Elektromágneses rendszerek modellezése és tervezése

Elektromágneses rendszerek modellezése és tervezése Végeselem-módszer (rövid bevezető) Marcsa Dániel egyetemi tanársegéd E-mail: [email protected] http://maxwell.sze.hu/~marcsa/targyak.html

Széchenyi István Egyetem http://uni.sze.hu

Automatizálási Tanszék http://automatizalas.sze.hu

Elektromágneses Terek Laboratórium http://emt.sze.hu

Numerikus térszámítási módszerek ANSYS Maxwell

Véges differenciák módszere az időtartományban (FDTD)

ONELAB

Végeselem-módszer (FEM)

FEMM

Peremelem-módszer (BEM)

COMSOL Multiphysics

FEKO

Momentum-módszer (MoM)

Mentor Graphics

Hibrid módszerek (FEM-BEM) Marcsa Dániel - Elektromágneses rendszerek modellezése és tervezése (FEM bevezető)

SolidWorks

Távvezeték mátrix módszer (TLM)

2

Numerikus térszámítási módszerek Árnyékolás vizsgálata (EMC)

incoming wave/field

1

Zs ZT

2

conducting layer

Marcsa Dániel - Elektromágneses rendszerek modellezése és tervezése (FEM bevezető)

3

Numerikus térszámítási módszerek Csatolt feladatok

Veszteség csökkentő szabályozó


4

Numerikus térszámítási módszerek Párhuzamosítás Nagy számításigényű feladatok megoldása sokprocesszoros környezetben. Tartomány dekompozíció EBE (element by element) FEM


5

Modellezési technikák és eszközei Ingyenes

Kereskedelmi

FEKO Lite

Maxwell (ANSYS)

pdnMesh

HFSS (ANSYS)

Cedrat Flux (demo version)

COMSOL Multiphysics (AC/DC, RF)

AGROS2D

CST – Microwave Studio

Finite Element Method Magnetics

HFWorks

FlexPDE (student version)

OPERA-2d, -3d (COBHAM)

NEC2

FLUX11

GMSH/GetDP

Matlab PDE Toolbox

MagNet (Infolytica trial version)

MagNet (Infolytica)

Elmer

QuickField

QuickField (student version)

Vector Field


6

Modellezési technikák és eszközei Bővebb információ: http://www.cvel.clemson.edu/modeling/index.html

Ingyenes szimulációs szoftverek listája Kereskedelmi szoftverek listája Modellezési technikákról rövid leírás Néhány információ a szoftverekről


7

Numerikus térszámítás lépései

Optimalizálás

Modell specifikációja Diszkretizálás Asszemblálás Megoldás

Lineáris algebra • Direkt megoldók • Iteratív megoldók

Utófeldolgozás Marcsa Dániel - Elektromágneses rendszerek modellezése és tervezése (FEM bevezető)

Ritka mátrix (sparse matrix)

• Veszteségek • Nyomaték • Sugárzási karakterisztika •… 8

Mit is jelent a diszkretizálás? 1 8

2

1

d 7

3

( n)

2r ⋅ sin π

8

r r

r 4

6 5 K = 2r ⋅ π = n ⋅ 2r ⋅ sin π → π = n ⋅ sin π n n

( )

π = 3.141592653589793 n

π

Hiba

2

2

1.141592653589793

10

3.090169943749474

0.051422709840319

50

3.139525976465669

0.002066677124124

500

3.141571982779476

2.0670810317646e-005

1000

3.141587485879564

5.1677102295144e-006

5000

3.141592446881286

2.0670850719994e-007

10000

3.141592601912665

5.1677127910210e-008

( )

n = 1; Hiba = 1; while Hiba > 1e-6 PI = n*sin(pi/n); Hiba = pi - PI; n = n + 1; end format long; disp(PI);


9

Véges differenciák módszere ∂u ⋅ ∆x + O ( ∆x ) ∂x ∂u u ( x − ∆x ) = u ( x ) − ⋅ ∆x + O ( ∆x ) ∂x u ( x + ∆x ) = u ( x ) +

∂u u ( x + ∆x ) − u ( x ) = ∂x ∆x ∂u u ( x ) − u ( x − ∆x ) = ∂x ∆x

∂ 2u u ( x + ∆x ) − 2 ⋅ u ( x ) + u ( x − ∆x ) ui +1, j − 2 ⋅ ui , j + ui −1, j = = 2 ∂x 2 ( ∆x ) ( ∆x ) 2 i,j+1

