Ellipsis.tex, February 29, 2012
Az ellipszis • Az ellipszis le´ır´asa • Az ellipszis szerkeszt´ese ´es tulajdons´agai • Az ellipszis kanonikus egyenlete • A k¨or vet¨ ulete – ellipszis • Az ellipszis pol´arkoordin´at´as egyenlete • Az ellipszis f˝otengelyekre vonatkoztatott egyenlete • Az ellipszis nem f˝otengelyekre vonatkoztatott egyenlete • Az ellipszis param´eteres egyenlete • Transzform´aci´o a f˝otengelyekre ´es a nem f˝otengelyekre vonatkoztatott egyenletek k¨oz¨ott
Az ellipszis le´ır´ asa Az ellipszis a s´ık azon pontjainak m´ertani helye, amelyeknek k´et adott pont´ol (a gyujt´opontokt´ol) val´o t´avols´ag¨osszege a´lland´o (=2a). Az adott k´et pont, F1 ´es F2 az ellipszis ujt´opontjai (f´okuszai). A gyujt´opontok t´avols´aga a √ gy´ 2 k¨oz´eppont´ol: c = a − b2 . Az ellipszis valamely pontj´at a gy´ ujt´opontokkal o¨sszek¨ot˝o vez´ersugarak (r´adiuszvektorok) r1 ´es r2 . Az ellipszis tengelyei egybeesnek a koordin´atatengelyekkel. A f´okuszok t´avols´ag´at jel¨olj¨ uk 2c-vel; F 1 F2 = 2c. Ha feltessz¨ uk, hogy P pont az ellipszis tetsz˝olegespontja, akkor a definici´o szerint r1 + q r2 a´lland´o. Ez az a´lland´ q o legyen 2a, azaz r1 + r2 = 2a ≥ 2c ; a ≥ c. r1 = y 2 + (c − x)2 ´es r2 = y 2 + (c − x)2 . Fogalmak ´es jel¨ol´esek F´el nagytengely a F´el kistengely b F´okuszok F1 ´es F2 A f´okuszok t´avols´aga 2c Vez´ersugarak r1 ´es r2 Az excentrit´as c/a Az ellipszis szerkeszt´ ese ´ es tulajdons´ agai Az ellipszis szerkeszt´es´enek u ´ n. kert´eszek m´odszere szerint zsin´orb´ol kell egy 2a + 2c hossz´ us´ag´ u hurkot k´esziteni, amelyet r´ahelyez¨ unk a k´et f´okoszpontba sz´ urt gombost˝ ure ´es egy ceruz´aval a hurkot feszesen tartva megrajzolhatjuk az ellipszist. 1
• Az ellipszis ´erint˝oje ´es norm´alisa felezi az ´erint´esi ponthoz tartoz´o vez´ersugarak k¨ uls˝o ´es bels˝o sz¨og´et. • Az ellipszis b´armely pontj´ahoz tartoz´o ´erint˝oj´ere mer˝oleges mindk´et vez´ersug´arral ugyanakkora sz¨oget z´ar be. Ezek alapj´an ha az ellipszis bels˝o fel¨ ulete t¨ ukr¨oz˝odik, akkor az egyik f´okuszpontb´ol kibocs´atott f´enysug´ar az ellipszis fel¨ ulet´en u ´ gy t¨ ukr¨oz˝odik, hogy a t¨ ukr¨oz˝od¨ott f´enysug´ar a´thalad a m´asik f´okuszponton. A k¨ or vet¨ ulete – ellipszis A k¨or koordin´at´ai: x = a cos ϕ
´es
y = sin ϕ .
A k¨or egyenlete: x2 + y 2 = a2 (cos2 ϕ + sin2 ϕ) = a2 . Az ellipszis koordin´at´ai: x = a cos ϕ
´es
b sin ϕ .
A mer˝oleges affinit´as: λ = b/a, ´ıgy a k¨or egyenlete: a2 cos2 ϕ +
a 2
x2 +
a 2
b
b2 sin2 ϕ = a2 .
y 2 = a2 .
b
x2 y 2 + 2 =1. a2 b Az ellipszis kanonikus egyenlete q q
(x + c)2 + y 2 +
q
(x − c)2 + y 2 = 2a
y 2 + (c − x)2 = 2a −
q
y 2 + (c + x)2
q
a y 2 + (a + x)2 = a2 + xc x2 (a2 − c2 ) + a2 y 2 = a2 (a2 − c2 ) b 2 x2 + a 2 y 2 = a 2 b 2
x2 y 2 + 2 =1, a2 b ahol a az ellipszis f´elnagytengelye, b pedig a f´elkistengelye (??. a´bra). Az ellipszis ter¨ ulete: abπ, a ker¨ ulete pedig: h
L = π(a + b) 1 −
1 2
2
2
e −
1 × 3 e4
2×4 3
2
−
1 × 3 × 5 e6
2×4×6 5
i
− ... .
