Řešení: 1. Metodou sčítací: Vynásobíme první rovnici 3 a přičteme ke druhé. 14, odtud x 2

Soustavy rovnic Metody řešení soustav rovnic o více neznámých jsou založeny na postupné eliminaci neznámých. Pro dvě lineární rovnice o dvou neznámých používáme metodu sčítací (aditivní), kdy vhodně vynásobíme rovnice tak, aby po jejich sečtení zůstala jen jedna z neznámých. Nebo metodu dosazovací (substituční), která spočívá v tom, že z jedné z rovnic vyjádříme jednu neznámou, dosadíme do druhé rovnice a dopočítáme. Obvykle metody kombinujeme. Začneme sčítací metodou výpočet jedné neznámé a potom dosazením dopočítáme druhou. Řešením soustavy je uspořádaná dvojice! Příklad: Řešte soustavu … 2x  y  4 x  3y  2 Řešení: 1. Metodou sčítací: Vynásobíme první rovnici 3 a přičteme ke druhé 2 x  y  4 / 3 x  3y  2 6x  3y  12 x  3y  2 7x  0y  14 , odtud x  2 .

Pro výpočet druhé neznámé vynásobíme druhou rovnici (–2) a sečteme s první: 2x  y  4 x  3y  2 /  2  7y  0  y  0 .

Řešením soustavy je  2 , 0  .

2. Metodou dosazovací: Vyjádříme například z první rovnice y  2x  4 a dosadíme do druhé rovnice . Potom x  32x  4  2 x  6x  12  2 7x  14 x 2   2, 0  . A nyní dosadíme do vztahu pro y : y  2x  4  4  4  0

3. Sčítací metodou vypočteme x :

2x  y  4 x  3y  2

/ 3

7x  0y  14 , odtud x  2 . Získanou hodnotu dosadíme do kterékoliv rovnice a vypočítáme y. Například z první rovnice 2x  y  4 je 4  y  4  y  0 .

Poznámka: Dosazovací metoda je velmi vhodná při řešení soustav rovnic, z nichž alespoň jedna není lineární.

Řešené příklady: 2x  y  1,5 5x  y   4x  y  33  x  . Řešení: Pokud bychom použili metodu sčítací, začali bychom úpravou 2. rovnice. Ale vyřešíme tuto soustavu dosazovací metodou. Když z první rovnice vyjádříme y  2x  1,5 , můžeme do druhé rovnice dosadit přímo a teprve potom provést potřebné úpravy. Do rovnice 5x  y   4x  y  33  x  dosadíme... 5x  2x  1,5  4x  2x  1,5  33  x  upravíme... 5 x  1,5  4x  2x  1,5  9  3x  5x  7,5  4x  x  10,5 0x  18 To neplatí pro žádné x , soustava tedy nemá řešení.

1. Řešte soustavu

2. Řešte soustavu 2x  y  1,5 5x  y   4x  y  33  x  . Řešení: Použijeme metodou sčítací. Nejprve upravíme druhou rovnici. 2x  y  1,5 5x  y   4x  y  33  x  2x  y  1,5 5x  5 y  4x  y  9  3x

2x  y   1,5 /  6 12x  6 y  9

Po vynásobení první rovnice (–6) a přičtení ke druhé

dostaneme ... 0  0 . Soustava má tedy nekonečně mnoho řešení. Jsou to všechny uspořádané dvojice čísel x ; 2x  1,5  , kde x  R .

3. Řešte soustavu

Řešení:

x

y 2

x

y 2

4 2 3 2x  y   32x  y   5 . 

 4 / 6 2 3 2x  y   32x  y   5 

3x  2y  4  24 2x  2 y  6x  3 y  5 3x  2y  20  4 x  y  5 / 2  5x  30 x  6

Dosadíme například do rovnice 3x  2y  20 . Potom  18  2y  20  y  19 . Řešením soustavy je dvojice   6 ,19  .

4. Řešte v R  R soustavu rovnic 26,5x  12y  75,5 5x  1,3y  24,5 . Řešení: Nejdříve vyřešíme dosazovací metodou. Z druhé rovnice je x 

24,5  1,3 y , 5

24,5  1,3 y  12y  75,5 . 5 Tuto rovnici bychom mohli násobit 5, abychom odstranili zlomek, nebo zlomek rozložit na dva a roznásobit  24,5 1,3 y  26,5      12y  75,5 5   5 129,85  6,89y  12y  75,5  18,89y  54,35 y  2,877 24,5  1,3 y Dopočítáme x   4,152 . 5

po dosazení do první rovnice dostaneme 26,5 

Kdybychom raději chtěli použít metodou sčítací, bylo by vhodné upravit koeficienty v rovnicích na celá čísla. Vynásobením obou rovnic 10 dostaneme 265x  120y  755 50x  13y  245 Navíc první rovnici můžeme dělit 5. 53x  24y  151 / 13 50x  13y  245 / 24 689x  312y  1963 1200x  312y  5880 1889x  7843 x  4,152 Potom dosazením do některé z rovnic by se dopočítala neznámá y  2,877 .

