Elektromagnetisme ELE-103b, Werkcollegebundel Elwin Savelsbergh en Kees Klaassen cursusjaar 2008-2009
Inhoudsopgave 1 Overzichten en aanvullingen 1 Aanbevolen literatuur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Overzicht grootheden en formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Veelgebruikte constanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Werkcollegeopgaven A21 De wet van Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A22 De wet van Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A23 Potentiaal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A24 Condensatoren en di¨elektrica . . . . . . . . . . . . . . . . A25 Stroom, weerstand en EMK . . . . . . . . . . . . . . . . . A27 Het magnetisch veld en magnetische krachtwerking . . . . A28 Oorzaken van magnetische velden . . . . . . . . . . . . . . A29 Elektromagnetische inductie . . . . . . . . . . . . . . . . . A30 Wederkerige inductie en zelfinductie . . . . . . . . . . . . A31 Elektromagnetische golven (en de Maxwellvergelijkingen) .
1
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
2 2 3 4 5 5 6 7 11 13 13 15 21 24 25
Hoofdstuk 1
Overzichten en aanvullingen 1
Aanbevolen literatuur
Een onderwerp als elektromagnetisme kan op verschillende manieren behandeld worden. Wat voor de een helder en aansprekend is hoeft dat voor de ander niet te zijn. Om het vak goed in de vingers te krijgen kan het helpen naast Young & Freedman ook eens een ander boek open te slaan (en eventueel zelfs aan te schaffen). Een suggestie voor een boek op het niveau van deze cursus dat de dingen soms net even anders uitlegt dan Y & F: • Chabay & Sherwood (2002). Matter & Interactions, volume II. Uitgever: Wiley. Boeken die ook de basis behandelen maar bovendien iets dieper gaan: • Een echte classic: de Feynman Lectures on Physics (R. Feynman, R. Leighton, & M. Sands, Uitgever: Addison Wesley). Een uitgave in drie delen waarvan je in ieder geval gedurende je hele bachelorstudie plezier kunt hebben. Feynman gaat dieper dan deze cursus, maar hij kan als geen ander in heldere woorden de fysische basisidee¨en uitleggen. • Griffiths, Introduction to Electrodynamics (Uitgever: Prentice-Hall) wordt gebruikt bij het vervolgvak (ELE2). Dit boek begint met een heldere en beknopte behandeling van de basics.
2
2
Overzicht grootheden en formules
De volgende grootheden en formules worden op het tentamen bekend verondersteld.
De Maxwellvergelijkingen in vacuum + Lorentzkracht H
~ · dA ~= E
Qomsl
............
ε0 H ~ · dA ~ = 0 ................ B H ~ · d~` = − dΦB . . . . . . . . . . . . E ³dt ´ H dΦE
~ · d~` = µ0 I + ε0 B dt omv ~ + ~v × B) ~ ......... F~L = q(E
Gauss geen naam Faraday Amp`ere met Maxwellcorrectie Lorentzkracht
Definities van overige grootheden R ~ · d~` . . V (a) − V (b) = ba E C = Q/V . . . . . . . . . . . . . . . . J~ = nq~vd . . . . . . . . . . . . . . . . p~ = q d~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ .................. µ ~ = IA E ......................... E2 = −M didt1 ; E1 = −M didt2 di E = −L dt ................
~ = −∇V ) potentiaal (oftewel: E capaciteit stroomdichtheid elektrisch dipoolmoment magnetisch dipoolmoment elektro-motorische kracht wederzijdse inductie zelfinductie
Afgeleide formules ~ r) = 1 q2 rˆ . . . E(~ 4πε0 r 1 q ........ V = 4π² 0 r σ E⊥ = ε0 . . . . . . . . . . U = 12 CV 2 . . . . . . . C = Kε0 Ad . . . . . . . r ~ = µ0 Id~`׈ dB .... 4πr2 ~ .... dF~ = Id~` × B P P I=0; V =0 V = IR . . . . . . . . . . P = V I .......... ~ ........ ~τ = p~ × E ~ ....... U = −~ p·E ~ ........ ~τ = µ ~ ×B ~ ....... U = −~ µ·B
Coulomb potentiaal van een puntlading veld direct boven geleideroppervlak energie in condensator vlakke plaatcondensator (in vacu¨ um geldt K = 1) Biot en Savart kracht op stroom Kirchhof spanning over weerstand elektrisch vermogen koppel op een elektrische dipool energie elektrische dipool in homogeen E-veld koppel op een magnetische dipool energie magnetische dipool in homogeen B-veld
Reeksontwikkeling De Taylor-reeksontwikkeling van (1 + ²)k voor 1 ¿ 1
3
Symmetrieregels • Wanneer een ladingsverdeling een vlak van symmetrie heeft dan ligt, voor elk punt van ~ in dat vlak. dat symmetrievlak, het veld E • Wanneer een ladingsverdeling een vlak van antisymmetrie heeft dan staat, in elk punt ~ loodrecht op dat vlak. van dat antisymmetrievlak, het veld E • Wanneer een stroomverdeling een vlak van symmetrie heeft dan staat, in elk punt van ~ loodrecht op dat vlak. dat symmetrievlak, het magnetisch veld B • Wanneer een stroomverdeling een vlak van antisymmetrie heeft dan ligt, voor elk punt ~ in dat vlak. van dat antisymmetrievlak, het magnetisch veld B
3
Veelgebruikte constanten
lichtsnelheid . . . . . . . . . . . . . . elektronlading . . . . . . . . . . . . . permeabiliteit van vacu¨ um permittiviteit van vacu¨ um
c = 2.9979 × 108 m/s e = 1.602 × 10−19 C µ0 = 4π× Wb A−1 m−1 ²0 = 8.8541 × 10−12 C2 N−1 m−2
4
Hoofdstuk 2
Werkcollegeopgaven A21
De wet van Coulomb
A21.1
Bolsegment (naar [vZE01], Opgave A2)
Een dunne glazen kom in de vorm van een bolsegment met een straal R en een “openingshoek” ~ in het Θ0 is homogeen geladen. De totale lading is Q. Bereken de elektrische veldsterkte E middelpunt M van de bol naar grootte en richting. Zet in een grafiek E uit tegen Θ0 en verklaar de waarden van E voor Θ0 = 0 en Θ0 = π. z
M O0
A21.2
R
(naar [YF04], opgave 21-105)
Twee dunne staafjes met lengte L liggen langs de x-as, ´e´en tussen x = a/2 en a/2 + L en de tweede tussen x = −a/2 en −a/2 − L. Ieder van beide staafjes draagt een positieve lading Q, homogeen verdeeld over de lengte van het staafje. a Schets het veldlijnenpatroon dat deze configuratie teweegbrengt. Let daarbij vooral op een juiste weergave dichtbij de staafjes en op grote afstand van de staafjes. Geef indien nodig een toelichting. b Bereken het elektrische veld E dat het tweede staafje veroorzaakt in punten op de positieve x-as
5
c Toon aan dat de grootte van de kracht tussen beide staafjes gegeven wordt door "
Q2 (a + L)2 F = ln 4π²0 L2 a(a + 2L)
#
d Toon aan dat, voor a À L, de grootte van de kracht in goede benadering gegeven wordt door F = Q2 /4π²0 a2 . (Hint: Gebruik de reeks-ontwikkeling ln(1 + z) = z − z 2 /2 + z 3 /3 − . . . Beargumenteer dat deze reeks convergeert voor |z| ¿ 1. Kies z = L/a en voer alle reeksontwikkelingen expliciet uit tot tenminste de tweede orde term voordat u termen tegen elkaar wegstreept. Verklaar uw uitkomst.
