BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM ÉPÍTŐMÉRNÖKI KAR HIDAK ÉS SZERKEZETEK TANSZÉKE 1111 Budapest, Bertalan Lajos u. 2.
ELŐREGYÁRTOTT VASBETON TARTÓSZERKEZETI ELEMEK TARTÓSSÁGI TERVEZÉSE A doktori értekezés tézisei
Koris Kálmán okl. építőmérnök, MSC
Témavezető: Dr. Bódi István, PhD egyetemi docens Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem
Budapest, 2008
TARTALOM 1. 1.1. 1.2.
BEVEZETÉS .......................................................................................................................2 A kutatás célkitűzései...........................................................................................................2 A kutatás előzményei ...........................................................................................................3
2. 2.1. 2.2. 2.3. 2.4. 2.5. 2.6. 2.7. 2.8.
AZ ALKALMAZOTT VIZSGÁLATI MÓDSZER.............................................................4 Tartóssági tervezés valószínűségelméleti alapon.................................................................4 A szerkezeti elemek tönkremeneteli valószínűségének meghatározása ..............................4 A teherbírás várható értékének meghatározása....................................................................5 A teherbírás szórásának meghatározása...............................................................................5 A bemenő adatok kiindulási értékeinek meghatározása ......................................................5 A bemenő adatok időbeli változása......................................................................................6 A számítási módszer ellenőrzése hajlítókísérletekkel..........................................................8 A számítási módszer alkalmazása előfeszített vasbeton tartók esetén...............................10
3. 3.1. 3.2.
ÚJ TUDOMÁNYOS EREDMÉNYEK..............................................................................14 Az új eredmények magyar nyelven....................................................................................14 Az új eredmények angol nyelven .......................................................................................16
4.
A KUTATÁSI EREDMÉNYEK GYAKORLATI HASZNOSÍTÁSA .............................18
5.
IRODALOM ......................................................................................................................19
6.
AZ ÚJ TUDOMÁNYOS EREDMÉNYEKHEZ KAPCSOLÓDÓ PUBLIKÁCIÓK........20
7.
TOVÁBBI PUBLIKÁCIÓK ..............................................................................................20
-1-
1.
BEVEZETÉS
1.1. A kutatás célkitűzései Az utóbbi években a vasbetonszerkezetek tartósságával kapcsolatos kérdések vizsgálata egyre jelentősebb szerepet kap a tervezői munka során. A nagyobb összegű beruházások esetén (közúti és vasúti infrastrukturális létesítmények, ipari és középületek, stb.), a megvalósítási költségeken túl egyre fontosabb szempont a fenntartásra fordítandó költségek minimalizálása. A fenntartási költségek egy része a nem rendeltetésszerű használat során bekövetkező állagromlás miatt jelentkezik. Ezen véletlen események következményeit igen nehéz előre megjósolni, a tartószerkezet anyagában, a környezeti hatások következtében végbemenő reológiai folyamatok azonban modellezhetők, és ezek a változások a tervezés során figyelembe vehetők. A tartószerkezet tetszőleges időpontban számítható teherbírását, és a tartóra ható, adott időpontban várható terhelés nagyságát összevetve lehetőség nyílik olyan szerkezet tervezésére, amely erőtani szempontból megfelel a teljes tervezett élettartam alatt. Ezen módszer alkalmazásával az állagromlásból eredő szerkezeti károsodások elkerülhetők, illetve pontosabban tervezhető a szükséges fenntartási munkák időpontja. A különböző szabályzati előírások általában tartalmaznak irányelveket a tartósságra való méretezéssel kapcsolatban, ezek a módszerek azonban csak a szerkezeti típus, a várható környezeti hatások és az anyagjellemzők általános osztályozásán alapulnak. A bemenő adatok értékének pontosabb felvételével történő direkt valószínűségi méretezési eljárás alkalmazásával pontosabb, és gazdaságilag kedvezőbb szerkezeti megoldások nyerhetők. Egy ilyen komplex tervezési eljárás alkalmazása a gyakorlati munka során többnyire túlságosan körülményes lenne, tekintettel arra, hogy a tervezőmérnökök a gyors és hatékony számítási módszereket részesítik előnyben. A jelen kutatás célja egy olyan tartóssági tervezési eljárás kidolgozása volt, mellyel egyrészt a szerkezeti elemek várható élettartama a korábbiaknál nagyobb pontossággal számítható, másrészt az eredmények a gyakorló mérnökök által is egyszerűen használható formában kerülhetnek bemutatásra. Az ilyen jellegű vizsgálatok számára az előregyártott vasbeton szerkezeti elemek tervezése az egyik lehetséges alkalmazási terület. Az előregyártott elemek tervezésének egyik előnye, hogy az elemek geometriai méretei és anyagjellemzői jegyzőkönyvekkel kellően dokumentáltak, és a számításhoz szükséges bemenő adatok valószínűségi jellemzőinek (pl. várható érték, szórás) pontosabb értékei ezen jegyzőkönyvekből meghatározhatók. További előny, hogy a számítási eredmények ismeretében a gyártandó elemek mérete, vasalása és anyaga szükség szerint módosítható a kívánt élettartam elérésének érdekében. A magyarországi beton és vasbeton elemek gyártása az 1970-es évek végén érte el tetőfokát, ezután a 80-as évek elejétől kezdve folyamatosan csökkent a gyártott mennyiség, és 1992 körül volt a mélypont. A termelés 1993 után ismét erőteljes növekedésnek indult, és az előregyártott vasbeton elemek piaca a mai napig bővülőben van. A fejlődést jól érzékelteti, hogy az elmúlt öt évben évente mintegy 120 000 m2 alapterületű új raktár épült előregyártott elemek felhasználásával. Tekintettel a felhasznált elemek nagy számára, különösen fontos a gyártási és fenntartási költségek optimális szinten tartása. A bemutatott tervezési eljárás segítségével az előregyártott vasbeton szerkezeti elemek várható élettartama becsülhető meg az adott környezeti hatások esetén. Az eljárással kapott eredmények felhasználásával csökkenthetők a beépített szerkezeti elemek fenntartási költségei, illetve előre tervezhetők a szükséges fenntartási munkák. A kutatás során előregyártott, feszített beton szerkezeti elemek teherbírásának valószínűségi eloszlását vizsgáltuk az idő függvényében. A számítás során figyelembe vettük az anyagjellemzők és a keresztmetszeti méretek – öregedés és a karbonátosodás miatt bekövetkező acélbetét korrózió hatására bekövetkező – időbeli változását. A teherbírás valószínűségi jellemzőit a sztochasztikus végeselemmódszer alkalmazásával (SVEM) határoztuk meg. A bemutatott módszer felhasználásával tervezési diagramokat állítottunk elő, melyeken a tönkremeneteli valószínűséget az idő függvényében van ábrázoltuk. A bemutatott diagramok lehetővé teszik az új vagy meglévő előregyártott szerkezeti elemek várható élettartamának gyors és hatékony becslését.
