ŘEŠENÍ SOUTĚŽNÍ ÚLOHY JAKO PROSTŘEDEK ROZVOJE OSOBNOSTI ŽÁKA S NADÁNÍM PRO MATEMATIKU. Vladimír VANĚK- Bohumil NOVÁK

The Mathematics Education into the 21st Century Project Proceedings of the International Conference The Decidable and the Undecidable in Mathematics Education Brno, Czech Republic, September 2003

ŘEŠENÍ SOUTĚŽNÍ ÚLOHY JAKO PROSTŘEDEK ROZVOJE OSOBNOSTI ŽÁKA S NADÁNÍM PRO MATEMATIKU Vladimír VANĚK- Bohumil NOVÁK Abstract: Matematické soutěže jsou považovány za jeden z prostředků rozvoje osobnosti žáka s nadáním pro matematiku. Matematické schopnosti a tvořivost řešitelů jsou v příspěvku ilustrovány na analýze řešení vybrané úlohy z mezinárodní soutěže DUEL pro žáky středních škol. Klíčová slova: žák s nadáním pro matematiku, matematická soutěž, matematická učební úloha, řešení úlohy 1. Úvod V procesu transformace matematického vzdělávání, za jejíž charakteristický průvodní znak bývá označována jeho humanizace, je věnována mimořádná pozornost žákovi jako subjektu vzdělávání. Tato teze se bezprostředné promítá také do edukační reality základní a střední školy (Novák, 1998). Stala se jednou z hlavních tezí inspirujících pokusy o kritickou reflexi matematického vzdělávání v širším evropském kontextu, hledání nových paradigmat a nabízení alternativ (Krainer, 2001). Jedním z momentů, které je třeba v reálném školním vyučování zohlednit, jsou diference mezi jednotlivými žáky v řadě oblastí (rozdíly v úrovni matematických schopností včetně obecné inteligence, sexové rozdíly, rozdíly v sociálním prostředí a rodinném zázemí žáků aj.). Nesporným projevem humanizace je požadavek vhodně zakomponovat do matematického vzdělávání také specifika práce s talentovanými žáky. Za významný nástroj rozvoje osobnosti žáka s nadáním pro matematiku je považováno řešení náročnějších učebních úloh v matematických soutěžích. Náš příspěvek je jedním z možných pohledů na řešení úlohy „talentovanými středoškoláky“ – účastníky mezinárodní matematické soutěže 11th International Mathematical Competition – DUEL. 2. Řešení matematické učební úlohy žákem s nadáním pro matematiku K charakteristice nadaného (talentovaného) žáka je možno přistoupit z různých pozic a pohledů. Pedagogika obvykle pracuje s „tříokruhovou“ koncepcí nadání. Kalhous, Obst (2002) citují Pasche (1998) a rozlišují • nadprůměrně rozvinuté matematické schopnosti žáka, • jeho osobní nasazení v oboru (matematice) a • tvořivou produktivitu jako schopnost vytvářet nové informace (schopnost produkovat nové nápady a řešení). Nadprůměrné schopnosti jako podmínka úspěšného učení/studia a uplatňování matematiky bývají u nadaných žáků doprovázeny také odpovídajícím učebním nasazením. Právě různý a obtížně měřitelný podíl nadání (ve smyslu komplexu charakteristik osobnosti) a učebního nasazení (učební úsilí, snaha apod.) na školní úspěšnosti žáka v matematice způsobuje obtížnější identifikaci skutečného nadání/talentu. Uplatnění a další rozvoj nadaného žáka v matematice vyžaduje zvýšit podíl tvořivých činností a heuristických (objevitelských) postupů v matematickém vyučování, např. vhodně koncipovaným systémem matematických učebních úloh (Semadeni, 1995, Novák, Uhlířová, 1997). Jedná se především o řešení učebních úloh vyšší kognitivní náročnosti - vyžadujících složitější myšlenkové operace s matematickými poznatky (transformace, interpretace


