Hamilton rendszerek, Lyapunov függvények és Stabilitás. Hamilton rendszerek valós dinamikai rendszerek, konzerva3v mechanikai rendszerek

Hamilton  rendszerek,  Lyapunov  függvények  és  Stabilitás  

Hamilton  rendszerek      valós  dinamikai  rendszerek,                                                                                            konzerva3v  mechanikai  rendszerek   Sokszor  nem  lehetséges,  hogy  a  tanult  linearizációs  módszerrel  meghatározzuk  a   kri3kus  pontok  vagy  határciklusok  stabilitását.  Ilyen  esetekben  a  Lyapunov  függvény     Használata,  és  a  Lyapunov  stabiltás  analizís  segíthet  bennünket.           1.  Hamilton  rendszerekkel  fogunk  foglalkozni.   2.  A  Lyapunov  stabilitás  analizist  tanuljuk  meg.  

A  Hamilton  rendszerek  síkban   Egy  kétdimenziós  differenciálegyenlet  rendszer  egyszabadság  fokú  Hamilton  Kpusú     rendszer,  ha  a  következő  alakban  írható:   dx ∂H(x, y) = x˙ = dt ∂y dy ∂H(x, y) = y˙ = − dt ∂x

ahol  H(x,y)  mindkét  változó  szerint  kétszer  differenciálható  függvény.     Ezt  nevezzük  Hamilton  függvénynek  

€

Egy  ilyen  rendszer  egy  H(x,p)  egyszabadsági  fokú  mechanikai  rendszerrel  ekvivalens.   x˙ =

€

∂H ∂p

p˙ = −

∂H ∂x

A  H€amilton  függvény  felírható  mint:  

€

H(x, y) = T(x, y) + V (x, y) mozgási  energia  

helyzeK  energia  

Egy  Hamilton  rendszer  konzerva3v  (az  össz  energia  megmarad  egy    trajektórián  a   dinamika  során  )   dH[x(t), y(t)] ∂H(x, y) dx ∂H(x, y) dy ∂H ∂H ∂H ∂H = + = − =0 dt ∂x dt ∂y dt ∂x ∂y ∂y ∂x

H[x(t), y(t)] konstans  a  trajektóriák  mentén  

€

Példa:  fizikai  inga  

€ m d L(θ ,θ˙ ) = T(θ ,θ˙ ) − V (θ ,θ˙ ) = (lθ ) − mgl(1 − cos(θ )) 2 dt

Euler-­‐Lagrange  egyenletek  

€

g θ˙˙ + sin(θ ) = 0 l

θ˙ = φ €

g φ˙ = − sin(θ ) l

d ⎛ ∂L(θ ,θ˙ ) ⎞ ∂L(θ ,θ˙ ) ⎜ ⎟ = − dt ⎝ ∂θ˙ ⎠ ∂θ

ml 2θ˙˙ + mglsin(θ ) = 0 €

€ φ2 g €H(θ , φ ) = 2 − l cos(θ )

g  

θ

l   m  

A  fizikai  inga,  mint  dinamikus  rendszernek  a  tárgyalása     θ˙ = φ g φ˙ = − sin(θ ) l

€

Jacobi  mátrix  

−2π −π

KriKkus  pontok:   (nπ ,0)

⎡ 0 1 ⎤ € ⎢ g ⎥ − cos( θ ) 0 ⎢⎣ l ⎥⎦

€

€

görbék  

€

1 ⎤ ⎥ 0 ⎥ ⎦

⎡ 0 1 ⎤ Ha  n  páratlan   ⎢ g ⎥ 0 € ⎢⎣ € ⎥⎦ l

φ2 g − cos(€ θ) = C Trajektóriák:     H (θ , φ ) = 2 l

0  

π 2π 3π θ

⎡ 0 Ha  n  páros   ⎢− g ⎢⎣ l

€

φ

€

€ g λ1,2 = ±i € € €l nemhperbolikus   €kriKkus  pont   λ1,2 = ±

g l

nyeregpontok  

nyeregpontok  

nemhiperbolikus   kriKkus  pont  

y2 H(x, y) = − cos( x ) 2

€

nyeregpontok  

nemhiperbolikus     kriKkus  pontok  

  Ha  adoY  az      x˙      =        f      (  x      )    síkbeli  dinamika,  amelynek  a  Jacobi  mátrixa  J,  akkor  azt  mondjuk,   hogy  a  kriKkus  pontok  nemelfajultak,  ha  a  J-­‐nek  nincs  0  sajátértéke.  Ha  J-­‐nek  0  a   sajátértéke,  akkor  a  kriKkus  pont  elfajult.   € Tétel:  Egy  2d  Hamilton  rendszer  minden  nemelfajult  kriDkus  pontja  vagy  nyeregpont     vagy  center.   Bizonyítás:    