-2-
1.2. A kutatás előzményei A szerkezetek valószínűségi alapon történő méretezésével foglalkozó, számpéldát is tartalmazó fontosabb tanulmányokat az 1. táblázatban soroltuk fel. K. Handa és K. Andersson egy konzolos acélgerendát és egy fa rácsostartót vizsgáltak sztochasztikus végeselemmódszer segítségével, figyelembe véve a terhek, az inercianyomaték és a rugalmassági modulus szórását [10]. Almási J. a végeselemmódszer és a Monte-Carlo módszer együttes alkalmazását mutatta be vasbeton és feszített beton szerkezetek vizsgálatára. A számítás során véletlen jellegű szerkezeti geometriát és anyagjellemzőket, valamint nemlineáris anyagviselkedést vett figyelembe [1]. W. K. Liu és T. Belytschko nagy alakváltozású konzolos gerendát vizsgált sztochasztikus végeselemmódszer segítségével. A tartó vizsgálata során az anyag viselkedését a Saint Venant-Kirchoff-féle modellel írták le, figyelembe vették továbbá a terhek, a rugalmassági modulus és a keresztmetszet magasságának sztochasztikus voltát [12]. G. Dasgupta és S. Yip konzolos gerendát vizsgáltak sztochasztikus végeselemmódszer segítségével, véletlen jellegű rugalmassági modulus figyelembevétele mellett [5]. G. H. Besterfield, W. K. Liu és M. A. Lawrence vasalatlan beton gerendák ridegtörési valószínűségét vizsgálták sztochasztikus végeselemmódszerrel. A vizsgálat során a rugalmassági modulust, a terheket és a repedések hosszát kezelték valószínűségi változóként [3]. G. Deodatis egy háromnyílású keretszerkezet ellenállásának a szórására vonatkozó korlátokat vizsgálta sztochasztikus végeselemmódszerrel, figyelembe véve a geometriai méretek és a rugalmassági modulus véletlen jellegét [6]. J. G. Teigen, D. M. Frangopol, S. Sture és C. A. Felippa egy kéttámaszú tartó teherbírását vizsgálták sztochasztikus végeselemmódszer segítségével, véletlen jellegű terhek és anyagjellemzők, valamint anyagi nemlinearitás figyelembevételével [15]. S. E. Ruiz és J. C. Aguilar rövid és karcsú vasbeton oszlopok megbízhatóságát tanulmányozták Monte-Carlo módszer segítségével. A vizsgálat során nemlineáris anyagviselkedést, továbbá véletlen jellegű geometriai méreteket, anyagjellemzőket és terheket feltételeztek. [14]. J. Eibl és B. Schmidth-Hurtienne a sztochasztikus végeselemmódszer alkalmazását mutatták be egy háromtámaszú vasbeton gerenda és egy vasbeton oszlop esetén [7]. A számítások során véletlen jellegű keresztmetszeti méreteket, anyagjellemzőket és terheket feltételeztek. A beton és betonacél viselkedésének leírására nemlineáris anyagmodellt alkalmaztak. K. Bergmeister, D. Novák és R. Pukl egy számítógépes szoftvert (SARA) mutattak be a vasbeton szerkezetek megbízhatóságának vizsgálatára [2]. A szoftver négy fő modulból tevődik össze, melyek a következők: statisztikai és megbízhatósági modul, nemlineáris végeselemes számítómodul, a különböző szerkezeti tulajdonságok és anyagjellemzők statisztikai jellemzőit tartalmazó adatbázis, valamint egy interaktív grafikus felhasználói felület. A szoftver egy speciális Monte-Carlo szimulációs algoritmust (Latin Hypercube Sampling) használ a szükséges mintavételezések számának csökkentésére. W. B. Krätzig és Y. S. Petryna egy nemlineáris végeselemes számítási eljárást mutatnak be a szerkezet károsodásainak és várható élettartamának becslésére [11]. A bemutatott eljárás vasbeton szerkezetek dinamikus ellenállását határozza meg a kárterjedés, illetve kárhalmozódás figyelembevételével. A számítás során a károsodást leíró tényezőt is magába foglaló rugalmas-képlékeny anyagmodellt alkalmaztak. Valószínűségi változóként kezelték a geometriai méreteket, az anyagjellemzőket és a terheket. Az anyagjellemzők változását különböző tönkremeneteli állapotok vizsgálatával vették figyelembe. Az eljárás alkalmazását egy vasbeton keretszerkezet és egy vasbeton lemezhíd számításán keresztül mutatták be. F. Biondini, F. Bontempi, D. M. Frangopol és P. G. Malerba egy szekrénytartós vasbeton híd várható élettartamát határozták meg MonteCarlo módszer segítségével [4]. A vizsgálat során az anyagjellemzőket és geometriai méreteket tekintették valószínűségi változónak, figyelembe vették továbbá az anyagok nemlineáris viselkedését, valamint az agresszív közeg által okozott anyagromlást. A jelen kutatásban alkalmazott eljárás a sztochasztikus végeselemmódszeren alapul, véletlen jellegű geometriai méretek, anyagjellemzők és terhek valamint nemlineáris anyagviselkedés figyelembevételével. A számítások során, a fentieken túlmenően figyelembe vesszük az egyes valószínűségi változók időbeli alakulását, továbbá a beton karbonátosodása által okozott acélbetét korróziót is.
