Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Egyenletek, egyenlőtlenségek V. DEFINÍCIÓ: (Másodfokú egyenlet) Az 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 alakban felírható egyenletet (𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ; 𝑎 ≠ 0), ahol 𝑥 a változó, másodfokú egyenletnek nevezzük. TÉTEL: Az 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 másodfokú egyenlet valós gyökei a következő megoldó képlettel adhatóak meg: 𝑥1,2 =
−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎
.
Megjegyzés: Az 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 polinomban az 𝑎 - t a polinom főegyütthatójának nevezzük. Amennyiben 𝑏 = 0, vagy 𝑐 = 0, akkor hiányos másodfokú egyenletről beszélünk. Mivel az egyenletet beszorozhatjuk, eloszthatjuk egy tetszőleges számmal, ezért a megoldóképlet felírása előtt célszerű megvizsgálnunk, hogy az egyenlet egyszerűbb alakra hozható - e. Az egyenletet célszerű úgy rendezni, hogy az 𝑥 2 együtthatója pozitív legyen. A megoldóképlet használata során, ha a négyzetgyök értéke egy irracionális szám, akkor kerekített értékkel számolunk tovább. A megoldóképlet használata során, ha a négyzetgyök alatt 0 áll, akkor egy megoldása lesz az egyenletnek, ha pedig a négyzetgyök alatt egy negatív szám áll, akkor nem lesz megoldása az egyenletnek. Az egyenletek megoldására vannak további módszerek is (pl.: behelyettesítjük az alaphalmaz elemeit; szorzattá alakítunk, s egy szorzat értéke akkor nulla, ha valamelyik tényezője nulla; ábrázoljuk grafikusan a függvény képét teljes négyzetté alakítással), de ezek sokszor körülményesek és nem mindig alkalmazhatóak. Másodfokú függvény szélsőértéke: A szélsőérték meghatározásához előbb teljes négyzetté kell alakítanunk a másodfokú kifejezést: 𝑏
2
𝑏2
𝑏
2
𝑏2
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 ∙ [(𝑥 + 2𝑎) − 4𝑎2 ] + 𝑐 = 𝑎 ∙ (𝑥 + 2𝑎) − 4𝑎 + 𝑐. Ha az 𝑎 > 0, akkor a függvény képe egy felfelé nyíló parabola, így a szélsőérték minimum, ha az 𝑎 < 0, akkor a függvény képe egy lefelé nyíló parabola, így a szélsőérték maximum. 𝑏2
𝑏
A szélsőérték helye 𝑥 = − 2𝑎, az értéke pedig 𝑦 = − 4𝑎 + 𝑐. 1
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Oldd meg a következő egyenleteket szorzattá alakítással! (Alaphalmaz: ℝ) a) 𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 + 𝟏𝟎 = 𝟎 b) 𝟐𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟐𝟒 = 𝟎 Megoldás: A szorzattá alakításhoz úgy kell szétbontanunk az egyenlet tagjait, hogy ki tudjunk emelni bizonyos elemeket. a) x 2 + 7𝑥 + 10 = 0 Alakítsuk át az egyenlet bal oldalát a következő módon: x 2 + 7𝑥 + 10 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 5𝑥 + 10 = 𝑥 ∙ (𝑥 + 2) + 5 ∙ (𝑥 + 2) = (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 + 5) Az egyenlet tehát felírható a következő alakban is: (𝑥 + 2) ∙ (𝑥 + 5) = 0. Egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Ezek alapján az egyenlet megoldásai a következők lesznek: 𝑥+2=0
