1
Ellipszis átszelése Adott egy a és b féltengely - adatokkal bíró ellipszis, melyet a befoglaló téglalapjának „bal alsó” sarkában csuklósan rögzítettnek képzelünk. Az ellipszist e C csukló körül forgatva az ezen áthaladó e vízszintes metsző egyenes az ellipszist különböző helyzetekben metszi át – 1. ábra.
1. ábra Meghatározandó az így előálló ellipszis - szeletek Tbal és Tjobb területe. Eszerint a feladat kiírása az alábbi. Adott: a, b; ψ. Keresett: Tbal ,Tjobb . A megoldáshoz tekintsük a 2. ábrát is, ahol a továbbiakban alkalmazott koordináta ~ rend szereket és jelöléseket figyelhetjük meg.
2. ábra Erről azonnal megállapíthatjuk, hogy a bal oldali ellipszis - szelet területe így adódik:
2
(1) vagyis a φ1 és φ2 szögekkel adott vezérsugarak határolta szektorterület és háromszög terület különbségeképpen. Közvetlen feladatunk ( 1 ) jobb oldalának kiszámítása. Ezután a jobb oldali ellipszis - szelet területe: (2) A továbbiakban szükségünk lesz az M1 és M2 metszéspontok helyzetére, amit azok koordinátáival adhatunk meg. Előkészületként tekintsük a 3. ábrát is!
3. ábra Ez az ellipszis „kétkörös szerkesztését” is bemutatja, valamint leolvashatók róla az alábbi fontos összefüggések is: ~ az ellipszis paraméteres egyenletrendszere: (3) (4) (5)
3
~ a t szögparaméter és a φ polárszög kapcsolata: tehát: (6) A ( 6 ) képlet szerint általában fennáll, hogy t ≠ φ , ha a ≠ b. A továbbiakban először meghatározzuk az M1 és M2 metszéspontok t1 és t2 paraméterét. Ehhez először felírjuk egy adott ellipszispont koordinátái közti kapcsolatot a két k. r. - ben – 2. ábra: (7) (8) Továbbá az M1,2 metszéspontokra fennáll, ( 3 ), ( 4 ), ( 7 ) és ( 8 ) felhasználásával, hogy tehát: (9) Most ismert trigonometriai azonosságokkal:
tehát: ( 10 ) Majd ( 9 ) és ( 10 ) - zel: ( 11 ) Megoldva
innen:
- re:
4
( 12 ) Hasonlóan, de mégis másként:
( 13 ) Erre a másféle felírásra azért volt szükség, mert így biztosítottuk, hogy t2 > t1 legyen. A következő lépés: felírni az ellipszis - szektorterület képletét. Egy paraméteres egyenlet rendszerével adott görbe esetén [ 1 ] szerint: ( 14 ) Majd ( 3 ), ( 4 ) és ( 14 ) - gyel:
tehát: ( 15 ) Ezután kiszámítjuk az OM1M2 háromszög területét – 2. ábra. Itt a következő jelöléseket alkalmazzuk még: ~ d: az M1 és M2 metszéspontok távolsága, ~ md: az OM1M2 háromszög d oldalához tartozó magassága. Ezekkel a keresett terület: ( 16 )
5
Részletezve: ( 17 ) ( 18 ) ahol ( 6 ) szerint: ( 19 ) Összefűzve a ( 16 ), ( 17 ), ( 18 ) és ( 19 ) képleteket: ( 20 ) ahol ( 3 ) és ( 4 ) szerint: ( 21 ) ( 22 ) Ezután ( 1 ), ( 15 ), ( 20 ), ( 21 ), ( 22 ) - vel: –
( 23 ) Látjuk, hogy a végeredmény a t1 és t2 paraméterek függvénye, amelyek viszont az adott a, b, ψ paraméterektől függnek. Végül ( 2 ) és ( 23 ) szerint: ( 24 )
SZÁMPÉLDA Az ehhez választott adatok és egyes részeredmények a 4. ábrán láthatók. ( A 3. és 4. ábrákat a Graph ingyenesen letölthető szoftverrel rajzoltuk meg. ) 1.) t1 és t2 kiszámítása a ( 12 ) és ( 13 ) képletekkel és az adatokkal:
tehát: (a)
6
4. ábra
tehát: (b) 2.) S kiszámítása a ( 15 ) képlettel, valamint ( a ) és ( b ) - vel: (c) 3. ) A metszéspontok koordinátáinak számítása a ( 21 ), ( 22 ) képletekkel, valamint ( a ) és ( b ) - vel: (d) (e) (f) (g)
7
4.) Az M1 metszéspont polárszögének számítása a ( 19 ) képlet és ( a ) alapján: (h) 5.)
számítása a ( 20 ) képlet, valamint ( d ), ( e ), ( f ), ( g ) alapján:
tehát: (i) 6.) Tbal számítása ( 1 ), valamint ( c ) és ( i ) alapján: tehát: (j) 7. ) Tjobb számítása ( 24 ) és ( j ) alapján: tehát: (k) Tehát az adott számpéldabeli ellipszis - szeletek területe:
és
Megjegyzések: M1. A Graph program numerikus területszámító funkciójának használatával gyakorlatilag ugyanezen eredmények adódtak. Ez vélhetőleg nem a „véletlen” műve. M2. A ( 20 ) képlet mintegy adja magát, szemléletessége miatt. Kevésbé szemléletes, ámde jóval egyszerűbb képlet - alakra jutunk az alábbiak szerint – [ 2 ]. Egy háromszög területe, ha csúcsai P1 ( x1 , y1 ) , P2 ( x2 , y2 ) , P3 ( x3 , y3 ): .