a zdůvodnění, indukce, dedukce, verifikace a dokazování) a vyžadující tvořivé myšlení (řešení problémových situací, kladení otázek a formulace úloh žáky, objevování na základě vlastního pozorování a vlastních úvah žáka). Souhlasíme s Kuřinou (1997, s. 3), že „matematika je řešení úloh. Tato stránka matematického vzdělávání je velmi významná a při vhodně konstruovaném souboru úloh může vést nejen k osvojení potřebného souboru matematických poznatků, ale učitel přitom může systematicky kultivovat i myšlení žáků“. 3. Popis experimentu, jeho cíle a užitá metoda V našem příspěvku jsme se pokusili shrnout některé zkušenosti z výzkumného šetření zaměřeného na analýzu úlohy z matematické SOUTĚŽE DUEL. Matematický Duel vznikl původně jako matematická soutěž mezi dvěma školami – GMK v Bílovci a Liceum Ogólnoksztalcšce im. J. Slowackiego Chorzów. První ročník se konal v červnu 1993 na gymnáziu v Bílovci, a to pro 4 studenty 1. ročníku a pro 4 studenty 2. ročníku čtyřletého gymnázia z každé školy. Soutěž probíhala ve dvou formách – 1. se konala soutěž jednotlivců, 2. den pak soupeřila družstva. V červnu 1994 v Chorzówě se poté konal druhý ročník, ale s poněkud pozměněnými pravidly. Byly vytvořeny 3 věkové kategorie: 7.-8. třídy (2.-3. ročník osmiletého studia) 1.-2. ročník čtyřletého studia 3. ročník čtyřletého studia Dvě formy, soutěž družstev a soutěž jednotlivců, však zůstaly zachovány. V červnu roku 1997 se ke studentům z Polska a České republiky přidali i studenti Bundesrealgymnasia v Grazu. Jedním z dílčích cílů bylo analyzovat vybraný soubor řešených úloh, pokusit se identifikovat a interpretovat řešení použité účastníky soutěže.. V našem šetření jsme využili metody analýzy písemných produktů X žáků - písemných záznamů, náčrtků a zápisků řešení. Byl tak získán poměrně rozsáhlý a informačně bohatý materiál, z něhož jsme v tomto příspěvku čerpali. Předmětem podrobnější analýzy jsme v našem příspěvku učinili řešení úlohy: 4. Zadání The function f ( x) = ax 2 + bx + c has property that f (−2) = f (0) = f (2) = 2 holds. Determine all possible values of a, b and c. Úlohu bych zařadil do kategorie I, vyjdeme-li z rozdělení složitosti úloh podle Mikové, cituji: (I) „Úlohy, které vyřeší bez pomoci ukázkového řešení učitel i studenti a pak se radují z úspěchu. (II) Úlohy, které učitel vyřeší bez pomoci ukázkového řešení (nebo nalezne alespoň část řešení) a studenti k řešení dojdou po mírné učitelově nápomoci. (A pak se radují z úspěchu.) (III) Úlohy, jejichž řešení učitel mlhavě tuší a s pomocí řešení ukázkového pochopí a poté je schopen jej studentům interpretovat. Studenti řešení taktéž pochopí a jsou schopni samostatně zaznamenat na papír. Radují se z toho, že řešení chápou. (IV) Úlohy nad jejichž ukázkovým řešením stráví učitel několik večerů, poté pochopí alespoň část myšlenkových pochodů jejich autora, ty se pokusí vyložit studentům a doufá, že budou v řešení úspěšnější než on. Všichni se radují, že takových úloh není v zadání více.“ V matematickém Duelu se setkáváme většinou s úlohami typu (I) nebo (II). Úloha byla připravena pro studenty I. a II. ročníku gymnázia. Naprosto správně nebo s dobrou chybou ji vyřešilo 50% soutěžících. 25% řešitelů nezískalo v této úloze jediný bod. Přesto tato nebyla těžká a mnohá řešení byla zajímavá. Do interakce se zde dostávají


studentovy vědomosti o řešení soustavy rovnic a řešení rovnic s absolutní hodnotou. Lze se ovšem na tento problém dívat i z hlediska geometrického- viz následující ukázka. Porovnáme zde jedno tradiční řešení s méně obvyklou variantou a pro ilustraci i řešení a chybným krokem. 5.