-3-
Handa, Andersson (1975) Almási (1978)
SVEM VEM + MCS
Liu, Besterfield, Belytschko (1988)
SVEM
Dasgupta, Yip (1989)
SVEM
Besterfield, Liu, Lawrence (1990)
SVEM
Deodatis (1990)
SVEM
Teigen, Frangopol, Sture, Felippa (1991)
SVEM
Ruiz, Aguilar (1994) Eibl, Schmidt-Hurtienne (1995)
MCS SVEM
Bergmeister, Novák, Pukl (2004)
VEM + MCS
Krätzig, Petryna (2004)
SVEM
Biondini és társai (2006)
MCS
Koris (2008)
+ + + + +
SVEM
+ + + + + +
+ + + + + + + + + + + + +
Karbonátosodás miatti acélbetét korrózió
Terhelés időbeli változása
Geometria és anyagjellemzők időbeli változása
Anyagi nemlinearitás
Véletlen jellegű terhelés
Alkalmazott számítási módszer
Véletlen jellegű anyagjellemzők
Szerző
Véletlen jellegű szerkezeti geometria
Figyelembe vett hatások
+ +
+ +
+ + + + + + +
+ + + + + + +
+ + +
+ +
+ +
1. táblázat: Szerkezetek valószínűségi alapon történő számítása az irodalomban (jelölések: SVEM – sztochasztikus végeselemmódszer, VEM – végeselemmódszer, MCS – Monte-Carlo szimuláció)
2.
AZ ALKALMAZOTT VIZSGÁLATI MÓDSZER
2.1. Tartóssági tervezés valószínűségelméleti alapon Egy szerkezeti elem tartóssága megfelelőnek tekinthető, ha a tönkremeneteli valószínűsége nem halad meg egy adott értéket a teljes tervezett élettartama során. A szerkezet tönkremenetelét különböző határállapotokkal jellemezhetjük, mint például a teherbírási, vagy használhatósági határállapotok. Az adott határállapot elérésének, azaz a szerkezet tönkremenetelének a valószínűsége különböző, időben változó valószínűségi változók függvénye. A kutatás során ezen valószínűségi változóknak, illetve az ezekből számítható tönkremeneteli valószínűségnek a tetszőleges időpontban történő meghatározásával foglalkoztunk. A szerkezet megfelelősége a kiszámított tönkremeneteli valószínűségi szint és egy előre definiált, optimális kockázati szint összehasonlításával dönthető el [9]. A kutatás során csak a teherbírási határállapot vizsgálatával foglalkoztunk. 2.2. A szerkezeti elemek tönkremeneteli valószínűségének meghatározása Egy tartószerkezet tönkremeneteli valószínűsége kifejezhető a terhelés és a szerkezeti ellenállás valószínűségi eloszlásainak első két momentumból. A szerkezet ellenállásának várható értékét és szórását az ún. sztochasztikus végeselemmódszerrel határoztunk meg az idő függvényében, míg a terhelés statisztikai jellemzőit a [13] alapján vettük fel. A kutatás során vizsgált, előregyártott vasbeton szerkezeti elemek különböző időpontokban számítható tönkremeneteli valószínűségét a normális eloszlás sűrűségfüggvényének felhasználásával határoztuk meg.
-4-
2.3. A teherbírás várható értékének meghatározása A vizsgált előregyártott, előfeszített beton gerendák teherbírásának várható értékét végeselemmódszerrel határoztuk meg, figyelembe véve a beton és a betonacélok, illetve feszítőpászmák képlékeny viselkedését. A számításhoz a bemenő adatok (szerkezet geometria jellemzői, anyagjellemzők) várható értékeit használtuk. A gerendák nyírási alakváltozását elhanyagoltuk a számítás során, tekintettel arra, hogy vasbeton gerendák esetén ezek az alakváltozások jóval kisebbek a hajlítási deformációknál. A nyírási alakváltozás elhanyagolásának másik oka az volt, hogy a vizsgált tartók nyírási tönkremenetelét a megfelelő szerkezeti és vasalási kialakítással kizártuk a lehetséges tönkremeneteli módok közül. A végeselemes számítás során a terhelést (egyparaméteres teher) lépcsőkben vittük fel a tartóra, és minden egyes teherlépcső esetén meghatároztuk a szerkezet húr merevségi mátrixát. A szerkezet tönkremenetelét a tönkremeneteli állapothoz tartozó merevségi mátrix sajátértékének, és az adott teherlépcsőhöz tartozó merevségi mátrix sajátértékének az összehasonlításával állapítottuk meg. 2.4. A teherbírás szórásának meghatározása Az előregyártott vasbeton elemek teherbírásának szórását a sztochasztikus végeselemmódszerrel határoztuk meg, a valószínűségi eloszlás első két momentumának felhasználásával. A teherbírás szórását az alábbi összefüggésből határoztuk meg [7]: T
~ −T ~ −1 ∂ K T T ∂K T ⋅K ⋅ u ⋅ δα ⋅ C ρ ⋅ δα ⋅ u ⋅ C ~q = δq~ ⋅ δq~ = K ⋅ ∂α ∂α
ahol K a szerkezet merevségi mátrixa, u a csomóponti elmozdulások vektora, Cρ a korrelációs mátrix, ~ δα a bemenő adatok szórásait tartalmazó mátrix és K a merevségi mátrixból és a tehereloszlási vektorból összeállított mátrix. A számítások során meghatároztuk a teherbírás C q~ kovariancia mátrixát teherbírási határállapotban, a teherbírás szórását pedig ezen kovariancia mátrix átlójában lévő elemek négyzetgyökeként nyertük. Fontos megjegyezni, hogy a teherbírás fenti módon számított szórása magában foglalja geometriai adatok és anyagjellemzők teljes szerkezetre vonatkozó (teljes tartóhossz mentén korrelált) valószínűségi értékeit. 2.5. A bemenő adatok kiindulási értékeinek meghatározása A szerkezeti elemek valószínűségi alapon történő méretezéséhez szükséges bemenő adatokat laborvizsgálati eredmények alapján vettük fel. A bemenő adatok statisztikai jellemzőinek meghatározását hét különböző magyarországi építőipari vállalat termékeinek a figyelembevételével végeztük. A számításhoz szükséges paramétereket az egyes cégek által rendelkezésre bocsátott laborvizsgálati jegyzőkönyvek feldolgozásával határoztuk meg. A betonszilárdság átlagértékét és szórását 150×150×150 mm-es kocka próbatestek törőkísérleti eredményei alapján számítottuk. A kutatás során összesen 810 darab, három különböző gyártótól származó, öt különböző szilárdsági osztályba tartozó betonkocka törési eredményét dolgoztuk fel. Az 1. ábrán a C40/50 és C50/60 jelű betonokra vonatkozó vizsgálati eredmények láthatók. A betonacélok szilárdságának átlagértékét és szórását szakítókísérletek eredményei alapján határoztuk meg, három különböző gyártótól származó, összesen 291 darab próbatest vizsgálati eredményét felhasználva. A feszítőpászmák szilárdságának átlagértékét és szórását 20 darab próbatesten elvégzett szakítókísérlet eredményei alapján határoztuk meg.
