Een kwestie van onderhoud en traditionele didactiek?

Rekenvaardigheden in havo-3 en -4

Een kwestie van onderhoud en traditionele didactiek?

10% van 100 = ?

Jonathan Buter (studentnummer 500554911)  Corderius College, Meerwegen Scholengroep, Amersfoort  Docent bovenbouw/onderbouw Mavo, Havo en VWO voor de vakken M&O en algemene economie Hans Jongejan (studentnummer 500541583)  Ichthus College, Veenendaal  Docent bovenbouw Havo en VWO voor de vakken M&O en algemene economie Begeleiders:  Uulkje de Jong, HvA  Eline Raaphorst, HvA

Voorwoord Onze dank gaat uit naar de directies van onze scholen die de weg baanden voor ons onderzoek, de collega’s die hun lessen voor onze interventie beschikbaar wilden stellen en de begeleiders van de HvA die met hun grondige kennis en creatieve ideeën ons ruimhartig geholpen hebben. Ichthus College: Wil de Beer: docent economie Gerrit Oomen: afdelingsleider Uulkje de Jong: begeleidster analytisch onderzoek, HvA Eline Raaphorst: begeleidster ontwerponderzoek en eindrapportage Corderius College: Sweder Hormann: docent economie Jan Roos: docent economie Ann Vandevelde: roostermaakster Uulkje de Jong: begeleidster analytisch onderzoek, HvA Eline Raaphorst: begeleidster ontwerponderzoek en eindrapportage

2

Inhoudsopgave Voorwoord……………………… ......................................................................................................................................................... 2 Inhoudsopgave………………........................................................................................................................................................... 3 Summary………………….. ............................................................................................................................................................... 7 1.

Inleiding....................................................................................................................................................... 9

1.1

Aanleiding ................................................................................................................................................... 9

1.2

Context van het onderzoek ....................................................................................................................... 10

1.3

Relevantie ................................................................................................................................................. 10

1.4

Doelstelling ............................................................................................................................................... 11

1.5

Centrale vraagstelling................................................................................................................................ 12

1.6

De opbouw van dit rapport. ...................................................................................................................... 12

2

Theoretisch kader ..................................................................................................................................... 13

2.1

Basale rekenvaardigheden ........................................................................................................................ 13

2.2

Referentieniveaus (zie voor nadere explicitering bijlage 4) ...................................................................... 14

2.3

Kaders van de overheid ............................................................................................................................. 14

2.4

Samenvatting basale rekenvaardigheden ................................................................................................. 15

2.5

Beheersing basale rekenvaardigheden ..................................................................................................... 15

3

Onderzoeksvragen en onderzoeksopzet analytisch onderzoek ................................................................ 18

3.1

Vraagstelling.............................................................................................................................................. 18

3.1.1

Definities van kernbegrippen/variabelen .................................................................................................. 18

3.1.2

Conceptueel model ................................................................................................................................... 19

3.1.3

Onderzoeksopzet ...................................................................................................................................... 19

3.1.3.1

Typering van het onderzoek...................................................................................................................... 19

3.1.3.2

Mate van generaliseerbaarheid ................................................................................................................ 19

3.1.3.3

Aanpak ...................................................................................................................................................... 19

3.1.3.4

Instrumentatie .......................................................................................................................................... 20

3.2

Uitwerking ................................................................................................................................................. 21

3.2.1

Dataverzameling ....................................................................................................................................... 21

3.2.2

Wat wordt verstaan onder basale rekenvaardigheden? ........................................................................... 21

3

3.2.3

Bij welke basale rekenvaardigheden bestaat een achterstand in havo-4? ............................................... 21

3.2.4.1

Sommen met inzicht ................................................................................................................................. 24

3.2.4.2

Sommen met plus en min ......................................................................................................................... 24

3.2.4.3

Sommen met vermenigvuldigen en delen ............................................................................................... 25

3.2.4.4

Sommen met procenten ........................................................................................................................... 25

3.2.4.5

Sommen met breuken............................................................................................................................... 26

3.2.5

Worden basale rekenvaardigheden onderhouden? ................................................................................. 26

3.2.5.1

Sommen met plus en min: Plus en min in leerjaar 1 ................................................................................. 27

3.2.5.2

Plus en min in leerjaar 2 ............................................................................................................................ 27

3.2.5.3

Plus en min in leerjaar 3 ............................................................................................................................ 28

3.4.5.4

Sommen met keer en gedeeld door in leerjaar 1 ..................................................................................... 28

3.2.5.5

Sommen met keer en gedeeld door in leerjaar 2 ...................................................................................... 29

3.2.5.6


3.2.5.7

Sommen met procenten in leerjaar 1 ....................................................................................................... 30

3.2.5.8


3.2.5.9


3.2.5.10

Sommen met breuken in leerjaar 1........................................................................................................... 31

3.2.5.11


3.2.5.12


3.2.5.13

Sommen met eerstegraads vergelijkingen in leerjaar 1 ............................................................................ 33

3.2.5.14


3.2.5.15


3.2.6

Wordt er in de gebruikte methoden uitleg gegeven m.b.t. basale rekenvaardigheden? ........................ 35

3.2.6.1

Sommen met plus en min in leerjaar 1 ..................................................................................................... 35

3.2.6.2


3.2.6.3


3.2.6.4


3.2.6.5


3.2.6.6


3.2.6.7


4

3.2.6.8


3.2.6.9


3.2.6.10


3.2.6.11


3.2.6.12


3.2.6.13


3.2.6.14


3.2.6.15


3.2.7

Wordt in het vakwerkplan bij de verschillende vakken aandacht besteed aan het onderhoud van basale rekenvaardigheden? ................................................................................................................................. 43

3.2.8

Is er vakoverstijgend aandacht voor rekenonderhoud?............................................................................ 44

3.2.9

Is het gebruik van een rekenmachine toegestaan in leerjaar 1? ............................................................... 44

3.2.9.1

Is het gebruik van een rekenmachine toegestaan in leerjaar 2? ............................................................... 45

3.2.9.2

Is het gebruik van een rekenmachine toegestaan in leerjaar 3?...............................................................45

3.2.10

Stellingen……………………………………………………………………………………………………………………………………………..46

3.2.10.1

Stelling: Jongens hebben meer moeite met rekenen dan meisjes…………………………………………………………46

3.2.10.2

Stelling: Meisjes hebben meer moeite met rekenen dan jongens ............................................................ 46

3.2.10.3

Stelling: Er moet wat aan rekenvaardigheden worden gedaan……………………………………………………………..49

3.2.10.4

Stelling: Het is verstandig dat docenten (collega’s) zich bijscholen m.b.t. rekenvaardigheden ................ 50

3.3

Worden de basale rekenvaardigheden in havo-4 beheerst?.....................................................................50

3.3.1

Vergelijking toetsresultaten havo-4 met brugklas .................................................................................... 50

3.3.2

Vergelijking havo-4 met havo-3 ................................................................................................................ 51

3.3.3

Percentage goed beantwoorde opgaven brugklas havo, havo-3 en havo-4…………………………………………..52

3.4

Conclusie en aanbevelingen ...................................................................................................................... 55

3.4.1

Worden de basale rekenvaardigheden beheerst? .................................................................................... 55

3.4.2

Conclusie ................................................................................................................................................... 55

3.4.2

Aanbevelingen .......................................................................................................................................... 58

3.5

Evaluatie .................................................................................................................................................... 59

4

Ontwerponderzoek ................................................................................................................................... 60

4.1.1

Situatie ...................................................................................................................................................... 60

4.1.2

Probleemstelling ....................................................................................................................................... 61

5

4.1.3

Opzet interventie ...................................................................................................................................... 64

4.1.4

Het kader van de onderzoeksvraag. .......................................................................................................... 64

4.1.5

Onderzoeksvraag ...................................................................................................................................... 66

4.1.6

Werkwijze ................................................................................................................................................. 67

4.1.7

Kwalitatief onderzoek ............................................................................................................................... 68

4.1.8

Wat is het basale niveau ‘werken met procenten’ in havo-3 .................................................................... 68

4.2

Uitwerking ................................................................................................................................................. 70

4.2.1

De rekenlessen traditioneel en realistisch …, de proef op de som. (zie bijlagen 7 en 8)........................... 70

4.2.2

De beschrijving van het verloop van de lessen op het Ichthus College. .................................................... 71

4.2.3

Het verloop van de lessen op het Ichthus College. ................................................................................... 72

4.2.4

Beschrijving van de lessen op het Corderius College ................................................................................ 75

4.2.5

Nulmeting en Nameting ............................................................................................................................ 76

4.2.6

Beschrijving gegevens ............................................................................................................................... 84

4.2.7

Levert traditioneel rekenen meer op dan realistisch? .............................................................................. 86

4.2.8

Conclusie ................................................................................................................................................... 89

4.3

Evaluatie .................................................................................................................................................... 92

5

Eindconclusies en aanbevelingen .............................................................................................................. 93

1.

Bijlage: Enquête rekenvaardigheden ........................................................................................................ 96

2.

Bijlage: T-toets Corderius/Ichthus ............................................................................................................ 99

2.2

T-toets jongens/meisjes totaal ................................................................................................................ 100

2.3

T-toets jongens/meisjes Corderius College ............................................................................................. 101

2.4

T-toets jongens/meisjes Ichthus College ................................................................................................. 102

3.

Bijlage: rekentoets “Basale rekenvaardigheden” .................................................................................... 103

4.

Bijlage: Referentieniveaus ....................................................................................................................... 106

5.

Bijlage: Instaptoets procenten (0-meting) .............................................................................................. 125

6.

Bijlage: Eindtoets ‘procenten’ ................................................................................................................. 127

7.

Bijlage: Lesontwerpen, lessen volgens de traditionele methodiek ......................................................... 129

8.

Bijlage: Lesontwerpen, lessen volgens de realistische methodiek .......................................................... 139

9.

Bijlage: Instaptoets procenten (0-meting) .............................................................................................. 146

9.1

Eindtoets procenten……………………………………………………………………………………………………………………………148

6

Summary “Onze leerlingen kunnen niet meer rekenen!” is de klacht die regelmatig te horen is en te lezen valt in onderwijsland en er buiten: het rekenonderwijs in Nederland staat volop in de schijnwerpers. Veel organisaties maken zich zorgen over de afname van de rekenkennis. De groep deskundigen die, in hoofdlijnen, het slechte onderhoud van de rekentechnieken, de veranderende inzichten in de didactiek van het rekenen, waarin het traditionele rekenen grotendeels vervangen is door het realistische, de twijfel over de opleiding van docenten en de overladenheid van het lesprogramma als de schuldige aanwijst, wordt steeds groter. Zo ook op onze scholen. Weinig goeds is te horen over het gemiddelde rekenniveau van onze leerlingen. Breuken, procenten, indexcijfers, eerstegraadsvergelijkingen e.d., zijn voor veel leerlingen in havo-4 een brug te ver: “Ze kunnen niet meer rekenen!” is ook hier de uitroep. Reden voor ons om eens op onderzoek uit te gaan. Eerst analyseren wij het rekenniveau in havo-4, vervolgens onderzoeken wij of en zo ja hoe er systematisch rekenonderhoud wordt gepleegd op onze scholen. Dan proberen we in ons ontwerponderzoek aan te tonen dat rekenen volgens de traditionele methode effectiever is dan het rekenen volgens de realistische manier en tot slot trekken we conclusies en benoemen we een aantal aandachtspunten. Aan de hand van onderstaande vragen hebben we meer inzicht verkregen in het onderhouden van de basale rekenvaardigheden op onze scholen. • • • • •

Wat wordt verstaan onder basale rekenvaardigheden. Bij welke van de basale rekenvaardigheden bestaat er een achterstand in havo-4? Worden die basale rekenvaardigheden in de brugklas beheerst? Worden die basale rekenvaardigheden in havo-4 beheerst? Waardoor is een mogelijke achterstand ontstaan? o Worden de basale rekenvaardigheden in de brugklas verder ontwikkeld? o Worden de vaardigheden onderhouden in de onderbouw?  Beheersen de havo-4 leerlingen de basale rekenvaardigheden? o Wordt in de gebruikte methoden voldoende aandacht besteed aan rekenvaardigheden. o Worden de basale rekenvaardigheden bij de diverse vakken, te weten biologie, economie, management en organisatie, natuurkunde en scheikunde, systematisch onderhouden? o Is het onderhoud van rekenvaardigheden expliciet in de vakwerkplannen opgenomen. o Is er een vakoverstijgende aanpak van rekenvaardigheden?

De conclusie van ons analytisch onderzoek is dat systematisch onderhoud van de rekenvaardigheden op beide scholen ontbreekt. Dit wordt bevestigd door de geconstateerde feiten: 1. Systematisch onderhoud van de basale rekenvaardigheden wordt in geen van de vakwerkplannen genoemd en is op beide scholen ook geen onderdeel van gesprek; 2. In de lessen gaan veel docenten ervan uit dat die vaardigheden worden beheerst; 3. Rekenlessen vallen onder de vakgroep wiskunde, die de lessen vaak gebruiken voor wiskunde en dus niet voor rekenen; 7

4. Wiskundedocenten zijn niet geschoold in de didactiek van het rekenen en de meesten zijn niet op de hoogte van de verschillende didactische stromingen in het rekenonderwijs. 5. In de vakwerkplannen op beide scholen staat onderhoud van de rekenvaardigheden niet genoemd als vast onderdeel en is er dus nauwelijks aandacht voor dat onderhoud, om maar niet te spreken van vakoverstijgende aandacht. Ook is er geen beleid m.b.t. het gebruik van de rekenmachine tijdens de les. Over het algemeen is de rekenmachine al vanaf de brugklas toegestaan. Dit komt het hoogstwaarschijnlijk het zelfstandig toepassen van de hoofdbewerkingen niet ten goede: leerlingen verliezen daardoor hun vaardigheid en vermoedelijk ook een stuk getalbegrip. Goed onderhoud is de basis voor het hecht een duurzaam maken van o.a. de rekenvaardigheden. Daarom in hoge mate wenselijk dat de basale rekenvaardigheden in het geheel van de onderbouw systematisch onderhouden worden. Leerling en docent hebben er voordeel bij. De leerling omdat hij door een betere beheersing een hoger resultaat behaalt en daardoor meer zelfvertrouwen krijgt en de docent omdat hij meer en meer kan uitgaan van veronderstelde kennis. Aanbevolen wordt o.a. op beide scholen een rekendocent pur sang te benoemen die het rekenonderwijs van teen tot top systematisch gaat optuigen. Het tweede onderzoek, het ontwerponderzoek, geeft enerzijds inzicht in het effect van specifieke aandacht voor het rekenen met procenten en anderzijds op de vraag welke van de didactische methodes het meest effectief is: die van het traditionele rekenen of die van het realistisch rekenen. Aan de hand van een vijftal lessen ‘Procenten’ exclusief 0-meting en nameting, willen we aantonen dat de effectiviteit van het traditionele rekenen, dat, in tegenstelling tot het realistische rekenen, bouwt op het automatiseren en oefenen van het rekenen, groter is dan die van het realistisch rekenen. Die lessen worden vooraf gegaan van een 0-meting, vervolgens worden de lessen in twee groepen gegeven op respectievelijk de traditionele en realistische didactische manier en tot slot wordt aan de hand van een vergelijkbare toets de nameting gedaan. Een controlegroep moet de mogelijke vorderingen van de twee groepen in beeld brengen. Uit de resultaten van dit onderzoek blijkt enerzijds dat het aandacht schenken aan procenten op welke manier dan ook, positieve effecten heeft op de resultaten, waaronder ook op die van de controlegroep. Anderzijds zijn er geen significante verschillen in resultaat aan te wijzen tussen de lessen volgens de traditionele of realistische methode. Dit zou er op kunnen wijzen dat de verschillende didactische methoden geen effect heeft op de resultaten of het kan zijn dat de periode van vijf lessen te kort is geweest. Opvallend in het onderzoek is dat ook de controlegroep vooruit is gegaan, terwijl er geen expliciete aandacht is besteed aan procenten. Het blijft gissen hoe dit mogelijk is. Vermoedelijk hebben de leerlingen na het afnemen van de 0-meting bewust of onbewust meer aandacht gekregen voor procenten: een overigens niet geheel onbekend verschijnsel in de literatuur. (zie het Hawthorne-onderzoek, waarin door Elton Mayo zijn theorie bewees dat naast objectieve factoren ook subjectieve bepalend zijn voor het resultaat, zoals aandacht). Onze hypothese dat traditioneel rekenen leidt tot een hoger resultaat is dus niet bewezen.

8

1.

Inleiding

1.1

Aanleiding

In de media wordt veel geklaagd over het taal- en rekenniveau van de leerlingen en studenten in het VO en BO en universitair onderwijs. • “Het Nederlands onderwijs is over het algemeen goed. Nationaal en internationaal onderzoek wijst dat uit. Toch zijn er een aantal knelpunten, dat de kwaliteit van het onderwijs bedreigen. Veel leerlingen beheersen taal en rekenen onvoldoende.” Min van OC&W, 2009 •

“Steeds meer scholieren moeite met rekenen en taal”. Inspectie onderwijs

•

“Spellen en rekenen kunnen de leerlingen van tegenwoordig niet meer zo goed. Maar wat zijn ze geweldig wanneer het op presenteren aankomt”. Volkskrant 22-12-2009

•

Leerkrachten in spe kunnen niet rekenen Meer dan de helft van de eerstejaars pabo-studenten presteert slechter op rekentoetsen dan een goede basisschoolleerling uit groep 8. Dat blijkt uit grootschalig onderzoek van toetsdeskundigen G. Straetmans en T. Eggen van de Cito-groep. Zij hebben een rekentoets ontwikkeld (wiscat) die het rekenvaardigheidsniveau van onderwijzers in spe meet ten opzichte van een goede leerling uit groep 8. Trouw 23-10-2010

•

Verpleegkundigen kunnen nog steeds niet rekenen Vier op de tien verpleegkundigen heeft nog altijd grote moeite met rekenen. Dit blijkt uit herhaling van het Nursing-onderzoek naar de rekenvaardigheid van verpleegkundigen. Uit het onderzoek blijkt dat 41 procent van de ondervraagde verpleegkundigen een 5 of lager scoort op de aan hen voorgelegde vragen. Het rekenonderzoek is in 2007 voor het eerst gedaan, toen scoorde 43 procent een onvoldoende. www.nursing.nl

Ook op onze scholen voor voortgezet onderwijs, te weten het Corderius College in Amersfoort en het Ichthus College in Veenendaal, is het een veel gehoorde klacht dat de leerlingen niet meer kunnen rekenen, lezen en schrijven. Bijna dagelijks hoor je uitspraken over rekenen als “Zelfs de meest basale rekenvaardigheden zijn niet aanwezig.” “Telkens moet ik de meest eenvoudige dingen weer uitleggen.” “Procenten? Praat me er niet van, ze kunnen het echt niet.” “Veel tijd gaat verloren met het opnieuw uitleggen van bekend veronderstelde rekenvaardigheden!” “Het wordt steeds erger!”. 9

1.2

Context van het onderzoek

Bovenstaande klachten worden op onze scholen met de regelmaat van de klok op verschillende podia en in verschillende leerjaren geuit door docenten van verschillende vakken: biologie, economie, management en organisatie, natuurkunde en scheikunde. Vooral in havo-4, de scheidslijn tussen onder- en bovenbouw, is het volgens veel docenten bijzonder problematisch. Procenten, breuken, hoofdrekenen, toepassen van eenvoudige basale rekenregels en het oplossen van eerstegraads vergelijkingen zijn voor veel leerlingen een stap te ver. Veel tijd in de les is gemoeid met het weer ophalen van de basale rekenregels en -vaardigheden en het weer uitleggen daarvan. Zo zijn procenten (verhoudingen), breuken en vergelijkingen voor de genoemde vakken een struikelblok. Een groot aantal leerlingen haalt uiteindelijk op termijn wel het niveau, maar voor een kleinere groep blijft het worstelen, en een kleine groep verliest door hun rekendeficiëntie(s) snel hun motivatie en haakt vroegtijdig af voor een vak waarvoor rekenen noodzakelijk is of, werpen zich geheel en al op de theorie. Op het Ichthus College bijvoorbeeld is in oktober 2010 in havo-4 na enkele opfrislessen een rekentoets afgenomen. De leerstof is uitgelegd aan de hand van het boek ‘M&O in balans’. Ook hebben de leerlingen extra geoefend m.b.v. ‘Jij en de cijfertjes’, rekenstof op niveau VMBO-4. De toets bestond uit elf vragen over procentberekeningen, indexcijfers en rekenen met vreemde valuta. Er konden achttien punten worden behaald. Het resultaat was dat 48% van de leerlingen een onvoldoende scoorde. Enkelen haalden slechts twee van de achttien punten. Helaas zijn er geen cijfers uit het verleden bekend die het waarheidsgehalte van de klacht “Het wordt steeds erger!” kunnen bevestigen. Daarbij komt dat het antwoord op de oorsprong van het rekenprobleem, niet eenvoudig is te geven. Een aantal algemene vragen zijn rondom dit probleem te stellen. Vragen die feitelijk om een antwoord roepen: 1. Worden de basale rekenvaardigheden slecht onderhouden? 2. Is het een didactisch probleem: realistisch rekenen of traditioneel rekenen? 3. Is het abstractieniveau van de leerling te laag m.a.w. zitten leerlingen op de verkeerde plek? 4. Zijn het de matig ontwikkelde rekenvaardigheden? 5. Een combinatie van …? Het is aannemelijk dat alle hiervoor genoemde factoren een rol spelen in het zoeken naar de oorzaken van de problemen op het gebied van de rekenvaardigheden. Nadat we eerst analytisch onderzoek hebben gedaan naar het onderhoud (1) van de rekenvaardigheden in de onderbouw van de havo, richten we onze interventie op de didactiek van het rekenonderwijs (2). De hierboven beschreven punten 3, 4 en 5 van de context worden niet nader onderzocht.