A21.3
Ladingvierkant (naar [Pur85], problem 1.4)
Vier gelijke puntladingen q zijn geplaatst op de hoeken van een vierkant met zijde d. In het middelpunt van het vierkant bevindt zich een lading met tegengesteld teken en grootte Q. Bij welke grootte van Q geldt dat de totale kracht ieder van de vier ladingen nul is? Als er verder geen krachten op het systeem werken en Q heeft de berekende waarde, dan is het systeem in evenwicht. Is dit evenwicht stabiel?
A22
De wet van Gauss
A22.1
Bolschil, naar [EA05], I
Beschouw een homogeen geladen boloppervlak in vacuum (permittiviteit ²0 ). a Hoe groot is voor een willekeurig punt binnen dit oppervlak de veldsterkte?1 Beschouw nu een halve bolschil (middelpunt O, straal R) van isolerend materiaal. Dit oppervlak is homogeen geladen met een positieve oppervlakteladingsdichtheid σ. We kiezen het x, y vlak door de rand van de halve bol. De z-as door O (z = 0) snijdt het boloppervlak in z = −R.
b Hoe groot is de y-component, Ey van de veldsterkte voor punten van de x-as? We bekijken nu Ex , voor punten van de x-as, op afstand a, van de oorsprong O. 2 Laat zien dat voor a < R geldt Ex = 0 en dat voor a > R geldt Ex (a) = 2²σR 2. 0a 1
Opmerking vooraf: deze opgave vraagt geen ingewikkelde berekeningen, maar wel een goed gebruik van het superpositieprincipe en symmetrie-eigenschappen.
6
c Geef voor punten van de z-as de richting van de veldsterkte aan. ~ discontinu is? Is er een punt waar E ~ in de oorsprong. Bereken, via coulomb-integratie over de ladingsverdeling, de grootte E d We bekijken nu op de z-as de punten met −R < z < R. ~ ~ Wat is het verband tussen E(−z) en E(z)?
A22.2
Twee vlakke platen (naar [vZE01], A8)
Twee oneindig uitgestrekte geladen platen van niet-geleidend materiaal zijn evenwijdig opgesteld op een onderlinge afstand van 2 m. De ladingsdichtheden zijn respectievelijk 8µC/m2 en −4µC/m2 (figuur a). a Bereken het elektrische veld in de gehele ruimte. b Bereken de kracht op een puntlading in plaat 1 tengevolge van de ladingen van plaat 2 c Bereken de onderlinge aantrekkingskracht per m2 . d Bereken het elektrische veld in de gehele ruimte als de platen 1 en 2 loodrecht op elkaar staan (figuur b).
1
1 2
2
(a)
(b)
A23
Potentiaal
A23.1
Nul-energie [Pur85], problem 1.7
Plaats ´e´en proton en twee elektronen zo in de ruimte dat de totale energie van het systeem precies nul is.
A23.2
Veld van een onregelmatig gevormde geladen geleider [WP95], p. 639
Beschouw twee geladen metalen bollen met straal R1 resp. R2 , op grote onderlinge afstand. De bollen zijn onderling verbonden door een zeer dunne geleidende draad zodat de lading zich vrij over beide bollen kan verdelen. a Bereken verhouding tussen de ladingen op beide bollen (q1 resp. q2 ). b Schets het veldlijnenpatroon en de equipotentiaalvlakken. 7
Figuur 2.1: Onregelmatig gevormde geladen geleider Beschouw nu een ge¨ısoleerd opgestelde, geladen geleider zoals in Figuur 2.1. c Schets veldlijnen, equipotentiaallijnen en geef de ladingsverdeling aan.