Ukázky žákovských řešení

Žák A: Nejprve si uvědomme, že graf funkce F(x) bude procházet právě třemi body z obr. 1. Na základě kombinatorických úvah (vzhledem k definici funkce, např. graf F(x) nesmí procházet body A a D zároveň, protože pak by F(x) nebyla funkcí) dostáváme osm možností, pro body, kterými bude F(x) procházet: 1) ABC 2) ABF obr. 1 3) AEC 3 4) AEF A B C 2 5) DEF 1 0 x 6) DEC -3 -2 -1 1 2 3 -1 0 7) DBC D E F -2 -3 8) DBF y

Pro každou z možností je tedy nutné najít koeficienty a, b, c. Hodnoty koeficientu c snadno odečteme z grafu, neboť koeficient c určuje souřadnice průsečíku s osou y: [0,c]. Tedy prochází-li grafe funkce bodem B, resp. E, pak c=2, resp. c=-2. Řešíme tedy soustavu F(x1) = 4a ± 2b ± 2 F(x2) = 4a ± 2b ± 2 Uvedu výpočet u možností 1) a 2) 1) Graf prochází body A, B, C : pak se jedná o konstantní funkci F(x) = 2 (a=0, b=0, c=2) 2) Graf prochází body A, B, F : pak c=2 a řešíme 2 = 4a − 2b + 2

− 2 = 4a + 2b + 2 2a − b = 0 → a=-0,5 , b=-1 2 a + b = −2 Touto metodou jsem vyřešil všechny možnosti, občas s využitím symetrie možností. 8 řešení:

ABC a 0 b 0 c 2

ABF -0,5 -1 2

AEC 1 0 -2

AEF 0,5 -1 -2

DEF 0 0 -2

DEC 0,5 1 -2

DBC -0,5 1 2

DBF -1 0 2


Žák B: Platí tedy: 4a − 2b + c = 2 c =2 4a + 2b + c = 2

(1) (2) (3)

Z (2) vyplývá, že c1=2 c2=-2 1.

(4) (5)

Pokud platí (4), dostáváme 4a − 2b + 2 = 2 4a + 2b + 2 = 2

(6) (7 )

Teď dostáváme 4 řešení: 4a − 2b + 2 = 2 4a + 2b + 2 = 2

4a − 2b + 2 = 2 4a + 2b + 2 = −2

4a − 2b + 2 = −2 4a + 2b + 2 = 2

4a − 2b + 2 = −2 4a + 2b + 2 = −2

a=0, b=0

a=-0,5 , b=-1

a=-0,5 , b=1

a=-1, b=0

2.

Pokud platí (5), dostáváme 4a − 2b − 2 = 2 4a + 2b − 2 = 2

Teď dostáváme 4 řešení: 4a − 2b − 2 = 2 4a + 2b − 2 = 2

4a − 2b − 2 = 2 4a + 2b − 2 = −2

4a − 2b − 2 = −2 4a + 2b − 2 = 2

4a − 2b − 2 = −2 4a + 2b − 2 = −2

a=1, b=0

a=0,5 , b=-1

a=0,5 , b=1

a=0, b=0

Máme tedy 8 řešení: K= {[0;0;2],[-0,5;-1;2],[-0,5;1;2],[-1;0;2],[1;0;-2],[0,5;-1;-2],[0,5;1;-2],[0;0;-2]} Žák A volbou postupu projevil schopnost pojmout problém v širší souvislosti a najít vztahy mezi matematickými pojmy a jejich vlastnostmi, což je jeden z rysů, jímž se vyznačují jedinci nadaní na matematiku. Neznamená to ovšem, že by žák B nebyl talentem, pouze v tomto případě řešil úlohu obvyklejší metodou, kterou lépe zná z hodin matematiky. Také u žáka A lze lépe sledovat úroveň myšlenkových operací a poznávacích procesů. Schopnost příklad nejen vyřešit, ale své řešení i popsat a vysvětlit je velmi důležitou stránkou žákova matematického nadání. Jak vidíme, je tento rys nápadný opět u žáka A. Žák C:


