Elektromosságtan. I. Egyenáramú hálózatok. Magyar Attila

Elektromosságtan I. Egyenáramú hálózatok

Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék [email protected]

2010. február 1.

Alaptörvények

Áramerősség

Áttekintés

1

Alaptörvények Áramerősség Feszültség Potenciál A feszültség és az áram kapcsolata Ellenállás Források és generátorok

2

Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása

Magyar Attila (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. február

2 / 39

Alaptörvények

Áramerősség

Áramerősség Elektromos áram: töltött részecskék mozgása. Áramirány: pozitív töltéshordozók iránya. Jele I. [I ] = amper = A (Kirchoff csomóponti törvénye) Bármely csomópontra az Ik áramerősségek előjeles összege nulla. n X

Ik = 0

k=1

A csomópontba befolyó a negatív, a kifolyó a pozitív.


Elektromosságtan

2010. február

3 / 39

Alaptörvények

Áramerősség

Ismeretlen áramirányoknál referencia áramiránnyal dolgozunk.

I4 + I5 − I1 − I2 − I3 = 0

Csomóponti törvény ∼ Töltésmegmaradás elve: a csomópontot körülvevő zárt felület belsejében levő töltések száma állandó. Általánosítása a vágattörvény


Elektromosságtan

2010. február

4 / 39

Alaptörvények

Feszültség

Feszültség Töltésáramlás energiaviszonyait fejezi ki, jele U. Iránya a pozitív pólusból a negatív felé mutat. Mérése voltmérővel történik.

[U] = volt = V

(Kirchoff huroktörvénye) Bármely hurok (irányított zárt görbe) mentén az Uk feszültségek előjeles összege nulla. (Az ellenkező irányúakat negatív előjellel kell figyelembe venni.) n X Uk = 0 k=1


Elektromosságtan

2010. február

5 / 39

Alaptörvények

Potenciál

Potenciál 4 csomópont, köztük 6 feszültség mérhető. Helyette megadható 3 csomópont feszültsége (potenciálja) egy alapponthoz viszonyítva:

Huroktörvény a kijelölt hurokra: UA0 − UB0 − UAB = 0

⇒

ΦA − ΦB = UAB

Két pont potenciáljának különbsége a két pont közt eső feszültség. Magyar Attila (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. február

6 / 39

Alaptörvények

Fesz és áram kapcsolata

A feszültség és az áram kapcsolata

A kétpólusra szabályozható feszültségforrást kapcsolva és az áramot mérve megkaphatjuk a kétpólus U = f (I ), illetve I = g (U) karakterisztikáját.


Elektromosságtan

2010. február

7 / 39

Alaptörvények


Teljesítmény

Időegység alatt felvett, vagy leadott energia, illetve végzett munka. Teljesítmény jele P, [P] = watt = W , P = U · I Mérése wattmérővel történik

Fogyasztói referencia, termelői referencia


Elektromosságtan

2010. február

8 / 39

Alaptörvények


A P = U · I teljesítmény lehet pozitív, vagy negatív. Ennek alapján a kétpólus lehet passzív, vagy aktív. passzív: csak (villamos) teljesítmény felvételére képes

fogyasztó: teljesítményt vesz fel

aktív: teljesítmény leadására termelő: teljesítményt ad le is képes Passzív kétpólus csak fogyasztó lehet, aktív kétpólus fogyasztó és termelő is lehet.


Elektromosságtan

2010. február

9 / 39

Alaptörvények

Ellenállás

Ellenállás Az ellenállás passzív kétpólus. Ha a karakterisztikája lineáris, akkor lineáris az ellenállás, ha nem, akkor nemlineáris.

Az ellenállás, mint fizikiai mennyiség: rezisztencia


Elektromosságtan

2010. február

10 / 39

Alaptörvények

Ellenállás

(Ohm-törvénye) Lineáris ellenálláson eső feszültség egyenesen arányos a rajta átfolyó árammal. U = R · I, I =G ·U G=

1 R

vezetés, vagy konduktancia. Mértékegységeik: [R] =

V = ohm = Ω A

[G ] =

Lineáris ellenállás teljesítménye:   U · I = (R · I ) · I = R · I 2 P=  2 U ·I =U · U R =G ·U


A = siemens = S = Ω−1 V

Az ellenállás teljesítménye mindig pozitív, azaz az ellenállás mindig fogyasztó. (Negatív ellenállás: olyan aktív elem, amely mindig termelő - nemlineáris kétpólusok leírására alkalmas.)

Elektromosságtan

2010. február

11 / 39

Alaptörvények

Források és generátorok

Források A források és generátorok aktív kétpólusok. A feszültségforrás UV forrásfeszültsége (az áramforrás IA forrásárama) állandó, azaz U ≡ UV (I ≡ IA ).

