GAZDASÁGI MATEMATIKA II. DEFINÍCIÓK ÉS TÉTELEK A LINEÁRIS ALGEBRÁBÓL ÉS ANALÍZISBL
A de niciókat (D) a tételeket (T) jelöli. A fontosabb de níciókat és tételeket ♣ jelöli.
(D)k-dimenziós euklideszi tér:
A k -dimenziós euklideszi tér nek nevezzük és Rk val jelöljük a valós számokból alkotott k -tagú x = (x1 , x2 , . . . , xk ) sorozatok halmazát, azaz 1
^
2
k
^
^
Rk := R × R × · · · × R = { x = (x1 , x2 , . . . , xk ) : xi ∈ R (i = 1, 2, . . . , k) }. Az x = (x1 , x2 , . . . , xk ) sorozatokat a tér pontjai nak mondjuk, az x1 , x2 , . . . , xk számok az x = (x1 , x2 , . . . , xk ) pont koordinátái.
(D)vektorok összege és skalárral való szorzata:
Az x = (x1 , x2 , . . . , xk ), y = (y1 , y2 , . . . , yk ) ∈ Rk vektorok összegét és az x ∈ R vektor λ ∈ R skalárral való szorzatát k
x + y : = (x1 + y1 , x2 + y2 , . . . , xk + yk ) λx : = (λx1 , λx2 , . . . , λxk ) -val de niáljuk.
(D)♣ vektorok lineáris kombinációja:
Az a1 , a2 , . . . , an ∈ Rk vektorok λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ R együtthatókkal képezett lineáris kombináció ján a
λ1 a1 + λ2 a2 + · · · + λn an vektort értjük.
(D)♣ vektorrendszer lineárisan függetlensége, függ®sége: lineárisan függetlennek nevezzük, ha
Az a1 , . . . , an ∈ Rk vektorrendszert
λ1 a1 + λ2 a2 + · · · + λn an = 0 csak λ1 = λ2 = · · · = λn = 0 esetén áll fenn. Egy vektorrendszert lineárisan függ® nek nevezünk, ha nem lineárisan független.
A de níció alapján könnyen belátható, hogy lineárisan független vektorrendszer bármely részrendszere is lineárisan független, és lineárisan függ® vektorrendszert további vektorokkal b®vítve, a b®vített rendszer is lineárisan függ®.
(T)lineárisan függetlenség jellemzése: lineárisan független, ha
Az a1 , . . . , an ∈ Rk vektorrendszer akkor és csakis akkor b = λ01 a1 + · · · + λ0n an
b = λ1 a1 + · · · + λn an ,
csak λ1 = λ01 , . . . , λn = λ0n esetén teljesül.
Megjegyzés.
Az Rk vektortér k dimenziós a következ® értelemben: van Rk -ban k darab lineárisan független vektor, de bárhogyan is választunk k + 1 darab vektort Rk -ból, azok lineárisan függ®k.
(D)♣ bázis:
Az Rk (k dimenziós) vektortér bármely k számú lineárisan független b1 , . . . , bk vektorát a tér bázisának nevezzük.
(T)koordináták egy bázisra nézve: minden b vektora egyértelm¶en
Ha b1 , . . . , bk a (k dimenziós) Rk vektortér egy bázisa, akkor a tér
b = β 1 b1 + β 2 b2 + · · · + β k bk 1
2
alakba írható. Az itt szerepl® β1 , β2 , . . . , βk skalárokat a b vektor b1 , . . . , bk bázisára vonatkozó
ordinátáinak nevezzük.
(D)♣ természetes bázis:
ko
Az
e1 = (1, 0, . . . , 0),
e2 = (0, 1, . . . , 0), . . .
ek = (0, 0, . . . , 1) ∈ Rk
vektorok az Rk tér egy bázisát alkotják, melyet természetes bázis nak nevezünk.
(D)altér:
Az Rk vektortér alteré n Rk olyan (nemüres) L részhalmazát értjük, mely zárt az összeadásra és a skalárral való szorzásra nézve, azaz a, b ∈ L, λ ∈ R esetén a + b ∈ L, λa ∈ L teljesül. Az egész Rk és a {0} alterek, melyeket triviális altereknek nevezünk.
Tetsz®leges a1 , a2 , . . . , an vektorrendszer általában nem alkot alteret. Van viszont olyan altér mely tartalmazza ezt a vektorrendszert, pl. az egész vektortér.
(D)vektorrendszer által generált (vagy kifeszített) altér:
Egy a1 , a2 , . . . , an vektorrendszert tartalmazó legsz¶kebb alteret a vektorrendszer által generált (vagy kifeszített) altérnek nevezzük, és L(a1 , a2 , . . . , an )-nel jelöljük. Mivel alterek metszete is altér, így L(a1 , a2 , . . . , an ) éppen az a1 , a2 , . . . , an vektorrendszert tartalmazó összes alterek metszete. Könny¶ bebizonyítani, hogy ez a metszet (vagy a generált altér) azonos a vektorrendszer vektoraiból képezhet® összes lineáris kombinációk halmazával, azaz
L(a1 , a2 , . . . , an ) = { α1 a1 + · · · + αn an : α1 , . . . , αn ∈ R }.
(D)♣ vektorrendszer rangja:
Az L(a1 , a2 , . . . , an ) generált altér dimenzióját az a1 , a2 , . . . , an vektorrendszer rangjának nevezzük, és rang(a1 , a2 , . . . , an )-nel jelöljük.
(T) ♣ vektorrendszer rangja és e vektorok lineáris függetlensége:
Az a1 , a2 , . . . , an vektorrendszer rangja megegyezik e rendszerb®l kiválasztható maximális számú, lineárisan független vektorok számával.
(T) ♣ vektorrendszer rangjának invarianciája:
Az a1 , a2 , . . . , an vektorrendszer által generált altér nem változik meg, (és így a vektorrendszer rangja sem változik) ha • megváltoztatjuk az vektorok sorrendjét, • valamelyik vektort egy λ 6= 0 skalárral megszorozzuk, • valamely vektorához egy másik vektorát hozzáadjuk.
(D)♣ k × n típusú mátrix:
Ha k · n darab (valós) számot, az aij (i = 1, 2, . . . , k; j = 1, 2, . . . , n) számokat, k sorban és n oszlopban helyezünk el (és zárójelbe teszünk) az alábbi módon: a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n .. .. .. . . . ak1 ak2 . . . akn akkor egy k ×n típusú (valós) mátrixot de niáltunk. Az összes k ×n típusú mátrixok halmazát Rk×n -nel jelöljük. A típus megadásánál mindig a sorok száma az els® adat! Az el®bbi mátrixot A-val jelölve, mondhatjuk, hogy aij az A mátrix i-edik sorának j -edik eleme, vagy az A mátrix (i, j)-edik eleme. Gyakran használjuk az A = (aij ) tömör jelölést, ha ez nem okoz félreértést.
