Elektromosságtan. II. Általános áramú hálózatok. Magyar Attila

Elektromosságtan II. Általános áramú hálózatok Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék [email protected]

2010. március 22.

Alaptörvények

Áttekintés

1

Alaptörvények Áram, feszültség, teljesítmény, potenciál Források Ellenállás Kondenzátor Tekercs

2

Hálózati egyenletek

3

Lineáris időinvariáns hálózatok

Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. március

2 / 59

Alaptörvények

Áram, feszültség, teljesítmény, potenciál

Áram, feszültség, teljesítmény, potenciál Időben állandó mennyiségek nagybetűvel, időben változók pedig kisbetűvel (pillanatérték) i u p φ

= = = =

i(t) u(t) p(t) φ(t)

Önkényesen megválasztott referenciairány is tartozik a mennyiségekhez i(t) ≥ 0,

ha t ≤ t1

i(t) < 0,

ha t > t1

Amikor i(t) > 0, az áram valódi iránya a referenciairánnyal egyező, ha pedig i(t) < 0, a valódi irány a referenciairánnyal ellentétes Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. március

3 / 59

Alaptörvények


Kirchoff-törvények (Kirchoff csomóponti törvénye) Bármely csomópontra az áramerősségek előjeles összege minden pillanatban nulla: X ik (t) = 0 k

(Kirchoff huroktörvénye) Bármely hurok mentén a feszültségek előjeles összege nulla minden időpontban: X uk (t) = 0 k

Pillanatnyi teljesítmény: p(t) = u(t) · i(t) A pillanatnyi teljesítmény pozitív, ha u és i referenciairánya egyező, negatív, ha ellentétes. Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. március

4 / 59

Alaptörvények


Pillanatnyi teljesítmény Míg az időben állandó teljesítmény pozitív, vagy negatív a teljes idótartományban, addig az időben változó teljesítmény bizonyos tartományokon lehet pozitív, másutt pedig negatív. A kétpólus időnként teljesítményt ad le, máskor teljesítményt vesz fel I. időtartomány: t ≤ t1 u > 0, i > 0, p = u · i > 0 fogyasztó II. időtartomány: t1 < t ≤ t2 u > 0, i < 0, p = u · i < 0 termelő III. időtartomány: t2 < t u < 0, i < 0, p = u · i > 0 fogyasztó Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. március

5 / 59

Alaptörvények

Források

Források Feszültségforrás: olyan kétpólus, amelynek feszültségét - az áramtól függetlenül - meghatározott időfüggvény írja le. A feszültségforrás feszültsége a forrásfeszültség: u(t) = uV (t). Áramát a hozzá csatlakozó kétpólus határozza meg. Pl. uV (t) = A sin(ωt + ϕ) Áramforrás: olyan kétpólus, melynek áramát - a feszültségtől függetlenül - meghatározott időfüggvény írja le. Árama a forrásáram: i(t) = iA (t). Az áramforrás feszültségét a hozzá csatlakozó kétpólus határozza meg. Aktív kétpólus: forrást és belső ellenállást tartalmaz (feszültségés áramgenerátor) A generátor forrásfeszültsége, ill. forrásárama az üresjárási feszültség, ill. rövidzárási áram Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. március

6 / 59

Alaptörvények

Ellenállás

Ellenállás A kétpólus ellenállás, ha bármely u(t) és i(t) időfüggvény esetén u(t) = f (i(t)), vagy i(t) = h(u(t)), ∀t. Homogén lineáris ellenállás esetén u(t) = R · i(t), illetve i(t) = G · u(t), ahol R, illetve G a rezisztív kétpólus rezisztanciája, illetve konduktanciája. Ha R = R(t), illetve G = G (t), akkor idővariáns az ellenállás, egyébként időinvariáns. Az ellenállás pillanatnyi teljesítménye: i · f (i) p =u·i = u · h(u) Lineáris ellenállás esetén p = u · i = R · i 2 = G · u 2 . Lineáris időfüggő ellenállás esetén p = u · i = R(t) · i 2 = G (t) · u 2 . Rezisztív hálózatok alapegyenletei: X X ik = 0 minden csomópontra, uk = 0 minden hurokra k

k

uk = fk (ik ), vagy ik = hk (uk ) minden ellenállásra Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. március

