Elektrotechnika 2. Úlohy A. Pro učitele neodnášet. Pokyny a referenční hodnoty k laboratorním úlohám. doc. Ing. Jiří Sedláček, CSc

Elektrotechnika 2 Pokyny a referenční hodnoty k laboratorním úlohám

Úlohy A

doc. Ing. Jiří Sedláček, CSc. Ing. Miloslav Steinbauer, Ph.D.

Pro učitele – neodnášet

Brno

2008

Obsah ZAŘAZENÍ PŘEDMĚTU VE STUDIJNÍM PROGRAMU ..............................................................................3 ÚVOD......................................................................................................................................................................3 OBECNÉ POKYNY PRO LABORATORNÍ CVIČENÍ....................................................................................3 1 A IMPEDANCE DVOJPÓLU..........................................................................................................................5 2 A ANALÝZA OBVODU V HARMONICKÉM USTÁLENÉM STAVU ...................................................13 3 A VÝKON V JEDNOFÁZOVÉM OBVODU ...............................................................................................20 4 A FÁZOROVÉ DIAGRAMY.........................................................................................................................25 5 A SÉRIOVÝ REZONANČNÍ OBVOD .........................................................................................................32 6 A PARALELNÍ REZONANČNÍ OBVOD....................................................................................................37 7 A ZÁKLADNÍ VLASTNOSTI ČLÁNKŮ RC A CR ...................................................................................42

2

ZAŘAZENÍ PŘEDMĚTU VE STUDIJNÍM PROGRAMU Předmět Elektrotechnika 2 (BEL2) je zařazen do druhého semestru bakalářského studijního programu všech oborů studia na FEKT VUT v Brně. Předmět sestává z přednášek, laboratorních cvičení a počítačových cvičení.

ÚVOD Náplň jednotlivých úloh laboratorních cvičení je volena tak, aby si studenti prakticky ověřili poznatky získané na přednáškách, naučili se samostatné experimentální práci a získali tak průpravu pro práci jak ve vyšších ročnících studia, tak pro budoucí praxi. Koncepce jednotlivých úloh by měla vést studenty k osvojení formální stránky práce v laboratoři, získání správných návyků, stanovení cíle experimentu, vyhotovení záznamu o jeho průběhu a zhodnocení vlastních výsledků s ohledem na zadání. V úlohách je kladen důraz na porovnání teoretických hodnot s experimentem. Úlohy jsou navrženy tak, aby bylo možno zanedbat vliv měřicích přístrojů, neboť otázka technik měření bude probírána v předmětu Měření v elektrotechnice.

OBECNÉ POKYNY PRO LABORATORNÍ CVIČENÍ Laboratorní úlohy jsou rozděleny do dvou skupin: A pro první polovinu a B pro druhou polovinu semestru. Úlohy jsou v laboratořích zdvojeny, takže jednu úlohu měří zároveň dvě dvojice studentů. Laboratorní cvičení sestává z těchto částí:  domácí příprava,  práce v laboratoři,  zpracování výsledků měření. Pro laboratorní cvičení je nutné vést pracovní sešit (A4, doporučujeme čtverečkovaný), do kterého se zapisují přípravy i zpracování úloh. Každou úlohu v sešitě označte v záhlaví názvem a číslem, dále uveďte datum, kdy jste dané cvičení absolvovali. Úlohy musí být psány ručně, pouze tabulky a grafy je možné vytvořit pomocí počítače.

Domácí příprava na cvičení Příprava sestává ze zpracování teoretických poznatků, týkajících se daného cvičení a je nutné její písemné vypracování do sešitu. Základem pro domácí přípravu je „Teoretický úvod“, který je součástí každé úlohy v tomto skriptu. Účelem domácí přípravy je pochopení podstaty dané úlohy, které je nutné ke správnému provedení vlastního měření. Teoretickou znalost příslušné problematiky je třeba prokázat během cvičení. Písemná příprava v sešitě začíná na nové straně a musí obsahovat:  Číslo úlohy a nadpis, datum měření  Zadání (viz „Úkol“ u každé úlohy),  Stručný výtah z teoretického úvodu (uveďte základy teorie včetně matematických vztahů, popřípadě principiálních schémat,  Skutečné schéma zapojení (tužkou),  Připravené tabulky (vzory tabulek jsou uvedeny v tomto skriptu v části “Zpracování“. Pro přehlednost jsou buňky tabulek, které se neměří, ale počítají, podbarveny šedě. V tabulkách jsou rovněž odkazy na čísla vztahů, které se mají při výpočtech použít.)  Vypracovaný postup podle pokynů v odstavci Domácí příprava v návodu. Příprava má být stručná a výstižná, neopisujte celý teoretický úvod. Rovněž není účelné opisovat „Postup měření“. Bez znalosti teorie a bez písemné přípravy nebude posluchači umožněno cvičení absolvovat.

Práce v laboratoři Pracoviště v laboratoři jsou pro přehlednost označena čísly, která se shodují s číslováním úloh ve skriptu. Na pracovišti jsou připraveny všechny potřebné přístroje a příslušenství.

3

Při zapojování postupujte podle schémat skutečného zapojení. Během zapojování postupujte systematicky, abyste se vyvarovali chyb a zapojení bylo přehledné. Dokončené zapojení si nechte zkontrolovat učitelem, který připojí úlohu ke zdrojům. Během práce v laboratoři dodržujte zásady bezpečnosti práce. Jakékoliv změny v zapojení provádějte pouze při odpojených zdrojích. Důležitou součástí práce v laboratoři je zřetelné a čitelné zaznamenání naměřených hodnot tak, aby bylo možné spolehlivě pokračovat ve zpracování úlohy. Ze stejného důvodu je třeba pořídit si seznam použitých přístrojů, který obsahuje kromě typů přístrojů i jejich výrobní čísla a u měřicích přístrojů také údaje o jejich přesnosti. Po skončení vlastního měření zkontrolujte vyhodnocením alespoň několika hodnot správnost měření. Teprve po této kontrole můžete úlohu případně rozpojit a pracoviště uklidit. Před rozpojením zásadně nejprve nastavte výstupní veličiny zdrojů na nulové hodnoty a odpojte od nich vodiče! Výsledky si dejte ověřit učitelem. Ve zbývajícím čase můžete začít zpracovávat naměřené hodnoty.

Zpracování výsledků Při zpracování změřené úlohy nezapomeňte na následující části: Seznam použitých přístrojů slouží k tomu, aby bylo možné měření reprodukovat za stejných podmínek. Musí tedy obsahovat soupis všech použitých přístrojů a zařízení, i pomocných. U většiny zařízení se uvádí pouze typ. U měřicích přístrojů pak následující údaje:  druh a typ přístroje,  výrobce a výrobní číslo,  princip - značku soustavy (u analogových měřicích přístrojů),  rozsahy,  údaje o přesnosti přístroje (třída přesnosti u analogových, chyba u digitálních). Tabulky naměřených a vypočtených hodnot Tabulky je třeba uspořádat čitelně a přehledně, aby z nich bylo možné vyčíst všechny požadované hodnoty. Veličiny a jednotky uvádějte podle ustálených zvyklostí v SI soustavě. Za tabulku vypočtených hodnot vždy uveďte obecný vztah a příklad výpočtu (výpočet hodnot jednoho řádku či sloupce tabulky). V některých tabulkách se provádí porovnání naměřených Xměř. a teoretických Xteor. hodnot podle jejich relativní odchylky X

 X  100 

X měř.  X teor. . X teor.

(%)

(1)

Grafické zpracování Grafy lze vypracovat buď na milimetrový papír, nebo pomocí počítače a následně vlepit do sešitu. U některých úloh používajících počítače se grafy tisknou již během měření. V každém případě je třeba vhodně zvolit typ grafu, měřítka os a způsob proložení zobrazených bodů. Osy grafu musí být řádně označeny, aby bylo zřejmé, jakou veličinu vyjadřují. Součástí grafu je i jeho nadpis. Pokud je v jednom grafu zakresleno více křivek, musí být zřetelně označeny a odlišeny. Závěr má obsahovat stručný, ale výstižný rozbor naměřených a vypočtených hodnot. Musí korespondovat se zadáním úlohy. Nemá být kvalifikací podmínek měření, ale zhodnocením naměřených parametrů a jejich teoretickým zdůvodněním. Pokud je výsledkem měření jen málo hodnot, je vhodné je do závěru zopakovat. V případě, že jde o rozsáhlé výsledky (tabulky, grafy), stačí na ně uvést odkaz. Součástí závěru by měla být i úvaha o přesnosti provedeného měření s uvedením možných zdrojů chyb, tedy zhodnocení věrohodnosti získaných výsledků.

4

1A

Impedance dvojpólu

REFERENČNÍ HODNOTY A

1A Impedance dvojpólu Cíl úlohy Na praktických příkladech procvičit výpočty modulů a argumentů impedancí různých dvojpólů. Na základních typech prakticky užívaných obvodů ověřit měřením přímou souvislost mezi impedancí dvojpólu (modulem a argumentem impedance) a odpovídajícími časovými průběhy napětí a proudu. Ukázat souvislost mezi časovými průběhy a fázory, používanými při analýze obvodů v harmonickém ustáleném stavu symbolickou metodou.

Úkol   

Zobrazte vzájemné poměry napětí a proudů zadaných dvojpólů a jejich kombinací. Ze zobrazených fázorů napětí a proudu spočtěte hodnoty impedancí dvojpólů. Ze zadaných parametrů prvků vypočtěte teoretické hodnoty impedancí dvojpólů.

Teoretický úvod Symbolický počet, fázory

u(t)

V lineárních obvodech, které jsou buzeny zdroji harmonického napětí a proudu stejného kmitočtu, dochází po odeznění přechodných dějů vyvolaných připojením zdrojů k harmonickému ustálenému stavu (HUS), při kterém všechny obvodové veličiny (napětí i proudy) mají harmonický časový průběh s konstantní amplitudou. Harmonicky proměnnou veličinu (napětí, proud) je možno popsat pomocí funkce sinus nebo kosinus. Okamžitou hodnotu časového průběhu harmonického napětí s periodou T (obr. 1) můžeme psát u  t   U m  sin  t    ,

(V)

Um 

0

T

T

t

obr. 1 Harmonické napětí

(2)

kde je Um ...................... amplituda,  = f .. úhlový kmitočet, t   ................ fáze,   počáteční fáze.

T/2

(V) (rad/s) (rad) (rad)

Stejný průběh můžeme rovnocenným způsobem popsat pomocí funkce kosinus π  u  t   U m  cos t      U m  cos  t     . 2 

(V)

(3)

Jestliže necháme v komplexní rovině rotovat vektor (představující například napětí) rovnoměrným kruhovým pohybem, jeho průmět do svislé (tj. imaginární) osy reprezentuje harmonicky proměnný průběh (obr. 1), který je popsán vztahem (2). Využití těchto rotujících vektorů přináší značné zjednodušení při analýze elektrických obvodů v harmonickém ustáleném stavu. Vzájemné postavení vektorů velmi názorně ukazuje fázové poměry mezi napětími a proudy, proto se popisované rotující vektory v elektrotechnice nazývají fázory. Rotující fázor u(t), který může (svým průmětem) zastupovat okamžitou hodnotu skutečné harmonicky proměnné veličiny, se nazývá komplexní okamžitou hodnotou nebo též komplexorem. Modul této komplexní veličiny je roven amplitudě Um a argument je roven fázi ( t+ ). Reálnou složku komplexoru (jeho průmět do reálné osy) u  a imaginární složku komplexoru (jeho průmět do imaginární osy) u  můžeme zapsat

5

1A

Impedance dvojpólu


u   Re u  t   U m cos t    ,

(V)

(4)

u   Im u  t   U m sin t    .

(V)

(5)

(V)

(6)

V souladu s Eulerovým vztahem můžeme proto rotující fázor (komplexor) zapsat u  t   u   ju   U m  e jt  U m  e j  e jt  U m  e jt   .

Im

t

u(t)

u’’

Um

U

0 u’

T/2

T

t

Re

T

U  obr. 2 Vztah mezi fázorem (komplexní rovina) a okamžitým průběhem (časová rovina) harmonického napětí Důležitější než okamžitá hodnota je pro praxi amplituda a počáteční fáze sledované veličiny, kterou vyjadřuje fázor maximální hodnoty U m  U m  e j .

(V)

(7)

Jak je vidět z obr. 2, je tento fázor totožný s rotujícím fázorem v okamžiku t = 0. V elektrotechnických aplikacích často pracujeme s efektivními hodnotami veličin, proto zavádíme fázor i v měřítku efektivních hodnot. Pro fázor efektivní hodnoty platí U  U  e j 

Um 2

 e j 

Um 2

.

(V)

(8)

Fázory jsou používány jako symboly, které při analýze HUS zastupují skutečné fyzikální veličiny. Proto bývá tato metoda analýzy označována jako symbolická metoda. Při matematických operacích v komplexní rovině můžeme fázory vyjádřit pomocí komplexních čísel. Ze známé hodnoty fázoru můžeme zjistit okamžitou hodnotu časového průběhu u  t   Im U m  e jt  .