-5-
60
Betonszilárdság 28 napos korban
Betonszilárdság 28 napos korban
40 56,0
52,5 20
Relatív szórás [%]
2
Átlagérték [N/mm ]
6,0
6,40 4,61
2,0
0,0
0 M1
4,0
C40/50
C40/50 C50/60 Tervezett betonszilársági osztály
M1
C50/60
Tervezett betonszilársági osztály
1. ábra: A betonszilárdság átlagértéke és relatív szórása 28 napos korban 2.6. A bemenő adatok időbeli változása A számításhoz szükséges bemenő adatok (anyagok szilárdsága és a szerkezet geometriai méretei) kezdeti értékét az előző pontban említett módon, laborvizsgálati jegyzőkönyvek adatainak feldolgozásával határoztuk meg. A különböző környezeti hatások miatt a számítási paraméterek értékei – és így a tartó viselkedése – időben nem lesznek állandók. A kutatás során meghatároztuk az anyagszilárdságok és geometriai méretek statisztikai jellemzőinek időbeli változását, a tartó lassú alakváltozását (zsugorodás, kúszás, relaxáció), a beton karbonátosodása által okozott acélbetét korróziót valamint a terhelés időbeli változását is. Az acélkorrózió hatását a betétek keresztmetszeti területének időbeli csökkenésével vettük figyelembe (lásd 2. ábra). Az anyagok szilárdságának átlagértéke az idő előrehaladtával csökkent (lásd 3. ábra), míg az anyagszilárdságok és a geometriai méretek szórása idővel növekedett (lásd 4. ábra) a számítások során. 1300
“4000” jelű gerenda
2
As [mm ]
1250 1200
RH=50% RH=65% RH=80%
1150 1100 10
30
50
70
90
Idő [év]
2. ábra: Betonacélok keresztmetszeti területének időbeli változása a páratartalom függvényében
-6-
Betonacél szilárdság változása
Betonszilárdság változása 650
53,0
647 2
fs,m [N/mm ]
2
fc,m [N/mm ]
52,5 52,0
51,5
644 641 638
“4000” jelű gerenda
51,0
“4000” jelű gerenda
635
10
25
50
75
100
10
25
Idő [év]
50
75
100
Idő [év]
3. ábra: A beton és betonacél szilárdság átlagértékének időbeli változása RH=65% relatív páratartalom esetén 8
ν f [%]
7 6
beton
5
betonacél feszítőpászma “4000” jelű gerenda
4 3 2 1 10
25
50
75
100
Idő [év]
4. ábra: A szilárdság relatív szórásának időbeli változása különböző anyagok esetén, RH=65% relatív páratartalom mellett
-7-
2.7. A számítási módszer ellenőrzése hajlítókísérletekkel A számítási módszer ellenőrzése céljából a teherbírás várható értékét és szórását előregyártott, előfeszített betongerendák hajlítókísérleti eredményeiből is meghatároztuk. A vizsgálathoz összesen 26 darab, 4 különböző méretű, “EE” jelű födémgerenda kísérleti jegyzőkönyvét használtuk fel. A kísérleti elrendezést és a vizsgált gerenda keresztmetszetét az 5. ábra szemlélteti. A hajlítókísérletek elvégzése előtt lemérték a gerendák hosszát, a keresztmetszet magasságát, az alsó és felső övek szélességét valamint a feszítőhuzalok betonfedését. A gerendákat négy koncentrált erővel egészen a törésig terhelték. A kísérletek során rögzítésre került az egyes gerendák mezőközépi lehajlása a terhelőerő függvényében, valamint a törőerő értéke is. Kísérleti elrendezés F/4
F/4
F/4
Keresztmetszet (EE-42) bf
F/4
L/5
L/5
L/5
L
h
L/5
dp
L/5
hf
ap
b
ha
Lb
Beton: C40/50 Feszítőhuzal: d = 5mm 1770/1540
ba
5. ábra: A hajlítókísérlet elrendezése és az EE-42 jelű gerenda egyszerűsített keresztmetszete A hajlítókísérletekből származó törőteher értékeket összehasonlítottuk a numerikus vizsgálatok eredményeivel. A számítást a korábban bemutatott sztochasztikus végeselemmódszer alkalmazásával végeztük. A számításhoz szükséges geometriai méretek átlagértékét és szórását a laborban vizsgált gerendákon elvégzett mérések alapján vettük fel. A beton és a feszítőhuzalok szilárdságainak átlagértékét és szórását a 2.5. fejezetben elmondottak szerint, roncsolásos anyagvizsgálati eredmények alapján határoztuk meg. A hajlítókísérletekből származó, illetve a numerikus vizsgálat során kapott törőterhek relatív szórásait (νFu) a 6. ábrán hasonlítjuk össze az egyes gerendatípusok esetén. Az összehasonlítás eredményeképpen elmondható, hogy a numerikus eredmények összhangban vannak a kísérleti eredményekkel, a vizsgált gerendák esetén 8,8% a legnagyobb eltérés a különböző módon meghatározott relatív szórások között. Megvizsgáltuk az egyes bemenő adatok szórásának a törőteher szórására gyakorolt hatását is az összes vizsgált “EE” gerendatípus esetén. A vizsgálat során az egyes bemenő adatok szórását 0,25·si és 3·si értékek között változtattuk, míg a többi bemenő adat szórása nem változott. A kutatás során a keresztmetszet szélességének és magasságának, a hasznos magasságnak, valamint a beton és feszítőhuzalok szilárdságának a hatását vizsgáltuk. A vizsgálat eredményeit a 7. ábra szemlélteti az “EE-42” jelű gerenda esetén. A paraméteres vizsgálat tapasztalatait közvetlenül is fel lehet használni az elemek gyártása során, mivel a bemutatott diagram alapján eldönthető, hogy mely paraméterek szórásának változtatásával lehet a leghatékonyabb módon befolyásolni a törőteher szórását.
