat het Black en Scholes model in dertien van de achttien klassen een lager waarderingsverschil geeft dan het GARCH model. Echter doordat het GARCH model in de klassen met een S/K ratio van minder dan 0,94 tot wel bijna vijf keer beter presteert dan het Black en Scholes model en de verschillen in het voordeel van het Black en Scholes model een stuk kleiner zijn komt het GARCH model over de gehele sample wel als beste naar voren.

26

7. Conclusie Dit onderzoek onderschrijft een aantal in eerdere onderzoeken naar voren gekomen bevindingen. Zo laten mijn resultaten net als de onderzoeken van Rubinstein (1985) en Sheik (1991) zien dat de volatiliteit door de tijd niet constant is. Zoals de geïmpliceerde volatiliteit uit tabel 2 laat zien, neemt de volatiliteit toe naar mate de looptijd dan wel de ‘moneyness’ van een optie toe neemt. Ook het overwaarderen van ‘out -of-the-money’ opties (Rubinstein 1985, Jiang en Sluis 1999) en het onderwaarderen van opties met een korte looptijd (Black 1975; Gultekin

e.a. 1982, Jiang en Sluis 1999 ) blijkt uit mijn resultaten. Al wordt dit laatste effect voor ‘out-of-the -money’ opties te niet gedaan door het overwaarderen van diezelfde ‘outof-the -money’ optie. Het is dan ook voor deze opties dat het GARCH model beter presteert dan het Black en Scholes model. Zowel in de in-sample als in de ‘out-of-sample’ test komt het GARCH model als beste naar voren. In de in-sample test heeft het GARCH model de kleinste waarderingsfout, ligt de volatiliteit het dichts bij die van de benchmark en beweegt de volatiliteit in 71% van de gevallen in dezelfde richting als die van de benchmark tegenover een kleine 54% voor het Black en Scholes model. In de ‘out-of-sample’ test presteert het GARCH model over de gehele sample het beste. In deze test komt echter wel naar voren dat het Black en Scholes model ‘in-the money’ opties beter waardeert, terwijl het GARCH model juist goed is in het waarderen van ‘out-of-the -money’ opties. Verder blijkt er uit deze test dat de resterende looptijd van een optie niet van invloed is op het beter presteren van het GARCH model. De volatility “skew”, die al uit tal van eerdere onderzoeken naar voren is gekomen, is een indicatie voor een negatief skewed verdeling met een hoge kurtos. Het ligt dan ook in de lijn der verwachting dat als het GARCH model van DGS (1999), door middel van het derde en vierde moment van cumulatieve rendementen de optieprijs ook voor Skewness en kurtosis aanpast, de optieprijs van dit model de marktprijs nog beter zal benaderen. Hoewel dat deze aanpassing nog niet in deze scriptie is meegenomen presteert het GARCH model met zijn stochastische volatiliteit beter dan het Black en Scholes model. Er kan dan ook gesteld worden dat de volatiliteit door de jaren heen veranderd en dat een goed optie waarderingsmodel een stochastische volatiliteit heeft. 27