(V)

(9)

Poznámka: Rotující fázor (komplexor) budeme v textu označovat malým tučným písmenem u(t), i(t), fázory velkým tučným písmenem U, I, Um, Im, jejich absolutní velikosti (moduly) velkou kurzivou Um, Im. Při ˆ ). manuálním zápisu se fázory označují velkými písmeny s pomocnými znaky (nejčastěji stříškou - U Impedance

Pro základní lineární obvodové prvky v harmonickém ustáleném stavu platí mezi amplitudami, mezi efektivními hodnotami a také mezi komplexory a fázory napětí a proudu lineární závislost obdobná Ohmovu zákonu pro okamžité hodnoty napětí a proudu u rezistoru. Zatímco u rezistoru je touto konstantou úměrnosti R, u induktoru

6

1A

Impedance dvojpólu


je to jL a u kapacitoru 1/jC. Vztahy mezi jednotlivými veličinami pro základní obvodové prvky spolu s časovými i fázorovými diagramy ukazuje přehledně tab. 1. tab. 1 Vztahy mezi napětím a proudem a jejich fázorové i časové průběhy pro základní obvodové prvky R, L, C

Časová oblast

Prvek

Okamžité hodnoty

Časový diagram

Oblast komplexní proměnné Fázorový diagram

Fázory

Um

Im

R  =0

Um  ZR  I m u t   R  i t 

()

ZR  R

() Um

L

L

u t   L

 U  I

di  t 

Um  ZL  Im

dt

Z L  j L

=

1 u  t    i  t  dt C

Im

I

Um

 2

Im

U m  ZC  I m ZC 

2

U

= 

C



I

U

1 j C

Lineární závislost mezi fázory amplitud napětí a proudu platí i pro obecný lineární pasivní dvojpól složený z libovolné kombinace základních obvodových prvků – příklad obr. 3. Obecně tedy můžeme pro všechny obvodové prvky včetně jejich kombinací vyjádřit konstantu úměrnosti ve vztazích mezi fázory jako komplexní číslo Z, jehož absolutní velikost (modul) udává střídavý odpor prvku a argument udává fázový posun mezi napětím a proudem na prvku. Tato konstanta úměrnosti Z se nazývá impedance nebo obecný komplexní odpor, má rozměr odporu – Ohm (). Vztah mezi fázory napětí a proudu Um  Z  Im , U  Z  I

(V)

(10)

se nazývá zobecněný Ohmův zákon pro fázory. Po dosazení za fázory napětí a proudu podle (7) je Z

U U m U m j U  I    e  Z  e j . Im I Im

()

(11)

Modul impedance Z tedy představuje poměr amplitud (nebo efektivních hodnot) napětí a proudu a její argument pak fázový posun  mezi napětím a proudem (    U  I ) na uvedené impedanci Z. Reálná část impedance se nazývá činná složka (rezistance), imaginární část jalová složka (reaktance); udávají se v ohmech. Pojem impedance je v obvodech harmonického ustáleného stavu natolik běžný, že je jím označován také abstraktní idealizovaný obvodový prvek (ve skutečnosti dvojpól vytvořený kombinací základních obvodových prvků R, L,

7

1A

Impedance dvojpólu


C), s obecnou hodnotou modulu i fáze impedance Z. Význam pojmu obecné impedance dokresluje obr. 3, představující obecnou impedanci a její fázorový a časový diagram napětí a proudu.

obr. 3 a) Obecný dvojpól

b) Fázorový diagram

c) Časový diagram

Impedanci (11) můžeme vyjádřit jako komplexní číslo též ve složkovém tvaru Z  R jX .

()

(12)

Kromě impedance zavádíme také admitanci. Je to převrácená hodnota impedance a považujeme ji za zobecněnou vodivost Y = 1/Z; má rozměr vodivosti - Siemens (S). Impedance a admitance (souhrnně označované jako imitance – impedance + admitance) jsou základními parametry dvojpólů komplexně popisující jejich chování v HUS.

Domácí příprava 

Do tab. 2. vypočítejte pro každý z dvojpólů z hodnot jeho obvodových prvků teoretickou hodnotu modulu a fáze impedance Zteor. Při výpočtu teoretické hodnoty impedance se vychází z impedancí Z základních obvodových prvků R, L, C uvedených v tab. 1. Impedance se při sériovém řazení dvojpólů sčítají; při paralelním řazení dvojpólů se sčítají jejich admitance Y (Y = 1/Z). Pro sériové spojení induktoru a rezistoru platí: Z  R  j L ,

Z  R 2   L  ,   arctan 2

L R

()

(13)

(), (°)

(14)

()

(15)

(), (°)

(16)

Pro sériové spojení kapacitoru a rezistoru platí: Z  R

1 , j C

Z  R 2   C 



2

,   arctan

1  RC

Připravte si tabulku pro zakreslení časových průběhů i fázorů napětí a proudů pro všech pět měřených dvojpólů (R1, C2, L3+RL, L4+R4, C5+R5) podle vzoru v tab. 3.

Pracovní postup Podle zapojení na obr. 4 napájí generátor napětím UG sériovou kombinaci měřeného dvojpólu Z a snímacího rezistoru RS. Napětí na rezistoru je úměrné proudu měřeným dvojpólem IZ a je s ním ve fázi UA = RS·IZ. Ze schématu plyne vztah pro proud dvojpólem Z

8

1A

Impedance dvojpólu

IZ 


UG U  A. RS Z  RS

(A)

(17)

(A)

(18)

Pro hodnotu impedance měřeného dvojpólu platí Z

UB , IZ

hodnotu modulu a fáze impedance můžeme vypočítat z naměřených velikostí a fázových posuvů napětí UA a UB, přičemž vyjdeme z toho, že napětí UA má nulovou počáteční fázi: Z Z 

UB IZ



UB  RS , UA

arg Z  arg U B  .

()

(19)

(°)

(20)

obr. 4 Princip měření impedancí

9

1A

Impedance dvojpólu


obr. 5 Zapojení pracoviště RC 2000 pro měření impedancí a)

Zapojte pracoviště podle schématu obr. 5. Generátor připojte na svorky přípravku Gen A a Gen B. Analogový vstup A připojte ke snímacímu rezistoru RS (svorky +IN A a –IN A), k propojení použijte žlutou dvojlinku, pozor na polaritu vstupu značenou + a -. Analogový vstup B připojte modrou dvojlinkou ke svorkám měřených impedancí označeným +IN B a –IN B. Zapněte napájecí zdroj pracoviště.

b) Na přípravku generátoru Function generator stiskněte tlačítko Init, potom nastavte kmitočet 1 kHz (MODE Freq, pak tlačítky v bloku SHIFT) a amplitudu 1 V (MODE Ampl, pak tlačítky v bloku SHIFT). c)

Spusťte obslužný program RC2000. Z výběru programů zvolte Oscilloscope. Stiskem tlačítka Phasor zapněte zobrazování fázorů měřených napětí. Stiskem tlačítka Cursor v sekci Function zvolte zobrazování hodnot fázorů. Nastavte tyto parametry: rozsah zobrazení kanálu A: ±200 mV, rozsah zobrazení kanálu B: ±1 V (Gain pomocí tlačítek ), průměrování vypnuto (Average: off). Rozsah časové osy (Time pomocí tlačítek  ) nastavte tak, aby byly zobrazeny časové značky 0,5 a 1 ms.

d) Propojovací svorkou zapojte na přípravku první z měřených dvojpólů Z1. e)

Stiskem virtuálního tlačítka Single spusťte měření. Zobrazí se fázory naměřených napětí a odpovídající harmonické časové průběhy. Žlutá křivka odpovídá proudu dvojpólem (napětí na snímací odporu RS), modrá křivka je napětí na měřeném dvojpólu. Při uvedeném nastavení má žlutá křivka nulovou počáteční fázi.

f)

Do tab. 2 zapište amplitudy obou zobrazených křivek a fázový posun modré křivky - hodnoty se zobrazují v tabulce Cursor – Phasors. Do připravené tabulky (vzor tab. 3) si zakreslete průběh zobrazených křivek odpovídající časovému průběhu napětí a proudu a jim odpovídající fázory.

g) Propojovací svorkou zapojte na přípravku další z měřených impedancí. Postup podle bodů e) a f) opakujte i pro dvojpóly Z2 až Z5. Všímejte si souvislostí mezi časovými průběhy a fázory napětí a proudu. h) Měření ukončete (Exit).

10

1A

Impedance dvojpólu


Zpracování tab. 2 Impedance měřených dvojpólů

Měřeno

i)

UB

Vypočteno z měř. hodnot Z °  (19) (20)

Vypočteno z prvků Zteor °  (13) až (16)

UA mV

V

°

R1

92

0,91

0

989

0,0

1000

0,0

C2

129

0,99

270

767

-90,0

758

-90,0

L3 + RL

206

0,96

84,6

466

84,6

474

83,9

L4 + R4

144

0,88

34,8

611

34,8

608

34,7

C5 + R5

76

0,94

324

1237

-36,0

1234

-35,9

Poznámky RS = 100  UG = 1 V f = 1000 Hz R1 = 1 k C2 = 210 nF L3 = 75 mH RL = 50  L4 = 55 mH R4 = 500  C5 = 220 nF R5 = 1 k

Vypočtěte impedanci dvojpólů Z - modul (19) a fázi (20), fázi podle potřeby přepočítejte odečtením 360° tak, aby její hodnota byla v intervalu <-90°, 90°>.

Příklad výpočtu (pro L3+RL) Z Z 

UB IZ



UB 0,96  RS  100  466  UA 0, 206

arg Z  arg U B   84, 6 Z teor  j L3  RL  j2π103  75 103  50  474 83,9 

Seznam přístrojů  

Přípravek s impedancemi (R, C, L, RL, RC) Měřicí systém RC 2000 (funkční generátor, A&DDU jednotka, kabely, zdroj), PC

Závěr tab. 3 Vzor tabulky pro zobrazení napětí a proudů měřených dvojpólů

Dvojpól

Časový průběh

Fázorový diagram U a I

IR UR

11

1A

Impedance dvojpólu


IC -90

UL

UC

IL

84,6

UR 34,8

L

IRL

IRC -36

U

RC



Porovnejte hodnoty impedancí všech dvojpólů zjištěné měřením s hodnotami teoretickými, viz tab. 2.

Rozdíl hodnot je způsoben (seřazeno podle významnosti vlivu):  nepřesným měřením napětí UA a UB  tolerancí hodnot prvků impedancí (na přípravku jsou uvedeny zaokrouhlené hodnoty).  Porovnejte průběh zobrazených křivek odpovídající časovému průběhu napětí a proudu a odpovídající fázory z tab. 3 s teoretickými z tab. 1. U prvků R a C odpovídají experimentálně zjištěné fázorové diagramy ideálním prvkům. Naproti tomu u reálné cívky vlivem nenulového odporu vinutí (RL) není fázový posun +90 stupňů, ale je menší.

Stručné shrnutí Impedance vypočtené ze zadaných parametrů obvodu umožňují efektivní analýzu střídavých obvodů v HUS. Charakter impedance dvojpólu odráží bezprostředně jeho chování jak v časové oblasti (fázový posun napětí a proudu), tak i při změnách kmitočtu. Vlastní měření ukazuje i na rozdíl mezi vlastnostmi ideálních a reálných obvodových prvků, představuje způsob praktického vyšetření hodnot modulu a fázového posunu impedance libovolného neznámého dvojpólu. V úloze byla ukázána souvislost zobrazení hodnot napětí a proudů v časovém průběhu i fázorové rovině.

12

2A

Analýza obvodu v harmonickém ustáleném stavu


2A Analýza obvodu v harmonickém ustáleném stavu Cíl úlohy Na konkrétním zapojení střídavého obvodu ověřit prakticky měřením obvodových veličin platnost Kirchhoffových zákonů v obvodu v harmonickém ustáleném stavu. Aplikovat a procvičit užití metod smyčkových proudů a uzlových napětí při symbolické analýze uvedeného obvodu.

Úkol   

Při zadaném vstupním harmonickém napětí změřte hodnoty efektivních napětí i proudů prvky obvodu. Pomocí MSP i MUN vypočtěte fázory (moduly a fáze) jednotlivých napětí a proudů. Za pomoci vypočtených hodnot ověřte pro fázory napětí a proudů platnost Kirchhoffových zákonů.

Teoretický úvod Základní operace s harmonicky proměnnými veličinami v časové oblasti můžeme převést na podstatně jednodušší operace s fázory v komplexní rovině. Metoda analýzy, která využívá komplexory (rotující fázory) a fázory jako symboly zastupující skutečné fyzikální veličiny (okamžité hodnoty harmonického napětí a proudu), se nazývá symbolická analýza. Ta představuje vlastně určitý druh transformace (z kmitočtové oblasti do oblasti komplexní roviny). Symbolická analýza je použitelná pouze pro obvody v harmonickém ustáleném stavu (HUS) viz úloha 1A. Protože fázory zastupují jako symboly skutečné fyzikální veličiny lineárních obvodů, musí platit při operacích s nimi stejné zákonitosti a vztahy, se kterými jsme se již dříve při popisu lineárních obvodů setkali. Mezi fázory napětí a proudu platí zobecněný Ohmův zákon U  Z  I , nebo Ι  Y  U

(V), (A)

(21)

a při analýze obvodů můžeme vycházet i z obecné platnosti Kirchhoffových zákonů v symbolickém tvaru. Pro libovolný uzel obvodu můžeme psát pro fázory proudu I. K. z., pro libovolnou obvodovou smyčku pak II. K. z. v symbolickém tvaru: n

I i 1

i

 0,

n

U i 1

i

 0.

