Elektrostatica Magnetostatica Elektromagnetisme ⇒ Licht
1
Elektromagnetisme-huishoudelijk 4 college-dagdelen + 4 practicum-dagdelen Beoordeling: GEEN SCHRIFTELIJK TENTAMEN, WEL verplicht: •Question-marks •2 huiswerkopgaves •practicum PRAKTIKUM: 1. Hysterese lus (kort labjournaal) 2. Polarisatie (kort labjournaal of poster) 3. Michelson (kort labjournaal of poster) 4. Poster presentatie met borrel VRIJDAGMIDDAG 1 JULI 2
1
Inhoud
Elektrostatica
r r r r E ∫ ⋅dl = 0 & ∇ ⋅ E = ρ / ε 0
Magnetostatica
∫ B⋅dl
r r
r r = µ0 I & ∇ ⋅ B = 0
Elektromagnetisme ⇒ Licht
I. Elektromagnetische inductie & wet van Faraday II. Zelfinductie & energie III. Maxwell vergelijkingen & elektromagnetische golven Griffiths Chapter 7: Ø Electromotive Force: §7.1 Ø Electromagnetic Induction: §7.2 t/m §7.2.2
3
Wet van Ohm Wet van Ohm Voorbeelden
4
2
Waarom stroomt lading? J Materiaal [σ]=(Ωm)-1 ___________________________ geleider koper 6∗10+7 goud 4∗10+7 half-geleider silicium 30 germanium 2 isolator rubber 10-14 glas 10-12 water 4∗10-6
J∝ f met f kracht/lading ⇒ J≡ σf σ heet de “geleiding” d.w.z. geleiders: σ→∞ isolatoren: σ→0 kracht / lading f * batterij * van de Graaff * dynamo * etc.
V=IR Wet van Ohm
|v| ∝ tijd |v| ≈ constant tijd (t)
r r J =σE
σE J=σ f→
I R=
l Let op: σ=∞ ⇒ E=0, R=0, V=constant (ideale geleider; nu echte geleider!)
V.b. koperdraad: 1 meter lang ∅ 1 mm ⇒ Opp=0.75 mm2 σ=6∗10+7 (Ωm)-1 ⇒ R=1/(6∗10+7∗0.75∗10-6) ≈0.02 Ω
5
V.b. draadstuk
V=V
V=0
A
(empirisch verband)
waarom J slechts ∝ f ?
R0
2R0 R0 /4
Er =V l r I J = A
Jr = I =σ Er =σ V ⇔ A l ⇒ l V = I ≡ IR dus R ≡ l σA σA
l ρl is weerstand, [R]=Ω = σA A 1 ρ= is soortelijke weerstand σ
← l→
A
← 2l → AA AA
R∝l
R∝1/A 6
3
Vraag Waarom is de stroom “direct” aan? ophoping van e-
I
lokale ophoping ⇒ vertraagt inkomende e ⇒ versnelt uitgaande e dus: automatisch “compensatie” mechanisme & instantaan
Stroom is een collectief effect. Alle electronen bewegen direct. Toch is de individuele snelheid (drift) van de electronen in de stroomrichting maar een slakkengangetje (opgave)
e− 7
Elektromotorische kracht (EMK) Definitie EMK Inductie Voorbeelden 8
4
r r r r r J = σf met f = f b + E
Definitie EMK
r r EMK ≡ ∫ f ⋅d l = ∫ kring
fb
E
kring
r
r r r r r r = ∫ f b⋅dl + ∫ E⋅dl = ∫ f b⋅d l
E
kring
kring
kring
statisch⇒0
r r EMK ≡ ∫ f ⋅dl = ∫
v.b.: voor een kring met: - batterij met V0 - constante stroomdichtheid |J|=I/A
kring
binnen batterij!
Inductie nˆ FL
|v|=ds/dt s
kring
r r f b⋅d l r r ∫ E ⋅dl ≡ V 0
buiten batterij!
r J r dl EMK = ∫ ⋅dl = I ∫ ≡ IR kring σ kring σA dl l zie → hiervoor σ A σ A kring 9
⇒ R≡ ∫
Empirisch d.w.z. gevolg experiment!