∆x

i,j

∆y i,j-1

Hátratartó

∂ 2u ui , j +1 − 2 ⋅ ui , j + ui , j −1 = 2 ∂y ( ∆y )2

Laplace-egyenlet  ∂ 2u ∂ 2u  ∆u = 0 →  2 + 2  = 0 ∂y   ∂x

∆y i-1,j

Előretartó

∆x

ekvidisztáns felosztás

i+1,j

Egy csomópont egyenlete a következő alakra egyszerűsödik: ui , j =

ui +1, j + ui −1, j + ui , j +1 + ui , j −1


4 10

Véges differenciák módszere Laplace-egyenlet megoldása Excel-ben :

0V 0V

0V

A feladat egy négyzet, melynek az alsó lapját egy 100V feszültségű forrásra kapcsoltuk, a másik három oldalát pedig leföldeltük. Határozza meg a négyzetben a potenciál értékét 5x5-ös felbontás esetén. Házi feladat: 50x50-es felbontás esetén meghatározni a négyzetben a potenciál értékét.

100V A

B

C

D

E

1

0

0

0

0

0

2

0

(C2+A2+B1+B3)/4 (D2+B2+C1+C3)/4 (E2+C2+D1+D3)/4

0

3

0

(C3+A3+B2+B4)/4 (D3+B3+C2+C4)/4 (E3+C3+D2+D4)/4

0

4

0

(C4+A4+B3+B5)/4 (D4+B4+C3+C5)/4 (E4+C4+D3+D5)/4

0

5

0

100

100


100

0 11

Véges differenciák módszere Laplace-egyenlet megoldásának eredménye Excel-ben : 100 90

FONTOS! Excel-ben be kell állítani a „Közelítés engedélyezését”, mert különben a körkörös hivatkozás miatt nem oldja meg a feladatot.

80 70 60 50 40 30 20 10 0 1 2

A

B

C

D

E

1

0

0

0

0

0

2

0

7,142094 9,820666 7,142476

0

3

0

18,74924 24,99924 18,74962

0

4

0

0

5

0

42,85676 52,67819 42,85695 100 100 100

0

3 4 5

Véges differenciákról bővebb információt magyarul például a Korszerű antennarendszer-tervezés 3. heti óravázlatában talál. maxwell.sze.hu/~kuczmann/Korszeru_antenna/Antenna_lap.htm


12

Végeselem-módszer 1D-s példa - síkkondenzátor d Ha L (lemez hossza) >> d (fegyverzetek távolsága)

L

Egydimenziós feladat

ε0, εr ρ

U

U

Elektrosztatika ∇× E = 0 ∇⋅D = ρ D = ε 0ε r E

E = −∇ϕ → ∇ × ( ∇ϕ ) ≡ 0

Két ismeretlen, az Ex, Dx helyett egy darab ismeretlen potenciál φ.


13

Végeselem-módszer 1D-s példa - síkkondenzátor D = −ε 0ε r ⋅ ∇ϕ → −∇ ⋅ ( ε 0ε r ⋅ ∇ϕ ) = ρ

+

−E

Laplace-Poisson-egyenlet -gradφ

+

x=0

−∇ ⋅ ∇ϕ = −∆ϕ = ρ

ϕ(x = d) =U x

Ha egy ε van a feladatban ε

Az ε ugorhat, de a φ nem, ezért az anyaghatárokra mindig kell, hogy essen csomópont!

x=d

Ha kettő ε van a feladatban φ1=φ2 ε ε 1

ε 0ε r

Peremfeltételek

ϕ ( x = 0 ) = 0,

−∇ ⋅ ε 0ε r ⋅ ∇ϕ = ρ

+ gradφ -

+

−D

2

ε2 ε1 −∇ ⋅ ε1 ⋅ ∇ϕ = ρ


−∇ ⋅ ε 2 ⋅ ∇ϕ = ρ 14

Végeselem-módszer Súlyozott maradék elv Általában analitikus megoldás nem ismert, ezért approximáció kell. KÖZELÍTÉS → SOHA NEM LEHET PONTOS! −∇ ⋅ ε ⋅ ∇ϕ − ρ ≅ 0 MARADÉK!!

