Mechanikai rezgések 1. Jellemző fizikai mennyiségek Mivel a harmonikus rezgőmozgást végző test leírható egy egyenletes körmozgást végző test vetületével, a rezgőmozgást jellemző mennyiségek megegyeznek a körmozgást jellemző mennyiségekkel. a) Periódus Az idő, mely alatt a körmozgást végző test egy teljes kört ír le (a rezgőmozgást végző test egy teljes rezgést végez). Jele: T. Mértékegysége: 1s. b) Frekvencia Az egységnyi idő (általában 1s) alatt megtett körök száma (a végzett rezgések száma). Jele: ν. Mértékegysége: Hz(hertz) vagy fordulat/másodperc. A frekvencia és periódus közötti összefüggés: 1 = (1) c) Szögsebesség A sebességgel rokon fizikai mennyiség, körmozgás esetén a kör középpontjából a testhez húzott sugár egységnyi idő alatt „sepert” szögét jelenti. Jele: ω. Mértékegysége: radián/s. Észrevehető, hogy a szög mérésére nem a fokot, hanem a radiánt használják. Egy radián annak a középponti szögnek a nagysága, melyhez sugár nagyságú körív tartozik. Ezek szerint egy teljes körhöz pont 2 radián nagyságú középponti szög tartozik. Mivel egy teljes kört pont T idő alatt tesz meg a test, ezért a szögsebesség kiszámítható, mint: =
2
(2)
Egyenletes a körmozgás, ha a szögsebesség nagysága nem változik. Ebben az esetben a megtett szög értéke kiszámítható, mint: =
+
(3)
ahol a kezdeti szög (kitérés). Rezgőmozgás esetén a szög helyett a fázis kifejezést használják: =
+
(3 )
2. Ideális harmonikus oszcilátor
Mechanikai rezgések
1
A rezgőmozgás periodikus, tehát ismétlődő mozgás egy egyensúlyi helyzet körül. kör Tanulmányozni egy ideális rugóra akasztott test modell segítségével lehet. Tekintsünk tehát egy ideáide lis (tömegét elhanyagoljuk, tökéletesen rugalmas) k rugalmassági állandójú rugót, mely végévég re m tömegű anyagi pontot (méreteitől eltekintünk, csak tömege tömege jellemzi) akasztunk. A rugót szabad végén rögzítjük és úgy helyezzük el, hogy a rugó-test rugó test rendszerünk függőleges irányirán ban végezhessen rezgőmozgást. A rendszerünk egyensúlyi helyzete abban a pontban van ahol a test súlyát kiegyenlíti a rugó rugalmas ereje. ereje Ahhoz, hogy rezgéseket keltsünk, a teste tünket ki kell mozdítsuk egyensúlyi helyzetéből. Mivel a mozgás függőleges irányú lesz, egyetlen koordinátával meghatározhatjuk a rezgő test helyzetét. Legyen ez az y. A test, miután szabadon engedjük az egyensúlyi helyzet fele fog mozogni egy visszatérítő erő hatására, mely a következő alakú: =
(4)
vektor. Az 4-ben 4 is ahol - állandó (jelen esetben a rugó rugalmassági állandója), - kitérés-vektor. látszik, hogy a visszatérítő erő ellentétes a kitéréssel (a mínusz előjel). Az olyan rezgőmozgárezgőmozg sokat, melyekre felírható az 4--es alakú egyenlet harmonikus rezgőmozgások. rezgőmozgások A legnagyobb kitérést A-val val jelöljük és amplitúdónak nevezzük. A harmonikus rezgések matematikai leírásához leír felhasználjuk az egyenletes körmozgást. körmozgást Az egyenletes körmozgást végző test vetülete az Oy tengelyen egybeesik a tanulmányozott test mozgásával. Ha a körmozgás szögsebessége és az Ox tengely és a test kezdeti helyzetéhez húzott sugár közötti szög, akkor t idő alatt = + szöget ír le a sugár. Mivel a körmozgás sugara egyenlő az ampliampl túdóval, a pillanatnyi kitérés kiszámítható a követköve kező egyenletből: =