3
(D)♣ mátrix transzponáltja:
Az A = (aij ) ∈ Rk×n mátrix transzponáltján az A> = (aji ) ∈ Rn×k mátrixot, értjük (a mátrix sorait és oszlopait megcserélve kapjuk a mátrix transzponáltját).
(D)♣ mátrixok összege és skalárral való szorzása: Legyenek A = (aij ), B típusú mátrixok, és legyen λ ∈ R, akkor az A + B és λA mátrixokat A + B := (aij + bij ),
= (bij ) ∈ Rk×n
azonos
λA := (λaij )
-vel de niáljuk.
(T) mátixm¶veletek tulajdonságai:
Az összes k × n típusú valós mátrixok Rk×n halmaza k · n dimenziós valós vektortér a fenti m¶veletekre nézve. Továbbá bármely A, B ∈ Rk×n , λ ∈ R mellett (A + B)> = A> + B > ,
(λA)> = λA> .
Két mátrix szorzata csak akkor értelmezett, ha az els® tényez®(mátrixnak) annyi oszlopa van, mint ahány sora van a második tényez®(mátrixnak).
(D)♣ mátrixok szorzása: a C = (cij ) ∈ R
cij :=
k×m
n X
Az A = (aij ) ∈ Rk×n és B = (bij ) ∈ Rn×m mátrixok C = AB szorzatán azt mátrixot értjük melyre
ais bsj = ai1 b1j + ai2 b2j + · · · + ain bnj
(i = 1, 2, . . . , k; j = 1, 2, . . . , m).
s=1
Ezt a szorzást röviden "sor-oszlop kombinációnak " mondjuk, mert a szorzatmátrix cij eleme, éppen az A mátrix (els® tényez®) i-edik sorvektorának és a B mátrix (második tényez®) j -edik oszlopvektorának a bels® szorzata (mindkét vektor n dimenziós).
(T) mátrixok szorzásának tulajdonságai:
Mátrixok szorzására teljesülnek az
A(BC) = (AB)C (A + B)C = AC + BC A(B + C) = AB + AC (AB)> = B > A>
azonosságok, ahol A, B, C tetsz®leges mátrixok, melyekre a felírt m¶veleteknek van értelme. Megjegyezzük, hogy a mátrixszorzás nem kommutatív, azaz általában AB 6= BA, továbbá kvadratikus mátrixokra AE = EA = A, AO = OA = O.
(D)♣ mátrix invertálhatósága és inverze: van olyan B (kvadratikus) mátrix melyre
Egy A kvadratikus mátrixot invertálhatónak nevezünk, ha
AB = BA = E teljesül. Ezt a B mátrixot A inverzének nevezzük és A−1 -gyel jelöljük.
(D)permutáció:
Az Nn = {1, 2, . . . , n} számok egy elrendezését (valamely sorrendben való felírását) ezen elemek egy permutációjának nevezzük. Két permutációt akkor tekintünk különböz®nek, ha azok legalább egy elem elhelyezésében különböznek. Nn összes permutációinak halmazát Sn -nel jelöljük.
(D)inverzió:
Legyen (a1 , a2 , . . . , ai , . . . , aj , . . . , an ) az 1, 2, 3, . . . , n elemek egy permutációja. Azt mondjuk, hogy e permutációban az ai és aj pár inverzióban áll, ha i < j és ai > aj .
4
Aszerint, hogy az inverzióban álló párok száma páros vagy páratlan, szokás páros vagy páratlan permutáció ról beszélni.
(D)♣ determináns de níciója: determinánsán az
Legyen A = (aij ) egy n-edrend¶ kvadratikus mátrix. Az A mátrix X (−1)I(α) a1α1 a2α2 . . . anαn |A| := α∈Sn
számot értjük, ahol az összegezés kiterjed az 1, 2, . . . , n számok összes α = (α1 , α2 , . . . , αn ) permutációjára, és I(α) az α permutáció inverzióinak számát (az inverzióban álló párok számát) jelöli.
♣Másod és harmadrend¶ determinánsok kiszámítására vannak egyszer¶ (és könnyen megjegyezhet® képletek: a11 a12 a21 a22 = a11 a22 − a12 a21 a f®átlóban lév® elemek szorzatából kivonjuk a mellékátlóban lév® elemek szorzatát. a11 a12 a13 a21 a22 a23 = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 . a31 a32 a33 Ez a Sarrus szabály, melyet úgy lehet megjegyezni, hogy a determináns els® két oszlopát a determináns hozzáírva képzeljük, majd a mellékátlóban és vele párhuzamosan t®le jobbra lév® két jobboldalhoz másik átlóban lév® elemeket összeszorozzuk, e szorzatokat összeadjuk, majd a mellékátlóban és vele párhuzamosan t®le jobbra lév® két másik átló elemeit összeszorozzuk, e szorzatokat kivonjuk az el®z® összegb®l.
(T) ♣ a determináns alaptulajdonságai: (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)
(1) Ha egy determináns sorait és oszlopait felcseréljük, akkor a determináns értéke nem változik (vagy egy négyzetes mátrixnak és transzponáltjának determinánsa megegyezik). Ha egy determináns valamely sorának minden eleme tartalmaz egy c faktort, akkor ez kiemelhet® a determináns jele elé. Ha egy determináns két sorát felcseréljük akkor a determináns el®jelet vált. Ha egy determináns két sora megegyezik, akkor a determináns értéke nulla. A determináns értéke nem változik, ha egy sorának elemeihez egy másik sor megfelel® elemeinek c-szeresét hozzáadjuk. Ha egy determináns valamely sorának minden eleme két tag összegére bomlik, akkor a determináns felirható két olyan determináns összegeként melyeknek megfelel® sorukban éppen az egyes összeadandók állnak. Ha egy determináns egy sorában csupa 0 áll, akkor a determináns értéke nulla. Ha egy determináns f®átlójában minden elem 1 és a determináns többi eleme 0, akkor a determináns értéke 1.
(T) ♣ a determinánsok szorzástétele:
(Kvadratikus) mátrixok szorzatának determinánsa a tényez®mátrixok determinánsainak szorzata, azaz ha A, B (azonos rend¶) kvadratikus mátrixok, akkor |AB| = |A| · |B|.
Következmény.
nulla.
Egy (kvadratikus) mátrix akkor és csakis akkor invertálható, ha determinánsa nem
(D)♣ adjungált aldetermináns:
Egy n-edrend¶ kvadratikus A = (aij ) mátrixból, hagyjuk el az aij elem sorát és oszlopát (azaz az i-edik sort és a j -edik oszlopot), a visszamaradó n−1-edrend¶ kvadratikus mátrix determinánsát (−1)i+j -vel megszorozva, a kapott számot az A mátrix aij eleméhez tartozó adjungált aldeterminánsnak nevezzük, és Aij -vel jelöljük.