-8-
7,5 7,0 6,5
7,25
6,92
6,93 6,81
6,32
ν Fu [%]
6,0
6,08
5,5
“EE-42”
“EE-48” “EE-54”
5,0
“EE-66”
4,20
4,5
Hajlítókísérlet eredménye SVEM számítás
4,0 3,86
3,5 EE-42
EE-48
EE-54
EE-66
Gerenda típusa
6. ábra: A teherbírás relatív szórásának mért és számított értékei EE-42 jelű gerenda 11,0 keresztmetszet szélesség
10,5
keresztmetszet magasság
10,0
hasznos magasság
ν Fu [%]
9,5
betonszilárdság
9,0
huzal szilárdság
8,5 8,0 7,5 7,0 6,5 6,0
0,25·s
0,5·s
0,75·s
s
1,5·s
2·s
3·s
7. ábra: A különböző bemenő adatok szórásának a teherbírás szórására gyakorolt hatása az EE-42 jelű gerenda esetén
-9-
2.8. A számítási módszer alkalmazása előfeszített vasbeton tartók esetén A bemutatott számítási módszer felhasználásával két különböző előregyártott gerendát is megvizsgáltunk. A “4000” jelű tartó egy 28,782 m hosszú és 1,45 m magas előfeszített beton gerenda, amit elsősorban ipari épületek és csarnokok lefedésénél alkalmaznak. A tartó keresztmetszetét a 8. ábra szemlélteti. A tartó geometriai adatainak átlagértékét és szórását 11 darab elkészült gerendán történő mérés kiértékelésével határoztuk meg. A “4700” jelű tartó egy 6,06 m hosszú és 0,749 m magas előfeszített beton gerenda, amit rövidfőtartóként alkalmaznak ipari épületekben és csarnokokban. A tartó keresztmetszet a 8. ábrán látható. Ezen tartó geometriai adatainak átlagértékét és szórását 10 darab elkészült gerendán történő mérés kiértékelésével határoztuk meg. “4000” jelű gerenda
6
1 5
60
74,9
7,5 3
5 3×4
22
3
5 3×4
8
67,4
145
14
2 12,5
5
“4700” jelű gerenda
35
30
8. ábra: A “4000” és “4700” jelű gerendák keresztmetszete A bemutatott két tartó vizsgálata során a keresztmetszet magasságát és szélességét, a betonacélok és feszítőpászmák hasznos magasságát, valamint a beton, a betonacél és a feszítőpászmák szilárdságát tekintettük valószínűségi változónak. A tartók tönkremeneteli valószínűségét több időpontban is meghatároztuk. A kutatás során megvizsgált időpontok a t = 10, 25, 50, 75 és 100 év voltak. Minden vizsgált időpontban 3 különböző relatív páratartalom értéket vettünk figyelembe: RH = 50%, 65% és 80%. A hasznos terhek kiindulási értékét (q0) is változtattuk a számítás során. Egy gerenda esetén összesen 5 különböző értéket vettünk fel. A “4000” jelű tartó esetén a q0 = 16, 18, 20, 22 és 24 kN/m értékekkel számoltunk, míg a “4700” jelű tartónál a q0 = 115, 120, 125, 130 és 135 kN/m értékeket alkalmaztuk. A törőteher meghatározásához szükséges bemenő adatok értékét az idő, a relatív páratartalom és a hasznos terhek kiindulási értékének függvényében határoztuk meg. Ezen adatok, valamint az időben változó terhelés figyelembevételével számítottuk a vizsgált tartók tönkremeneteli valószínűségét. A számítások elvégzéséhez egy számítógépes szoftvert (PFEM2008) fejlesztettünk ki a Matlab® matematikai szoftvercsomag felhasználásával. Az 5 különböző időpont, 3 különböző páratartalom szint és az 5 különböző kiindulási hasznos teher érték figyelembevételével összesen 5×3×5 = 75 futtatást végeztünk.
- 10 -
A beton és betonacél szilárdságának időbeli csökkenését RH = 65% páratartalom mellett a 3. ábra szemlélteti a “4000” jelű gerenda esetében. Az egyes anyagok szilárdságának időbeli szórásváltozást a 4. ábra mutatja be. A betonacélok korrózió miatti keresztmetszet csökkenését különböző páratartalom szintek mellett a 2. ábra szemléleti a “4000” jelű gerenda esetében. Az eltelt időnek és a páratartalomnak a tartó viselkedésére gyakorolt hatását a 9. ábrán mutatjuk be, összehasonlítva a “4700” jelű tartó nyomatékgörbület (M-κ) vonalait különböző időtartam és páratartalom értékek esetén. 1200
1000
M [kN/m]
800
600
t=10 év, RH=50%
400
t=10 év, RH=80% t=100 év, RH=50%
200 “4700” jelű gerenda
t=100 év, RH=80%
0 0
0,005
0,01 κ [1/m]
0,015
0,02
9. ábra: A “4700” jelű gerenda nyomaték-görbület vonala különböző időpontokban és különböző relatív páratartalom értékek mellett A “4000” jelű tartó törőterhének számított várható értékét (p u,m) és szórását (ν pu ) az idő és a páratartalom függvényében a 10. és 11. ábrák szemléltetik. A tartóra ható teher várható értékének (p m ) és relatív szórásának (ν p ) az időbeli alakulását a 12. ábra mutatja be. A törőteher és a terhelés ismeretében mind a két vizsgált tartó tönkremeneteli valószínűségét meghatároztuk az idő, a páratartalom és a hasznos teher kiindulási értékének a függvényében. Ezen számítás eredményeire a 13. ábra mutat be egy példát. A diagramban a “4000” jelű tartó tönkremeneteli valószínűségét ábrázoltuk az idő függvényében, RH = 65% páratartalom esetén. Az egyes görbék a különböző kiindulási értékű (q 0 = 16-24 kN/m) hasznos terhekhez tartoznak. Az ismertetett számítási módszer segítségével előállított diagramok közvetlenül felhasználhatók a vonatkozó szerkezeti elemek tartóssági tervezéséhez, amelyre a 4. fejezetben mutatunk be számpéldákat.