(A), (V)

(22), (23)

Pro příklad z obr. 6a platí I1 + I2 – I3 = 0. Podobně můžeme aplikovat II. K. z. pro fázory napětí v obvodové smyčce z příkladu na obr. 6b U1 + U2 – U3 = 0. Přes to, že fázory představují amplitudy a fáze, tj. ne okamžité hodnoty harmonicky proměnných veličin, přiřazujeme jim zde směr pomocí orientačních šipek napětí a proudu v duchu již dříve uvedených zásad.

obr. 6 a) K I. K. z.

b) Ke II. K. z.

V případě, že řešíme lineární obvody v HUS při jediném kmitočtu, mezi fázory potom platí také princip superpozice. Všechny metody řešení obvodů vycházející z jeho aplikace mohou být tedy využity i v symbolické podobě. Při analýze obvodů pomocí fázorů tak můžeme použít všech metod řešení lineárních rezistorových obvodů (metoda zjednodušování, úměrných veličin, náhradních zdrojů, Kirchhoffových rovnic, smyčkových proudů a uzlových napětí), se kterými jsme se seznámili v BEL1.

Metoda smyčkových proudů (MSP)

U složitějších obvodů místo metody Kirchhoffových rovnic raději používáme metody redukující počet obvodových rovnic. Jednou z nich je metoda smyčkových proudů, kterou můžeme použít při řešení obvodů v symbolickém tvaru. Postup při jejím použití ukážeme na řešení následujícího příkladu.

13

2A


Příklad k MSP Určete metodou smyčkových proudů výstupní napětí článku z obr. 7, který je napájen zdrojem harmonického napětí u(t) = Um·sin(t), jsou-li známé reaktance induktoru L = 10 , kapacitoru 1/C = 10 , odpory rezistorů R1 = R2 = 10  a efektivní hodnota napětí budicího zdroje je U = 10 V.


L

R1 U

Protože je zadána efektivní hodnota napětí, budeme používat fázory efektivních hodnot. Vstupní napětí má počáteční fázi  = 0 a fázor vstupního napětí je proto

U

IS1

C

IS2

R2

U2

obr. 7 K příkladu MSP

U  10  e j0  10 .

(V)

(24)

Zajímá nás fázor výstupního napětí U2. Ten vypočteme jako fázor napětí na rezistoru, to znamená U2  R  IS 2 .

(V)

(25)

V obvodě si zvolíme fázory smyčkových proudů IS1 a IS2 (obr. 7) a napíšeme maticovou rovnici Z·I = U: 1   R1  jC   1    j C 

  I  U    S1     1   IS 2   0  . R2  j L   j C  

1 j C

(V)

(26)

(V)

(27)

Po dosazení numerických hodnot má maticový zápis soustavy rovnic tvar 10  j10   j10

j10   I S 1  10       10   I S 2   0  .

Řešení soustavy je velmi snadné, zde například Cramerovým pravidlem. Determinant matice Z je 10  j10 j10  Δ   200  j100 10   j10

(2)

(28)

(·V)

(29)

(A)

(30)

(V)

(31)

a determinant matice Z2 vzniklé z matice Z náhradou 2. sloupce vektorem U je 10  j10 10  Δ2      j100  0  j10 Hledaný fázor proudu: I 2  I S2 

2  j100   0, 2  j0, 4  0, 4472  e  j1,1071   200  j100

Hledaný fázor výstupního napětí pak:

U 2  R2  IS2  U 2m  e j  10  0, 4472  e  j1,1071  4, 472  e  j1,1071 

14

2A



Okamžitá hodnota výstupního napětí je u2  t   U 2m  sin t     2  4, 472  sin t  1,1071   6,325  sin t  1,1071



(V)

(32)

Amplituda napětí je U2m = 6,325 V, fáze  = -1,1071 rad = -63,43°. Metoda uzlových napětí (MUN)

Nejčastěji používanou metodou analýzy obvodů, kterou můžeme využít také v symbolickém tvaru, je metoda uzlových napětí. Postup při použití metody při analýze obvodů v HUS ukážeme na řešení jednoduchého obvodu.

obr. 8 K příkladu MUN Příklad k MUN V obvodu uvedeném na obr. 8a) (hodnoty jsou stejné jako v příkladu k MSP) vypočítejte metodou uzlových napětí výstupní napětí příčkového článku. Protože obvod obsahuje zdroj napětí, přepočítáme jej nejprve na ekvivalentní zdroj proudu - obr. 8b). Za předpokladu, že obvodové parametry jsou stejné jako v obvodu z předchozího příkladu k MSP, je velikost fázoru proudu a vodivosti ekvivalentního zdroje proudu I

U 10   1, R1 10

(A)

(33)

1  0,1  R1

(S)

(34)

G1 

Pro zvolené uzly 1 a 2 - obr. 8b) - označíme fázory uzlových napětí U1 a U2. Použitím pravidel pro MUN sestavíme rovnici v maticovém tvaru Y  U  I : 1   G1  jC  j L   1   j L 

1  j L   U1   I       . 1   U2   0  G2   j L  

(A)

(35)

(A)

(36)

(S2)

(37)

Po dosazení numerických hodnot dostáváme j0,1   U1   1   0,1       .  j0,1 0,1  j0,1  U 2   0 

Rovnici (36) řešíme Cramerovým pravidlem j0,1   0,1 Δ   0, 02  j0, 01 ,  j0,1 0,1  j0,1

15

2A


 0,1 1  Δ2      j0,1 .  j0,1 0 


(S·A)

(38)

(V)

(39)

Hledaný fázor výstupního napětí je U2 

2  j0,1   2  j4  4, 472  e  j1,1071 .  0, 02  j0, 01

Okamžitou hodnotu výstupního napětí tedy můžeme opět vyjádřit v časové oblasti - (32).

Domácí příprava

obr. 9 Schéma měřeného obvodu 





Podle příkladu uvedeného v teoretickém úvodu sestavte pro obvod z obr. 9 maticovou rovnici MSP. Metodou smyčkových proudů vypočtěte fázory proudů větvemi obvodu a doplňte je do tab. 4. Následně pomocí Ohmova zákona určete i fázory napětí na jednotlivých prvcích a zapište do tab. 5. Podle příkladu uvedeného v teoretickém úvodu MUN sestavte výpočtové schéma měřeného obvodu s náhradou napěťového zdroje zdrojem proudovým. Metodou uzlových napětí vypočtěte fázory uzlových napětí. Z nich následně spočtěte fázory napětí (do tab. 4) a proudů (do tab. 5) prvků obvodu. Pro výpočet komplexních maticových rovnic můžete využít program KLinRov (dostupný i na stránkách předmětu). Ve vypracování uveďte maticové rovnice MSP i MUN pro měřený obvod v obecném i číselném tvaru. Z vypočtených hodnot fázorů napětí a proudů v obvodu podle obr. 9 ověřte platnost Kirchhoffových zákonů (22), (23) pro uzel a obě smyčky obvodu. Pozor – proudy i napětí v obvodu při symbolické analýze je třeba chápat jako komplexní čísla.

Pracovní postup Experimentální ověření platnosti obou metod provedeme na zapojení obvodu podle obr. 9. a)

K měřicímu přípravku připojte tři ampérmetry.

b) Na generátoru stiskněte tlačítko Init, potom nastavte kmitočet 200 Hz (MODE Freq, pak tlačítky v bloku SHIFT) a amplitudu 10 V (MODE Ampl, pak tlačítky v bloku SHIFT). Generátor dodáva nyní harmonické napětí o efektivní hodnotě 10/2 = 7,07 V (odpovídá maximální hodnotě 10 V) s kmitočtem 200 Hz. c)

Zapište proudy indikované ampérmetry do tab. 4.

d) Pomocí voltmetru změřte všechna napětí v obvodu a zapište je do tab. 5. Při přepojování voltmetru není třeba vypínat generátor či odpojovat od něj obvod.

16

2A



Zpracování tab. 4 Efektivní hodnoty proudů v obvodu

I1

I2

mA

°

mA

I3 °

Poznámky

mA

1,87

°

Měřeno

3,45

2,88

MSP

3,42

40,7

1,89

-15,7

2,85

74,3

(MUN)

3,42

40,7

1,89

-15,7

2,85

74,3

I

0,03

-0,02

0,029

max   I  = 0,03 mA

 I (1)

0,88

-1,1

-0,53

max   I  = 1,1 %

U = 10/2 = 7,071 V f = 200 Hz R1 = 1,2 k C1 = 1 F R2 = 1,2 k C2 = 1 F

tab. 5 Efektivní hodnoty napětí v obvodu

UR1 V

UC1 °

V

UR2 °

°

2,252

V

°

Měřeno

4,11

MUN

4,105

40,7

2,722

-49,3

2,269

-15,7

2,269

-15,7

(MSP)

4,105

40,7

2,722

-49,3

2,269

-15,7

2,269

-15,7

U

0,005

-0,027

-0,016

-0,012

max   U  = 0,027 V

U (1) 0,12

-0,99

-0,71

-0,53

max   U  = 1 %

e)

2,695

V

UC2

2,256

Stanovte maximální absolutní a relativní odchylku naměřených a vypočtených hodnot.

Výpočet MSP

1 1   R1  jC  jC 1 2   1   j C 2 

1  jC2   I S1   U       1   I S2   0  R2  jC2  

17

2A



-3 j795,8   3, 421 10 40, 72   7, 071 1200  j1591,5     -3 j795,8 1200  j795,8    0  1,891  10  15, 73     

I1  I S 1 , I 2  I S 2 , I 3  I S 1  I S 2 , U R1  R1I1 , U R2  R2 I 2 , U C1 

I I1 , U C2  3 jC1 j  C2

Výpočet MUN

I R1 I

U’ R2

C2

C1

1 1 U     j C2   U   I  ,  1 1 R 2 R1   R1   jC1 jC1  





2,1645 103 49, 28  2, 2688 15, 73  4,9109 103 33,55 ,

U R2  U C2  U, I 2 

U R2 , I 3  U C2 jC2 R2

I I1  I 2  I 3 , U C1  1 , U R1  R1I1 jC1

.

Seznam přístrojů    

Přípravek s Wienovým článkem RC-CR Funkční generátor RC 2000 4× digitální multimetr UT60A (3× mA-metr, 1× V-metr) počítač s programem KLinRov

Závěr  Vyjádřete se o platnosti Kirchoffových zákonů v obvodech v harmonickém ustáleném stavu. K.z. je třeba počítat z fázorů (respektují fázové posuvy):

1. K. z.:  I1  I 2  I 3  3, 4240, 7  1,89  15, 7  2,85174,3  0 2. K. z.:

U R1  U C1  U C2  U  4,10540, 7  2, 722  49,3  2, 269  15, 73  7, 0710  0

18

2A



Je vidět, že K.z. platí i pro HUS.  Vyjádřete se o přesnosti provedených měření vzhledem k maximální velikosti relativní chyby. Rozdíl hodnot je způsoben (seřazeno podle významnosti vlivu):  tolerancí hodnot prvků obvodu,  nepřesností změřených hodnot danou chybou měřicích přístrojů (třída přesnosti),  vliv vnitřního odporu ampérmetrů (ten je ale velmi malý vzhledem k hodnotám impedancí obvodu, příliš se neprojeví).

Stručné shrnutí Pro analýzu střídavých obvodů v HUS se využívá s výhodou symbolická metoda. Využití impedancí a fázorů, interpretovaných komplexními čísly a operacemi v oboru komplexních čísel, představuje velmi efektivní nástroj pro analýzu obvodů v HUS. Jejich pomocí lze plně využít univerzální metody řešení obvodů jako jsou metody smyčkových proudů a uzlových napětí. Úloha ukazuje možnosti aplikace uvedených metod na analýze konkrétního obvodu, zdůrazňuje důležitost fázorů při praktických součtech střídavých napětí a proudů a ukazuje rozdíl mezi analýzou stejnosměrného a harmonického ustáleného stavu.

19

3A

Výkon v jednofázovém obvodu


3A Výkon v jednofázovém obvodu Cíl úlohy Praktickým měřením ověřit poznatky o výpočtu jednotlivých složek výkonu harmonického střídavého proudu a jejich závislosti na parametrech zátěže.

Úkol   

Při zadaném napětí určete proud a činný výkon zadaných zátěží složených z prvků R, L a C. Z naměřených hodnot vypočtěte zdánlivý výkon a účiník. Ze zapsaných hodnot prvků zátěží vypočtěte impedanci (modul a fázi), zdánlivý, činný a jalový výkon.