5
Az adjungált aldetermináns tehát egy részmátrix determinánsa, vagy annak negatívja, attól függ®en, hogy mi az elhagyott sor és oszlop indexe. Az el®jel megállapítására a sakktábla szabály szolgál: helyezzük el mátrixunkat egy képzeletbeli n × n-es sakktáblán, de a mez®ket színezés helyett + és − jelekkel látjuk el, úgy, hogy a bal fels® sarokban + jel van. Ha egy mez®ben + jel van akkor (−1)i+j = 1, ha − jel van, akkor (−1)i+j = −1.
(T) ♣ determinánsok kifejtési tétel:
Legyen A egy n-edrend¶ kvadratikus mátrix, akkor n X |A| ha i = i0 aij Ai0 j = 0 ha i 6= i0 j=1
ez a sor szerinti kifejtés, továbbá n X
aij A
ij 0
=
i=1
|A| 0
ha j = j 0 ha j = 6 j0
ez az oszlop szerinti kifejtés.
(T) ♣ az inverz mátrix el®állítása:
Legyen A egy n-edrend¶ invertálható mátrix (azaz legyen |A| = 6 0, akkor az A−1 = (bij ) inverz mátrix elemei bij =
Aji |A|
(i, j = 1, 2, . . . , n)
alakúak (azaz A inverze az A adjungált aldeterminánsaiból alkotott mátrix transzponáltjának szorosa).
1 |A|
(D)mátrix rangja:
Egy tetsz®leges k × n típusú mátrix rangján oszlopvektorainak rangját értjük (ami azonos a maximális lineárisan független oszlopvektorok számával). A rangját rang A-val jelöljük. Legyen 1 ≤ l ≤ min{k, n}, akkor A egy l-edrend¶ aldeterminánsát úgy kapjuk, hogy kiválasztjunk a mátrix l darab sorát és l darab oszlopát, és ezek metszetében lév® elemekból alkotott l-edrend¶ determinánst képezünk.
(T) rangszámtétel:
Bármely (nemzérus) mátrix rangja megegyezik a maximális rend¶ nullától különböz® aldeterminánsainak rendjével. A zérusmátrix rangja nulla.
(D)♣ lineáris egyenletrendszer:
Lineáris egyenletrendszernek nevezzük az
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2 .. .. . . ak1 x1 + ak2 x2 + · · · + akn xn = bk egyenletrendszert, ahol aij , bi (i = 1, . . . , k; j = 1, . . . , n) adott valós számok, xi (i = 1, . . . , n) ismeretlen valós (vagy komplex) számok. Az aij számokat a fenti egyenletrendszer együttható inak nevezzük (pontosabban aij a rendszer i-edik egyenletében az xj ismeretlen együtthatója, a bi az i-edik egyenlet szabad tag ja. A fenti egyenletrendszert homogén nek nevezzük, ha b1 = · · · = bk = 0, ellenkez® esetben inhomogén nek mondjuk. Azt mondjuk, hogy a c1 , . . . , cn számok az egyenletrendszer egy megoldás át adják, ha az ismeretlenek helyére helyettesítve ®ket a rendszer minden egyes egyenletében egyenl®ség áll. A egyenletrendszert szabályos nak nevezzük, ha k = n, azaz ha az egyenletek és ismeretlenek száma egyenl®.
6
Bevezetve az
A=
a11 a21 .. .
a12 a22 .. .
... ...
a1n a2n .. .
ak1
ak2
...
akn
együtthatómátrixot, és az
x=
x1 x2 .. .
,
b=
b1 b2 .. .
bk
xn
oszlopmátrixokat (oszlopvektorokat) a rendszerünk tömören az
Ax = b alakba írható.
(D) ♣ egyenletrendszerek ekvivalenciája: saik halmaza egyenl®.
Két egyenletrendszert ekvivalensnek nevezünk, ha megoldá-
Lineáris egyenletrendszerek esetén (nyilvánvaló módon) az alábbi átalakítások eredményeznek ekvivalens rendszereket (ezeket ekvivalens átalakítások nak mondjuk): • az egyenletek sorrendjének megváltoztatása, • az egyenletekben szerepl® tagok sorrendjének megváltoztatása, • a rendszer bármelyik egyenletének szorzása (minden tag szorzása) egy nemzérus számmal, • a rendszer bármelyik egyenletének hozzáadása egy másik egyenletéhez.
Gauss elimináció az ismeretlenek szukcesszív kiküszöbölése. A Gauss elimináció lépései:
A
ai1 -szeresét az i-edik egyenlethez hozzáadva i = a11 2, 3, . . . , k esetén, az x1 ismeretlen elt¶nik a második, harmadik, . . . k -adik egyenletb®l. Ha a11 = 0, akkor az els® egyenletben keresünk egy ismeretlent melynek együtthatója 6= 0 és ez veszi át x1 szerepét. Ezután a második egyenlet alkalmas konstanszorosainak a harmadik ... k -adik egyenlethez való hozzádásával kiküszöböljük a harmadik ismeretlent a negyedik, ... k -adik egyenletb®l. Tegyük fel, hogy a11 6= 0. Az els® egyenlet −
(T) ♣ általános lin. egyenletrendszer megoldhatósága:
Az
a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = .. .. . .
b1 b2
ak1 x1 + ak2 x2 + · · · + akn xn =
bk
lineáris egyenletrendszer akkor is csakis akkor oldható meg, ha a rang A = rang (A | b)
rangfeltétel teljesül, ahol A a rendszer mátrixa, (A | b) a b®vített mátrix, melyet az A mátrixból úgy kapunk, hogy az A mátrixhoz n + 1-edik oszlopként hozzáírjuk a szabad tagok b oszlopvektorát.
(T)♣ homogén lin. egyenletrendszer nemtriviális megoldásának létezése:
Az
Ax = 0 (A ∈ Rk×n , x = (x1 , . . . , xn )> ∈ Rn×1 )
homogén lineáris egyenletrendszernek akkor is csakis akkor van triviálistól különböz® megoldása, ha rang A < n
7
(azaz a rendszer A mátrixának rangja kisebb mint az ismeretlenek száma). Ha ez teljesül, akkor a homogén rendszer összes megoldásai Rn -nek egy n − rang A
dimenziós alterét alkotják.
(T) lin. egy.rendszer megoldásának szerkezete: Ax = b (A ∈ R
k×n
Az
, x ∈ Rn×1 , b ∈ Rk×1 )
inhomogén lineáris egyenletrendszer bármely x megoldása x = x0 + xh
alakba írható, ahol x0 az inhomogén egyenlet egy rögzített (partikuláris) megoldása, xh pedig a megfelel® Ax = 0
homogén egyenlet egy tetsz®leges megoldása. Így a megoldások halmaza az utóbbi egyenletrendszer megoldásalterének az x0 vektorral való eltoltja.
(T) ♣ Cramer szabály:
Legyen A egy n-edrend¶ kvadratikus mátrix. A Ax = b
(A ∈ Rn×n , x, b ∈ Rn×1 )
(szabályos) lineáris egyenletrendszer akkor és csakis akkor határozott (egyértelm¶en megoldható), ha |A| = 6 0.