In geel: Lorentz kracht op e −
B≠0
r r ∫ E⋅d l =
=−
Voor alle duidelijkheid (hoop ik): - dit is dus een statische opstelling ⇒ kringintegraal van E is nul - klein E-veld in de draad - groot (tegengesteld) E-veld in de “batterij” - chemie in batterij pompt elektronen tegen het veld in van de + pool naar de – pool ⇒ fb
h
r
( rf b+ E )⋅dl
B=0
R (lampje)
beweeg stroomlus heen en weer ⇒ gaat stroom lopen door weerstand R
r r EMK berekening: kracht/lading: f = vr × B → vB r r r r r ⇒ EMK ≡ Ñ∫ f ⋅dl → Ñ∫ v ×B⋅dl = vBh kring
EMK = −
d ΦB = V Ind dt
magnetische flux
:
Wat blijkt?
kring
⇒
ΦB ≡
∫
r r B⋅do = Bhs
oppkring .
d ΦB d ( Bhs ) ds = = Bh ≡ − Bhv = −Vind dt dt dt
10
5
Wet van Faraday Wet van Faraday De “+” en de “–” tekens! Voorbeelden 11
Beweeg magneet i.p.v. stroomlus! B≠0 beweeg magneet heen en weer ⇒ gaat stroom lopen door weerstand R
h
|v|=ds/dt
Wat is de EMK voor deze stroom? - niet magnetisch want vlading=0 - dus elektrisch (niet statisch!)
r r r r Vind = f ⋅ dl → E ⋅ dl = ∇× E ⋅ doˆ ⇒ Stokes r dϕ d r ∂B ≡ B ⋅ doˆ = ⋅ doˆ dt dt ∂t
Wat volgt er uit
dϕ r dt r
Vind = −
Ñ∫
Ñ∫
R (lampje)
s
Stroom identiek aan vorige voorbeeld: (a) gebruik relativiteit principe (b) doe gewoon de proef!
Ñ∫
B=0
nˆ
Ñ∫
Ñ∫
Wet van Faraday
r r r ∂B Ñ∫ ∇× E + ∂t ⋅ doˆ r r r ∂B ∇× E = − ∂t 12
6
I.p.v. bewegend B-veld neemt B lineair af! Laat B lineair afvallen in de tijd ⇒ gaat stroom lopen door weerstand R
B≠0
B=0
nˆ h
R (lampje)
s
d ΦB − = V Ind dt B≠0 In dit alles kan de stroomkring ook gewoon open staan! In dat geval komt er gewoon een induktie (Hall) spanning op de uiteinden!
B=0
nˆ
Vind
h s
13
Je klapt een paraplu uit in een magnetisch veld van 0,2 T. De uiteinden van de baleinen zijn met een metaaldraad met R=0,1 Ohm (totale weerstand) verbonden. Tijdens het uitklappen groeit de radi radië ële straal van de plu lineair in 0,3 seconde. De straal van de paraplu is 1 m. Hoe groot is stroomsterkte in draad direct na uitklappen uitklappen? ? A B C D
B
≈ 20 A ≈7A ≈ 0.2 A ≈0A I=?