Teoretický úvod Připojíme-li obecnou impedanci Z = Z·ej ke střídavému harmonickému napětí UZ, protéká jí proud IZ IZ 

UZ U  e j U  I Z  e j I  Z j . Z Z e

(A)

(40)

Komplexní výkon na této zátěži je podle [1] roven součinu fázorů napětí a komplexně sdruženého fázoru proudu S  U Z  I*Z  U Z  I Z  e 

j  U  I 

 S  e j .

(VA)

(41)

S  S   cos   jsin    P  jQ ,

(VA)

(42)

kde je S ............................ zdánlivý výkon, P............................ činný výkon, Q ........................... jalový výkon.

(VA) (W) (VAr)

Výraz (41) můžeme pomocí Eulerova vztahu upravit na

Pro měření výkonu střídavého proudu na obecné impedanci použijeme zapojení podle obr. 10. Protože použité měřicí přístroje mají vlastní spotřebu, vzniká soustavná chyba měření (více o ní bude pojednáno v předmětu Měření v elektrotechnice).

obr. 10 Zapojení pro měření výkonu střídavého proudu Pomocí wattmetru zjistíme činný výkon P, připojený voltmetr a ampérmetr dovolí určit zdánlivý výkon S a následně výpočtem i jalový výkon Q. S  UZ  IZ ,

(VA)

(43)

Q  S 2  P2 .

(VAr)

(44)

20

3A



S použitím výše uvedených vztahů můžeme určit také účiník cos  

P . S

(-)

(45)

Wattmetr v zapojení na obr. 10 udává činný výkon P’ spotřebovaný zátěží zvětšený o vlastní spotřebu voltmetru a napěťové cívky wattmetru. Ampérmetr zase udává proud zátěží zvětšený o proud voltmetrem a napěťovou cívkou wattmetru. K odstranění této chyby potřebujeme znát vnitřní odpory zmíněných měřicích přístrojů.


Z hodnot obvodových prvků R1, R2, L, RL, C vypočítejte pro každou zátěž uvedenou v tab. 6 hodnotu impedance Z (postup viz úloha 1A, případně literatura [1]), fázor proudu IZ (40) a teoretickou hodnotu zdánlivého (43), činného (46) a jalového (47) výkonu a účiník cos . Pozor, cívka má nezanedbatelné ztráty, proto je potřeba namísto ideální L uvažovat při výpočtech sériovou kombinaci L + RL. P  U Z  I Z  cos   S  cos  ,

(W)

(46)

Q  U Z  I Z  sin   S  sin  ,

(VAr)

(47)

Pracovní postup Schéma zapojení pro měření výkonu harmonického proudu je na obr. 10. Zapojujte nejprve proudový obvod (vyznačen tučně), potom obvod napěťový. Obvody rozlište barvou vodičů, pro větší přehlednost zapojení slouží propojovací můstek. Pozor – při zapojování wattmetru je třeba dodržet správnou polaritu napěťové a proudové cívky. Začátky cívek jsou označeny na svorkách wattmetru (např. šipkou  - viz obr. 11) a musí být připojeny v souladu s označením ve schématu. U Napěťové svorky

Proudové svorky I

W Přepínače rozsahů U a I

120

1

obr. 11 Značka a rozmístění svorek wattmetru Výchylka wattmetru je úměrná činnému výkonu P = U·I·cos a nelze tedy podle výchylky volit správný rozsah U a I. Proto se k wattmetru vždy připojují kontrolní přístroje (voltmetr a ampérmetr) a rozsahy U a I na wattmetru se volí podle jejich údajů. Velikost činného výkonu měřeného wattmetrem se určí z výchylky  a konstanty kw wattmetru P    kW ,

(W)

(48)

21

3A


kW 

Uw  IW

m


,

(W/dílek)

kde je kW .......................... konstanta wattmetru, UW ......................... rozsah napěťové cívky wattmetru, IW .......................... rozsah proudové cívky wattmetru, m.......................... počet dílků na stupnici wattmetru. a)

(49)

(W/dílek) (V) (A) (dílek)

Zapojte obvod podle obr. 10. Zvolte rozsah V-metru 60 V, A-metru 1 A, u W-metru odpovídající rozsahy 60 V/1 A. Do tab. 7 zapište konstantu wattmetru podle (49) i voltmetru (konstanty se nekrátí a uvádí se ve tvaru zlomků). Připojte první ze zátěží. Zapojení nechte zkontrolovat vyučujícím.

b) Po kontrole připojte zdroj a pro ověření správného zapojení na něm nastavte napětí 1 V. Po zapnutí výstupu (tlačítkem OUT) by se neměli výchylky přístrojů prakticky změnit. Pokud je vše v pořádku, nastavte napětí zdroje U = 60 V. c)

Zapište si naměřené hodnoty proudu zdroje I, napětí zátěže UZ a činného výkonu P’ do tab. 7.

d) Nastavte výstupní napětí zdroje na 0 V a výstup zdroje odpojte (tlačítko OUT). Opakujte postup od bodu b) pro další zátěže. Přepojování provádějte vždy na obvodu bez napětí. Pozor na záměnu odporů R1, R2! e)

Do tab. 7 si zapište hodnoty vnitřních odporů V-metru (RV) a napěťové cívky W-metru (RWU).

Zpracování tab. 6 Teoretické hodnoty výkonu střídavého obvodu

Z Z ( ) 

IZ

 (°)

I (°)

IZ (A)

viz úloha 1A

(40)

S

P

Q

VA

W

VAr

cos -

(43)

(46)

(47)

-

Zátěž

150,0

0

0,400

0

24,00

24,00

0

1,0

1

R1

60,37

81,4

0,994

-81,4

59,64

8,89

58,97

0,149

2

L

90,95

-90,0

0,66

-90,0

39,58

0

-39,58

0

3

78,51

49,49

0,764

-49,49

45,85

29,79

34,86

0,65

4

119,4

-9,01

0,5026

9,01

30,16

29,79

-4,72

0,988

5

100,2

-65,22

0,5989

65,22

35,94

15,07

-32,63

0,419

6

77,77

-58,77

0,772

58,77

46,29

24,0

-39,58

0,519

7

C

L L

R2 C

C

R2

R2

R1

C

Poznámka: UZ = 60 V , R1 = 150 , R2 = 42 , L = 190 mH, RL = 9 , C = 35 F Příklad výpočtu (pro zátěž 2)

Z  j L  RL  j100  π  0,19  9  60,37 81, 4  ,

IZ 

UZ 60  0,994 81, 4 A = Z 60,37 81, 4

22

3A



S  U Z  I*Z =60  0,994 81, 4  59, 64 81, 4   8,89  j58,97  VA , cos  

P 8,89   0,149 S 59, 64

tab. 7 Naměřené hodnoty výkonu střídavého obvodu

UZ



I V

kV

114,0

60 120

57

P’

IZ

S

P

|Q|

cos

A



kW

W

A

VA

W

VAr

-

-

-

(49)

(48)

(50)

(43)

(51)

(44)

(45)

60 1 120

24,5 0,386 22,0

22,9

0*

1,0*

0,415 49,0

Zátěž

1

115,0

57,5

0,90

20,0

10,0 0,871 50,1

8,34

49,4 0,166 2

118,5

59,25 0,65

5,0

2,50 0,620 36,8

0,73

36,8 0,020 3

113,0

56,5

0,72

53,5

26,75 0,667 37,7

25,1

28,0 0,668 4

114,0

57

0,49

55,0

27,5 0,456 26,0

25,9

2,74 0,994 5

116,0

58

0,595 33,0

16,5 0,541 31,4

14,8

27,7 0,472 6

57,5 0,775 50,0

25,0 0,726 41,8

23,3

34,7 0,559 7

115,0

R1

L C

L L

R2 C

C

R2

R2

R1

C

Poznámka: RV = 300 k, RWU = 2000  * Upraveno, protože vlivem nejistoty měřicích přístrojů je zde P>S a tomu odpovídá cos > 1 a komplexní Q, což není možné. f)

V tab. 7 dopočítejte proud zátěží (opravený o proud voltmetru a napěťové cívky wattmetru) IZ  I 

 1 UZ UZ 1   I UZ   RV RWU R R WU  V

 , 

(A)

(50)

(W)

(51)

opravený činný výkon (údaj wattmetru zmenšený o vlastní spotřebu přístrojů)  1 1 P  P   PWU  PV  P  U Z2   R R WU  V

 , 

dále zdánlivý výkon S, jalový výkon Q a účiník cos . Příklad výpočtu (pro zátěž 2) P 

60 1 20  10 W 120

 1 1 IZ  I UZ   R R WU  V

 1   1    0,90  57,5    0,871 A 5 3  10 2  103   

1   1  S  U  I Z  57,5  0,871  50,1 VA , P  10, 0  57,52   8,34 W 5 3   3 10 2 10  Q  S 2  P 2  50,12  8,342  49, 4 VAr , cos  

P 8,34   0,166 S 50,1

23

3A



Seznam přístrojů      

Prvky R1, R2, L, C Propojovací můstek Zdroj střídavý stabilizovaný 0-255 V / 50 Hz Diametral Analogový V-metr střídavý Analogový A-metr střídavý Analogový W-metr

Závěr 

Porovnejte naměřené a vypočtené hodnoty činného a zdánlivého výkonu u všech zátěží, porovnejte ztráty (činný výkon) v technické cívce a technickém kondenzátoru navzájem a vůči ideálním prvkům.

Rozdíl hodnot je způsoben (seřazeno podle významnosti vlivu):  tolerancí hodnot prvků obvodu,  nepřesností změřených hodnot danou chybou měřicích přístrojů,  harmonickým zkreslením napájecího napětí (napětí sítě není čistě harmonického průběhu). Z porovnání činného výkonu na impedancích 2 a 3 je patrné, že ztráty na technickém kondenzátoru jsou výrazně nižší než na technické cívce. 

Pro kompenzaci účiníku (zvýšení hodnoty cos  co nejblíže k 1) induktivních zátěží, jako např. zářivkových svítidel nebo motorů, se používá zapojení 5 uvedené v tabulkách. Zhodnoťte efekt kompenzace účiníku induktivní zátěže – porovnejte jalové výkony a cos  u zapojení 4 a 5 v tab. 7.

Při zvolených hodnotách prvků dochází u zátěže č. 5 k téměř úplné kompenzaci jalového výkonu ( Q  0 , cos   1 ) oproti zátěži 4.

Stručné shrnutí Symbolickou metodu analýzy (využití fázorů a impedancí interpretovaných pomocí komplexních čísel) využíváme s výhodou i při určení výkonu v obvodech harmonického proudu. Modul komplexního výkonu (41) odpovídá zdánlivému výkonu, jeho reálná část je činný výkon a imaginární část je výkon jalový, viz (42). Poměr činného a zdánlivého výkonu (45) se nazývá účiník. Tato úloha ukazuje způsob měření výkonu a určení účiníku, objasňuje jejich závislost na charakteru impedance zátěže a naznačuje možnost kompenzace jalového výkonu.

24

4A

Fázorové diagramy


4A Fázorové diagramy Cíl úlohy Procvičit výpočty modulů a argumentů impedancí různých dvojpólů. Ukázat způsob měření hodnoty impedance neznámého dvojpólu. Ukázat způsob sestrojení a využití fázorových diagramů pro objasnění chování obvodu v harmonickém ustáleném stavu (HUS).

Úkol  

Změřte napětí a proudy všech prvků zadaných dvojpólů. Z naměřených hodnot sestrojte příslušné fázorové diagramy. Z naměřených hodnot určete modul i fázi impedance pro každý z dvojpólů a srovnejte ji s teoretickým výpočtem. Určete výsledný charakter impedance jednotlivých dvojpólů.

Teoretický úvod Fázorové diagramy jsou praktickou a názornou pomůckou pro řešení střídavých obvodů. Používají se při grafickém řešení obvodů, mohou sloužit ke kontrole a názorné interpretaci číselného výpočtu, k rychlému určení výsledného charakteru obvodu apod. Fázorové diagramy jsou grafickým zobrazením symbolů vyjadřujících amplitudy a fáze harmonických napětí a proudů v ustáleném stavu obvodu v komplexní rovině. V této úloze budete proměřovat obvody s reálnými, nikoliv ideálními prvky. Při nepříliš vysokém kmitočtu se vlastnosti reálného odporu blíží vlastnostem ideálního rezistoru - proud rezistorem je ve fázi s napětím, R = 0

IC -90 IR

UC

UR

UL

(fázorový diagram rezistoru

< 90

IL

obr. 12a), rovněž vlastnosti reálného kondenzátoru se blíží vlastnostem ideálního kapacitoru - napětí se zpožďuje

IC -90 IR

UC

UL

za proudem o C  -90 (fázorový diagram kapacitoru

UR

< 90

IL

25

4A

Fázorové diagramy


obr. 12b). Naproti tomu reálná cívka se od ideálního induktoru významně liší. Činný odpor jejího vinutí není zanedbatelný, proto se proud cívkou zpožďuje o úhel L <90 (fázorový diagram reálné cívky UL

IC -90 IR

UC

UR

IL

< 90

obr. 12c).

