Rugós mechanikai rendszerek modellezése 1. feladat Adott két sorba kapcsolt rugó „c1” és „c2” merevséggel valamint „l10” és „l20” terheletlen hosszal. A rugókat megnyújtjuk úgy, hogy együttes hosszuk „l” legyen (l>l10+l20). c1
c2
l10
l20 F=?
l1 =? l
a) Mekkora a rugókban ébredı erı?
/ F=
c1c 2 (l − l10 − l 20 ) / c1 + c 2
/ l1 = l10 +
c1 (l − l10 − l 20 ) / c1 + c 2
b) Mekkora a c1 rugó megváltozott hossza?
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------Kidolgozott példa Egy l0 terheletlen hosszúságú, „c” merevségő rugó α szög alatt van elhelyezve a vízszintes vezetékhez képest. A rugó alsó vége a vezetékben tud elmozdulni, helyzetét az „x” koordináta jellemzi. A rugó felsı vége rögzítve van. a) Határozza meg a rugó vízszintes irányú merevségét tetszılegesen nagy elmozdulásokra! b) A végeredmény felhasználásával mutassa meg, hogy kis alakváltozásokra (x→0) cx=c cos2α ! Próbálja önállóan megoldani a példát! Csak végsı esetben nézze meg a megoldást!
l* l0 α
α∗
Fx F x
cx
Fx
Megoldás ad a) A rugó megváltozott hossza “x” nagyságú elmozdulás esetén az ábra alapján
l*
l0 sinα l0 α
l0 cosα
l∗ = (l0 cos α + x ) 2 + (l0 sin α) 2
A rugó hosszváltozása (megnyúlása) ∆l = l∗ − l0 = (l0 cos α + x ) 2 + (l0 sin α ) 2 − l0
A rugóban ébredı erı
α∗
x
F = c∆l = c ⋅ ( (l0 cos α + x ) 2 + (l0 sin α) 2 − l0 )
A „kulisszakı” free-body diagramja F
N
α*
Fx
Innen az elmozdulás irányú erı
∑F
xi
= 0 = −F cos α ∗ + Fx
Fx = F cos α ∗
→
Az „x” elmozdulás következtében megváltozik a rugó α hajlásszöge α*-ra. Az ábra derékszögő háromszögébıl tgα ∗ =
l0 sin α l0 cos α + x
A továbbiakban a rugóerı Fx vízszintes komponensének számításához cosα*-ra lesz szükségünk. Középiskolai ismeretek alapján Bármely szögfüggvény kifejezhetı bármilyen másikkal, így a koszinusz szögfüggvény kifejezhetı tangens szögfüggvénnyel az ábra alapján:
1 + tg 2 α ∗
tgα ∗
α* 1 cos α ∗ =
1 1 + tg 2 α ∗
1
= 1+
(l 0 sin α) 2 (l 0 cos α + x ) 2
A vízszintes irányú erıkomponens ezzel
Fx = F cos α ∗ = c ⋅ ( (l 0 cos α + x ) 2 + (l 0 sin α) 2 − l 0 ) ⋅ F
1 (l 0 sin α) 2 1+ (l 0 cos α + x ) 2 cos α ∗
(Vegye észre, hogy az összefüggés az erı és az elmozdulás között nemlineáris →nemlineáris rugókarakterisztika!) Nemlineáris rugókarakterisztika esetén csak egy adott munkapontban értelmezett differenciális rugómerevség értelmezhetı. A vízszintes irányú differenciális rugómerevség a következı: cx =
dFx 1 1 =c ⋅ 2(l 0 cos α + x ) 2 (l cos α + x ) 2 + (l sin α) 2 dx 0 0
1 1+
+
(l 0 sin α) 2 (l 0 cos α + x ) 2
3
− (l 0 sin α) 2 1 ) 2 (−2)(l 0 sin α) 2 (l 0 cos α + x ) −3 + c( (l 0 cos α + x ) + (l 0 sin α) − l 0 )(− (1 + 2 2 (l 0 cos α + x ) 2
2
A deriválásnál a szorzatfüggvény deriválási szabályát, valamint a láncszabályt alkalmaztuk.
ad b) A cx elıbbi összefüggése x=0 helyettesítéssel (a kis alakváltozásokra vonatkozó összefüggés)
cx =
dFx dx
x =0
1 1 2(l 0 cos α) =c ⋅ 2 2 (l 0 cos α) + (l 0 sin α) 2
cos α 1 (l 0 sin α) (l 0 cos α) 2 2
1+
+
(l sin α) 2 − 32 1 + c( (l 0 cos α) 2 + (l 0 sin α) 2 − l 0 )(− (1 + 0 ) (−2)(l 0 sin α) 2 (l 0 cos α) −3 = c ⋅ cos 2 α 2 2 (l 0 cos α) 0
a jól ismert cx
x =0
= c ⋅ cos 2 α
képletet eredményezi.