→
𝑥1 = −2
𝑥+5=0
→
𝑥2 = −5
b) 2𝑥 2 + 2𝑥 − 24 = 0 Alakítsuk át az egyenlet bal oldalát a következő módon: 2x 2 + 2𝑥 − 24 = 2 ∙ (𝑥 2 + 𝑥 − 12) = 2 ∙ (𝑥 2 + 4𝑥 − 3𝑥 − 12) = = 2 ∙ [𝑥 ∙ (𝑥 + 4) − 3 ∙ (𝑥 + 4)] = 2 ∙ (𝑥 + 4) ∙ (𝑥 − 3) Az egyenlet tehát felírható a következő alakban is: 2 ∙ (𝑥 + 4) ∙ (𝑥 − 3) = 0. Egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Ezek alapján az egyenlet megoldásai a következők lesznek: 𝑥+4=0
→
𝑥1 = −4
𝑥−3=0
→
𝑥2 = 3 2
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 2. Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: ℝ) a) 𝟐𝒙𝟐 + 𝟖𝒙 + 𝟔 = 𝟎 b) 𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟐 = 𝟎 Megoldás: Ahhoz, hogy az egyenlet bal oldalát ábrázolni tudjuk, át kell alakítanunk úgy, hogy az 𝑥 2 függvény transzformációját kapjuk. Ehhez az első két tagot teljes négyzetté kell alakítanunk. a) 2𝑥 2 + 8𝑥 + 6 = 0 Alakítsuk teljes négyzetté az egyenlet bal oldalát a következő módon: 2𝑥 2 + 8𝑥 + 6 = 2 ∙ (𝑥 2 + 4𝑥 + 3) = 2 ∙ [(𝑥 + 2)2 − 4 + 3] = 2 ∙ [(𝑥 + 2)2 − 1] = = 2 ∙ (𝑥 + 2)2 − 2. Az egyenlet tehát felírható a következő alakban is: 2 ∙ (𝑥 + 2)2 − 2 = 0. Ábrázoljuk az egyenlet bal oldalát a másodfokú függvény transzformációjaként:
Az ábráról leolvasható a függvény 𝑥 – tengellyel vett két metszéspontja, s ezek az egyenlet megoldásai: 𝑥1 = −3 és 𝑥2 = −1. 3
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) b) 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 0 Alakítsuk teljes négyzetté az egyenlet bal oldalát a következő módon: 3 2
9
3 2
1
𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = (𝑥 − 2) − 4 + 2 = (𝑥 − 2) − 4 3 2
1
Az egyenlet tehát felírható a következő alakban is: (𝑥 − 2) − 4 = 0.
Ábrázoljuk az egyenlet bal oldalát a másodfokú függvény transzformációjaként:
Az ábráról leolvasható a függvény 𝑥 – tengellyel vett két metszéspontja, s ezek az egyenlet megoldásai: 𝑥1 = 1 és 𝑥2 = 2.
4
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 3. Oldd meg a következő hiányos egyenleteket! (Alaphalmaz: ℝ) a) 𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝟏 = 𝟎 b) 𝟓𝒙𝟐 − 𝟐𝟎𝒙 = 𝟎 Megoldás: a) 𝑥 2 − 121 = 0 A megoldás megkapható a megoldóképlet segítségével is, ekkor az egyenlet alapján a következő értékeket kapjuk: 𝑎 = 1; 𝑏 = 0; 𝑐 = −121. Mivel az egyenlet hiányos (𝑏 = 0), ezért célszerű egy rövidebb megoldást alkalmazni. Rendezzük úgy az egyenletet, hogy csak 𝑥 2 maradjon az egyik oldalon: 𝑥 2 = 121 Ezek alapján az egyenlet megoldásai a következők: 𝑥1 = 11 és 𝑥2 = −11.