Ha ez teljesül akkor a rendszer egyetlen megoldása xi =
|Ai | |A|
(i = 1, 2, . . . , n)
ahol Ai az a mátrix melyet az A mátrixból úgy kapunk, hogy annak i-edik oszlopát a szabad tagok b (oszlop)vektorára cseréljük ki.
(T) szabályos homogén egy.rendszer nemtriviális megoldásának létezése: kvadratikus mátrix. A
Ax = 0
Legyen A egy n-edrend¶
(A ∈ Rn×n , x ∈ Rn×1 )
(szabályos) homogén lineáris egyenletrendszernek akkor és csakis akkor van nemtriviális megoldása, ha |A| = 0.
(D)lineáris leképezés:
A ϕ : Rn → Rn leképezést lineáris leképezés nek nevezzük, ha bármely x, y ∈ Rn és bármely λ ∈ R esetén
ϕ(x + y) = ϕ(x) + ϕ(y) ϕ(λx) = λϕ(x)
(azaz ϕ additív), (azaz ϕ homogén).
(D)lineáris leképezés mátrixa:
A ϕ lineáris leképezés mátrixán azt az Aϕ = (aij ) (n-edrend¶ kvadratikus) mátrixot értjük, melynek j -edik oszlopában a ϕ(bj ) képvektornak a b1 , . . . , bn bázisra vonatkozó koordinátái állnak. Az összes ϕ : Rn → Rn lineáris leképezések és a hozzájuk rendelt Aϕ ∈ Rn×n mátrixok közötti
ϕ → Aϕ
(Aϕ = (aij ), ahol ϕ(bj ) =
n X
aij bi )
i=1
leképezés bijektív, minden ϕ lineáris leképezéshez egyetlen n-edrend¶ Aϕ mátrix tartozik, és minden ilyen mátrix egyetlen lineáris leképezést határoz meg. S®t, ez a bijektív leképezés meg®rzi a mátrixm¶veleteket is.
8
Ha ϕ, ψ : Rn → Rn lineáris leképezések, úgy összegüket, számszorosukat és kompoziciójukat az alábbi módon értelmezzük: (ϕ + ψ)(x) := ϕ(x) + ψ(x) (x ∈ Rn ), (λϕ)(x) := λϕ(x) (λ ∈ R, x ∈ Rn ), (ϕ ◦ ψ)(x) := ϕ(ψ(x)) (x ∈ Rn ).
(T) a lineáris leképezések és hozzájuk tartozó mátrixok kapcsolata: ϕ, ψ : Rn → Rn lineáris leképezések esetén Aϕ+ψ Aλϕ Aϕ◦ψ
Rögzített bázis és tetsz®leges
a ϕ → Aϕ leképezés megtartja az összeadást, a ϕ → Aϕ leképezés megtartja az számmal való szorzást, a ϕ → Aϕ leképezés a kompoziciót szorzatba viszi át.
= Aϕ + Aψ = λAϕ = Aϕ Aψ
Továbbá ϕ : Rn → Rn akkor és csakis akkor bijektív, ha Aϕ invertálható.
(T):
Legyen b1 , . . . , bn és b01 , . . . , b0n az Rn tér két bázisa, és ahol
Aϕ = (aij ),
ϕ(bj ) =
n P
aij bi
i=1
ahol
A0ϕ = (a0ij ),
ϕ(b0j ) =
n P i=1
a0ij b0i
a ϕ : Rn → Rn lineáris leképezés mátrixai. Akkor van olyan S = (sij ) ∈ Rn×n invertálható mátrix, hogy A0ϕ = S −1 Aϕ S.
(D)♣ mátrix sajátértéke, sajátvektora:
Legyen A egy n × n-es mátrix. A λ ∈ R számot A sajátértékének nevezzük, ha van olyan nullától különböz® x ∈ Rn vektor, melyre
Ax = λx teljesül. Az x vektort A (λ sajátértékhez tartozó) sajátvektorának nevezzük.
A sajátértékeket a
|A − λE| = 0 egyenletb®l határozzuk meg, a sajátvektorokat pedig a (A − λE)x = 0 lineáris homogén egyenletrendszerb®l.
(D)♣ mátrix diagonalizálhatósága:
Egy n × n-es A mátrixot diagonalizálható nak nevezünk, ha van olyan invertálható n × n-es S mátrix és egy D diagonális mátrix, melyekre
S −1 AS = D teljesül.
Diagonális mátrixokra használni fogjuk a
D = diag(λ1 , . . . λn ) :=
λ1 0 .. .
0 λ2 .. .
... ... .. .
0 0 .. .
0
0
...
λn
jelölést is.
(T)sajátérték invarianciája: sajátértékei megegyeznek.
Ha A, S n×n-es mátrixok, S invertálható, akkor az A és S −1 AS mátrixok
9
(T) ♣ a diagonalizálhatóság kritériuma:
Egy n × n-es A mátrix ható, ha van n lineárisan független sajátvektora, x1 , . . . , xn . Ekkor λ1 0 . . . 0 λ2 . . . S −1 AS = diag(λ1 , . . . λn ) = . .. .. .. . . 0
0
...
akkor és csakis akkor diagonalizál0 0 .. .
λn
ahol az S mátrix oszlopvektorai rendre x1 , . . . , xn , a λ1 , . . . , λn számok pedig a hozzájuk tartozó sajátértékek. Nem minden mátrix diagonalizálható! Nincs a diagonalizálhatóságra könnyen ellen®rizhet® szükséges és elegend® feltétel. Ha az n × n-es A mátrixnak n különböz® sajátértéke van, akkor A diagonalizálható. Ez elegend®, de nem szükséges feltétel.
(D)♣ szimmetrikus, ortogonális mátrixok:
Egy n × n-es A mátrixot szimmetrikusnak nevezünk, ha A> = A, ortogonális nak nevezünk, ha A> A = E. Egy mátrix akkor és csakis akkor szimmetrikus, ha elemei a f®átlóra nézve szimmetrikusak.
(D)♣ ortogonális vektorok: zérus.
Két (Rn -beli) vektort akkor mondunk ortogonális nak, ha bels® szorzatuk
(D)♣ ortonormált bázis:
Az Rn tér egy bázisát ortonormált bázis nak nevezzük, ha vektorai páronként ortogonális egységvektorok. Azaz a b1 , . . . , bn bázis akkor és csakis akkor ortonormált ha 1 ha i = j, hbi , bj i = (i, j = 1, . . . , n). 0 ha i 6= j,
(T):
Ha b1 , . . . , bn és b01 , . . . , b0n az Rn tér két ortonormált bázisa, ϕ : Rn → Rn egy lineáris leképezésés Aϕ = (aij ), A0ϕ = (a0ij ) e leképezés mátrixai a megfelel® bázisokra nézve, akkor a A0ϕ = S −1 Aϕ S
transzformációs képletben szerepl® S mátrix ortogonális.