2. feladat Az AB=r kar függıleges helyzetében az “α” hajlásszögő, “c” merevségő rugó terheletlen állapotban van. B
c M ϕ A
α
C
a) Az AB karra “M” nyomatékot mőködtetve a kar “φ” szöggel elfordul. Határozza meg az M nyomaték és a φ elfordulási szög kapcsolatát kis elfordulási szög esetén (lineáris modell)! (Elıször helyettesítse a ferde rugót mozgásirányú, vízszintes rugóval) / M = cr 2 cos 2 α ⋅ ϕ / b) Határozza meg az M nyomaték és a φ elfordulási szög kapcsolatát tetszılegesen nagy elfordulási szög esetén (nemlineáris modell)! (Segítség: vegye alapul a megváltozott geometriát az ábra szerint. Számítsa ki a megváltozott rugóhosszat, a rugó hosszváltozását, a rugóban ébredı erıt, a rugó megváltozott hajlásszögét, majd írja fel az erı komponenseinek nyomatékát az A pontra. )
B
Fx
Fy c rcosϕ
M ϕ rsinϕ
1+ / M = cr 2
C A
r/tgα
1 1 2 sin ϕ − 1+ 2 + 2 tgα tg α tg α 1 (sin ϕ + tgα ) cos ϕ − sin ϕ cos ϕ / 1 2 sin ϕ 1+ 2 + tgα tg α
Vegyük észre, hogy ϕ → 0 határátmenet esetén
1 2 sin ϕ 1 1 2ϕ + ). →1+ ( 2 + 2 tgα 2 tg α tgα tg α Ezen értékek helyettesítésével visszakapjuk a kis elmozdulásra levezetett a) pontbeli összefüggést. Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha kiszámítjuk a dM/dϕ differenciális rugómerevséget a ϕ=0 helyen. sin ϕ → ϕ, cos ϕ → 1,
1+
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------3. feladat Az elızı 2. feladat AB rúdjára F erı hat a rúd közepén.
B
c
F
ϕ
α
C
A
a) Határozza meg az F erı és a φ szögelfordulás kapcsolatát kis elmozdulásokra! / F = 2cr cos 2 α ⋅ ϕ /
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4. feladat Az ábrán látható rendszer két ferde rugóból, az elhanyagolható tömegő merev AB karból, valamint egy “m” tömegpontból áll. x
B
m
c1
c2
β
α
D
C
A
a) Írja fel az “m” tömegpont x(t) mozgásegyenletét kis alakváltozásokra! / mɺxɺ + (c1 cos 2 α + c 2 cos 2 β) x = 0 /
b) Mekkora a rendszer sajátlengéseinek körfrekvenciája? c1 cos 2 α + c 2 cos 2 β /α= / m ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5. feladat a) Határozza meg a ct1 és ct2 torziós rugókból álló lépcsıs tengely végének M-φ kapcsolatát!
ct1
ϕ
Mt
ct2
1 1 + )ϕ / c t1 c t 2 b) Mekkora ct1 és ct2, ha a tengelyszakaszok átmérıi rendre d1 és d2, hosszuk l1 és l2. A tengely anyagának nyírási modulusa G. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------6. feladat / Mt = (
Az elızı feladat szerinti tengely végére erısített J tehetetlenségi nyomatékú tárcsára Mt(t) csavaró nyomaték hat. J
ct1
ct2
Mt
ϕ
a) Írja fel tárcsa φ(t) mozgásegyenletét! ɺɺ + ( / Jϕ
1 1 + )ϕ = 0 / c t1 c t 2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------7. feladat a) Írja fel a két végén befogott lépcsıs tengelyt terhelı Mt csavarónyomaték és φ szögelfordulás kapcsolatát! ct 1
ct 2
Mt ct =?
ϕ
b) Mekkora az eredı torziós rugómerevség? / c t = c t1 + c t 2 / --------------------------------------------------------------------------------------------------------------8. feladat Az elızı 8. feladatban szereplı tengelyre J tehetetlenségi nyomatékú tárcsát erısítünk.
J
ct 1
ct 2
Mt
ϕ
Írja fel a tárcsa φ(t) mozgásegyenletét!
