ELEKTROTECHNIKA 2 (BEL2)
Trojfázové obvody doc. Ing. Jiří Sedláček, CSc. doc. Ing. Miloslav Steinbauer, Ph.D. doc. Ing. Petr Drexler, Ph.D. UTEE FEKT VUT v Brně 1
Vznik vícefázové soustavy Jednofázová soustava
u(t)
RZ
Zdroj Trojfázová soustava
u1(t)
u2(t)
Vedení
R1
R2
Zátěž (Spotřebič)
u1 ( t ) , u2 ( t ) , u3 ( t )
Fáze u1(t)
R1
u2(t)
R2
u3(t)
R3
Stejný kmitočet a amplituda u3(t)
R3
a) nevázaná – 6 vodičů
b) vázaná – 3 (4) vodiče 2
Vícefázové soustavy Výhody • výroba – generátory (jednoduchost, nižší hmotnost) • rozvod – transformace, menší ztráty v rozvodu • užití – snadné vytvoření točivého magnetického pole (pro realizaci jednoduchých, levných indukčních motorů)
Typy soustav • Trojfázová (běžná rozvodná soustava) • Dvoufázová (jednofázové točivé stroje s rozběhovým vinutím …) • Šestifázová (usměrňovače pro trakce) • Vícefázové (krokové motory …)
3
Nikola Tesla (1856-1943) Narozen 10.6.1856 v Smiljanu (Rakousko – Uhersko) Studium: • ve Štýrském Hradci (Graz) • v Praze na Karlo-Ferdinandově univerzitě, prof. Domalípa (1880) • v Budapešti (1881)
Práce: • Paříž, Edisonovy továrny • Štrasburg – sestrojil asynchronní stroj • 1884 odcestoval do Ameriky, Edisonovy továrny (stejnosměrné stroje) • 1886 zakládá Tesla Electric Co. • 1888 – dvoufázový asynchronní motor • spolupráce s G. Westinghousem, Pittsburg (střídavý proud), prodává své patenty za 1 mil USD + 1 USD / 1 HP • 1889 Colorado Springs (laboratoř VN) 4
Trojfázová soustava - fázory fázory UU, UV, UW
uU(t), uV(t), uW(t) = uU ( t ) U m sin (ω t + ϕ )
UU
= uV ( t ) U m sin (ω t − 120° + ϕ )
− j120° U= U ⋅ e V U
= uW ( t ) U m sin (ω t + 120° + ϕ )
U= U U ⋅ e +j120° W
UW 0°
12
UU Re
0°
uW ( t )
12
uV ( t )
Im
120°
uU ( t )
souměrná soustava
UV 5
Trojfázová soustava
Im
UW
SOUSTAVA SOUMĚRNÁ
SOUSTAVA VYVÁŽENÁ
SOUSTAVA NESOUMĚRNÁ
Im
UN
Im
UU
UW °
120
Re
ϕ
°
UU
120
UU Re
UN=0
Re
UW
120
°
UV
UV
UV UU
u U ( t ) + uV ( t ) + u W ( t ) = 0
UU + UV + UW = 0
− j120° U= U ⋅ e V U
+j120° U= U ⋅ e W U
6
Operátor natočení Operátor natočení a
fázory UU, UV, UW
a
Im
a= e
Im
j120°
=e
2 j π 3
UW 12
12
0°
120°
0°
1
120°
UU Re
Re
12
0°
0°
12
a2
UV
U= U U ⋅1 U −j
2π 3
2 = a ⋅ UU U= U ⋅ e V U
U= UU ⋅ e W
+j
2π 3
= a ⋅ UU
e a = 2
j
4π 3
−j
e =
1 3 =− + j 2 2 2π 3
1 3 = − −j 2 2
1 a =− + j 2 1 a2 = − −j 2 1= 1 + j0
3 2 3 2
a2+a+1=0 Souměrná trojfázová soustava je vždy vyvážená 7
Vznik trojfázového střídavého napětí uU ( t )
uV ( t )
uW ( t )
Časový průběh Generátor
8
Trojfázová soustava - zapojení Vázaná trojfázová soustava
Nevázaná trojfázová soustava
L1 U1
U1N=U1
U3N=U3 U3
U2
Zapojení do hvězdy
N U2N =U2 L2
Im
L3
U1
U12=U1
U31=U3
°
° 120
120
L1
Zapojení do trojúhelníka Re