- 11 -
55,0 54,5
pu,m [kN]
54,0 53,5 53,0 52,5
RH=50% RH=65%
52,0
RH=80%
“4000” jelű gerenda
51,5 10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Idő [év]
10. ábra: A teherbírás várhatóértékének időbeli változása a páratartalom függvényében 10 9
ν pu [%]
8 7 6 RH=50% 5
RH=65% RH=80%
“4000” jelű gerenda
4 10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Idő [év]
11. ábra: A teherbírás relatív szórásának időbeli változása a páratartalom függvényében
- 12 -
38
6,0
37 5,5
ν p [%]
pm [kN]
36 35
5,0
34 4,5 33 “4000” jelű gerenda
“4000” jelű gerenda
32
4,0 10
25
40
55
70
85
100
10
25
40
Idő [év]
55
70
85
100
Idő [év]
12. ábra: A terhek várható értékének és relatív szórásának időbeli változása RH=65% 10
Idő [év] 20
30
40
50
60
70
80
90
100
Tönkremeneteli valószínűség
1,00E+00 1,00E-02 1,00E-04 1,00E-06 1,00E-08 1,00E-10 1,00E-12 1,00E-14
“4000” jelű gerenda
q0=16 kN/m q0=18 kN/m q0=20 kN/m q0=22 kN/m q0=24 kN/m
1,00E-16
13. ábra: A “4000” jelű gerenda tönkremeneteli valószínűségének időbeli változása a kezdeti hasznos teher értékének (q0) függvényében, RH=65% relatív páratartalom esetén
- 13 -
3.
ÚJ TUDOMÁNYOS EREDMÉNYEK
3.1. Az új eredmények magyar nyelven 1. Tézis Kifejlesztettem egy valószínűségi méretezési elven alapuló módszert az előregyártott vasbeton és feszített beton szerkezeti elemek tartóssági tervezésére [16], [18], [19]. A bemutatott módszer alkalmazásával, változó időparaméter figyelembevételével meghatározható az előregyártott elemek tönkremeneteli valószínűsége. A számítás során figyelembe vettem az anyagjellemzők, a keresztmetszeti méretek, a karbonátosodás miatt kialakuló acélbetét korrózió, valamint a terhek időbeli változását [20]. A számítás során a következő bemenő adatokat kezeltem valószínűségi változóként: a beton, betonacél és feszítőpászma szilárdsága, a keresztmetszet magassága, szélessége és az acélbetétek, illetve a feszítőpászmák hasznos magassága, továbbá a tartóra ható terhelés. 2. Tézis Meghatároztam különböző feszített beton gerendák törőterhének szórását hajlító kísérletek segítségével, illetve a bemutatott számítási módszer alkalmazásával. A két különböző módszerrel kapott eredmények összehasonlításával bebizonyítottam, hogy a számítási eljárás alkalmas a törőteher szórásának meghatározására előregyártott vasbeton szerkezeti elemek esetén [17], [19]. Rámutattam arra, hogy a kifejlesztett számítási eljárás a gyakorlati tervezés során is használható [21], amennyiben a bemenő adatok meghatározását a tényleges elemeken történő mérésekkel, illetve az elemekhez felhasznált anyagok laborvizsgálatával határozzuk meg. 3. Tézis A vizsgált előregyártott, előfeszített gerendákon paraméteres, illetve numerikus vizsgálatokat végeztem az alábbi eredményekkel: a.)
Megvizsgáltam az egyes bemenő adatok (keresztmetszet magassága és szélessége, hatékony magasság, betonszilárdság és feszítőpászma szilárdság) szórásának a törőteher szórására gyakorolt hatását. Megállapítottam, hogy az általam vizsgált esetekben a hatékony magasság és a beton szilárdság szórásának változása van a legnagyobb hatással a törőteher szórására, míg a feszítőpászmák szilárdságának a szórásváltozása befolyásolja a legkevésbé a törőteher szórását [17], [19], [21].
b.)
Bebizonyítottam, hogy a vizsgált tartók esetén a tönkremenetel valószínűsége az idő múlásával nő, a páratartalom növekedésével nő, és a hasznos teher várható értékének emelkedésével szintén nő [17], [19], [21]. A tönkremeneteli valószínűség növekedésének ütemét különböző paraméterek függvényében grafikusan ábrázoltam. A bemutatott módszer – és annak alkalmazásával készített diagramok – segítségével lehetőség van a vizsgált elemek tartóssági tervezésének gyakorlati végrehajtására.
- 14 -
c.)
Bebizonyítottam, hogy a vizsgált tartók esetén a bemutatott számítási módszer alkalmazása gazdaságosabb eredményt (nagyobb teherbírást, vagy kisebb elemméreteket) szolgáltat a vonatkozó Eurocode 2 szabályzat alapján számítható eredményeknél [17], [19], [21], [8].
d.)
Bebizonyítottam, hogy a bemutatott számítási módszer hatékonyan alkalmazható meglévő (megépült) előregyártott, feszített vasbeton szerkezeti elemek tartóssági vizsgálatára is, az adott elemeken végzett geometriai mérések és anyagvizsgálatok felhasználásával [17], [21].
- 15 -
3.2. Az új eredmények angol nyelven New result #1. I developed a method based on probabilistic approach for the durability-design of prefabricated concrete structural members [16], [18], [19]. This method can predict the probability of failure of the members at any given point of time. The deterioration of material strengths and geometrical sizes, the effect of carbonation induced corrosion as well as the change of load effect in time can be taken into account during the analysis [20]. Random input parameters that are considered by the developed method are the strength of concrete, steel bars and prestressing tendons, the height and width of cross section, effective height of steel bars and tendons and the load effect. New result #2. I compared the standard deviation of load carrying capacity of prestressed concrete beams derived from bending test results to the results of numerical analyses. I proved by this comparison that the developed method is appropriate for the analysis of the standard deviation of load carrying capacity in case of pre-cast concrete structural members [17], [19]. I demonstrated that results of the numerical analysis can be used for practical purposes [21] if the values of input parameters are derived from material test results and geometry measurements on the corresponding members. New result #3. I performed parametric numerical analyses on pre-cast, prestressed concrete beams with the following results: a.)
I determined the effect of standard deviations of different input parameters (height and width of cross-section, effective depth of tendons, strength of concrete and tendons) on the standard deviation of load carrying capacity of examined beams. The influence of the standard deviations of effective depth and concrete strength is the most significant, while change of the standard deviation of tendon strength has the least influence on the standard deviation of load carrying capacity in case of all examined beam types [17], [19], [21].
b.)
I proved that the failure probability of pre-cast, prestressed concrete beams is increasing as time is passing by; it is increasing as the level of relative humidity is increasing and it is increasing as the initial value of imposed load is increasing [17], [19], [21]. I demonstrated the increase rate of failure probability as a function of different parameters graphically. Durability-design of examined girders can be performed by the presented charts.