sin(
+
) ) (5)
A körmozgást végző test sebessége érintője a körkö pályának, nagysága levezethető az s megtett út (körív) és a hozzá tartozó középponti szög α közötti összefüggésből: =
(6)
A 6-os os egyenlet mindkét oldalát osztjuk t-vel (az s út megtételéhez szükséges idővel), kapjuk: =
! =
(7)
A rezgőmozgást végző test sebessége megegyezik a Mechanikai rezgések
2
körmozgást végző test sebességének függőleges vetületével. A mellékelt ábra szerint a sebesség kifejezése: cos
=
+
8
Végül a rezgőmozgás gyorsulása kiszámítható az egyenletes körmozgást végző test centripetális gyorsulásának függőleges tengelyre vett vetületeként: =−
'
sin
+
9
A mínusz előjel mutatja, hogy a gyorsulás ellentétes irányítású a kitéréshez képest. A 9-es összefüggés felírásánál használtam a centripetális gyorsulás kifejezését, mely az ábrán lévő sebesség és sugarak által létrejött háromszögek hasonlóságából levezethető: ∆
=
ℎ+,, , ∆ =
az utolsó összefüggést osztva ∆ -vel megkapjuk a gyorsulás kifejezését: = vagy, felhasználva a 7-es kifejezést: =
'
=
' '
=
'
∆ = = ∆ ∆
'
10
11
Rezgőmozgás esetén a leírt szög kifejezés helyett a fázis kifejezést használjuk. A kitérés, sebesség és gyorsulás kifejezéseiből kitűnik, hogy a kitérés és sebesség fázisai nem azonosak. Felhasználva a: cos
+
= sin .
+
+ / 12 2
trigonometriai összefüggést, azt mondhatjuk, 0
hogy a sebesség és kitérés között ' vagyis
900-os fáziskülönbség van. Ez gyakorlatilag azt jelenti, hogy legnagyobb kitéréskor a sebesség zéró, vagy a legnagyobb sebesség esetén a kitérés zéró. Megfigyelhető még a sin és cos függvények periodikussága miatt, hogy a kitérés, sebesség és gyorsulás értékek egy periódusnyi idő után ismétlődnek. Ha grafikusan ábrázoljuk őket, akkor a mellékelt
Mechanikai rezgések
3
grafikonokat kapjuk. A harmonikus oszcillátor periódusát kifejezhetjük a 4-es alapfeltételt skalárisan felírva és figyelembe véve a kitérés és gyorsulás egyenleteit: = 1 = −1
'
sin
+
=−
sin
+
13
A 13-as egyenlőségből következik, hogy: 1
'
= 14
vagy a 2-es és 14-es egyenletet felhasználva: =
2
1 = 2 2 15
Az utolsó egyenlőség szerint a harmonikus rezgőmozgás periódusa nem függ a kezdeti feltételektől és a rezgés amplitúdójától, csak a test tömegétől és a rugó rugalmassági állandójától. 3. A harmonikus oszcillátor energiája Rezgés közben a harmonikus oszcillátornak mechanikai energiája van: mozgási és helyzeti energia. A teljes mechanikai energia a két energia összege. Az energia matematikai kifejezéseit megkapjuk felhasználva a rugó helyzeti energiájának képletét és a mozgási energia képletét: 34 =
2
'
=
'
sin'
A 16-os a helyzeti energia kifejezése, és: 35 =
1 ' 1 = 2
' '
+
2
cos' 2
16 +
17
a 17-es a mozgási energia kifejezése. A 17-es kifejezést átalakítva kapjuk: 35 =