Voor uitklappen Na uitklappen van onderaf bekeken (stroomdraad rondom in rood)
14
7
De “+” en de “-” tekens! B≠0
B=0
nˆ h
FL
|v|=ds/dt
trek deze kant op
R (lampje)
I ind
s Handig trucje (“wet van Lenz”): richting v/d inductie stroom zodanig dat de flux verandering gecompenseerd wordt Bovenstaande situatie: trek stroomlus naar rechts ⇒ Φ B wordt kleiner ⇒ inductiestroom I ind (zie figuur) B-veld t.g.v. I ind parallel externe B-veld
15
Proef: opspringende ring B-veld
ΦB = 0 I=0
ΦB ≠ 0
metalen ring
Geinduceerd B-veld
I≠0
I ind ⇒ afstoting ⇓ springt omhoog
16
8
Zwevende ring
17
Opspringende ring
18
9
Iind
Iind
Blokje materiaal valt naar beneden
t0 =
ΦB neemt af ⇒Iind trekt magneet aan magneet
L≈1 meter
blokje
Proef: vallende magneetjes
2 / g ≈ 0 .45s
ΦB neemt toe ⇒Iind duwt magneet terug
Magneetje valt langzamer naar beneden
t >>t0 ≈ 0.45s
19
Vallende “ magneetjes ”
20
10
“Lenz” in de huiskamer? Als je een stekker in een Stopcontact steekt is er zelden een vonk. Waarom? Begint met Φ B=0; dus stroom loopt langzaam op om ∂Φ B/∂t klein te houden! Als je een stekker (snel) uit een stopcontact trekt zie je vaak een vonk. Waarom? Begint met Φ B≠0; dus stroom wil blijven lopen om ∂Φ B/∂t klein te houden Stroom kan alleen lopen via een vonk tussen de stekker en de contactdoos! 21
I Wat heb ik geleerd? Wet van Ohm
EMK: batterij V 0 spoel –LdI/dt
Wet van Faraday
r r J = σf ⇒ V = IR
σE J=σ f→
EMK ≡
Ñ∫
r r fdl =V
stroomkring
Vind
r r r dΦ B ∂B =− ⇒ ∇× E = − dt ∂t 22
11
Vragen Hoe snel “driften” de elektronen in een stroomdraad? I = 1A =
I=1A ∅ 1 mm ⇒ Opp≈0.75mm2 NA=6∗10+23/Mol I 63.5g/Mol v=? ZCu=29; 2e /Cu ρCu≈9g/cm3 ⇒ #e-/m3≈ 1.7∗10+29
⇒ vv =
1C v − − 3 ≡ v ∗ Opp ∗ C / e ∗ e / m 1s
1C / s Opp∗C / e −∗e− / m3
≈
v I v = Opp ∗ e ∗ n e
1 0.75∗10−6∗1.6∗10−19∗1.7∗10+ 29
≈ 5.1∗10− 5m / s= 51µm / s≈15cm / uur
e−
23
Voor liefhebbers
B≠0 h
|v|=ds/dt s
B=0
R
beweeg stroomlus heen en weer ⇒ gaat stroom lopen door weerstand R
ten koste van wat loopt de stroom?
1.
Niet ten koste van het externe B-veld! Arbeid verricht rdoor r dit B-veld per rladingsdrager: r
∆W =
∫ f ⋅d l =
verplaatsi
ng
r ∫ (v × B )⋅ d l = 0
verplaatsi
ng
r r r r r want v // d l dus v × B ⊥ d l
Hiermee loopt er dus geen stroom door de weerstand! 2. Wel ten koste van persoon die aan stroomlus trekt! Arbeid verricht door dit individu per ladingsdrager: u: snelheid waarmee elektronen in draadlus bewegen v: snelheid waarmee draadlus beweegt
∆W =
u B
v h -Ftrek
r r ∫ F trek ⋅dl =
verplaatsi ng
= uB
h = vBh u/v
r r r ∫ (u× B )⋅dl
verplaatsi ng
24
12
Inhoud
Elektrostatica
r r r r E ∫ ⋅dl = 0 & ∇ ⋅ E = ρ / ε 0
Magnetostatica
∫ B⋅dl
r r
r r = µ0 I & ∇ ⋅ B = 0
Elektromagnetisme ⇒ Licht
I. Elektromagnetische inductie & wet van Faraday II. Zelfinductie & energie III. Maxwell vergelijkingen & elektromagnetische golven Griffiths Chapter 7: ØElectromagnetic Induction: §7.2.3 t/m §7.2.4