U3
120°
U2
U23 =U2
L2 L3 9
Popis trojfázové soustavy I1
L1
IN U30
N
U20 I2
U1
UN
N
I2
I12 I31 Z1
Z3 U2
V
IZ = IS
Z1
Z2 L2
U U12
I1
IZ = If
U10
U Z = US
UZ = Uf
U
U3
Z3 Z2
I3 V
I3
Zdroj
L3
U23
W
I23
U31
W
Zátěž Y(N)
Zátěž ∆
fázová napětí Uf
U10, U20, U30 (U1N, U2N, U3N) nebo UU, UV, UW
sdružená napětí Us
U12, U23, U31 nebo UUV, UVW, UWU
fázové proudy If
I1, I2, I3 nebo IU, IV, IW
napětí zátěže UZ
proudy zátěže IZ 10
Trojfázový zdroj – zapojení Y Spojení do hvězdy UUV=U12
L1
IU
UU=U1 IN
0 UW=U3
UV =U2
UVW=U23
UWU=U31 IV IW
fázová napětí Uf
UU, UV, UW
sdružená (síťová) napětí Us
UUV, UVW, UWU
Aplikací I.K.z. na bod 0 :
N
Zapojení YN nebo Y (nevyveden bod 0)
L2 L3
IU + IV + IW = IN 11
Vztah mezi Uf a Us L1 UU=U1
0
N
UW=U3
UWU=U31
L2 L3
UUV = UU – UV UVW = UV – UW
Sdružené napětí je rozdílem fázových napětí
UWU = UW – UU 12
Vztah mezi Uf a Us U UV = U U − U V = U U − a U U = U U (1 − a ) = 3U U e 2
2
1 3 3 3 1− a = 1− − − j = = + j 2 2 2 2 2
U UV = U U − U V = 3U U e U VW = U V − U W = 3U U e
j30o
Sdružená napětí
3 e j30°
j30°
UWU
UUV UW 30° UU
− j90°
U WU =U W − U U = 3U U e j150°
Fázová napětí
UV
ZÁVĚR:
U S = 3U f
Sdružená napětí jsou √3krát větší než fázová a jsou pootočena o +30°
UVW
ϕ = +30° 13
Vztah mezi Uf a Us U UV = UU − UV
14
Symetrická a nesymetrická zátěž Y Symetrická zátěž
I1 + I 2 + I 3 = 0
Nesymetrická zátěž
I1 + I 2 + I 3 = IN
Pro souměrnou soustavu (zdroj i zátěž) IN = 0 15
Trojfázový zdroj – zapojení ∆ Spojení do trojúhelníka IU
IUV UUV
UWU
U
Trojfázový zdroj ∆ musí být vyvážený!
IWU UVW
IVW
IV IW
V W
Sdružené proudy Is
IUV, IVW, IWU
Fázové proudy If
IU, IV, IW
16
Vztah mezi IS a If pro ∆ IU
IUV
U
IWU
UUV
UWU
Fázové proudy
IV
IU 30°
IWU UVW
I U I WU − I UV = I V I UV − I VW = I W I VW − I WU =
IV IW
IVW
V
IUV
Sdružené proudy
IVW
W
IW Fázové proudy tvoří vyváženou soustavu
IU + IV + IW = 0
ZÁVĚR :
I f = 3 IS
ϕ= +30° 17
Rozvodná síť TN-S – značení vodičů a svorek L1 L2 L3 N PE
U
E
Uzemnění sítě
V
W
N PE
3fTrojfázový spotřebičspotřebič tř. I 3NPE tř. I 3 NPE do hvězdy – 3x230V
U
V
W PE
3f spotřebič tř. I 3PE Trojfázový spotřebič tř. I 3 PE do hvězdy – 3x230V
U
N PE
1f spotřebič tř. Itř. I Jednofázový spotřebič 1 NPE 1NPE – 1x230V
18
Značení vodičů barvami, připojení zásuvek Střídavá soustava, izolované vodiče Vodič, žíla kabelu
Poznávací barva
L
Fázový nebo krajní
N
Nulový (střední)
světlemodrá
PE
Ochranný
zelená / žlutá
PEN
Vodič PEN
zelená / žlutá (+ světlemodrá)
L
PE
N
černá, hnědá nebo šedá
L1
L2
L3
L1
N
PE
L2
L3
PE
19
Výkon v trojfázových obvodech
20
Výkon jednofázového obvodu v HUS u, i, p
p ( t ) = U ⋅ I cos ϕ − U ⋅ I cos ( 2ωt − ϕ ) stálá (konstantní) složka