1
' '
cos' 2 1 = =
+
' ' '
− 2
1 − sin' 2 '
18
+
A két energiafajta kiegészíti egymást: a kitéréssel nő a helyzeti energia és csökken a mozgási energia és fordítva. A két energia összege állandó, mivel a Mechanikai rezgések
4
rendszer szigetelt, energiacsere a környezettel nincs. Matematikailag: '
35 + 34 =
− 2
'
+
2
'
=
2
'
19
Ha grafikusan ábrázoljuk a mozgási- és helyzeti energiát a kitérés függvényében, akkor a mellékelt ábrát kapjuk. A grafikonon is megfigyelhető, amit a 19-es kifejezés megerősít, az, hogy a teljes energia, a helyzeti és mozgási energiák összege állandó. 4. Gravitációs inga Legfontosabb összetevői: nyújthatatlan fonal és végén egy m tömegű test. A számítások során elhanyagoljuk a súrlódási erőt. Ha a fonal szabad végét rögzítjük, és a testet kitérítjük egyensúlyi helyzetéből (nem túl nagy szöggel) majd elengedjük, rezgéseket fog végezni az egyensúlyi helyzete körül. Bebizonyítjuk, hogy a test harmonikus rezgőmozgást végez. Az egyensúlyi helyzet felé visszatérítő erő a Gt. Értéke kis szögekre (sinα≈α) a következő: 67 = 1! sin
= 1! = 1!
8 1! = 8 = 8 20 9 9
ahol x a kitérés az egyensúlyi helyzethez képest. Látható, hogy a visszatérítő erő egyenesen arányos a kitéréssel, ami pont a harmonikus rezgőmozgás feltétele. Felhasználva 15-öst és a 20-ast, a gravitációs inga periódusára kapjuk: =
2
=2 2
1
9 = 2 : 21 !
Tehát a gravitációs inga periódusa csak az inga hosszától (l) és a gravitációs állandótól függ (g). 5. Csillapított mechanikai rezgések Feltételezzük, hogy az energiaátadás történik az oszcillátor részéről a környezet felé, mégpedig súrlódás miatt. Két esetet fogunk tárgyalni: amikor a súrlódás kis mértékű és amikor a súrlódás erőteljes. a) kis mértékű súrlódás esete Ebben az esetben a súrlódás a rezgések csillapodását okozza. Időben a rezgések ampliMechanikai rezgések
5
túdója csökken, végül a rezgések megszűnnek. Ha grafikusan ábrázoljuk a kitérést az idő függvényében, akkor a mellékelt grafikont kapjuk. A rendszer energiavesztesége arányos az idővel. b) nagymértékű súrlódás Ha a csillapítási tényező (súrlódási erő) mértéke fokozatosan nő, elérünk abba a helyzetbe, amikor a rezgést végző test nem jut át az egyensúlyi helyzeten, már azelőtt megáll. Ebben az esetben aperiodikus mozgásról beszélünk. Grafikus ábrázolása a mellékelt képen található. Súrlódás mindig fellép ezért, csillapítatlan rezgéseket úgy állíthatunk elő, hogy a rezgőrendszer által veszített energiát folyamatosan pótoljuk. 6. Kényszerrezgés, rezonancia. Ha egy oszcillátort rezgésbe hozunk és magára hagyunk, akkor csillapodó rezgéseket fog végezni. Az így létrejött rezgéseket sajátrezgéseknek nevezzük. A sajátrezgés frekvenciáját és periódusát , melyeket a rezgőrendszer fizikai jellemzői egyértelműen meghatároznak, sajátfrekvenciának és sajátperiódusnak nevezünk. Ha egy rezgő rendszerre valamilyen periodikus gerjesztő erő hat, akkor a rendszer rezgéseket végez. Néhány rezgés után a rendszer periódusa és amplitúdója állandósul, a rezgések periódusa megegyezik