25
Zelfinductie Definitie Voorbeelden Toroïde Solenoïde Coaxiale kabel 26
13
Zelfinductie “L”
Eenheid van inductie: Henry:
B
[H] = [Vs]/[A]
stroomlus : r B ∝ I ⇒ ΦB ≡
r r ∫ B⋅do ∝ I opp. stroomlus
I
⇒ ΦB ≡ L I L heet " zelfinductie"
Analoog aan de capaciteit C van een condensator hangt ook de inductie L slechts af van de geometrie Q 1 ⇔ V = Q V C dV 1 dQ 1 ⇒ = ≡ I dt C dt C
Capaciteit: C ≡
Inductie: L ≡ ⇒
ΦB ⇔ ΦB = L I I
d ΦB dI =L = − EMK stroomlus dt dt
27
Gedrag C en L in schakelingen C VC
neem dan als "ansatz": f ( t ) = A (t ) e at
R
at dA
⇒e = b ⇒ A( t ) = − be dt a
−at
V(t)
V→V0 1/RC
2/RC
L
tijd
V0
IL
b + A0 ⇒ f ( t ) = A0 e − a
Q C (0) =V C (0) = 0 V C (t ) :VR = IR dV V 0−V C =IR = RC C ⇒ V C (t )=V 0 1−e − t / RC dt
(
Uitwerking Beginsituatie ()Ohm : inGevraagd kring
Uitwerking Beginsituatie ( ) Ohm : Gevraagd
V0
df = af + b; hoe vind ik f(t)? dt df los eerst op: = af ⇒ f (t ) = Aeat dt oplossing voor:
)
V 0 −L
R
at
I L(t = 0) = 0 I L(t) = I (t ) V R = IR
(
dIL V = IR ⇒ I L(t)= 0 1− e −tR / L dt R
I(t)
)
I→V0/R L/R
2L/R
tijd
28
14
Zelfinductie solenoïde N windingen/meter stroom I
R
B-veld:
` : Ampere
Flux per winding: Flux Φ B (lengte l):
r
r < R : lB = µ 0 NlI ⇒ B = µ 0 NI ΦB = 1
r r 2π R 2 ∫ B⋅d o = ∫ ∫ µ 0 NIrdrdϕ = µ 0 NIπ R
schijf
0 0
Φ B = N Φ1B ∗ l = µ 0 N 2 Iπ R 2 ∗ l
Zelfinductie L (lengte l):
L≡
ΦB 2 2 = µ 0 N πR ∗ l I
29
Zelfinductie coaxiale kabel r a
I
B-veld:
` : Ampere
Flux Φ B (lengte l):
I
b
a < r < b : 2πrB = µ 0 I ⇒ B =
µ I µ0I dr =l ∗ 0 ln( b / a ) 2π a 2πr
µ 0I 2πr
b
ΦB = l ∗ ∫
Zelfinductie L (lengte l):
L≡
ΦB µ = l ∗ 0 ln ( b / a ) I 2π 30
15
Energie Dissipatie in een weerstand R Energie in een capaciteit C Energie in een zelfinductor L Energie van een elektrische veld configuratie Energie van een magnetische veld configuratie 31
Dissipatie in weerstand R I V0 R
Opmerking: de gedissipeerde energie is “weg” d.w.z. verdwijnt als warmte
De EMK (V 0) pompt iedere seconde I Coulombs rond. Dat kost werk=energie (batterij raakt leeg!) Die energie wordt gedissipeerd in de weerstand R Wat is numeriek de energie dissipatie? energie Joule’s seconde dissipatie wet 2 # rondgepompte Coulombs V 2 =V 0 ⋅ =V 0⋅ I = I g R= seconde R
P ≡ vermogen =
[P]=[VI] =Volt . Ampère ≡Watt 32
16
Energie in een: capaciteit C zelfinductor L C V0
VC R
L V0
IL R
De capaciteit wordt opgeladen: - warmte ontwikkeling in R “weg” - opgeladen capaciteit is opgeslagen “energie” Hoeveel energie is dat?
P≡
dW Q dQ = V C(t) ⋅ I (t ) = C ⋅ C dt C dt Q ∞ dW ∞ Q dQ Q 1 Q2 1 C ⇒ UC= ∫ dt = ∫ C dt = ∫ C d QC = = CV 2 dt 2C 2 0 dt 0 C 0 C
De stroom gaat door de spoel lopen: - warmte ontwikkeling in R “weg” - stroom in inductor is opgeslagen “energie” Hoeveel energie is dat?
