Elektromosságtan I. Egyenáramú hálózatok
Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék
[email protected]
2010. február 1.
Alaptörvények
Áramerősség
Áttekintés
1
Alaptörvények Áramerősség Feszültség Potenciál A feszültség és az áram kapcsolata Ellenállás Források és generátorok
2
Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
Elektromosságtan
2010. február
2 / 39
Alaptörvények
Áramerősség
Áramerősség Elektromos áram: töltött részecskék mozgása. Áramirány: pozitív töltéshordozók iránya. Jele I. [I ] = amper = A (Kirchoff csomóponti törvénye) Bármely csomópontra az Ik áramerősségek előjeles összege nulla. n X
Ik = 0
k=1
A csomópontba befolyó a negatív, a kifolyó a pozitív.
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
Elektromosságtan
2010. február
3 / 39
Alaptörvények
Áramerősség
Ismeretlen áramirányoknál referencia áramiránnyal dolgozunk.
I4 + I5 − I1 − I2 − I3 = 0
Csomóponti törvény ∼ Töltésmegmaradás elve: a csomópontot körülvevő zárt felület belsejében levő töltések száma állandó. Általánosítása a vágattörvény
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
Elektromosságtan
2010. február
4 / 39
Alaptörvények
Feszültség
Feszültség Töltésáramlás energiaviszonyait fejezi ki, jele U. Iránya a pozitív pólusból a negatív felé mutat. Mérése voltmérővel történik.
[U] = volt = V
(Kirchoff huroktörvénye) Bármely hurok (irányított zárt görbe) mentén az Uk feszültségek előjeles összege nulla. (Az ellenkező irányúakat negatív előjellel kell figyelembe venni.) n X Uk = 0 k=1
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
Elektromosságtan
2010. február
5 / 39
Alaptörvények
Potenciál
Potenciál 4 csomópont, köztük 6 feszültség mérhető. Helyette megadható 3 csomópont feszültsége (potenciálja) egy alapponthoz viszonyítva:
Huroktörvény a kijelölt hurokra: UA0 − UB0 − UAB = 0
⇒
ΦA − ΦB = UAB
Két pont potenciáljának különbsége a két pont közt eső feszültség. Magyar Attila (Pannon Egyetem)
Elektromosságtan
2010. február
6 / 39
Alaptörvények
Fesz és áram kapcsolata
A feszültség és az áram kapcsolata
A kétpólusra szabályozható feszültségforrást kapcsolva és az áramot mérve megkaphatjuk a kétpólus U = f (I ), illetve I = g (U) karakterisztikáját.
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
Elektromosságtan
2010. február
7 / 39
Alaptörvények
Fesz és áram kapcsolata
Teljesítmény
Időegység alatt felvett, vagy leadott energia, illetve végzett munka. Teljesítmény jele P, [P] = watt = W , P = U · I Mérése wattmérővel történik
Fogyasztói referencia, termelői referencia
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
Elektromosságtan
2010. február
8 / 39
Alaptörvények
Fesz és áram kapcsolata
A P = U · I teljesítmény lehet pozitív, vagy negatív. Ennek alapján a kétpólus lehet passzív, vagy aktív. passzív: csak (villamos) teljesítmény felvételére képes
fogyasztó: teljesítményt vesz fel
aktív: teljesítmény leadására termelő: teljesítményt ad le is képes Passzív kétpólus csak fogyasztó lehet, aktív kétpólus fogyasztó és termelő is lehet.
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
Elektromosságtan
2010. február
9 / 39
Alaptörvények
Ellenállás
Ellenállás Az ellenállás passzív kétpólus. Ha a karakterisztikája lineáris, akkor lineáris az ellenállás, ha nem, akkor nemlineáris.