A maradékot súlyozzuk, majd a hiba „elkenése” végett integráljuk a teljes Ω ∫Ω N ⋅ ( −∇ ⋅ ε ⋅ ∇ϕɶ − ρ ) dΩ = 0, ahol N = N ( x ) a súlyfüggvény tartományra. ∇ ⋅ ( u ⋅ v ) = u ⋅ ∇ ⋅ v + v ⋅ ∇u

 − N ⋅  −∇ ⋅ ε ⋅ ∇ϕɶ  dΩ = N ⋅ ρ dΩ   Ω Ω   2db derivált

∫

u 

v

∫

−u ⋅ ∇ ⋅ v = ∇u ⋅ v − ∇ ⋅ ( u ⋅ v )

∫ ∇N ⋅ ε ⋅ ∇ϕɶ dΩ − ∫ ∇ ⋅ ( N ⋅ ε ⋅ ∇ϕɶ ) dΩ = ∫ N ⋅ ρ dΩ

Ω

Ω 2db derivált

∫ ∇ ⋅ v dΩ = ∫ v ⋅ dΓ

Ω

Γ

Ω

Gauss-Osztrogradszkij - formula


15

Végeselem-módszer 1D-s példa - síkkondenzátor Gyenge alak

∫ ∇N ⋅ ε ⋅ ∇ϕɶ dΩ − ∫ N ⋅ ε ⋅ ∇ϕɶ ⋅ dΓ= ∫ N ⋅ ρ dΩ

Ω

Γ

Ω

Ω Γ

Eggyel csökkentettük a deriváltakat. 2

ϕɶ = ϕ D + ∑ Ni ⋅ ϕi

φD – Dirichlet-peremfeltétel

Γ

i =1

1D-s elsőfokú végeselem 1

0

N1

e1

N2

N1

N2 e2

N1

N2

e3

N1

e4

1 N2 d

1

N1

1 N2

x1 végeselem

x2

Ni – végeselem formafüggvény Marcsa Dániel - Elektromágneses rendszerek modellezése és tervezése (FEM bevezető)

16

Végeselem-módszer 1D-s elsőfokú végeselem 1

N1

1 N2

A Dirichlet-peremfeltétel pontosan teljesül. ϕɶ = ϕ D + N 2 ⋅ ϕ2 = ϕ D (ϕɶ = ϕ D + N1 ⋅ ϕ4 = ϕ D ) N1 ≡ 0 a peremen

N 2 ≡ 0 a peremen

φD

φ2

1D-s lineáris formafüggvények 1

N1

x1

1 N2

N1 ( x ) = m ⋅ x + b

N2 ( x ) = m ⋅ x + b

N1 ( x1 ) = 1 = m ⋅ x1 + b

N 2 ( x1 ) = 0 = m ⋅ x1 + b

N1 ( x2 ) = 0 = m ⋅ x2 + b

x2

N1 ( x ) =

N 2 ( x2 ) = 1 = m ⋅ x2 + b

x2 − x x2 − x1

∇N1 ( x ) = ex

∂N1 ( x ) ∂x

N2 ( x ) =

= ex

−1 x2 − x1


x − x1 x2 − x1

∇ N 2 ( x ) = ex

∂N 2 ( x ) ∂x

= ex

1 x2 − x1 17

Végeselem-módszer 1D-s példa - síkkondenzátor

∫ ∇N ⋅ ε ⋅ ∇ϕɶ dΩ = ∫ N ⋅ ρ dΩ

Ω

φD-t nem írjuk bele.

Ω

 2  ∇N j ⋅ ε ⋅ ∇  Ni ⋅ ϕi  dΩ = N j ⋅ ρ dΩ    i =1  Ω Ω

ϕɶ = ϕ D + ∑ Ni ⋅ ϕi i =1

2 

  ∇N j ⋅ ε ⋅ ∇Ni dΩ  ⋅ ϕi = N j ⋅ ρ dΩ   i =1 Ω Ω 

∑ ∫

∑

∫

2

∫

∫

A teljesen általános formula. Úgy célszerű, hogy mátrixos alakban legyen.

Elemegyenlet   ∇N1    ϕ1   N1  ε N N ⋅ ⋅ ∇ ∇ d Ω ⋅ = [ ]   1 2   ϕ   N  ⋅ ρ dΩ ∇ N 2  2 Ω 2  Ω 

∫

∫

 ∇N1 ⋅ ∇N1 ∇N1 ⋅ ∇N 2   ∇ N ⋅ ∇ N ∇N ⋅ ∇ N  1 2 2  2

Egy darab végeselem egyenlete. 0 e1

e2

e3

e4 d

Általában szimmetrikus, és a főátlóban mindig pozitív értékek vannak.