( 25 )
E képlettel akkor kapunk pozitív értéket, ha a csúcsok körüljárási iránya az óramutató járásával ellenkező. Ez most teljesül, hiszen a t paraméter is így növekszik. Minthogy esetünkben x3 = 0, y3 = 0, így a ( 25 ) képletből egyszerűbb lesz: ( 26 )
8
Most ( 21 ), ( 22 ) és ( 26 ) - tal: tehát: ( 27 ) Majd ( 1 ), ( 15 ) és ( 27 ) - tel: tehát: ( 28 ) A számpélda adataival:
( j ) - vel egyezően. M3. Megeshet, hogy valaki ódzkodik a fenti hosszabb számításoktól, és helyettük egy közvetlenebb geometriai megközelítést alkalmazna. Ilyet is találtunk – [ 3 ]. Ennek lénye ge, hogy az ellipszis - szeletet egy körszelet vetületének tekinti, és így hozza ki az általunk is nyert ( 28 ) eredményt. M4. Megemlítjük, hogy találtunk az interneten olyan „online calculator” - t, amely más képlettel dolgozott – [ 4 ]. Egy ilyen képernyőkép - részlet látható az 5. ábrán.
5. ábra
9
Ha ezt összevetjük a 3. ábrával, akkor látjuk, hogy φ2 , φ1 helyére most θ1 , θ0 írandó. Utóbbiak polárkoordináták. Továbbá az itteni számpéldabeli határ - szögek számításához alkalmazandó a ( 6 ) képlet: (6/1) ezzel, valamint ( a ) és ( b ) - vel: (l) (m) Ámde ( m ) - hez (n) szög tartozik, ami a 4. ábra szerint sem lehet jó. Ellenben a (o) szög már jó lehet; ( l ) és ( o ) - val dolgozva adta ki a kalkulátor a 12,729 cm2 eredményt, az 5. ábra szerint. Ez megegyezik az általunk kapottal. Sajnos, ez az egyezés még mindig nem teljesen meggyőző: vannak még kétségeink. Ugyanis nekünk, polárkoordinátákkal dolgozva, az ellipszis - szektor területére ( 29 ) adódott. Minthogy ( 6 ) - ból: ( 30 ) így ( 29 ) és ( 30 ) - cal:
egyezésben ( 15 ) - tel. Úgy is fogalmazhatunk, hogy nekünk a szektorterület primitív függvénye, az 5. ábra jelöléseivel: ( 31 ) - nak az 5. ábráról leolvasott kifejezésével: ( 32 )
10
Ha a kalkulátor képlete jó, akkor fenn kell állnia a primitív függvények azonosságának; azaz - val: vagyis: (A) A többlet - feladat most az ( A ) azonosság igazolása. Tegyük fel, hogy ( A ) fennáll! Először képezzük az ( A ) „egyenlet” mindkét oldalának tangensét! Ekkor: ( A1 ) a bal oldal: ( A2 ) a jobb oldal: ( A3 ) ahol: ( A4 ) Most B( A1 ) = J( A1 ) miatt, ( A2 ) és ( A3 ) - mal: ( A5 ) Egy ismert trigonometriai azonossággal: ( A6 ) Eszerint kifejtve ( A5 ) jobb oldalát: ( A7 ) Majd ( A5 ) és ( A7 ) - tel: ( A8 )
11
Rendezve:
innen: ( A9 ) Ha tehát az ( A ) azonosság fennáll, akkor f (θ) - nak az ( A9 ) egyenlet szerintinek kell lennie. Ezután átalakítjuk f (θ) ( A4 ) szerinti kifejezését: ( A10 ) ehhez ismét trigonometriai azonosságokkal: ( A11 ) ( A12 ) ( A13 ) most ( A10 ), ( A11 ), ( A12 ), ( A13 ) - mal:
tehát:
( A14 ) Azt találtuk, hogy f (θ) ( A4 ) szerinti kifejezése ( A14 ) alakban is felírható. Minthogy f (θ) kétféle úton nyert kifejezése ( A9 ) és ( A14 ) szerint egyenlők, így az ( A ) azonosság valóban fennáll. Eszerint a kalkulátor képlete jó. Ne feledjük, hogy nálunk S az ellipszis - szektor, a kalkulátornál pedig az ellipszis - szelet területét jelöli! A ( 32 ) képletet megtaláltuk az [ 5 ] anyagban is. M5. Fentiek extra hozadéka az
12
( 33 ) illetve az ,
( 34 )
trigonometriai azonosságok belátása is. M6. Megismételjük azon korábbi figyelmeztetésünket, hogy felhasználás előtt mindenki tesztelje le ismert és helyes eredményekkel az internetes „segédleteket”! Ez, természetesen, a mi írásainkra is vonatkozik. Ezt mi megkönnyítjük kidolgozott szám példa közlésével, valamint más források eredményeire való rámutatással.
Források: [ 1 ] – Szerk. Gáspár Gyula: Műszaki matematika II. kötet, 3. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest,1977., 251. o. [ 2 ] – I. N. Bronstejn ~ K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv 2. kiadás, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963., 250. o. [ 3 ] – http://www.cut-the-knot.org/Generalization/Cavalieri2.shtml [ 4 ] – http://keisan.casio.com/exec/system/1343722709 [ 5 ] – http://www.geometrictools.com/Documentation/AreaIntersectingEllipses.pdf
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2016. 06. 18.