1.3

Relevantie

In al die jaren dat wij lesgeven is ons gebleken dat veel leerlingen in havo-4 bij de vakken Economie en Management en Organisatie in het begin van de bovenbouw havo niet voldoende in staat zijn eenvoudige rekenproblemen op te lossen. Zoals in de inleiding al is geschreven is in de les veel tijd gemoeid met het weer ophalen van de basale rekenregels en -vaardigheden en het weer uitleggen daarvan. De vraag is of dit komt door slecht onderhoud. Onderzoek, gedaan door de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen, 2007 heeft uitgewezen dat het voortgezet onderwijs te 10

weinig investeert in het onderhouden van rekenvaardigheden. Dit is echter in het algemeen gesteld en hoeft niet specifiek voor onze scholen te gelden. Daarom hebben gaan wij onderzoeken hoe het met het onderhoud van de basale rekenvaardigheden op onze scholen is gesteld. Een systematische aanpak van dat onderhoud zou namelijk bij de leerling kunnen leiden tot meer vaardigheid en daardoor meer begrip (traditioneel rekenen) of meer begrip en daardoor meer vaardigheid (realistisch rekenen). Zowel de leerling als het betrokken docentcorps heeft daar voordeel bij. De centrale vraag zal zijn of systematisch onderhoud als een omschreven vast onderdeel in het curriculum van de onderbouw is opgenomen. Dit wordt gedaan door middel van een analytisch onderzoek. Een belangrijk gegeven voor het rekenonderwijs in het algemeen is de cumulatieve structuur waarin rekenbegrippen en -procedures op elkaar voortbouwen. Om nieuwe kennis en vaardigheden te verwerven is beheersing van de eerder aangeleerde begrippen en vaardigheden van eminent voorwaardelijk belang. In de loop van de schooltijd moeten deze geïnternaliseerd worden en waar nodig verdiept, volgens Pisa (2003). In het proces van internaliseren zijn drie niveaus aan te duiden: 1. Paraat hebben van feiten en begrippen, routines, technieken en vaardigheden; 2. Functioneel gebruiken van kennis in een goede probleemaanpak, die toepassen, die gebruiken binnen en buiten het schoolvak; 3. Weten waarom, deze begrijpen en verklaren van concepten en methoden, het formaliseren, abstraheren en generaliseren, het blijk geven van overzicht. Consolidatie van de rekenkennis en -vaardigheden genoemd onder 1 en permanent onderhoud zijn in onze ogen de voorwaarden om een bepaald beheersingsniveau te behalen. Die consolidatie en het daarbij behorende onderhoud kan alleen worden bereikt indien de desbetreffende vakgroepen inhoudelijke en didactisch meer gaan samenwerken op het gebied van het basale rekenonderwijs. In het verleden zijn op onze scholen al pogingen gedaan om het aanbod van vaardigheden, waaronder rekenen, bij verschillende vakken in kaart te brengen en op elkaar af te stemmen. Dat is niet gelukt, omdat niemand precies lijkt te weten wat en met name wanneer vaardigheden bij andere vakken worden aangeleerd en onderhouden. De vraag in dit verband is of de rekenvaardigheden systematisch dat wil zeggen volgens een bepaald vooropgezet (gemeenschappelijk) didactisch plan, worden onderhouden. Het vermoeden bestaat bij ons dat een gemeenschappelijke systematische aanpak zou kunnen leiden tot een beter beheersingsniveau van de basale rekenvaardigheden. Een vermoeden dat een onderzoek meer dan rechtvaardigt.

1.4

Doelstelling

Het doel van ons analytisch onderzoek is meer inzicht te krijgen in de onderhoudsprocessen in het rekenonderwijs in het havo. We beperken ons daarbij tot de klassen 1 t/m 3. Daarnaast wil dit onderzoek een bijdrage leveren aan de verhoging van het basale rekenniveau. De opbrengst van dit onderzoek is van belang voor alle docenten van de twee scholen die betrokken zijn bij de ontwikkeling van de rekenvaardigheden van de leerling, maar die geen overzicht hebben over datgene wat aan systematisch rekenonderwijs wordt gedaan. In aansluiting op de conclusies en aanbevelingen van dit analytisch onderzoek wordt door ons een ontwerponderzoek gedaan waarin een exemplarische verbetering van de situatie in de schoolpraktijk wordt uitgeprobeerd en op zijn effecten onderzocht. Het ontwerponderzoek maakt de twee 11

stromingen op het gebied van de didactiek van het rekenonderwijs zichtbaar en moet zo mogelijk leiden naar het antwoord op de vraag bij welke didactische benadering, de traditionele of de realistische, de leerling het meeste profijt heeft. Daartoe worden een aantal lessen gegeven die enerzijds is geschoeid op de leest van de traditionele aanpak en anderzijds op die van het realistisch rekenen.

1.5

Centrale vraagstelling

De centrale vraag van het analytisch onderzoek is of er systematisch onderhoud basale rekenvaardigheden wordt gepleegd op onze scholen. Indien dit niet het geval is staat dit dan de ontwikkeling en een voldoende beheersing van de basale rekenvaardigheden in havo-4 in de weg? In het ontwerponderzoek wordt onderzocht of de gekozen didactiek, de didactiek volgens de traditionele of de realistische, een significante invloed heeft op de prestaties van leerlingen in havo3.

1.6

De opbouw van dit rapport.

Na de inleiding in hoofdstuk één komt in hoofdstuk twee het theoretisch kader aan de orde. In hoofdstuk drie is het Analytisch onderzoek opgenomen. In hoofdstuk vier is wordt het ontwerponderzoek nader belicht.

12

2 Theoretisch kader 2.1

Basale rekenvaardigheden

Het rapport “Over de drempels met rekenen”, een uitgave van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen (2007) geeft aan wat moet worden verstaan onder basale rekenvaardigheden. In dit rapport worden drie referentieniveaus m.b.t. het basale niveau genoemd: 1. 1F (Fundamentele kwaliteit: basisschool met een schooladvies vmbo-bb en vmbo-kb; 2. 2F (Fundamentele kwaliteit: eindniveau vmbo-bb, vmbo-kb, vmbo gt, en mbo niveau 2. 3. 3F (Fundamentele kwaliteit: algemeen eindniveau mbo niveau 4 en havo/vwo.

Figuur 1. Visualisatie van de verschillende referentieniveaus, SLO, presentatie VO-TF-conferentie 2010 Het 2F-niveau wordt het zogenaamde burgerschapsniveau genoemd, het niveau dat alle Nederlanders zouden moeten beheersen om op het gebied van rekenen maatschappelijk goed te kunnen functioneren). Volgens de studiegroep kan dat rekenniveau alleen gehaald worden als de verworven kennis en vaardigheden worden geconsolideerd, onderhouden en worden gebruikt binnen en buiten de lessen. Tevens vormen die kennis en vaardigheden de basis voor verdieping de zogenaamde S-niveaus. De S-niveaus zijn de streefniveaus. Het 2S-niveau is het niveau van onderbouw havo en vwo. Van leerlingen in havo-3 mag dus worden verwacht dat zij kunnen rekenen op 2S-niveau.

13

2.2

Referentieniveaus (zie voor nadere explicitering bijlage 4)

De referentieniveaus voor rekenen zijn onderverdeeld in vier domeinen: 1. Getallen 2. Verhoudingen 3. Meten en meetkunde 4. Verbanden Elk domein is bij rekenen opgebouwd uit de volgende onderdelen: 1. notatie, taal en betekenis, waarbij het gaat om de uitspraak, schrijfwijze en betekenis van getallen, symbolen en relaties en om het gebruik van wiskundetaal; 2. met elkaar in verband brengen, waarbij het gaat om het verband tussen begrippen, notaties, getallen en dagelijks spraakgebruik; 3. gebruiken, waarbij het gaat om rekenvaardigheden in te zetten bij het oplossen van problemen. Elk van deze drie onderdelen is steeds opgebouwd uit drie typen kennis, inzicht en vaardigheden, die als volgt te karakteriseren zijn: - paraat hebben: kennis van feiten en begrippen, reproduceren, routines, technieken; - functioneel gebruiken: kennis van een goede probleemaanpak, het toepassen, het gebruiken binnen en buiten het schoolvak; - weten waarom: begrijpen en verklaren van concepten en methoden, formaliseren, abstraheren en generaliseren, blijk geven van overzicht. (OC&W, 2010)

2.3

Kaders van de overheid

De overheid heeft met het Besluit van 17 juni 2010 (gepubliceerd onder nummer 265 in Staatsblad 2010) vastgesteld wat de minimale normen zijn waaraan een leerling bij het afronden van een bepaalde studie binnen het VO aan moet voldoen. Het rapport van de Expertgroep heeft daarbij als uitgangspunt gediend. Uit die kaders is af te leiden wat wordt verstaan onder basale rekenvaardigheden. REFERENTIEKADER

Fundamentele - en Streefniveaus

1

1S

F-Niveaus: Fundamentele kwaliteit, Functioneel Gebruik

2

1F 2F 2S

3 4

3F 3S

4F 4S

S-Niveaus: Streefkwaliteit, Formaliseren, Generaliseren en Abstraheren (= verdiepen) Doelen per leeftijdscategorie: 12, 16 en 18 jaar Voor rekenen zijn de niveaus 4F en 4S niet ingevuld, omdat het rekenen daar helemaal in meer geavanceerde wiskunde is opgegaan

Algemeen maatschappelijk niveau Drempels

Figuur 2. Referentiekader ( Rapport: Over de drempels met rekenen - eindrapport, Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen.) 14

Naast elk fundamenteel (F-niveau) wordt er ook telkens een streefniveau (S-niveau) aangegeven. De inhouden, voor zover van toepassing op het rekenen, van de verschillende referentieniveaus zijn opgenomen in de bijlage 4. Het gedefinieerde “Algemeen maatschappelijk niveau” (burgerschapsniveau) wil zeggen, wat het niveau is dat elke leerling ongeacht in welke type onderwijs hij onze school verlaat toch minimaal zal moeten behalen. De leerling moet ongeacht het type onderwijs tenminste het 1F-niveau te hebben. Een leerling die start in een havo/vwo-groep zal op 1S moeten zitten. Een leerling een met Vmbo-tl diploma, moet het 2F hebben. Een gediplomeerde havist of Vwo’er zal minimaal moeten beschikken over een referentieniveau 3F.

2.4

Samenvatting basale rekenvaardigheden

De fundamentele niveaus (1F, 2F en 3F) richten zich op basale kennis en inzichten en zijn gericht op een meer toepassingsgerichte benadering van rekenen.

Figuur 3. Referentieniveau met daarin de diverse opleidingen. Wettelijk is vastgesteld dat leerlingen moeten beheersen: 1F bij overgang van PO naar VO 2F bij overgang van VMBO-tl naar MBO / HAVO 2F bij overgang van HAVO-3 naar MBO 3F bij overgang van HAVO / VWO naar HBO of WO De streefniveaus (1S, 2S en 3S) bereiden al voor op de meer abstracte wiskunde.

2.5

Beheersing basale rekenvaardigheden

Uit internationaal vergelijkend onderzoek (TIMSS: Trends in International Mathematics and Science Studies, 1982 -2003) is gebleken dat in 2003 de Nederlandse leerlingen de rekenvaardigheden goed beheersten; alleen Japan en Vlaanderen deden het beter. Wel werd geconstateerd dat er een kleine achteruitgang optrad tussen de resultaten van 1995 en 2003. In het Pisa onderzoek “Wiskundige geletterdheid volgens PISA (Programma for International Student Assesment, 2006)” komt men ook 15

tot de conclusie dat de Nederlandse leerlingen van 15 en 16 jaar niet slecht scoren t.o.v. andere landen, 48% van de leerlingen scoren op niveau en hoger, maar dat tevredenheid over dat resultaat niet geheel op zijn plaats is als in aanmerking wordt genomen dat het de ambitie is Nederland als kennisland te ontwikkelen. In het rapport “Over de drempels met rekenen” wordt geconcludeerd dat 1. het percentage leerlingen dat op referentieniveau de basiskwaliteit bevredigend is; 2. het percentage leerlingen dat op het tweede referentieniveau de streefkwaliteit 2S bereikt niet bevredigend is. Het rapport concludeert verder dat er geen reden is om aan te nemen dat de kwaliteit van het rekenonderwijs beneden de maat is, hoewel de prestaties van groepen leerlingen die nu voortgezet onderwijs volgen minder worden in vergelijking met een aantal jaren geleden. (Pisa 2007 en Dr. P. Vos). Bij nadere beschouwing echter blijkt dat deze constatering in de bovengenoemde onderzoeken volgens prof. Dr. Jan van de Craats, hoogleraar wiskunde en maatschappij aan de UvA, niet geheel juist is. Die opgaven in TIMSS en PISA zijn volgens hem geen representatieve afspiegeling van het domein rekenen. Het is dan ook onverantwoord, aldus Van der Craats, uit de onderzoeken algemene conclusies te trekken over het peil van het Nederlandse onderwijs. Ook bij het rapport van PISA zet hij de nodige kanttekeningen. Er wordt bij het PISA-onderzoek nauw aangesloten bij het huidige realistisch rekenonderwijs. Feitelijk worden de vaardigheden gemeten volgens de huidige realistische inrichting van dat onderwijs en worden niet zozeer de rekenvaardigheden die leerlingen zouden moeten beheersen in beeld gebracht. Volgens de hoogleraar geeft dit een vertekening van de rekenwerkelijkheid. Met die werkelijkheid is het volgens hem droevig gesteld. Hij vat de ernst samen in een aantal vragen: • Welke didactische blunders hebben de narigheid m.b.t. het rekenen veroorzaakt? • Wat is er mis met het lesmateriaal? • Hoe komt het dat matige en zwakke leerlingen al in groep 4 van het basisonderwijs een geweldige hekel hebben aan rekenen? • En hoe komt het dat zelfs de beste leerlingen op school niet meer leren hoe je vlot en foutloos getallen kunt optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen? Volgens Van der Craats c.s. ligt aan probleem van de slechte rekenvaardigheden het zgn. realistisch rekenen ten grondslag. Het Freudenthal Instituut is de grote promotor van dat op vooral op inzicht gebaseerde rekenen. Een van de propagandisten is voormalig hoogleraar Adri treffers. Volgens hem 1. moeten leerlingen hun eigen kennis construeren d.w.z. dat leerlingen moeten worden gestimuleerd om vanuit een realistisch probleem zelf kennis te construeren. Bij een rekenprobleem moet een leerling zich iets kunnen voorstellen. Vanuit die voorstelling gaat hij het probleem uitwerken en oplossingsmethodes construeren. 2. zijn modellen, schema’s en symbolen de brug om de diverse aanpakken van rekenen te ontwikkelen. Zij zullen leiden tot meer gestructureerde kennis. Die kennis leidt weer tot abstracte kennis. 3. moeten leerlingen in het kader van het bedenken van oplossingen kunnen reflecteren op die oplossingen door bijvoorbeeld het stellen van vragen en door het interactief vergelijken van zijn oplossingsmethode met die van een ander. 4. gestimuleerd worden de samenhang in de rekenleerstof te ontdekken. Rekenonderwijs is namelijk een samenhangend geheel van toepassingen, kennis, inzichten en vaardigheden. De docent heeft daarin een coachende rol. 16

Kortom, het realistisch rekenen heeft volgens Adri Treffers tot doel een samenhangend toepasbaar, geïntegreerd geheel van kennis en vaardigheden te ontwikkelen. Ook Liesbeth van der Plas (2008), voormalig docent wiskunde, ziet enorme problemen in het rekenonderwijs. Zij wijst de volgende oorzaken van de geringe rekenvaardigheid van de brugklasser aan: • Het eindeloos opzeggen en herhalen van tafels wordt gezien als ouderwets. • Het veelvuldig oefenen van gelijksoortige sommetjes wordt gezien als dom en overbodig. • De Cito-toets bevat geen echte breuken en worden daarom niet of nauwelijks geoefend. • De rekenmethoden van het basisonderwijs bevatten te weinig basis-oefenmateriaal. • De breukvaardigheid van de gemiddelde leraar in het basisonderwijs is onvoldoende. Ook zij heeft problemen met de uitkomsten van het PISA-onderzoek. Volgens haar zegt dit niets over de beheersing van de rekenvaardigheden die noodzakelijk goed te kunnen functioneren. Ondanks de discussies over het niveau van beheersing van de basale rekenvaardigheden moeten we een ijkpunt hebben om het niveau van de basale rekenvaardigheden te meten. Dat niveau vinden we in het rapport “Over de drempels met rekenen” waarin de werkgroep “Expertgroep doorlopende leerlijnen” zich uit over het gewenste rekenniveau in havo-4. Of onze leerlingen dit niveau halen staat op beide scholen regelmatig ter discussie. Daarom moet de door ons gemaakt rekentoets uitkomst bieden. Alles overziende komen verschillende vragen boven: 1. Is het te wijten aan slecht onderhoud in de opeenvolgende leerjaren van de onderbouw van de havo? 2. Is de onvoldoende beheersing van de basale rekenvaardigheden te wijten aan het realistisch rekenen? 3. Is het te wijten aan het te weinig oefenen van de rekenvaardigheden, zoals het traditionele rekenen dat voorstaat? In ons Analytisch Onderzoek doen we onderzoek naar het onderhoud van de basale rekenvaardigheden; het OntwerpOnderzoek heeft tot doel aan te tonen dat het rekenen volgens de traditioneel didactische methode tot een hoger resultaat leidt dan de methode van het realistisch rekenen.

