Ellipszis rajzolásához A szakrajz órákon általában megbeszéljük az ellipszis rajzolását, illetve szerkesztését, kétféleképpen is: ~ a két körrel való pontonkénti szerkesztést – 1. ábra, valamint ~ a fonállal való rajzolást – 2. ábra.
1. ábra
2. ábra Az 1. és a 2. ábrák forrása: [ 1 ]. Itt most a fonállal történő ellipszis - rajzolásról lesz szó.
2
A 2. ábrán azt szemléltették, hogy a kertész egy ellipszist akar kirajzolni a kertben; ennek érdekében levert két cöveket, melyekhez hozzáerősített egy fonalat. A fonalat különböző helyeken kifeszítette, majd ezeket a helyeket cövekkel megjelölte. A cövekek kirajzolják az ellipszist, főleg, ha elég sűrűn veri le a kertész azokat. Most arra vagyunk kíváncsiak, hogy hogyan rajzolhatók ki előírt feltétel(ek)nek megfelelő ellipszisek. Hiszen gondolhatjuk: eléggé időrabló lehet a vaktában történő próbálkozás, kísérletezés. Az eredményes munkához ismét a matematikát hívjuk segítségül. Ehhez tekintsük először a 3. ábrát – [ 1 ]!
r1
r2
3. ábra Ez az ellipszis mértani - helyes meghatározását készíti elő. Itt F1 és F2 : az ellipszis fókuszai / gyújtópontjai, a a nagytengely fele, b a kistengely fele, c pedig a fókuszok egymástól való távolságának a fele. Az ellipszisre definíció / meghatározás szerint fennáll, hogy
r1 + r2 = 2 ⋅ a ,
(1)
vagyis, hogy az ellipszis a sík azon P pontjainak mértani helye, melyekre fennáll, hogy a sík két rögzített – F1 és F2 – pontjától mért távolságainak összege állandó, és ez az összeg nagyobb az F1 F 2 = 2 ⋅ c távolságnál – [ 2 ] . A fonalas rajzolást elősegítő egyik fontos összefüggés előállítására vigyük a P pontot a kistengely végére! Ekkor a szimmetria miatt:
r1 = r2 = r ,
(2)
majd ( 1 ) és ( 2 ) - vel:
r=a .
(3)
3
Az előállott helyzet a 4. ábra szerinti.
4. ábra Forrása: http://www.bethlen.hu/matek/mathist/forras/Ellipszis_definicioja.htm A 4. ábra sárga derékszögű háromszögéből, Pitagorász tételével:
c2 + b2 = a2 , innen:
c = a 2 − b2 .
(4)
Most már nekiláthatunk egyszerű feladataink megoldásának. 1. Feladat Ellipszist akarunk rajzolni a kertben, fonállal. Adott: ~ az l fonálhossz, ~ a kis - és nagytengely - hosszak megkívánt aránya: k = b / a. Keresett: ~ c, vagyis a fókuszpontok karóinak helyzete. Megoldás: A ( 4 ) képlet átalakításával kapjuk, hogy:
b2 c = a − b = a ⋅ 1 − 2 = a ⋅ 1 − k 2 , a 2
2
c = a ⋅ 1− k 2 .
2
tehát: (5)
4
Felhasználva az l fonalhosszra fennálló
l = 2⋅a
(6)
összefüggést is, ( 5 ) és ( 6 ) szerint:
c=
l ⋅ 1− k 2 . 2
(7)
A ( 7 ) képlet adja feladatunk megoldását, hiszen az ellipszis O középpontjától a nagytengelye mentén balra és jobbra felmért c távolságban lévő F1 és F2 pontokban kell leütni a cövekeket, amikhez a fonál végeit kötözzük. A fonálhossz megválasztását a ( 6 ) képlet segítheti. 2. Feladat Azt a feladatot kaptuk, hogy rajzoljunk ki a kertben egy olyan ellipszist, amely egy 2a x 2b méretű befoglaló téglalappal bír. Megoldás: Ehhez tekintsük az 5. ábrát is!
5. ábra; forrása: [ 3 ].
5
Az 5. ábrához tartozó eredeti szövegtől kicsit eltérünk. A lépések az alábbiak. 1. Kimérjük a 2a x 2b méretű téglalapot, majd oldalainak közepére és középpontjába leütünk egy - egy karót. Ezzel kijelöltük a 4. ábra szerinti A, B, C, D és O pontokat. Levágunk egy 2a ( + egy kicsi a kötözéshez ) hosszú madzagot, ami megegyezik az ellipszis 4. ábra szerinti AB távolságával – 5 / 1. ábra. 2. Kössük a madzag végeit az A és B pontokba leszúrt karókhoz, majd húzzuk ki e karókat a földből, utána pedig vessük át a madzagot a 4. ábra szerinti C ponton, majd kifeszítés után verjük le a két cöveket a nagytengely vonalán, ügyelve a szimmetrikus elhelyezkedésre – 5 / 2. ábra! Ezzel elértük, hogy a madzag két vége már az ellipszis F1 és F2 fókuszpontjaiban van. 3. A C pontbeli karót kihúzva már rajzolhatjuk is az ellipszist e karóval, miközben a fonalat kifeszítve tartjuk – 5 / 3. ábra.
Megjegyzések M1. Természetesen más szakmákban is alkalmazhatóak a fentebb mondottak. Például asztalosok számára is érdekes lehet, ha egy nagyobb méretű ovális asztallapot kell előállítaniuk, amihez az anyagra fel kell rajzolni az ellipszist. M2. Furcsa, de az ellipszist nem ritkán több körből összeállított kosárgörbével helyettesítik – [ 4 ]. Ebben az a furcsa, hogy a kosárgörbe szerkesztése sem egyszerűbb, mint a fentebb, főleg a 2. feladatban mondottak elvégzése. M3. Amikor az ellipszist befoglaló téglalap 2a x 2b méreteiről beszélünk, akkor az l = 2a mellett a k = b / a tengelyszakasz - arányról is beszélünk. Így függ össze az 1. és a 2. feladat. M4. Ez a HD azért is íródott, mert úgy tűnik, hogy van valamiféle zsigeri ellenállás, illetve ellenszenv a tanulókban – de a tanárokban is – az ellipszis és tanulása / tanítása iránt. Ez egy kis tanulással és gyakorlással könnyen legyőzhető.
6
Irodalom: [ 1 ] – Hans Walser: Raumgeometrie, Modul 6 : Ellipse http://jones.math.unibas.ch/~walser/institut/vorlesungen/11fs/RG/Vorlesu ng/06_V_Ellipse.pdf [ 2 ] – Obádovics J. Gyula: Matematika, 15. kiadás, 467. oldal Scolar Kiadó, Budapest, 1998. [ 3 ] – http://matyasciprian.hu/novenyek/viragagy_rajzolas.php [ 4 ] – http://hu.wikipedia.org/wiki/Kos%C3%A1rg%C3%B6rbe
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2012. július 11.