kmitavá složka
Opakování R: cosϕ = 1 p(t)
R i(t)
u, i, p
U∙I ∙ cosϕ
U∙I
stálá složka = U.I = amplituda kmitavé složky u, i, p i(t)
ϕ
L a C: cosϕ = 0 p(t)
ωt
i(t)
p(t) u(t)
okamžitý výkon
ωt
u(t)
p= (t ) u (t ) ⋅ i (t )
C
ωt
L
u(t) stálá složka = 0 21
Výkon jednofázového obvodu v HUS
Opakování
Rozklad okamžitého výkonu p(t) na činnou pč(t) a jalovou pj(t) složku:
p (t ) = U ⋅ I ( cos ϕ − cos ( 2ωt − ϕ ) ) = UI (1 − cos ( 2ωt ) ) cos ϕ − sin ( 2ωt ) sin ϕ = UI cos ϕ (1 − cos ( 2ωt ) ) − UI sin ϕ sin ( 2ωt ) = pč ( t ) + p j ( t ) = P
Q
P= U ⋅ I cos ϕ
(W) činný výkon
Q= U ⋅ I sin ϕ
(var,VAr) jalový výkon
S= U ⋅ I
p
pč(t) p(t)
(VA) zdánlivý výkon
pj(t)
Pro výkony platí tzv. trojúhelník výkonů 2 S= P2 + Q2
Účiník
cos ϕ=
ωt ϕ
P U ⋅ I ⋅ cos ϕ = S U ⋅I 22
Komplexní výkon
S= U ⋅ I = U ⋅e
∗
jψ u
U= U ⋅ e
⋅ I ⋅e
− jψ i
jψ u
Opakování
I= I ⋅ e
= U ⋅ I ⋅e
jψ i
∗
I = I ⋅e
j(ψ u −ψ i )
I
− jψ i
= U ⋅ I ⋅e
jϕ
=
U
Z
= U ⋅ I ( cos ϕ + jsin ϕ ) = P + jQ P
Re = = {S} , Q Im {S} , S S
1 S = U ⋅ I = U m ⋅ I*m 2 ∗
Při výpočtu z maximálních hodnot.
∗ 2 U U S = U ⋅ I∗ = U ⋅ ∗ = ∗ = U 2 ⋅ Y∗ Z Z
Pozn.: U·U* = U2
S = U ⋅ I∗ = Z ⋅ I ⋅ I∗ = Z ⋅ I 2 23
Výkon trojfázové soustavy (OBECNÁ) NESOUMĚRNÁ SOUSTAVA I1
I2 U1
Z1
U2 Z2
okamžitý výkon
p ( t ) = p1 ( t ) + p2 ( t ) + p3 ( t )
komplexní výkon
S = S1 + S 2 + S3 = U1I1* + U 2 I*2 + U 3I*3
činný výkon
P = Re {S} = P1 + P2 + P3 ( W )
I3 Z3
U3
P= Re {S} = U1 I1 cos ϕ Z1 + U 2 I 2 cos ϕ Z2 + U 3 I 3 cos ϕ Z3 jalový výkon
Q = Im {S} = Q1 + Q2 + Q3 ( VAr )
Q= Im {S} = U1 I1 sin ϕ Z1 + U 2 I 2 sin ϕ Z2 + U 3 I 3 sin ϕ Z3 zdánlivý výkon
S=S
( VA ) 24
Výkon trojfázové soustavy SOUMĚRNÁ SOUSTAVA I1
I2 U1
Z
U2 Z
2 = I1 I= a I a 2 3
(ϕ= ϕ= ϕ= ϕ Z3 ) Z Z1 Z2
2 = U1 U= a U a 2 3
komplexní výkon
I3 Z
= Z Z= Z= Z3 1 2
U3
S = S1 + S 2 + S3 = U I + U1a ( I1a * 1 1
2
2 * ( ) 1 a ⋅= a 1, a ⋅ a = *
S = 3U i I*i
)
2 *
+ U1a ( I1a )
*
2
( VA )
i = 1, 2 nebo 3
= = P Re {S} 3U i I i cosϕi
(W)
= Q Im = {S} 3U i I isinϕi ( VAr )
S= S= 3U i I i ( VA ) 25
Okamžitý výkon v 3fázové soustavě p ( t ) = pU ( t ) + pV ( t ) + pW ( t )
p ( t ) = uU ( t ) iU ( t ) + uV ( t ) iV ( t ) + uW ( t ) iW ( t )
Okamžitý výkon lze vyjádřit obdobně jako u jednofázové soustavy
p ( t )= Re {S + DP e j2ω t }= P + DP cos ( 2ω t − Φ )
S komplexní výkon
U souměrných obvodů je pulsační výkon nulový
Dp komplexní pulsační výkon
p ( t )= P= 3 ⋅ UI cos ϕ
DP = DP e jΦ p
2ω Re 2ωt
P činný výkon
DP
Φ
DP S
ϕ
P
Im Q
0
t
26
Porovnání zapojení Y a ∆ pro stejné Z Zapojení do hvězdy
Zapojení do trojúhelníka
IfY
If∆
UZ = Uf
IZ = I f Z N Z
Z
IZ = IS
Přepojením zátěže z Y do ∆ se ztrojnásobí výkon na zátěži i proudy fázových vodičů!