17

3 Onderzoeksvragen en onderzoeksopzet analytisch onderzoek 3.1

Vraagstelling

Hoofdvraag: “Komt in de leerjaren havo-1 t/m havo-3 het onderhoud van de rekenvaardigheden systematisch en in samenwerking met en tussen de verschillende vakken tot stand?” In het kader van de onderzoeksvraag is het van belang de volgende deelvragen te onderzoeken: • • • • •

3.1.1

Wat verstaan we onder basale rekenvaardigheden. (literatuuronderzoek) Bij welke van de basale rekenvaardigheden bestaat er een achterstand in havo-4? (toetsing) Worden die basale rekenvaardigheden in de brugklas beheerst? (toetsing) Worden die basale rekenvaardigheden in havo-4 beheerst (toetsing)? Waardoor is een mogelijke achterstand ontstaan? o Worden de basale rekenvaardigheden in de brugklas verder ontwikkeld? o Worden de vaardigheden onderhouden in de onderbouw? (enquête)  Beheersen de havo-4 leerlingen de basale rekenvaardigheden? (toetsing) o Wordt in de gebruikte methoden voldoende aandacht besteed aan rekenvaardigheden. o Worden de basale rekenvaardigheden bij de diverse vakken, te weten biologie, economie, management en organisatie, natuurkunde en scheikunde, systematisch onderhouden? (enquête) o Is het onderhoud van rekenvaardigheden expliciet in de vakwerkplannen opgenomen. (enquête) o Is er een vakoverstijgende aanpak van rekenvaardigheden? (enquête)

Definities van kernbegrippen/variabelen

1. Onderhoud basale rekenvaardigheden in havo-1 t/m havo-3. - Met onderhoud wordt bedoeld de wijze waarop de basale rekenvaardigheden regelmatig en op een systematisch en in samenhang aan de orde komen in de leerjaren havo-1 t/m havo-3. - Met basale rekenvaardigheden wordt bedoeld (Van De Craats, 2007) het vlot en zonder aarzelen kunnen toepassen routines, technieken en vaardigheden m.b.t. tot het rekenen met natuurlijke getallen, kommagetallen en breuken en de daarvan afgeleide procenten. 2. Beheersing basale rekenvaardigheden in havo-4. Met beheersing van de basale rekenvaardigheden wordt bedoeld dat leerlingen in havo-4 de basale rekenvaardigheden kunnen toepassen bij de vakken biologie, economie, management en organisatie, natuurkunde en scheikunde. De verwachting is dat leerlingen in havo-4 rekenvaardiger zijn als de basale rekenvaardigheden in de leerjaren daaronder systematisch en in samenhang worden onderhouden.

18

3.1.2 Conceptueel model

In samenhang

Onderhoud basale

Beheersing basale

Rekenvaardigheden

rekenvaardigheden

H1, H2, H3

In havo-4

Systematisch

Figuur 4. Conceptueel model

3.1.3 Onderzoeksopzet 3.1.3.1

Typering van het onderzoek

Het onderzoek is exploratief of verkennend: een onderzoek dat de mogelijke samenhang beschrijft tussen het onderhoud van de basale rekenvaardigheden (onafhankelijke variabele) en de beheersing van die rekenvaardigheden (afhankelijke variabele). Daartoe zal de bestaande situatie worden geanalyseerd in het licht van onderliggende oorzaken en factoren.

3.1.3.2

Mate van generaliseerbaarheid

Dit onderzoek wordt uitgevoerd op twee scholen. Dit geeft de mogelijkheid tot vergelijking van de uitkomsten en daarop gebaseerde conclusies. De verwachting is dat de uitkomst in principe generaliseerbaar is. Dit betekent dat systematisch onderhoud van de rekenvaardigheden - het paraat hebben van feiten en begrippen, routines, technieken en vaardigheden - ook buiten de onderzochte populatie kan leiden tot betere rekenvaardigheden in havo-4.

3.1.3.3 1.

Aanpak

Allereerst is het nodig om het begrip ‘basale rekenvaardigheden’ te ontleden. Middels literatuuronderzoek en onze eigen ervaring een willen we een voorstel neerleggen bij de vakgroepleiders van de vakken biologie, economie, management en organisatie, natuurkunde en scheikunde in onderling overleg komen tot een, in principe, eensluidende definitie van het begrip ‘basale rekenvaardigheden’. Welke rekenvaardigheden verwachten wij dat leerlingen beheersen?

19

2.

3.

4.

Daarna willen we, met behulp van een nog samen te stellen toets, de beheersing van de ‘basale’ rekenvaardigheden meten. Omdat het voor wat de tijd betreft niet mogelijk is om een specifiek cohort havoleerlingen over opeenvolgende jaren te toetsen, hebben we ervoor gekozen om de leerlingen van havo-1 tot en met havo-4 van één cursusjaar te toetsen. Vervolgens lijkt het ons zinvol om te inventariseren in hoeverre de methoden van de vakken biologie, economie, management en organisatie, natuurkunde en scheikunde die op het Corderius College en het Ichthus College gebruikt worden, aandacht besteden aan onderhoud van de (hierboven onder punt 1 gedefinieerde) ‘basale’ rekenvaardigheden. Tot slot willen we ook inzicht krijgen in het onderhoud door docenten zelf van de basale rekenvaardigheden. Hiervoor willen we de vakgroepleiders en/of docenten enquêteren. Hoewel het interview hiervoor ook een prima middel zou kunnen zijn, hebben we uit een organisatorisch oogpunt (beschikbaarheid van collega’s en tijd) voor een enquête gekozen.

Samenvattend: 1. Beschrijving van de basale vaardigheden rekenen (literatuuronderzoek). 2. Opstellen toets basale rekenvaardigheden. 3. Basismeting niveau basale vaardigheden rekenen in havo-1 havo-3 en havo-4 in de vorm van eenzelfde rekentoets voor iedereen. 4. Onderzoek in hoeverre de methoden van de vakken biologie, economie, management en organisatie, natuurkunde en scheikunde aandacht besteden aan onderhoud van de basale rekenvaardigheden. 5. Enquête docenten van de vakken biologie, economie, management en organisatie, natuurkunde en scheikunde m.b.t. onderhoud basale rekenvaardigheden. 6. Analyses uitvoeren en rapporteren. 7. Conclusies en aanbevelingen.

3.1.3.4

Instrumentatie

Voor het vaststellen van de toets opgaven ten behoeve van ons onderzoek is gebruik gemaakt van “Over der drempels van rekenen”, een uitgave van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen taal en Rekenen (2008). Met behulp van dit rapport zijn de rekenopgaven gemaakt. (zie bijlage 3). De rekenopgaven zijn onderverdeeld in dertig opgaven niveau 1F, twee opgaven niveau 1S en acht opgaven niveau 2F. De opgaven 1S zijn onbedoeld in de toets gekomen. Om te bepalen of rekenvaardigheden worden onderhouden en/of ontwikkeld lijkt het van belang om na te gaan in welke mate de docenten van de verschillende vakken, en de vakgroep als geheel, waarde hechten aan de verschillende rekenvaardigheden. Het belang van specifieke rekenvaardigheden, het onderhoud en de ontwikkeling van rekenvaardigheden worden middels een enquête (zie bijlage 1) vastgesteld. De vragen in de enquête zijn zo opgesteld dat we de resultaten als frequentie kunnen weergeven. Aan het eind van de enquête hebben we de betreffende docenten een aantal stellingen voorgelegd. Aan de hand van deze stellingen trachten we te achterhalen of docenten verschillen ervaren in het beheersingsniveau van rekenvaardigheden algemeen tussen mavo-, havo, en vwo-leerlingen, allochtone en autochtone leerlingen en tussen meisjes en jongens. 20

3.2 Uitwerking 3.2.1

Dataverzameling

De enquêtes betreffende het belang, onderhoud en ontwikkeling van specifieke rekenvaardigheden zijn uitgezet op twee scholen, te weten het Corderius College te Amersfoort en het Ichthus College te Veenendaal. We hebben geprobeerd om alle docenten die lesgeven in havo-1, havo-2 en havo-3 van alle vakken waarbij rekenvaardigheden een rol spelen aan de enquête te laten deelnemen. De enquête is uitgezet onder 38 docenten, van wie er 30 gereageerd hebben. De enquêtes zijn door de betreffende docenten serieus ingevuld. Daarnaast is er op beide scholen in vier clusters havo-4, twee op het Corderius College en twee op het Ichthus College, een rekentoets afgenomen. De toetsen zijn door ons zelf afgenomen. Er deden zich geen bijzonderheden voor. De leerlingen hebben er serieus aan gewerkt. Met deze toets proberen we te achterhalen of de leerlingen de verschillende rekenvaardigheden beheersen. Op het Corderius College is dat de toets afgenomen onder 45 havo-4 leerlingen die het vak economie volgen. Op het Ichthus College is dezelfde toets afgenomen onder 44 havo-4 leerlingen die het vak Management en Organisatie (M&O) volgen.

3.2.2

Wat wordt verstaan onder basale rekenvaardigheden?

Met basale rekenvaardigheden bedoelen we het vlot en zonder aarzelen kunnen toepassen routines, technieken en vaardigheden m.b.t. tot het rekenen met natuurlijke getallen, kommagetallen en breuken en de daarvan afgeleide procenten. Deze vaardigheden vormen het fundament voor de rekenbewerkingen die van eminent belang zijn voor de vakken wiskunde, economie, management en organisatie (M&O), scheikunde, natuurkunde, biologie en aardrijkskunde.

3.2.3

Bij welke basale rekenvaardigheden bestaat een achterstand in havo-4?

Het niveau van de afgenomen toets (zie bijlage 4) is hoofdzakelijk gebaseerd op het verwachte fundamentele niveau voor groep acht basisonderwijs (1F). Twee vragen hebben het streefniveau (1S) en acht opgaven refereren aan het basale niveau van een vijftienjarige (2F): A. Met elkaar in verband brengen • Getallen en getalsrelaties • Structuur en samenhang B. Gebruiken • Memoriseren, automatiseren • Hoofdrekenen • Hoofbewerkingen • Bewerkingen met breuken • Berekeningen uitvoeren om problemen op te lossen De vragen zijn daarom ingedeeld in vijf categorieën: 1. inzichtvragen 21

2. 3. 4. 5.

sommen met plus en min sommen met keer en gedeeld door sommen met procenten sommen met breuken

Aan de hand van de grafieken worden de resultaten van het onderzoek getoond en in beeld gebracht.

22

Corderius en Ichthus College als geheel Percent

6,0%

4,0%

2,0%

0,0% 3 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 37

totaal aantal vragen goed Statistics totaal aantal vragen goed N

Valid

88

Missing

0

Mean

22,72

Median

23,00

Mode

23

Std. Deviation

6,943

Variance

48,206

Het totaal aantal vragen is 40 (zie bijlage 3). Opvallend is dat één leerling drie antwoorden goed heeft en dat er maar relatief weinig leerlingen zijn die een score boven de 32 haalt.

23

3.2.4 3.2.4.1 Ichtus College Corderius College

school

Opgavencategorieën Sommen met inzicht

20

Count

15

10

5

0 1 goed

2 goed

3 goed

4 goed

5 goed

6 goed

totale score inzichtvragen

Er zijn in totaal zes inzichtvragen gesteld. Opvallend is dat het Ichthus College significant beter scoort op inzicht dan het Corderius College (zie bijlage 2: T-toetsen).

3.2.4.2

Sommen met plus en min

Ichtus College Corderius College

school

12

10

Count

8

6

4

2

0 1 goed

2 goed

3 goed

4 goed

5 goed

6 goed

7 goed

8 goed

totale score plus- en minsommen

Er zijn in het totaal acht vragen gesteld met betrekking tot optellen en aftrekken. Ook hier valt weer op dat het Ichthus College het significant beter doet dan het Corderius College (zie bijlage: Ttoetsen). 24

3.2.4.3 Ichtus College Corderius College

school

Sommen met vermenigvuldigen en delen

10

8

Count

6

4

2

0 0 goed

1 goed

2 goed

3 goed

4 goed

5 goed

6 goed

7 goed

totale score keer- en gedeeld door sommen

Er zijn in het totaal zeven vragen gesteld met betrekking tot delen vermenigvuldigen en delen. Ook hier geldt dat het Ichthus College het significant beter doet dan het Corderius College (zie bijlage: Ttoetsen).

3.2.4.4

Sommen met procenten

Ichtus College Corderius College

school

12,5

Count

10,0

7,5

5,0

2,5

0,0 0 goed

1 goed

2 goed

3 goed

4 goed

5 goed

6 goed

7 goed

totale score procentsommen

Er zijn in het totaal zeven vragen gesteld met betrekking tot procenten. Op het Ichthus College wordt er iets beter gescoord dan op het Corderius College maar het verschil is niet significant. (zie bijlage: T-toetsen). 25

3.2.4.5 Ichtus College Corderius College

school

Sommen met breuken

10

8

Count

6

4

2

0 0 goed

1 goed

2 goed

3 goed

4 goed

5 goed

6 goed

7 goed

8 goed

9 goed 10 goed

totale score breuken

Er zijn in het totaal tien vragen gesteld met betrekking tot breuken. Wederom doet scoren leerlingen van het Ichthus College significant beter dan leerlingen van het Corderius College (zie bijlage: Ttoetsen).

3.2.5

Worden basale rekenvaardigheden onderhouden?

Aan de docenten die lesgeven in havo 1, 2 en 3, in vakken waarbij rekenvaardigheden een rol spelen, is een enquête voorgelegd. In die enquête worden vragen gesteld over de aandacht die er besteed wordt aan de verschillende soorten rekenvaardigheden, waarbij ‘ja’ betekent dat er aandacht besteed wordt aan die rekenvaardigheden, ‘nee’ dat er geen aandacht aan besteed wordt en ‘niet relevant’ geeft aan dat rekenvaardigheden in dat betreffende leerjaar geen rol spelen. De antwoorden zijn geturfd en in grafieken weergegeven.

26

3.2.5.1 Ichthus College Corderius College

school

Sommen met plus en min: Plus en min in leerjaar 1

3

Count

2

1

0 nee

ja

onderhoud + en - in leerjaar 1

3.2.5.2

Plus en min in leerjaar 2

Ichthus College Corderius College

school

6

5

Count

4

3

2

1

0 nee

ja

niet relevant


27

3.2.5.3


school

Plus en min in leerjaar 3

8

Count

6

4

2

0 nee

ja


Er vindt op het Ichthus College meer onderhoud plaats als het gaat om rekenvaardigheden met betrekking tot optellen en aftrekken.

3.4.5.4

Sommen met keer en gedeeld door in leerjaar 1


school

3

Count

2

1

0 nee

ja

onderhoud * en / in leerjaar 1

28

3.2.5.5


school


6

5

Count

4

3

2

1

0 nee

ja

niet relevant


3.2.5.6



school

8

Count

6

4

2

0 nee

ja


Er vindt op het Ichthus College zowel in leerjaar 1, 2 en 3 meer onderhoud plaats als het gaat om rekenvaardigheden met betrekking tot vermenigvuldigen en delen dan op het Corderius College.

29


school

Sommen met procenten in leerjaar 1

3

Count

2

1

0 nee

ja

onderhoud procenten in leerjaar 1

3.2.5.8 Sommen met procenten in leerjaar 2 Ichthus College Corderius College

school

6

5

Count

4

3

2

1

0 nee

ja

niet relevant


30


school


8

Count

6

4

2

0 nee

ja


Er wordt op het Corderius College in leerjaar 1 meer onderhoud gepleegd met betrekking tot rekenen in procenten dan op het Ichthus College. Op het Ichthus College vindt daarentegen vaker onderhoud plaats in leerjaar 2 en 3.

3.2.5.10 Sommen met breuken in leerjaar 1 Ichthus College Corderius College

school

3

Count

2

1

0 nee

ja

onderhoud breuken in leerjaar 1

31

3.2.5.11 Sommen met breuken in leerjaar 2


school

6

5

Count

4

3

2

1

0 nee

ja

niet relevant


3.2.5.12

Sommen met breuken in leerjaar 3


school

8

Count

6

4

2

0 nee

ja


Er vindt op het Ichthus College in leerjaar 1, 2 en 3 meer onderhoud plaats als het gaat om rekenvaardigheden met betrekking tot breuken dan op het Corderius College. 32

3.2.5.13 Sommen met eerstegraads vergelijkingen in leerjaar 1


school

3

Count

2

1

0 nee

ja

onderhoud 1e gr vergelijkingen in leerjaar 1

3.2.5.14 Sommen met eerstegraads vergelijkingen in leerjaar 2 Ichthus College Corderius College

school

6

5

Count

4

3

2

1

0 nee

ja

niet relevant


33


school

8

Count

6

4

2

0 nee

ja


Er wordt weinig onderhoud gepleegd met betrekking tot eerstegraads vergelijkingen. In leerjaar twee wordt er op het Ichthus College iets meer aandacht besteed aan het onderhoud van rekenvaardigheden met betrekking tot eerstegraads vergelijkingen dan op het Corderius College.

34

3.2.6

Wordt er in de gebruikte methoden uitleg gegeven rekenvaardigheden?

m.b.t.

basale

Door middel van een enquête hebben we de docenten die lesgeven in leerjaar 1, 2 en 3 van de havo gevraagd of er in de gebruikte methoden aandacht wordt besteed aan de verschillende rekenvaardigheden. De antwoorden van de verschillende docenten zijn geturfd en worden in de onderstaande grafieken weergegeven.

3.2.6.1

Sommen met plus en min in leerjaar 1


school

3

Count

2

1

0 nee

ja

uitleg in methode over + en - in leerjaar 1

35


school


6

5

Count

4

3

2

1

0 nee

ja


3.2.6.3



school

10

8

Count

6

4

2

0 nee

ja


In leerjaar 1 en 2 wordt er in de gebruikte methoden op het Ichthus College meer aandacht besteed aan rekenvaardigheden met betrekking tot optellen en aftrekken dan in de methoden die gebruikt worden op het Corderius College.

36


school


3

Count

2

1

0 nee

ja

uitleg in methode over * en / in leerjaar 1

3.2.6.5



school

5

4

Count

3

2

1

0 nee

ja


37

3.2.6.6


school


10

8

Count

6

4

2

0 nee

ja


In leerjaar 1 en 2 wordt er in de gebruikte methoden op het Ichthus College meer aandacht besteed aan rekenvaardigheden met betrekking tot vermenigvuldigen en delen dan in de methoden die gebruikt worden op het Corderius College.