- 16 -
c.)
I proved that the application of the presented method results in a more economic design (higher load carrying capacity or smaller member sizes) of the examined pre-cast, prestressed concrete beams than the use of the relevant chapter of the Eurocode 2 standard [17], [19], [21], [8].
d.)
I proved that the presented method can be efficiently applied for the durability analysis of existing pre-cast, prestressed concrete members using geometry measurements and material tests on the examined members [17], [21].
- 17 -
4.
A KUTATÁSI EREDMÉNYEK GYAKORLATI HASZNOSÍTÁSA
A “4000” jelű gerenda teherbírására vonatkozó számítási eredményeket összehasonlítottuk az Eurocode 2 [8] előírásai alapján számítható értékekkel. A gerenda Eurocode 2 szerint számított nyomatéki teherbírása MRd = 3611,3 kNm. Ezen nyomatéki teherbírás alapján – normális eloszlást és a szabvány szerinti νq = 5%-os szórást figyelembe véve – meghatároztuk a tartóra helyezhető maximális hasznos teher várható értékét: qm.EC = 16,37 kN/m. A disszertációban bemutatott, valószínűségi elven alapuló számítási módszerrel qm = 18,13 kN/m maximális hasznos teher értéket határoztunk meg. Ez az érték mintegy 10%-al magasabb az Eurocode 2 szerint számítható értéknél, tehát megállapítható, hogy a vizsgált tartó esetén a bemutatott módszer gazdaságosabb megoldást (nagyobb tartóra helyezhető teher, vagy kisebb szükséges keresztmetszeti méretek) eredményez. A disszertációban bemutattuk, hogy az egyes szerkezeti elemek esetén előállított tönkremeneteli valószínűség diagramok (lásd 3. ábra) közvetlenül felhasználhatók az adott elem tartóssági tervezésére. A számpéldában a “4000” jelű gerendát kellett alkalmazni egy olyan ipari épület építéséhez, ahol a relatív páratartalom értéke RH = 70% és az épület tervezett élettartama 80 év kellett, hogy legyen. Az Eurocode előírásaihoz alkalmazkodva a gerenda tönkremeneteli valószínűsége nem léphette túl a 10-4 értéket. Az RH = 65%-os páratartalomhoz tartozó tönkremeneteli valószínűségi diagram (lásd 13. ábra) alapján a tartóra helyezhető hasznos teher maximális értéke q0,max,1 = 20,3 kN/m-re adódott. Ugyanezen tartó esetén, RH = 80% páratartalom mellett a vonatkozó diagram alapján q0,max,2 = 18,7 kN/m volt a maximális hasznos teher értéke. A 65% és 80% páratartalom értékek közötti lineáris interpolációt alkalmazva RH = 70% esetén q0,max = 19,8 kN/m hasznos teher érték adódott, ami azt jelenti, hogy a gerenda tervezett 80 éves élettartama maximum 19,8 kN/m kiindulási hasznos teher érték alkalmazása esetén érhető el. A bemutatott számítási eljárás az új tartószerkezeti elemek vizsgálatán túlmenően meglévő (korábban már beépített) szerkezeti részek tartóssági elemzésére is alkalmas. A meglévő szerkezeti elemek várható élettartama, illetve az esetleges felújításuk szükséges mértéke pontosabban is meghatározható a bemutatott eljárás alkalmazásával, amennyiben lehetőségünk van a vizsgált elem aktuális állapotának felmérésére (pl. betonszilárdság mérése roncsolásmentes vizsgálati módszerrel). A disszertációban az ilyen jellegű vizsgálatra is bemutattunk egy számpéldát. A példában egy 50 éves korú, “4000” jelű tartót vizsgáltunk RH=65% páratartalom és q0 = 20 kN/m kezdeti hasznos teher érték esetén. A popt=10-4 optimális tönkremeneteli valószínűségi szintet figyelembe véve a gerenda várható élettartama 87 évre adódott a tervezéskori adatok (geometria és anyagjellemzők) figyelembevételével. Feltételeztük, hogy a gerenda betonjának aktuális (50 éves korban mérhető) szilárdságát Schmidt-kalapáccsal mértük, ami alapján a szilárdság várható értéke fc,m = 52,45 N/mm2 a szórása pedig sfc = 3,4 N/mm2 értékre adódott. Ezen adatok birtokában a betonszilárdság romlását leíró számítás megfelelő paramétereit pontosítottuk, és ezek felhasználásával újból meghatároztuk a tartó tönkremeneteli valószínűségi görbéjét. Ezen új görbe figyelembevételével a vizsgált tartó várható élettartama 93 évre nőtt az eredeti 87 év helyett.
- 18 -
5.
IRODALOM
[1]
Almási J.: Adatok a vasbeton oszlop-keresztmetszetek véletlen geometriai eltéréséhez; Mélyépítéstudományi Szemle, XXXVII. évfolyam 9. szám, 1987.
[2]
Bergmeister, K.; Novák, D.; Pukl, R.: SARA: An advanced engineering tool for reliability assessment of concrete structures; Proceedings of the Second International Conference on Structural Engineering, Mechanics and Computation, Capetown, 5-7 July 2004.
[3]
Besterfield, G. H.; Liu, W. K.; Lawrence, M. A.; Belytschko, T. B.: Brittle Fracture Reliability by Probabilistic Finite Elements; Journal of Engineering Mechanics, Vol. 116, No. 3, March 1990.
[4]
Biondini, F.; Bontempi, F.; Frangopol, D. M.; Malerba, P. G.: Lifetime Nonlinear Analysis of Concrete Structures under Uncertainty; IABMAS ’06 - 3rd International Conference on Bridge Maintenance, Safety and Management, Porto, July 16-19, 2006.
[5]
Dasgupta, G.; Yip, S.: Stochastic Strain-Displacement Matrices for Finite Elements with Random Constitution; ICOSSAR ’89 - 5th International Conference on Structural Safety and Reliability, 1989.
[6]
Deodatis, G.: Bounds on Response Variability of Stochastic Finite Element Systems; Journal of Engineering Mechanics, Vol. 116, No. 3, March 1990.
[7]
Eibl, J.; Schmidt-Hurtienne, B.: Grundlagen für ein neues Sicherheitskonzept; Bautechnik 72 (1995), Heft 8., Ernst & Sohn 1995.