b) 5𝑥 2 − 20 = 0 A megoldás megkapható a megoldóképlet segítségével is, ekkor az egyenlet alapján a következő értékeket kapjuk: 𝑎 = 5; 𝑏 = −20; 𝑐 = 0. Mivel az egyenlet hiányos (𝑐 = 0), ezért célszerű egy rövidebb megoldást alkalmazni. Alakítsuk szorzattá az egyenlet bal oldalát kiemeléssel: 5𝑥 ∙ (𝑥 − 4) = 0 Egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Ezek alapján az egyenlet megoldásai a következők: 5𝑥 = 0
→
𝑥1 = 0
𝑥−4=0
→
𝑥2 = 4
5
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 4. Oldd meg a következő egyenleteket! (Alaphalmaz: ℝ) a) 𝟖𝒙𝟐 − 𝟖 = −𝟏𝟐𝒙 𝟐
𝟏
b) 𝟑 𝒙𝟐 − 𝟓 𝒙 = 𝟐 c) (𝟐𝒙 + 𝟏) ∙ (𝒙 − 𝟐) = 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟖 d) √𝟐 ∙ (√𝟖𝒙 + √𝟐𝒙𝟐 ) + 𝟔𝒙𝟐 − 𝟐𝟖 = (𝟏 − 𝟑𝒙)𝟐 + (𝟏 + √𝟓) ∙ (𝟏 − √𝟓) Megoldás: A megoldóképlet felírása előtt az egyenletet 0 - ra kell redukálnunk. a) 8𝑥 2 − 8 = −12𝑥 2𝑥 2 + 3𝑥 − 2 = 0 Az egyenlet alapján a következő értékeket kapjuk: 𝑎 = 2; 𝑏 = 3; 𝑐 = −2. Ezeket helyettesítsük a megoldóképletbe: 𝑥1,2 =
− 3 ± √32 − 4 ∙ 2 ∙ (−2) 2∙2
=
− 3 ± √25 4
=
−3±5 4
Ezek alapján az egyenlet megoldásai a következők: 𝑥1 =
−3 + 5 4
2
2
1
=4=2
és
𝑥2 =
−3 − 5 4
= −2
1
b) 3 𝑥 2 − 5 𝑥 = 2 10𝑥 2 − 3𝑥 − 30 = 0 Az egyenlet alapján a következő értékeket kapjuk: 𝑎 = 10; 𝑏 = −3; 𝑐 = −10. Ezeket helyettesítsük a megoldóképletbe: 𝑥1,2 =
−(−3) ± √(−3)2 − 4 ∙ 10 ∙ (−30) 2 ∙10
=
3 ± √1209 20
=
3 ± 34,77 20
Ezek alapján az egyenlet megoldásai a következők: 𝑥1 =
3 + 34,77 20
≈ 1,89
és
𝑥2 =
3 − 34,77 20
6
≈ −1,59
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) c) (2𝑥 + 1) ∙ (𝑥 − 2) = 𝑥 2 + 2𝑥 − 8 2𝑥 2 − 4𝑥 + 𝑥 − 2 = 𝑥 2 + 2𝑥 − 8 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0 Az egyenlet alapján a következő értékeket kapjuk: 𝑎 = 1; 𝑏 = −5; 𝑐 = 6. Ezeket helyettesítsük a megoldóképletbe: 𝑥1,2 =
−(−5) ± √(−5)2 − 4 ∙ 1 ∙ 6 2∙1
=
5 ± √1 2
=
5±1 2
Ezek alapján az egyenlet megoldásai a következők: 𝑥1 =
5+1 2
6
=2=3
𝑥2 =
és
5−1 2
=2
d) √2 ∙ (√8𝑥 + √2𝑥 2 ) + 6𝑥 2 − 28 = (1 − 3𝑥)2 + (1 + √5) ∙ (1 − √5) 4𝑥 + 2𝑥 2 + 6𝑥 2 − 28 = 1 − 6𝑥 + 9𝑥 2 + 1 − 5 𝑥 2 − 10𝑥 + 25 = 0 Az egyenlet alapján a következő értékeket kapjuk: 𝑎 = 1; 𝑏 = −10; 𝑐 = 25. Ezeket helyettesítsük a megoldóképletbe: 𝑥1,2 =
−(−10) ± √(−10)2 − 4 ∙ 1 ∙ 25 2∙1
=
10 ± √0 2
=
10 ± 0 2
Ezek alapján az egyenlet megoldása a következő: 𝑥=
10 2
=5
5. Oldd meg a következő törtes egyenleteket! (Alaphalmaz: ℝ) a) b) a) b)
𝟖𝒙− 𝟓 𝟐𝒙 + 𝟓 𝒙+𝟒 𝒙−𝟒
𝒙−𝟒
𝟑𝒙 + 𝟏𝟎 𝟑𝒙 + 𝟐 𝟔𝟒
+ 𝒙 + 𝟒 = 𝒙𝟐 − 𝟏𝟔
𝟐 𝒙𝟐 − 𝟒 𝒙
=𝟒−
𝟏
𝒙−𝟒
+ 𝟐𝒙 − 𝒙𝟐 + 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 = 𝟎 𝟖
𝟒𝒙
− 𝒙 − 𝟔 = 𝒙𝟐 − 𝟏𝟔𝒙 + 𝟔𝟎 𝒙 − 𝟏𝟎 7
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldás: Törtes egyenletnél először feltételt kell írnunk: a nevező értéke nem lehet 0, mert a 0 – val való osztást nem értelmezzük. Ezt követően az egyenlet megoldásához közös nevezőre kell hoznunk a törteket, melynek meghatározásához először a nevezőket szorzattá kell alakítanunk. Ezután a közös nevezővel való beszorzással eltüntethetjük a törteket, s rendezés után megoldhatjuk az egyenletet. Végül a kapott megoldást ellenőriznünk kell, hogy megfelel - e a feltételnek.
