Elektromosságtan. III. Szinuszos áramú hálózatok. Magyar Attila

Elektromosságtan III. Szinuszos áramú hálózatok Magyar Attila Pannon Egyetem Műszaki Informatika Kar Villamosmérnöki és Információs Rendszerek Tanszék [email protected]

2010. április 26.

Szinuszos áramú lineáris időinvariáns hálózatok

Szinuszosan váltakozó feszültség és áram leírása

Áttekintés

1

Szinuszos áramú lineáris időinvariáns hálózatok Szinuszosan váltakozó feszültség és áram leírása Középértékek Szinuszosan váltakozó mennyiségekre vonatkozó alaptörvények Komplex írásmód Impedancia és admittancia Hálózatok számítása

Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. április

2 / 27



Szinuszosan váltakozó feszültség és áram leírása Időben szinuszosan váltakozó áram, illetve feszültség alakja ˆ · sin(ωt + ϕu ) u(t) = U , i(t) = Î · sin(ωt + ϕi ) ahol u(t) i(t) ˆ U Î ω f T ϕu ϕi Magyar A. (Pannon Egyetem)

= = = = = = = = =

a feszültség pillanatértéke, [V] az áram pillanatértéke, [A] a feszültség csúcsértéke [V] az áram csúcsértéke [A] körfrekvencia, [rad/s]=[1/s] frekvencia, [1/s], ω = 2πf periódusidő, [s], ω = 2π T a feszültség kezdőfázisa az áram kezdőfázisa Elektromosságtan

2010. április

3 / 27





Elektromosságtan

2010. április

4 / 27


Középértékek

Középértékek A villamos mérőműszerek a fesz. és az áram valamilyen középértékét mérik: Egyenáramú középérték: Z ˆ Z T 1 T U UK = u(t)dt = sin(ωt + ϕu )dt = T 0 T 0 ˆ ˆ U U =− [cos(ωt + ϕu )]T [cos(ωT + ϕu ) − cos(ϕu )] = 0 0 =− ωT ωT R ˆ sin(ωt + ϕu ), akkor UK = 1 T u(t)dt = U0 Ha u(t) = U0 + U T 0 Abszolút középérték: Z ˆ Z T 1 T U ϕu transzformáció: UA = |u(t)|dt = | sin(ωt+ϕu )|dt, t = t 0 − T 0 T 0 ω ˆ Z T0 ˆ Z T 0 /2 ˆ Z T /2 U U U 0 0 0 0 = 0 sin(ωt dt ) = 2 0 sin(ωt )dt = 2 sin(ωt 0 )dt 0 = T 0 T 0 T 0 ˆ ˆ t 0 =T U 4U 2ˆ = −2 cos(ωt 0 ) t 0 =0 = π = U ωT 2T T π Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. április

5 / 27


Középértékek

Középértékek Négyzetes középérték (effektív érték): s s Z ˆ2 Z T U 1 T 2 u (t)dt = sin(ωt + ϕu )dt = U= T 0 T 0 s ˆ2 Z T U = [1 − cos(2ωt + ϕu )] dt 2T 0 ˆ2 ˆ2 ˆ U sin(2(ωt + ϕu )) T U U 2 U = t− = → U=√ 2T 2ω 2 2 0 Csúcstényező (kcs ) és formatényező (kf ): kcs =


ˆ √ |U| = 2, U

kf =

Elektromosságtan

U π =√ UA 2

2010. április

6 / 27

Szinuszosan váltakozó mennyiségekre vonatkozó Szinuszos áramú lineáris időinvariáns hálózatok alaptörvények

Szinuszosan váltakozó mennyiségekre vonatkozó alaptörvények

Kirchoff-törvények: X ik (t) = 0 csomóponti törvény rang számú vágatra k

X

uk (t) = 0 huroktörvény nullitás számú hurokra

k

Feszültségforrás forrásfeszültsége: √ u(t) = uV (t) = 2 · UV · sin(ωt + ϕuV ) Áramforrás forrásárama: i(t) = iA (t) =


√

2 · IA · sin(ωt + ϕiA )

Elektromosságtan

2010. április

7 / 27


Ellenállás Az ellenállás feszültsége arányos áramával: u = R · i vagy i = G · u, azaz √ √ 2 · UR · sin(ωt + ϕuR ) = R · 2 · IR · sin(ωt + ϕiR ), amiből UR = R · IR , ( vagy IR = G · UR , ) és ϕuR = ϕiR Az ellenállás árama és feszültsége fázisban van egymással, nincs közöttük fáziseltérés.