Az ellenállás, mint fizikiai mennyiség: rezisztencia
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
Elektromosságtan
2010. február
10 / 39
Alaptörvények
Ellenállás
(Ohm-törvénye) Lineáris ellenálláson eső feszültség egyenesen arányos a rajta átfolyó árammal. U = R · I, I =G ·U G=
1 R
vezetés, vagy konduktancia. Mértékegységeik: [R] =
V = ohm = Ω A
[G ] =
Lineáris ellenállás teljesítménye: U · I = (R · I ) · I = R · I 2 P= 2 U ·I =U · U R =G ·U
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
A = siemens = S = Ω−1 V
Az ellenállás teljesítménye mindig pozitív, azaz az ellenállás mindig fogyasztó. (Negatív ellenállás: olyan aktív elem, amely mindig termelő - nemlineáris kétpólusok leírására alkalmas.)
Elektromosságtan
2010. február
11 / 39
Alaptörvények
Források és generátorok
Források A források és generátorok aktív kétpólusok. A feszültségforrás UV forrásfeszültsége (az áramforrás IA forrásárama) állandó, azaz U ≡ UV (I ≡ IA ).
A feszültségforrással párhuzamosan kapcsolt bármely elem a hálózat többi elemének szempontjából elhagyható, mivel csak a feszültségforrás áramát befolyásolja. Magyar Attila (Pannon Egyetem)
Elektromosságtan
2010. február
12 / 39
Alaptörvények
Források és generátorok
Áramforrás:
A teljesítmény pozitív is lehet, ha a terhelő kétpólus aktív. Az áramforrással sorba kapcsolt bármely elem a hálózat többi elemének szempontjából elhagyható, mivel csak az áramforrás feszültségét befolyásolja.
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
Elektromosságtan
2010. február
13 / 39
Alaptörvények
Források és generátorok
Generátorok A valódi aktív kétpólust generátornak hívjuk. Generátor = forrás + ellenállás
A karakterisztika helyettesíthető feszültség- és áramgenerátorral is.
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
Elektromosságtan
2010. február
14 / 39
Alaptörvények
Források és generátorok
Generátoros helyettesítések
Fesz. generátor karakterisztikája:
Áramgenerátor karakterisztikája:
I = IA − G b · U U = UV − I · Rb A feszültséggenerátor üresjárási feszültsége az UV forrásfeszültség, az áramgenerátor rövidzárási árama az IA forrásáram. A kettő hányadosa a generátor Rb belső ellenállása: Rb IA UV = = Rb IA IA Magyar Attila (Pannon Egyetem)
Elektromosságtan
2010. február
15 / 39
Alaptörvények
Források és generátorok
Feszültséggenerátor hatásfoka Az R ellenállással lezárt feszültséggenerátor kapocsteljesítménye az Rb -n hővé alakuló teljesítménnyel kisebb a forrás teljesítményénél: P = U · I = (UV − I · Rb ) · I = UV · I − I 2 · Rb . P = R · I 2, P b = Rb · I 2 , = η = PPhasznos teljes
P P+Pb
Az R terhelő ellenállás által felvett teljesítmény: P = R · I 2 = UV2
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
R (R + Rb )2
Elektromosságtan
2010. február
16 / 39
Alaptörvények
Források és generátorok
Teljesítmény illesztés Keressük meg azt az R0 terhelést, amely mellett a teljesítmény maximális! Terhelő ellenállás által felvett teljesítmény: R P = R · I 2 = UV2 (R + Rb )2 Maximalizáljuk a felvett teljesítményt:
Pmax =
UV2 , 4Rb
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
dP = 0 = dR (R + Rb )2 − 2R(R + Rb ) = UV2 (R + Rb )4 R0 = Rb mellett maximális η = 50% Elektromosságtan
2010. február
17 / 39
Alaptörvények
Források és generátorok
Bármely, Pmax -nál kisebb teljesítmény két különböző R-rel biztosítható R R P1 = UV2 = UV2 2 (R + Rb )2 R + 2Rb · R + Rb2 nullára rendezve: R 2 · P1 + (2Rb · P1 − UV2 ) · R + Rb2 · P1 = 0 R-ben másodfokú egyenletq UV2 − 2Rb · P1 ± (2Rb · P1 − UV2 )2 − 4Rb2 · P12 R1,2 = , R1 · R2 = Rb2 2P1 A belső ellenálláson hővé alakuló teljesítmény Rb Pb = Rb · I 2 = UV2 (R + Rb )2 Hatásfok P R η= = P + Pb R + Rb