A23.3
Cilinder met (excentrische) holte, veld en potentiaal [vZE01], A9
Een oneindig lange cilindrische ruimte is, afgezien van een holle kern, gevuld met positieve lading. De as van de holle kern (straal R) valt samen met de as C van de cilinder met straal 3R, zoals aangegeven in figuur 2.2. De lading is homogeen verdeeld, en voor de ruimteladingsdichtheid ρ(r) geldt ρ(r) = ρ0 voor R ≤ r ≤ 3R en ρ(r) = 0 voor r < R en r > 3R, waarbij r de afstand tot as C is. C
3R
0
R
Figuur 2.2: Homogeen geladen cilinder met holte ~ in de a Bepaal uit symmetrieoverwegingen de richting van de elektrische veldsterkte E gehele ruimte en geef equipotentiaalvlakken aan. Is er een gebied waar de potentiaal een constante waarde heeft? b Bereken E(r) in de gehele ruimte en teken E als functie van r. Wat is de grootste waarde van E? c Laat expliciet zien dat het het veld, berekend in de drie gebieden bij onderdeel b) ver~ 1 (r) en E ~ 2 (r) met E ~ het veld van kregen kan worden als superpositie van de velden E een massieve cilinder (as C, straal 3R) met ruimteladingsdichtheid ρ0 (dus zonder holle ~ 2 het veld van een massieve cilinder (as C, straal R) met ruimteladingsdichtkern) en E heid −ρ0 . De holle kern wordt nu ten opzichte van as C verplaatst over een afstand a, met a < 2R. De as van de zo verkregen excentrische cilindrische holte is dus evenwijdig met as C en de afstand tussen beide assen is a. Het bovenaanzicht van de situatie is afgebeeld in figuur 2.3
8
3R
p C
a
R
0
Figuur 2.3: Bovenaanzicht met excentrische holte. d Bereken de elektrische veldsterkte op de as van de holte. e Bereken voor een willekeurig punt P in de holte de richting en grootte van de elektrische veldsterkte. f Wanneer nu gegeven is dat op de as van de holte de potentiaal de waarde V0 heeft, wat is dan in de gehele holte de verzameling van punten met potentiaal V0 ?
A23.4
Superpositie, potentiaal, [EA05], II
Beschouw een homogeen geladen boloppervlak in vacu¨ um (permittiviteit ²0 ). a Hoe groot is voor een willekeurig punt binnen dit boloppervlak de veldsterkte? Het middelpunt heeft een potentiaal VM . Welke waarde heeft de potentiaal in een willekeurig punt binnen het boloppervlak? Een half boloppervlak (middelpunt O, straal R) van isolerend materiaal is homogeen geladen met een positieve oppervlakteladingsdichtheid σ. We kiezen het x, y-vlak door de rand van de halve bol. De z-as door O (z = 0) snijdt het boloppervlak in z = −R. Punt P is een willekeurig punt op de z-as. De afstand van P tot de rand van de halve bol noemen we s en die van P tot een punt van de ladingsverdeling geven we aan met ` (zie figuur). Voor het rekengemak geven we in de oorsprong O de potentiaal (t.o.v. het oneindige) aan met V0 en de grootte van veldsterkte met E0 (= 4²σ0 , zie opgave A22.1). z-as P
s O + +
+ + +
ox
R
+
o+
+
+ + +
+
+
x-as
+
b Laat, via superpositie, zien dat het deel van het x, y-vlak met x2 + y 2 < R2 een equipotentiaalvlak is. Bereken de potentiaal V0 . in de oorsprong, uitgedrukt in a, R en ²0 .
9
c We bekijken op de z-as de punten met −R < z < R. Laat, via superpositie, zien dat V (−z) + V (z) = constant. Hoe groot is de constante? ~ ~ Leid nu hieruit een verband af tussen E(−z) en E(z). d Ga na dat s2 = R2 + z 2 en l2 = R2 + z 2 + 2zR cos α. Laat, via integratie, zien n dat deopotentiaal in punt P op de z-as met z > −R, gegeven wordt door V (z) = V0 1 − s−R . Controleer onderdeel c). z Hoe groot is de potentiaal voor z = +R en voor z ↓ (−R)? ¡ ¢ z Verifieer dat de potentiaal in de buurt van O lineair is, en wel V (z) ≈ Vo 1 − 2R . e Leid uit de potentiaal af dat op de z-as, voor z > −R, de grootte van de veldsterkte gegeven wordt door E(z) = E0 s s2 +1 . ) R(R
A23.5
Lading op een geleider [vZE01], B1
a De lading op een geleider concentreert zich vooral bij puntige uitsteeksels, algemeen is de ladingsdichtheid relatief groot daar waar de kromming van het oppervlak groot is (waarneembaar bij de zgn. corona-ontlading in lucht). Probeer dit te verklaren. b In een hal moet een hoogspanningsinstallatie aangebracht worden met een grote metalen bol, straal R1 . Beschouw de hal als een metalen, geaarde bol met straal R2 , concentrisch met de eerste bol en stel R1 = αR2 met 0 < a < 1. De doorslagveldsterkte van droge lucht is ED . Laat zien dat, bij gegeven geometrie, de maximale potentiaal van de bol gegeven wordt door VD = ED R2 α(1 − α). Hoe groot moet R1 gekozen worden om deze potentiaal zo groot mogelijk te krijgen? Bereken deze grootste waarde als R2 = 8m en ED = 3 × 106 V/m. um is er een grens aan de veldsterkte bij het oppervlak van een geleider: c Ook in vacu¨ bij ongeveer 109 V/m treedt emissie van elektronen op (veld-emissie of koude emissie; toepassingen zijn de veld-elektronenmicroscoop en de veld-ionenmicroscoop voor het onderzoek van metaalstructuren, zie bijv. Feynman II, blz. 6-14). Vergelijk dit veld met het veld waarin een elektron in een H-atoom beweegt. Bereken de dichtheid σ van oppervlaktelading bij deze veldsterkte en (voor σ < 0) het aantal elektronen per eenheid van oppervlak. Maak ter vergelijking een schatting van het aantal atomen per eenheid van oppervlak (denk bijv. aan een kubisch rooster).
A23.6
Arbeid lading aan draad [GHR01], prob. 114
NB. bonus-opgave Een klein balletje met een positieve lading q en massa m hangt aan een massaloze draad. Op zeer grote afstand bevindt zich een tweede positief geladen balletje met lading Q. Dit tweede balletje wordt nu langzaam naderbij gebracht totdat het zich op de oorspronkelijke plaats van het eerste balletje bevindt. Als gevolg daarvan wordt het eerste balletje over een afstand h omhoog verplaatst (deze situatie is weergegeven in de figuur). Bereken de totale verrichte arbeid.