a)
8𝑥 − 5 2𝑥 + 5
=4−
Feltétel:
3𝑥 + 10 3𝑥 + 2
5
2𝑥 + 5 ≠ 0
→
𝑥 ≠ −2
3𝑥 + 2 ≠ 0
→
𝑥≠−
2 3
Az egyenlet megoldása: (8𝑥 − 5) ∙ (3𝑥 + 2) (2𝑥 + 5) ∙ (3𝑥 + 2)
= 4−
(3𝑥 + 10) ∙ (2𝑥 + 5) (2𝑥 + 5) ∙ (3𝑥 + 2)
(8𝑥 − 5) ∙ (3𝑥 + 2) = 4 ∙ (2𝑥 + 5) ∙ (3𝑥 + 2) − (3𝑥 + 10) ∙ (2𝑥 + 5) 24𝑥 2 + 16𝑥 − 15𝑥 − 10 = 24𝑥 2 + 16𝑥 + 60𝑥 + 40 − 6𝑥 2 − 15𝑥 − 20𝑥 − 50 6𝑥 2 − 45𝑥 = 0 𝑥 ∙ (6𝑥 − 45) = 0 Egy szorzat értéke akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Ezek alapján az egyenlet megoldásai a következők: 𝑥1 = 0 6𝑥 − 45 = 0
→
𝑥2 =
15 2
Mindkét eredmény megfelel a feltételnek.
8
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) b)
x+4 x−4
x−4
64
+ x + 4 = x2 − 16
Feltétel:
𝑥−4≠0
→
𝑥≠4
𝑥+4≠0
→
𝑥 ≠ −4
𝑥 2 − 16 ≠ 0 →
(𝑥 − 4) ∙ (𝑥 + 4) ≠ 0
→
𝑥 ≠ 4 és 𝑥 ≠ −4
Az egyenlet megoldása: x+4 x−4
x−4
64
+ x + 4 = (x − 4) ∙ (x + 4)
(x + 4) ∙ (𝑥 + 4)
(x − 4) ∙ (x − 4)
64
+ (x − 4) ∙ (x + 4) = (𝑥 − 4) ∙ (𝑥 + 4) (x − 4) ∙ (x + 4)
(𝑥 + 4) ∙ (𝑥 + 4) + (𝑥 − 4) ∙ (𝑥 − 4) = 64 𝑥 2 + 8𝑥 + 16 + 𝑥 2 − 8𝑥 + 16 = 64 2𝑥 2 + 32 = 64 𝑥 2 = 16 Ezek alapján az egyenlet megoldásai a következők: 𝑥1 = 4 és 𝑥2 = −4. Mivel egyik eredmény sem felel meg a feltételnek, így nincs megoldása az egyenletnek.