[8]
Eurocode 2 (prEN 1992-1-1): Design of concrete structures - Part 1: General rules and rules for buildings
[9]
Farkas Gy.; Szalai K.; Kovács T.: A valószínűségi elven történő méretezés történeti előzményei hazánkban, BME Hidak és Szerkezetek Tanszéke Tudományos Közleményei, szerk.: Tassi G.; Hegedűs I.; Kovács T., Budapest, 2004.
[10] Handa, K.; Andersson, K., Application of Finite Element Methods in the Statistical Analysis of Structures, ICOSSAR ’75 - 3rd International Conference on Structural Safety and Reliability, pp. 409-417., 1975. [11] Krätzig, W.B.; Petryna, Y.S.: Structural damage and lifetime estimates by nonlinear FE simulation; Proceedings of the Second International Conference on Structural Engineering, Mechanics and Computation, Capetown, 5-7 July 2004. [12] Liu, W. K.; Besterfield, G. H.; Belytschko, T.: Variational Approach to Probabilistic Finite Elements; Journal of Engineering Mechanics, Vol. 114, No. 12, December 1988. [13] Mistéth E.: Méretezéselmélet; Akadémiai kiadó, Budapest, 2001. [14] Ruiz, S. E.; Aguilar, J. C.: Reliability of Short and Slender Reinforced-Concrete Columns; Journal of Structural Engineering, Vol. 120, No. 6, June, 1994. [15] Teigen, J. G.; Frangopol, D. M.; Sture, S.; Felippa, C. A.: Probabilistic FEM for Nonlinear Concrete Structures. I-II.; Journal of Engineering Mechanics, Vol. 117, No. 9, September 1991.
- 19 -
6.
AZ ÚJ TUDOMÁNYOS EREDMÉNYEKHEZ KAPCSOLÓDÓ PUBLIKÁCIÓK
Cikk szerkesztett könyvben [16] Koris K.: Előregyártott vasbeton szerkezeti elemek tartóssága; BME Hidak és Szerkezetek Tanszéke Tudományos Közleményei, p.127-136, Budapest, 2006. [17] Koris K.: Life-span analysis of prefabricated concrete beams; BME Hidak és Szerkezetek Tanszéke Tudományos Közleményei, p.1-10, Budapest, 2008. (accepted for publication) Nemzetközi konferencia-kiadványban megjelent idegen nyelvű előadás [18] Koris K.: Durability-design of pre-cast concrete members; Proceedings of the 3rd Central European Congress of Concrete Engineering "Innovative materials and technologies for concrete structures"; p.407-412, Visegrád, Hungary 16-18. September 2007. Magyarországon megjelent idegen nyelvű lektorált folyóiratcikk [19] K. Koris, I. Bódi: Probabilistic approach for the durability design of prefabricated concrete members; Concrete Structures, p.41-48, Budapest, 2009. (accepted for publication) [20] K. Koris, I. Bódi: Long-term analysis of bending moment resistance on pre-cast concrete beams; Periodica Politechnica, p.1-10, Budapest, 2009. (under review) [21] K. Koris, I. Bódi: Service life estimation of pre-cast concrete structural members; Pollack Periodica, p.1-10, Pécs, 2009. (under review)
7.
TOVÁBBI PUBLIKÁCIÓK
Könyv, könyvrész [22] Koris K., Bódi I., Erdődi L., Farkas Gy., Vértes K.: Nagyfesztávú vasbeton vázszerkezetek; STRONG & MIBET Tervezési és alkalmazási segédlet, 124.p. Budapest, 2004 június. Cikk szerkesztett könyvben [23] Koris K.: Előfeszített vasbeton gerenda ellenőrzése az EC2 szerint; Beton évkönyv 1998/1999, főszerkesztő: Dr. Szalai Kálmán, 5.5 fejezet, p.88-116, Magyar Építőanyagipari Szövetség, Budapest, 1998. [24] Koris K.: Vasbeton gerenda teherbírásának sztochasztikus vizsgálata; BME Vasbetonszerkezetek Tanszéke Tudományos Közleményei, p.91-96. Budapest, 1998. [25] Koris K.: Vasbeton gerenda alakváltozása összetett igénybevételek hatására; BME Vasbetonszerkezetek Tanszéke Tudományos Közleményei, p.161-168. Budapest, 1999. Külföldön megjelent idegen nyelvű lektorált folyóiratcikk [26] Koris K., Salamak, M.: Prefabricated bridge girders in Hungary; (in Polish) Drogownictwo, p.367-371, November, 2007.
- 20 -
Nemzetközi konferencia-kiadványban megjelent idegen nyelvű előadás [27] Koris K., Teiter Z.: Problems and lessons in developing a software for analyzing reinforced concrete cross-sections; Conference Proceedings, CAMP'95 - CAD/CAM and Multimedia - 5th International Conference and Trade Show, p.137-142, Budapest, 1995. [28] Koris K.: Safety of reinforced concrete beams subjected to combined stress; Proceedings, 1st International Ph.D. Symposium, p.7-11, Budapest, 1996. [29] Koris K.: Stochastic distribution of structural resistance of reinforced concrete beams; Proceedings, 2nd International Ph.D. Symposium, p.127-134, Budapest, 1998. [30] Koris K.: Durability-design of reinforced concrete traffic infrastructure; Proceedings of the Second International Conference on Structural Engineering, Mechanics and Computation, p.1-5, Capetown, South Africa, 5-7. July 2004. [31] Koris K., Erdődi L., Bódi I.: Parametric analyses of pre-cast concrete structural members; Proceedings of the fib Symposium "Keep Concrete attractive"; p.717-722.; Budapest, Hungary 23-25. May 2005. [32] Koris K., Bódi I.: Strengthening of a reinforced concrete silo structure; Proceedings of the IABSE Symposium on Responding to Tomorrow’s Challenges in Structural Engineering, p.1-6, Budapest, Hungary 13-15. September 2006. [33] Koris K., Erdődi L., Bódi I.: Parametric analyses of precast reinforced concrete pipes; Proceedings of the 3rd Central European Congress of Concrete Engineering "Innovative materials and technologies for concrete structures"; p.431-436, Visegrád, Hungary 16-18. September 2007. [34] Koris K., Bódi I., Almási J.: Upgrading of a 70 year old Grandstand; Proceedings of the 17th IABSE Congress “Creating and Renewing Urban Structures, Tall Buildings, Bridges and Infrastructure”, p.1-6, Chicago, USA, September 17-19, 2008.
- 21 -