Tételezzük  fel,  hogy  a  kriKkus  pont  az  O(0,0)  …origó.  A  Jacobi  mátrix:  

⎡ ∂ 2 H ⎤ ∂ 2H 0,0 0,0 ( ) ( ) ⎢ ⎥ 2 ∂ x ∂ z ∂ y ⎥ J(0,0) = J 0 = ⎢ 2 2 ⎢ ∂ H 0,0 − ∂ H 0,0 ⎥ ( ) ( ) ⎥ ⎢⎣ ∂x 2 ∂y∂x ⎦

Tr(J 0 ) = 0 ⎛ ∂ 2 H ⎞ 2 ∂ 2H ∂ 2H det ( J 0 ) = 2 (0,0) 2 (0,0) − ⎜ (0,0)⎟ ∂x ∂y ∂ x ∂ y ⎝ ⎠

€

€

Ha    det(J         0 ) < 0 det(J 0 ) > 0

€

nyeregpont   center  

€

Példák:  Határozzuk  meg  a  Hamilton  függvényét  a  követlező  dinamikai   rendszereknek,  és  rajzoljuk  fel  a  fázis-­‐portréjukat     1.     x˙ = y

y˙ = x + x

y2 x2 x3 H(x, y) = − − 2 2 3

2

€ KriKkus  pontok:  

€

O(0,0) P(−1,0)

€

⎡ 0 1 ⎤ J P = ⎢ € ⎥ ⎣−1 0 ⎦

€

⎡ 0 1 ⎤ J = ⎢ ⎥ 1+ 2x 0 ⎣ ⎦ λ1,2 = ±i center  

nemhiperbolikus  

€

€

⎡0 1 ⎤ J 0 = ⎢ ⎥ ⎣1 0 ⎦

trajektóriák  

λ1,2 = ±1

nyeregpont  

€

€ €

⎡1⎤ v +1 = ⎢ ⎥ ⎣1⎦ ⎡ 1 ⎤ v −1 = ⎢ ⎥ ⎣ −1⎦

H(x, y) = C

nyeregpont   center  

2.    

€

x˙ = y + x 2 − y 2 y˙ = −x − 2xy

x2 y2 y3 2 H(x, y) = + +x y− 2 2 3 ⎡ 0 1 ⎤ J 0 = ⎢ ⎥ ⎣−1 0 ⎦

KriKkus  pontok:    € O = (0,0) A = (0,1)

⎡ 2x 1 − 2y ⎤ J = ⎢ ⎥ ⎣−1 − 2y −2x ⎦

3 1 B = ( ,− ) 2 € 2 3 1 C = (− ,− ) 2 2

€

€ €

Trajektóriák:  

€

x2 y2 y3 2 H(x, y) = + +x y− =C 2 2 3

nyeregpont  

⎡ 0€ −1⎤ λ1,2 = ± 3 J A = ⎢ ⎥ ⎡ 1 ⎤ ⎣−3 0 ⎦ v 3 = ⎢ ⎥

v−

⎣ −1⎦

3

⎡1⎤ = ⎢ ⎥ ⎣1⎦

€ ⎡ 3 2 ⎤ =± 3 J B = ⎢ € ⎥ λ1,2 € 0 − 3 ⎣ ⎦ ⎡1 ⎤ v 3 = ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦ € ⎡− 3 2 ⎤ JC = ⎢ ⎥ λ1,2 = ± 3 ⎣ 0 € 3 ⎦ € v

€

center  

λ1,2 = ±i

€

3

nyeregpont   v−

nyeregpont  

⎡ 1 ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣ 3 ⎦

v−

€ €

3

⎡ 1 ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣− 3 ⎦

€

3

⎡1 ⎤ = ⎢ ⎥ ⎣0 ⎦

nyeregpontok  

center  

Tekintsünk  egy  2d  dinamikus  rendszert.   Legyen    x      0      egy  kriKkus  pont.  Ha        Λ      +    (  γ    )      =      Λ      −  (    γ    )    =        x    0      ,  akkor  γ        egy  homoklinikus   orbitál.          