UL

IC -90 IR

UC

UR

obr. 12

a) Fázorový diagram R

IL

< 90

b) Fázorový diagram C

c) Fázorový diagram reálné cívky

Fázorové diagramy obvodů lze sestrojit z naměřených hodnot napětí a proudů. Přitom je nutné si uvědomit, že ampérmetry a voltmetry měří efektivní hodnoty proudů a napětí (tedy moduly fázorů), ale neměří jejich fázi. Při konstrukci fázorového diagramu z naměřených veličin je třeba respektovat vzájemné fázové posuvy proudů

IC -90 IR

UC

UR

UL

a napětí na jednotlivých prvcích obvodu - viz

< 90

IL

obr. 12a) až c ). Fázorové diagramy lze nejlépe kreslit na milimetrový papír. Dále budete potřebovat pravítko, kružítko a úhloměr. Začněte volbou vhodného měřítka napětí a proudu.

U UL

IC



I

U I IR

obr. 13

a) Příklad obvodu

UR=UC

b) jeho fázorový diagram

26

4A

Fázorové diagramy


Příklad Jako příklad uvedeme konstrukci fázorového diagramu pro dvojpól složený z R, L a C, obr. 13a. Při konstrukci vyjdeme z napětí UR = UC na paralelní kombinaci odporu a kondenzátoru a jeho fázor zakreslíme do komplexní roviny - obr. 13b. Fázor proudu IR je s tímto napětím ve fázi, fázor proudu IC jej předbíhá o úhel UL

IC -90 IR

UC

UR

blížící se 90 - viz

IL

< 90

obr. 12b. Podle I. K. z. musí platit I = IR + IC, sestrojíme tedy trojúhelník vektorů buď pomocí kružítka, nebo jednoduše zakreslíme pravoúhlý trojúhelník (předpokládáme C  90°). O napětí na technické cívce UL víme, že předbíhá proud IL = I o úhel L <90. Ze schématu na obr. 13a vyplývá, že podle II. K. z. musí platit U = UL + UR. Proto z naměřených hodnot U, UL, UR sestrojíme pomocí kružítka trojúhelník fázorů napětí. Ze dvou možných grafických konstrukcí trojúhelníka vybereme tu, kde fázor UL předbíhá fázor proudu I (je od něj proti směru hodinových ručiček), neboť jde i induktivní impedanci. Jak je vidět na obr. 13b, fázor výsledného napětí U předbíhá fázor výsledného proudu I o kladný úhel  ( = (U-I) > 0); uvedený příklad dvojpólu má tedy induktivní charakter.


Z hodnot obvodových prvků vypočtěte metodou postupného zjednodušování hodnoty komplexních impedancí všech dvojpólů (úloha č. 1A v těchto skriptech nebo literatura [1]). U cívky uvažujte i odpor vinutí RL zakreslený ve schématech na obr. 14. Vypočtené impedance (modul a fázi) zapište do tab. 9 (Zteor).

L

UL C

RL R R

UC UR

IR R

IL L

IR R

IC C

RL

IR

UL L

R UR,UC

RL

IC

C

UR obr. 14 Zapojení měřených dvojpólů; cívka je zakreslena včetně parazitního odporu vinutí RL

Pracovní postup

obr. 15 Zapojení úlohy a)

Zapojte obvod podle schématu na obr. 15, pro přehlednost a snadnou manipulaci se zátěží slouží propojovací můstek. Z prvků sestavte první z dvojpólů podle obr. 14 a připojte jej ke svorkám můstku. Do obvodu dvojpólu zařaďte potřebný počet voltmetrů a ampérmetrů tak, abyste změřili napětí a proudy všemi jeho prvky. Pro tuto úlohu můžeme zanedbat spotřebu voltmetru a proto platí IZ  I.

27

4A

Fázorové diagramy


b) Nastavte rozsahy všech V-metrů na 120 V a A-metrů na 1 A. Zapojení nechte zkontrolovat vyučujícím. c)

Po kontrole připojte zdroj a pro ověření správného zapojení na něm nastavte napětí 1 V. Po zapnutí výstupu (tlačítko OUT) by se neměli výchylky přístrojů prakticky změnit.

d) Pokud je vše v pořádku, nastavte napětí zdroje U = 50 V. Podle výchylky jednotlivých měřidel rozhodněte o správnosti zvoleného rozsahu a podle potřeby změňte rozsahy V-metrů. Pokud bude potřeba změnit rozsah některého z A-metrů, tedy jen v bezproudovém stavu - nejprve vypnout výstup zdroje (OUT) a teprve poté přepnout rozsah A-metru. Změřte hodnoty napětí a proudů prvků dvojpólu a dále proud a napětí zdroje a zapište je do tab. 8. e)

Nastavte výstupní napětí zdroje na 0 V a výstup zdroje odpojte (OUT). Postup od bodu b) opakujte pro ostatní dvojpóly z obr. 14.

Zpracování tab. 8 Naměřené hodnoty napětí a proudů prvků dvojpólů

Napětí Sériové Paralelní



kV

R-L

102

60 120

R-C



V

kV

119

104

52,0

79

R-L

100

50,0

R-C

98

49,0

98

49,0

Proudy

Paralelní

UR 51,0

R-L-C

Sériové

UZ

106,5

24 120

IZ

V 23,8

kA

A

R-L

0,25

1 1

0,25

R-C

0,42

0,42

R-L

0,66

R-C

UC



kV

V

79

60 120

39,5

39,5

21,3

120 120

61

IR



R-L-C

24 120 60 120

UL

61,0



kV

V

56

60 120

28,0

106,5

24 120

21,3

IL

IC



kA

A



kA

A



kA

A

0,66

0,51

1 1

0,51

0,32

1 1

0,32

0,93

0,93

0,50

0,50

0,76

0,76

0,14

0,33

1 1 1 1

0,40

0,40

0,14

0,33

tab. 9 Impedance měřených dvojpólů

Zteor Z  °  (viz úloha č. 1A) Sériové Paralelní R-L-C

Odchylka

Z Z  (52)

 % (1)

Charakter dvojpólu (kapacitní, induktivní)

z fázorového diagramu

Z % (1)

 °

R-L

192,7

51,5

204,0

48,5

5,9

-5,7

ind.

R-C

122,5

-35,3

123,8

-32,1

1,1

-9,0

kap.

R-L

78,93

31,0

75,76

28,2

-4,0

-8,9

ind.

R-C

57,75

-54,7

52,69

-54,7

-8,8

0,0

kap.

116,6

62,8

122,5

63,7

5,1

1,4

ind. 28

4A

Fázorové diagramy


Poznámka: R = 100  , L = 480 mH , RL = 20  , C = 45 F. f)

Z hodnot v tab. 8 sestrojte pro každý měřený dvojpól fázorový diagram. V diagramu musí být uvedeno délkové měřítko pro fázory napětí i proudu!

g) Z naměřených hodnot určete podle (52) hodnotu modulu impedance Z každého dvojpólu; argument (fázový posuv)  této impedance zjistěte graficky (úhloměrem) z příslušného fázorového diagramu - lze použít i kosinové věty. Modul i fázový posuv zapište do tab. 9. Při určování impedancí pozor na znaménko fáze! Z

U I



UZ IZ

()

(52)

h) Pro všechny dvojpóly spočtěte odchylky naměřené a vypočtené impedance. Příklad výpočtu (pro zátěž RL sériově) Z teor  j L  RL  j100  π  0, 48  20  192, 7 51,5 

Z

U Z 51, 0   204  I Z 0, 25

Fáze se určí buď graficky z fázorového diagramu, nebo lze podle kosinové věty  U Z2  U R2  U L2  2U ZU R

  arccos 

  51, 02  23,82  39,52 arccos    2  51, 0  23,8  

   48,5 

Fázorové diagramy, úhly ve stupních. Měřítko: 1 cm = 10 V, 1 cm = 0,1 A

29

4A

Fázorové diagramy

-32 UC

UR

I

28,2

U

49 I UR

IR

U

IL

U

UL

UR


I

RC sériové

RL paralelní

RL sériové

U

IC

U

IC

L

U

I

L

I

UR=UC

64

IR

UR=UC RLC

-55 IR U RC paralelní

Seznam přístrojů     

Prvky R, L, C Propojovací můstek Zdroj střídavý stabilizovaný 0-255 V / 50 Hz Diametral 3× analogový V-metr střídavý 3× analogový A-metr střídavý

Závěr  

Srovnejte naměřené a vypočtené hodnoty impedancí dvojpólů v tab. 9 a stanovte jejich výsledný charakter. Zdůvodněte možné rozdíly vypočtených a naměřených hodnot.

Rozdíl v naměřených a vypočtených hodnotách impedance může být způsoben:  tolerancí hodnot prvků obvodu,  chybou měření danou nejistotou měřicích přístrojů,  nepřesným zjišťováním fázových posuvů z fázorových diagramů. Výsledný charakter byl stanoven podle znaménka fáze impedance dvojpólu (+ = induktivní, - = kapacitní) a je uveden v tab. 9.

30

4A

Fázorové diagramy


Stručné shrnutí Postupné skládání dílčích fázorových diagramů základních obvodových prvků umožňuje sestavit fázorový diagram složitějšího obvodu. Jeho pomocí lze často jednoduše a názorně analyzovat výsledné vlastnosti složitého střídavého obvodu a postihnout jeho chování při změně některých obvodových veličin. Uvedená úloha ukazuje možný způsob vyšetřování impedancí různých dvojpólů, upozorňuje na rozdíly mezi ideálními a reálnými vlastnostmi obvodových prvků (zejména technických cívek) a ukazuje možnosti využití fázorových diagramů v analýze obvodů v HUS.

31

5A

Sériový rezonanční obvod


5A Sériový rezonanční obvod Cíl úlohy Praktickým měřením ověřit základní parametry reálného sériového rezonančního obvodu (SRO) - činitel jakosti Q, rezonanční kmitočet fr a šířku pásma B. Ukázat selektivní vlastnosti SRO změřením jeho kmitočtových závislostí a porovnat naměřené hodnoty parametrů obvodu s hodnotami určenými výpočtem z parametrů jednotlivých prvků rezonančního obvodu.

Úkol   

Změřte a zobrazte kmitočtovou závislost modulu napětí na kondenzátoru UC(f) v SRO. Určete rezonanční kmitočet fr, činitel jakosti Q a šířku pásma B pro různé hodnoty odporu R. Naměřené hodnoty ověřte teoretickými výpočty. Vypočtěte a zobrazte hodnoty modulu i argumentu impedance SRO pro příslušné kmitočty.

Teoretický úvod Rezonanční obvody RLC se v převážné míře používají v harmonických oscilátorech, k výběru nebo naopak k potlačení signálu určitého kmitočtu ve spektru (laděné obvody, filtry apod.). Rezonanční obvod je tvořen minimálně dvěma setrvačnými prvky L a C. Využívá jevu rezonance, při kterém dochází k procesu periodické výměny energie mezi elektrickým polem kondenzátoru a magnetickým polem cívky. Sériový rezonanční obvod je na obr. 16. Impedance sériového obvodu RLC je

2

1 1   Z    R  j L   Z  e j  R 2    L  e jC C  

1    L  C  jarctan  R         



(53)

.

Z

Je-li imaginární část kladná (   0 ), pak má dvojpól indukční charakter. Při záporné imaginární části (   0 ) má dvojpól kapacitní charakter. Zvláštní případ nastane při  L  1  C . Imaginární složka je nulová (   0 ),obvodu má čistě odporový charakter a nejmenší možnou velikost Z = R, viz např. lit. [1]. Tento stav SRO se nazývá rezonance. Z podmínky

r L 

1 0 r C

I

R

L

U

UR

UL

C

UC

obr. 16 Sériový rezonanční obvod

()

(54)

(Hz)

(55)

plyne Thomsonův vzorec pro rezonanční kmitočet fr 

1 2π LC

.

Při rezonanci jsou napětí na induktoru a kapacitoru stejně veliká a v protifázi. Celkové napětí na obvodu je proto rovno pouze napětí na rezistoru a je ve fázi s proudem U  UR  R  I .

(V)

(56)

32

5A



Napětí na induktoru a kapacitoru při rezonanci je U C  U L  j r L  I 

j r L  U  jQU R

(57)

(V)

a může být podstatně větší (a to Q-krát) než je celkové napětí na SRO. Číslo Q je tzv. činitel kvality SRO Q

r L R



1 . r RC

(-)

Praktická hodnota činitele kvality bývá v rozsahu 10 až 200 a závisí především na činném odporu cívky; ztráty v kondenzátoru lze většinou zanedbat. Když při konstantním napětí na SRO vyneseme závislost proudu na kmitočtu I(f), dostaneme tzv. rezonanční křivku (obr. 17). Z ní můžeme odečíst šířku propustného pásma, která je dána rozdílem mezních kmitočtů f1m a f2m, daných poklesem proudu na hodnotu I r 2 , v logaritmické míře značeno jako -3 dB a platí B  f 2m  f1m .