10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Az ellipsis kanonikus egyenlete
10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
Az ellipszis pol´arkoordin´at´as egyenlete.
3
Az ellipszis pol´ arkoordin´ at´ as egyenlete Minden k´ upszelet fok´alis egyenlete fel´ırhat´o az ξ 2 + η 2 = (eξ + p)2 form´aban, ahol x = ξ − c ´es y = η (. a´bra). η2 = −
b2 (ξ − c)2 + b2 . a2
A b2 = a2 − c2 kifejez´est alkalmazva: η2 + ξ2 =
c
a
ξ+
b 2 2 . a
Be´ırva az excentrit´ast (e = c/a) ´es az ellipszis param´eter´et (p = b 2 /a): η 2 + ξ 2 = (eξ + p)2 . Ezt tov´abb alak´ıtva megkapjuk a pol´arkoordin´at´as alakot: r 2 = (er cos ϕ + p)2 , r=
p . 1 − e cos ϕ
Az ellipszis nem f˝ otengelyre vonatkoztatott egyenlete t r − +α , T λ t r v = B sin 2π − +β , T λ ahol t = 2π/a ´es λ = 2πv/a .
u = A sin 2π
t t r r u cos α + cos 2π sin α = sin 2π − − A T λ T λ t t v r r = sin 2π − − cos β + cos 2π sin β B T λ T λ t u v r sin(α − β) , sin β + sin α = − sin 2π − A B T λ t u v r cos β + cos α = 2 cos 2π − sin(α − β) . A B T λ u 2 u 2 v v uv u2 v 2 sin β− sin α + cos β− cos α = 2 + 2 −2 cos(α−β) = sin2 (α−β) . A B A B A B AB Ez egy nem f˝otengelyre vonatkoztatott ellipszis egyenlete. Ha α − β = π/2, akkor:
v2 u2 + =1. A2 B 2 4
10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Az ellipszis param´eteres egyenlete.
Az ellipszis param´ eteres egyenlete x = a cos t
´es
y = sin(t + δ) .
Az ellipszis ´ erint˝ oj´ enek egyenlete Az ellipszis ´erint˝oje ´es norm´alisa felezi az ´erint´esiponthoz tartoz´o vez´ersugarak k¨ uls˝o ´es Bels˝o sz¨ogeit. Az elipszis ´er´ınt˝oj´enek egyenlete, ha az ´erint´esipont koordin´at´ai (x 0 , y0 ). Az ellipszis ´erint˝oje ´es norm´alisa felezi az ´erint´esiponthoz tartoz´o vez´ersugarak k¨ uls˝o, illetve bels˝o sz¨og´et. Az A2 d2 + B 2 b2 = C 2 . 2 2 Az xa2 + yb2 = 1 ellipszis P1 (x1 , y1 ) ´es P2 (x2 , y2 ) pontj´an a´tmen˝o u ´ n. szel˝oegyenes: y − y1 =
y2 − y 1 (x − x1 ) . x2 − x 1
A P1 ´es P2 pontok koordin´at´ai azonban liel´eg´ıtik az ellipszis egyenlet´et is, azaz x21 y12 x22 y22 + 2 =1, + 2 =1. a2 b a2 b Ha enn´el a k´et egyenletn´el a megfelel˝o oldalak k¨ ul¨onbs´eg´et vessz¨ uk, akkor rendez´es ut´an: y1 − y 1 b2 (x1 + x2 ) =− 2 . x2 − x 1 a (y1 + y2 ) alakra jutunk. Ezt behelyettes´ıtve a k´et ponton a´thalad´o egyenes egyenlet´ebe y2 − y 1 b2 (x1 + x2 ) =− 2 (x − x1 ) x2 − x 1 a (y1 + y2 ) 5
alakban kapjuk a szel˝o egyenlet´et. Ha a szel˝o ´es az ellipszis k´et pontja egybe esik, akkor a szel˝obi˝ol ´erint˝o lesz, melynek egyenlete az el˝oz˝ob˝ol x 1 = x2 ´es y1 = y2 felhaszn´alva ad´odik: b 2 x1 y − y1 = − 2 (x − x1 ) a y2 rendezve ´es a2 b2 -tel osztva
xx1 yy1 + 2 =1. a2 b Az ellipszis M (u, v) k¨oz´eppont´ u egyenlete: ξ2 η2 + 2 =1 a2 b a ξ = x − u, η = y − v helyettes´ıt´essel megkapjuk az ellipszis M (u, v) k¨oz´eppont´ u egyenlete: (x − u)2 (y − v)2 + =1 a2 b2 (x − u)(x1 − u) (y − v)(y1 − v) + =1. a2 b2
6
10 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -10
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Az ellipszis centr´alis ´es fok´alis egyenlete.