UZ = US Z
Z Z
3 ⋅ SY = S∆ 3 ⋅ I fY = I f∆ U Z = Uf 2 Z
2 f
U U S= = ZY Z Z Uf I fY= I= Z Z
IZ =
= I f∆
U= U= Z S
UZ Z
3U f e j30°
U Z2 3U f2 S= = Z∆ Z Z - j30°
= 3I Z e
US - j30° 3= e Z
U 3U f e j30° - j30° = 3 e 3 f Z Z 27
Přepínač Y/∆ Z L1
Z L1
Z L2
L1 Z
L2 Z
L3
Z Z L2
Z L3
Z L3
Poloha 0
Poloha Y
Poloha ∆
Výkon P = 0
Výkon P = 1/3 Pmax
Výkon P = Pmax
Využití: rozběh indukčních motorů vyšších výkonů • 3× menší výkon při rozběhu • menší proudový a mechanický ráz
S ∆ = 3 ⋅ S Y I f∆ = 3 ⋅ I fY 28
Poznámka k výpočtu výkonu souměrné soustavy Zapojení do hvězdy If UZ = Uf
IZ = If ZY N ZY
Zapojení do trojúhelníka
Známe (např. změříme) napětí a proud fází Uf a If
ZY
If
Počítáme-li výkon souměrné soustavy z fázových napětí a fázových proudů, nezáleží na tom, zda je zátěž zapojena do Y nebo D
IZ = IS UZ = US Z∆ Z∆ Z∆
(ZY není samozřejmě rovno Z∆)
S = 3U I
* f f
U Z = Uf SZ
I Z = If
U= U= Z S
* * U= I U I Z Z f f
= S Y 3= S Z 3U f I*f
3U f e
j30°
I= I= Z S
I f -j30° e 3
* * = S Z U= I U I Z Z f f
SY = S∆
= S ∆ 3= S Z 3U f I*f 29
Porovnání ztrát při přenosu energie Jednofázová soustava I1f
P, cos ϕ
R1f
P = UI1f cos ϕ
P U cos ϕ
2 R1f P 2 ∆= P1f 2 R = I U 2 cos 2 ϕ 2 1f 1f
U R1f 1f zátěž
1f zdroj U
Trojfázová soustava I3f
P, cos ϕ
R3f
P 3U cos ϕ
R3f P 2 ∆P = 3R = I 3f U 2 cos 2 ϕ 2 3f 3f
Závěr: Pokud R1f = R3f jsou celkové ztráty v 3f soustavě poloviční!
R3f
R3f
P = 3U Z I 3f cos ϕ I 3f =
U UZ = 3
U
Souměrný 3f zdroj 3×U
I1f =
Souměrná 3f zátěž
Naopak lze odvodit, že při stejných povolených ztrátách ∆P3f a ∆P1f vystačíme u 3f soustavy se 75% objemu materiálu vodičů (R3f > R1f). 30
Neharmonický odběr proudu Řízené usměrňovače (tyristory, triaky)
Impulsní napájecí zdroje
u ( t ) = U m sin (ωt )
= i ( t ) I m sin (ωt − ϕ )
Proudy (a tím i napětí na zátěži) jsou NEHARMONICKÉ ! Z, S, P, Q, S, cos ϕ
NELZE DEFINOVAT PROBLÉMY s měřením výkonu, odběru, … 31
Fourierova harmonická analýza (rozklad na harmonické složky) Periodický signál:
Opakování SPEKTRUM periodického signálu
f ( t )= f ( t + k ⋅ T ) k = 0, ± 1, ± 2,...