(T) ♣ szimmetrikus mátrixok sajátértékei és sajátvektorai:
Legyen A egy n × n-es szimmetrikus mátrix, akkor • A sajátértékei mind valós számok, • A különböz® sajátértékeihez tartozó sajátvektorok ortogonálisak.
(T) ♣ szimmetrikus mátrixok spektráltétele: létezik olyan ortogonális U mátrix, amelyre
Legyen A egy n × n-es szimmetrikus mátrix, akkor
U −1 AU = diag(λ1 , . . . λn )
ahol λ1 , . . . , λn az A sajátértékei, az U mátrix i-edik oszlopa pedig a λi -hez tartozó sajátvektora (i = 1, . . . , n).
(D)♣ bilineáris, kvadratikus függvény:
Legyen A = (aij ) ∈ Rn×n , akkor • a F (x, y) := hAx, yi (x, y ∈ R ) függvényt bilineáris függvény nek nevezzük, • a Q(x) := hAx, xi (x ∈ Rn ) függvényt kvadratikus függvény nek nevezzük. n
10
.
Szokás hAx, yi-t bilineáris formának, hAx, xi-et kvadratikus formának nevezni.
Korábbi számításunkat felhasználva kapjuk, hogy
Q(x) = Q(x1 , . . . , xn ) =
n X n X
aij xi xj ,
i=1 j=1
Mivel xi xj = xj xi így feltehet®, hogy A szimmetrikus mátrix.
(D)♣ pozitív, negatív de nit, inde nit kvadratikus függvények:
Azt mondtuk, hogy • a Q : Rn → R kvadratikus függvény pozitív de nit, ha Q(x) > 0 minden x ∈ Rn , x 6= 0 esetén, • a Q : Rn → R kvadratikus függvény negatív de nit, ha Q(x) < 0 minden x ∈ Rn , x 6= 0 esetén, • a Q : Rn → R kvadratikus függvény inde nit, ha Q(x) felvesz pozitív és negatív értékeket is.
Hogyan lehet eldönteni azt hogy Q : Rn → R pozitív, negatív, vagy inde nit?
(T) ♣ kritérium kvadratikus függvény de nitségére: képezett
Q(x) := hAx, xi
A szimmetrikus A = (aij ) ∈ Rn×n mátrixszal
(x ∈ Rn )
kvadratikus függvény akkor és csakis akkor • pozitív de nit, ha A összes sajátértéke pozitív, • negatív de nit, ha A összes sajátértéke negatív, • inde nit, ha A-nak van pozitív és negatív sajátértéke is.
(T) ♣ kritérium kvadratikus függvény de nitségére:
Legyen A = (aij ) ∈ Rn×n szimmetrikus mátrix, és legyen ∆k (k = 1, . . . , n) az A mátrix bal fels® k × k -s sarokmátrixának determinánsa, azaz a11 a12 a13 a11 a12 , ∆3 = a21 a22 a23 . . . ∆n = |A| ∆1 = a11 , ∆2 = a21 a22 a31 a32 a33 (∆k -k az A mátrix sarokf®minorjai), akkor Q(x) := hAx, xi
(x ∈ Rn )
kvadratikus függvény akkor és csakis akkor • pozitív de nit, ha ∆k > 0 ha k = 1, . . . , n, • negatív de nit, ha (−1)k ∆k > 0 ha k = 1, . . . , n.
(D)♣ vektorok skaláris vagy bels® szorzata: torok skaláris vagy bels® szorzatát
Az x = (x1 , x2 , . . . , xk ), y = (y1 , y2 , . . . , yk ) ∈ R vekk
hx, yi := x1 y1 + x2 y2 + · · · + xk yk -val de niáljuk.
Könny¶ ellen®rizni, hogy a skaláris szorzat teljesíti az alábbi tulajdonságokat. Bármely x, y, z ∈ Rk és bármely λ ∈ R esetén
hx + y, zi hλx, yi hx, yi hx, xi
= hx, zi + hy, zi, = λhx, yi, = hy, xi, ≥ 0 és hx, xi = 0 akkor és csakis akkor, ha x = 0.
Ez a 4 tulajdonság alkotja a skaláris szorzás axiómáit.
11
♣ [Cauchy-Schwarz egyenl®tlenség] Bármely két x, y ∈ Rk vektor esetén érvényes a Cauchy-Schwarz egyenl®tlenség: p p |hx, yi| ≤ hx, xi hy, yi.
(T):
(D)♣ vektor hossza:
Az kxk = hx, xi számot az x = (x1 , x2 , . . . , xk ) ∈ Rk vektor hosszának (vagy normájának ill. abszolút értékének ) nevezzük.
p
A Cauchy-Schwarz egyenl®tlenség felhasználásával könnyen igazolhatjuk a norma tulajdonságait: bármely x, y ∈ Rk és bármely λ ∈ R esetén
kxk ≥ 0 és kxk = 0 akkor és csakis akkor, ha x = 0 kλxk = |λ| kxk kx + yk ≤ kxk + kyk.
(D)távolság:
Az x, y ∈ Rk pontok távolságát
d(x, y) = kx − yk -nal de niáljuk.
(D)környezet:
Egy a ∈ Rk pont ε > 0 sugarú (nyílt) környezetén a
K(a, ε) := { x ∈ Rk : d(x, a) = kx − ak < ε } halmazt értjük.
(D)sorozat:
Egy a : N → Rk függvényt Rk -beli sorozatnak nevezünk. Jelölések a(n) = an = (an,1 , an,2 , . . . , an,k ) (n ∈ N), a = (an ).
(D)konvergens, diveregens sorozat:
Az (an ) (Rk -beli) sorozatot konvergens nek nevezzük, ha van olyan b ∈ Rk , hogy bármely ε > 0-hoz létezik olyan N (ε) ∈ R szám, hogy
kan − bk < ε ha n > N (ε). b-t a sorozat határérték ének (limeszének) nevezzük és az an → b (n → ∞)
vagy lim an = b n→∞
jelölést használjuk. N (ε)-t az ε-hoz tartozó küszöbszám nak nevezzük. Egy Rk -beli sorozatot divergens nek nevezünk, ha nem konvergens.
(T):
[Rk -beli sorozat koordinátánként konvergens]
an = (an,1 , an,2 , . . . , an,k ) → b = (b1 , b2 , . . . , bk ) (n → ∞)
akkor és csakis akkor, ha an,i → bi (n → ∞) minden i = 1, 2, . . . , k mellett.
Ez azt jelenti, hogy egy vektorsorozat akkor és csakis akkor konvergens, ha a sorozat minden koordinátája konvergens és határértéke a határvektor megfelel® koordinátája.