Elektromosságtan

2010. április

8 / 27


Kondenzátor A kondenzátor árama arányos a feszültségének idő szerinti deriváltjával du i =C· , azaz dt √ √ √ π 2IC sin(ωt +ϕiC ) = ωC 2UC cos(ωt +ϕuC ) = ωC 2UC sin(ωt +ϕuC + ) 2 1 π amiből: UC = IC , és ϕiC = ϕuC + ωC 2

A kondenzátor árama 90◦ -kal siet a feszültségéhez képest, (vagy feszültsége 90◦ -ot késik áramához képest)


Elektromosságtan

2010. április

9 / 27


Tekercs A tekercs feszültsége arányos az áramának idő szerinti deriváltjával di u = L · , azaz dt √ √ √ π 2UL sin(ωt + ϕuL ) = ωL 2IL cos(ωt + ϕiL ) = ωL 2IL sin(ωt + ϕiL − ) 2 π amiből: UL = ωLIL , és ϕiL = ϕuL − 2

A tekercs árama 90◦ -ot késik a feszültségéhez képest, (vagy feszültsége 90◦ -kal siet áramához képest)


Elektromosságtan

2010. április

10 / 27


Komplex írásmód

Komplex írásmód A Kirchoff-törvényekből és az ágtörvényekből mindig meghatározhatók az ismeretlen effektív értékek és kezdőfázisok Bonyolult, hosszadalmas, helyette a komplex írásmód használható Komplex számok (Z ∈ C) algebrai és exponenciális alakja: Z = x + j · y = Z · e jϕ Euler-formula: e jϕ = cos(ϕ) + j · sin(ϕ)

x y Z ϕ

= = = =

Re(Z ) = Z · cos(ϕ) Im(Z ) p = Z · sin(ϕ) |Z | = x 2 + y 2 arc(Z ) = arctan(y /x)


Elektromosságtan

2010. április

11 / 27


Komplex írásmód

Komplex írásmód Legyen a feszültség és az áram u(t) = i(t) = Komplex pillanatértékek ˆ · e j(ωt+ϕu ) = u(t) = U i(t) = Î · e j(ωt+ϕi ) =

(valós) pillanatértéke ˆ · sin(ωt + ϕu ) U Î · sin(ωt + ϕi ) ˆ · (cos(ωt + ϕu ) + j sin(ωt + ϕu )) U Î · (cos(ωt + ϕi ) + j sin(ωt + ϕi ))

A valós pillanatérték a komplex pillanatérték képzetes része u(t) = Im(u), i(t) = Im(i) Az u vektor ω szögsebességgel forog a komplex számsíkon pozitív irányban A valós pillanatérték a képzetes tengelyre eső merőleges vetülete Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. április

12 / 27


Komplex írásmód

Komplex írásmód A komplex pillanatérték ismeretében definiálható a komplex csúcsérték ˆ és a komplex effektív érték (U) (U) ˆ = U ˆ · e jϕu U Î = Î · e jϕi

= =

√ √

2 · U · e jϕu 2 · I · e jϕi

, és

U = U · e jϕu I = I · e jϕi

A komplex csúcsérték illetve a komplex effektív érték ismeretében felírható a komplex pillanatérték √

ˆ · e jωt u(t) = U i(t) = Î · e jωt

=

U = |U| , és I = |I |

ϕu = arc(U) ϕi = arc(I )