Poznámka: Na tomto příkladu už je vidět, že pokud budete řešit soustavu, která nevznikla jako ryze školní úloha, bude postup značně individuální.

5. Řešte v R  R soustavu x 2  xy  y 2  37 x  y 1 . Řešení: První rovnice je kvadratická, bude vhodné použít dosazovací metodu. Vyjádříme ze druhé rovnice x a dosadíme do první.

x 2  xy  y 2  37 x  y 1

x  1 y



1 y 2  1 y y  y 2

 37 1 2y  y  y  y  y 2  37 3y 2  3y  36  0 2

2

y 2  y  12  0 y 1,2 

y1  3  1  1  48  1  7   y 2  4 2 2

Zbývá dopočítat x . x 1  1 3  4 , x 2  1 4  3 . Soustava má tedy dvě řešení. Jsou to dvojice  4 , 3  a   3 ,  4  . 6. Řešte v R  R soustavu x 2  2y  0 4y 2  x  0 . Řešení: Použijeme dosazovací metodu. Mohli bychom vyjádřit z první rovnice neznámou y a dosadit ji do druhé rovnice nebo ze druhé rovnice vyjádřit x a dosadit do první. Vyjdeme-li ze druhé rovnice, vyhneme se počítání se zlomky. x 2  2y  0

4y 2  x  0



x  4y 2

4y 

2 2

 2y  0 16y  2y  0 ... rovnice vyšších stupňů, které nemají absolutní člen, upravujeme vytýkáním na součin: 2y 8y 3  1  0 Součin je roven nule, když je alespoň jeden z činitelů roven nule. Tedy buď 2 y  0 nebo 8 y 3  1  0 . 1 Potom y  0  x  0 nebo y 3  8 2 1 1  1 3 y    x  4     1. 8 2 2  1 Řešením soustavy jsou dvojice  0 , 0  a  1,  .  2 4

7. Řešte v R  R soustavu 6x 2  10x  y 2  0 xy  y  0 . Řešení: Druhou rovnici upravíme vytýkáním na součin a dál budeme počítat dosazovací metodou. Vyjádříme ze druhé rovnice a dosadíme do první. 6x 2  10x  y 2  0  y  0  x 1 y x  1  0

Postupně dosadíme do první rovnice 1. y  0  6x 2  10x  0 2x 3x  5  0



x1  0, x 2  

5 3

 5  Máme dvě řešení  0 , 0  a   , 0  .  3  2 2. x  1  6  10  y  0 y 2  16  y  4 Vypočítali jsme další dvě řešení  1, 4  a  1,  4  .

8. Řešte soustavu rovnic e 2 x 10x  4x 2  2xy   0

e 2 x 2x  y  4  0 .

Řešení: Protože e 2 x  0 (vždy!), zjednodušíme rovnice tak, že obě e 2 x vydělíme. Potom 10x  4x 2  2xy  0 2x  y  4  0 První rovnice není lineární, použijeme tedy dosazovací metodu. Ze druhé rovnice vyjádříme y … y  2x  4 a dosadíme do první rovnice:

10x  4x 2  2x 2x  4  0 10x  4x 2  4x 2  8x  0 2x  0  x  0  y  4 . Řešením dané soustavy rovnic je uspořádaná dvojice 0 ,  4  .

Příklady na procvičení: 1. Vyřešte soustavy rovnic a) 2x  3y  16 , 3x  2y  2 1 2 b) 3x  2y  5 , x  y  5 4 3 2x  3y x 8 c)  6, 2 2 y 4 1 3 5 d) ,   2x  1 3y  1 4 x  3 6y  1 e)

x  3y 4



x 4 2



y 4



3x  12 , 3x  2y  14  0 6

f)  8x  2y  6 , 12x  3y  9 g) 0,1x  0,3 y  0,1 , 0,3 x  0,2y  0,8

h) i)

x 3  2 , 3x  2y   23y  2 2y  1 x 3 2  , 2x  y  2  6  x 2y  1 3

2. Řešte soustavy rovnic a) x 2  y  2x  9  0 , x  y  3  0 b) 3x  3xy  0 , 3x 2  y 2  2x  0 c) 3x 2  6y  0 , e  x 4 y 2  x   0 d) y 2  4  0 , x 3  9x  0 e) 4x  y  12  0 , 1 

Výsledky:

x 0 y

3 2  2 , 3  , e) 8 , 2 , f) nekonečně mnoho řešení x ; 4x  3  , kde x  R , g)   2,1 , h) nemá řešení, i) 3 ,  1  2  2   1 2. a)  3 , 6  ,   2 ,1 , b)  0 , 0  ,   1,1  ,  , 1 , c)  0 , 0  , 1,  , d)  0 , 2  ,  3 , 2  ,  2 3    3, 2  ,  0,  2  ,  3,  2  ,   3,  2  , e)  4, 16  . 16 11 1. a)  2 , 4  , b)  ,  , c) 48, 28 , d) 3 2