(Hz)

Q

fr . B

(Hz)

I

Ir Ir 2 B

(59)

Mezi šířkou pásma a činitelem jakosti existuje vztah

(58)

f1m fr

f2m

f

obr. 17 Rezonanční křivka SRO (60)

Šířka přenosového pásma B charakterizuje selektivní vlastnosti SRO. Při mezních kmitočtech f1 a f2 nabývá argument impedance obvodu hodnot 45°. Jak plyne ze vztahu (60), je rezonanční křivka tím užší, čím vyšší je činitel jakosti obvodu. Obdobně lze sestrojit rezonanční křivku pro napětí UL(f) nebo UC(f), tyto křivky mají v okolí rezonančního kmitočtu tvar prakticky shodný s rezonanční křivkou proudu I(f), obr. 17.


Do tab. 10 doplňte hodnoty modulu Z a argumentu  celkové impedance SRO (obr. 16) vypočtené podle vztahu (53) pro všechny uvedené kmitočty a pro obě hodnoty R.

 

Vytvořte grafy Z = f(f) a  = f(f); v každém grafu dvě křivky (pro R = RA a R = RB). Do tab. 11 doplňte teoretické hodnoty rezonančního kmitočtu fr (55), činitele jakosti Q (61) a z těchto hodnot určete i teoretickou šířku pásma B s použitím (60). Q

L/C R

(-)

(61)

Pracovní postup a)

Zapojte obvod podle schématu na obr. 18. Jako R zvolte přepínačem RA. Na obou voltmetrech zvolte režim měření střídavého napětí – ACV.

b) Na generátoru zvolte harmonické napětí s prvním z daných kmitočtů a výstupní napětí generátoru G nastavte tak, aby napětí UG indikované voltmetrem V1 mělo hodnotu 100 mV. Napětí UG udržujte nastavováním amplitudy generátoru pro každý kmitočet konstantní. c)

Voltmetrem V2 změřte efektivní hodnotu napětí na kondenzátoru UC. Hodnotu zapište do tab. 10.

d) Na generátoru nastavte další z řady kmitočtů a změnou amplitudy generovaného napětí upravte požadovanou hodnotu UG (voltmetr V1 musí indikovat 100 mV). e)

Měření podle bodů b) až d) opakujte pro R = RB.

33

5A



obr. 18 Zapojení pro měření SRO

Zpracování tab. 10 Závislost Uc a impedance SRO na kmitočtu

RA

RB

f

kHz

-

30

38

40

42

43

44

44,5

45

UC

mV

-

178,1

340,9

462,0

731,7

1034,5

1676,6

2201,3

2531,0

Z



743

309

218

134

94,5

58,8

44,4

35,8



°

-87,3

-83,5

-80,8

-74,9

-68,3

-53,5

-38,0

-12,4

UC

mV

177,7

335,9

447,6

670,6

872,1

1146,7

1263,9

1303,9

Z



745

314

226

146

111

82,8

73,3

68,4



°

-84,8

-77,5

-72,5

-62,3

-52,2

-34,8

-21,9

-6,5

(53) (53)

pokračování tabulky

RA

RB

f

kHz

-

45,5

46

47

48

49

50

52

60

UC

mV

-

2190,7

1651,0

993,2

684,8

516,6

411,8

289,2

124,2

Z



36,9

46,8

77,3

112

147

182

250

507



°

18,6

41,5

63,1

71,7

76,2

78,9

82,0

86,0

UC

mV

1235,8

1100,1

816,5

614,6

482,5

392,5

281,9

123,3

Z



69,0

74,7

96,8

126

158

191

257

510



°

9,8

24,5

45,4

57,3

64,5

69,1

74,7

82,3

(53) (53)

Poznámka: UG = 100 mV, RA = 35 , RB = 68 , C = 4 nF, L = 3,1 mH Příklad výpočtu (pro f = 30 kHz, RA)

Z     R  j L  f)

1 1    35  j  2 30 103  3,1 103   743 87,3  3 9  j C 2 30 10  4 10  

Vytvořte graf UC = f(f) pro R = RA i R = RB, obě křivky do jednoho grafu.

g) V grafu rezonančních křivek UC(f) vyznačte rezonanční kmitočet fr a mezní kmitočty f1m a f2m pro pokles o 3 dB (na UCmax/2), podobně jako na obr. 17. Z tako zjištěných hodnot určete šířku pásma B (59) a činitel jakosti Q (60) pro obě hodnoty R. Zjištěné hodnoty zapište do tab. 11 a ke křivkám v grafu dopište zjištěný činitel jakosti Q. h) Určete poměrné odchylky mezi naměřenými a vypočtenými hodnotami v tab. 11.

34

5A



tab. 11 Naměřené a teoretické hodnoty SRO

RA RB

fr

f1m

f2m

B

Q

fr

B

Q

kHz

kHz

kHz

kHz

-

%

%

%

(55)

-

-

(1)

(1)

(1)

Změřeno

45,0

44,2

45,9

Vypočteno

45,2

-0,4

-5,4

5,2

Změřeno

45,0

Vypočteno

45,2

-0,4

-2,6

2,2

43,2

(59),(60) (60),(61) 1,7

26,5

1,797

25,15

3,4

13,2

3,491

12,95

46,6

Rezonanční křivka SRO 3000 UCmax

RA

2500 UC max

UC (mV)

2000

2

1500

RB

UCmax

UC max 2

1000

B

500 0 30

35

40

45

50

55

60

f (kHz)

Impedance SRO 90

800 RA

700

60

RB

Modul

600

75

Fáze

45 30 15 0

400 RB 300

 (º)

Z ( )

500

-15 -30

RA

-45

200

-60

100

-75

0 30

35

40

f 45 r

-90 50

55

60

f (kHz)

35

5A



Příklad výpočtu (pro RA)

vypočteno fr  B

1 2π LC



1 2π 3,1 103  4 109

 45, 2 kHz , Q 

3,1 103 / 4 109  25,15 , 35

fr 45, 2   1, 797 kHz Q 25,15

naměřeno B  f 2m  f1m  45,9  44, 2  1, 7 kHz , Q 

f r 45   26,5 B 1, 7

Seznam přístrojů   

Přípravek SRO s přepínatelným R Funkční generátor typ 33120A 2× číslicový multimetr typ 34401A

Závěr 

Popište, jak se mění charakter impedance SRO s kmitočtem. Všimněte si hodnoty modulu a fáze impedance SRO při rezonanci.

Impedance SRO nabývá minimální velikosti při rezonanci, kdy je rovna R (fáze impedance je při rezonanci nulová). Při změně kmitočtu od nuly směrem k vyšším hodnotám přechází hodnota fáze impedance od -90º (převládá vliv kapacitoru) po +90º (převládá vliv induktoru). Změna impedance s kmitočtem byla důvodem nutnosti dostavování hodnoty vstupního napětí 100 mV během měření – SRO zatěžuje generátor, jehož vnitřní odpor je 50 .  Popište závislost tvaru rezonanční křivky na činiteli jakosti Q. SRO s vyšším činitelem jakosti má strmější rezonanční křivku s vyšším maximálním napětím UC.  Ověřte, že při rezonanci je napětí na kapacitoru UC Q-krát vyšší než napájecí napětí UG Q

U C  fr  UG

.

Činitel jakosti určený z napětí na C při rezonanci je Q 

(-) UC  fr  UG



(62)

2531  25,31 . Hodnota je blízko teoretické 100

i naměřené hodnotě činitele jakosti (25,15 resp. 26,5).  Podle hodnot poměrných odchylek parametrů obvodu posuďte přesnost provedeného měření. Rozdíl hodnot je způsoben:  nepřesným nalezením rezonančního kmitočtu (dáno relativně malým počtem měřených bodů křivky),  nepřesným čtením šířky pásma (a tím i Q) z grafu,  tolerancí hodnot prvků obvodu.

Stručné shrnutí Sériový rezonanční obvod je v praxi využíván jako selektivní obvod, který je schopen zdůraznit určité kmitočtové pásmo signálů. Často je používán jako pásmová propust nebo zádrž. Jeho selektivní vlastnosti jsou určeny hodnotou obvodových parametrů jednotlivých prvků. U praktické realizace RLC obvodu jsou dosažitelné vlastnosti limitovány ztrátovým odporem cívky. V úloze byl rozebrán jev rezonance SRO a byla ukázána závislost impedance SRO na kmitočtu. Úloha dále ukázala vliv činitele jakosti Q na tvar rezonanční křivky SRO a na velikost napětí, které se při rezonanci objeví na prvcích L a C - (62).

36

6A

Paralelní rezonanční obvod


6A Paralelní rezonanční obvod Cíl úlohy Praktickým měřením ověřit základní parametry reálného paralelního rezonančního obvodu (PRO) - činitel jakosti Q, rezonanční kmitočet fr a šířku pásma B. Vyšetřit selektivní vlastnosti paralelního rezonančního obvodu změřením jeho kmitočtových závislostí a porovnat naměřené hodnoty parametrů obvodu s hodnotami určenými výpočtem z parametrů jednotlivých prvků rezonančního obvodu.

Úkol  

Změřte a zobrazte kmitočtovou závislost modulu napětí ULC(f) paralelního rezonančního obvodu a určete rezonanční kmitočet fr, činitel jakosti Q a šířku pásma B. Naměřené hodnoty ověřte teoretickými výpočty.

Teoretický úvod K základním typům elektrických rezonančních obvodů patří kromě sériového (úloha 5A) i paralelní rezonanční obvod. Sériový a paralelní rezonanční obvod mají řadu formálně analogických vlastností (viz lit. [1]). Paralelní rezonanční obvod RLC je na obr. 19. Admitance paralelního obvodu:

I IC

IG

C

G

IL

Y  G  j( C 

L

1

L

)

(S)

(63)

(S)

(64)

(Hz)

(65)

má minimum Y  G  R 1

při rezonančním kmitočtu obr. 19 Paralelní rezonanční obvod

fr 

1 2π L C

.

Proudy IL a IC jsou při rezonanci Q-násobkem celkového proudu, činitel kvality PRO je definován Q

C 1 C 1 .  r  r LG G G L

(-)

(66)

Pro PRO lze sestrojit rezonanční křivku obdobnou obr. 17 jako kmitočtovou závislost ULC(f) pro I = konst. Zapojení uvedené na obr. 19 je těžko realizovatelné vzhledem k vlastnostem reálné cívky – ta má vždy nějaký sériový odpor RL daný jejím technickým provedením. Pro reálný obvod PRO má tento parazitní odpor vliv na rezonanční kmitočet (většinou však zanedbatelný), srovnej s (65) f r 

1 2π

1 RL2  . LC L2

(Hz)

(67)

Podstatnější je vliv tohoto odporu na činitel jakosti PRO, neboť zvyšuje hodnotu vodivosti G - obr. 19. V reálu je hodnota vodivosti G dána paralelní kombinací připojovaného rezistoru Rn a přepočteného ztrátového odporu cívky RLp (viz dále obr. 20)

37

6A


G

RLp  Rn RLp  Rn

,

RLp 

L . C  RL


(S), ()

(68)




Z hodnot prvků PRO uvedených v tab. 12 vypočtěte a zapište teoretické hodnoty rezonačního kmitočtu fr (65), celkové paralelní vodivosti G (68) a činitele jakosti Q (66). Z rezonančního kmitočtu a činitele jakosti určete šířku pásma B pomocí (60). Výpočty proveďte pro všechny tři varianty Rn = {R1, R2, R3}. Admitance PRO tvoří spolu s Ri kmitočtově závislý dělič, jehož komplexní přenos KU se bude měřit. Při rezonanci je admitance PRO podle (64) minimální a rovna G, přenos zde tedy nabývá maximální hodnoty K Umax  K u  f r  

G 1 , Ri  G 1

K Umax(dB)  20  log  K Umax  v logaritmické míře.

(-)

(69)

(dB)

Doplňte do tab. 12 očekávané hodnoty přenosu při rezonanci KUmax.

Pracovní postup Měřený obvod bude zapojen podle obr. 20. Protože PRO je vhodné pro měření napájet zdrojem konstantního proudu, je do série s generátorem s konstantním napětím Ug zapojen rezistor Ri, mající oproti kmitočtově závislé impedanci PRO mnohonásobně větší odpor. Proud I napájející PRO lze tak považovat za téměř konstantní, nezávislý na kmitočtu.

obr. 20 Princip měření přenosu článku s PRO

Měření se provádí pomocí modulárního systému RC 2000, pro měření se využívá dvojitý analogový vstup a programovatelný generátor. Princip měření spočívá v porovnávání vstupního signálu UG dodávaného generátorem s napětím UC na PRO, viz obr. 20. Měří se tedy napěťový přenos KU děliče tvořeného Ri a PRO. a)

Propojte měřený obvod PRO s měřicím zařízením podle obr. 21. Vstup A je připojen na napětí UG (zároveň je zde připojen výstup generátoru), vstup B na napětí UC. Pro připojení výstupu generátoru a vstupu IN A použijte žluté propojovací dvojlinky, pro vstup IN B modrou dvojlinku. Zkratovací spojkou zvolte odpor R1.

b) Spusťte program RC 2000 a z Výběru programů zvolte nabídku Frequency Characteristics. Nastavte tyto parametry: Display: Ampl., Phase, |K| dB/div: 5 , |K| offset: 30 dB, deg/div: 30,  offset: 0º, Decades: 1, Begin: 100 Hz, Resolution: High. c)

Stiskem virtuálního tlačítka Start spusťte měření. Vykresluje se modul (v logaritmické míře) i fáze napětí na kondenzátoru UC v závislosti na kmitočtu. Modul i fáze tohoto napětí jsou měřeny relativně k UG. Všimněte si, že při rezonanci je napětí UC ve fázi se vstupním napětím UG (nulové ), jinak řečeno impedance PRO má při rezonanci čistě reálný charakter, viz teoretický úvod.

d) Nyní změřte závislost rezonanční křivky na připojeném paralelním odporu. Přepněte na sekvenční měření tlačítkem Measurement: Sequence. Poté zobrazte křivku pro odpor R1 stiskem tlačítka M1. V režimu sekvenčního měření se zobrazuje jen modul nebo jen fáze měřeného přenosu napětí; zobrazení se volí pomocí tlačítek Display: Ampl / Phase. Ponechte zobrazení modulů.