Bibliografie Armin, K. en NG, V. (1994) A comparison of predictable volatility models using option data. Working paper, Lehman Brothers Bakshi, G., Cao, C. en Chen, Z. (1997) Empirical performance of alternative option pricings models. The Journal of Finance, Vol. 52, No 5, 2003-2049. Bates, D. (1991) The crash of 87: Was it expected? The evidence from option markets, Journal of Finance, 46, 1009-1044. Bates, D. (1996a) Jumps and stochastic volatility: Exchange rate process implicit in Deutsche Mark options, Review of Financial Studies, 9, 69-108. Bates, D, (1996b) Post-87 crash fears in S&P 500 futures options, Working paper, University of Iowa. Black, F. (1975) Fact and fantasy in the use of options. Financial analysts journal, 31, (JulyAugust 1975), 36-72 Black, F. en Scholes, M. (1973). The pricing of options and corporate liabilities. Journal of Political Economy, 81, 637-659. Brennam, M. (1979) The pricing of contingent claims in discrete time models. Journal of finance, 34, 53-68 Duan, J.C. (1995). The GARCH option pricing model. Mathematical Finance, 5, 13-32 Duan, J.C., Gauthier, G. en Simonato, J.G. (1999). An analytical approximation for the GARCH option pricing model. Journal of Computational Finance, 2, 75-166 Duan, J.C. en Simonato, J.G. (1998) Empirical martigale simulation for asset prices. Management Science, 44, 1218-1233 Duan, J.C. en Simonato, J.G. (1999) American option pricing under GARCH by a Markov chain approximation, Working paper, Hong Kong University of Science and Tchnology. Dumas, Bernard, J. Fleming, and R. Whaley, 1995, Implied volatility smiles: empir ical tests, Working paper, Duke University and Rice University. Engel, R. en Mustafa, C. (1992) Implied ARCH models from option prices. Jounal of Finance, 43, 1749-1778 Engle, R. and V. Ng, (1993) Measuring and testing the impact of news on volatility, Journal of Finance, 48, 1749-1778. Gultekin, N., Rogalski, R. en Tinic, S. (1982) Option pricing model estimates - some empirical results. Financial Management, 11, 58-69 Hanke, M. (1997) Neutral network approximation of option pricing formulas for analytically intractable option pricing models. Journal of Computional Intelligence in Finance, 5, 20-27 Heston, S. (1993) A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options. Review of Financial Studies, 6, 327-343

28

Heston, S. en Nandi, S. (2000) A closed-form GARCH option valuation model. The review of financial Studies, 13, 585-625. Hull, J.C. (2003) Options, futures, & other derivatives. Prentice Hall, London, fifth edition Jarrow R. en Rudd A. (1982) Approximate option valuation for arbitrary stochastic process”, Journal of Financial Economics, 10, .347-369. Jiang, G.J. en Sluis, P.J. van der, 1999. "Pricing stock options under stochastic volatility and interest rates with efficient method of moments estimation," Working paper , University of Groningen, Research Institute SOM Longstaff, F. (1995) Option pricing and the martigale restriction. Review of financial studies, 8, 1091-1124 Madan, D. en Chang, E. (1996), The VG option pricing model, Working paper, University of Maryland and Georgia Institute of Technology. Melino, A., Turnbull, S. (1990) Pricing foreign currency options with stochastic volatility. Journal of Econometrics, 45, 239-265 Melino, A., Turnbull, S. (1995) Misspecification and the pricing and hedging of long-term foreign currency options. Journal of International Money and finance, 14, 141-183 Nandi, S. (1996) Pricing and hedging index options under stochastic volat ility, working paper. Federal reserver bank of Atlanta. Rubinstein, M. (1976) The Valuation of Uncertain Income Streams and the Pricing of Options, Bell journal of economics, 7, 407-425 Rubinstein, M. (1985) Nonparametric tests of alternative option pric ing models using all reported trades and quotes on the 30 most active CBOE option classes from August 23, 1976 through August 31, 1978. Journal of Finance, 40, No. 2. pp. 455-480 Scott, L. (1987) Option pricing when the variance changes randomly: theory, estimator and applications. Journal of Financial and Quantitative Analysis, 22, 419-438 Sheikh, A. (1991) Transaction data tests of S&P 100 call option pricing. Journal of financial and quantitative analysis, 26, 459-75 Stein, E. en Stein, J. (1991) Stock price distributions with stochastic volatility. Review of Financial Studies, 4, 727-752 Whaley, R. (1982) Valuation of American call options on dividend–paying stocks: empirical tests, Journal of Financial Economics, 10, 29–58. Wiggins, J. (1987) Option values under stochastic volatilities. Journal of Financial Economics, 19, 351-372

29