10
h
m,q
Q
A24 A24.1
Condensatoren en di¨ elektrica [vZE01], E7
Een vlakke plaatcondensator is gedeeltelijk gevuld met een di¨elektricum waarvan de relatieve permittiviteit ²r is. De platen hebben de vorm van een rechthoek met zijden a en b, hun afstand is d (klein t.o.v. a en b). Het di¨elektricum heeft de vorm van een rechthoekige schijf met breedte b en dikte d die over een afstand x tussen de platen geschoven is (d ¿ x ¿ a). De condensator heeft een lading Q en is niet met een bron verbonden.
d a
x
a Beantwoord deze vraag met gezonde fysische argumenten zonder voor de genoemde grootheden uitdrukkingen af te leiden. De schijf wordt over een afstand ∆x verder tussen de platen geschoven (dus x neemt toe). Zullen de volgende grootheden toenemen, afnemen of gelijk blijven en waarom: • de elektrische veldsterkte E; • de spanning V over de condensator; • de capaciteit C van de condensator; • de elektrische energie U op de condensator; • de kracht F die de schijf in het condensatorveld ondervindt. b Leid een uitdrukking voor C af als functie van x (onder verwaarlozing van randeffecten). c Bepaal de kracht F~ op het di¨elektricum als functie van x.
A24.2
De wereldcondensator
De aarde als geheel kan, bijvoorbeeld door kosmische straling, geladen raken. Daardoor ontstaat een potentiaalverschil ten opzichte van verafgelegen punten. a Bereken de capaciteit van de aarde t.o.v. oneindig. Bereken, rekening houdend met de maximale veldsterkte in vacu¨ um (≈ 3 × 106 V/m), de maximale elektrostatische energie van de aarde t.o.v. oneindig. De onderste lagen van de atmosfeer zijn op te vatten als isolator, maar op een kilometer of 50 begint de ionosfeer die weer een redelijke geleider is. 11
b Bereken de capaciteit van het aarde-ionosfeer systeem. Bereken, rekening houdend met de doorslagspanning van lucht, de maximale energie die in deze condensator kan worden opgeslagen. c In de buurt van het aardoppervlak heerst een neerwaarts gericht elektrisch veld met een sterkte van ongeveer 150 N/C. Bereken hieruit de totale lading van de aardbol.
A24.3
[vZE01], E1
Een vlakke-plaatcondensator is geschakeld als hieronder getekend. √ De platen met oppervlakte O zijn opgesteld op een onderlinge afstand h. Omdat geldt h ¿ O, mag u randeffecten in de gehele opgave verwaarlozen. Men schuift een ge¨ısoleerde metalen plaat, dikte a, evenwijdig tussen de twee platen op afstand h1 van de onderste condensatorplaat.
V0
h
o
h
a h1
a Zal als gevolg hiervan de lading op de condensatorplaten toe of af nemen, hoeveel? b Bereken de potentiaal van de ingeschoven plaat indien a verwaarloosbaar klein is t.o.v. h. De gesoleerde plaat wordt weer weggenomen. c Hoe groot is de kracht tussen de twee condensatorplaten, uitgedrukt in V0 , O en h? De plaatafstand wordt nu verdubbeld. d Is de kracht daarna nog even groot? Verifieer dat er bij dit proces behoud van energie is, dwz. dat ∆Ucondensator = Wspanningsbron − Wmechanisch door condensator . e Dezelfde vragen als in d) indien de plaatafstand verdubbeld wordt n´adat de verbinding met de spanningsbron verbroken is.
A24.4
[CS02], 19.16
De figuur toont twee concentrische metalen bollen. De binnenste heeft een straal r1 en draagt een lading Q. De buitenste heeft straal r2 en draagt lading −Q. a Gebruik de definitie van capaciteit Q = CV om de capaciteit van deze bolcondensator te bepalen. b Als de bolstralen zeer groot zijn en het verschil tussen beide bolstralen heel klein is, dan is de capaciteit vrijwel gelijk aan die van een vlakke-plaatcondensator met een plaatoppervlak gelijk aan het oppervlak van een van de bollen en een plaatafstand gelijk aan de afstand tussen de bollen. Toon dit aan. 12
r2 -
r1
+
+
+
-
+
+
-
-
A25 A25.1
-
+
Stroom, weerstand en EMK [Pur85], 4.11
De soortelijke weerstand van zeewater bedraagt ongeveer 0,025 Ωm. De ladingsdragers zijn voornamelijk N a+ en Cl− ionen, en van beide soorten ionen bedraagt de dichtheid ongeveer 3 × 1026 m−3 . Een 2 m lange buis van kunststof wordt gevuld met zeewater. De beide uiteinden worden met behulp van elektroden aangesloten op een 12 V spanningsbron. Wat is de resulterende driftsnelheid vd van de ionen?
A25.2
[Pur85], 4.4
De eerste transatlantische telegraafberichten werden in 1858 verzonden door een 3000 km lange kabel die liep van New Foundland naar Ierland. (Het ontvangen signaal werd visueel afgelezen met behulp van een gevoelige stroommeter; de maximale zendsnelheid was 1 teken per 2 minuten.) De kabel had ´e´en geleidende kern, bestaande uit zeven koperen draadjes van ieder 0,73 mm dik, met daaromheen een isolerende mantel. a Bereken de totale weerstand van de geleider. Neem als soortelijke weerstand voor het koper (dat niet geheel zuiver was) een waarde van 3 × 10−8 Ωm. b Als retourleiding diende de oceaan zelf (soortelijke weerstand 0,025 Ωm). Daartoe werden aan beide zijden van de oceaan, op voldoende afstand uit de kust, bolvormige elektroden in het water gehangen (r = 1 m) die dienden als aansluitpunt. Toon aan dat de weerstand van de retourleiding door het zeewater veel kleiner was dan die van de kabel. c Bereken de capaciteit van de kabel (TOEVOEGEN: benodigde gegevens). d Maak een schatting van de RC-tijd van deze verbinding. e De kabel kan op verschillende manieren beschadigd raken. Stel dat de kern breekt terwijl de mantel intact blijft. Hoe kun je de breuk vanaf de wal lokaliseren?