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
Elektromosságtan
2010. február
18 / 39
Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása
Áttekintés
1
Alaptörvények
2
Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása Lineáris hálózat Szuperpozíció elve Ellenállások soros és párhuzamos kapcsolása Ellenállások csillag-háromszög átalakítása Wheatstone - híd A helyettesítő generátorok tétele Millmann tétele
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
Elektromosságtan
2010. február
19 / 39
Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása
Lineáris hálózat
Lineáris hálózat Egy hálózat lineáris, ha felépíthető lineáris kétpólusokból. Lineáris kétpólus matematikai alakja: U = R · I + U0 lineáris feszültséggenerátor I = G · U + I0 lineáris áramgenerátor U0 = 0, ill. I0 = 0 esetben homogén lineáris karakterisztika, egyébként inhomogén lineáris. R = 0, ill. G = 0 esetben az áramforrás és feszültségforrás karakterisztikája adódik. Egyenáramú hálózat: UV , IA , és R időben állandó. (Lineáris egyenáramú hálózatok számításának alapfeladata) Adott a hálózat struktúrája, az ellenállások rezisztenciája, a források forrásfeszültsége, és forrásárama; határozzuk meg a hálózatot alkotó elemek ismeretlen feszültségeit és áramait!
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
Elektromosságtan
2010. február
20 / 39
Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása
Szuperpozíció elve
Szuperpozíció elve Lineáris hálózat esetén az x bemenet és az y kimenet között lineáris kapcsolat áll fenn: y = L{x},
ahol L{c1 x1 + c2 x2 } = c1 L{x1 } + c2 L{x2 },
c1,2 ∈ R
Összegtartás: szuperpozíció elve Aránytartás: a kimenet a bemenet változásával arányosan változik (Szuperpozíció elve) Lineáris hálózat esetén a különböző források egymástól függetlenül hozzák létre feszültségeiket és áramaikat, ezek a hálózati elemeken összegződnek, szuperponálódnak. Az egyes források hatása úgy is vizsgálható, hogy a többi forrást kikapcsoljuk, azaz a feszültségforrásokat rövidzárral (UV = 0), az áramforrásokat pedig szakadással (IA = 0) helyettesítjük.
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
Elektromosságtan
2010. február
21 / 39
Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása
Szuperpozíció elve
A szuperpozíció elve csak lineáris hálózatokra érvényes.
I1 = I10 + I100 ,
I2 = I20 + I200 ,
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
U1 = U10 + U100 ,
Elektromosságtan
U2 = U20 + U200
2010. február
22 / 39
Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása
Soros és párhuzamos kapcsolás
Ellenállások soros kapcsolása Sorba kapcsolt ellenállások árama közös, feszültségeik összegződnek Az eredő kétpólus is ellenállás: n n n X X X U = RS · I = Uk = Rk · I = I · Rk , k=1
és RS =
k=1 n X
k=1
Rk
k=1
Az ellenállásokon eső feszültségek arányosak az ellenállások rezisztenciájával: Rk Uk = Rk · I = U, k = 1, . . . , n RS
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
Elektromosságtan
2010. február
23 / 39
Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása
Soros és párhuzamos kapcsolás
Rezisztív feszültségosztó
Két sorba kapcsolt ellenállás rezisztív feszültségosztót alkot: A leosztott feszültségek: R1 G2 =U R1 + R2 G1 + G2 R2 G1 U2 = U =U R1 + R2 G1 + G2 U1 = U
G1 =
1 , R1
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