4a − 2b + c = 2 c =2

→ c = ±2

4a + 2b + c = 2

1)

c=2 4a − 5b + 2 = 2

4a + 5b + 2 = 2

4a − 2b = 0 2b − 4a − 2 = 2 b = 2a b = 2 + 2a

4a + 2b = 0 − 4a − 2b − 2 = 2 b = −2 a b = −2a − 2

0a = 0

0a = 0

0a = 0

0a = 0

b=0

b=2

b=0

b = −2

2)

c = -2 4a − 5b − 2 = 2

4a + 5b − 2 = 2

4a − 2b = 4 2b − 4a + 2 = 2 b = 2a − 2 b = 2a

4a + 2b = 4 − 4a − 2b + 2 = 2 b = 2 − 2a b = 2a

0a = 0

0a = 4

0a = 0

a=2

b = −2

b=0

b=2

b=4

K={[0;0;2],[0;2;2],[0;-2;2],[0;-2;-2],[0;2;-2],[2;4;-2]} Všimněme si formy zápisu příkladu. Žák A ukázkově vyřeší 2 možnosti a další řešení již počítá na pomocný papír, čímž šetří čas. Žák B řeší problém věcně, přesně bez vysvětlivek, pomocí algoritmu známého z hodin matematiky. I jeho forma zápisu je přehledná a jednoznačná. Stejně jako žák B i žák C svůj postup nevysvětluje a jeho zápis již není tak přehledný jako u kolegů. To byla nejspíše jedna z příčin, proč v této úloze chyboval. V tomto případě se důsledné dodržování formy zápisu, které se studenti učí ve škole, jeví jako výhodnější. 6.

Závěr Matematický Duel je jednou z mnoha soutěží typu matematické olympiády. V porovnání s úlohami Matematické olympiády jsou co do složitosti úlohy Matematického Duelu méně složité, ale i přesto se soutěže účastní pouze zjevně talentovaní studenti a žáci. Matematický duel proto neslouží jako soutěž pro vyhledávání a rozpoznávání talentu, na rozdíl od např. korespondenčních seminářů, či velmi populární soutěže Matematický Klokan, ale je spíše motivačního charakteru a přispívá k dalšímu růstu již zjevně talentovaného jedince. Výše uvedený příklad představuje pouze zlomek možností pro rozvoj matematického talentu, nicméně se může stát vodítkem pro práci mnohých odborníků a praktiků.


7.

Literatura:

1) KALHOUS, Zdeněk, OBST, Otto aj. Školní didaktika. 1. vyd. Praha: Portál 2002. ISBN 80-7178-253-X. 2) KRAINER, K. Teacher Education as Research – a Trend in European Mathematics Teacher Education (http://www.pedf.cuni.cz/k_mdm/vedcin/cerme2/wg3.htm) 3) MIKOVÁ, Marcela. Poznámky k úlohám domácí části I. kola 50. ročníku MO v kategoriích A, B, C. Matematika. Fyzika. Informatika. 2002, roč. 11, č. 6, s. 335 - 341. 4) PRÍDAVKOVÁ, Alena – ŠVEDA, Dušan. Výber žiakov 4. ročníka ZŠ do tried s rozšíreným vyučováním matematiky. Matematika. Fyzika. Informatika. 2000, roč. 9, č. 9, s. 524 - 532. 5) NOVÁK, Bohumil. Učitel a matematické vzdělávání v podmínkách humanizace. Matematika, fyzika a informatika, 1998/99, roč. 8, č. 2, s. 82-84. ISSN-1210-1761. 6) NOVÁK, Bohumil, UHLÍŘOVÁ, Martina. Prospective teacher´s comments on the level of difficulty of mathematical problems. In: Proceedings International Symposium Element. Maths Teaching. Praha: Prometheus 1997, s. 132-134. ISBN 80-7196-077-2. 7) PASCH, M. aj. Od vzdělávacího programu k vyučovací hodině. 1. vyd. Praha: Portál 1998. 8) SEMADENI, Z. Developing Children´s Understanding of Verbal Arithmetical Problems. Praha: In: Proceedings International Symposium Elementary Maths Teaching. Prometheus, 1995. 9) VANĚK, Vladimír. Matematický talent. In: Sborník abstrakt a elektronických verzí příspěvků z XXI. mezinárodního kolokvia. Vyškov: VVŠ PV 2003. ISBN 80-7231-105-0. 10) VANĚK, Vladimír. Péče o talenty v matematických třídách gymnázií. Diplomová práce. Olomouc, 2002.

ŘEŠENÍ SOUTĚŽNÍ ÚLOHY JAKO PROSTŘEDEK ROZVOJE OSOBNOSTI ŽÁKA S NADÁNÍM PRO MATEMATIKU. Vladimír VANĚK- Bohumil NOVÁK

Recommend Documents