7 / 59

Alaptörvények

Kondenzátor

Kondenzátor Kondenzátor, vagy kapacitív kétpólus: kapcsolat található a kétpólus feszültsége, és áramának idő szerinti integrálja között. Töltés és áram kapcsolata: dq(t) , illetve i(t) = dt Z t Z t q(t) = i(τ )d τ = q(t0 ) + i(τ )d τ −∞

t0

Töltés mértékegysége: [q] = A · s = coulomb = C Kondenzátor karakterisztikája q = f (u),

vagy u = h(q)

lineáris esetben q = C · u, vagy u = D · q, ahol C As C = kapacitás: [C ] = = = farad = F , V V V V D = elaszticitás: [D] = = C As Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. március

8 / 59

Alaptörvények

Kondenzátor

Kondenzátor karakterisztikája


Elektromosságtan

2010. március

9 / 59

Alaptörvények

Kondenzátor

Kondenzátor feszültsége és árama Lineáris időinvariáns kondenzátor: q(t) = C · u(t), deriválva mindkét oldalt i(t) = C · du(t) dt Z ebből 1 t i(τ )d τ u(t) = u(t0 ) + C t0 Lineáris időfüggő kondenzátor: d dC (t) u(t) [C (t) · u(t)] = · u(t) + C (t) · dt dt dt Z t 1 C (t ) 0 u(t) = i(t 0 )dt 0 + u(t0 ) C (t) t0 C (t) Nemlineáris kondenzátor: dq dq(u(t)) dq(u) du i= = = · dt dt du dt i(t) =


Elektromosságtan

2010. március

10 / 59

Alaptörvények

Kondenzátor

Kondenzátor teljesítménye Teljesítmény: p(t) = u(t) · i(t) = u(t) · q(t) dt A [t0 , t] időintervallumban végzett munka: Z q(t) Z t Z t dq(τ ) dτ = u(q 0 )dq 0 w (t0 , t) = p(τ )d τ = u(τ ) dτ q(t0 ) t0 t0 ha az u(q) skalárértékű függvény, akkor w (t0 , t) megadja a kondenzátor energiájának megváltozását Mivel u(q = 0) = 0, ezért a töltés- és feszültségmentes állapothoz nulla energiát rendelve, a kondenzátor által tárolt energia Z q(t) w (t) = u(q 0 )dq 0 0

Lineáris időinvariáns kondenzátor esetén q = C · u, azaz dq 0 = C · du 0 , és 1 w (t) = Cu 2 (t) 2 Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. március

11 / 59

Alaptörvények

Kondenzátor

Alaptörvények Homogén kapacitív hálózat: csak forrásokat és kondenzátorokat tartalmaz (Kapacitív hálózatok alapegyenletei) Csomóponti törvény:

X

ik = 0

k

Huroktörvény deriváltja:

X duk k

Karakterisztika: ik = Ck ·

dt

=0

duk dt

Analógia az egyenáramú hálózatokkal: I ∼ i, U ∼

du dt ,

G ∼C

Időben állandó feszültségkomponensek figyelmen kívül hagyhatók, mivel ezekre du dt = 0 Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. március

12 / 59

Alaptörvények

Kondenzátor

Kondenzátorok soros és párhuzamos kapcsolása Feltétel: t = 0 pillanatban energiamentes kondenzátor Párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok: du1 du2 du C = C1 + C2 , = = dt dt dt C1 Kapacitív áramosztó: i1 = i C1 + C2 C1 q Kapacitív töltésosztó: u1 = u2 = u, q1 = C1 + C2 di1 C1 di Kapacitív áramderivált osztó: = dt C1 + C2 dt Sorosan kapcsolt kondenzátorok: C = C1 × C2 , i1 = i2 = i du1 C2 du Kapacitív feszültségderivált osztó: = dt C1 + C2 dt C2 Kapacitív feszültségosztó: q1 = q2 = q, u1 = u C1 + C2 di1 di2 di = = dt dt dt Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. március