(D)függvény határértéke:
Legyen f : D ⊂ Rk → R és legyen x0 ∈ D0 (=D torlódási pontjainak halmaza). Azt mondjuk, hogy f -nek van (véges, vagy végtelen) határértéke az x0 pontban, ha van olyan a ∈ Rb b®vített valós szám, hogy bármely olyan D-beli (xn )n∈N sorozatra, melyre lim xn = x0 és xn 6= x0 , n→∞
teljesül a lim f (xn ) = a egyenl®ség. a ∈ Rb -t az f függvény x0 pontbeli határértékének nevezzük és
n→∞
lim f (x) = a-vel, vagy f (x) → a (x → x0 )-vel jelöljük.
x→x0
12
Korábbi de níció: Legyen f : D ⊂ Rk → R és legyen x0 ∈ D0 (a D halmaz torlódási pontja). Azt mondjuk, hogy f -nek van (véges) határértéke az x0 pontban, ha van olyan a ∈ R szám, hogy minden > 0-hoz van olyan δ() > 0, hogy
ha
|f (x) − a| <
0 < kx − x0 k < δ() és x ∈ D
teljesül. Az a ∈ R számot az f függvény x0 pontbeli határértékének nevezzük, és jelölésére az a = lim f (x) x→x0
vagy f (x) → a ( ha x → x0 )-t használjuk.
(D)♣ függvény folytonossága:
Az f : D ⊂ R → R függvényt folytonosnak nevezzük az x0 ∈ D pontban, ha bármely D-beli x0 -hoz konvergáló D 3 xn → x0 (n → ∞) sorozat esetén a függvényértékek f (xn ) (n ∈ N) sorozata az x0 pontbeli függvényértékhez tart, azaz lim f (xn ) = f (x0 ). n→∞
Korábbi de níció: Az f : D ⊂ Rk → R függvényt értelmezési tartományának x0 ∈ D pontjában folytonosnak nevezzük, ha bármely > 0-hoz van olyan δ() > 0, hogy
|f (x) − f (x0 )| <
ha
kx − x0 k < δ() és x ∈ D
teljesül.
(D)♣ függvény (totális) dierenciálhatósága, deriváltja:
Az f : D ⊂ Rk → R függvényt az x0 ∈ D bels® pontban (totálisan) dierenciálhatónak nevezzük, ha van olyan A ∈ Rk vektor melyre
lim
x→x0
f (x) − f (x0 ) − hA, x − x0 i = 0. kx − x0 k
Az f 0 (x0 ) := A vektort az f függvény x0 pontbeli deriváltjának nevezzük.
(D)♣ függvény irány menti dierenciálhatósága, irány menti deriváltja:
Az f : D ⊂ Rk → R függvényt az x0 ∈ D bels® pontban az e (ahol e egy R -beli egységvektor) irány mentén dierenciálhatónak nevezzük, ha létezik a k
f (x0 + te) − f (x0 ) t (véges) határérték. E határértéket De f (x0 )-lal jelöljük, és az f függvény e iránymenti deriváltjának nevezzük az x0 pontban. lim
t→0
(D)♣ függvény parciális deriváltja:
Legyen e = ui = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0) az i-edik tengely irányába mutató egységvektor (az ui vektor i-edik koordinátája 1, a többi 0) akkor a
Dui f (x0 ) iránymenti deriváltat az f függvény i-edik változója szerinti parciális deriváltjának nevezzük az x0 pontban. Jelölésére az ∂i f (x0 ) szimbólumot használjuk. Egyéb jelölések:
∂xi f (x0 ),
∂f (x0 ), ∂xi
fxi (x0 )
(D)♣ parciális dierenciálhatóság:
Az f : D ⊂ Rk → R függvényt az x0 ∈ D bels® pontban parciálisan dierenciálhatónak nevezzük, ha ∂i f (x0 ) minden i = 1, . . . , n-re létezik.
(T) ♣ iránymenti derivált kiszámítása:
Ha f : D ⊂ Rn p → R az x0 ∈ D bels® pontban (totálisan) dierenciálható, akkor bármely e = (e1 , . . . , ek ) ∈ Rk , kek = e21 + · · · + e2k = 1 irány mentén is dierenciálható x0 -ban, és az iránymenti deriváltjára De f (x0 ) = hA, ei = A1 e1 + · · · + Ak ek
13
áll fenn, ahol A = f 0 (x0 ).
(T) ♣ (totális) dierenciálhatóság ⇒ folytonosság: (totálisan) dierenciálható, akkor f folytonos x0 -ban.
Ha f : D ⊂ Rk → R az x0 ∈ D bels® pontban
(T) ♣ parc. deriv. folytonossága ⇒ (totális) dierenciálhatóság :
Ha az f : D ⊂ Rk → R függvénynek az x0 ∈ D bels® pont egy környezetében folytonos parciális deriváltjai vannak (ekkor azt úgy mondjuk, hogy a függvény folytonosan parciálisan dierenciálhato e környezetben) akkor f az x0 pontbanban (totális) dierenciálható, (így folytonos is).
TÉTEL
[láncszabály: összetett függvény dierenciálhatósága] Ha a gi : D ⊂ Rk → R (i = 1, 2, . . . , l) függvények dierenciálhatók az x0 ∈ D bels® pontban, és f : E ⊂ Rl → R dierenciálható az y0 = g(x0 ) ∈ E bels® pontban, ahol g(x) := (g1 (x), g2 (x), . . . , gl (x)) (x ∈ D), akkor a
h(x) := f (g(x))
összetett függvény (mely x0 ∈ D egy környezetében biztosan értelmezve van) dierenciálható x0 ∈ D-ben és l X ∂i h(x0 ) = ∂j f (g(x0 ))∂i gj (x0 ) (i = 1, 2, . . . , k). j=1
Utóbbi képletet nevezzük láncszabálynak.
(D)♣ magasabb rend¶ parciális deriváltak:
Tegyük fel, hogy az f : D ⊂ Rk → R függvénynek az x0 ∈ D bels® pont egy környezetében létezik pl. az i-edik változó szerinti ∂i f parciális derivált. Ha ez parciálisan dierenciálható pl. az j -edik változó szerint, úgy a e deriválást elvégezve kapjuk a
∂j ∂i f (x0 ) := ∂j (∂i f (x0 ))
második parciális deriváltját f -nek az x0 pontban az i-edik és j -edik változók szerint (ebben a sorrendben). Hasonlóan ha a ∂j ∂i f (x) drivált létezik x0 egy környezetében és ez parciálisan dierenciálható pl. a l-edik változó szerint, úgy a e deriválást elvégezve kapjuk a ∂l ∂j ∂i f (x0 ) := ∂l (∂j ∂i f (x0 ))
harmadik parciális deriváltat. Hasonlóan értelmezhetjük a negyed- és magasabbrend¶ parciális deriváltakat is.
(T) ♣ Young tétel: a vegyes parciális deriváltak függetlensége a deriválás sorrendjét®l:
Ha az f : D ⊂ Rk → R függvénynek az x0 ∈ D bels® pont egy környezetében az összes m ≥ 2-edik parciális deriváltjai léteznek és folytonosak az x0 pontban, akkor a függvény m-edik parciális deriváltjai az x0 pontban a dierenciálás sorrendjét®l függetlenek.