A27 A27.1
Het magnetisch veld en magnetische krachtwerking [vZE01], G2
Een deeltje met positieve lading q en massa m beweegt in een gebied waar uniforme velden ~ en B ~ heersen. E ~ en B ~ zijn evenwijdig en gelijk gericht. Beschrijf de baan van het deeltje E vanaf zeker moment waarop de snelheid ~v van het deeltje
13
~ • evenwijdig is aan E; ~ is; • loodrecht op E ~ • een stompe hoek maakt met E.
A27.2
[vZE01], G3
Een cyclotron heeft een diameter van 1 m en werkt bij een oscillatorfrequentie van 12 MHz (zie voor details over de werking van een cyclotron evt. p. 1675 van Y&F).
~ a Welk B-veld is nodig om in dit cyclotron deuteronen (= deuteriumkernen: ´e´en proton + ´e´en neutron) te versnellen? b Bereken de eindenergie van deze deeltjes (CHECK: deze wordt relativistisch - opgave aanpassen?) c Maak een schatting van de totale weglengte die een deuteron in het cyclotron aflegt als de versnelspanning 75 kV is.
A27.3
[EA05], III
In een massaspectrometer passeert een bundel ionen eerst een snelheidsfilter met de onderling ~ en B ~ 1 , zoals aangegeven in de figuur. De geselecteerde ionen komen loodrechte velden E ~ 2 , waarin ze afgebogen worden. Veronderstel dat vervolgens terecht in een homogeen veld B de ionen enkelvoudig geladen zijn met lading +|e| of −|e|. a Leid uit de figuur af of de lading van de ionen positief of negatief is. Kunt u dit teken alleen al uit de beweging door het snelheidsfilter bepalen? b Druk voor een ion dat neerkomt op afstand l van de ingangsspleet de massa m uit in |e|, B1 , E, B2 en l. c Met een dergelijke spectrometer onderzoekt men welke isotopen voorkomen in een bundel zuurstofionen. Voor een bepaalde instelling van E, B1 en B2 vindt men 16 O (massa 16,00 u) bij l = 29,20 cm. Bij l = 32,86 cm vindt men een ander zuurstofisotoop. Wat is hiervan de massa?
14
A28
Oorzaken van magnetische velden
A28.1
~ Symmetrieregels B-veld
Het kan je een hoop rekenwerk besparen als je op basis van symmetrieoverwegingen kunt aantonen dat bepaalde veldcomponenten nul zijn, en dat het veld dus in een bepaalde richting moet wijzen. Je kunt de symmetrie- en antisymmetrieregels bewijzen voor de eenvoudigste, niet-triviale, situatie met symmetrie, namelijk twee stroomelementjes die symmetrische danwel antisymmetrisch geplaatst zijn ten opzichte van een vlak. Met behulp van het superpositieprincipe volgt dat dezelfde symmetrieregels ook gelden voor een willekeurige stroomverdeling. ~ B-veld in een symmetrievlak van de stroomverdeling Zonder verlies van algemeenheid kiezen we als spiegelvlak het xy-vlak. We beschouwen de veldbijdrage in de oorsprong O ten gevolge van twee stroomelementjes met stroom I die symmetrisch geplaatst zijn ten opzichte van het vlak. Het eerste, willekeurig gerichte, stroomelementje d~` = (`1 , `2 , `3 ) bevindt zich in een willekeurig punt ~r = (r1 , r2 , r3 ). Het tweede stroomelementje d`~0 = (`1 , `2 , −`3 ) bevindt zich in r~0 = (r1 , r2 , −r3 ). De stromen zijn gelijk gericht. Gevraagd wordt de veldbij~ in O. drage dB ~ = dB
µ0 I d~` × rˆ µ0 I d~`0 × rˆ0 + 4π r2 4π r02
Werk deze uitdrukking expliciet uit en toon aan dat er alleen een veldcomponent loodrecht op het symmetrievlak overblijft. Beredeneer met behulp van het superpositieprincipe dat dit ook moet gelden voor een willekeurige stroomverdeling. • Als een stroomverdeling een vlak van symmetrie heeft dan staat, in elk punt van dat ~ loodrecht op dat vlak. symmetrievlak, het magnetisch veld B
15
~ B-veld in een antisymmetrievlak van de stroomverdeling Als het xy-vlak een vlak van antisymmetrie is, dan is het enige gevolg van spiegeling in dat vlak dat alle stromen van teken wisselen. Het magnetisch veld zal dan dus ook van teken wisselen. De eenvoudigste antisymmetrische situatie ontstaat door in de voorgaande, symmetrische, situatie de stroom door d~` negatief te kiezen. Stel een uitdrukking op voor de veldbijdrage in O, werk deze expliciet uit en toon aan dat er alleen veldcomponenten in het symmetrievlak overblijven. Beredeneer met behulp van het superpositieprincipe dat dit ook moet gelden voor een willekeurige stroomverdeling. • Als een stroomverdeling een vlak van antisymmetrie heeft dan ligt, voor elk punt van ~ in dat vlak. dat antisymmetrievlak, het magnetisch veld B
A28.2
[Pur85], 6.3
Een cirkelvormige draadwinding met straal r voert een stroom I. a Toon door expliciete integratie langs de as van de winding aan dat Z ∞ −∞
~ · d~s = µ0 I B
b Om van dit integratiepad een gesloten lus te maken Rkiezen we als retourpad een halve ~ · d~s over dit retourpad nul is, cirkel met straal r = ∞. Toon aan dat de integraal B en dat de wet van Amp´ere dus klopt voor integratie over de gehele gesloten lus.
A28.3
[Pur85], 6.12
Het draadraam in figuur 2.4a voert een stroom I.