dI P ≡ dW = I L (t )⋅ V Ind (t ) = I L ⋅ L L dt dt ∞ dW ∞ I dIL 1 ⇒ U L= ∫ dt = ∫ I LL dt =∫ I LLd I L = LI 2 dt 2 0 dt 0 0
Energie in: E-veld
33
ε0 2 U Elektrisch = ∫ E dv 2 volume
1 Enerzijds: U C = CV 2 2 zelfde? ε0 2 Anderzijds : U C = ∫ E dv 2 volume
A: oppervlak d: plaatafstand
C
E=V d ε0 ε0 V 2 1 2 2 ⇒ CV ∫ E dv = 2 dA = 2 volume 2 d 2 C =ε 0 A d E≠0 in het volume=dA
34
17
Energie in: B-veld
U Magnetisch =
1 Enerzijds: U L = L I 2 2 zelfde? 1 2 Probeer: U L = ∫ B dv 2 µ 0 volume
1 2 ∫ B dv 2 µ 0 volume
L
2 2 µ 0n 2 h µ n hI ln (b / a )⇒U L= 0 ln ( b / a ) L = 2π 4π Toroide: 2 2 µ n2hI 2 h 2 π b µ 0 nI µ 0 nI B = µ 0nI ⇒U = 1 dv = rdrdϕ = 0 ln (b / a ) ∫ ∫ ∫ L 2πr 2 µ 0 toroide 2πr 2µ 0 0 a 2πr 4π 2 2 2 µ0 N π R I 2 2 L= µ 0 N π R ⇒U L = 2 Solenoide/ meter : 2 2 2 1 2 B =µ NI ⇒U = 1 (µ 0NI )2π R 2 = µ 0 N π R I ∫ (µ 0 NI ) dv= 0 L 2 µ 0 solenoide 2µ 0 2
µ0 µ 0ln(b / a )I 2 L= ln(b / a )⇒U L= 4π 2π Coaxkabel/meter : 2 2 µ ln(b / a )I 2 µ 0I 1 2π b µ 0 I B =µ 0I ⇒U = 1 ∫ d v= ∫ ∫ rdrdϕ = 0 L 2πr 2 µ0 coaxkabel 2πr 2µ 0 0 a 2πr 4π
Dus: • hetzelfde! • handige manier om L te bepalen: L≡2UL/I2 35
C
Opgaven voor jullie
R
Na opladen condensator haal je batterij weg. De lading op condensator neemt exponentieel af. Bereken gedissipeerde energie in weerstand R. Moet 0.5 CV 2 geven! Op t=0 geldt: VC =V0.
V
Antwoord : V ( t ) = V 0 e − t / RC ⇒ stroom door R : I ( t ) =
V 0 − t / RC e R
2
L I R Antwoord : I (t ) = ⇒
⇒
∞ ∞ 2 V dW V 1 dW 2 ≡ P ≡ VI → 0 e − 2t / RC ⇒W = ∫ dt = ∫ 0e − 2t / RC dt = C V 0 dt R 2 0 dt 0 R
Zodra stroom constant is haal je batterij weg. De stroom in spoel neemt exponentieel af. Bereken gedissipeerde energie in weerstand R. Moet 0.5 LI2 geven! Op t=0 geldt: IL=I0=V0/R. V 0 − tR / L ⇒ spanning over R : V (t ) = V 0 e −tR / L e R
2 ∞ ∞V2 V2 dW 1 V 1 dW ≡ P ≡ VI → 0 e − 2tR / L ⇒W = ∫ dt = ∫ 0 e− 2tR / L dt = L 0 ≡ L I 20 dt R 2 R 2 0 dt 0 R
36
18
II Wat heb ik geleerd? Φ B ≡ LI
Zelfinductie
toroide:
µ 0n2h ln(b / a) L= → µ 0N 2A2π a 2π
solenoide:
L = µ 0 N 2π R 2l
coaxkabel:
L=
Energie C & L Energie E & B velden
UL ≡
µ0 ln(b /a )l 2π
1 2 1 1 ε 2 2 2 LI = ∫ B dv & U C ≡ C V = 0 ∫ E dv 2 2 µ 0 volume 2 2 volume
37
Inhoud
Elektromagnetisme ⇒ Licht
I. Elektromagnetische inductie & wet van Faraday II. Zelfinductie & energie III. Maxwell vergelijkingen & elektromagnetische golven Griffiths Chapter 7: ØMaxwell Equations: §7.3.1 t/m §7.3.3 ØMaxwell Equations: §7.3.4 t/m §7.3.6 Doorlezen en ‘passief’ begrijpen Griffiths Chapter 9: ØElectromagnetic Waves in Vacuum: §9.2.1 t/m §9.2.2
38
19
Maxwell vergelijkingen Maxwell’s term via “experimenten” Maxwell’s term via behoud van lading Maxwell vergelijkingen
39
Waar staan wij nu ? "Gauss" : "geen monopolen" : "Faraday" : "Ampere" ` :
r r ρ ∇⋅E = ε0 r r ∇⋅B = 0
r r r ∂B ∇× E =− ∂t r r r ∇ ×B = µ 0 J
r r
∫ E⋅do
=
oppervlak
r r ∫ B⋅d o =0
Qomsloten ε0
oppervlak
r r dΦB ∫ E⋅dl = − dt kring r r ∫ B⋅dl =µ 0 I omsloten kring
Het lijkt mij evident dat er een term ∂E/∂t ontbreekt! Hoe vind je die? Door: (1) (gedachten) experimenten te doen (2) ladingsbehoud te eisen
(2 voorbeelden) 40
20
Maxwell’s term: opladende condensator r r Terwijl condensator oplaadt:
C: Oppervlak: A Separatie: d V0
∫ B ⋅ dl
kring
Rechterlid?