ɺɺ + (c t1 + c t 2 ) ϕ = 0 / / Jϕ --------------------------------------------------------------------------------------------------------------9. feladat Az „l0” hosszúságú, „IE” hajlító merevségő konzol végéhez „c2” merevségő rugót rögzítünk. l IE
c1 c2
F
c2
c=?
x
a) A rugók deformációja, vagy a rugókat terhelı erı egyezik-e meg? (Párhuzamos, vagy soros kapcsolásúak-e) b) Határozza meg a rendszer “c” eredı rugómerevségét! /
1 l0 1 = + / c AE c 2
10. feladat Az „IE” hajlító merevségő, elhanyagolható tömegő kéttámaszú tartó közepére „m” tömeget rögzítünk, melyre F(t) gerjesztı erı hat.
y F(t)
l0/2
m
IE
l0 F(t) m
c=?
a) Határozza meg a tartó, mint rugó, egyenértékő rugómerevségét! (Segítség: Mechanika járulék képletek) / c=
48IE / l0
b) Írja fel a tömeg mozgásegyenletét! / mɺyɺ + cy = F( t ) /
11. feladat Az „AB” karhoz egy c1 és egy c2 merevségő rugó van rögzítve.
c1
B M
a c2 C b ϕ A
a) Határozza meg a karra ható M nyomaték és a kar φ szögelfordulása közötti összefüggést kis elmozdulásokra! Közelítıleg mekkora a rugók végeinek az elmozdulása? (Segítség: a feladat bonyolultsága indokolja a free-body diagram megrajzolását!) / M = [(a + b) 2 c1 + b 2 c 2 ]ϕ /
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------12. Kidolgozott példa Írja fel az ábrán látható tömeg mozgásegyenletét!
Megoldás A tömeget x-értékkel kimozdítjuk egyensúlyi helyzetébıl. A bal oldali rugó ekkor megnyúlik x-értékkel és c1x húzóerıt fejt ki a vele érintkezı testekre. A tömegre nézve ez balra mutató c1x erıt jelent. A jobb oldali rugó ugyanakkor összenyomódik x-értékkel és c2x nyomóerıt fejt ki a vele érintkezı testekre. A tömegre nézve ez balra mutató c2x erıt jelent. Megrajzoljuk a vizsgált test free-body diagram ját (erıkkel helyettesítve a vizsgált testtel érintkezı más testek hatását).
terheletlen rugó
terheletlen rugó m c1
c2 x
c1 x megnyúlt rugó
c1 x
összenyomódott rugó c2 x
c2 x
+ koordináta irány Free-body diagram c1 x
c2 x
.Felírva Newton II. axiómáját (a dinamika alapegyenletét haladó mozgásra) nyerjük a tömeg mozgásegyenletét.
∑ F = ma -c1 x-c2 x=ma
mɺxɺ + (c1 + c 2 ) x = 0 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------13. feladat Egy anizotróp csapágyazás vízszintes irányú rugómerevsége cx, függıleges irányú rugómerevsége cy.
cx
ϕ
cy
Határozza meg a csapágyazás tetszıleges ϕ irányú rugómerevségét! / c(ϕ) = c x cos 2 ϕ + c y sin 2 ϕ /
14. feladat Két tömegbıl és két rugóból álló mechanikus lengırendszer látható az ábrán. Az m1 tömegre gerjesztıerı is hat. Írja fel az egyes tömegek mozgásegyenleteit! Fg(t)
c1
c2
m1
m2
x1
c1
x2
c2 m1
m2
/ m 1ɺxɺ1 + (c1 + c 2 ) x 1 − c 2 x 2 = Fg m 2 ɺxɺ 2 − c 2 x 1 + c 2 x 2 = 0 /
15. feladat Az ábrán látható rendszer útgerjesztéső. Írja fel az egyes tömegek mozgásegyenleteit! c1
c2 m1
c3 m2
xg(t)
/ m1ɺxɺ1 + (c1 + c 2 ) x 1 − c 2 x 2 = 0 m 2 ɺxɺ 2 − c 2 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 = c 3 x g ( t ) / --------------------------------------------------------------------------------------------------------------16. feladat Az ábrán szíjhajtás modellje látható. A J1 és J2 tehetetlenségi nyomatékú szíjtárcsákat a húzott oldalon „c” merevségő szíj kapcsolja össze. A bal oldali szíjtárcsára M(t) nyomatékgerjesztés hat.
c M(t) r1
r2 ϕ1
ϕ2
J1
J2
a) Írja fel az egyes szíjtárcsák mozgásegyenleteit!
ɺɺ1 + cr12 ϕ1 − cr1 r2 ϕ 2 = M( t ) / J 1ϕ ɺɺ 2 + cr22 ϕ 2 + cr1 r2 ϕ1 = 0 / J 2ϕ 17. feladat Egy autó és pótkocsi modelljét látja az ábrán.
Fg2(t)
c
Fg1(t)
m2
m1
x2
x1
a) Írja fel az autó és a pótkocsi mozgásegyenleteit!
/ m1ɺxɺ1 + cx 1 − cx 2 = Fg1 m 2 ɺxɺ 2 − cx 1 + cx 2 = Fg 2 / b) Mekkora a rendszer sajátfrekvenciája? (Segítség: Gerjesztetlen rendszer esetén vezessen be új változót, ∆x= x1-x2. Ezzel a c c c c mozgásegyenlet ∆ɺxɺ + ( + )∆x = 0 lesz. Innen a sajátfrekvencia α = ) + m1 m 2 m1 m 2