ω1 = 2 π f1 f (t )
∞
∑ (c k =0
k
sin ( kω1t + ϕ k ) ) 32
Výkon neharmonického proudu zdánlivý výkon
n
∑U i2
U=
S= U ⋅ I
i =0
I =
n
∑I i =0
2 i
n 2 i =i 0=i 0
= S
n
∑U ⋅ ∑ I
2 i
Skutečné efektivní hodnoty (TRMS) n
P = ∑ (U i I i cos ϕi ) činný výkon i =0 n
p (t ) = u (t ).i (t ) 2
2
S > P +Q
2
2
2
Q = ∑ (U i I i sin ϕi ) jalový výkon 2
S = P + Q + Pdef Pdef S
Q
2
i =0
= Pdef f (U i ⋅ I j )
i≠ j
deformační výkon
Ui, Ii ……. efektivní hodnoty i-té harmonické složky
P 33
Výkon neharmonického proudu Deformační výkon vzniká vzájemným působením neodpovídajících si harmonických složek proudů a napětí. Deformační výkon je nulový: • pro harmonický průběh napětí a proudu • pro neharmonické průběhy v případě odporové zátěže
= Pdef f (U i ⋅ I j )
Pro posouzení obsahu vyšších harmonických se zavádí THD (Total Harmonic Distortion): • podíl efektivního napětí 2. a vyšší harmonické k 1. harmonické složce • existují i jiné definice • nezahrnuje vliv ss složky
i≠ j
n
THD =
∑U i =2
2 i
U1
34
Výkon neharmonického proudu v 3f soustavě Účiník se počítá pouze z 1. harmonické
P cos ϕ = 1 S1
Opravdový účiník (P.F. – Power Factor) zahrnuje všechny harmonické složky
n
P = ∑ U i I i cos ϕi i =0
S =
n
n
n
∑U ⋅ ∑ I
2 i =i 0=i 0
2 i
P P λ= = = S U ⋅I
cos ϕ ≥ λ Ekvivalentní výkony 3f sítě:
Ekvivalentní opravdový účiník
P ∑ λ= ∑S
∑U i =0
i
⋅ I i ⋅ cos ϕi
n
n
∑U ⋅ ∑ I
2 i =i 0=i 0
∑P = P
+ PV + PW
činný
U
+ SV + SW
zdánlivý
U
+ QV + QW
jalový
U
∑S = S ∑Q = Q
2 i
35
Příklad měření parametrů sítě - Analyzátor 3f sítě
Je použit v laboratorní úloze 2B
Analyzátor sítě DMK 40 je číslicový TRMS multimetr řízený mikroprocesorem, určený pro měření parametrů 1f a 3f soustav. Měří: • Uf skutečnou efektivní hodnotu fázových napětí • US skutečnou efektivní hodnotu sdružených napětí • If skutečnou efektivní hodnotu fázových proudů • P činný výkon v jednotlivých fázích • Q jalový výkon v jednotlivých fázích • S zdánlivý výkon v jednotlivých fázích • f kmitočet • opravdový účiník v jednotlivých fázích (P.F.) • účiník v jednotlivých fázích (cos ϕ) • harmonické složky napětí a proudů do 22. harmonické • odebrané i dodané energie 36
Elektrické stroje
37
Elektrické stroje
Točivé stroje
Netočivé stroje
38
Motor
39
Vznik točivého magnetického pole motoru
I1
U1
U2
0 W2 V2 W1 V1
I2 I3
3 cívky po 120°
40
Točivé magnetické pole Pokusy s „motory“ • Francois Arago 1825 • Walter Baily 1879 • Galileo Feraris 1885 -Turino
Volba kmitočtu: 125 Hz, 133 Hz 25, 30 Hz 60 (50) Hz
Asynchronní motor (Nikola Tesla) • 1882 idea • 1888 patent (dvoufázový motor) Tzv. „Válka proudů“ - Westinghouse versus Edison Vítězství koncepce střídavého proudu • 1893 – vodní elektrárna Niagara (2× 3725 kW) • 10 dvoufázových generátorů po 500 HP 41
Z historie
N. Tesla: ukázka z knihy o vícefázových proudech – dvoufázový indukční stroj 42
Z historie
Ukázka z přednášek prof. Domalípy, u něhož N. Tesla v Praze studoval experimentální fyziku 43
Animace vzniku točivého pole
Točivé magnetické pole
i3
i2
i1
Vzájemnou záměnou dvou libovolných vinutí (např. 2 a 3) se změní smyl otáčení pole!