(b)
(a)
Figuur 2.4: a Beredeneer de richting van het veld in punt P, in het middelpunt van de kubus. b Toon met behulp van superpositie aan dat het veld in P gelijk blijft als het draad-raam uit figuur a vervangen wordt door het draad-raam uit figuur b. 16
A28.4
Tentamenopgave 27 januari 2003: Tandem Van de Graaff versneller
Bij het onderzoek in de subatomaire fysica maakt men o.a. gebruik van een zogenaamde ”tandem Van de Graaff generator”, een tweetraps deeltjesversneller. In het midden van een stevige cilindervormige tank van ongeveer 4 meter lang bevindt zich een metalen bol op een hoogspanning van 5,0 MV. Aan de geaarde rand van de tank is een bron van p− ionen. Dat zijn waterstofatomen met een extra elektron. Deze ionen worden door de bol aangetrokken, en vliegen dan met grote snelheid door een tunneltje in de bol. Daar worden ze “gestript”, d.w.z. hun beide elektronen worden er af gehaald, zodat ze de bol uitkomen als p+ ionen oftewel protonen. Deze worden nu opnieuw aangetrokken door de geaarde andere kant van de tank, vandaar de naam tweetrapsversneller. De bundel snelle protonen verlaat de tank via een bundelpijp. a Bereken ruwweg de elektrische veldsterkte bij de bron van p− ionen. Geef aan welke aanname(s) je doet. b Laat door berekening zien, dat de snelheid van de protonen bij het verlaten van de tank 44.106 m/s is. Geef aan welke formules en gegevens je gebruikt. c Om de energie van de protonenbundel vast te leggen, bevindt zich aan het begin van de bundelpijp een analyse magneet. Alleen protonen die de juiste snelheid hebben, in dit geval 44.106 m/s, doorlopen dan de vereiste kromtestraal van 1,014 m. d Bereken de sterkte van het magneetveld dat hiervoor vereist is. We bekijken nu verder de protonenbundel buiten de tank in de bundelpijp. De bundel protonen vormt een elektrische stroom van 0,3 microAmpere, en veroorzaakt zelf dus ook een magneetveld. We beschouwen nu een proton aan de rand van de bundel, en berekenen de krachten, die hij van de rest van de bundel ondervindt. Neem als afstand 2 mm t.o.v. het midden van de bundel. e Bereken de sterkte van het magneetveld van de bundel op 2 mm afstand f Berken de kracht die het proton ondervindt van het magneetveld van de bundel g Laat in een duidelijke tekening zien in welke richting deze kracht staat.
A28.5
[YF04], 28.86
In het yz-vlak ligt een draadlus in de vorm van een halve cirkel met straal a en een draadrechte langs een deel van de z-as. Het middelpunt van de cirkelboog ligt in de oorsprong O (zie figuur ~ 2.5). De draadlus voert een stroom I in de aangegeven richting. Bereken het B-veld in punt P op de x-as, een afstand x verwijderd van de oorsprong. Ga in uw antwoord expliciet in op ~ de x, y en z-componenten van het B-veld. Als u gebruik maakt van symmetrie-eigenschappen om te beredeneren dat bepaalde veldbijdragen of veld componenten nul zijn, geef dan expliciet aan van welke symmetrie¨en u gebruik maakt.
17
y
a
o
B
I
o
z
P x
Figuur 2.5:
z
I a x O a I
Figuur 2.6:
18
A28.6
Veld van twee draden, naar tentamenopgave 3, 17-5-2004
In het x = 0-vlak liggen op afstand 2a van elkaar twee zeer lange evenwijdige draden, ieder met straal r (r ¿ a). De draden voeren even grote stromen I, maar tegengesteld gericht. Voor de draad bij z = +a is de richting (−ˆ y en bij z = −a is de richting yˆ (zie figuur 2.6). ~ de componenten Bx , a In een willekeurig punt in de ruimte heeft het magnetisch veld B By , en Bz . Aan welke restricties zijn deze componenten onderworpen voor de ieder van de volgende vlakken: • x=0 • y=0 • z=0 Hoe is voor punten op de x-as de veldsterkte gericht? b Bereken voor een willekeurig punt op de x-as de grootte van B(x). Waar is B(x) maximaal? Wat wordt B(x) voor x À a? c Voor punten op de cirkel in het y = 0-vlak met middelpunt O en straal R (R À a), geldt . Beschouw nu, in goede benadering voor de grootte van de veldsterkte B(R) = constante R2 in het y = 0-vlak, de gesloten contour gevormd door de x-as van x = −R tot x = +R en de halve cirkelboog, met centrum O en straal R, door z = +R. Laat zien dat voor deze contour in de limiet van R → ∞ geldt I
lim
R→∞
~ ~` = Bd
en verifieer de wet van Amp´ere. Hint:
R
Z ∞
dα 1+α2
−∞
B(x)dx
= arctan α.
d In het vlak van tekening beschouwen we nu de gesloten contour gevormd door de z-as van z =H−R tot +R en de halve cirkelboog, met centrum O en straal R, door x = +R. ~ ~` in de limiet voor R → ∞ en verifieer de Wet van Amp`ere Bepaal Bd
A28.7
[vZE01], H3
~ Beschouw onderstaande B-velden opgewekt door stroomverdelingen in, of op, een lange cilindrische staaf met straal R (r = afstand tot de as van de cilinder). 1. B = 0 voor r > R ~ =B ~ 0 (1 − r2 /R2 ) voor r < R met B ~ 0 parallel aan de as van de cilinder. B 2. B = 0 voor r > R ~ cirkels om de as van de cilinder B = B0 r/R voor r < R, waarbij de veldlijnen van B vormen. ~ We willen de bij deze B-velden behorende stroomverdelingen vastleggen. Gebruik eerst symmetrie-argumenten om het patroon van de stroomverdelingen vast te leggen. Gebruik vervolgens de integrale vorm van de wet van Amp`ere om de stroomverdelingen te bepalen. Controleer tot slot uw antwoord door voor de gevonden stroomverdelingen weer het opgewekte ~ B-veld te berekenen. 19
A28.8
Lorentztransformatie (naar [FLS64], 13-9)
In het laboratoriumstelsel S beweegt zich een negatief geladen deeltje met lading q met snelheid v parallel aan een lange rechte stroomdraad die zich uitstrekt langs de x-as. De draad voert een stroom I. De afstand tussen het geladen deeltje en de stroomdraad bedraagt r. ~ a Bereken de kracht die het bewegende deeltje ondervindt in het B-veld van de draad.