38


school


3

Count

2

1

0 nee

ja

uitleg in methode over procenten in leerjaar 1

3.2.6.8



school

8

Count

6

4

2

0 nee

ja


39


school


10

8

Count

6

4

2

0 nee

ja


Op het Corderius College wordt er vooral aandacht aan rekenvaardigheden met betrekking tot procenten in de gebuikte methoden in leerjaar 1. Op het Ichthus College in leerjaar 2 en 3.


school

3

Count

2

1

0 nee

ja

uitleg in methode over breuken in leerjaar 1

40


school

Sommen met breuken in leerjaar 2

5

4

Count

3

2

1

0 nee

ja



school

10

8

Count

6

4

2

0 nee

ja


Er wordt in de gebruikte methoden op het Ichthus College in alle jaren meer aandacht besteed aan rekenvaardigheden met betrekking tot breuken dan in de methoden die gebruikt worden op het Corderius College.

41


school

Sommen met eerstegraads vergelijkingen in leerjaar 1

4

Count

3

2

1

0 nee

ja

uitleg in methode over 1e gr vergelijkingen in leerjaar 1


school

5

4

Count

3

2

1

0 nee

ja


42


school

Count

6

4

2

0 nee

ja


Er wordt in de gebruikte methoden op het Ichthus College in alle jaren meer aandacht besteed aan rekenvaardigheden met betrekking tot eerstegraads vergelijkingen dan in de methoden die gebruikt worden op het Corderius College.

3.2.7

Wordt in het vakwerkplan bij de verschillende vakken aandacht besteed aan het onderhoud van basale rekenvaardigheden?


school

10

8

Count

6

4

2

0 nee

ja

weet niet

aandacht voor onderhoud in vakwerkplan

Volgens de enquête wordt er op het Ichthus College is er meer aandacht voor rekenvaardigheden in het vakwerkplan dan op het Corderius College. 43

3.2.8 Ichthus College Corderius College

school

Is er vakoverstijgend aandacht voor rekenonderhoud? 10

8

Count

6

4

2

0 nee

ja

weet niet

vakoverstijgende aanpak

Uit de enquête blijkt dat er zowel op het Corderius College als op het Ichthus College volgens de docenten weinig vakoverstijgende aandacht voor het rekenonderhoud is.

3.2.9

Is het gebruik van een rekenmachine toegestaan in leerjaar 1?


school

2,0

Count

1,5

1,0

0,5

0,0 altijd

soms/meestal

gebruik rekenmachine in leerjaar 1

44

nooit

3.2.9.1


school


6

5

Count

4

3

2

1

0 altijd

soms/meestal

nooit

niet relevant


3.2.9.2



school

12

10

Count

8

6

4

2

0 altijd

soms/meestal


In alle jaren wordt het gebruik van een rekenmachine relatief vaak toegestaan.

45

3.2.10

Stellingen

Aan de docenten die lesgeven aan havo 3 in de vakken waarin rekenvaardigheden een belangrijke rol spelen, zijn de onderstaande stellingen voorgelegd. Zij konden hierin aangeven of ze het met de stellingen oneens, enigszins oneens, enigszins eens of eens zijn. 3.2.10.1 Stelling: Jongens hebben meer moeite met rekenen dan meisjes Ichthus College Corderius College

school

8

Count

6

4

2

0 oneens

enigzins oneens

enigzins eens

eens

jongens meer moeite met rekenen

3.2.10.2

Stelling: Meisjes hebben meer moeite met rekenen dan jongens


school

5

4

Count

3

2

1

0 oneens

enigzins oneens

enigzins eens

eens

meisjes meer moeite met rekenen

46

weet niet

De ervaring geeft weer dat meisjes iets meer moeite hebben met rekenen dan jongens. Het is op zich interessant om deze veronderstelling te staven aan de praktijk. De onderstaande grafieken geven het verschil in scores tussen meisjes en jongens. Grafiek 3.2.10.2-2 vrouw man

sexe

Vergelijking totale score inzichtvragen tussen jongens en meisjes

50,0%

Percent

40,0%

30,0%

20,0%

10,0%

0,0% 1 goed

2 goed

3 goed

4 goed

5 goed

6 goed


Jongens scoren significant beter op inzichtvragen (zie bijlage 2.2 en 2.3) (p = 0,002) Grafiek 3.2.10.2-3

Vergelijking totale score plus- en minsommen tussen jongens en meisjes

vrouw man

sexe

40,0%

Percent

30,0%

20,0%

10,0%

0,0% 1 goed

2 goed

3 goed

4 goed

5 goed

6 goed

7 goed

8 goed


Jongens scoren niet significant beter op plus- en minsommen (zie bijlage 2.2 en 2.3)

47

Grafiek 3.2.10.2-4

vrouw man

sexe

Vergelijking totale score keer- en gedeeld door sommen tussen jongens en meisjes

30,0%

Percent

20,0%

10,0%

0,0% 0 goed

1 goed

2 goed

3 goed

4 goed

5 goed

6 goed

7 goed


Jongens scoren niet significant beter op keer- en gedeeld door sommen (zie bijlage 2.2 en 2.3) Grafiek 3.2.10.2-5

Vergelijking totale score procentsommen tussen jongens en meisjes

vrouw man

sexe

40,0%

Percent

30,0%

20,0%

10,0%

0,0% 0 goed

1 goed

2 goed

3 goed

4 goed

5 goed

6 goed

7 goed


Jongens scoren significant beter op procentsommen dan meisjes (zie bijlage 2.2 en 2.3). (p = 0,012) 48

Grafiek 3.2.10.2-6

vrouw man

sexe

Vergelijking totale score breuken tussen jongens en meisjes

12

10

Count

8

6

4

2

0 0 goed

1 goed

2 goed

3 goed

4 goed

5 goed

6 goed

7 goed

8 goed

9 goed 10 goed


Jongens scoren op sommen met breuken niet significant beter dan meisjes (zie bijlage 2.2 en 2.3)

3.2.10.3 Stelling: Er moet wat aan rekenvaardigheden worden gedaan Ichthus College Corderius College

school

8

Count

6

4

2

0 enigzins oneens

enigzins eens

eens

weet niet

er moet wat aan rekenvaardigheden gedaan worden

49

3.2.10.4


school

Stelling: Het is verstandig dat docenten (collega’s) zich bijscholen m.b.t. rekenvaardigheden

5

4

Count

3

2

1

0 oneens

enigzins oneens

enigzins eens

eens

weet niet

verstandig bijscholing rekenvaardigheden

Op het Corderius College vindt men over het algemeen dat er meer gedaan moet worden aan rekenvaardigheden. Op het Ichthus College is men daar minder van overtuigd. Dit verschil lijkt te verklaren uit het gegeven dat er op het Ichthus College over het algemeen al veel meer aandacht wordt besteed aan de verschillende rekenvaardigheden. Helaas is door de vraagstelling niet vast te stellen of de meerderheid ook vindt dat zij zich zelf zouden moeten laten bijscholen met betrekking tot rekenvaardigheden.

3.3

Worden de basale rekenvaardigheden in havo-4 beheerst?

In bijlage 3 staan de rekenvaardigheden die getoetst zijn bij leerlingen van de brugklas, havo-3 en havo-4. Ook de referentieniveaus zijn in de toets aangegeven. De resultaten zijn in grafieken gezet en verder zijn de resultaten uit de verschillende groepen met elkaar vergeleken en tot slot zijn de verschillen geïnterpreteerd.

3.3.1

Vergelijking toetsresultaten havo-4 met brugklas

De toets is afgenomen in de brugklas en in havo-4. Hieronder staat in de grafiek op de x-as de opgaven en op de y-as de percentages. De kolommen zijn de goed beantwoorde vragen van de brugklas. Op de blauwe lijn geeft de goed beantwoording weer van havo-4. Over het algemeen scoort havo-4 hoger dan de brugklas en dat is ook te verwachten. De verschillen in antwoorden van een aantal opgaven tussen havo-4 en de brugklas zijn niet groot. Twee opgaven 15 1458 : 27 = 16 Een spelcomputer kost € 257,40. Piet spaart per week € 7,80 voor deze computer. Hoeveel weken moet hij sparen?

worden in de brugklas beter gemaakt dan in havo-4. 50

De laatste tien opgaven zijn moeilijk te vergelijken, omdat het tempo in havo-4 aanmerkelijk hoger lag dan in de brugklas. Veel brugklassers hebben die opgaven niet gemaakt, waarschijnlijk door tijdnood. Wel is voor de vragen die wel beantwoord zijn hetzelfde verloop in goede antwoorden waar te nemen. Opvallend is dat veel havo-4 leerlingen niet in staat zijn ‘

’ op te lossen, zowel

inzichtelijk niet als met het trucje: ‘Delen door een breuk is vermenigvuldigen met het omgekeerde’. Grafiek 3.3.1-1

De goed beantwoorde opgaven in procenten van de totaal onderzochte populatie van havo-4 (lijn) vergeleken met die van de brugklas (kolom).

3.3.2

Vergelijking havo-4 met havo-3

De verschillen tussen havo-4 en havo-3 zijn klein. Opvallend is wel dat sommige opgaven in havo-3 beter worden gemaakt. Dit geldt voor de opgaven: Opgave 5 6

Welk getal hoort op de plaats die de pijl aanwijst? ? 7

Opgave 6

0,1 0,09 0,9 0,111 Zet deze getallen in volgorde van klein naar groot.

Opgave 7

Rond 18,3496 af op 1 decimaal.

51

Opgave 15 Opgave 16

1458 : 27 = Een spelcomputer kost € 257,40. Piet spaart per week € 7,80 voor deze computer. Hoeveel weken moet hij sparen?

Opgave 17

Jan spaart € 15,- per week. Hoeveel is dat gemiddeld per maand?

Opgave 21

Recept voor witbrood. Een brood weegt 800 gram. Nodig: kg meel; 25 à 30 gram gist;

dl water; 1 lepel zout

Een bakker gebruikt 60 kg meel. Hoeveel liter water moet hij toevoegen? Opgave 23 Opgave 24

Schrijf

in een decimaal getal (1 decimaal).

Opgave 32 Opgave 36

Grafiek 3.3.2-1 120%

100%

80%

H4 goed

60%

H3 goed 40%

20%

0% 1

3

5

7

9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39

De goed beantwoorde opgaven in procenten van de totaal onderzochte populatie van havo-4 (kolom) vergeleken met havo-3 (lijn).

3.3.3

Percentage goed beantwoorde opgaven brugklas havo, havo-3 en havo-4

Hieronder staan de goed beantwoorde opgaven per klas nog een keer in tabel. Bij veel opgaven zijn de verschillen tussen brugklas, havo-3 en havo-4 niet exorbitant groot, bij een aantal wel. Wel is het opvallend dat havo-3 bij een aantal opgaven beter scoort dan havo-4. Dit zou mogelijk een gevolg kunnen zijn van het feit dat in het vorig cursusjaar het rekenonderwijs in havo-2 meer aandacht heeft 52

gekregen. Opvallend is ook dat veel opgaven gemaakt in havo-4 lager scoren dan 80%, terwijl verwacht mag worden dat leerlingen de elementaire basisbewerkingen beheersen. Dit zou kunnen wijzen op gebrekkig onderhoud van de basale rekenvaardigheden.

Percentage goed beantwoorde opgaven brugklas havo, havo-3 en havo-4 Tabel 3.3.3-1 Percentage goed beantwoord Brugklas

havo-3

havo-4

1

Referentie niveau 1F

71%

63%

72%

2

1F

89%

54%

91%

3

1F

82%

71%

81%

4

1F

32%

50%

51%

5

1F

79%

92%

88%

6

1F

89%

100%

88%

7

1F

79%

92%

70%

8

1F

25%

29%

65%

9

1F

71%

71%

79%

10

1F

50%

63%

63%

11

1F

89%

88%

88%

12

1F

57%

63%

74%

13

1S

79%

75%

86%

14

1F

46%

50%

58%

15

1F

68%

54%

49%

16

1S

46%

46%

42%

17

2F

7%

42%

26%

18

2F

36%

33%

47%

19

2F

43%

54%

63%

20

2F

46%

50%

63%

21

2F

7%

21%

12%

22

1F

89%

88%

88%

23

1F

46%

71%

58%

24

1F

43%

63%

53%

25

1F

39%

50%

72%

26

1F

71%

67%

70%

27

1F

50%

46%

56%

28

1F

50%

63%

84%

29

1F

50%

58%

72%

30

2F

21%

29%

30%

31

1F

14%

54%

60%

32

1F

25%

54%

37%

33

1F

43%

88%

88%

34

1F

46%

75%

91%

35

1F

39%

71%

72%

36

1F

18%

83%

67%

Opgave

53

37

1F

29%

54%

72%

38

2F

7%

25%

33%

39

2F

4%

0%

14%

40

1F

7%

25%

37%

Tabel 3.3.3-2 Gemiddeld percentage beheersing totaal opgaven Brugklas havo

47,1

Havo-3

58,1

Havo-4

62,3

Tabel 3.3.3-3

Tabel 3. Gemiddeld percentage beheersing referentieniveau 1F Brugklas havo

52,9

Havo-3

65,0

Havo-4

69,9

Tabel 3.3.3-4 Gemiddeld percentage beheersing referentieniveau 1S Brugklas havo

62,5

Havo-3

60,5

Havo-4

64,0

Tabel 3.3.3-5

Gemiddeld percentage beheersing referentieniveau 2F Brugklas havo

29,6

Havo-3

37,5

Havo-4

41,6

54

Tabel 3.3.3-6 Gemiddeld percentage goede antwoorden jongens en meisjes

3.4 3.4.1

Jongens

Meisjes

Brugklas havo

47,5

46,4

Havo-3

59,3

56,3

Havo-4

66,5

58,2

Conclusie en aanbevelingen Worden de basale rekenvaardigheden beheerst?

De verwachting voor de brugklas is dat het 1F-niveau, dat wettelijk is vastgesteld, bij de overgang van PO naar VO oor honderd procent wordt beheerst. Dat is echter helemaal niet het geval. Slechts 52,9% weet de toets op het eerder genoemd niveau voldoende te maken. Wel zit er bij het klimmen der jaren vordering in de ontwikkeling van de basale rekenvaardigheden. Echter de conclusie is gerechtvaardigd dat die ontwikkeling onvoldoende is gezien de lage score in havo-4. Slechts 64,3% beheerst de rekenopgaven op 1F-niveau. Als gekeken wordt naar het 1S-niveau, het zogenaamde streefniveau eind basisschool, dan zien we dat leerlingen in de brugklas beter beslagen ten ijs komen. Echter ook hier wordt gesignaleerd dat een verdere ontwikkeling niet of nauwelijks wordt bereikt. Er is zelfs een knik aan te wijzen in havo-3. Het 2F-niveau is begrijpelijkerwijs nog niet geheel besteed aan de brugklassers. Echter de vierdeklassers brengen het op dit niveau ook niet ver. 41,6% van de opgaven wordt voldoende gemaakt. Dit is begrijpelijk in het kader van de relatief lage beheersing van de niveaus 1F en 1S.

3.4.2 Conclusie Leerlingen in havo-4 rekenen over de hele linie beter dan leerlingen uit de brugklas en dat is ook logisch. Leerlingen ontwikkelen zich. Zo ook een ontwikkeling op het gebied van de basale rekenvaardigheden van brugklas havo naar havo-4. Die ontwikkeling is zichtbaar in alle bovenstaande tabellen. Echter het behaalde niveau beantwoordt niet aan datgene wat verondersteld mag worden op basis van het rapport van de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen (2007). Kijkend naar referentieniveau 1F kan geconstateerd worden dat meer dan 30% van de leerlingen in havo-4 dat niveau niet haalt. Ongeveer 35% haalt niveau 1S niet. Daarbij moet wel worden aangetekend dat er maar twee opgaven op dit niveau zijn getoetst. Bijna 60% van de leerlingen haalt niveau 2F niet, terwijl het 2S-niveau eind onderbouw havo in het verschiet zou moeten liggen. Het gewenste rekenniveau in havo-4 (2F) wordt dus niet gehaald door het gros van de leerlingen. Een relatief groot aantal leerlingen heeft zelfs moeite met niveau 1F. De hoofdbewerkingen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen worden door een aantal leerlingen onvoldoende beheerst. In de lessen biedt de rekenmachine uitkomst, maar die lost de beperkingen in het begrijpen van 55

getallen niet op. Vreemd is overigens dat leerlingen rekenvakken kiezen, zoals economie en M&O, terwijl zij soms ver onder de maat scoren op het gebied van rekenen. De rekenvaardigheden zijn in het toepassen van de hoofdbewerkingen bij een deel van die groep nauwelijks geconsolideerd en geautomatiseerd. Zoals blijkt uit ons onderzoek wordt er onvoldoende systematisch aandacht aan rekenvaardigheden bij de rekenvakken gepleegd. Ook de methoden per vak zijn niet gericht zijn op het onderhoud van de rekenvaardigheden. Methodeschrijvers en ook de vakdocenten gaan er vermoedelijk vanuit dat het rekenen op basaal niveau wordt beheerst. Uit onze rekentoets blijkt echter het tegendeel: systematisch onderhoud is noodzakelijk. Ook blijkt uit gesprekken die wij voerden met docenten wiskunde dat de rekenlessen, die wel op het rooster van de onderbouw staan, hoofdzakelijk met wiskunde worden ingevuld. Daarnaast gaven zij te kennen dat zij niet volledig op de hoogte zijn van de verschillende didactische benaderingen van het rekenen. Dat zou kunnen betekenen dat het rekenonderwijs niet of onvoldoende aansluit bij de vaardigheden van de leerlingen. Het geheel overziende is de rekenvaardigheid in havo-4 een bron van zorg. Generaliserend kan gesteld worden dat het rekenniveau op beide scholen feitelijk te laag is om in havo-4 een aantal nieuwe rekenvaardigheden te ontwikkelen: een goed fundament ontbreekt. Het ontbreken van systematisch onderhoud zou hier een van de oorzaken kunnen zijn? Uit de enquête is namelijk gebleken dat er geen systematisch vakoverstijgend onderhoud wordt gepleegd aan de basale rekenvaardigheden in de onderbouw van de havo. Dit wordt bevestigd door de volgende feiten: a. Uit onderzoek van de relevante vakwerkplannen blijkt dat systematisch onderhoud van de basale rekenvaardigheden in geen van de vakwerkpannen wordt genoemd; b. Het thema onderhoud was op beide scholen op het moment van onderzoek geen onderwerp van gesprek; c. Veel docenten gaan ervan uit dat de basale vaardigheden worden beheerst; d. Rekenlessen vallen onder de vakgroep wiskunde, die de lessen gebruiken voor wiskunde en niet voor rekenen. e. Er is geen beleid m.b.t. het gebruik van de rekenmachine. Iedere docent beslist zelf over het al of niet gebruiken in de les van het apparaat. In de dagelijkse praktijk zal iedere betrokken vakdocent waarschijnlijk wel iets doen aan de basale rekenvaardigheden, maar diezelfde docent heeft vaak geen weet vanuit welke beginsituatie hij dit doet. Is hij bijvoorbeeld voldoende op de hoogte van de eerder verworven basale kennis van de leerlingen en weet hij welke didactische methode is gebruikt t.a.v. de basale rekenvaardigheden? Op beide scholen is geen rekenbeleid geformuleerd. Daarmee is er geen aandacht voor de longitudinale rekenleerlijn, waarvan het rekenonderhoud deel uitmaakt. Dit betekent dus dat het systematisch onderhouden van de rekenvaardigheden geen vast onderdeel vormt van de relevante vaklessen. Uit persoonlijke gesprekken blijkt ook dat het lesgevend personeel onvoldoende op de hoogte is van de verschillende didactische benaderingen in het rekenonderwijs: de didactisch methode van het realistisch rekenen waar het inzicht centraal staat of de didactisch methode van het traditionele rekenen van het eindeloos oefenen eventueel zonder inzicht maar met op de (lange) termijn het vallende kwartje. In de onderbouw van de havo is op beide scholen in ieder geval geen 56