13 / 59

Alaptörvények

Tekercs

Tekercs Induktív kétpólus, vagy tekercs: jelalaktól független kapcsolat van az árama és feszültségének idő szerinti integrálja között Mágneses fluxus és feszültség kapcsolata: d Ψ(t) u(t) = , illetve dt Z t Z t Ψ(t) = u(τ )d τ = Ψ(t0 ) + u(τ )d τ −∞

t0

Fluxus mértékegysége: [Ψ] = V · s = weber = Wb Tekercs karakterisztikája Ψ = f (i),

vagy i = h(Ψ)

lineáris esetben Ψ = L · i, vagy i = Γ · Ψ, ahol Wb Vs L = induktivitás: [L] = = = henry = H, A A A A Γ = reciprok induktivitás: [Γ] = = Wb Vs Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. március

14 / 59

Alaptörvények

Tekercs

Tekercs karakterisztikája


Elektromosságtan

2010. március

15 / 59

Alaptörvények

Tekercs

Tekercs feszültsége és árama Lineáris időinvariáns tekercs: Ψ(t) = L · i(t), u(t) = L · di(t) dt ebből

deriválva mindkét oldalt

1 i(t) = i(t0 ) + L

Z

t

u(τ )d τ t0

Lineáris időfüggő tekercs: d dL(t) di(t) [L(t) · i(t)] = · i(t) + L(t) · dt dt dt Z t 1 L(t0 ) i(t) = u(τ )d τ + i(t0 ) L(t) t0 L(t) Nemlineáris tekercs: dΨ d Ψ(i(t)) d Ψ(i) di u= = = · dt dt di dt u(t) =


Elektromosságtan

2010. március

16 / 59

Alaptörvények

Tekercs

Tekercs teljesítménye Pillanatnyi teljesítmény: p(t) = u(t) · i(t) = i(t) · dΨ(t) dt A [t0 , t] időintervallumban végzett munka: Z t Z t Z Ψ(t) d Ψ(τ ) w (t0 , t) = p(τ )d τ = i(τ ) dτ = i(Ψ0 )d Ψ0 d τ t0 t0 Ψ(t0 ) ha az i(Ψ) skalárértékű függvény, akkor w (t0 , t) megadja a tekercs energiájának megváltozását Mivel i(Ψ = 0) = 0, ezért a töltés- és feszültségmentes állapothoz nulla energiát rendelve, a tekercs által tárolt energia Z Ψ(t) w (t) = i(Ψ0 )d Ψ0 0

Lineáris időinvariáns tekercs esetén Ψ = L · i, azaz d Ψ0 = L · di 0 , és 1 w (t) = Li 2 (t) 2 Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. március

17 / 59

Alaptörvények

Tekercs

Alaptörvények Homogén induktív hálózat: csak forrásokat és tekercseket tartalmaz (Induktív hálózatok alapegyenletei) Csomóponti törvény deriváltja:

X dik dt

k

Huroktörvény:

X

=0

uk = 0

k

Karakterisztika: uk = Lk · Analógia az egyenáramú hálózatokkal: I ∼

dik dt

di dt ,

U ∼ u, R ∼ L

Időben állandó áramkomponensek figyelmen kívül hagyhatók, mivel di ezekre dt =0


Elektromosságtan

2010. március

18 / 59

Alaptörvények

Tekercs

Tekercsek soros és párhuzamos kapcsolása Feltétel: t = 0 pillanatban energiamentes tekercs Párhuzamosan kapcsolt tekercsek: L = L1 × L2 ,

u1 = u2 = u di1 L2 di Induktív áramderivált osztó: = dt L1 + L2 dt L2 Induktív áramosztó: Ψ1 = Ψ2 = Ψ, i1 = i L1 + L2 Sorosan kapcsolt tekercsek: di1 di2 di L = L1 + L 2 , = = dt dt dt L1 Induktív feszültségosztó: u1 = u L 1 + L2 L1 Induktív fluxusosztó: i1 = i2 = i, Ψ1 = Ψ L1 + L 2 du1 L1 du Induktív feszültségderivált osztó: = dt L1 + L2 dt Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. március

19 / 59


Áttekintés

1

Alaptörvények

2

Hálózati egyenletek Kirchoff-törvények Az egyenletek teljes rendszere Kezdeti és kiindulási értékek A hálózat regularitása és rendszáma Az állapotváltozók

3



Elektromosságtan

2010. március

20 / 59


Kirchoff-törvények

Kirchoff-törvények

A csomóponti és hurokegyenletek érvényesek általános áramú hálózatokra is (A Kirchoff-egyenletek teljes rendszere) r X

r = n − c csomópontra

ik = 0,

k=1 m X

uk = 0,

m = b − r hurokra

k=1

ahol n a csomópontok száma, c az összefüggő komponensek száma, b az ágak száma, az egyenletek száma összesen m + r = b.