Figuur 2.7: Een bewegend geladen deeltje met een stroomvoerende draad a) gezien vanuit het laboratoriumstelsel S, en b) gezien vanuit het meebewegende stelsel S 0 . Beschouw nu het zelfde systeem vanuit stelsel S 0 dat meebeweegt met het geladen deeltje. In S 0 heeft het deeltje een snelheid nul; het ondervindt dus geen magnetische Lorentzkrachten (figuur 2.7). Toch verwachten we in S 0 dezelfde fysische verschijnselen te zien als in het laboratoriumstelsel. Met behulp van de Lorentz-transformaties kunnen we inzien dat in S 0 de kracht op het deeltje gelijk blijft, alleen blijkt nu de krachtwerking veroorzaakt door een ~ E-veld. Beschouw een deel van de draad met lengte L0 in het laboratoriumstelsel. De draad heeft een doorsnede A [m2 ] en een vrije elektronen-ladingsdichtheid ρ− [C/m3 ]. De dichtheid van de stilstaande positieve ladingen noemen we ρ+ . Omdat de draad als geheel ongeladen is, moet gelden ρ+ = −ρ− . b Bereken de driftsnelheid van de elektronen vd Voor het gemak kiezen we in de rest van de opgave de snelheid v van het deeltje gelijk aan de driftsnelheid vd van de elektronen in de draad. Als de dichtheid van stationaire ladingsdragers ρ0 bedraagt, dan is de totale stationaire lading op dit deel van de draad Q = ρ0 L0 A. Gezien vanuit het bewegende stelsel heeft het draadstuk een snelheid v in de lengterichting. Het is dan dus korter (figuur 2.8). De lengte in het bewegende stelsel bedraagt: q
L = L0 1 − v 2 /c2 De doorsnede staat loodrecht op de bewegingrichting en blijft dus onveranderd. Lading is relativistisch invariant, dus Q blijft gelijk. Er geldt dus Q = ρ0 L0 A = ρLA. c Leid met behulp van bovenstaande gegevens een relatie af tussen ρ0 en ρ0 . Gezien vanuit S was de positieve lading in rust , terwijl deze in S 0 beweegt met een snelheid v. De negatieve lading had in S een snelheid v, terwijl deze in het meebewegende stelsel in rust is (oftewel ρ0− = ρ0 ). 20
Figuur 2.8: Een ladingsverdeling a) in rust en b) dezelfde ladingsverdeling gezien vanuit een bewegend stelsel met relatieve snelheid v. d Bereken de positieve ladingsdichtheid ρ0+ en de negatieve ladingsdichtheid ρ0− in het meebewegende stelsel S 0 en bereken daaruit de netto ladingsdichtheid ρ0 op de draad. ~ e Bereken het E-veld van de draad in S 0 en de kracht op het deeltje. Toon aan dat, in de limiet voor lage snelheden, de waargenomen kracht op het deeltje in S en S 0 gelijk is. f TOEVOEGEN: tijddilatatie
A29
Elektromagnetische inductie
A29.1
Ge¨ınduceerde EMK in draadraam (naar [YF04], opgave 29-74)
In een cilindervormig gebied heerst een uniform langs de as gericht B-veld met B = 0.75 [T] − 0.035 [T/s] t. In dit gebied bevindt zich een vierkant draadraam met zijden van 20 cm. Het midden van het draadraam valt samen met de symmetrie-as van het veld zoals aangegeven in de figuur.
a
b
c
a Neem de figuur over, en geef de richting van het ge¨ınduceerde E-veld in de punten a, b en c aan. b Toon aan dat de langs de draad gerichte component van het E-veld overal gelijk is over de lengte van een zijde. Bereken met behulp van deze uitkomst de totale ge¨ınduceerde EMK c Bereken de ge¨ınduceerde EMK ook rechtstreeks met behulp van de wet van Faraday, en verifieer dat dit dezelfde uitkomst oplevert. 21
d Bereken de stroom die gaat lopen als de totale weerstand van het draadraam 1.90Ω bedraagt. e In het boek staat een opgave die erg lijkt op deze. Daar wordt als laatste gevraagd naar het potentiaalverschil tussen de punten a en b. Leg uit waarom het antwoord op deze vraag niet eenduidig is, en licht aan de hand van een tekening toe dat de gemeten spanning tussen a en b afhangt van de opstelling van de voltmeter en de loop van de aansluitdraden. f Wat kun je wel zeggen over de energie van een bewegend elektron in de draad?
A29.2
naar [vZE01], Opgave J3)
Een koperen ring omvat een flux uit een magnetisch veld B dat het vlak van de ring loodrecht snijdt en dat rotatiesymmetrisch is om de as van de ring. Deze flux verandert in de tijd zodanig dat in de ring een constante stroom I = 0, 5 pA met de klok mee gaat lopen. De ring heeft een weerstand van 12 Ω. Buiten de ring is B = 0. We beschikken over twee gelijke voltmeters V1 en V2 met aansluitingen + en − (d.w.z. zo’n meter geeft een positieve aanwijzing als de stroom bij + ingaat en bij − uitgaat en bij omkering van de stroom een negatieve aanwijzing). De weerstanden van V1 en V2 zijn zeer groot t.o.v. de ringweerstand, de toevoerdraden hebben een verwaarloosbaar kleine weerstand. a V1 en V2 worden volgens onderstaande tekening gelijktijdig aangesloten op punten A en B van de ring waarbij AB=1/6 van de omtrek. Wat wijzen V1 en V2 aan? Licht je antwoord toe. V
1
_
B
+
A _
V
2
+
b Wat wijst V1 aan in de volgende schakeling en waarom? V
1
_
+
c De ring wordt op het korte stuk AB doorgeknipt en V, tussen de uiteinden volgens de figuur geschakeld. Wat wijst V1 aan en waarom?