G2 =
1 , R2
és
Elektromosságtan
U1 R1 G2 = = U2 R2 G1
2010. február
24 / 39
Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása
Soros és párhuzamos kapcsolás
Ellenállások párhuzamos kapcsolása Párhuzamosan kapcsolt ellenállások feszültsége közös, áramaik összegződnek n
n
k=1
k=1
X U X 1 U I = = =U , RP Rk Rk ebből n
X 1 1 = RP Rk k=1
Az ellenállásokon átfolyó áramok fordítottan arányosak az ellenállások rezisztenciájával: U RP Ik = = I , k = 1, . . . , n Rk Rk
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
Elektromosságtan
2010. február
25 / 39
Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása
Soros és párhuzamos kapcsolás
Rezisztív áramosztó Két párhuzamosan kapcsolt ellenállás rezisztív áramosztót alkot: A leosztott áramok: R2 G1 RP I =I =I I1 = R1 R1 + R2 G1 + G2 RP R1 G2 I2 = I =I =I R2 R1 + R2 G1 + G2 (Szimmetria) A sorba kapcsolt konduktanciákra vonatkozó összefüggések ugyanolyan alakúak, mint a párhuzamosan kapcsolt rezisztanciákra vonatkozók, és fordítva. R1 és R2 párhuzamos eredője R1 × R2 (replusz) R1 × R2 =
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
R1 · R2 R1 + R2
Elektromosságtan
2010. február
26 / 39
Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása
Csillag-háromszőg átalakítás
Ellenállások csillag-háromszög átalakítása A csillagkapcsolás és a háromszögkapcsolás rezisztenciái mindig megválaszthatók úgy, hogy a hálózat többi részében a feszültségek és áramok nem változnak meg: a két kapcsolás ekvivalens
(Kérdés) Mi az összefüggés a két kapcsolás ellenállásai között?
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
Elektromosságtan
2010. február
27 / 39
Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása
Csillag-háromszőg átalakítás
Háromszög → csillag Az ekvivalencia feltétele, hogy bármely két kapocsra nézve az eredő rezisztencia a két kapcsolásnál megegyezzen, ha a harmadik kapocs árammentes. A csillag kapcsolás (i) R10 + R20 = R12 × (R23 + R31 ) rezisztanciái (ii) R20 + R30 = R23 × (R31 + R12 ) R31 · R12 R10 = (iii) R10 + R30 = R31 × (R12 + R23 ) R4 Jelölés: R4 = R12 + R23 + R31 R10 : (i) + (iii) − (ii) R20 : (i) + (ii) − (iii) R30 : (ii) + (iii) − (i)
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
Elektromosságtan
R20 =
R12 · R23 R4
R30 =
R23 · R31 R4
2010. február
28 / 39
Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása
Csillag-háromszőg átalakítás
Csillag → háromszög
Ötlet: páronként zárjuk rövidre a kapcsokat, és határozzuk meg az így kapott kétpólus konduktanciáját.
Például 2 és 3 rövidre zárva, és határozzuk meg 1 és 2 közötti konduktanciát!
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
Elektromosságtan
2010. február
29 / 39
Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása
(i) G12 + G31 = G10 × (G20 + G30 ) (ii) G23 + G12 = G20 × (G30 + G10 ) (iii) G31 + G23 = G30 × (G10 + G20 ) Jelölés: GY = G10 + G20 + G30
Csillag-háromszőg átalakítás
Áttérve rezisztenciákra: 1 1 1 1 + + = RY R10 R20 R30 továbbá
G12 : (i) + (ii) − (iii) G23 : (ii) + (iii) − (i) G31 : (i) + (iii) − (ii) A háromszög kapcsolás konduktanciái G12 = G23 = G31 =
G10 ·G20 GY G20 ·G30 GY G30 ·G10 GY
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
Elektromosságtan
R12 =
1 R10 · R20 = G12 RY
R23 =
1 R20 · R30 = G23 RY
R31 =
1 R30 · R10 = G31 RY
2010. február
30 / 39
Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása
Wheatstone - híd
Wheatstone-híd Feladat: határozzuk meg az I áramot! Ötlet: alakítsuk át az A-B-C háromszöget csillaggá!