gemeenschappelijke didactische benadering te ontdekken. Dit betekent dat er binnen de vaksecties nauwelijks didactische afstemming is als het gaat om het rekenonderwijs om maar niet te spreken van een interdisciplinaire afstemming: het ene vak weet dus niet hoe het andere vak rekenen geeft en de rekenvaardigheden mogelijk onderhoudt. Meestal wordt er van uitgegaan dat leerlingen de basale rekenvaardigheden, zoals die in de vakgebieden naar voren komen, beheersen. Dit blijkt in de praktijk echter helemaal niet het geval te zijn. Tenslotte moet nog genoemd worden dat de vakmethoden en de vakdocenten verschillende oplossingsmethoden aanbieden. Die zouden kunnen leiden tot begripsverwarring bij de leerlingen en daarmee tot een mogelijk lager niveau van beheersing van de basale rekenvaardigheden. Resumerend: • Bij welke van de basale rekenvaardigheden bestaat er een achterstand in havo-4? Het basale rekenwerk op het niveau 1F en 1S wordt door iedere leerling beheerst. Er is daar sprake van een achterstand. Ook op het niveau 2F is zijn de rekenvaardigheden onvoldoende ontwikkeld. • Worden die basale rekenvaardigheden in de brugklas beheerst? Nee, een beheersingsniveau op het niveau 1F van 52,9% is te laag bij een te verwachten 100% score. De beheersing van het 1S-niveau ligt iets hoger. Daar is geen verklaring voor • Worden die basale rekenvaardigheden in havo-4 beheerst (toetsing)? Het beheersingsniveau is weliswaar gestegen, maar laat met percentages 69,6 voor 1F, 64,0 voor 1S en 41,6 voor 2F duidelijk te wensen over. • Waardoor is een mogelijke achterstand ontstaan? o Worden de basale rekenvaardigheden in de brugklas verder ontwikkeld? Nee, er is geen longitudinale leerlijn t.b.v. het rekenen. Wel wordt in de wiskundeboeken occasioneel aandacht besteed aan rekenen, maar dit is niet ingebed in een leerlijn.  Worden de vaardigheden onderhouden in de onderbouw? Nee, er is geen duidelijk rekenbeleid dat zich uitspreekt over onderhoud van de basale rekenvaardigheden.  Beheersen de havo-4 leerlingen de basale rekenvaardigheden? De leerlingen uit havo-4 hebben generaliserend geschreven een laag beheersingsniveau van de basale rekenvaardigheden. o Wordt in de gebruikte methoden voldoende aandacht besteed aan rekenvaardigheden. Nagenoeg alle methoden gaan ervan uit dat leerlingen het basale niveau van 1F en 1S beheersen. o Worden de basale rekenvaardigheden bij de diverse vakken, te weten biologie, economie, management en organisatie, natuurkunde en scheikunde, systematisch onderhouden? Nee, uit onderzoek van de methoden is gebleken dat er nauwelijks aandacht wordt besteed aan de basale rekenvaardigheden niveau 1F en 1S. Occasioneel wordt uitdrukken in procenten uitgelegd. o Is het onderhoud van rekenvaardigheden expliciet in de vakwerkplannen opgenomen. 57

o

3.4.2

Nee, uit onderzoek is gebleken dat in geen enkel vakwerkwerkplan sprake is van aandacht voor de basale rekenvaardigheden. Is er een vakoverstijgende aanpak van rekenvaardigheden? Nee, vakoverstijgende aanpak van de rekenvaardigheden is op dit moment geen onderwerp van overleg.

Aanbevelingen

Dit brengt ons tot de volgende aanbevelingen: 1. Beperk het gebruik van de rekenmachine in de onderbouw. Gebruik in leerjaar 1, 2 en 3 in toetsen eenvoudige getallen, zodat opgaven zonder rekenmachine kunnen worden uitgevoerd. 2. De vakgroep wiskunde moet de verantwoordelijkheid krijgen voor het consolideren en het systematisch onderhouden van rekenvaardigheden op de door de overheid en de school vastgestelde niveaus per leerjaar (F-niveaus en S-niveaus). 3. Het vak wiskunde werkt m.b.v. speciale rekenlessen naar het gewenste niveau toe, waarbij ook het onderhoud van eerder aangeleerde en toegepaste vaardigheden een belangrijke plaats krijgt. a. Speciale rekendocenten, geschoold in de didactiek van het rekenen, zijn daarvoor (voorlopig) noodzakelijk. b. Het systematisch onderhoud van de rekenvaardigheden moet per leerjaar plaatsvinden. 4. Per leerjaar worden de vorderingen van de leerlingen in beeld gebracht d.m.v. toetsing. a. De hiaten in kennis moeten zoveel mogelijk worden opgevuld. b. De leerlingen die de rekenvaardigheden onvoldoende beheersen moeten hun rekenvaardigheden ‘bijspijkeren’ al of niet met behulp van een docent. c. Leerlingen met een te laag niveau kunnen worden uitgesloten van bepaalde vakken. 5. In het vakwerkplan van de vakgroep wiskunde moet het een en ander worden verwoord. a. In een aanhangsel zal duidelijk en voor andere vakgroepen toegankelijk, omschreven moeten worden wat leerlingen per leerjaar moeten kunnen en op welke manier de vakgroepen AK, BI, EC, M&O, NA en SK daaraan een bijdrage kunnen leveren. Dit aanhangsel moet een onderdeel zijn van de vakwerkplannen van de onderscheiden vakgroepen, die op hun beurt het onderhoud van hun rekenonderwijs op schrift stellen in hun eigen vakwerkplan. Duidelijk moet worden welke rekenvaardigheden beheerst moeten worden en hoe en wanneer rekenvaardigheden onderhouden dan wel ontwikkeld worden. b. Tevens moet voor betrokkenen duidelijk worden weergegeven welke didactiek past bij welke rekenvaardigheid, zodat zoveel mogelijk wordt aangesloten bij de meest gangbare rekendidactiek 1. c. De vakgroepen, waarin rekenen een belangrijk onderdeel vormt, moeten zoveel mogelijk werken binnen het door de vakgroep wiskunde vastgestelde didactisch kader.

1

Volgens Lenie Kneppers en Wim van Kleef moet de economieleraar zich aansluiten bij de voor de leerlingen bekende methode van rekenen, het zgn. realistisch rekenen, ook als hij niet overtuigd is van de effectiviteit van deze methode. Het is volgens de beide didacticie zeer verwarrend als de leraar ineens met de traditionele methoden binnen economie gaat rekenen. (Zie factor D nummer 1/2 2010)

58

3.5

Evaluatie

Het analytisch onderzoek is afgerond. Wat wij als problematisch hebben ervaren is dat er op de HvA geen samenhangende en consistente onderzoekslijn is. Dit lijkt mij een leerpunt voor de HvA: de consistentie in de onderzoekslijn verbeteren. Veel vragen zouden wij achteraf anders gesteld hebben. Ook het werken met SPSS mag wat ons betreft eerder in de opleiding aan de orde worden gesteld. Veel begeleiders zijn de revue gepasseerd met allemaal hun eigen invalshoeken en hun eigen opvattingen. Dit leidde er soms toe dat we bij de één veranderingen moesten aanbrengen, terwijl de ander daar weer een correctie op gaf, zodat het oorspronkelijke weer werd hersteld. Het onderzoek zelf was goed om te doen. Het heeft onze vermoedens bevestigd dat het rekenniveau in havo-4 laag is. Een factor waarmee we in onze lessen weinig rekening hielden. Ook wij gingen er vanuit dat de basale rekenvaardigheden door de leerlingen werden beheerst. Vanaf nu halen checken wij eerst hoe de beginsituatie is van onze leerlingen en geven op grond van de uitkomst lessen in de basale rekenvaardigheden. Mooi is ook dat onze scholen aandacht hebben gekregen voor het rekenonderwijs. Een beleidsstuk is op grond van het bovenstaande geschreven en heeft ertoe geleid dat op het Ichthus College per ingang van augustus 2010 een docent rekenen is benoemd, die de coördinatie van het onderhoud en het leren rekenen op zich gaat nemen. Lastig is door de veelheid van data de grote lijn vast te houden. Zo hier en daar zijn we gestruikeld en moesten we de zaken opnieuw bezien, geholpen door de uitleg en de commentaren van Uulkje. Die hebben we bijzonder op prijs gesteld en heeft ons ook meer inzicht gegeven. Onze samenwerking is zeer goed geweest. Ieder van ons heeft zo zijn eigen specialisme ontdekt en ontwikkeld.

59

4 4.1.1

Ontwerponderzoek Situatie

Uit ons analytisch onderzoek (zie hoofdstuk 3) naar de beheersing van de basale rekenvaardigheden in havo-4 op het Corderius College en het Ichthus College is gebleken dat een groot aantal leerlingen een aantal basale rekenvaardigheden niet in voldoende mate beheerst. Onder basale rekenvaardigheden wordt verstaan de basisbewerkingen optellen en aftrekken en de moeilijkere bewerkingen vermenigvuldigen en delen. Deze vaardigheden vormen het fundament voor de rekenbewerkingen die van eminent belang zijn voor de vakken wiskunde, economie, management en organisatie (M&O), scheikunde, natuurkunde, biologie en aardrijkskunde. Er is reden om aan te nemen dat dit o.a. te wijten is aan gebrekkig onderhoud in de onderbouw van de havo en zo er al onderhoud wordt gepleegd dan is dat in hoge mate ongestructureerd en dus niet systematisch. Vakdocenten van onze scholen geven in ons onderzoek aan, dat: 1. er in hun vakwerkplan geen of weinig aandacht wordt besteed aan onderhoud van de rekenvaardigheden in de vaklessen; 2. er geen of weinig vakoverstijgende aandacht is voor onderhoud; 3. dat er geen didactisch beleid is t.a.v. het gebruik van de rekenmachine. In de dagelijkse praktijk zal iedere betrokken vakdocent waarschijnlijk wel iets doen aan de basale rekenvaardigheden, maar diezelfde docent heeft geen weet vanuit welke beginsituatie hij dit doet. Is hij bijvoorbeeld voldoende op de hoogte van de eerder verworven basale kennis van de leerlingen en weet hij welke didactische methode is gebruikt t.a.v. de basale rekenvaardigheden? Wij hebben in ons onderzoek o.a. geconcludeerd dat op ons beider scholen geen rekenbeleid is geformuleerd en daarmee is er dus geen aandacht voor de longitudinale rekenleerlijn, waarvan het rekenonderhoud deel uitmaakt. Dit betekent dus dat het systematisch onderhouden van de rekenvaardigheden geen vast onderdeel is van de relevante vaklessen. Verder is het onzeker of het lesgevend personeel voldoende op de hoogte is van de verschillende didactische benaderingen in het rekenonderwijs: de realistische didactische methode waar het inzicht centraal staat of de methode van het eindeloos oefenen eventueel zonder inzicht maar met op de korte of lange termijn het vallende kwartje. Uit een enquête gehouden onder docenten in de onderbouw van de havo is gebleken dat op beide scholen in ieder geval geen gemeenschappelijke didactische benadering ontwikkeld is. Dit betekent dat er binnen de vaksecties nauwelijks didactische afstemming is als het gaat om het rekenonderwijs om maar niet te spreken van een interdisciplinaire afstemming: het ene vak weet dus niet hoe het andere vak rekenen geeft en de rekenvaardigheden mogelijk onderhoudt. Meestal wordt er van uitgegaan dat leerlingen de basale rekenvaardigheden, zoals die in de vakgebieden naar voren komen, beheersen. Dit blijkt in de praktijk echter helemaal niet het geval te zijn (zie analytisch onderzoek). Ten slotte moet nog genoemd worden dat de vakmethoden verschillende oplossingsmethoden aanbieden. Dit zou kunnen leiden tot begripsverwarring bij de leerlingen en daarmee tot een mogelijk lager niveau van beheersing van de basale rekenvaardigheden. De rekenvaardigheden van leerlingen zouden verbeterd kunnen worden door te kiezen voor een gemeenschappelijke rekendidactiek die schoolbreed wordt toegepast. De vraag is dan welke? De 60

didactiek is namelijk in grote lijnen op te delen in twee stromingen. De ene stroming verdedigt het oefenen (inslijpen) van aangedragen oplossingsstrategieën, waarbij het begrijpen van de strategie van minder belang is: leerlingen zijn tot een bepaalde leeftijd niet in staat om strategieën werkelijk te begrijpen (Jan v/d Craats, 2007). Bij nieuwe onbekende soort sommen zal de leerling afhankelijk zijn van de docent om de juiste oplossingsstrategie te leren en daarmee de som te kunnen oplossen. Deze manier wordt de traditionele rekenmethode genoemd. De andere stroming, de realistische, verdedigt het ontdekken en ontwikkelen van oplossingsstrategieën door de leerling zelf en in samenwerking met anderen, waardoor een betere transfer mogelijk is naar andere rekenkundige problemen. Vervolgens kiest hij bij elke opgave de meest functionele strategie. Reële problemen uit de dagelijkse praktijk beschreven in contexten moeten in die didactische methode aanleiding zijn voor rekenopgaven. Kortom, in dialoog met anderen vergaren leerlingen kennis en koppelen nieuwe kennis aan bestaande kennis. Adri Treffers is een grote voorstander van het realistisch rekenen en is daarmee de opponent van Jan v/d Craats. In ‘Het rekentheater’ (2010), pleit hij voor een integrale invoering van het realistisch rekenen in het onderwijs. Door groepen leerlingen les te geven in werken met procenten op de traditionele wijze of de realistische wijze willen we bepalen welke didactiek de rekenvaardigheden met betrekking tot procenten het meest verbetert.

4.1.2

Probleemstelling

Het vak economie vraagt nogal wat vaardigheden van de leerling, met rekenvaardigheden in de hoofdrol. Een van de rekenvaardigheden die in havo-4 veel moeite oplevert, is het werken met procenten. De onderstaande tabellen illustreren dit, waarbij nog wordt opgemerkt dat de toets, fundamenteel niveau groep acht, afgenomen is in havo-4. Veel leerlingen uit havo-4 lopen stuk op relatief eenvoudige procentvraagstukken (niveau 1F en 1S). Zie hieronder. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

16% van € 180,- = € Op een jas van € 240,- wordt een korting gegeven van 15%. Hoeveel kost die jas nu? De huur van een huis is € 875,- per maand. De huur wordt verhoogd met 3%. Hoeveel is de nieuwe huur per maand. In een klas zitten 28 leerlingen. 7 van hen draagt een bril. Hoeveel procent van de leerlingen draagt een bril? In januari verdiende Klaas € 140,-. In februari € 168,-. Met hoeveel procent is het inkomen van Klaas in de maand februari gestegen? Aan de wandelvierdaagse doen 720 deelnemers mee. 7 van elke 8 deelnemers hebben na afloop blaren. Hoeveel procent van de deelnemers heeft geen blaren?

61

Tabel 4.1.2-1

Statistieken Statistics totale score procentsommen N

Valid

88

Missing

0

Aantal vragen

7

Mean (goede antwoorden)

4,06

Median (goede antwoorden)

4,00

Mode (goede antwoorden)

Tabel 4.1.2-2

5

Std. Deviation

1,902

Variance

3,617

Onafhankelijke t-toets Independent Samples Test

Valid

0 goed

Frequency 3

1 goed

10

Percent 3,4

Cumulative Percent 3,4

11,4

14,8

5,7

5,7

20,5

14,8

14,8

35,2

17,0

17,0

52,3

23

26,1

26,1

78,4

10

11,4

11,4

89,8 100,0

2 goed

5

3 goed

13

4 goed

15

5 goed 6 goed

11,4

Valid Percent 3,4

7 goed

9

10,2

10,2

Total

88

100,0

100,0

Het uitrekenen met behulp van de rekenmachine biedt bij het oplossen van een aantal vraagstukken ook geen soelaas, doordat rekenconventies (een kwestie van onderhoud?) niet juist worden toegepast. Dit probleem loopt soms door tot havo-5: een aantal examenkandidaten weet (nog) niet goed om te gaan met procenten en voelt zich in hoge mate onzeker bij opgaven waarbij het gebruik van procenten de oplossingsmogelijkheid is voor een vraagstuk. De problemen m.b.t. het werken met procenten in havo-4 spitsen zich vooral toe op: 1. Deel van het geheel, 2. Procentuele verandering, 62

3. Rekenen met procenten onder en boven het honderd. Voorbeelden: 1. Bij het uitdrukken in procenten worden in de diverse methoden verschillende manieren toegepast: •

2

3

Soms vinden leerlingen het problematisch om het geheel/uitgangspunt te zoeken: • In Duitsland kost een liter benzine € 1,35. In Nederland € 1,58. Hoeveel procent kost de benzine in Nederland meer dan in Duitsland 2.

Bij het uitrekenen van een relatieve stijging of daling worden ook diverse oplossingsmethoden gebruikt. • Ook wordt door diverse onderwijsgevenden de kruistabel toegepast, waarbij de leerling kruiselings moet vermenigvuldigen om het (bijna) juiste antwoord te krijgen.

3.

Rekenen met opgaven als • De inkoop is € 100. De brutowinst is 20% van de verkoop. Hoeveel is de verkoop? • De omzet is in 2010 gestegen met 10% t.o.v. 2009. De omzet in 2010 is € 220.000,Hoeveel was de omzet in 2009?

worden door veel leerlingen als moeilijk ervaren, waarschijnlijk omdat 1. zij geen (bij wiskunde eerder verworven) transfer kunnen maken naar eerstegraadsvergelijkingen, 2. zij in het kader van de opgaven geen eerder verworven oplossingsmethoden paraat hebben.