38

6A



e)

Na přípravku PRO zvolte zkratovací spojkou odpor R2. Změřte další křivku stiskem tlačítka M2 a poté obdobně pro R3 stiskem M3. Nyní jsou zobrazeny tři různé rezonanční křivky (moduly přenosu článku s PRO).

f)

V okně programu zapněte editaci popisů (Legend: Edit) a přepište název okna Experiment na BEL2 - PRO; namísto Jméno pak uveďte svá příjmení. Editaci ukončete (Legend: End).

g) Příkazem Print otevřete dialog tisku. Můžete vložit poznámky k měření (Edit notes). Poté stiskem tlačítka Print vytiskněte zobrazený graf. V dialogovém okně zvolte virtuální tiskárnu FinePrint, v jejich vlastnostech nastavte orientaci stránky na šířku (Orientation: Landscape). Tisk proběhne pouze na obrazovku programu FinePrint. Pro získání dvou kopií tisk opakujte. V programu FinePrint pak nastavte počet tisknutých stránek 2 na jeden list (Layout: 2 up). Takto připravený soubor vytiskněte (tlačítko Print&Close) na síťové tiskárně. h) Zapněte kursory (Cursor: On) a pohybem kurzoru pomocí tlačítek   najděte maximum křivek – tomu odpovídající rezonanční kmitočet fr zapište do tab. 12. Zároveň si zapište hodnotu přenosu KUmax (je to hodnota K při rezonanci). i)

Přepněte na zobrazení fáze přenosu článku Display: Phase a postupem podle g) graf vytiskněte. V obou grafech pak tužkou označte jednotlivé křivky R1, R2 nebo R3.

j)

Pomocí kurzoru zjistěte pro každou zobrazenou křivku šířku pásma B následujícím způsobem: kurzory 1 a 2 posuňte pomocí tlačítek   na mezní kmitočty f1m resp. f2m. Pro mezní kmitočty platí vztahy KU(fm) = KUmax - 3 (dB) a také  (fm)= 45°. Vzhledem k rozlišení bodů grafu se kurzory posouvají skokově, proto nastavujte vždy nejbližší možné hodnoty. Takto zjištěné mezní kmitočty zapište do tab. 12.

k) Ukončete program (tlačítkem Exit).

obr. 21 Zapojení pracoviště RC 2000 pro měření rezonanční křivky PRO

39

6A



Zpracování tab. 12 Naměřené a teoretické hodnoty PRO

R1 R2 R3

fr

KUmax

f1m

f2m

G

B

Q

B

Q

Hz

dB

Hz

Hz

S

Hz

-

%

%

(65)

(69)

-

-

(68)

(59) (60)

(60) (66)

(1)

(1)

Změřeno

329,5

-15,4

323,5

341,8

18,3

18,0

Vypočteno

324,9

-16,3

17,8

18,3

2,8

-1,4

Změřeno

329,5

-20,1

33,6

9,8

Vypočteno

324,9

-20,7

31,5

10,3

6,6

-4,8

Změřeno

329,5

-26,5

67,6

4,9

Vypočteno

324,9

-26,9

67,9

4,8

-0,44

1,9

16,77 317,7

351,3 29,71

303,5

371,1 63,99

Poznámka: C = 150 nF , L = 1,6 H , RL = 90  R1 = 120 k R2 = 47 k R3 = 18 kRi = 330 k Příklad výpočtu (pro R1)

vypočteno fr 

G

1 2π LC RLp  Rn RLp  Rn





1 2π 1, 6 150 10

9

 324,9 Hz , RLp 

L 1, 6   118,5 k , C  RL 150 109  90

 C 2π 324,9 150 109 118,5  120  18,3 ,  16, 77 μS , Q  r  118,5 120 G 16, 77 106

1   16, 77 106    G 1  f r 324,9    16,3 dB B   17,8 Hz , K Umax  20 log  20 log   1  330 103  16, 77 106 1  18,3 Q  Ri  G     

naměřeno B  f 2m  f1m  341,8  323,5  18,3 Hz , Q 

l)

f r 329,5   18, 0 B 18,3

Ve vytištěném grafu UC(f) vyznačte rezonanční kmitočet fr a pro všechny tři křivky rovněž šířku pásma B.

m) Pro všechny tři křivky určete změřenou šířku pásma B podle (59) a činitel jakosti Q podle (60). Hodnoty zapište do tab. 12 a ke křivkám v grafu dopište zjištěné hodnoty činitele jakosti Q. n) Určete poměrné odchylky mezi naměřenými a vypočtenými hodnotami v tab. 12.

Seznam přístrojů  

Přípravek PRO Měřicí systém RC 2000 (funkční generátor, A&DDU jednotka, kabely, zdroj), PC

Závěr 

Popište závislost tvaru rezonanční křivky PRO na činiteli jakosti obvodu.

Graf obsahuje tři křivky (pro různé hodnoty odporu) závislosti napětí UC na kmitočtu. Křivky mají stejnou polohu maxima (při rezonančním kmitočtu) a liší se šířkou pásma, tedy strmostí křivek a velikostí maxima UC.  Zhodnoťte odchylky naměřených a vypočtených parametrů PRO a uvažujte o možných příčinách.

40

6A



Rozdíl hodnot je způsoben:  nepřesným odečtením šířky pásma (a tím i Q) pomocí kurzorů z grafu,  nepřesným nalezením rezonančního kmitočtu,  tolerancí hodnot prvků obvodu,  napájecí proud I není zcela konstantní s ohledem na s kmitočtem se měnící impedanci PRO.

Stručné shrnutí Paralelní rezonanční obvod je v praxi využíván jako selektivní obvod, který je schopen zdůraznit určité kmitočtové pásmo signálů. Nejčastěji je proto používán jako obvod pásmové propusti. Jeho selektivní vlastnosti jsou určeny hodnotou obvodových parametrů jednotlivých prvků. U praktické realizace RLC obvodu jsou reálné vlastnosti většinou určeny ztrátovým odporem cívky. Uvedená úloha umožňuje ověření teoreticky vypočtených parametrů paralelního rezonančního obvodu měřením a ukazuje praktickou možnost využití rezonančního obvodu jako pásmové propusti. V úloze byl rozebrán jev rezonance PRO a byl ukázán vliv činitele jakosti Q na tvar rezonanční křivky.

41

7A

Základní vlastnosti článků RC a CR


7A Základní vlastnosti článků RC a CR Cíl úlohy Praktickým měřením ověřit kmitočtové závislosti přenosu napětí (modulovou a argumentovou kmitočtovou charakteristiku), objasnit vztah pracovní oblasti, mezního kmitočtu a časové konstanty základních přenosových článků 1. řádu. Stručně demonstrovat zásadní rozdíl v chování článků RC a CR při průchodu harmonických a neharmonických periodických signálů a ukázat některé možnosti jejich praktického využití.

Úkol  

U předložených článků RC a CR změřte modulovou i fázovou kmitočtovou charakteristiku přenosu napětí. Analyzujte chování obou článků pro harmonický a neharmonický ustálený stav.

Teoretický úvod Vlastnosti přenosových článků můžeme obecně popsat pomocí imitančních a přenosových funkcí. Pokud přenosový článek obsahuje setrvačné prvky (L, C), jsou tyto funkce komplexními veličinami závislými na kmitočtu. Často užívanou přenosovou funkcí článku je přenos napětí KU K U   

U 2   U1  

 K U    e j    Re K U    j  Im K U   .

(-)

(70)

Kmitočet ovlivňuje jak velikost modulu, tak i argument přenosové funkce (70). Grafickým znázorněním této funkce v komplexní rovině je křivka nazývaná hodograf. Častěji se kmitočtové závislosti modulu i argumentu přenosové funkce znázorňují samostatně; tyto grafy se nazývají modulová Ku() resp. argumentová (fázová) kmitočtová charakteristika (). V technické praxi je třeba znát průběh přenosové funkce v širokém rozsahu kmitočtu, proto se často volí logaritmické měřítko kmitočtové osy. Modul přenosové funkce se velmi často zobrazuje v decibelech: K U(dB)    20  log  K U    .

(dB)

(71)

Výhodou logaritmické kmitočtové osy a modulu v dB je snadné použití asymptotických charakteristik, kdy charakteristiku aproximujeme lomenými přímkami. U grafu argumentové kmitočtové charakteristiky užíváme rovněž logaritmickou osu kmitočtu, fázi (argument přenosové funkce) vynášíme na svislou osu vždy lineárně. K jednoduchým, ale často užívaným obvodům v elektrotechnice patří články RC a CR. Poznámka: uváděné vztahy platí pouze pro harmonický ustálený stav; pokud je vstupní signál neharmonický, je výpočet obvodových veličin složitější (viz např. lit. [1]).

Článek RC má charakter dolní propusti 1. řádu, jeho schéma je na obr. 22. Přenos napětí naprázdno je K U   

U 2   U1  



1 1  ,   RC , 1  j RC 1  j

kde je  ............................ časová konstanta.

(-), (s)

(72a, b)

(s)

Složky napěťového přenosu článku RC (modul a argument přenosové funkce) jsou K U    K U   

U 2   U1   

    arctan   RC  .



1 1   RC 

2

,

(-)

(73)

(rad)

(74)

42

7A



R C

U1

0

0.5 

Ku

U2

1 Re  =0 

-0.5 =m

Im

obr. 22 Článek RC, jeho hodograf a modulová a fázová přenosová charakteristika (modře jsou vyznačeny asymptotické charakteristiky)

Při kmitočtu m = 1/, nazývaném mezní úhlový kmitočet, má modul přenosu hodnotu –3 dB, argument přenosu je  = -45°. Hodograf i modulová a argumentová kmitočtová charakteristika RC článku je uvedena na obr. 22. V grafech kmitočtových charakteristik na obrázku je použito relativní měřítko úhlového kmitočtu vzhledem k meznímu úhlovému kmitočtu m. Pro mezní úhlový kmitočet resp. mezní kmitočet platí

m 

1

1

(rad·s-1)

 ,  RC  1 fm  m  . 2π 2πRC

(75) (Hz)

Asymptotické vyjádření kmitočtových charakteristik článku RC představují lomené přímky naznačené čárkovaně v obr. 22. Sklon přímky v modulové charakteristice je -20 dB/dekádu, sklon přímky v argumentové charakteristice je -45°/dekádu. Pomocí těchto asymptot lze snadno kreslit dílčí i výsledné charakteristiky přenosových článků – tzv. Bodeho asymptotické charakteristiky. Z přenosových charakteristik na obr. 22 lze vysledovat, že RC článek má dvě charakteristické pracovní oblasti:  oblast přenosu  << m, článek přenáší s malým fázovým posunem;  oblast integrace  >> m, přenos článku klesá a fázový posun se blíží –90°. Článek CR má charakter horní propusti 1. řádu, jeho schéma je na obr. 23. Přenos napětí naprázdno a jeho složky (modul a argument přenosové funkce) jsou K U   

U 2   U1  



j RC j  ,   RC . 1  j RC 1  j

(-), (s)

(76a, b)

43

7A


K U    K U   

U 2   U1   




 RC 1   RC 

 1  .   RC 

    arctan 

2

,

(-)

(77)

(rad)

(78)

C U1

Im

R

U2

=m

-0.5 

Ku =0



0

0.5

1 Re

obr. 23 Článek CR, jeho hodograf a modulová a fázová přenosová charakteristika (modře jsou vyznačeny asymptotické charakteristiky)

Při mezním úhlovém kmitočtu (75) má modul přenosu hodnotu –3 dB, argument přenosu je  = +45°. Hodograf, modulová a argumentová kmitočtová charakteristika CR článku je uvedena na obr. 23. V grafech kmitočtových charakteristik na obrázku je použito relativní měřítko úhlového kmitočtu vzhledem k meznímu úhlovému kmitočtu m. Z přenosových charakteristik na obr. 23 lze vysledovat, že CR článek má dvě charakteristické pracovní oblasti:  oblast přenosu  >> m, článek přenáší s malým fázovým posunem;  oblast derivace  << m, přenos článku klesá a fázový posun se blíží +90°. Asymptotické vyjádření kmitočtové charakteristiky článku CR představují lomené přímky naznačené čárkovaně v obr. 23. Sklon přímky v modulové charakteristice je +20 dB/dekádu, sklon přímky v argumentové charakteristice je +45°/dekádu.