A feszültségforrással párhuzamosan kapcsolt bármely elem a hálózat többi elemének szempontjából elhagyható, mivel csak a feszültségforrás áramát befolyásolja. Magyar Attila (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. február

12 / 39

Alaptörvények


Áramforrás:

A teljesítmény pozitív is lehet, ha a terhelő kétpólus aktív. Az áramforrással sorba kapcsolt bármely elem a hálózat többi elemének szempontjából elhagyható, mivel csak az áramforrás feszültségét befolyásolja.


Elektromosságtan

2010. február

13 / 39

Alaptörvények


Generátorok A valódi aktív kétpólust generátornak hívjuk. Generátor = forrás + ellenállás

A karakterisztika helyettesíthető feszültség- és áramgenerátorral is.


Elektromosságtan

2010. február

14 / 39

Alaptörvények


Generátoros helyettesítések

Fesz. generátor karakterisztikája:

Áramgenerátor karakterisztikája:

I = IA − G b · U U = UV − I · Rb A feszültséggenerátor üresjárási feszültsége az UV forrásfeszültség, az áramgenerátor rövidzárási árama az IA forrásáram. A kettő hányadosa a generátor Rb belső ellenállása: Rb IA UV = = Rb IA IA Magyar Attila (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. február

15 / 39

Alaptörvények


Feszültséggenerátor hatásfoka Az R ellenállással lezárt feszültséggenerátor kapocsteljesítménye az Rb -n hővé alakuló teljesítménnyel kisebb a forrás teljesítményénél: P = U · I = (UV − I · Rb ) · I = UV · I − I 2 · Rb . P = R · I 2, P b = Rb · I 2 , = η = PPhasznos teljes

P P+Pb

Az R terhelő ellenállás által felvett teljesítmény: P = R · I 2 = UV2


R (R + Rb )2

Elektromosságtan

2010. február

16 / 39

Alaptörvények


Teljesítmény illesztés Keressük meg azt az R0 terhelést, amely mellett a teljesítmény maximális! Terhelő ellenállás által felvett teljesítmény: R P = R · I 2 = UV2 (R + Rb )2 Maximalizáljuk a felvett teljesítményt:

Pmax =

UV2 , 4Rb


dP = 0 = dR (R + Rb )2 − 2R(R + Rb ) = UV2 (R + Rb )4 R0 = Rb mellett maximális η = 50% Elektromosságtan

2010. február

17 / 39

Alaptörvények


Bármely, Pmax -nál kisebb teljesítmény két különböző R-rel biztosítható R R P1 = UV2 = UV2 2 (R + Rb )2 R + 2Rb · R + Rb2 nullára rendezve: R 2 · P1 + (2Rb · P1 − UV2 ) · R + Rb2 · P1 = 0 R-ben másodfokú egyenletq UV2 − 2Rb · P1 ± (2Rb · P1 − UV2 )2 − 4Rb2 · P12 R1,2 = , R1 · R2 = Rb2 2P1 A belső ellenálláson hővé alakuló teljesítmény Rb Pb = Rb · I 2 = UV2 (R + Rb )2 Hatásfok P R η= = P + Pb R + Rb


Elektromosságtan

2010. február

18 / 39


Áttekintés

1

Alaptörvények

2

Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása Lineáris hálózat Szuperpozíció elve Ellenállások soros és párhuzamos kapcsolása Ellenállások csillag-háromszög átalakítása Wheatstone - híd A helyettesítő generátorok tétele Millmann tétele


Elektromosságtan

2010. február

19 / 39


Lineáris hálózat

Lineáris hálózat Egy hálózat lineáris, ha felépíthető lineáris kétpólusokból. Lineáris kétpólus matematikai alakja: U = R · I + U0 lineáris feszültséggenerátor I = G · U + I0 lineáris áramgenerátor U0 = 0, ill. I0 = 0 esetben homogén lineáris karakterisztika, egyébként inhomogén lineáris. R = 0, ill. G = 0 esetben az áramforrás és feszültségforrás karakterisztikája adódik. Egyenáramú hálózat: UV , IA , és R időben állandó. (Lineáris egyenáramú hálózatok számításának alapfeladata) Adott a hálózat struktúrája, az ellenállások rezisztenciája, a források forrásfeszültsége, és forrásárama; határozzuk meg a hálózatot alkotó elemek ismeretlen feszültségeit és áramait!