a gerjesztő rendszer periódusával. Az ilyen rezgéseket kényszerrezgéseknek nevezzük. Tételezzük fel, hogy van egy oszcillátorunk, melynek saját frekvenciája és egy gerjesztő rendszerünk, melynek rezgései állandó A0 amplitúdójúak és frekvenciájuk változtatható. A gerjesztő rendszer hatására az oszcillátorunk kényszerrezgéseket végez. Ha ábrázoljuk a kényszerrezgések amplitúdóját a frekvencia függvényében, akkor a mellékelt grafikont kapjuk. Azt láthatjuk, hogy a gerjesztő frekvencia függvényében változik a kényszerrezgések amplitúdója. A sajátfrekvenciánál kisebb és nagyobb frekvenciáknál az amplitúdó kicsi. A görbéknek akkor van maximuma, amikor a gerjesztő frekvencia megegyezik a gerjesztett rendszer saját frekvenciájával. Azt a jelenséget, amikor a gerjesztett rendszer amplitúdója maximális, rezonanciának nevezzük. Rezonancia esetén a rezgés amplitúdója a gerjesztő rendszer amplitúdójának sokszorosa lehet. Mechanikai rezgések
6
Például, ha egy lengő hintát kimozdítunk egyensúlyi (függőleges) helyzetéből és magára hagyunk, akkor csillapított rezgéseket fog végezni, egyre kisebb amplitúdóval. Ha viszont minden lengés alkalmával kezünkkel lökünk egyet rajta, akkor kényszerrezgéseket fog végezni. Akkor lesz a hinta kitérése a legnagyobb (állandó erősségű lökések mellett), ha a lökések frekvenciája megegyezik a hinta lengési (saját) frekvenciájával. Vagyis lökéseink iránya megegyezik a hinta mozgásirányával. 7. Párhuzamos rezgések összetétele Ha két vagy több oszcillátor rezgés közben össze van kapcsolva (hatnak egymásra), akkor a rezgéseik összetevődnek. Ha rezgésirányaik megegyeznek, akkor párhuzamos rezgések öszszetevéséről beszélünk. A két rezgést leíró egyenlet azonos frekvenciák esetén legyen: ;
=
; sin
é
'
=
' sin
+
22
Az eredő rezgés amplitúdója legyen A és kezdőfázisa . Az eredő rezgés frekvenciája megegyezik az összetevő rezgések frekvenciájával. Amplitúdója függ az összetevő rezgések amplitúdójától és azok fáziskülönbségétől: -
-
azonos fázisú rezgések esetén = ; + ' , és az eredő rezgés fázisa megegyezik az összetevő rezgések fázisával. ellentétes fázisú rezgések esetén ( = ): | | = | ; − ' | és az eredő rezgés fázisa a nagyobb amplitúdójú rezgés fázisával egyezik meg. Ha ; = ' , akkor = 0, a rezgések kioltják egymást. általános esetben: =2
;
'
+
'
'
+2
; ' cos
é tan
=
;
' sin
+
' cos
23
Az utolsó 23-as összefüggések levezetéséhez a rezgések forgóvektoros ábrázolását használjuk. Legyen vektor egy xOy koordinátarendszerben állandó szögsebességgel forgó vektor. A vektor támadáspontja az O pont. A forgó vektor y tengelyre vett vetülete a rezgőmozgás kitérése. Ha két rezgést tanulmányozunk, akkor mindkét rezgésnek megfelel egy-egy vektor. Az eredő rezgést megkapjuk, mint a két vektor összegét. A t=0 időpillanatban ábrázolva a rezgéseket, a mellékelt grafikont kapjuk. Az a,b és c oldalakkal jelölt háromszögben a cos tételt alkalmazva kapjuk: '
=
;
'
+
Mechanikai rezgések
'
'
−2
; ' cos
180 −
=
;
'
+
'
'
+2
; '
cos
24 7