Domácí příprava  

S využitím hodnot prvků R, C uvedených v tab. 13 vypočtěte a zapište teoretickou hodnotu časové konstanty  (72b) a mezního kmitočtu fm (75) pro článek RC i CR. Pro oba články vypočtěte teoretické hodnoty komplexního napěťového přenosu KU, z něj dále moduly přenosu KU i KU(dB) a argumenty přenosu  na obou zadaných kmitočtech. Hodnoty uveďte v tab. 14 (pro RC) resp. tab. 15 (pro CR).

44

7A



Pracovní postup Měření kmitočtových přenosových charakteristik

Měření se provádí pomocí modulárního systému RC 2000, pro měření se využívá dvojitý analogový vstup a programovatelný výstup. Princip měření (obr. 24) spočívá v porovnávání vstupního signálu U1 dodávaného generátorem a výstupního signálu článku U2 podle vztahu (70).

obr. 24 Princip měření kmitočtové závislosti přenosu článků RC a CR

ANALOG INPUT + IN A - IN A + IN B - IN B

PC/RS232

ANALOG OUTPUT OUT

CHANNEL A

GND

CHANNEL B

MEASURE MODE FREQUENCY CHAR

A&DDU

GEN

+IN A

+IN B

GEN

+IN A

C

R

RC -IN A GEN

+IN B

CR

C

-IN A

-IN B

R -IN B

GEN

obr. 25 Zapojení pracoviště RC 2000 pro měření kmitočtových přenosových charakteristik článků RC a CR

a)

Zapojte obvod podle obr. 25 nejprve s RC článkem. Pro připojení analogového výstupu a vstupu IN A použijte žluté propojovací dvojlinky, pro vstup IN B modrou dvojlinku.

b) Spusťte program RC 2000 a z Výběru programů zvolte nabídku Frequency Characteristics. Nastavte tyto parametry: Display: Ampl, Phase, View: Nyquist, |K| dB/div: 5 , |K| offset: 15 dB,  deg/div: 30,  offset: 0º, Decades: 3, Begin: 10 Hz, Resolution: Std. c)

Stiskem virtuálního tlačítka Start spusťte měření. Vykresluje se modulová (logaritmická) i argumentová (semilogaritmická) přenosová charakteristika spolu s hodografem.

d) Po změření charakteristiky zapněte kursor (Cursor: On). Pomocí tlačítek   pohybujte kurzorem v kmitočtových charakteristikách a zároveň sledujte pohyb vektoru v hodografu; jde o dvě různá zobrazení téže přenosové funkce. Pomocí kurzoru najděte kmitočet, pro který má přenos hodnotu -3dB. Takto nalezený mezní kmitočet fm zapište do tab. 13. Všimněte si, že pro mezní kmitočet je (fm) = -45° pro RC článek resp. (fm) = +45° pro CR článek a křivka zde má inflexní bod. 45

7A



e)

Pomocí kurzoru změřte a zapište do tab. 14 (pro RC) resp. tab. 15 (CR) pro kmitočty 100 Hz a 1000 Hz:  komplexní přenos KU ve složkovém tvaru (zobrazuje se jako {Re K} + j {Im K}),  modul přenosu KU (zobrazuje se jako |K| [-]),  modul přenosu KU v dB (zobrazuje se jako |K| [dB]),  fázový posun  (zobrazuje se jako  [deg]).

f)

V okně programu zapněte editaci popisů (Legend: Edit) a přepište název okna Experiment na BEL2-přenos článku RC (resp. CR); namísto Jméno pak uveďte svá příjmení. Editaci ukončete (Legend: End)

g) Příkazem Print otevřete dialog tisku. Můžete vložit poznámky k měření (Edit notes). Poté stiskem tlačítka Print vytiskněte zobrazený graf přenosové charakteristiky. V dialogovém okně zvolte virtuální tiskárnu FinePrint, ve vlastnostech tiskárny nastavte orientaci stránky na šířku (Orientation: Landscape). Tisk proběhne pouze na obrazovku programu FinePrint. Pro vytvoření dvo kopií tisk opakujte. V programu FinePrint nastavte počet tisknutých stránek 2 na jeden list (Layout: 2 up). Takto připravený soubor vytiskněte na síťové tiskárně (tlačítko Print&Close). h) Namísto RC článku zapojte CR článek. Nastavení programu ponechejte nezměněné. Opakujte postup podle bodů c) až g). i)

Ukončete program (tlačítkem Exit).

Měření periodického harmonického a neharmonického ustáleného stavu

Měření se provádí opět pomocí modulárního systému RC 2000, který nyní slouží jako osciloskop. Článek je buzen externím generátorem s nastavitelným periodickým signálem. Na pracovišti obdržíte předtištěné grafy průběhů ustáleného periodického harmonického a obdélníkového napětí na vstupu a výstupu článků. ANALOG INPUT + IN A - IN A + IN B - IN B

ANALOG OUTPUT

PC/RS232

OUT

CHANNEL A

GND

CHANNEL B

MEASURE MODE OSCILLOSCOPE

A&DDU

+5V

GEN

+IN A

RC

+IN B

R VALUE

C

100.0Hz

-IN A

5.00V

GEN MODE

-IN B

GEN

SHIFT

+IN A

+IN B

C

FUNC

CR FUNCTION GENERATOR

-IN A

R -IN B

GEN

obr. 26 Zapojení pracoviště RC 2000 pro měření ustáleného periodického stavu článků RC a CR

46

7A

j)



Zapojte obvod s RC článkem podle obr. 26. Jako zdroj signálu bude použit přístroj Function generator, vstupní signál článku bude připojen ke vstupu A a výstupní signál ke vstupu B jednotky A&DDU.

k) Po spuštění systému RC 2000 zvolte z Výběru programů nabídku Oscilloscope. Pomocí kláves nastavte tyto parametry: rozsah zobrazení kanálu A i B: ±10 V (Gain pomocí tlačítek ), průměrování vypnuto (Average: off), rozsah časové osy: 0 - 25 ms (Time pomocí tlačítek  ). l)

Na přístroji Function generator stiskněte tlačítko Init, čímž nastavíte kmitočet 100 Hz, výstupní napětí 5 V, sinusový (harmonický) průběh.

m) Stiskem virtuálního tlačítka Run (okno osciloskopu) spusťte měření. n) Krokujte kmitočet budicího signálu generátoru od 100 Hz do 1000 Hz s krokem 100 Hz (tlačítky  v bloku SHIFT přístroje Function generator) a pozorujte tvar vstupního a výstupního signálu. Pro lepší zobrazení můžete měnit rozlišení časové osy (v programu v sekci Time pomocí tlačítek  ). o) Na generátoru přepněte (tlačítkem v sekci FUNC) tvar signálu na obdélníkový (tedy neharmonický) a opakujte postup podle bodu n). p) Do grafu tužkou dopište pracovní kmitočty a pracovní oblast článků (integrační, derivační, přenosová) pro harmonický i neharmonický vstupní signál. q) Namísto RC článku zapojte CR článek. Nastavení programu neměňte. Opakujte postup podle bodů l) až p). r)

Ukončete program (tlačítkem Exit).

Zpracování s)

Do vytištěného grafu přenosové funkce článku RC i CR tužkou dokreslete schéma zapojení článku, do hodografu vyznačte mezní kmitočet a oblasti přenosu a integrace.

t)

Pro oba měřené články s využitím naměřené hodnoty fm zakreslete do vytištěného grafu modulové a argumentové kmitočtové charakteristiky rovněž asymptotické charakteristiky (viz teoretický úvod).

tab. 13 Mezní kmitočet a časová konstanta článků RC a CR

RC

fm

Hz



ms

Poznámky

CR

Změřeno

Vypočteno

Změřeno

Vypočteno

-

(75), (72b)

-

(75), (72b)

443,7

442,1

270

288,3

0,360 R = 1,2 k , C = 300 nF

0,552 C = 460 nF , R = 1,2 k

tab. 14 Napěťový přenos článku RC

f

KU

KU

KU(dB)



Re + j Im

-

dB

º

(72a)

(73)

(71)

(74)

Změřeno

0,95-j0,21

0,977

-0,20

-12,6

Vypočteno

0,95-j0,22

0,975

-0,22

-12,7

Změřeno

0,17-j0,37

0,407

-7,8

-65,7

Vypočteno

0,16-j0,37

0,404

-7,9

-66,1

RC

Hz 100 1000

47

7A



Příklad výpočtu (pro RC, 100 Hz)

  RC  1200  300 109  0,36 ms , f m  K U   

1 1   442,1 Hz ˇ, 2π 2π 0,36 103

j j200π  0,36 103   0,95  j0, 22  0,975 12, 7 , 1  j 1  j200π  0,36 103

K U(dB)    20  log  K U     20  log  0,975   0, 22dB

Přenosová charakteristika RC článek

Přenos signálu RC článkem

Vstup

Kmitočet: 100 Hz

Vstup

Kmitočet: 1000 Hz

Výstup

Vstup

Výstup

Oblast: Přenosová

Výstup

Vstup

Výstup

Oblast: Integrační

48

7A



tab. 15 Napěťový přenos článku CR

f

KU

KU

KU(dB)



Re + j Im

-

dB

º

(76a)

(77)

(71)

(78)

Změřeno

0,12+j0,33

0,351

-9,1

69,3

Vypočteno

0,11+j0,31

0,328

-9,7

70,9

Změřeno

0,93+j0,25

0,966

-0,30

15,0

Vypočteno

0,92+j0,27

0,961

-0,35

16,1

CR

Hz 100 1000

Přenosová charakteristika CR článek

Přenos signálu CR článkem Vstup

Výstup

Kmitočet: 100 Hz

Oblast: Derivační

Vstup

Kmitočet: 1000 Hz

Výstup

Vstup

Vstup

Výstup

Výstup

Oblast: Přenosová

49

7A



Seznam přístrojů   

Přípravek s RC článkem Přípravek s CR článkem Měřicí systém RC 2000 (funkční generátor, A&DDU jednotka, kabely, zdroj), PC

Závěr 

Srovnejte hodnoty přenosové funkce článků zjištěné měřením a výpočtem z hodnot součástek.

Rozdíl hodnot je minimální a je způsoben:  nepřesností změřených hodnot danou rozlišením měřicího přístroje,  tolerancí hodnot prvků obvodu.  Komentujte průběh přenosové kmitočtové charakteristiky obou článků. Z přenosových charakteristik je zřejmé, že RC článek má charakter filtru dolní propusti (DP), zatímco CR článek filtru typu horní propusti (HP). Mezní kmitočet propusti je dán poklesem přenosu na -3 dB. Hodnota fáze přenosu se mění od 0º do -90º (pro RC) resp. od 90º do 0º (pro CR); při mezní kmitočtu nabývá fáze přenosové funkce hodnoty ±45º.  Diskutujte tvar průběhu výstupního napětí článků při harmonickém a neharmonickém vstupním napětí v závislosti na kmitočtu. Při harmonickém napětí dochází pouze ke změně amplitudy a fázovému posunutí výstupního průběhu oproti vstupnímu, tvar je nezměněn (derivace či integrace harmonické funkce je opět harmonická funkce). Pro neharmonický průběh nedochází k posuvu, ale ke zkreslení tvaru signálu.

Stručné shrnutí Kmitočtové závislosti napěťového přenosu jednoduchého pasivního RC resp. CR článku charakterizují chování i základní možnosti využití těchto setrvačných obvodů v praxi. Uvedená úloha ukazuje typické možnosti využití RC článku jako obvodu dolní propusti a typický projev jeho integračních vlastností při průchodu neharmonických signálů dostatečně vysokého kmitočtu  >> m (zde bylo ukázáno pro obdélníkový signál). Obdobně byly ukázány typické možnosti využití CR článku jako obvodu horní propusti a typický projev jeho derivačních vlastností při průchodu neharmonického signálu dostatečně nízkého kmitočtu  << m. Všimněte si rozdílu: pro harmonický průběh je výstupní signál opět harmonický, ovšem je v závislosti na kmitočtu tlumený a fázově posunutý, zatímco při neharmonickém vstupní napětí dochází (opět v závislosti na kmitočtu) ke změně tvaru signálu – nikoliv však k jeho fázovému posunu! Tato problematika bude podrobněji vysvětlena v úloze 4B.

50

7A



Seznam použité literatury [1] VALSA, J., SEDLÁČEK, J.: Teoretická elektrotechnika II. Skriptum VUT Brno, 2004. [2] VALSA, J., SEDLÁČEK, J.: Teoretická elektrotechnika I. Skriptum VUT Brno, 1997. [3] GESCHEIDTOVÁ, E. a kol.: Základní metody měření v elektrotechnice. Skriptum VUT Brno, 2000. [4] ŠKRÁŠEK, J., TICHÝ, Z.: Základy aplikované matematiky III. SNTL Praha, 1990.

51

Elektrotechnika 2. Úlohy A. Pro učitele neodnášet. Pokyny a referenční hodnoty k laboratorním úlohám. doc. Ing. Jiří Sedláček, CSc

Recommend Documents