c)
2 𝑥2 − 4
1
𝑥−4
+ 2𝑥 − 𝑥 2 + 𝑥 2 + 2𝑥 = 0
Feltétel:
𝑥2 − 4 ≠ 0
(𝑥 − 2) ∙ (𝑥 + 2) ≠ 0
→
𝑥 ≠ 2 és 𝑥 ≠ −2
2𝑥 − 𝑥 2 ≠ 0 →
𝑥 ∙ (2 − 𝑥) ≠ 0
→
𝑥 ≠ 0 és 𝑥 ≠ 2
𝑥 2 + 2𝑥 ≠ 0 →
𝑥 ∙ (𝑥 + 2) ≠ 0
→
𝑥 ≠ 0 és 𝑥 ≠ −2
→
9
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Az egyenlet megoldása: 2 (𝑥 − 2) ∙ (𝑥 + 2)
+ 𝑥 ∙ (2 − 𝑥) + 𝑥 ∙ (𝑥 + 2) = 0
1
𝑥−4
2 (𝑥 − 2) ∙ (𝑥 + 2)
− 𝑥 ∙ (𝑥 − 2) + 𝑥 ∙ (𝑥 + 2) = 0
1
𝑥−4
2𝑥
(𝑥 − 4) ∙ (𝑥 − 2)
𝑥+2
− 𝑥 ∙ (𝑥 − 2) ∙ (𝑥 + 2) + 𝑥 ∙ (𝑥 − 2) ∙ (𝑥 + 2) = 0 𝑥 ∙ (𝑥 − 2) ∙ (𝑥 + 2) 2𝑥 − (𝑥 + 2) + (𝑥 − 4) ∙ (𝑥 − 2) = 0 2𝑥 − 𝑥 − 2 + 𝑥 2 − 2𝑥 − 4𝑥 + 8 = 0 𝑥 2 − 5𝑥 + 6 = 0 Az egyenlet alapján a következő értékeket kapjuk: 𝑎 = 1; 𝑏 = −5; 𝑐 = 6. Ezeket helyettesítsük a megoldóképletbe: 𝑥1,2 =
−(−5) ± √(−5)2 − 4 ∙ 1 ∙ 6 2∙1
=
5 ± √1 2
=
5±1 2
Ezek alapján az egyenlet megoldásai a következők: 𝑥1 =
5+1 2
6
=2=3
és
𝑥2 =
5−1 2
4
= 2 = 2.
Mivel az 𝑥2 nem felel meg a feltételnek, így az egyenlet megoldása: 𝑥 = 3.
d)
x x − 10
8
4x
− x − 6 = x2 − 16x + 60
Feltétel:
𝑥 − 10 ≠ 0
→
𝑥 ≠ 10
𝑥−6≠0
→
𝑥≠6
𝑥 2 − 16𝑥 + 60 ≠ 0 →
(𝑥 − 6) ∙ (𝑥 − 10) ≠ 0 10
→ 𝑥 ≠ 6 és 𝑥 ≠ 10
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Az egyenlet megoldása: x
8
4x
− x − 6 = (x − 6) ∙ (x − 10) x − 10 x ∙ (x − 6) (x − 6) ∙ (x − 10)
8 ∙ (x − 10)
4x
− (x − 6) ∙ (x − 10) = (x − 6) ∙ (x − 10)
𝑥 ∙ (𝑥 − 6) − 8 ∙ (𝑥 − 10) = 4𝑥 𝑥 2 − 6𝑥 − 8𝑥 + 80 = 4𝑥 𝑥 2 − 18𝑥 + 80 = 0 Az egyenlet alapján a következő értékeket kapjuk: 𝑎 = 1; 𝑏 = −18; 𝑐 = 80. Ezeket helyettesítsük a megoldóképletbe: 𝑥1,2 =
−(−18) ± √(−18)2 − 4 ∙ 1 ∙ 80 2∙1
=
18 ± √4 2
=
18 ± 2 2
Ezek alapján az egyenlet megoldásai a következők: 𝑥1 =
18 + 2 2
=
20 2
= 10
és
𝑥2 =
18 − 2 2
=
16 2
=8
Mivel az 𝑥1 nem felel meg a feltételnek, így az egyenlet megoldása: 𝑥 = 8.
11