Az ellipszis centr´ alis ´ es fok´ alis egyenlete x = c + r cos ϕ y = r sin ϕ 2 x y2 + = 1 a2 b2 (c + r cos ϕ)2 r 2 sin2 ϕ + =1 a2 b2 b2 (c2 + 2cr cos ϕ + r 2 cos2 ϕ) + a2 r 2 sin2 ϕ = a2 b2 sin2 ϕ = 1 − cos2 ϕ b2 c2 + 2rcb2 cos ϕ + b2 r 2 cos2 ϕ + a2 r 2 − a2 r 2 cos6 ϕ = a2 b2 b-t ´es c-t behelyettes´ıtve ´es a2 -tel osztva ´es egyszer˝ us´ıtve √ b = a 1 − e2 c = ea 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 − e )a e + 2ae(1 − e )r cos ϕ + 1)(1 − e )r cos ϕ + r − r cos ϕ = a2 (1 − e2 ) −r 2 + [er cos ϕ − a(1 − e2 )]2 = 0 Ezt r-re megoldva: r = ±[er cos ϕ − a(1 − e2 )] b2 a(1 − e2 ) , p = a(1 − e2 ) = r = 1 + e cos ϕ a 7
Figure 1: Rotation in plain
r =
p 1 + e cos ϕ
Transzform´ aci´ o A der´eksz¨og˝ u ξη-koordin´atarendszerben az ellipszis f˝otengelyei a koordin´atatengelyekre esnek: ξ2 η2 + 2 =1. a2 b A ξη-rendszer ψ sz¨oggel van elforgatva az der´eksz¨og˝ u xy-koordinatarendszerben: ξ = x cos ψ + y sin ψ η = −x sin ψ + y cos ψ Meghat´arozzuk az ellipszis xy-rendszerbeli adatait. Az ellipszis param´eteres le´ır´asa az xy-rendszerben: x = a1 cos(τ + δ1 ) y = a2 cos(τ + δ2 ) x = cos(τ + δ1 ) = (cos τ cos δ1 − sin τ sin δ1 ) a1 y = cos(τ + δ2 ) = (cos τ cos δ2 − sin τ sin δ2 ) . a2
8
y x sin δ2 − sin δ1 = cos τ sin(δ2 − δ1 ) a1 a2 x y cos δ2 − cos δ1 = sin τ sin(δ2 − δ1 ) a1 a2 N´egyzetre emelve ´es o¨sszeadva ezt a k´et egyenletet a k¨ovetkez˝ot kapjuk:
xy x 2 y 2 cos δ = sin2 δ , + −2 a1 a2 a1 a2
ahol δ = δ2 − δ1 . A ξη-rendszerben az ellipszis param´eteres egyenlete: ξ = a cos(τ + δ0 ) η = ±b sin(τ + δ0 ) , az el˝ojelt¨ol f¨ ugg˝oen az o´ramutat´o j´ar´as´aval egyez˝oen, illetve ellent´etesen halad k¨orbe a pont az ellipszisen. a(cos τ cos δ0 − sin τ sin δ0 ) =
±b(sin τ cos δ0 + cos τ sin δ0 ) =
a1 (cos τ cos δ1 − sin τ sin δ1 ) cos ψ + a2 (cos τ cos δ2 − sin τ sin δ2 ) sin ψ −a1 (cos τ cos δ1 − sin τ sin δ1 ) sin ψ + a2 (cos τ cos δ2 − sin τ sin δ2 ) cos ψ
Egyenl˝ov´e tessz¨ uk a cos τ ´es sin τ egy¨ utthat´oit:
± ±
a cos δ0 = a1 cos δ1 cos ψ + a2 cos δ2 sin ψ a sin δ0 = a1 sin δ1 cos ψ + a2 sin δ2 sin ψ b cos δ0 = a1 sin δ1 sin ψ − a2 sin δ2 cos ψ b sin δ0 = −a1 cos δ1 sin ψ + a2 cos δ2 cos ψ
Az els˝o ´es m´asodik egyenletet n´egyzetre emelj¨ uk ´es o¨sszeadjuk: a2 = a21 cos2 ψ + a22 sin2 ψ + 2a1 a2 cos ψ sin ψ cos δ , ahol δ = δ2 − δ1 . Hasonl´oan a harmadik ´es negyedik egyenletet n´egyzetre emelve ´es o¨sszeadva: b2 = a21 sin2 ψ + a22 cos2 ψ − 2a1 a2 cos ψ sin ψ cos δ . ´Igy a2 + b2 = a21 + a22 . Az els˝o egyenletet a harmadikkal megszorozva, a m´asodikat a negyedikkel majd az eredm´enyeket o¨sszeadva: ∓ab = a1 a2 sin δ . 9
A harmadik egyeletet az els˝ovel elosztva illetve a negyediket a m´asodikkal: b a1 sin δ1 sin ψ − a2 sin δ2 cos ψ −a1 cos δ1 sin ψ + a2 cos δ2 cos ψ ± = = . a a1 cos δ1 cos ψ + a2 cos δ2 sin ψ a1 sin δ1 cos ψ + a2 sin δ2 sin ψ Ezekb˝ol a ψ-re a k¨ovetkez˝ot kapjuk: (a21 − a22 ) sin 2ψ = 2a1 a2 cos δ cos 2ψ . ´ Erdemes bevezetni egy α seg´edsz¨oget (0 ≤ α ≤ π/2). a2 = tan α . a1 tan 2ψ = Azaz
2 tan α 2a1 a2 cos δ = cos δ . 2 2 a2 − a 1 1 − tan2 α tan 2ψ = (tan 2α) cos δ .