44
Asynchronní motor Rotor s vinutím nakrátko
Momentová charakteristika
Synchronní otáčky 45
Motor
46
Motory
Reverzace směru otáčení motoru záměnou dvou fází. 47
Kompenzace jalového výkonu P
Q
Q
•
•
Přidáním kompenzačního prvku s opačnou reaktancí k zátěži se zmenší Q procházející napájecím vedením snížení přenosových ztrát Energie jalového výkonu se akumuluje v kompenzačním prvku 48
Kompenzace jalového výkonu
Jalový výkon je přenášen přenosovou soustavou a zvyšuje ztráty, proto je nutné jej minimalizovat kompenzace jalového výkonu.
49
Kompenzace jalového výkonu Kompenzace pomocí lokálních prvků (kompenzační C) nebo centrálních kompenzátorů.
50
Centrální kompenzátor jalového výkonu
• • •
Umístění v rozvodně objektu Obsahuje baterie kompenzačních C Připojování C řídí jednotka podle aktuální hodnoty účiníku 51
Účinnost Příklad výpočtu (ze štítkových údajů motoru) Příkon motoru:
P1 =3U f I f cos ϕ =⋅ 3
400 ⋅ 8,3 ⋅ 0,83 = 3
= 4773 W Výkon motoru:
P2 = 4000 W
Účinnost motoru:
= η
P2 4000 = = 0,84 P1 4773
52
Trojfázové tranformátory
53
Šestifázová soustava L2
L3
L4
L5
L6
Usměrněný průběh (malé zvlnění)
u
-UV
UW
-UU
12 0°
Re
t
0
UV
Časový průběh 3f síť
U
L1=U L2=-W L3=V L4=-U L5=W L6=-V
V W
Použití: výkonové usměrňovače (např. železniční trakce)
UU 60 °
LU1
Im
-UW
Fázorový diagram 6f síť
Zapojení zátěže: • hvězda YY, • šestiúhelník, • dvojitý trojúhelník DD Transformátor Yy0 54
Analýza trojfázových obvodů
55
Analýza trojfázových obvodů v HUS A) Nesouměrný zdroj a/nebo nesouměrná zátěž YN (obecný případ)
Z1 ≠ Z 2 ≠ Z3
I1 ZV
U10
Z1 IN
U30
U1
ZN
U20
Z3
Z2 UN
I2
U2
I3
ZV
Metody řešení : • Kirchoffovy rovnice • MSP • MUN
ZV
Pozn.: Případné impedance fázových vodičů Zv se přičtou k impedancím zátěže
U3
Postup analýzy: 1.výpočet UN, IN 2.výpočet napětí na zátěžích 3.výpočet proudů zátěží 4.výpočet výkonů (pomocí S) 56
Analýza trojfázových obvodů v HUS I1
1) Výpočet UN a IN
U10
Z1 IN
U30
U1
ZN
U20
Z3
Z2 UN
I2
U2
U3
I3
Z1 I1 U10
Z2 I2
Přepočítáme zdroje
Z3 I3
IN
U10 U 20 U 30 = I10 = , I 20 = , I 30 Z1 Z2 Z3
UN
IN UN
U20 U30 ZN Y1 I10
Y2 I20
Y3
YN
I30 57
Analýza trojfázových obvodů v HUS 1) Výpočet UN a IN
IN Y2
Y1
Y ⋅ UN = I
I10
I20
Y3
UN
YN
I30
[ YN + Y1 + Y2 + Y3 ] ⋅[ U N=] UN =
U10 Y1 + U 20 Y2 + U 30 Y3 U10 Y1 + U 20 Y2 + U 30 Y3 I1
YN + Y1 + Y2 + Y3
U10
Z1 UN
U30
U20 I2
I= YN ⋅ U N N
U1
Z3
Z2 U2
U3
I3
Pozn.: Pro zapojení Y (bez středního vodiče) je YN = 0 58
Analýza trojfázových obvodů v HUS I1
2) Výpočet napětí na zátěžích U10
Z II.K.z. vyplývá:
U U10 − U N = 1
IN U30
I2
U U 30 − U N = 3
I1 = U1 / Z1 I 2 = U2 / Z2 I 3 = U 3 / Z3
U1
ZN
U20
U U 20 − U N = 2
3) Výpočet proudů zátěží (tedy i fázových proudů)
Z1
Z3
Z2 UN U2
U3
I3
4) Výpočet výkonů
S1 = U1I1*
Pn = Re {S n }
S 2 = U 2 I*2
Qn = Im {S n }
S 3 = U 3I*3
S n = Sn 59
Analýza trojfázových obvodů v HUS B) Souměrný zdroj – nesouměrná zátěž Y (poruchy zátěže) I1 U10
U30
Z1
U20 I2 I3
U10 = U U 20= a ⋅ U 2
U 30= a ⋅ U
U1
Z3
Z2 U2
Porucha: a) zkrat 1. fáze Z1 =0 (U1 = 0) b) vodič 1 přerušen Z1 ∞
U3
Z II. K.z.:
−U 3 + U 30 − U10 = 0 U = U 30 − U10 3 −U 2 + U 20 − U10 = 0 U = U 20 − U10 2 60
Analýza trojfázových obvodů v HUS Z2
Z3
U2 U10
U3 U3
Závěr: Při zkratu fáze se napětí na zbývajících impedancích √3× zvětší!