18

Végeselem-módszer Asszemblálás φ2

φ1

Analitikus megoldás

φ3

e1

e2

φ4

φ5 e4

e3

φ4

b4

∂ 2ϕ ρ / = − 2 ε ∂x ∂ϕ ρ =− x+ A / ∂x ε 1ρ 2 ϕ =− x + Ax + B 2ε ϕ ( x = 0) = 0 = B

φ5

b5

ϕ(x = d) =U = −

· x

= b

∫

1

2

3

4

5

1

x

x

0

0

0

φ1

b1

2

x

xx

x

0

0

φ2

b2

3

0

x

xx

x

0

4

0

0

x

xx

x

5

0

0

0

x

x

K

−∇ ⋅ ε ⋅ ∇ϕ = ρ ∇ ⋅ ∇ϕ = ∆ϕ = − ρ ε

·

φ3

=

b3

Lineáris vagy linearizált egyenletrendszer. K ∈ R N×N , x ∈ R N , b ∈ R N

∫

1ρ 2 d + Ad 2ε

U 1ρ + d d 2ε 1 ρ 2 U 1 ρ  x + + dx ϕ ( x) = − 2ε d 2 ε   A=


19

Végeselem-módszer Peremfeltételek φ2

φ1

φ3

e1 φ1=0V

e2

e4

e3

2

3

4

5

1

x

x

0

0

0

φ1

b1

2

x

xx

x

0

0

φ2

b2

3

0

x

xx

x

0

4

0

0

x

xx

x

5

0

0

0

x

x

2

3

4

5

1

1

0

0

0

0

⁞

⁞ 0

φ5

1

1

5

φ4

0

0

0

1

·

=

φ3

φ5=U

b3

φ4

b4

φ5

b5 Matlab-ban 0

φ1

·

⁞ φ5

=

K(1,:) K(1,1) b(1)

= K(1,:) * 0; = 1; = 0;

K(5,:) K(5,5) b(5)

= K(1,:) * 0; = 1; = U;

⁞ U


20

Végeselem-módszer 1D-s példa – síkkondenzátor Matlab script % Síkkondenzátor - Lineáris elemekkel clear clc %% Konstansok definiálása eps = 8.854e-12*10; rho = 1e-2; d = 1/1000; U = 10; %% Végeselemrács készítése N = 5; X = 0:d/N:d; %% A K mátrix és a b vektor létrehozása K = zeros(N+1); b = zeros(N+1,1); %% Asszemblálás for e = 1 : N % Csomopont koordinátáinak beolvasása x1 = X(e); x2 = X(e+1); % Gradiensek kiszámítása gN1 = -1 / (x2 - x1); gN2 = 1 / (x2 - x1); % Elemegyenletbõl a Ke mátrix és be vektor Ke = [gN1; gN2] * eps * [gN1, gN2] * (x2 - x1); be = rho * [(x2 - x1)/2; (x2 - x1)/2];

% K mátrix és a b vektor feltöltése az elemek Ke mátrixával % és be vektorával K(e,e) = K(e,e) + Ke(1,1); K(e,e+1) = K(e,e+1) + Ke(1,2); K(e+1,e) = K(e+1,e) + Ke(2,1); K(e+1,e+1) = K(e+1,e+1) + Ke(2,2); b(e) = b(e) + be(1); b(e+1) = b(e+1) + be(2); end %% Peremfeltétel K(1,:) = K(1,:) * 0; K(1,1) = 1; b(1) = 0; K(N+1,:) = K(1,:) * 0; K(N+1,N+1) = 1; b(N+1) = U; %% Egyenletrendszer megoldása fi = K \ b; %% Megoldás ábrázolása plot(X, fi); hold on; %% Analitikus megoldás ábrázolása a_fi = -1/2*(rho/eps)*X.^2+(U/d+(1/2)*(rho/eps)*d)*X; plot(X, a_fi,'ro');


21

Elektromágneses rendszerek modellezése és tervezése

Kérdések Köszönöm a figyelmet! [email protected] Marcsa Dániel - Elektromágneses rendszerek modellezése és tervezése (FEM bevezető)

22

Elektromágneses rendszerek modellezése és tervezése

Recommend Documents