(B) ballon oppervlak (A)
= µ 0 I omsloten
(A): → µ0 I (B): → 0
Dus er mist iets! Gebruik feit dat:
r r σ Q 1 dQ I ∂E E = = ⇒ = ≡ Aε 0 dt Aε 0 ε 0 Aε 0 ∂t
r r ∫ B ⋅ dl = µ 0 I omsloten → µ 0 I omsloten + µ 0 ε 0
kring
Rechterlid?
r ∂E r ⋅ do ∫ oppervlak ∂t
(A): → µ0 I r ∂E r IA ⋅ do = µ0ε 0 =µ I (B): → µ0ε 0 ∫ Aε 0 0 oppervlak ∂t
Magie? Ja, een beetje maar ok zolang resultaat klopt met experiment!
Maxwell’s term: Q “spuitende puntlading” J(t)
ρ(t)
41
Qweggestroomd Qoorsprong
Lading wordt radieel naar buiten gespoten (b.v. een radioactieve bron in oorsprong)
r Q e rˆ J = τ 4π r 2
Symmetrie: r r geen component B ⇒ B ⋅ dl tangentieel boloppervlak kring op bol oppervlak
∫
t
−t / τ
=0
maar: µ 0 I omsloten ≠ 0
r −t / τ Samen met : E = e r
∫ B ⋅ dl
Q rˆ 2 4π ε 0 r
= µ 0 I omsloten
kring r r r r ∂E r ∂E r ∫ B ⋅ dl = µ 0 I omsloten + µ 0 ε 0 ∫ ∂t ⋅do = → µ 0 I omsloten + µ 0 ε 0 ∫ ⋅do kring oppervlak oppervlak ∂t r Q e−t / τ rˆ r ε 0∂E r Q e −t / τ rˆ r ⋅do = 0 Klopt weer! µ 0 ∫ J + ⋅ do = µ 0 ∫ − ε τ 4π r 2 0 τ 4π ε r 2 ∂ t oppervlak 42 oppervlak 0
21
r r r geen behoud ∇ × B = µ 0 J van lading! r r r r ∂E ∇ × B = µ0 J + µ 0 ε 0 ∂t
Behoud van lading (Continuïïteit vergelijking) (Continu
r r J ∫ ⋅d o
Lading is een absoluut behouden grootheid d.w.z. ladingsstroom door oppervlak
ΣQ =constant { i
i
ρ(t)
V
volume
∂V
omsluitend oppervlak
∂V
=
ladingsverandering binnen volume d ρdv r r dt V∫ d Dus : 0 ≡ ∫ ρdv + ∫ J ⋅do dt V ∂V
⇔0=
nˆ
J(t)
r r d ρdv + ∫ ∇⋅Jdv ∫ dt V V r r
⇔ 0 = ∫ ∂ρ dv + ∫ ∇⋅ Jdv ⇒ 0 = V
∂t
V
∂ρ r r +∇⋅ J ∂t
r r r r r r r ∂E r r ∂ρ ∇ ⋅∇ × B = 0 = µ0 ∇ ⋅ J + µ0ε0 ∇ ⋅ = µ 0 ∇ ⋅J + ∂t ∂t 43
Maxwell vergelijkingen r r ρ ∇⋅E = ε0 r r "geen monopolen" : ∇⋅ B=0 "Gauss" :
"Faraday" : "Ampere" ` :
r r r ∂B ∇× E= − ∂t
r r r r ∂E ∇× B= µ 0 J + µ 0ε 0 ∂t
r r
∫ E⋅do =
oppervlak
r r
∫ B⋅do =0
oppervlak
Qomsloten ε0 ≡−
dΦB dt
r r d r r ∫ E⋅d l =− dt ∫ B⋅d o kring oppervlak r r
≡µ 0 ε 0
d
∫ B⋅dl =µ 0 I omsloten+µ 0ε 0 dt
kring
Dit is het dus! Dit=elektrostatica magnetostatica elektrodynamica licht (elektromagnetische golven) …………