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
Elektromosságtan
2010. február
31 / 39
Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása
R4 = R + R3 + R1 R1 · R RA = R4 R3 · R RB = R4 R1 · R3 RC = R4 A híd bemenő ellenállása a forrás kapcsairól nézve:
Wheatstone - híd
RA + R2 U0 · Rb RA + R2 + RB + R4 A és B közti feszültség, illetve áram: IB =
U = R2 · I A − R4 · I B R2 · IA − R4 · IB U = I = R R (Kiegyenlített híd)
Rb = R0 +RC +(RA +R2 )×(RB +R4 ) Abban az esetben, ha I=0 R2 · IA = R4 · IB I és I ágáramok meghatározása: A
B
IA =
U0 RB + R4 · Rb RA + R2 + RB + R4
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
Elektromosságtan
R2 · R3 = R1 · R4
2010. február
32 / 39
Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása
A helyettesítő generátorok tétele
A helyettesítő generátorok tétele Tétel (Helmholtz) Bármely lineáris kétpólus helyettesíthető egy feszültséggenerátorral (Thévenin-ekvivalens), vagy egy áramgenerátorral (Norton-ekvivalens).
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
Elektromosságtan
2010. február
33 / 39
Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása
A helyettesítő generátorok tétele
A kétpólus linearitásának következménye. U és I kapcsolata: U = UV − I · Rb , vagy I = IA − Gb · U
A helyettesítő generátor forrásfeszültsége a kétpólus üresjárási feszültsége (I = 0), forrásárama pedig a kétpólus rövidzárási árama (U = 0). Az üresjárási feszültség és a rövidzárási áram hányadosa az Rb belső ellenállás, amely úgy is meghatározható, hogy kikapcsoljuk a forrásokat, és meghatározzuk a kétpólus bemeneti ellenállását.
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
Elektromosságtan
2010. február
34 / 39
Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása
A helyettesítő generátorok tétele
Sorba kapcsolt feszültséggenerátorok A forrásfeszültségek összeadódnak, az eredő belső ellenállás pedig a belső ellenállások soros eredője:
Rb = Rb1 + Rb2 UV = UV 1 + UV 2 n generátor esetén n X Rb = Rbk k=1
UV =
n X
UV k
k=1
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
Elektromosságtan
2010. február
35 / 39
Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása
A helyettesítő generátorok tétele
Párhuzamosan kapcsolt áramgenerátorok A forrásáramok összeadódnak, az eredő belső konduktancia pedig a belső konduktanciák párhuzamos eredője.
Gb = Gb1 + Gb2 , Gb =
n X
Gbk
IA = IA1 + IA2 IA =
k=1
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
n X
IAk
k=1
Elektromosságtan
2010. február
36 / 39
Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása
A helyettesítő generátorok tétele
Párhuzamosan kapcsolt feszültséggenerátorok Párhuzamosan kapcsolt feszültséggenerátorokat helyettesíthetjük Norton-ekvivalensükkel.
Gbk =
1 , Rbk IA =
k = 1, 2,
n X
Gbk UV k
k=1
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
Gb = Gb1 + Gb2 , Gb =
n X
Gbk ,
k=1
Elektromosságtan
UV =
1 (Gb1 UV 1 + Gb2 UV 2 ) Gb
UV =
n 1 X Gbk UV k Gb k=1
2010. február
37 / 39
Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása
A helyettesítő generátorok tétele
Sorba kapcsolt áramgenerátorok Sorba kapcsolt áramgenerátorokat helyettesíthetjük Théveninekvivalensükkel.
UV =
n X
Rbk IAk ,
k=1 Magyar Attila (Pannon Egyetem)
Rb =
n X
Rbk ,
k=1 Elektromosságtan
IA =
n 1 X Rbk IAk Rb k=1
2010. február
38 / 39
Lineáris egyenáramú hálózatok elemi számítása
Millmann tétele
Millmann tétele, vagy csillagpont-eltolódás tétele Határozzuk meg az alábbi kapcsolásban az UAB feszültséget!
r X UVk
UAB =
k=1 r X k=1
Magyar Attila (Pannon Egyetem)
Rk
+
1 + Rk
t X
m=1 s X i=1
IAm 1
=
összes áram összes ellenállás
Rr +i
Elektromosságtan
2010. február
39 / 39