2 3

Praktische economie Percent (wordt gebruikt in havo-4)

63

4.1.3

Opzet interventie 1. Kader van de onderzoeksvraag met daarin een korte definiëring van realistisch rekenen en traditioneel rekenen a. Onderzoeksvraag b. Literatuuronderzoek. 2. Werkwijze 3. Wat is het basale niveau ‘werken met procenten’ in havo-3 a. Literatuuronderzoek b. Vaststelling en omschrijving van het basale niveau 4. Halen leerlingen in havo-3 dat basale niveau? a. Leerlingen maken een toets ‘procenten’ op basisniveau. b. Conclusie 5. Uitleg nieuwe leerstof met het basale niveau als uitgangspunt a. Uitleg vindt plaats in twee experimenteergroepen: i. Volgens de didactiek van het realistisch rekenen ii. Volgens de didactiek van het traditionele rekenen b. In een controlegroep wordt in het geheel geen uitleg gegeven. c. Conclusies 6. Beantwoording onderzoeksvraag

4.1.4 Het kader van de onderzoeksvraag. In ons analytisch onderzoek hebben we onder meer aangegeven dat er in het onderwijs van het rekenen grofweg twee didactische benaderingen zijn die mogelijk oorzaak kunnen zijn in de onvoldoende beheersing van de basale rekenvaardigheden in havo-4. De ene is die van het realistisch rekenen, die gebaseerd is op constructivistische ideeën: leerlingen vergaren kennis in dialoog met anderen en koppelen nieuwe kennis aan bestaande kennis. Bij het realistisch rekenen ontdekt en ontwikkelt de leerling in samenwerking met anderen uit het leerboek en van de docent diverse oplossingsstrategieën die passen bij de eigen leerstijl. Vervolgens kiest hij bij elke opgave de meest functionele. Overigens is de benaming realistisch rekenen een vreemde, want zij suggereert feitelijk dat andere didactische methoden niet realistisch zijn. Maar dit terzijde. Het Freudenthal Instituut is een fervent voorstander van deze manier van rekenen aanleren. Volgens Hans Freudenthal (Freudenthal, 1968) een van de grondleggers van deze benadering slagen de meeste mensen er niet in kennis van rekenen en wiskunde in het latere leven te operationaliseren d.w.z. praktisch te gebruiken. Het traditionele onderwijs faalt daarmee, omdat vrijwel niemand het geleerde ook werkelijk gaat toepassen. Het kernpunt van het realistisch rekenen is volgens Adri Treffers, hoogleraar wiskunde en werkzaam aan het bovengenoemd Instituut, de diversiteit aan rekenstrategieën waarover leerlingen moeten kunnen beschikken. Inzicht is dus voor de leerling van groot belang. Het domweg aanleren van rekentrucjes is uit den boze, aldus Treffers (Treffers, 2007). Ook moeten volgens hem de rekenopgaven contextrijk zijn met de bedoeling dat de leerlingen de relatie leren zien tussen hun (dagelijkse) rekenwerk en de hen omringende wereld. Zij moeten zover komen dat zij eigen oplossingsmodellen gaan gebruiken. Op die manier wordt het denken van de 64

leerling verdiept en worden ze vaardig hun rekenproblemen op te lossen. Samengevat zijn de uitgangspunten van deze vorm van rekenen: 1. De leerling kent actief betekenis toe aan zijn leerervaringen, 2. De ontwikkelingsprocessen worden door de leerling zelf gestuurd, 3. De leerlingen kennen zelf betekenis toe aan hun leerervaringen, 4. Leren en reflecteren door zelf te onderzoeken, 5. De leerling leert voor het leven, 6. Bronnen uit zijn eigen omgeving zijn bepalend, 7. De leerling leert omdat hij dat zelf wil, Het leren en didactische handelen op de manier, zoals Adri Treffers dit verwoord, is gebaseerd op het constructivisme. Het is moeilijk in kort bestek te duiden wat het constructivisme is. Wel is aan te geven dat er twee stromingen zijn: het sociaal- en individueel constructivisme. In de eerste stroming is leren een individuele praktijk: de individuele leerling en zijn individuele ervaringen staan centraal. Kennis wordt altijd voortgebracht door het verwerken van individuele ervaringen. In de tweede is leren een collectief proces: kennis wordt niet voortgebracht door mentale operaties van het individu, maar resulteert uit het samenleven. Het constructivisme lijkt de norm te zijn onder onderwijsvernieuwers. Veel opleidingen zijn bezig hun opleidingen vorm te geven vanuit een constructivistische opvatting over leren: pabo’s, mbo’s en in een eerder stadium het zogenaamde ‘nieuwe leren’ in de 2e Fase in het voortgezet onderwijs. In onderstaande figuur wordt de kanteling duidelijk gemaakt van de traditionele manier van leren naar de constructivistische i.c. de realistische. kenmerken

Traditioneel

Constructivistisch

1. Uitgangspunt

Lerende is object

Lerende is subject

2. Sturing

Extern

Intern

3. Inhoud

Gecodificeerde kennis

Context gebonden kennis

4. Proces

Verwerken van aangeboden kennis

Creëren van kennis

5. Doel

Kennis om de kennis

Kennis voor het leven

6. Bron

Context vrije kennisbronnen

Eigen context als bron

7. Motief

Extrinsiek omdat het moet

Intrinsiek: omdat je zelf wilt

8. Plaats

In een speciaal daarvoor ingerichte omgeving

Overal

9. Tijd

Op speciaal daarvoor aangewezen momenten

Altijd

Figuur 5: Schema kantelende opvattingen over leren (overgenomen uit Castelijns, Koster, Vermeulen, 2004) Kennis is volgens de constructivistische opvatting kennelijk niet iets, dat overdragen kan worden van mens op mens: mensen construeren hun eigen kennis binnen hun eigen (sociale) context. De consequentie is dan ook dat het organiseren van het leren er heel anders gaat uitzien zoals uit figuur 5 blijkt, zo ook het rekenen. 65

De voorstanders van het traditionele onderwijs, de tweede stroming, accepteren de schijnrealiteit van het realistisch rekenen niet (Van Putten, 2008). In het traditionele rekenonderwijs leert de leerling een bepaalde oplossingsstrategie bij een bepaalde soort opgave. Hij leert niet dat oplossingsstrategieën flexibel te gebruiken zijn. Daardoor zal hij bij onbekende opgaven afhankelijk zijn van de docent om de juiste oplossingsstrategie te leren en daarmee de opgave te kunnen oplossen. De voorstanders van dit onderwijs verwijten hun opponenten van het realistisch rekenen dat hun aannames niet zijn bewezen, niet empirisch onderbouwd. Dit betekent dat het nog maar de vraag is of het gebruiken van allerlei toekomstige realistische situaties bij leerlingen een positieve verandering te weeg brengt in het hanteren van rekenoplossingen. Het onderwijs moet een vrijplaats zijn om zonder last van praktisch nut en noodzaak kennis en vaardigheden op te doen. Daarom zou de doelmatigheid van de didactische methode van het realistisch rekenen moeten worden getoetst tegenover de andere didactisch methoden. Zolang dit niet is gebeurd, moet de methode van realistisch rekenen - de meeste basisscholen gebruiken deze didactische methode - niet meer worden gebruikt. Een van de grote voorstanders van het traditionele rekenen is Prof. Dr. Jan van der Craats (2007), hoogleraar wiskunde en maatschappij aan de UvA te Amsterdam, die een van de basisprincipes van het realistisch rekenen “Eerst begrijpen, dan pas oefenen” een mythe noemt: “Fietsen leer je ook door te fietsen en niet door het verwerven van inzicht hoe je de fiets in balans moet houden”. Op grond van onze ervaring in het onderwijs stellen wij ook vast dat uitleg waarom een opgave op een bepaalde manier moet worden aangepakt alleen niet altijd werkt. Wat wel werkt is het zelf maken van opgaven, waarbij trial and error de leermomenten zijn. Inzicht komt bij een groot aantal leerlingen pas achteraf. Uit het bovenstaande blijkt dat het in feite gaat om de vraag welke didactische aanpak effectiever is: onderwijs gericht op het versterken van de begripskennis (Je moet het gewoon weten! Conceptuele kennis) of onderwijs gericht op de dagelijkse werkelijkheid (Je moet het begrijpen. Contextuele kennis). In bovenstaand kader wordt onze onderzoeksvraag geformuleerd. Onze scholen staan op het punt het rekenonderwijs, onder meer op instigatie van de overheid, in de onderbouw een nieuwe impuls te geven. Gezien het bovenstaande is het enerzijds van belang onderhoud te plegen en anderzijds te weten welke didactische methode gevolgd zou moet worden: de methode van het realistisch rekenen (aansluiting bij de didactiek van de basisschool) of de traditionele methode van oefenen en nog eens oefenen.

4.1.5

Onderzoeksvraag

De onderzoeksvraag luidt: Leidt de traditionele didactiek met aangedragen oplossingsstrategieën tot een hoger resultaat van het rekenen met procenten dan de realistische didactiek waarbij de leerling eigen oplossingsstrategieën ontdekt en ontwikkelt? Dit onderzoek heeft tot doel aan te tonen dat het rekenen volgens de traditioneel didactische methode tot een hoger resultaat leidt dan de methode van het realistisch rekenen.

66

4.1.6

Werkwijze

Wij willen het werken met procenten als uitgangspunt nemen. In havo-3 worden in een tijdsbestek van vier weken een vijftal lessen gegeven op de didactisch manier van het realistisch rekenen en op de traditionele manier. Bij de eerste groep wordt alles zo inzichtelijk mogelijk gemaakt. Bij de tweede groep wordt de nadruk gelegd op het oefenen van opgaven zonder dat er geappelleerd wordt aan het ‘waarom’. Daarnaast is er een groep die geen extra rekenen krijgt. De populatie per groep is ongeveer 25. Dit geldt per school. Dus de totale populatie bestaat uit ongeveer 50 leerlingen per groep. De groepen zijn aselect gekozen, dat wil zeggen dat elke willekeurige havo-3 groep de kans kreeg gekozen te worden. Er vindt eerst een 0-meting plaats; aan het eind van het traject wordt een nameting gedaan met vergelijkbare opgaven. Vervolgens worden de vrijgekomen gegevens geïnterpreteerd en daar waar mogelijk, conclusies getrokken. Die zouden kunnen leiden tot een advies over de te hanteren rekendidactiek in de onderbouw. Voor het geven van de lessenserie is op het Corderius gekozen voor ervaren collega’s uit de vakgroep economie. Voor zover mogelijk is bij de verdeling van de lessenserie op traditionele en realistische didactiek over de docenten gekeken naar de wijze waarop de betreffende docent zijn lessen normaal gesproken geeft. Voorwaarde bij de keuze is in ieder geval geweest dat de docent positief staat ten opzichte van de door hem te gebruiken didactiek. Op het Ichthus College zijn alle lessen gegeven door de onderzoeker zelf. Gepokt en gemazeld in de didactiek van het traditionele rekenen, heeft hij na een gedegen studie van de didactiek van het realistisch rekenen, ook die lessen helpen samenstellen en verzorgen. De resultaten van de onderscheiden groepen worden na vijf lessen met elkaar vergeleken. Deze vergelijking vindt plaats door middel van een Manova-test (Multivariate ANalysis Of VAriance) voor gekoppelde steekproeven. Deze toets is vooral geschikt als je steekproef is ingedeeld in verschillende groepen en als nagegaan moet worden of deze groepen op een specifiek kenmerk van elkaar verschillen. Er zijn dus drie groepen, de ‘traditionele groep’, de ‘realistische groep’ en de ‘controlegroep’. Het kenmerk waarop we willen beoordelen of er tussen de drie groepen een significant verschil bestaat, in het aantal goede antwoorden. We gebruiken daarvoor een One-way Anova-test. (De groep waartoe een leerling behoort is nominaal, het aantal goede antwoorden is een ratiotestvariabele). We bepalen het verschil tussen de score voor- en na de lessenserie. De toets is gekoppeld, omdat de leerlingen die getoetst worden bij de nulmeting en de eindmeting in dezelfde groep zitten. Een variantieanalyse stelt enkele voorwaarden aan de data vooraleer deze toets uitgevoerd mag worden: • De afhankelijke variabele moet minstens van interval niveau zijn. De onafhankelijke variabele mag van nominaal niveau zijn maar moet numeriek gecodeerd zijn. • De samenstelling van de steekproef moet aselect voltrokken zijn • De steekproef moet getrokken zijn uit een populatie die de normaalverdeling benaderd. Voor de indeling van de groepen is gekozen voor bestaande klassen in havo-3. Het zijn alle reguliere havo-klassen waarbij ‘in principe’ willekeurig geplaatst zijn in de verschillende havo-3 klassen. Alle leerlingen hebben een Cito-score die past bij wat gebruikelijk is voor een havoleerling. Het is in de praktijk niet mogelijk om te voldoen aan alle voorwaarden om een test te mogen 67

uitvoeren. De totale populatie van een school is te klein en bovendien niet aselect. Leerlingen moeten aan bepaalde (minimale) voorwaarden voldoen voordat ze leerling van de school mogen worden.

4.1.7 Kwalitatief onderzoek Er zijn verschillende factoren die invloed hebben op het resultaat van de lessenserie die in de traditionele groep en de realistische groep worden gegeven om het resultaat van rekenen met procenten te verbeteren. Van invloed is bijvoorbeeld de attitude van zowel de docent als de leerlingen en de omvang en diversiteit van het materiaal. Omdat het niet mogelijk is om alle gegeven lessen te observeren en een enquête vaak maar beperkt inzicht geeft, is er gekozen om een interview/gesprek te houden met de docent en de groepen. De volgende onderwerpen komen in dat interview/gesprek in ieder geval aan de orde: - Is de docent professioneel genoeg om de lessen te verzorgen? - Heeft de klas naar behoren gewerkt aan het aangeboden materiaal? - Is het aangeboden materiaal (lessen en verwerkingsopdrachten) van voldoende kwaliteit? - Is de kwantiteit van het materiaal (verwerkingsopdrachten) voldoende? - Geeft het aangeboden materiaal leerlingen meer inzicht in het rekenen met procenten? (dit geldt met name voor de realistische methodiek) - Vergroot het aangeboden materiaal de vaardigheid van leerlingen met betrekking tot rekenen met procenten? (dit geldt met name voor de traditionele methodiek)

4.1.8 Wat is het basale niveau ‘werken met procenten’ in havo-3 Voordat de toets procenten is vastgesteld is onderzoek gedaan naar het verwachte aanwezige niveau van beheersing van procenten. Daartoe is de methode ‘Praktische Economie’ en ‘Percent’ onderzocht die op respectievelijk op het Ichthus College en het Corderius College in havo-3 wordt gebruikt worden. Daarnaast is informatie ingewonnen bij docenten wiskunde die lesgeven in havo 1, 2 en 3. Op grond van dit korte onderzoek en de uitkomsten van de gesprekken mag worden vastgesteld dat de leerstof procenten wel wordt en is behandeld in de eerst drie leerjaren. Van inbedding in de langlopende rekenkundige leerlijn, een lijn die de leerstof en de didactiek van het rekenen als een vakoverstijgend samenhangend geheel ziet, is echter geen sprake. De docenten wiskunde geven aan dat zij per leerjaar in een korte tijdspanne veel aandacht besteden aan procenten (In zowel havo-2 als havo-3 komen procenten in de maand december aan de orde). Onderhoud wordt volgens de wiskundedocenten impliciet gepleegd, aan de hand van in het leerjaar voorbijkomende opgaven in het wiskundeboek. Van systematisch (vakoverstijgend)onderhoud is dus geen sprake. Ook een eenduidige uitleg van procenten is niet aan de orde. Wat voor de een gruwel is, is voor de ander het beste. De een leert bijvoorbeeld bij procentuele daling/stijging: (nieuw – oud)/oud; de ander werkt met een kruistabel. De een leert bij het uitdrukken in procenten deel delen door het geheel maal 100%; de ander deel delen door 1% van het geheel maal 1%. Op grond van het bovenstaande mogen de vakdisciplines eind havo-3 de hier onderstaande punten 1, 2 en 3 als bekend veronderstellen: 1. Van procent naar een waarde, van waarde naar procenten, 2. Het uitrekenen van een procentuele daling of stijging en 3. Het werken met procenten onder en boven het honderd. 68

Bij punt 3 wordt de nadruk in het bijzonder gelegd op procenten boven het honderd. In de op onze scholen gebruikte vakmethoden ‘Praktische Economie’ en ‘Percent’ zijn procenten behandeld in september 2010 en met behulp van opgaven geoefend door de leerlingen o.l.v. de docent economie. In de methodes worden de basisvaardigheden zoals "Wat is een procent en wat is het verband tussen een procent en een breuk, tussen procent en perunage?” niet opnieuw behandeld. Kennelijk veronderstellen de auteurs van de methoden dat die basale kennis bij de leerlingen aanwezig is. De auteurs vallen namelijk met de deur in huis: leerlingen moeten 1. een absolute verandering, 2. een procentuele verandering, 3. met procenten een deel van het totaal uitrekenen, en 4. een procentuele vergelijking kunnen maken. In de voornoemde methodes wordt aandacht besteed aan de relatieve stijging en daling. Ook daar wordt de uitleg verwerkt in de vorm van opgaven. Ook worden procenten boven het honderd behandeld en wel in opgaven die over de BTW gaan. Tevens komen procenten in de methode impliciet in de leerstof en de opgaven aan de orde. Tot slot is de leerstof ‘procenten’ gematcht met de referentieniveaus ‘verhoudingen’, zoals die zijn vastgesteld door de Expertgroep Doorlopende Leerlijnen. Over drempels met rekenen: Referentieniveau 1 (12 jaar) Er is enige aandacht voor verhoudingen. 1F Die aandacht voor verhoudingen kenmerkt zich door: inzichtelijk met verhoudingen, breuken, procenten en kommagetallen werken, binnen betekenisvolle contexten, met vertrouwde getallen. 1S De streefkwaliteit omvat de onderdelen uit de fundamentele kwaliteit (1F) en is ten opzichte van hiervan een verdieping van de kennis en de vaardigheden. Deze verdieping kenmerkt zich doordat (wiskundig) redeneren, formaliseren en generaliseren verweven wordt met de onderdelen die ook op 1F voorkomen. Daarnaast komen op 1S formele bewerkingen met breuken in context van verhoudingen) en het gebruiken van procenten boven de 100 voor. Referentie niveau 2 (16 jaar) 2F De fundamentele kwaliteit van het tweede referentieniveau is een toespitsing op het gebruiken van de kennis en vaardigheden uit 1F. Deze fundamentele kwaliteit is op te vatten als een basis aan kennen en kunnen van rekenen en wiskunde, waar iedere Nederlander over zou moeten beschikken. Tegelijk is dit een goed startpunt voor toespitsing van de basiskennis op het gebruik van rekenen en wiskunde in een beroepssituatie. In veel toepassingssituaties komen verhoudingen voor, vaak ook in de vorm van procenten. Op 2F moet daarmee in toepassingssituaties goed gerekend kunnen worden. De rekenmachine kan daarbij als hulpmiddel worden gebruikt. 2S De streefkwaliteit op dit referentieniveau bouwt voort op de streefkwaliteit van het eerste referentieniveau (1S). Op 2S zit de verdieping onder meer in het legen van het verband tussen verhoudingen en meetkunde.

Op grond van het bovenstaande mag aangenomen worden dat het werken met procenten aangaande de punten 1, 2 en 3 als feitelijk als bekend mag worden verondersteld. Punt 4 is alleen aan de orde geweest bij de behandeling van de BTW, waarbij uit de consumentenprijs de BTW moet worden gehaald door de breuk 19/119 of 6/106. 69

In 0-meting (zie bijlage 5) komen alle punten aan de orde: 1. Van procent naar een waarde: opgave 1 2. Van waarde naar procenten: opgaven 2, 5, 14, 15 3. Het uitrekenen van een procentuele daling of stijging: opgaven 3, 6, 7, 9 4. Het werken met procenten onder en boven het honderd: opgave 4, 10, 11, 12, 13, 16, 17. De opgaven 10, 11, 12, 16 zijn opgaven met procenten boven het honderd. Met deze 0-meting brengen wij het niveau m.b.t. procenten in kaart. Die meting vormt het startpunt voor de interventie, die zoals eerder geschreven, zal bestaan uit een lessenserie op basis van traditioneel rekenen en één waar het traditionele rekenen de grondslag zal vormen.