Elektromosságtan

2010. február

20 / 39


Szuperpozíció elve

Szuperpozíció elve Lineáris hálózat esetén az x bemenet és az y kimenet között lineáris kapcsolat áll fenn: y = L{x},

ahol L{c1 x1 + c2 x2 } = c1 L{x1 } + c2 L{x2 },

c1,2 ∈ R

Összegtartás: szuperpozíció elve Aránytartás: a kimenet a bemenet változásával arányosan változik (Szuperpozíció elve) Lineáris hálózat esetén a különböző források egymástól függetlenül hozzák létre feszültségeiket és áramaikat, ezek a hálózati elemeken összegződnek, szuperponálódnak. Az egyes források hatása úgy is vizsgálható, hogy a többi forrást kikapcsoljuk, azaz a feszültségforrásokat rövidzárral (UV = 0), az áramforrásokat pedig szakadással (IA = 0) helyettesítjük.


Elektromosságtan

2010. február

21 / 39


Szuperpozíció elve

A szuperpozíció elve csak lineáris hálózatokra érvényes.

I1 = I10 + I100 ,

I2 = I20 + I200 ,


U1 = U10 + U100 ,

Elektromosságtan

U2 = U20 + U200

2010. február

22 / 39


Soros és párhuzamos kapcsolás

Ellenállások soros kapcsolása Sorba kapcsolt ellenállások árama közös, feszültségeik összegződnek Az eredő kétpólus is ellenállás: n n n X X X U = RS · I = Uk = Rk · I = I · Rk , k=1

és RS =

k=1 n X

k=1

Rk

k=1

Az ellenállásokon eső feszültségek arányosak az ellenállások rezisztenciájával: Rk Uk = Rk · I = U, k = 1, . . . , n RS


Elektromosságtan

2010. február

23 / 39



Rezisztív feszültségosztó

Két sorba kapcsolt ellenállás rezisztív feszültségosztót alkot: A leosztott feszültségek: R1 G2 =U R1 + R2 G1 + G2 R2 G1 U2 = U =U R1 + R2 G1 + G2 U1 = U

G1 =

1 , R1


G2 =

1 , R2

és

Elektromosságtan

U1 R1 G2 = = U2 R2 G1

2010. február

24 / 39



Ellenállások párhuzamos kapcsolása Párhuzamosan kapcsolt ellenállások feszültsége közös, áramaik összegződnek n

n

k=1

k=1

X U X 1 U I = = =U , RP Rk Rk ebből n

X 1 1 = RP Rk k=1

Az ellenállásokon átfolyó áramok fordítottan arányosak az ellenállások rezisztenciájával: U RP Ik = = I , k = 1, . . . , n Rk Rk


Elektromosságtan

2010. február

25 / 39



Rezisztív áramosztó Két párhuzamosan kapcsolt ellenállás rezisztív áramosztót alkot: A leosztott áramok: R2 G1 RP I =I =I I1 = R1 R1 + R2 G1 + G2 RP R1 G2 I2 = I =I =I R2 R1 + R2 G1 + G2 (Szimmetria) A sorba kapcsolt konduktanciákra vonatkozó összefüggések ugyanolyan alakúak, mint a párhuzamosan kapcsolt rezisztanciákra vonatkozók, és fordítva. R1 és R2 párhuzamos eredője R1 × R2 (replusz) R1 × R2 =


R1 · R2 R1 + R2

Elektromosságtan

2010. február

26 / 39


Csillag-háromszőg átalakítás

Ellenállások csillag-háromszög átalakítása A csillagkapcsolás és a háromszögkapcsolás rezisztenciái mindig megválaszthatók úgy, hogy a hálózat többi részében a feszültségek és áramok nem változnak meg: a két kapcsolás ekvivalens

(Kérdés) Mi az összefüggés a két kapcsolás ellenállásai között?


Elektromosságtan

2010. február

27 / 39



Háromszög → csillag Az ekvivalencia feltétele, hogy bármely két kapocsra nézve az eredő rezisztencia a két kapcsolásnál megegyezzen, ha a harmadik kapocs árammentes. A csillag kapcsolás (i) R10 + R20 = R12 × (R23 + R31 ) rezisztanciái (ii) R20 + R30 = R23 × (R31 + R12 ) R31 · R12 R10 = (iii) R10 + R30 = R31 × (R12 + R23 ) R4 Jelölés: R4 = R12 + R23 + R31 R10 : (i) + (iii) − (ii) R20 : (i) + (ii) − (iii) R30 : (ii) + (iii) − (i)


Elektromosságtan

R20 =

R12 · R23 R4

R30 =

R23 · R31 R4

2010. február

28 / 39



Csillag → háromszög

Ötlet: páronként zárjuk rövidre a kapcsokat, és határozzuk meg az így kapott kétpólus konduktanciáját.

Például 2 és 3 rövidre zárva, és határozzuk meg 1 és 2 közötti konduktanciát!