Elektromosságtan

2010. március

21 / 59


Az egyenletek teljes rendszere

Az egyenletek teljes rendszere Ha a hálózat b ágat tartalmaz, akkor az ismeretlenek száma 2b: b feszültség és b áram. A Kirchoff-törvények b számú egyenletet szolgáltatnak, a hiányzó b egyenletet az ágtörvények adják. A Kirchoff-törvényekből és az ágtörvényekből származó egyenletek alkotják együtt az egyenletek teljes rendszerét. Feszültségforrás:

uk = uVk

Áramforrás:

ik = iAk

Ellenállás: lineáris időinvariáns: lineáris időben változó: nemlineáris: Magyar A. (Pannon Egyetem)

uk = Rk ik vagy ik = Gk uk uk = Rk (t)ik vagy ik = Gk (t)uk uk = fk (ik ) vagy ik = hk (uk )

Elektromosságtan

2010. március

22 / 59


Az egyenletek teljes rendszere

Az egyenletek teljes rendszere Kondenzátor: lineáris időinvariáns:

k ik = Ck du dt

lineáris időben változó:

ik =

k = Ck du dt +

dCk dt uk

k ik = dq dt vagy qk = fk (uk ) vagy k uk = hk (qk ) vagy ik = Ck (uk ) du dt

nemlineáris: Tekercs: lineáris időinvariáns: lineáris időben változó: nemlineáris:


d dt [Ck (t)u(k)]

uk = Lk didtk uk =

d dt [Lk (t)i(k)]

= Lk didtk +

dLk dt ik

k uk = dΨ dt vagy Ψk = fk (ik ) vagy ik = hk (Ψk ) vagy uk = Lk (ik ) didtk

Elektromosságtan

2010. március

23 / 59


Kezdeti és kiindulási értékek

Kezdeti és kiindulási értékek Kezdeti érték:

Kiindulási érték:

u(+0) = lim u(t), t > 0 t→0 i(+0) = lim i(t), t > 0 t→0

u(−0) = lim u(t), t < 0 t→0 i(−0) = lim i(t), t < 0 t→0 Korlátos mennyiségeket tételezünk fel: kondenzátor töltése és tekercs fluxusa. Ez azt jelenti, hogy kezdeti és kiindulási értékük megegyezik. q(+0) = q(−0), Ψ(+0) = Ψ(−0) Különben dq = i, és dΨ dt dt = u miatt végtelen áramok és feszültségek jelennének meg Ebből uC (+0) = uC (−0) és iL (+0) = iL (−0) is teljesül (Összefoglalva) A q(t), Ψ(t), illetve uC (t) és iL (t) függvényeknek folytonosnak kell lenniük, nem lehet ugrás t = 0-ban. Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. március

24 / 59



A t = 0 időpillanatban a kondenzátor egy uC (−0) forrásfeszültségű feszültségforrásnak tekinthető A t = 0 időpillanatban a tekercs egy iL (−0) forrásáramú áramforrásnak tekinthető A t = +0 időpillanatban a hálózat olyan egyenáramú hálózattal helyettesíthető, amely a kondenzátorokat és tekercseket helyettesítő fiktív forrásokon és az uV (+0) forrásfeszültségű és iA (+0) forrásáramú valódi forrásokon kívül csak ellenállásokat tartalmaz. Spec. eset: uC (−0) = 0 és iL (−0) = 0, ekkor a kondenzátor rövidzárral (uC (+0) = 0), a tekercs pedig szakadással (iA (+0) = 0) helyettesíthető.