4.2

Uitwerking

4.2.1

De rekenlessen traditioneel en realistisch …, de proef op de som. (zie bijlagen 7 en 8)

Het doel van het onderzoek is aantonen dat de traditionele didactiek, waarbij een aangeboden oplossingsstrategie wordt aangeboden en ingeslepen, in het rekenonderwijs meer oplevert dan de realistische methode, waarbij leerlingen zelf oplossingsstrategieën ontwikkelen. Omdat het onmogelijk is alle rekenvaardigheden in het onderzoek te betrekken, is gekozen voor het rekenen met procenten. Om aan te tonen dat de traditionele methodiek meer oplevert dan de realistische methodiek is de populatie is ingedeeld in drie groepen: • Groep 1 is de neutrale groep of controlegroep. Deze groep krijgt geen specifiek onderwijs in het werken met procenten. • Groep 2 is de traditionele groep. • Groep 3 is de groep die les krijgt volgens de realistische methodiek. Voor de indeling in groepen is gekozen voor bestaande klassen uit havo-3. Deze klassen kennen geen indeling op grond van specifieke kenmerken. Er zijn voor de traditioneleen realistische groep in het totaal vijf lessen uitgetrokken om vier verschillende procentsommen te behandelen. ‘ • Les 1 heeft betrekking op procentsommen waarbij een percentage van een waarde moet worden uitgerekend en waarden uitgedrukt moeten worden als percentage (hoeveel is 10% van 500 en hoeveel procent is 10 van 500). • Les 2 heeft betrekking op sommen waarbij een procentuele stijging of daling moet worden uitgerekend (hoeveel procent is 510 meer dan 500 en hoeveel procent is 500 minder dan 510). • Les 3 en 4 hebben betrekking op procenten boven- en onder het honderd (de prijs inclusief 19% btw is € 238,- en de brutowinst bedraagt 20% van de omzet en is € 50,-; hoeveel bedraagt de omzet). • Les 5 is een algemene herhaling. De controlegroep volgen de reguliere lessen economie. Eventuele procentsommen die in opgaven voorkomen, worden wel besproken. Het specifiek oefenen met procentsommen blijft echter achterwege.

70

De traditionele groep krijgt elk type procentsom een instructieblad met daarop een uitleg van de te gebruiken oplossingsstrategie. De oplossingsstrategieën zijn alle gebaseerd op de verhoudingstabel. / 100

€

400

%

100%

* 12

?

/ 100

?

1%

12%

* 12

De oplossingsstrategieën worden eerst klassikaal besproken. Daarna krijgen leerlingen een verwerkingsblad waarmee de aangedragen oplossingsmethode moet worden ‘ingeslepen’. De daarop volgende les worden de opgaven besproken, waarbij de nadruk ligt op het gebruik van de voorgeschreven oplossingsmethode. De realistische groep krijgt opgaven voorgelegd in de vorm van een context. Op basis van een schriftelijke situatieomschrijving (context) moeten in groepen opdrachten worden uitgewerkt die moeten leiden tot meer inzicht in verhoudingen (procenten). Het idee is dat leerlingen zelf oplossingsstrategieën ontdekken en/of ontwikkelen, waarbij de transfer, het toepassen van een strategie in een andere context, beter wordt ontwikkeld. De docent heeft een begeleidende rol, maar wordt niet geacht kant-en-klare strategieën aan te dragen. De les volgend op een opdracht, wordt deze door elke groep kort gepresenteerd en toegelicht.

4.2.2

De beschrijving van het verloop van de lessen op het Ichthus College.

De laatste week van maart zijn de voorbereidingen voor het geven van de rekenlessen getroffen. De lessen zijn gemaakt, met elkaar doorgesproken en getoetst op validiteit: passen de opgaven bij het realistisch rekenen of bij het traditionele. Vervolgens zijn afspraken gemaakt met een collega uit havo-3. Hij toonde zich in het geval van het Ichthus College bereid een zevental lessen, een aanslag op zijn programma, op te offeren om zo ruimte te maken voor mijn interventie. De toetsen en lessen zijn respectievelijk afgenomen en gegeven op 4 april en 30 mei, en op 11 april, 18 april, 25 april, 9 mei en 23 mei. Ten slotte zijn alle leerlingen uit de verschillende groepen geïnformeerd. Zij reageerden positief, temeer omdat het eindresultaat als cijfer zou meetellen. Zoals eerder is gememoreerd zijn er drie groepen gedefinieerd: een groep die moeten gaan rekenen volgens de realistische methode, een groep volgens de traditionele benadering en een controlegroep. Die groepen zijn willekeurig gekozen: van de elf groepen zijn er drie gekozen op basis van mijn beschikbaarheid. De instaptoets is voor alle leerlingen hetzelfde: opgaven verpakt in een kleine alledaagse context.

71

4.2.3

Het verloop van de lessen op het Ichthus College.

De manier van lesgeven staat niet los van de persoon die ze geeft. De vraag is dan interessant over welke didactische methoden een docent beschikt. Ook is interessant of die eigengemaakte methode het resultaat beïnvloedt. Mijn manier van lesgeven is samen te vatten in drie punten: 1. Directe instructie: de leerstof wordt op een directe en duidelijke wijze aan de leerling voorgelegd en uitgelegd. Ik geef les, de leerlingen luisteren en maken aantekeningen van het bord. De nadruk ligt op het verwerven van (feiten) kennis. 2. Indirecte instructie: de leerstof wordt niet geheel uitgelegd. De leerling moet een gedeelte zelf verwerken en verklaren. Indien de leerstof niet goed wordt begrepen dan wordt de methode van directe instructie gebruikt. 3. De participatiemethode van instructie: een leervorm waarin de leerlingen deelnemen aan het lesgeven. Leerlingen leren van en aan elkaar onder begeleiding van de docent. Aangezien leerlingen op verschillende manieren leren gebruik ik in de dagelijkse onderwijspraktijk de drie methoden, mede afhankelijk van de leerstof, door elkaar, waarbij de kerngedachten zijn dat de leerlingen individueel én samenwerkend leren, gedreven door innerlijke motivatie én externe prikkels, waarbij ik als docent het leerproces stuur.

Les 1.

Traditionele rekenen

In verband met het onderzoek heb ik bij de traditionele rekenmethode gekozen voor de directe instructie met oefenopgaven waarin dezelfde soort opgaven in rijtjes worden gemaakt. Het lesgeven lag enerzijds op de begripsvorming, en anderzijds op het mechanisch oplossen van de opgaven die eerst, zoals eerder gemeld, op het bord zijn voorgedaan. In les één werd uitgelegd respectievelijk herhaald wat procenten zijn. Doel was dat de leerlingen zouden begrijpen dat 1/100=0,01=1% (resp. breuk, perunage, procent). Vervolgens zijn de leerlingen met soortgelijke rijtjesopgaven aan de gang gegaan. Ondertussen heb ik gecontroleerd of de aangeboden manier van oplossen bij de leerling landde. Dit om te voorkomen dat hij per rij dezelfde fout zou maken. Daarna heb ik het uitdrukken in procenten behandeld. Als hulpmiddelen heb ik gebruikt (deel/geheel)/100% en een kruistabel. Waarom twee manieren? Een aantal leerlingen brachten deze verschillende oplossingsmethoden naar voren. Twee rijtjes werden gemaakt om een van deze methode, de leerlingen zijn daarin vrij gelaten, in te slijpen. Ten slotte moesten de leerlingen het geleerde toepassen in opgaven met een beperkte context. De leerlingen vonden de les de moeite waard: zij deden hun best om alles tot een goed einde te brengen. De volgende les moesten de aantekeningen van de eerste les zijn geleerd. Verder zijn er geen andere bijzonderheden voorgevallen die het resultaat van het onderzoek zouden kunnen beïnvloeden.

Les 1.

Realistisch rekenen

De methode van het realistisch rekenen is mij niet op het lijf geschreven. Ik heb namelijk zo mijn twijfels aan de gedachte dat leerlingen beter zouden leren als ze zelf ontdekken hoe ze dat moeten doen. Ik denk namelijk dat de meeste leerlingen een aanwijzing nodig hebben (methode 2 en 3), want je kunt m.i. niet verwachten dat zij allen in staat zijn zelfstandig te ontdekken, overigens 72

ontbreekt bij een aantal de neiging daartoe, hoe bepaalde dingen i.c. procenten werken. Die aanwijzing heb ik gegeven in de vorm van een korte herhaling van wat procenten zijn, hoe getallen uitgedrukt kunnen worden in procenten en wat de relevantie daarvan is. Daarna zijn de leerlingen in groepen van drie of vier aan de slag gegaan om ervaring op te doen met de oplossingsstrategieën die leerlingen zelf hebben en/of ontwikkelen. Vervolgens heb ik de leerlingen geobserveerd en, eerlijk is eerlijk, ze hebben gemotiveerd en interactief werkten. Helaas kon de laatste opgave niet in de les worden gemaakt. Die is als huiswerk opgegeven.

Les 2.

Traditioneel rekenen

De leerstof uit de eerste les is in het kort herhaald. Daarna hebben de leerlingen hun gemaakte huiswerk vergeleken met die van de naast zittende. (Door technische omstandigheden kon ik de antwoordenbladen niet printen!). Op een paar kleine slordigheidsfoutjes na zijn de opgaven goed gemaakt. De begrippen relatieve stijging/daling zijn uitgelegd. In eerste instantie zijn dit voor leerlingen moeilijke begrippen. Aan de hand van een kruistabel is uitgelegd hoe het werkt. Als de leerlingen dit moeilijk vinden en dat vinden velen in eerste instantie, dan mogen hun toevlucht nemen tot het aloude ezelsbruggetje dat gebruik wordt bij relatieve stijging/daling: (Nieuw-Oud)/Oud x 100%. Aangegeven is dat bij gebruik van de rekenmachine de ‘=-toets’ moet worden ingedrukt ter voorkoming van een onjuist antwoord. Na de uitleg heb ik het geleerde nog een keer uitgelegd aan de hand van dagelijks voorkomende situaties waarbij relatieve verschillen een rol spelen. De leerlingen moesten vervolgens de leerstof oefenen aan de hand van het geleerde. Ook hier mochten de leerlingen hun eigen weg kiezen: de kruistabel of de formule toepassen. De uitwerkingen moesten deel uit maken van het antwoord. Opgaven die niet af waren, werden thuis gemaakt.

Les 2.

Realistisch rekenen

In deze les is de opdracht van de vorige les besproken. Leuk was het om waar te nemen dat groepen leerlingen buiten de les om met de opdracht aan de slag gingen. Het waren niet altijd de in de opdracht gevraagde cirkeldiagrammen, ook staafdiagrammen werden geconstrueerd. Vervolgens werden de zelf gemaakte opdrachten uitgewisseld. Acht leerlingen hadden de opgaven niet gemaakt, omdat ze niet precies wisten hoe ze dit moesten doen. De opdrachten werden nagekeken door de auteurs, wat overigens tot discussies leiden of het wel of niet goed was nagekeken. De les ging verder met het onderwerp ‘uitdrukken in procenten’. Toegelicht werd aan de hand van een voorbeeld wat de zin van uitdrukken in procenten is. Leerlingen maakten daar aantekening van en kregen de opdracht dit te leren. Vervolgens gingen de leerlingen aan de slag met de opdracht, waarbij zij op basis van aangereikte cijfers de burgemeester van een stad een advies moesten uitbrengen. Ook hier constateerde ik dat leerlingen dit soort opdrachten bijzonder appreciëren. De groepen zijn gemotiveerd aan het werk gegaan.

73

Les 3.


De kern van les twee is aan de hand van een aantal gestelde vragen met de leerlingen doorgenomen. Daarna is het huiswerk gecontroleerd en zijn de opgaven besproken. Opvallende problemen met de rekenstof waren er niet. Vervolgens werd het begrip ‘de groeifactor’ aan de orde gesteld. Ook hier zijn diverse voorbeelden op het bord gezet en interactief uitgewerkt. De leerlingen zijn vervolgens aan de slag gegaan en hebben in rijtjes het oplossingsmechanisme geoefend (opgave 1 en 2). Her en der aandacht leerlingen uitgelegd hoe breuken omgezet kunnen worden in decimale getallen. Niet iedereen beheerste dit. Toen is opgave drie aan de orde gekomen, waarbij de leerlingen in een bepaalde context het geleerde van de groeifactor in de praktijk moesten brengen. Als oplossingsmethode heb ik ook hier weer de kruistabel uitgelegd met de oplossingsstrategie. Stap 1: lees de opgave; stap 2: zet de gegevens die je weet is de tabel; stap 3: vermenigvuldig kruiselings. Daarnaast is er op gewezen dat er niet alleen gewerkt kan worden met perunages, maar ook met procenten. Leerlingen moeten zelf kiezen wat ze het makkelijkst vinden. Ze vinden het moeilijk! Opgave 3a en 3b heb ik voorgedaan. De rest van de opgaven zijn gemaakt tijdens de les of thuis.

Les 3.

Realistisch rekenen

Aan de hand van een aantal contextrijke voorbeelden op het bord, werd uitgelegd hoe met behulp van een kruistabel een vergelijking met één onbekende kan worden opgelost. Daarbij werd gewezen op de begrippen ‘meer dan’ en ‘minder dan’. Die begrippen bevatten meer informatie dan leerlingen denken. Vervolgens gingen de leerlingen in groepen aan de slag met de opgaven in een beperkte context: zij mochten hun eigen oplosstrategie bedenken en uitwisselen. Voor een aantal leerlingen was het moeilijk om in een groep te werken: ze deden niet actief mee en moesten regelmatig door mij extrinsiek gemotiveerd worden mee te denken. Tot slot moesten de leerlingen zelf twee opgaven met antwoorden maken met ‘meer dan’ en ‘minder dan’.

Les 4.


De huiswerkopdrachten zijn weer besproken en de leerstof van de vorige les herhaald. De indruk bestaat dat de leerlingen begripsvorderingen maken. Vervolgens werd de leerlingen eerst in het kort uitgelegd hoe de BTW werkt. Toen werd de vraag voorgelegd hoeveel BTW (=19%) iemand betaalt als de prijs van een rol snoep € 1,- is. Veel leerlingen menen dat zij 19% kunnen nemen van € 1,-, zijnde € 0,19. Dit foutieve antwoord is de aanleiding om procenten boven het honderd uit te leggen. € 1,- is equivalent met 119. De BTW is 19/119 * €1! Na de uitleg gingen de leerlingen de oplossingstechniek oefenen aan de hand van soortgelijke opgaven. Bij problemen werd door mij bijstand verleend. Vervolgens kregen de leerlingen de opdracht om opdrachten op procenten onder en boven het honderd te maken. De hulpvraag door onzekerheid was hier groter dan in vorige lessen. Individueel heb ik die hulpvraag beantwoord. 74

Tot slot kregen de leerlingen de opdracht de niet afgemaakte opgaven thuis af te maken.

Les 4.

Realistisch rekenen

De opgaven met ‘meer dan’ en ‘minder dan’ werden uitgewisseld, gemaakt en nagekeken. De kwaliteit was goed en suggereert enig begrip. In de deze les werd uitgelegd waarom het nuttig is om de relatieve stijging of daling uit te rekenen van vergelijkbare grootheden. De begrippen absoluut en relatief werden daarom toegelicht in een voorbeeld van absolute stijging en relatieve daling. Die begrippen werden uitgelegd om de leerlingen voor te bereiden om wat komen gaat in de opgaven. Ook de noodzaak van het terug kunnen reken werd gedemonstreerd aan de hand van een context op het bord. Tevens werd in simpele bewoordingen de werking van de BTW uitgelegd. Vervolgens gingen de leerlingen in groepen weer aan de slag. Zij mochten gebruik maken van de uitleg op het rekenblad of een eigen oplossingsmethode bedenken en toepassen. De leerlingen ervoeren het werken met procenten onder en boven het honderd als moeilijk. De moeilijkheid zat voornamelijk in het lezen van de opgave.

Les 5.

Traditioneel en realistisch rekenen

In deze les werden het huiswerk van de vorige les besproken. Daarna heb ik willekeurige opgaven als voorbereiding op de eindtoets op het bord gezet die de leerling in samenwerking met de naast zittende moesten oplossen. De lessen vond ik voldoende informatie bevatten. Ook de hoeveel leerstof was voldoende. Uit de onderstaande resultaten is duidelijk op te maken dat de leerlingen in de loop van de tijd progressie hebben gemaakt in hun vorderingen. Dit geldt overigens voor beide stromingen!

4.2.4

Beschrijving van de lessen op het Corderius College

Op het Corderius College zijn er in het cursusjaar 2010-2011 vijf havo-3 klassen. Voor het onderzoek is gekozen voor de klassen H3A, H3B en H3C. Er is bewust voor gekozen om de klassen H3D en H3E (vanwege ziekte van zowel de reguliere docent als zijn vervanger) buiten het onderzoek te houden omdat zij in principe geen reguliere les meer kunnen missen. De lessen zijn gegeven door twee collega’s uit de vakgroep economie. Na ampele overwegingen is er voor gekozen de docent met de meeste ervaring de lessen volgens de realistische methodiek te laten geven. De realistische methodiek omhelst veel groepsopdrachten waarbij de docent een min of meer bewakende rol heeft, een rol die bij minder ervaren docenten vaak nog niet in voldoende mate is ontwikkeld. In het totaal zijn er, aan elke groep, vijf lessen gegeven. Waarbij de laatste les min of meer een samenvatting is van de vier voorafgaande lessen. De lessen volgens de traditionele methodiek zijn door de betreffende docent verrijkt met een aantal verhelderende PowerPoint presentaties. In de lessen volgens de realistische methodiek is door de docent een wedstrijdelement ingevoerd, waarbij de groep met de beste of meest creatieve uitvoering van een opdracht beloond is met een appeltaart. 75

Zowel de lessenserie volgens de traditionele methodiek als de lessenserie volgens de realistische methodiek is door de docent als ‘goed’ ervaren: - de instructies zijn helder - de theorie, voor wat betreft de traditionele groep, is duidelijk en eenduidig. - de opdrachten voor de realistische groep zijn uitdagend en realistisch. Beide groepen hebben in voldoende mate aan de lessen meegedaan, de gebruikelijke uitzonderingen daargelaten. Over het algemeen was er binnen de lessen voldoende tijd om naast de instructie ook nog de verwerkingsopdrachten uit te voeren. Mogelijk heeft de onderbreking van de continuïteit in de lessen aan de groep die les kreeg volgens de realistische methodiek invloed gehad op de uitslag van de eindtoets. Door ziekte en bijzonder verlof zijn twee lessen uitgevallen, waarvan er maar een vervangen kon worden. Een punt van kritiek is de koppeling tussen de opdrachten voor de realistische groep en het rekenen met procenten. Deze koppeling is door de docent weliswaar nadrukkelijk gelegd, maar blijkt niet overduidelijk uit de instructie bij de opdrachten. De lessenseries zijn, zoals vastgelegd in het onderzoek, afgesloten met de eindtoets. De meeste leerlingen hebben voor de eindtoets minder tijd nodig gehad dan voor de instaptoets.