Elektromosságtan

2010. február

29 / 39


(i) G12 + G31 = G10 × (G20 + G30 ) (ii) G23 + G12 = G20 × (G30 + G10 ) (iii) G31 + G23 = G30 × (G10 + G20 ) Jelölés: GY = G10 + G20 + G30


Áttérve rezisztenciákra: 1 1 1 1 + + = RY R10 R20 R30 továbbá

G12 : (i) + (ii) − (iii) G23 : (ii) + (iii) − (i) G31 : (i) + (iii) − (ii) A háromszög kapcsolás konduktanciái G12 = G23 = G31 =

G10 ·G20 GY G20 ·G30 GY G30 ·G10 GY


Elektromosságtan

R12 =

1 R10 · R20 = G12 RY

R23 =

1 R20 · R30 = G23 RY

R31 =

1 R30 · R10 = G31 RY

2010. február

30 / 39


Wheatstone - híd

Wheatstone-híd Feladat: határozzuk meg az I áramot! Ötlet: alakítsuk át az A-B-C háromszöget csillaggá!


Elektromosságtan

2010. február

31 / 39


R4 = R + R3 + R1 R1 · R RA = R4 R3 · R RB = R4 R1 · R3 RC = R4 A híd bemenő ellenállása a forrás kapcsairól nézve:

Wheatstone - híd

RA + R2 U0 · Rb RA + R2 + RB + R4 A és B közti feszültség, illetve áram: IB =

U = R2 · I A − R4 · I B R2 · IA − R4 · IB U = I = R R (Kiegyenlített híd)

Rb = R0 +RC +(RA +R2 )×(RB +R4 ) Abban az esetben, ha I=0 R2 · IA = R4 · IB I és I ágáramok meghatározása: A

B

IA =

U0 RB + R4 · Rb RA + R2 + RB + R4


Elektromosságtan

R2 · R3 = R1 · R4

2010. február

32 / 39


A helyettesítő generátorok tétele

A helyettesítő generátorok tétele Tétel (Helmholtz) Bármely lineáris kétpólus helyettesíthető egy feszültséggenerátorral (Thévenin-ekvivalens), vagy egy áramgenerátorral (Norton-ekvivalens).


Elektromosságtan

2010. február

33 / 39



A kétpólus linearitásának következménye. U és I kapcsolata: U = UV − I · Rb , vagy I = IA − Gb · U

A helyettesítő generátor forrásfeszültsége a kétpólus üresjárási feszültsége (I = 0), forrásárama pedig a kétpólus rövidzárási árama (U = 0). Az üresjárási feszültség és a rövidzárási áram hányadosa az Rb belső ellenállás, amely úgy is meghatározható, hogy kikapcsoljuk a forrásokat, és meghatározzuk a kétpólus bemeneti ellenállását.


Elektromosságtan

2010. február

34 / 39



Sorba kapcsolt feszültséggenerátorok A forrásfeszültségek összeadódnak, az eredő belső ellenállás pedig a belső ellenállások soros eredője:

Rb = Rb1 + Rb2 UV = UV 1 + UV 2 n generátor esetén n X Rb = Rbk k=1

UV =

n X

UV k

k=1


Elektromosságtan

2010. február

35 / 39



Párhuzamosan kapcsolt áramgenerátorok A forrásáramok összeadódnak, az eredő belső konduktancia pedig a belső konduktanciák párhuzamos eredője.

Gb = Gb1 + Gb2 , Gb =

n X

Gbk

IA = IA1 + IA2 IA =

k=1


n X

IAk

k=1

Elektromosságtan

2010. február

36 / 39



Párhuzamosan kapcsolt feszültséggenerátorok Párhuzamosan kapcsolt feszültséggenerátorokat helyettesíthetjük Norton-ekvivalensükkel.

Gbk =

1 , Rbk IA =

k = 1, 2,

n X

Gbk UV k

k=1


Gb = Gb1 + Gb2 , Gb =

n X

Gbk ,

k=1

Elektromosságtan

UV =

1 (Gb1 UV 1 + Gb2 UV 2 ) Gb

UV =

n 1 X Gbk UV k Gb k=1

2010. február

37 / 39



Sorba kapcsolt áramgenerátorok Sorba kapcsolt áramgenerátorokat helyettesíthetjük Théveninekvivalensükkel.

UV =

n X

Rbk IAk ,

k=1 Magyar Attila (Pannon Egyetem)

Rb =

n X

Rbk ,

k=1 Elektromosságtan

IA =

n 1 X Rbk IAk Rb k=1

2010. február

38 / 39


Millmann tétele

Millmann tétele, vagy csillagpont-eltolódás tétele Határozzuk meg az alábbi kapcsolásban az UAB feszültséget!

r X UVk

UAB =

k=1 r X k=1


Rk

+

1 + Rk

t X

m=1 s X i=1

IAm 1

=

összes áram összes ellenállás

Rr +i

Elektromosságtan

2010. február

39 / 39

Elektromosságtan. I. Egyenáramú hálózatok. Magyar Attila

Recommend Documents