Elektromosságtan

2010. március

25 / 59



Példa


Elektromosságtan

2010. március

26 / 59



Példa Kiindulási értékek u3 (−0) =

R4 UA , R2 + R4

i5 (−0) =

1 UA R2 + R4

Kezdeti értékek: u3 (+0) = u3 (−0), Kondenzátor áramának és az R2 (= kiindulási és kezdeti értékei: u2 (−0) =

i5 (+0) = i5 (−0) 1 G2 )

ellenállás feszültségének

R2 R2 +R4 UA

i3 (−0) = 0 u2 (+0) = uv (+0) − u3 (+0) = UB −

R4 R2 +R4 UA

i3 (+0) = G2 · u2 (+0) − i5 (+0) = G2 · (UB − UA ) Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. március

27 / 59


A hálózat regularitása és rendszáma

A hálózat regularitása és rendszáma Reguláris hálózat: korlátos gerjesztések esetén minden változó korlátos marad véges időkre. Egyenáramú hálózatok esetében ez azt jelenti, hogy feszültségforrások nem alkothatnak hurkot, áramforrások pedig vágatot Általános áramú hálózatok esetében pedig azt, hogy a hálózat nem tartalmazhat csak feszültségforrásokból és kondenzátorokból álló (V+C) hurkot, illetve csak áramforrásokból és tekercsekből álló (A+L) vágatot:


Elektromosságtan

2010. március

28 / 59


A hálózat regularitása és rendszáma

Reguláris hálózat gráfjában mindig található normál fa: olyan fa, amelyben a feszültségforrásoknak és a kondenzátoroknak megfelelő ágak faágak, az áramforrásoknak és tekercseknek megfelelő ágak pedig kötőágak. Reguláris hálózat N rendszáma az energiatárolók számával egyezik meg: N = bC + bL ahol bC a hálózatban található kondenzátorok száma, bL a hálózatban található tekercsek száma.


Elektromosságtan

2010. március

29 / 59


Az állapotváltozók

Az állapotváltozók A hálózat a környezetéből érkező hatásokra (e1 , . . . , eP gerjesztések) reagál (y1 , . . . , yM válaszokat ad) A gerjesztések a forrásfeszültségek és forrásáramok, a válaszok pedig a minket érdeklő feszültségek és áramok. Állapotváltozók (x1 , . . . , xN ): belső változók, amelyek valamely t1 időpillanatbeli x1 (t1 ), . . . , xN (t1 ) értékére 1

2

a t1 -beli állapot és a gerjesztések ismeretében bármely t2 -beli állapot (t2 > t1 ) meghatározható a t1 -beli állapot és a gerjesztések ismeretében meghatározhatók a rendszer válaszai


Elektromosságtan

2010. március

30 / 59



Az állapotváltozók elsőrendű differenciálegyenleteknek tesznek eleget: xi (t) = ϕi (x1 , x2 , . . . , xN ; e1 , e2 , . . . , eP ; t), dt

i = 1, 2, . . . , N

A válaszok az állapotok és a gerjesztések, valamint az idő függvényeként fejezhetők ki: yj (t) = γj (x1 , x2 , . . . , xN ; e1 , e2 , . . . , eP ; t),

j = 1, 2, . . . , N

Mátrix-vektoros alak: dx dt

y    e= 

e1 e2 .. .

   , 

   y = 

eP Magyar A. (Pannon Egyetem)

y1 y2 .. . yM

   , 

= ϕ(x, e, t) , ahol = γ(x, e, t)   x1 ϕ : RN × RP × R → RN  x2    x =  . ,  ..  γ : RN × RP × R → RM xN Elektromosságtan

2010. március

31 / 59



Mivel e ismert, csak x és t a független változók. A hálózat állapottér modellje: dx = f (x, t), ← állapotegyenlet dt y = g (x, t), ← kimeneti egyenlet Ha a hálózat lineáris és időinvariáns, akkor a hálózat állapottér modellje is lineáris: dx dt

y A ∈ RN×N ,

= A·x +B ·e , = C ·x +D ·e

B ∈ RN×P ,

ahol

C ∈ RM×N ,

D ∈ RM×P

f -et és g -t, illetve az A, B, C , D mátrixok értékeit a hálózat struktúrája, illetve az ágtörvények határozzák meg. Reguláris hálózatok állapotváltozói a a kondenzátorok töltése, illetve a tekercsek fluxusa, mivel ezek folytonos mennyiségek. Lineáris időinvariáns hálózatok esetében a kondenzátorok feszültségei és a tekercsek áramai is tekinthetők állapotváltozóknak. Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. március

32 / 59



Állapottérmodell felírása

1 2

Felírjuk a hálózati egyenletek teljes rendszerét duC A kondenzátorok áramát dq dt illetve C · dt alakban, a tekercsek diL feszültségét dΨ dt illetve L · dt alakban fejezzük ki.