€

€

€

-­‐egy  homoklinikus  orbitál   egy  kriKkus  pontot   önmagával  köK  össze   -­‐  Végtelen  idejű  dinamika   kell,  hogy  az  összekötés   megvalósuljon  

homoklinikus  orbitál  

Tekintsünk  egy  2d  dinamikus  rendszert.   Legyen  x      0    és      y    0      két  krKkus  pont.  Ha      Λ      +    (  γ    )      =        x    0        és  Λ            (  γ    )      =          y    0      ,  akkor    γ        egy   heteroklinikus  orbitál.               −

€

€

€

€

€

Heteroklinikus  orbitálok  

szeparatrix  

Egy  olyan  orbitál  ami  fázissíkot  két  dinamikailag     kalitaKven  különböző  doméniumra  ossza  

A  homoklinikus  és  heteroklinikus  orbitálok  példák  szeparatrix-­‐re  

Potenciálmódszer  a  kriDkus  pontok  stabilitásának  a  viszgálatára  

∂U ∂x ∂U y˙ = − ∂y € x˙ = −

“potenciálfüggvény”  

U(x, y)

⎛⎛ ∂U ⎞ 2 ⎛ ∂U ⎞ 2 ⎞ dU ∂U dx ∂U dy = + = −⎜⎜⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟⎟ ≤ 0 dt ∂x dt ∂y dt ⎝⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂y ⎠ ⎠

Egy  trajektória  mentén  a  potenciálfüggvény  csökken.   €

€

kriKkus  pontok:  

€

x˙ = 0 y˙ = 0

∂U =0 ∂x ∂U =0 ∂y

lokális  maximumok  vagy  minimumai   a  potenciálfüggvénynek  

lokális  maximum                      instabil  kriKkus  pont   € lokális   minimum                        stabil  kriKkus  pont  

Példa  

x˙ = x − x y˙ = −y

€

⎡1 0 ⎤ JO = ⎢ ⎥ ⎣0 −1⎦

O(0,0) KriKkus  pontok:   A(−1,0) B(1,0)

3

λ1,2 = ±1

€

⎡1 − 3x 2 J = ⎢ ⎣ 0

0 ⎤ ⎥ −1⎦

€

nyeregpont  

€

€

⎡−2 0 ⎤ J A = ⎢ ⎥ ⎣ 0 −1⎦

x2 x4 y2 V (x, y) = − + + 2 4 2

λ1 = −2 λ2 = −1

stabil  nodus  

€

€

⎡−2 0 ⎤ J B = ⎢ ⎥ ⎣ 0 −1⎦

€ λ1 = −2 λ2 = −1

stabil  nodus   €

€

dupla  potenciálvölgy  

KriDkus  pontok  stabilitása  

  x˙ = f ( x )  Ha    x    (t)          egy  trajektória  a  fenK  dinamikában    



€ €

€

€

€

Egy  x      0  kriKkus  pont  stabil,  ha  minden  ε        >          0        -­‐hoz  létezik    δ        >        0        úgy,  hogy         ha      t    ≥        t    0  ,        x    (t)          −      x    0    (t)              <      ε        mikor        x    (t      0  )    −        x    0    (t      0  )        <      δ  .      