Az eredő rezgés kezdőfázisa pedig kiszámítható, ha felbontjuk vízszintes és függőleges összeössz tevőre az eredő amplitúdót, majd a kezdőfázis tangensét adjuk meg, mint a 23-ban. 23 Ha az összegzendő rezgések frekvenciája különbözik, akkor az eredő eredő rezgés általában nem harmonikus, sőt nem is periodikus. Speciális eset akkor, amikor a két rezgés amplitúdója egyenlő és frekvenciáik megközelítőleg egyenlők. Tehát: ;
=
é
;
sin(
sin
'
'
;
A
'
25
Felhasználva a: sin sin
sin B
2 cos
2
B
sin
2
B
trigonometriai kifejezést, az eredő rezgés kitérésére kapjuk: =
;
+
'
=
sin(
sin
)
;
A 26-os kifejezés első része 2 cos
CD ECF 7 '
;
2 cos
'
'
2
sin
;
2
'
26
, megfelel egy időben változó amplitúdónak,
melynek maximális ális értékei a cos függvény szerint (átírva frekvenciára) akkor van,ha: van,ha ;
cos
2
'
cos
2
;
2
'
G1 27
A 27-ből ből következik, hogy minél közelebbiek a frekvenciák, annál ritkábbak a maximumok. Felhasználva a
'0 @
cos
2
2
összefüggést, az amplitúdó dó változásának frekvenciája: ;
2
'
cos 2
≫
;
2
'
28
Mivel a cos függvénynek egy perióduson belül kétszer van maximuma, ezért az eredő amplitúdó túdó is kétszer lesz maximális, ezért elérésének frekvenciája: ; ' , amit lebegési frekvenciának venciának nevezünk, a jelenséget pedig lebegésnek. 8. Merőleges rezgések összetétele Legyen két rezgés egymásra merőleges, azonos frekvenciájú, harmonikus rezgés. EgyenleteEgyenlet ik,, feltételezve, hogy az egyik x irányú, a másik y irányú: ; sin
é 8
' sin
29
Ebben az esetben a pont pályája függ az amplitúdók arányától és a rezgések közötti különbségtől. Speciális esetek:
Mechanikai rezgések
fázis-
8
a)
0, azaz a rezgések azonos fázisúak. A két rezgésegyenletet egymással elosztva kapjuk: 8
;
'
;
!
'
8 30
ami nem más, mint egy origón átmenő egyenes egyenlete. A test ezen egyenes által meghatározott irányban végez rezgéseket,
szögsebességgel és
2
;
'
'
'
amplitúdóval. Ha
180 , akkor az eset hasonló, csak az egyenes iránytényezője ellentétes előjelű.
a b)
= /2 = 90 és A1=A2. Ebben az esetben a két kitérésegyenlet: =
sin
é 8 =
sin .
+ /= 2
cos
31
Az egyenleteket négyzetre emelve és összeadva kapjuk: 8' +
=
'
'
32
A 32-es egy origóval megegyező középpontú kör egyenlete. A test ezen a körpályán végez egyenletes körmozgást szögsebességgel. Ha a = 3 /2 = 270 , akkor az előbbihez hasonlóan körpályán mozog a test, azzal a különbséggel, hogy a mozgás ellentétes irányítású (óramutatóval megegyező). c)
= /2 = 90 de A1≠A2. A kitérésegyenletek ebben az esetben: =
; sin
é 8 =
' cos
33
Ebben az esetben kifejezzük mindkét egyenletből a szögfüggvényeket, négyzetre emeljük őket és a sin' 8 + cos ' 8 = 1 trigonometriai azonosságot felhasználva kapjuk: 8' '
'+
'
;
'
= 1 34
A 34-es szerint a test pályája ellipszis melynek tengelyei egybeesnek a koordinátatengelyekkel. A tengelyek hossza 2A1, illetve 2A2. d) Eltérő frekvenciájú, egymásra merőleges harmonikus rezgések összetétele esetén, általában bonyolult, nem periodikus rezgés jön létre. Ezek az ún. Lissajous-görbék.
Mechanikai rezgések
9