3

A hálózati egyenleteket úgy rendezzük, hogy az állapotváltozókat (qk , uCk , Ψk , iLk ) és a gerjesztéseket ismertnek tekintjük, az összes többi változót pedig ismeretlennek.

4

Az egyenletrendszert megoldjuk


Elektromosságtan

2010. március

33 / 59



A hálózati egyenletek teljes rendszere 2b, azaz 10 egyenletből áll Kirchoff-egyenletek: (r + m) i1 + i2 = 0 i1 + i3 + i4 = 0 −i1 − i3 − i5 = 0 −u1 + u2 + u4 + u5 = 0 −u3 + u4 + u5 = 0 Magyar A. (Pannon Egyetem)

Ágtörvények: (b) u1 = uV u2 = R2 · i2 3 i3 = C3 · du dt u4 = R4 · i4 u5 = L5 · didt5

Elektromosságtan

2010. március

34 / 59


0 0 u2 i3

= = = =

−uV + R2 · i5 + R2 C3 · −u3 + R4 · i5 + L5 · didt5 uv − u3 i2 − i5

Állapottér modell  du3  dt





di5 dt

u2



 = 





 = 




i3


− R21C3

− C13

1 L5

− RL54

−1

0

− R12

−1

du3 dt

+ R4 · i5 + L5 ·

 

u3

·

 



u3



  · uV

0 

+ i5

1 R2 C3

+ i5

·

Elektromosságtan



di5 dt

1 1 R2

  · uV

2010. március

35 / 59


Áttekintés

1

Alaptörvények

2


3

Lineáris időinvariáns hálózatok A hálózategyenletek megoldása A tranziens összetevő A stacionárius összetevő A teljes megoldás Néhány elsőrendű hálózat Néhány másodrendű hálózat


Elektromosságtan

2010. március

36 / 59


A hálózategyenletek megoldása


Adottak Állapotegyenlet (elsőrendű, lineáris inhomogén, állandó együtthatós differenciálegyenlet) d x(t) = A · x(t) + B · e(t) dt Az állapotváltozókra vonatkozó kezdeti feltételek: x(+0) = x(−0) Kimeneti egyenlet (algebrai egyenlet) y (t) = C · x(t) + D · e(t)


Elektromosságtan

2010. március

37 / 59



Lineáris állandó együtthatós differenciálegyenletrendszer megoldása A homogén differenciálegyenlet x(t) = x tr (t) megoldása, ami N határozatlan állandót tartalmaz d x(t) = A · x(t), e(t) = 0 dt Ez a tranziens összetevő, ami a források nélküli hálózat folyamatait írja le. Ezek akkor vannak jelen, ha a hálózat energiát tárolt (kondenzátor kiindulási feszültsége, tekercs kiindulási árama). Ez az energia a hálózat veszteségein hővé alakul, azaz: lim x tr (t) = 0 t→∞

Az inhomogén differenciálegyenlet egy x st (t) partikuláris megoldása (stacionárius összetevő) A differenciálegyenlet általános megoldása: x(t) = x st (t) + x tr (t) lim x(t) = x st (t) t→∞

A határozatlan állandók az x(−0) = x(+0) kezdeti feltételekből számolhatók.


Elektromosságtan

2010. március

38 / 59


A tranziens összetevő

A tranziens összetevő (xtr (t)) - Elsőrendű hálózat Egyetlen energiatárolót tartalmaz → egy állapotváltozója van dxtr (t) = A · xtr (t) dt Megoldás általános alakja: xtr (t) = M · e λt λ meghatározása: λ · M · e λt = A · M · e λt

→λ=A

Reguláris hálózat esetén a tranziens nullához tart (λ < 0): 1 λ = A = −δ = − T ahol δ a csillapítási tényező, és T az időállandó, 1 T = >0 δ Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. március

39 / 59



A tranziens összetevő (xtr (t)) - Elsőrendű hálózat T időállandó értelmezése: a tranziens T idő alatt e-ed részére csökken xtr (T ) = M · e −1 = 1 · xtr (0) ≈ 0.368 · xtr (0) e a kezdeti érintő t = T helyen metszi az időtengelyt d M − t [xtr (0)]t=0 = − e T dt T t=0 =− Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