dΦ E dt
r r
∫ E ⋅do
oppervlak
Ook nog eens : relativistisch invariant! 44
22
Elektromagnetische golven Golfvergelijkingen voor E & B Eigenschappen
45
Golfvergelijkingen voor E & B iˆ r r r r ∇ × ∇ × E = ∇ × ∂x Ex
ˆj
kˆ
∂E y ∂ E ∂E ∂E x − x − ∂ z − z + ˆj... + kˆ... ∂ y ∂ z = iˆ ∂ y ∂ x ∂ y ∂ z ∂x Ey Ez
r r r r ∂E ∂E ∂E =iˆ ∂ x x + y + z − ∂2x +∂ 2y +∂ 2z E + ˆj...+kˆ... = ∇ (∇⋅E )−∇ 2 E x ∂x ∂y ∂z r
(
)
Gebruik Maxwell vergelijkingen in vacuüm d.w.z. r ∂B r r − = ∇× E ∂t
r r ρ ∇ ⋅ E= ε0
r ρ = 0 en J = 0
→0 →0
r r ∂B r r r r r r r ρ 2 r “vlakke golven” 2r 2 r − ∇× = ∇×∇× E = ∇(∇⋅ E )− ∇ E = ∇ −∇ E → − ∇ E 2r ∂t ∂ E ε 0 2 r → 0 ∇ µ ε ⇒ E = r r r r 0 0 2r 2r ∂t 2 r ∂B ∂(∇× B ) ∂J ∂ E ∂ E − ∇× = − = −µ 0 −µ 0ε 0 2 → −µ 0ε 0 2 ∂t ∂t ∂t ∂t ∂t 2r r r r r r r ∂E ∂E Idem voor B − veld: ∇2 B = µ ε ∂ B 0 0 ∇ × B= µ 0 J + µ 0 ε0 → µ0ε0 ∂t 246 ∂t ∂t
23
Wat impliceren deze vergelijkingen? Trillingen & golven: ∂ψ 2∂ ψ 2 = v 2 ∂ t ∂z 2
2
representeert golfbeweging met snelheid v = v
Typische oplossing : ψ ( z , t ) = A cos(kz − ωt )
2 2 2 waarbij geldt : ω ≡ k v
r ∂2B 1 2r 2 2r 2 = µ ε ∇ B =c ∇ B ∂t 0 0 Dus: 2 r represente ert golfbeweging, snelheid v = E ∂ = 1 ∇2 Er =c2∇ 2 Er ∂ t 2 µ ε 0 0
Hoe zien de oplossingen eruit? Om het “simpel” te houden neem ik aan: (1) E & B hangen slechts af van t en z (2) medium is vacuüm (3) ruimte is oneindig
Eigenschappen iˆ 1 ˆ r0 1 k×E = 0 c c 0 Ex
r r ∇⋅E = 0 r r ∇⋅ B = 0
jˆ 0 E0y
− E 0y B0 kˆ x r0 1 1 = + E0x = B0y = B c 0 0 0
1 ≡c µ0 e0
r r ∂ 2B 2 ∂ 2 B 2 =c ∂ z2 ∂t ⇒ 2 r 2r ∂ E =c 2 ∂ E ∂t 2 ∂ z2
47
2 2 Probeer ? 2 ≡ k c ⇔ ? = kc : r r B( z ,t )= B0 cos(kz−ωt ) r r E ( z ,t )= E 0 cos(kz −ωt )
r r r r0 0 0 ⇒ 0 = ∇ ⋅ E ( z , t ) = ∇ ⋅ E cos(kz − ωt ) = − E z k sin(kz − ωt ) ⇒ E z = 0
r r r r0 0 0 ⇒ 0 = ∇ ⋅ B ( z , t ) = ∇ ⋅ B cos(kz − ωt ) = − B z k sin(kz − ωt ) ⇒ B z = 0 r r0 r r 1 ∂E r r0 1 ∂ E cos(kz−ω t ) ∇×B = 2 ⇒ ∇ × B cos(kz − ωt ) = 2 ∂t c ∂t c