M´asr´eszt: ∓ab = a1 a2 sin δ a2 + b2 = a21 + a22 2ab 2a1 a2 2 tan α 2 cos α sin α sin δ = ∓ 2 = 2 sin δ = sin δ = 2 2 2 a +b a1 + a 2 1 + tan α cos2 α + sin2 α 2ab 2a1 a2 ∓ 2 = 2 sin δ = (sin 2α) sin δ . 2 a +b a1 + a22 Vezess¨ unk be egy m´asik seg´edsz¨oget a χ sz¨oget (−π/4 ≤ χ ≤ π/4): b ∓ = tan χ . a 2 tan χ 2 cos χ sin χ 2ab = = = sin 2χ . ∓ 2 2 2 a +b 1 + tan χ cos2 χ + sin2 χ sin 2χ = (sin 2α) sin δ . ¨ Osszegezve: 1) Ismert a1 , a2 ´es a f´azisk¨ ul¨onbs´eg δ, ekkor meghat´arozhat´o a, b ´es ψ a k¨ovetkez˝o formul´akkal: a2 + b2 = a21 + a22 tan 2ψ = tan(2α) cos δ sin χ = (sin 2α) sin δ b , (−π/4 ≤ χ ≤ π/4) a 2) Ford´ıtva, ha a, b ´es ψ ismert, akkor meghat´arozhat´o a1 , a2 ´es δ. tan χ = ∓
10
a1 , a 2 ´ es δ → a, b ´ es ψ 1)
tan 2ψ = ψ=
2a1 a2 cos δ a22 − a21
1 arctan 2ψ . 2
2) ±ab = a1 a2 sin δ a1 a2 sin δ ±a = b a2 + b2 = a21 + a22 a21 a22 sin2 δ + b2 = a21 + a22 2 b b4 − (a21 + a22 )b2 + a21 a22 sin2 δ = 0 b21,2 =
a21 + a22 ±
q
(a21 + a22 )2 − 4a21 a22 sin2 δ 2
3) a=
q
a21 + a22 − b2 .
11
a, b and ψ → a1 , a2 and δ 1)
a21 + a22 = a2 + b2 a1 a2 sin δ = ±ab 2a1 a2 cos δ = tan ψ a21 + a22 a1 =
q
q
a2 + b2 − a22
a2 a2 + b2 − a22 a2 sin δ = ±ab q
2 a2 + b2 − a22 a2 cos δ = tan ψ a2 + b2 − a22 + a22 q
(a2 + b2 ) a2 + b2 − a22 a2 sin δ q
2 a2 + b2 − a22 a2 cos δ
=
±ab tan ψ
ab a2 + b 2 tan δ = 2 tan ψ tan δ =
±2ab (a2 + b2 ) tan ψ
δ = arctan δ
2) a21 + a22 = a2 + b2 a1 a2 sin δ = ±ab a1 = ±
ab a2 sin δ
a 2 b2 + a22 = a2 + b2 2 2 a2 sin δ a2 b2 + a22 a22 sin2 δ = (a2 + b2 )a22 sin2 δ a 2 b2 =0 sin2 δ q a2 + b2 ± (a2 + b2 )2 − 4a2 b2 / sin2 δ = 2
a42 − (a2 + b2 )a22 + a22(12)
12
3) a1 =
q
a2 + b2 − a22 .
13
Vector Wave t r − +α T λ t r y = B sin 2π − +β T λ y2 2xy x2 + − cos(α − β) = sin2 (α − β) . A2 B 2 AB
x = A sin 2π
ξ = a cos t η = b sin(t + δ) ξ2 η2 + =1. a 2 b2
14
i
15