M = − cot(α0 ) T 2010. március

40 / 59



A tranziens összetevő (xtr (t)) - Másodrendű hálózat Két energiatárolót tartalmaz → két állapotváltozó jellemzi dx1 (t) dt dx2 (t) dt

= A11 · x1 (t) + A12 · x2 (t) = A21 · x1 (t) + A22 · x2 (t)

Megoldás általános alakja: x1 (t) = M1 · e λt ,

x2 (t) = M2 · e λt

Visszahelyettesítve, és e λt -vel egyszerűsítve: (A11 − λ) · M1 + A12 · M2 = 0 A21 · M1 + (A22 − λ) · M2 = 0 Nemtriviális megoldás a karakterisztikus egyenletből: A11 − λ A12 = 0 → λ1 , λ2 ; v λ1 , v λ2 A21 A22 − λ λ1 , λ2 : az A mátrix sajátértékei, v λ1 , v λ2 : a λ1 , λ2 -hez tartozó sajátvektorok Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. március

41 / 59



A tranziens összetevő (xtr (t)) - Másodrendű hálózat A megoldás alakja: λ1 6= λ2 ∈ R egyszeres valós sajátértékek: x(t) = c1 · e λ1 t · v λ1 + c2 · e λ2 t · v λ2 λ1,2 = −δ ± jω komplex konjugált sajátérték pár (v λ = a ± jb): x(t) = c1 · e −δt · (a · cos(ωt) − b · sin(ωt)) + c2 · e −δt · (a · sin(ωt) + b · cos(ωt)) λ1 = λ2 ∈ R többszörös (kétszeres) valós sajátértékek: x(t) = c1 · e λt · v λ + c2 t · e λt · v λ + e λt · η λ η λ általánosított sajátérték ((A − λI )η = v megoldása) Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. március

42 / 59



A tranziens összetevő (xtr (t)) - Másodrendű hálózat


Elektromosságtan

2010. március

43 / 59





Elektromosságtan

2010. március

44 / 59





Elektromosságtan

2010. március

45 / 59



A tranziens összetevő (xtr (t)) - Magasabbrendű hálózat

N-edrendű állapotegyenlet N

dxi (t) X = Aik · xk (t), dt

i = 1, . . . , N

k=1

Megoldás alakja:

xi (t) = Mi · e λt

Karakterisztikus egyenlet: det(A − λ · I N ) = 0


→

λ 1 , . . . , λ N ; v λ1 , . . . , v λN

Elektromosságtan

2010. március

46 / 59


A stacionárius összetevő

A stacionárius összetevő

Állandósult állapotbeli viselkedés Állandó forrásmennyiségek: t = ∞-ben a kondenzátorokon nem folyik áram (szakadás), a tekercseken nem esik feszültség (rövidzár), így a hálózat csak forrásokat és ellenállásokat tartalmaz. Ha a forrásmennyiségek időfüggők, akkor egy inhomogén differenciálegyenlet rendszert kell megoldani Laplace-transzformáció Próbafüggvény módszere


Elektromosságtan

2010. március

47 / 59


A teljes megoldás

A teljes megoldás

Az általános megoldás a stacionárius összetevő és a tranziens összetevő összegeként áll elő: x(t) = x st (t) + x tr (t) A tranziens összetevő tartalmaz N határozatlan állandót, amelyet az N számú kezdeti érték alapján határozhatók meg: xi (+0) = xsti (0) + xtri (0),

i = 1, 2, . . . , N.