U30
U30 U10
-U10
U20 U30
U1 = 0
U2
U20 U 20
U 2 = U 20 − U10 = a 2 U − U= U ( a 2 − 1)=
U 3 = U 30 − U10 = a U − U = 1 3 1 e j120° =− + j a =⋅ 2 2
1 3 a 2 − 1 =− − j − 1 = 3 ⋅ e − j150° 2 2
U ( a − 1) =
3Ue-j150°
3Ue j150°
1 3 a − 1 =− + j − 1 = 3 ⋅ e j150° 2 2 61
Analýza trojfázových obvodů v HUS B) Souměrný zdroj – nesouměrná zátěž Y (poruchy zátěže) I1 =I1 0 U10
U30
U1 Z1
U20
ZU11
Z3
Z2
I2
U2
Porucha: a) zkrat 1. fáze Z1 =0 (U1 = 0) b) zátěž 1 přerušena Z1 ∞
U3
I3
U10 = U U 20= a 2 ⋅ U
I1 = 0 Z I. K.z.:
Z II. K.z.:
I 2 = −I 3
U1 = U10 − U 20 + U 2
U 30= a ⋅ U 62
Analýza trojfázových obvodů v HUS Z2
U= 1,5 ⋅ U 1
Z3 U3
U2 I
U20
U30
U 20 − U 30 I= Z 2 + Z3
U3
U30 U 30 30
U10 U 10
3 U2 = − j U 2 U 3 = −U 2 =j
Z 2 = Z3
3 U 2
U U20 20 20
U 20 − U 30 2Z U1 = U10 − U 20 + U 2 = U − a 2 U + 0,5U ( a 2 − a ) =1,5 ⋅ U
U U22
U1
-U -U30 30
I=
U 2 =I ⋅ Z =0,5 ( U 20 − U 30 ) =0,5 ( a 2 U − aU ) =0,5U ( a 2 − a )
a 2 − a =− j 3
Závěr: Při přerušení fáze se na ní napětí zvýší na 1,5násobek (!) a napětí na zbývajících impedancích se zmenší 0,5√3 = 0,866krát. 63
Analýza trojfázových obvodů v HUS C) Nesouměrný zdroj – nesouměrná zátěž ∆ (obecný případ) I1 U12
U10
I12 U30
Z1 Z3
U20
Z2
I2 I3
Metody řešení : • Kirchoffovy rovnice • MSP
I31
U23
U31
I23
Postup analýzy: 1. výpočet napětí na zátěžích 2. výpočet proudů zátěží 3. výpočet fázových proudů 4. výpočet výkonů (pomocí S) 64
Analýza trojfázových obvodů v HUS I1
Pro souměrný zdroj: U12
U10
U31
I12 U30
Z2
I2 I3
1) Výpočet napětí na zátěžích
I31 Z1 Z3
U20
30° U1
U12 = 3U1e
j30°
U 23 = a 2 U12 U23
U31
U12
U3
I23
U2
U 31 = aU12
U= U10 − U 20 12 U= U 20 − U 30 23 U= U 30 − U10 31
U23
3) Výpočet fázových proudů
I1 = I12 − I 31 , I 2 = I 23 − I12 , I 3 = I 31 − I 23 4) Výpočet výkonů
2) Výpočet proudů zátěží (sdružených proudů)
I12 = U12 / Z1 I 23 = U 23 / Z 2 I 31 = U 31 / Z3
* S1 = U12 I12
Pn = Re {S n }
S 2 = U 23I*23
Qn = Im {S n }
S 3 = U 31I*31
S n = Sn 65
Analýza trojfázových obvodů v HUS D) Souměrný zdroj – souměrná zátěž (Y nebo ∆) Výpočet se zjednoduší – počítáme pouze pro 1 fázi! I1
Z= Z= Z= Z UN = 0 1 2 3
U10
Z
UN = 0 U30
U20 I2 I3
U10
Lze doplnit nulový vodič, opticky vzniknou 3 jednofázové obvody.