+ k B 0y ω E 0x 1 0 ⇔ − k B x sin(kz − ωt ) = 2 ω E 0y sin(kz − ωt ) ⇔ c 0 r0 r0 r r r r0 ∂B ∂ B cos(kz−ω t ) ∇×E = − ⇒ ∇ × E cos(kz − ωt ) = − ∂t ∂t
+ k E 0y ⇔ − k E 0x sin(kz − ωt ) = 0
+ c B0y = E 0x r0 1 r ˆ × E0 ⇒ B = k 0 0 c −c B x = E y Zelfde! (niet verwonderlijk)
−ω B0x − E 0y= c B0x r0 1 r0 0 −ω B y sin(kz − ω t) ⇔ 0 ⇒ B = kˆ × E 0 c + E x = c B y 48 0
24
Eigenschappen als plaatjes In het vacuüm bestaan oplossingen van de Maxwell vergelijkingen (“elektromagnetische, EM, golven”) die zich met de lichtsnelheid voortplanten!
E B
x
=c
Energie dichtheid
E⊥v B⊥v
ε 0 r0 2 E 2 = 2 r 2 = c ε 0 µ0 ≡ 1 1 0 B 2µ0
EM golf in de tijd
B&E in fase
http://webphysics.davidson.edu/Applets/E MWave/EMWave.html
Breking van licht
http://www.phy.ntnu.edu.tw/java /propagation/propagation.html
x
y
2 uE u 2B
y
E⊥B
z |v|=c
Toepassingen: - “gewoon” licht - radio & TV golven - mobiele telefonie - Röntgen - etc.
oscillerend E-veld ⇒ elektrische stroom
49
III Wat heb ik geleerd? "Gauss" : "geen monopolen" "Faraday"
` "Ampere"
: :
r r ρ ∇⋅E = ε0 r r : ∇ ⋅B = 0 r r r ∂B ∇× E = − ∂t
r r r r ∂E ∇× B = µ 0 J + µ 0 ε 0 ∂t
r
r
∫ E ⋅do
oppervlak
r
r
=
Q omsloten ε0
∫ B ⋅d o = 0
≡−
dΦB dt
oppervlak
r r d ∫ E ⋅ d l = − dt kring r
r
r r ∫ B ⋅d o
d ΦE dt
oppervlak
∫ B ⋅d l = µ 0 I omsloten
kring
≡µ 0 ε 0
+ µ 0ε 0
r r d ∫ E ⋅d o dt oppervlak
r k ≡ ( 0 0 k ) = kkˆ
r r r r ∂2 B 2 ∂2 B B0⊥ k r 2 =c ω =kc, r r B( z ,t )=Br0 cos(kz−ωt ) ∂ z2 ∂t E0⊥k EM golf vgl.: 2 r oplossing: r met: r0 2r E( z ,t )=E cos(kz−ωt ) ∂ E =c 2 ∂ E r0 1 r0 ∂t 2 B = kˆ×E ∂z 2 c 50
25
Zelfinductie toroide zij aanzicht
n windingen stroom I
b
OPGAVE
a
a
h
b
r B-veld:
` : Ampere
Flux per winding:
a < r < b : 2πrB = µ 0 nI ⇒ B =
Φ1B =
µ 0 nI 2πr
b r r µ 0 nIh µ nI ln ( b / a ) ∫ B⋅d o = h ∫ 0 dr = 2π rechthoek a 2πr
Indien b ≈ a d.w.z. b = a + δ
µ 0n2 Ih µ nh µ n hδ = ln ( b / a ) L = 2π ln(1+δ / a ) ≈ 2πa 2π
Totale flux Φ B:
ΦB =
Zelfinductie L:
Φ µ n2h L≡ B = 0 ln( b / a ) I 2π
1 n ΦB
2
0
2
0
2πa : omtrek
2 ⇒L =µ 0 N A∗2 πa n N≡ : windingen/ m 51 2 πa h δ : oppervlak A
26