22
V
1
_
B
+
A
d Als de toevoerdraden van V1 radieel naar het centrum lopen, wat is dan de aanwijzing V1 en waarom? B _
V
1
A
+
e Als d) maar de ring is op het lange stuk doorgeknipt. B _
A
A29.3
V
1
+
E- en B-veld van een bol
Een geleidende bol met straal R is aangesloten op een dunne stroomvoerende draad (constante stroom I). Op t = 0 is de bol ongeladen. y
r R o
I
x
M
a Bereken het E-veld in ~r als functie van de tijd. b Welke symmetrie-eigenschappen heeft de stroom- en ladingsverdeling en wat volgt daaruit voor de richting van het B-veld? 23
c Bereken het B-veld in punt y op de y-as. Kies eerst de meest geschikte Amp`erelus. Kies vervolgens het omsloten Amp`ere-oppervlak op de volgende drie manieren en verifieer dat het gevonden B-veld steeds gelijk is: • Een vlakke cirkelschijf door het middelpunt van de bol. • Een halve bolschil met straal r concentrisch met het middelpunt, rechts om de bol. • Een halve bolschil met straal r concentrisch met het middelpunt, links om de bol. d Bereken tenslotte het B-veld in ~r.
A29.4
B-veld in condensator (naar [WP95], p. 866)
In 1984 maten D.F. Bartlett en T.R. Corle van de Universiteit van Colorado als eersten het B-veld in een opladende condensator. Als meetinstrument gebruikten zij een SQUID (superconducting quantum interference detector). De opstelling bestond verder uit een condensator met ronde platen op een onderlinge afstand van 1.22 cm, en een spanningsbron die een sinusvormige wisselspanning leverde met een frequentie van 1.25 kHz en een amplitude van 340 V. Wat was de hoogst gemeten sterkte van het B-veld in een punt tussen de condensatorplaten op 3.0 cm van de as van de condensator? (Antwoord 3.65 × 10−11 T, minder dan een miljoenste van het aardemagnetisch veld)
A30
Wederkerige inductie en zelfinductie
A30.1
naar [vZE01], Opgave J12)
Twee concentrische geleidende ringen liggen in een plat vlak. Ring 1 heeft een straal R1 , ring 2 heeft een straal R2 waarbij R2 zeer groot is t.o.v. R1 . De elektrische stromen in ˆ ˆ zˆ) de twee ringen zijn I1 en I2 , beide in de positieve φ-richting (in cilinderco¨ ordinaten (ˆ r, φ, zoals aangegeven). De draaddiameters zijn verwaarloosbaar in vergelijking met de overige afmetingen. z (x,y,z)
z y r
o
x
~ = B ~1 + B ~ 2 in het centrum van de twee ringen in termen van de a Bereken het veld B stromen I1 en I2 .
24
b Geef de uitdrukking voor de door de kleine ring 1 omvatte magnetische flux Φ1 in termen van de stromen I1 en I2 , de zelfinductie L1 en de wederzijdse inductie M12 . Leid af dat: M12 =
1 I2
ZZ
~ 2 · dA ~ B
met als integratiegebied een oppervlak O1 , opgespannen door ring 1 en bepaal daarmee de waarde van M12 gebruikmakende van het gegeven dat R2 À R1 c We willen verifi¨eren dat M12 = M21 . Het veld dicht in de buurt van ring 1 is lastig te berekenen, maar op voldoende grote afstand nadert het veld van ring 1 tot het veld van een zuivere magnetische dipool µ ~: Bdipool (~r) =
µ0 |µ| ~ [(3ˆ µ · rˆ)ˆ r−µ ˆ)] met µ ~ = IA 4πr3
We kunnen hier gebruik van maken om de flux Φ2 van ring 1 door ring 2 te berekenen. Beredeneer dat Z R2 Z ∞ M21 I1 = B1 (r)2πrdr = − B1 (r)2πrdr 0
R2
Ter herinnering: B-velden zijn bronvrije velden. d Bereken op basis hiervan M21 en verifieer dat geldt M12 = M21 .
A30.2
naar [vZE01], Opgave J4)
Twee spoelen met zelfinducties L1 , en L2 hebben in zekere opstelling wederzijdse inductie M (absolute waarde). De meting van M kan worden teruggebracht tot meting van zelfinducties, die met behulp van wisselstroomschakelingen bepaald kunnen worden. De twee spoelen worden daartoe in serie geschakeld. a Leid af dat de schakeling equivalent is met een enkele zelfinductie L± = L1 + L2 ± 2M . b Wat worden L+ en L− indien L1 = L2 en de koppeling volledig is (dwz. dat alle veldlijnen die door spoel 1 gaan ook door spoel 2 gaan, en dat dus de omvatte flux voor een winding van spoel 1 en een winding van spoel 2 ten allen tijde gelijk is)? Kunt u deze resultaten ook rechtstreeks inzien aan eenvoudige voorbeelden? c Men meet afzonderlijk L+ = 0, 44 H en L− = 0, 24 H. Bereken hieruit M (L1 en L2 hoeven dus niet bekend te zijn). d Een lange, rechte spoel met lengte ` kan opgevat worden als serie-schakeling van zijn twee helften. Beschouw elke helft als ideale spoel en probeer L af te leiden uit L1 = L2 = zelfinductie van ideale spoel met lengte 12 `. Wat moet M zijn? Geef een fysische verklaring van het antwoord.
A31
Elektromagnetische golven (en de Maxwellvergelijkingen)
25
Bibliografie [CS02]
Ruth Chabay and Bruce Sherwood. Matter and interactions, volume II. Wiley, 2002.
[EA05]
G.A.P. Engelbertink and C. Alderliesten. Elektriciteitsleer, losse opgaven. Universiteit Utrecht: Julius Instituut, 2005.
[FLS64] Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, and Matthew Sands. The Feynman Lectures on Physics, Part II. Addison-Wesley, 1964. [GHR01] Peter Gn¨adig, Gyula Honyek, and Ken Riley. 200 Puzzling Physics Problems. Cambridge University Press, 2001. [Pur85]
Edward M. Purcell. Berkeley Physics Course: Electricity and Magnetism, Volume 2. McGraw-Hill, 1985.
[vZE01] Pedro A. van Zeijlmans Emmichhoven. Elektriciteitsleer 1. Universiteit Utrecht: Julius Instituut, 2001. [WP95]
Richard Wolfson and Jay M. Pasachoff. Physics. Harper Collins, 2 edition, 1995.
[YF04]
Hugh D. Young and Roger A. Freedman. University Physics. Pearson Addison Wesley, 11 edition, 2004.
26