Z
Z U20
U30
U10 Z 2 = I 2 a= I1 , I 3 a I1 I1 =
S =3 ⋅ S1 =3 ⋅ U10 I1* Postup výpočtu: • Vypočteme potřebné veličiny pro jednu fázi (např. 1.) • Veličiny ve zbývajících fázích získáme pouhým natočením pomocí operátoru a2 resp. a Stejně postupujeme i pro zapojení ∆ • Celkový komplexní výkon je S = 3·S1 66
Příklad Spotřebič je zapojen do hvězdy, impedance Z1 = Z2 = Z3 = Z = (10 + j25) Ω. Je napájen souměrným zdrojem o sdružených napětích US = 400 V. ( U12= 400ej 0°, U23 = 400e-j120°, U31 = 400ej120°). Vypočtěte proudy, celkový komplexní, činný, jalový a zdánlivý výkon spotřebiče.
Souměrná napájecí soustava i zátěž
U I1
U12
U1
U I1 = 1 Z
Z1
Z3
Z2 I2 U2
U3
I 2 = a 2 I1 I 3 = a I1 U31 U3
I3
V U23
U31
U12
W
30°
UN = 0
U12 − j30° U= e = 231∠ − 30° V 1 3
U1
U2
U23
67
Příklad U I1
U12
= I1
U1 Z1
U1 231∠ − 30° = = 8,577∠ − 98, 20° A Z (10 + j25)
I 2 =a 2 I1 =I1e − j120° =8,577∠141,80° A Z3
Z2 I2 U2
U3
I3
V U23
U31
I 3 =aI1 =I1e j120° =8,577∠21,80° A
S =3 ⋅ S1 =3 ⋅ U1I1∗ =3 ⋅ Z1 I12 =
= ( 2207 + j5517 ) = 5942∠68, 20° VA
W
= P Re = {S} 2207 W = Q Im = {S} 5517 var S= S= 5942 VA 68
Alternativně pomocí MSP I1 U12
Z IS1 Z
Z I2 U23
MSP
U31
IS2
I3
2Z − Z IS1 U12 U − Z 2Z ⋅ I = S2 23 400 20 + j50 −10 − j25 I S1 ⋅ = −10 − j25 20 + j50 I 400∠ −120° S2
I1 = I S1 I= I S2 − IS1 2 I 3 = −I S2 69
Rozklad nesouměrné soustavy na souměrné složky Im
Im
UW
UU
UW
Re
UV
UU Re
UV
Souměrné složky napětí a proudu lze fyzikálně interpretovat a jsou přímo měřitelné.
Nesouměrná soustava
Im
UaW
Sousledná (synchronní) soustava
Zpětná (inverzní) soustava
Nulová (netočivá) soustava
Im
Im
UbV
UaU
U0 Re
Re
UbW
UaV
UU = Ua + Ub + U 0 UV = a2Ua + aUb + U0 UW = aUa + a2Ub + U0
UaU = Ua UaV = a2Ua UaW = aUa
Re
UbU
UbU = Ub UbV = aUb UbW = a2Ub
U0U = U0 U0V = U0 U0W = U0 70
Rozklad nesouměrné soustavy na souměrné složky Im
Im
Im
UaW
UW
UU
UV
Im
UbV
UaU
Re
U0 Re
Re
Re
UbW
UbU
UaV
Nesouměrná soustava činitel nesouměrnosti
ρ=
Ub Ua
Sousledná soustava
Zpětná soustava
Nulová soustava
činitel nevyváženosti
U0 η= Ua
Při U0 = 0 je soustava vyvážená
Používají se např. pro posouzení kvality přenosu elektrické energie. 71
Rozklad nesouměrné soustavy na souměrné složky Nesouměrná soustava
IU
Z
UV
IV
Z
UW
IW
Z
UU
ZN
IN
Výkon nesouměrné trojfázové soustavy vyjádřený souměrnými složkami
S= 3(U a I*a + U b I*b + U 0 I*0 ) Proud IN je způsoben nulovou složkou, při I0 = 0 je IN = 0, soustava je vyvážená
UaU
UbU
IU
Z
UaV
UbV
IV
Z
IU = Ia +
UbW
IW
Z
IV = a 2Ia + a Ib + I0 IW =a Ia + a 2Ib + I0
UaW
U0
ZN IN
Ib + I0
Rozklad na souměrné složky - důležitý v teorii točivých elektrických strojů 72
Konec Kolejní 2906/4 612 00 Brno Czech Republic
Tel.: 541 149 521 Fax: 541 149 512 e-mail:
[email protected]
73