(D)♣ maximum, minimum:
Azt mondjuk, hogy az f : D ⊂ Rk → R függvénynek lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x0 ∈ D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy
f (x0 ) ≥ f (x)
(f (x0 ) ≤ f (x)) teljesül minden x ∈ K(x0 , ε) ∩ D
esetén. Azt mondjuk, hogy az f : D ⊂ Rk → R függvénynek szigorú lokális (helyi) maximuma (minimuma) van az x0 ∈ D pontban, ha van olyan ε > 0 hogy
f (x0 ) > f (x)
(f (x0 ) < f (x)) teljesül minden x ∈ K(x0 , ε) ∩ D, x 6= x0
esetén. Azt mondjuk, hogy az f : D ⊂ Rk → R függvénynek globális (vagy abszolút) maximuma (minimuma) van az x0 ∈ D pontban, ha
f (x0 ) ≥ f (x) esetén.
(f (x0 ) ≤ f (x)) teljesül minden x ∈ D
14
Azt mondjuk, hogy az f : D ⊂ Rk → R függvénynek szigorú globális (vagy abszolút) maximuma (minimuma) van az x0 ∈ D pontban, ha
f (x0 ) > f (x)
(f (x0 ) < f (x)) teljesül minden x ∈ D, x 6= x0
esetén.
(T) ♣ a széls®érték létezésének elegend® feltétele:
Korlátos zárt halmazon folytonos függvény felveszi a függvényértékek in mumát és supremumát függvényértékként, ami azt jelenti, hogy a függvénynek van minimuma és maximuma (az illet® korlátos zárt halmazon).
(T) ♣ a széls®érték els®rend¶ szükséges feltétele:
Ha f : D ⊂ Rk → R fggvénynek az x0 ∈ D bels® pontban lokális széls®értéke van, és léteznek f els® parciális deriváltjai x0 -ban, akkor ∂1 f (x0 ) = ∂2 f (x0 ) = · · · = ∂k f (x0 ) = 0. Az el®z® feltételnek elegettev® x0 pontokat az f függvény stacionárius pont jainak nevezzük.
(T) ♣ a széls®érték másodrend¶ elegend® feltétele:
Tegyük fel, hogy az f : D ⊂ Rk → R összes második parciális deriváltjai folytonosak az x0 ∈ D bels® pont egy környezetében, továbbá ∂1 f (x0 ) = ∂2 f (x0 ) = · · · = ∂k f (x0 ) = 0,
azaz x0 stacionárius pontja f -nek. I. Ha a Q(h) = Q(h1 , . . . , hk ) :=
k k X X
∂j ∂i f (x0 )hi hj
j=1 i=1
kvadratikus függvény pozitív de nit, azaz Q(h) > 0 minden h ∈ Rk , h 6= 0 esetén, akkor f -nek szigorú lokális minimuma van x0 -ban, II. ha a Q kvadratikus függvény negatív de nit, azaz Q(h) < 0 minden h ∈ Rk , h 6= 0 esetén, akkor f -nek szigorú lokális maximuma van x0 -ban, III. ha a Q kvadratikus függvény inde nit, azaz Q(h) felvesz pozitív és negatív értéket is, akkor f -nek nincs széls®értéke x0 -ban.
(T) ♣ a széls®érték másodrend¶ elegend® feltétele determinánsok segítségével:
Tegyük fel, hogy az f : D ⊂ Rk → R összes második parciális deriváltjai folytonosak az x0 ∈ D bels® pont egy környezetében, továbbá ∂1 f (x0 ) = ∂2 f (x0 ) = · · · = ∂k f (x0 ) = 0, azaz x0 stacionárius pontja f -nek. Legyen A = (∂i ∂j f (x0 )) ∈ Rk×k az f függvény x0 pontbeli második parciális deriváltjaiból álló mátrix, és legyen ∆i (i = 1, . . . , k) az A mátrix bal fels® i × i típusú sarokmátrixának determinánsa, azaz ∆1 : = ∂1 ∂1 f (x0 ) ∆2 :
∂ ∂ f (x0 ) ∂1 ∂2 f (x0 ) = 1 1 ∂2 ∂1 f (x0 ) ∂2 ∂2 f (x0 )
∂1 ∂1 f (x0 ) ∂1 ∂2 f (x0 ) ∂1 ∂3 f (x0 ) ∆3 : = ∂2 ∂1 f (x0 ) ∂2 ∂2 f (x0 ) ∂2 ∂3 f (x0 ) ∂3 ∂1 f (x0 ) ∂3 ∂2 f (x0 ) ∂3 ∂3 f (x0 ) .. . ∆k : = |A|. I. Ha ∆1 > 0, ∆2 > 0, ∆3 > 0, . . . , ∆k > 0 akkor f -nek
szigorú lokális minimuma van x0 -ban,
15
II. ha ∆1 < 0, ∆2 > 0, ∆3 < 0, . . . , (−1)k ∆k > 0 akkor f -nek x0 -ban.
szigorú lokális maximuma
van
Két változós függvény esetén az el®z® tétel második része kissé b®víthet®:
I. Ha ∆1 = ∂1 ∂1 f (x0 ) > 0,
akkor f -nek II. ha
∂ ∂ f (x0 ) ∂1 ∂2 f (x0 ) ∆2 = 1 1 ∂1 ∂2 f (x0 ) ∂2 ∂2 f (x0 )
>0
∂ ∂ f (x0 ) ∂1 ∂2 f (x0 ) ∆2 = 1 1 ∂1 ∂2 f (x0 ) ∂2 ∂2 f (x0 )
>0
szigorú lokális minimuma van x0 -ban, ∆1 = ∂1 ∂1 f (x0 ) < 0,
akkor f -nek III. ha
szigorú lokális maximuma van x0 -ban.
akkor f -nek
nincs széls®értéke x0 -ban.
∂ ∂ f (x0 ) ∂1 ∂2 f (x0 ) ∆2 = 1 1 ∂1 ∂2 f (x0 ) ∂2 ∂2 f (x0 )
<0
(D)lokális feltételes maximum (minimum):
Legyenek f : D ⊂ Rk → R, gi : D ⊂ Rk → R i = 1, . . . , l, l < k adott függvények. Azt mondjuk, hogy az f függvénynek az x0 ∈ D pontban a g1 (x) = 0, g2 (x) = 0, . . . , gl (x) = 0 feltételek mellett lokális feltételes maximuma (minimuma) van, ha g1 (x0 ) = · · · = gl (x0 ) = 0, és van olyan ε > 0 hogy
f (x0 ) ≥ f (x)
(f (x0 ) ≤ f (x)) teljesül minden x ∈ D ∩ K(x0 , ε)
mellett, melyre
g1 (x) = · · · = gl (x) = 0. Ha g1 (x0 ) = · · · = gl (x0 ) = 0, és
f (x0 ) > f (x)
(f (x0 ) < f (x)) teljesül minden x0 6= x ∈ D ∩ K(x0 , ε)
mellett, melyre g1 (x) = · · · = gl (x) = 0, akkor szigorú lokális feltételes maximum (minimum) -ról beszélünk.