Elsőrendű esetben: t

x(t) = xst (t) + c · e − T ,


→

Elektromosságtan

x(+0) = xst (0) + c

2010. március

48 / 59


Néhány elsőrendű hálózat

Soros RL-kör

uV = R · i + L ·

di dt

di R 1 = − · i + · uV dt L L R R L λ=− → δ= , T = L L R Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. március

49 / 59



Soros RL-kör Tranziens összetevő: R

t

itr (t) = k · e − L t = k · e − T Stacionárius összetevő: ist (t) = Teljes megoldás: R U0 i(t) = + k · e− L t , R i(t) = Feszültségek:

U0 R

i(+0) = 0

→

k =−

U0 R

R U0 1 − e− L t R

R uR (t) = R · i(t) = U0 1 − e − L t R

uL (t) = U0 − uR (t) = U0 · e − L t Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. március

50 / 59



Soros RL-kör


Elektromosságtan

2010. március

51 / 59



Soros RC-kör

du +u dt du 1 1 =− ·u+ · uV dt RC RC 1 1 λ=− → δ= , T = RC RC RC Külön-külön a [0, τ ] és a [τ, ∞) intervallumokon uV = RC ·


Elektromosságtan

2010. március

52 / 59



Soros RC-kör, 0 < t ≤ τ

Tranziens összetevő: 1

t

utr (t) = k1 · e − RC t = k1 · e − T ,

0
Stacionárius összetevő: ust (t) = U0 ,

0
Kezdeti feltétel: u(+0) = U0 + k1 = u(−0) = UC k1 = UC − U0 Teljes megoldás 0 < t < τ : 1

u(t) = U0 + (UC − U0 ) · e − RC t ,


Elektromosságtan

0
2010. március

53 / 59



Soros RC-kör, τ < t < ∞ Tranziens összetevő: 1

utr (t) = k2 · e − RC (t−τ ) = k2 · e −

(t−τ ) T

,

τ
Stacionárius összetevő: ust (t) = 0,

τ
Kezdeti feltétel: τ

u(τ + 0) = k2 = u(τ − 0) = U0 + (UC − U0 ) · e − RC Teljes megoldás τ < t < ∞: h i (t−τ ) τ τ u(t) = U0 (1 − e − RC ) + UC · e − RC · e − RC Az ellenálláson fellépő feszültség uR = uV − u:  − t 0
Elektromosságtan

2010. március

54 / 59


Néhány másodrendű hálózat

Soros rezgőkör

Állapotváltozók a tekercs i Az állapotegyenlet: du = dt di = dt Magyar A. (Pannon Egyetem)

árama és a kondenzátor u feszültsége 1 ·i C 1 R 1 − · u − · i + · uV L L L Elektromosságtan

2010. március

55 / 59



Soros rezgőkör A tranziens összetevők alakja: utr (t) = k1 · e λt , itr (t) = k2 · e λt A homogén diffegyenletbe helyettesítve: λ · C · k1 − k2 = 0, k1 + (λ · L + R) · k2 s A sajátértékek: R2 R 1 λ1,2 = − ± − 2 2L (2L) LC Stacionárius összetevők: ust (t) = U0 ist (t) = 0 Mivel k2i = λi · C · k1i , i = 1, 2 Általános megoldás: u(t) = U0 + k11 · e λ1 t + k21 · e λ2 t i(t) = λ1 · C · k11 · e λ1 t + λ2 · C · k21 · e λ2 t Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. március

56 / 59



Soros rezgőkör Kezdeti feltételek: u(+0) = 0,

i(+0) = 0

Ebből: k11 + k12 = −U0 λ1 · C · k11 + λ2 · C · k12 = 0 Ebből a megoldás: u(t) = U0 1 + i(t) =

U0 λ1 − λ2

λ1 λ2 e λ1 t − e λ2 t λ1 − λ2 λ1 − λ2 h i e λ1 t − e λ2 t

Relatív csillapítási tényező: R ζ= 2 Magyar A. (Pannon Egyetem)

r

Elektromosságtan

C L 2010. március

57 / 59



Soros rezgőkör Relatív csillapítási tényező: ζ > 1 - túlcsillapított rezgőkör ζ < 1 - csillapított rezgőkör ζ = 1 - kritikus csillapítás

Túlcsillapított eset (ζ > 1) δ1,2 = −λ1,2

R ∓ = 2L

s

p R2 1 ζ ∓ ζ2 − 1 √ − = (2L)2 LC LC

az időállandók: T1,2 =

1 δ1,2


√ p √ LC p ≈ LC ζ −1 1 ± 1 − ζ −2 = ζ ∓ ζ2 − 1

Elektromosságtan

2010. március

58 / 59



Soros rezgőkör


Elektromosságtan

2010. március

59 / 59

Elektromosságtan. II. Általános áramú hálózatok. Magyar Attila

Recommend Documents