€ €

€

€  Egy  x      0  kriKkus  pont  asszimptoDkusan  stabil,  ha  stabil  és  létezik  η      >      0          úgy,  hogy     limt → ∞ x (t) − x 0 (t) = 0    ha       x (t 0 ) − x 0 (t 0 ) < η €

€ Egy  stabil  kriKkus  pont  környezetében  a  trajektóriák  a  kriKkus  pont  közelében  maradnak…   € Egy  asszimptoKkusan  stabil  kriKkus  pont  környezetében  a  trajetóriák  bekonvergálnak  a     KriKkus  pontban  

Lyapunov  függvény  és  stabilitás  vizsgálat   Nemhiperbolikus  kriKkus  pontok  esetén  a  Lyapunov  stabilitás  vizsgálat  használható,   hogy  a  kriKkus  pontok  stabilitását  vizsgáljuk   Lyapunov  stabilitás  tétele    ˙  x x = f ( x ) Legyen                                        egy  dinamika  és    f    folytonosan  deriválható.  Legyen          0      egy   kriKkus  pont  és      E      ⊂        ℜ        2    egy  nyílt  halmaz  amely  tartalmazza  az    x      0    pontot.    Tételezzük  fel,  hogy  létezik  egy      V      (  x    )    folytonosan  deriválható  függvény  amelyre                    

 V ( x 0) = 0 €    V ( x) € > 0ha x ≠ x 0 €

Ilyen  esetben,  ha   d   V ( x (t)) ≤ 0,∀x ∈ E dt 2.   d V ( x (t)) < 0,∀x ∈ E dt 3.   d V ( x (t)) > 0,∀x ∈ E dt

1.  

€ €

€

€

d  4.   (V ( x (t))) = 0 dt

 V ( x) akkor  

€

akkor  

€akkor   € 

∀x ∈ E

€

 x0  x0  x0

€ €Lyapunov  függvény  

stabil   asszimptoKkusan  stabil   instabil    a  trajektoriák  a    V      (    x    (  t    )  )      =      C        görbék      

Példák:  

1.  

KriKkus  pont:  O(0,0)  

x˙ = −y 3

minden  sajátérték  0   nemhiperbolikus  kriKkus  pont   a  klasszikus  stabilitásvizsgálat  nem  müködik    

y˙ = x 3

V (x, y) = x 4 + y 4

megfelelő  Lyapunov  függvény  

€

€

dV ∂V dx ∂V dy = + = 4 x 3 ( −y 3 ) + 4 y 3 ( x 3 ) = 0 dt ∂x dt ∂y dt A  trajektóriák:     x 4 + y 4 = C

€ €

€

y > 0 → x˙ < 0 y < 0 → x˙ > 0

Az  O  stabil,  de  nem  asszimptoKkusan  stabil  

2.  

x˙ = y y˙ = −x − y(1 − x 2 ) ⎡ 0 1 ⎤ JO = ⎢ ⎥ ⎣−1 −1⎦

€

KriKkus  pont:  O(0,0)  

1 3 λ1,2 = − ± i 2 2

stabil  fókusz  

2 2 Lyapunov   €függvény:   V (x, y) = x + y

€

€

dV ∂V dx ∂V dy = + = 2y 2 (x 2 −1) dt ∂x dt ∂y dt € dV dV =0 Ha  |x|<1   ≤0 € dt dt

€

€

y =0

x˙ = 0 y˙ = −x

€ az  y=0  egyenesről  a  trajektóriák  távolodnak   € Az  O  pont   asszimptoKkusan  stabil  

3.   x˙ = −8x − xy 2 − 3y 3

Bizonyítsuk  be,  hogy  O(0,0)  asszimptoKkusan  stabil   kriKkus  pont  

y˙ = 2x 2 y + 2xy 2

€

€

⎡−8 0 ⎤ JO = ⎢ ⎥ ⎣ 0 0 ⎦

λ1 = −8 λ2 = 0

Az  O  kriKkus  pont  nemhiperbolikus    

2 2 Legyen:  €   V (x, y) = 2x + 3y V˙ = 4 x(−8x − xy 2 − 3y 3 ) + 6y(2x 2 y + 2xy 2 ) = 8x 2 (y 2 − 4)

€

V˙ ≤ 0

és  

ha   y < 2

V˙ = 0

€ €

€ A  trajektóriák  mentén  végig   csökken  V  ha  V(x,y)<12  

€

€

ha   x = 0 x˙ = −3y 3 y˙ = 0

V˙ < 0 ha   y < 2

y  

x   a  trajektoriák  távolodnak     az  x=0  tengelytől  

€

A  Lyapunov   € stabilitás  doménium    

€2x 2 + 3y 2 < 12

egy  ellipszis  belsejében  van