(T) ♣ a feltételes széls®érték szükséges feltétele:
Tegyük fel, hogy • az f, gi : D ⊂ Rk → R (i = 1, . . . , l, l < k), az f függvénynek az els® parciális deriváltjai folytonosak az x0 ∈ D bels® egy környezetében • f -nek az x0 ∈ D pontban a g1 (x) = 0, g2 (x) = 0, . . . , gl (x) = 0 feltételek mellett lokális feltételes széls®értéke van, • a ∂1 g1 (x0 ) · · · ∂k g1 (x0 ) .. .. l×k .. ∈R . . . ∂1 gl (x0 )
···
∂k gl (x0 )
mátrix rangja l (azaz van nemzérus l-edrend¶ aldeterminánsa). Akkor vannak olyan λ0 = (λ01 , . . . , λ0l ) ∈ Rl valós számok, hogy az L(λ, x) := f (x) + λ1 g1 (x) + · · · + λl gl (x)
(λ = (λ1 , . . . , λl ) ∈ Rl , x ∈ D)
függvényre ∂1 L(λ0 , x0 ) = · · · = ∂l+k L(λ0 , x0 ) = 0. A λ1 , . . . λl változókat Lagrange-féle multiplikátoroknak nevezzük, az L függvényt a feltételes széls®érték probléma Lagrange-féle függvény ének nevezzük.
16
A feltételes széls®érték probléma megoldása úgy történik, hogy a
∂1 L(λ, x) = · · · = ∂l+k L(λ, x) = 0 l + k db. egyenletb®l álló egyenletrendszert megoldjuk a λ1 , . . . λl , x1 , . . . , xk , ismeretlenekre, a kapott (λ0 , x0 ) = (λ01 , . . . , λ0l , x01 , . . . , x0k ) ∈ Rl × D megoldások a Lagrange függvény stacionárius pontjai. Ennek az x0 = (x01 , . . . , x0k ) koordinátái a feltételes széls®érték lehetséges helyei, λ0 = (λ01 , . . . , λ0l ) a megfelel® Lagrange multiplikátorok.
(T) ♣ a feltételes széls®érték elegend® feltétele:
Tegyük fel, hogy • az f, gi : D ⊂ Rk → R (i = 1, . . . , l, l < k), második parciális deriváltjai folytonosak az x0 ∈ D bels® pont egy környezetében, • λ0 ∈ Rl , x0 ∈ D, a ∂1 L(λ, x) = · · · = ∂l+k L(λ, x) = 0 k + l db. egyenletb®l álló rendszer megoldása, ahol L(λ, x) a probléma Lagrange függvénye, • a ∂1 g1 (x0 ) · · · ∂k g1 (x0 ) .. .. l×k .. ∈R . . . ∂1 gl (x0 ) · · · ∂k gl (x0 ) mátrix rangja l és rangmeghatározó determinánsa a mátrix jobboldali l × l-es sarokdetermináns, azaz ∂k−l+1 g1 (x0 ) · · · ∂k g1 (x0 ) .. .. .. 6= 0. . . . ∂k−l+1 gl (x0 ) · · · ∂k gl (x0 )
(1) Ha a
Q(h) = Q(h1 , . . . , hk ) :=
k X k X
∂i ∂j L(λ0 , x0 )hi hj
j=1 i=1
kvadratikus függvény pozitív minden olyan h ∈ Rk , h 6= 0 esetén, melyre i = 1, . . . , l mellett, (2) Ha a
k P
∂j gi (x0 )hj = 0 minden
j=1
akkor f -nek (szigorú) lokális feltételes minimuma van az x0 pontban,
Q(h) = Q(h1 , . . . , hk ) :=
k X k X
∂i ∂j L(λ0 , x0 )hi hj
j=1 i=1 k P
negatív minden olyan h ∈ Rk , h 6= 0 esetén, melyre ∂j gi (x0 )hj = 0 j=1 minden i = 1, . . . , l mellett, akkor f -nek (szigorú) lokális feltételes maximuma van az x0 pontban.
kvadratikus függvény
(T) ♣ a feltételes széls®érték elegend® feltétele determinánsokkal:
Tegyük fel, hogy • az f, gi : D ⊂ Rk → R (i = 1, . . . , l, l < k), második parciális deriváltjai folytonosak az x0 ∈ D bels® pont egy környezetében, • (λ0 , x0 ) ∈ Rl × D a ∂1 L(λ, x) = · · · = ∂l+k L(λ, x) = 0 k + l db. egyenletb®l álló rendszer megoldása (azaz L stacionárius pontja), ahol L(λ, x) a probléma Lagrange függvénye, • a ∂1 g1 (x0 ) · · · ∂k g1 (x0 ) .. .. l×k .. ∈R . . . ∂1 gl (x0 )
···
∂k gl (x0 )
17
mátrix rangja l és rangmeghatározó determinánsa a jobboldali l × l-es sarokdetermináns, azaz ∂k−l+1 g1 (x0 ) · · · ∂k g1 (x0 ) .. .. .. 6= 0. . . . ∂k−l+1 gl (x0 ) · · · ∂k gl (x0 ) Legyen ∆j (j = 2l + 1, 2l + 2, . . . , l + k) a 0 ··· 0 ∂1 g1 (x0 ) .. .. .. . . . . . . 0 · · · 0 ∂ g 1 l (x0 ) ∂1 g1 (x0 ) · · · ∂1 gl (x0 ) ∂l+1 ∂l+1 L(λ0 , x0 ) .. .. .. .. . . . .
∂k g1 (x0 ) · · ·
··· .. . ··· ··· .. .
∂k gl (x0 ) ∂l+k ∂l+1 L(λ0 , x0 ) · · ·
∂k g1 (x0 ) .. .
∂k gl (x0 ) ∂l+1 ∂l+k L(λ0 , x0 ) .. . ∂l+k ∂l+k L(λ0 , x0 )
szimmetrikus blokkmátrix bal fels® j -edrend¶ sarokdeterminánsá. (1) Ha (−1)l ∆j > 0 (j = 2l + 1, 2l + 2, . . . , l + k), akkor f -nek (szigorú) lokális feltételes minimuma van az x0 pontban, (2) Ha (−1)l+j ∆j > 0 (j = 2l + 1, 2l + 2, . . . , l + k), akkor f -nek (szigorú) lokális feltételes maximuma van az x0 pontban. Vegyük észre, hogy a blokkmátrix éppen a Lagrange függvény összes második parciális deriváltjaiból álló mátrix azaz (∂i ∂j L(λ0 , x0 )) ∈ R(l+k)×(l+k) .