=

√

2 · U · e jωt 2 · I · e jωt

továbbá


Elektromosságtan

2010. április

13 / 27


Komplex írásmód

Kirchoff-törvények komplex alakja Kirchoff-törvények komplex pillanatértékekre ! X X X i k (t) = 0, ik (t) = Im(i k (t)) = Im k

k

X

X

k

X

azaz

i k (t) = 0

k

! X

uk (t) =

k

Im(u k (t)) = Im

k

u k (t)

= 0,

k

X

k

u k (t) =

k


X√

u k (t) = 0

k

Kirchoff-törvények komplex effektív értékekre X√ X i k (t) = 2 · I k · e jωt = 0, azaz k

X

azaz

X

Ik = 0

k

2 · U k · e jωt = 0,

k

azaz

X

Uk = 0

k

Elektromosságtan

2010. április

14 / 27


Impedancia és admittancia

Impedancia és admittancia R, L és C elemekből álló passzív kétpólus bemenetére kapcsoljunk ˆ · sin(ωt + ϕu ) feszültséget, melynek komplex effektív értéke u(t) = U U = U · e jϕu A kétpólus bemenetén folyó áram i(t) = Î · sin(ωt + ϕi ), melynek komplex effektív értéke I = I · e jϕi A feszültség és áram komplex pillanatértékének hányadosa a kétpólus impedanciája √ (Z ) jωt u 2·U ·e U U · e jϕu Z= = √ = = = I · e jϕi i I 2 · I · e jωt U j(ϕu −ϕi ) e = Z · e jϕZ I ahol Z = UI az impedancia abszolút értéke, ϕZ = ϕu − ϕi az impedancia szöge Az impedancia reciproka az admittancia (Y = Z Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

−1

) 2010. április

15 / 27



Ellenállás

u = R · i, amiből

u =R∈R i ϕR = 0

ZR =


Elektromosságtan

2010. április

16 / 27



Kondenzátor d du du amiből Im(i) = C Im(u) = Im C , azaz i = C dt dt dt √ √ du u = 2 · Ue jωt → = jω 2 · Ue jωt = jωu dt A kondenzátor árama du i =C = jωC u dt du i =C , dt

Impedanciája π u 1 ZC = = = ZC e −j 2 jωC i ZC =

1 , ωC

ϕC = ϕu − ϕi = − Magyar A. (Pannon Egyetem)

π 2 Elektromosságtan

2010. április

17 / 27



Tekercs d di di amiből Im(u) = L Im(i) = Im L , azaz u = L dt dt dt √ √ d i i = 2 · I e jωt → = jω 2 · I e jωt = jωi dt A tekercs feszültsége di u=L , dt

u=L

di = jωLi dt

Impedanciája π u Z L = = jωL = ZL e j 2 i ZL = ωL, ϕL = ϕu − ϕi =

π 2


Elektromosságtan

2010. április

18 / 27



Összefoglalva Az áram és feszültség komplex effektív értéke közti kapcsolat a komplex Ohm-törvény: U = Z · I . A Z komplex impedancia a különféle hálózati elemeknél az alábbi: 1 Z R = R, Z L = jωL, ZC = jωC A komplex impedancia a feszültség és az áram komplex effektív értékének hányadosa, nagysága a feszültség és az áram effektív értékének hányadosa, szöge pedig a feszültség és az áram kezdőfázisának különbsége: U U ϕZ = ϕu − ϕi , Z= , I I Impedanciák soros, illetve párhuzamos eredője: n n X X 1 1 Zs = Zk, = Zp Z k=1 k=1 k Z=


Elektromosságtan

2010. április

19 / 27



Összefoglalva Az impedancia valós és képzetes része Z = R ± j · X = Z · e jϕZ ,

ahol ±X ϕZ = arctan R Z a látszólagos ellenálás, R a hatásos ellenállás (rezisztancia), X pedig a meddő ellenállás (reaktancia) p Z = R 2 + X 2,

Az impedancia reciproka az admittancia: Y =

1 = G ± j · B = Y · e −jϕZ = Y · e jϕY Z

Y a látszólagos vezetés, G a hatásos vezetés (konduktancia), B a meddő vezetés (szuszceptancia) Ohm-törvénye admittanciával kifejezve: I = Y · U Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. április

20 / 27


Hálózatok számítása

Hálózatok számítása A feszültségek és áramok effektív értékével és impedanciákkal számolva a szinuszos áramú hálózatok számítása megegyezik az egyenárú hálózatok számításával. Kirchoff-törvényekből és az ágtörvényekből b + b számú lineáris algebrai egyenlet. Alkalmazhatók az egyenáramú hálózatoknál megismert módszerek: Szuperpozíció elve Thévenin-, és Norton-tétel Csillag-háromszög átalakítás Csomóponti potenciálok, és hurokáramok módszere Millmann-tétele

A feszültségek és áramok komplex effektív értékét vektorábrán szemléltetjük


Elektromosságtan

2010. április

21 / 27



Soros RL kör √ A kapocsfeszültség u(t) = 2U sin(ωt + ϕu ), azaz U = Ue jϕu A hálózat impedanciája Z = R + jωL = Ze jϕZ p ωL ahol Z = R 2 + ω 2 L2 , ϕZ = arctan( ) R U Ue jϕu Áramerősség jϕi I = = = Ie Ze jϕZ Z Ellenállás feszültsége U R = RI = RIe jϕi = UR e jϕi Tekercs feszültsége U L = jωLI = π

= ωLIe j( 2 +ϕi ) = π = UL e j( 2 +ϕi ) Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. április

22 / 27



Soros RC kör 1 1 = R − j ωC = Ze jϕZ Impedancia Z = R + jωC r 1 1 ahol Z = R 2 + 2 2 , ϕZ = − arctan( ) ω C ωRC Ellenállás feszültsége

U R = RI = RIe jϕi = UR e jϕi Kondenzátor feszültsége 1 UL = I = jωC 1 j(ϕi − π ) 2 = = Ie ωC π = UC e j(ϕi − 2 ) Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

2010. április

23 / 27



Párhuzamos rezgőkör

Eredő impedancia

1 R + jωL = jωC 1 + jωRC − ω 2 LC Ideális párhuzamos rezgőkör esetén (R = 0) jωL ωL Z= , ϕZ = arctan 1 − ω 2 LC 1 − ω 2 LC Z = (R + jωL) ×


Elektromosságtan

2010. április

24 / 27



Párhuzamos rezgőkör Antirezonáns körfrekvencia (ω0 = Z=

√1 ): LC

jωL 1 − ( ωω0 )2

ω < ω0 : a kör induktív, (ϕZ > 0) ω = ω0 : a kör rezisztív, (ϕZ = 0) - itt végtelen az impedancia ω > ω0 : a kör kapacitív, (ϕZ < 0)

Áramerősség: I = IL + IC =

1 + jωC jωL

U =Y ·U

Nem ideális esetben (R > 0) az impedancia egyetlen frekvencián sem lesz végtelen nagy. Ha R ω0 L, akkor az antirezonáns körfrekvencián: Z=

jω0 L L = RC 1 − ω02 LC + jω0 RC


Elektromosságtan

(rezonancia inpedancia) 2010. április

25 / 27



Soros rezgőkör

Eredő impedancia 1 1 Z = R +jωL+ = R +j ωL − , jωC ωC Magyar A. (Pannon Egyetem)

Elektromosságtan

ϕZ = arctan

ωL − R

2010. április

1 ωC

!

26 / 27



Soros rezgőkör Rezonáns körfrekvencia (ω0 =

√1 ): LC

ω 2 0 Z = R + jωL 1 − , ω

ϕZ = arctan

ωL R

ω 2 0 1− ω

Ha ω = ω0 , akkor Z = R, és ϕZ = 0 ω < ω0 : a kör induktív, (ϕZ > 0) ω = ω0 : a kör rezisztív, (ϕZ = 0) ω > ω0 : a kör kapacitív, (ϕZ < 0)

Feszültség: U = UR + UL + UC =


1 R + jωL + jωC

Elektromosságtan

I =Z ·I

2010. április

27 / 27

Elektromosságtan. III. Szinuszos áramú hálózatok. Magyar Attila

Recommend Documents