4.2.5

Nulmeting en Nameting

Om de ontwikkeling van rekenvaardigheden met betrekking tot procenten te kunnen volgen wordt er in elke groep een nulmeting en een eindmeting gedaan. Beide metingen bestaan uit een schriftelijke toets over procenten. Beide toetsen bestaan uit zeventien opgaven. De samenstelling de toetsen is identiek: vraag

code

code

Type

1

1.1.1

2.1.1

van procenten naar waarden

2

1.2.1

2.2.1

van waarden naar procenten

3

1.3.1

2.3.1

procentuele verandering

4

1.4.1

2.4.1

procenten boven- en onder het 100

5

1.2.2

2.2.2


6

1.3.2

2.3.2


7

1.3.3

2.3.3


8

1.4.2

2.4.2


9

1.3.4

2.3.4


10

1.4.3

2.4.3


11

1.4.4

2.4.4


12

1.4.5

2.4.5


13

1.4.6

2.4.6


14

1.2.3

2.2.3


15

1.2.4

2.2.4


16

1.4.7

2.4.7


17

1.4.8

2.4.8


76

Het eerste cijfer in de code geeft aan of het om de nulmeting of de eindmeting gaat (1 = nulmeting; 2 = eindmeting; het ). Het tweede cijfer geeft het type som weer (1 = van procenten naar waarde; 2 = van waarde naar procenten; 3 = procentuele verandering; 4 = procenten boven- en onder het honderd). Het derde cijfer geeft het aantal vragen per type weer (1.4.5 is de vijfde vraag van het type 4 van de nulmeting). De afzonderlijke vragen zijn in de eindtoets minimaal aangepast ten opzichte van de nulmeting. Slechts namen, producten, bedragen en aantallen zijn aangepast om te zo goed mogelijk te kunnen garanderen dat er in de nulmeting en de eindmeting hetzelfde getoetst wordt. Hieronder is in de grafieken weergegeven de percentages goede antwoorden per opgave in de 0meting vergeleken met de nameting van de onderscheiden groepen op respectievelijk het Ichthus College en Corderius College. Daarna volgen de vergelijkingen per type som per college gevolgd door de beschrijving van de statistische gegevens en de conclusie.

Traditioneel rekenen op het Ichthus College Grafiek 4.2.5-1 aantal goed in procenten 0-meting

aantal goed in procenten nameting

100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

Aantal goede antwoorden in procenten van het totaal aantal opgaven in de 0-meting en de nameting van de groep ‘Ichthus College Traditioneel’.

De resultaten van de lessen zijn duidelijk zichtbaar in de grafiek. De meeste opgaven zijn, zoals te verwachten, in de eindtoets beter gemaakt dan bij de instaptoets.

77

Grafiek 4.2.5-2

Percentage goede antwoorden per type opgave ‘Ichthus College Traditioneel’. Vooral de opgaven van het type 3 en 4 vertonen een behoorlijke progressie.

78

Realistisch rekenen op het Ichthus College Grafiek 4.2.5-3 aantal goed in procenten 0-meting


120 100 80 60 40 20 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

Aantal goede antwoorden in procenten van het totaal aantal opgaven in de 0-meting en de nameting van de groep ‘Ichthus College Realistisch’.

Ook bij de realistische methode laten de resultaten van bepaalde opgaven een behoorlijke stijgende lijn zien. Grafiek 4.2.5-4

Figuur 10. Percentage goede antwoorden per type opgave ‘Ichthus College Realistisch’.

Bij alle type opgaven is een duidelijke stijging waar te nemen, hoewel minder bij opgaven van het type 3. Bij type 4 is de stijging het grootst. 79

Groep Neutraal op het Ichthus College Grafiek 4.2.5-6 aantal goed in procenten 0-meting


120 100 80 60 40 20 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

Aantal goede antwoorden in procenten van het totaal aantal opgaven in de 0-meting en de nameting van de groep ‘Ichthus College Neutraal’. Grafiek 4.2.5-7

Percentage goede antwoorden per type opgave ‘Ichthus College Neutraal’.

Te verwachten is dat er geen extreme stijgingen zijn waar te nemen. Bij type 4 is dit wel het geval! Dat is vreemd, omdat aan deze groep op geen enkele manier aandacht is besteed aan procenten. Vooral de opgaven 10 en 12 zijn door de leerlingen van die groep aanmerkelijk beter gemaakt.

80

Traditioneel rekenen op het Corderius College Grafiek 4.2.5-8

Aantal goede antwoorden in procenten van het totaal aantal opgaven in de 0-meting en de nameting van de groep ‘Corderius College Traditioneel’.

Grafiek 4.2.5-9

Percentage goede antwoorden per type opgave ‘Corderius College Traditioneel’.

De vorderingen zijn op het Corderius College niet zo groot als op het Ichthus College. Bij de type 2opgaven is zelfs een achteruitgang te zien. De totale toename van het procentuele resultaat is ongeveer 7%. Op het Ichthus College om en nabij de 30%. 81

Realistisch rekenen op het Corderius College Grafiek 4.2.5-10

Figuur 15. Aantal goede antwoorden in procenten van het totaal aantal opgaven in de 0-meting en de nameting van de groep ´Corderius College Realistisch’.

Percentage goede antwoorden per type opgave ‘Ichthus College Realistisch’.

Opvallend is dat er procentueel geen vorderingen te melden zijn na het vijftal lessen. Het totaal percentage goede antwoorden is hetzelfde gebleven. Op het Ichthus College is de stijging om en nabij de 20%. 82

Groep neutraal op het Corderius College Grafiek 4.2.5-11

Aantal goede antwoorden in procenten van het totaal aantal opgaven in de 0-meting en de nameting van de groep ´Corderius College Neutraal’. Grafiek 4.2.5-12

Percentage goede antwoorden per type opgave ‘Corderius College Neutraal’.

83

Vreemd is dat de groep neutraal meer vorderingen heeft gemaakt dan die van het realistisch rekenen. De oorzaak daarvan is niet bekend. Van belang is om na te gaan of er een significant verschil bestaat tussen de controle-, de traditioneleen de realistische groep als we kijken naar de scores op de verschillende typen procentsommen en de totaalscore. Aangezien er slechts één vraag betrekking heeft op procentsommen van het type 1, worden deze buiten beschouwing gelaten. Verondersteld wordt dat er voor wat betreft de score op de nulmeting geen significant verschil bestaat tussen de drie groepen. Deze veronderstelling wordt getoetst door middel van de ‘One-Way Anova-test’. Voorwaarde voor deze test is wel dat de variantie van verschillende groepen niet te groot is. De omvang van de variantie en de significantie van de variantie wordt bepaald aan de hand van een ‘Levene’s test’ (Levene’s Test for Equality of Variances). Vervolgens worden de groepen wederom met elkaar vergeleken, maar nu op basis van de eindmeting. Verondersteld wordt dat de groep die volgens de traditionele methodiek procenten hebben aangeleerd meer voortgang geboekt hebben dan de leerlingen die geen specifiek onderwijs in procenten gevolgd hebben of lessen hebben gevolgd volgens de realistische methodiek.

4.2.6

Beschrijving gegevens

In het analytisch onderzoek zijn de resultaten van de individuele scholen apart weergegeven en besproken. Bij de interceptie voor het eindonderzoek bleek vooral de realistische groep, de populatie die had deelgenomen aan zowel de nulmeting als de eindmeting, te klein om op basis van toetsen verantwoorde uitspraken toe doen. Daarom is besloten om de groepen van de beide scholen te koppelen. Zo ontstaan er drie groepen, neutraal, traditioneel en realistisch, die groot genoeg zijn om met elkaar te vergelijken. Om de ontwikkeling van rekenvaardigheden tussen de controlegroep, de traditionele groep en de realistische groep te toetsen, is vereist dat de groepen vergelijkbaar zijn als het gaat om rekenvaardigheden. Deze vergelijkbaarheid wordt aangetoond middels een One-WayAnova test. Deze test wordt uitgevoerd op de nulmeting die gedaan is bij de verschillende groepen.

84

Tabel 4.2.6-1

Enkelvoudige variantietoets (One-Way ANOVA)

Descriptives type 2

type 3

type 4

totaal

N

Mean

neutraal

48

2,94

traditioneel

36

2,81

realistisch

37

3,16

totaal

121

2,97

neutraal

48

2,40

traditioneel

36

1,97

realistisch

37

2,41

totaal

121

2,27

neutraal

48

2,33

traditioneel

36

2,33

realistisch

37

1,70

totaal

121

2,14

neutraal

48

8,33

traditioneel

36

7,67

realistisch

37

7,95

totaal

121

8,02

df

F

Sig.

Tussen groepen

2

0,873

0,420

Binnen groepen

118

Totaal

120 1,370

0,258

1,303

0,275

0,406

0,667

ANOVA type 2

type 3

type 4

totaal

Tussen groepen

2

Binnen groepen

118

Totaal

120

Tussen groepen

2

Binnen groepen

118

Totaal

120

Tussen groepen

2

Binnen groepen

118

Totaal

120

Uit de One-Way Anova-test blijkt dat variantie tussen de groepen niet significant groter is dan de variantie binnen de groepen. De groepen zijn dus volgens deze test vergelijkbaar. Een vereiste is wel dat ook de variantie (spreiding van de scores) van de drie groepen vergelijkbaar is. Of de variantie vergelijkbaar is, wordt aangetoond met de Levene’s test.

85

Tabel 4.2.6-2

Levene’s test

Test of Homogeneity of Variances

type 2

Levene Statistic 0,404

type 3

3,418

2

118

0,036

type 4

1,205

2

118

0,303

totaal

0,666

2

118

0,516

df1

df2

Sig.

2

118

0,669

Uit de ‘Levene’s test’ blijkt echter dat de variantie van de drie groepen, als het gaat om procentensommen van het type 3, (procentuele veranderingen) niet vergelijkbaar is, ofwel significant van elkaar verschilt (p = 0,036 → p < 0,05). Dat betekent dat er bij de testen gekeken dient te worden naar de rij waarin gelijke varianties niet verondersteld worden (equal variances not assumed).

4.2.7

Levert traditioneel rekenen meer op dan realistisch?

Om aan te tonen dat de traditionele methodiek van onderricht in procenten meer oplevert dan de realistische methodiek wordt opnieuw een One-Way Anova-test uitgevoerd, maar nu op basis van de scores van de verschillende groepen op de eindtoets. Tabel 4.2.7-1

One-Way ANOVA

ANOVA type 2

type 3

type 4

Tussen groepen Binnen groepen Totaal Tussen groepen Binnen groepen Totaal Tussen groepen Binnen groepen Totaal

df 2 118 120 2 118 120 2 118 120

F 0,221

Sig. 0,802

1,149

0,320

4,883

0,009

Uit de One-Way Anova-test blijkt dat er nu een significant verschil bestaat tussen de scores van de drie groepen als het gaat om procentsommen van het type 4 (procenten boven- en onder het honderd). Blijft de vraag welke van de drie groepen significant afwijkt van de anderen. Procentsommen van het type 3 (procentuele verandering) behoren volgens de regels getoetst te worden middels ‘ad hoc; equal variances not assumed’, maar omdat er nu al geen significant verschil bestaat, is deze exercitie overbodig.

86

Tabel 4.2.7-2

Descriptives groep type 4

neutraal

traditioneel

realistisch

Statistic Mean

3

Variance

4,17

Std. Deviation

2,04

Mean

4,25

Variance

4,88

Std. Deviation

2,21

Mean

3,97

Variance

2,25

Std. Deviation

1,5

De traditionele groep en de realistische groep scoren op de nameting beter op de procentsommen van het type 4 dan de neutrale groep. Om aan te tonen of dit verschil significant is ten opzichte van de uitgangssituatie (nulmeting), wordt een gekoppelde t-toets uitgevoerd. Tabel 4.2.7-3

Gekoppelde t-toets

Paired Samples Test controlegroep Paired Differences t

df

Sig. (2-tailed)

type 2 voormeting -type 2 nameting

-0,184

47

0,855

type 3 voormeting - type 3 nameting

-1,759

47

0,085


-4,449

47

0,000

totaal voormeting - totaal nameting

-3,776

47

0,000

De controlegroep heeft zich significant verbeterd als het gaat om procentsommen van het type 4 en de totaalscore.

87

Tabel 4.2.7-4

Gekoppelde t-toets

Paired Samples Test traditionele groep Paired Differences Mean

t

df

Sig. (2-tailed)


-0,111

-0,422

35

0,676


-1,056

-4,192

35

0,000


-1,917

-5,06

35

0,000


-3,389

-4,86

35

0,000

De traditionele groep heeft zich significant verbeterd op het gebied van procentsommen van het type 3 en 4 het de totaalscore. Tabel 4.2.7-5

Gekoppelde t-toets

Paired Samples Test realistische groep Paired Differences Mean

t

df

Sig. (2tailed)


0,081

0,386

36

0,702


-0,270

-1,185

36

0,244


-2,270

-6,970

36

0,000


-2,622

-4,467

36

0,000

De realistische groep heeft zich significant verbeterd op het gebied van procentsommen van het type 4 en de totaalscore. Om aan te kunnen tonen dat de traditionele groep significant beter scoort op de nameting ten opzichte van de nulmeting dan de controlegroep en de realistische groep, wordt een test genaamd ‘General Linear Model (glm) for repeated measures’ uitgevoerd. Een One-Way Anova test toets alleen of elke individuele groep al dan niet significant beter scoort dan de andere groep, maar niet of dit ten opzicht van de anderen groepen een significante vooruitgang ten opzichte van een vooraf vastgestelde uitgangssituatie.

88

Tabel 4.2.7-6

Meervoudige vergelijkingen

Multiple Comparisons Measure: MEASURE_1 procentsommen totaalscore (I) groep

(J) groep

neutraal

traditioneel

-0,486

0,458

realistisch

-0,382

0,557

neutraal

0,486

0,458

realistisch

0,104

0,881

neutraal

0,382

0,557

traditioneel

-0,104

0,881

traditioneel realistisch

Mean Difference (I-J)

Sig.(a)

Op de totaalscore blijkt geen significant verschil in de score op de eindtoets ten opzichte van de nulmeting tussen de groepen. Tabel 4.2.7-7

Toets voor meervoudige vergelijkingen

Multiple Comparisons Measure: MEASURE_1 procentsommen van het type 4 (I) groep

(J) groep

Neutraal traditioneel realistisch

Mean Difference (I-J)

Sig.

traditioneel

-0,625

0,108

realistisch

-0,171

0,656

neutraal

0,625

0,108

Realistisch

0,454

0,271

Neutraal

0,171

0,656

Traditioneel

-0,454

0,271

Ook bij procentsommen van het type 4, daar waar leerlingen op de eindmeting significant beter scoren dan op de nulmeting, is geen significantie te ontdekken als het gaat om de ontwikkeling tussen de drie verschillende groepen.

4.2.8

Conclusie

Onze verwachting is niet uitgekomen: het traditionele rekenen leidt in ons onderzoek niet naar significante verschillen tussen de drie onderscheiden groepen. De opbrengsten van de lessen volgens de traditionele methode zijn niet significant hoger dan die van het realistisch rekenen. De uitspraken gedaan door de voorstanders van het traditionele rekenen kunnen dus op grond van ons relatief kleine onderzoek niet worden bevestigd. Of er mogelijk op een van beide scholen wel een significant verschil is tussen de verschillende groepen, hebben we niet kunnen toetsen (zie paragraaf 4.2.6). De 89

groepen waren per school te klein om verantwoorde uitspraken te kunnen doen over significantie. Het gevolg daarvan is dan ook dat wij op grond daarvan op beide scholen geen uitspraak kunnen doen over de te volgen didactiek in de onderbouw. Daarbij komt dat naar alle waarschijnlijkheid, achteraf gezien, mijn opvattingen als docent van het Ichthus College over het geven van onderwijs (zie 4.3.2) en het daaruit voortvloeiende docentgedrag de resultaten van zowel de methode van het realistisch rekenen als die van de traditionele hebben beïnvloed. Bij beide didactische methoden heb ik aan de hand van relevante voorbeelden de leerstof uitgelegd met bijbehorende oplossingsmethoden. Het onderscheid was dat de leerlingen van de traditionele richting één van mijn oplossingsrichtingen moesten volgen. Bij de realistische manier mochten de leerlingen werken aan een ‘eigen’ oplossingsmethode die echter wel beïnvloed is geworden door de uitleg. Er is dus sprake geweest van sturing naar een bepaalde oplossingsmethode. Het kan ook zijn dat beide didactische methoden niet los van elkaar gezien kunnen worden en is goed rekenonderwijs een mengeling van beide stromingen: individueel en samenwerkend leren, innerlijke motivatie en externe prikkels en docent gestuurd onderwijs. Wel kan gezegd worden dat aandacht hebben voor procenten - veel leerstof was expliciet en/of impliciet op basisschool en onderbouw-VO behandeld -, leidt tot hogere resultaten op het Ichthus College en in mindere mate op het Corderius College: Tabel 4.2.8-1 Vorm

Type

Procentpunten Ichthus College

Corderius College

Traditioneel

Type 1

+40

+20

Realistisch

Type 1

+20

+10

Neutraal

Type 1

+7

+15

Tabel 4.2.8-2 Vorm

Type


Corderius College

Traditioneel

Type 2

+9

-3

Realistisch

Type 2

+4

-17

Neutraal

Type 2

+0

+1

90

Tabel 4.2.8-3 Vorm

Type


Corderius College

Traditioneel

Type 3

+33

+16

Realistisch

Type 3

+18

-4

Neutraal

Type 3

+7

+7

Tabel 4.2.8-4 Vorm

Type


Corderius College

Traditioneel

Type 4

+36

+7

Realistisch

Type 4

+43

+8

Neutraal

Type 4

+42

+9

Opvallend is dat de resultaten in het algemeen op het Ichthus College in procentpunten meer zijn gestegen dan op het Corderius College. Een verklaring zou kunnen zijn dat de lessen op het Ichthus College zijn gegeven door één en dezelfde persoon en op het Corderius door verschillende collega’s. Merkwaardig is overigens dat de leerlingen die realistisch en traditioneel rekenden op het Corderius na vijf lessen lager scoren bij de eindtoets dan bij de instaptoets. Merkwaardig is ook dat leerlingen uit de groep neutraal bij sommige type toch een behoorlijke vooruitgang vertonen. Niet bekend is wat daar de oorzaak van is. Vermoedelijk is dit onderdeel in een ander vak en passant behandeld. Ook is het mogelijk dat de aandacht besteed aan de instaptoets de aandacht van de leerling voor dit soort opgaven heeft vergroot. Echter bewijs is daar niet voor. Is rekenen in havo-4 nu een kwestie van onderhoud en didactiek? Het antwoord is voor onderhoud ‘ja’, maar het maakt echter op grond van ons beperkte onderzoek niet uit of traditionele didactische werkwijze wordt gekozen of de realistische.

91

4.3

Evaluatie

Het ontwerponderzoek heeft geen significante verschillen opgeleverd tussen de traditionele en de realistische manier van rekenen. Dit wil niet zeggen dat ze er niet zijn. Gaandeweg het onderzoek realiseerde ik me (JMJ, Ichthus College) me als uitvoerder steeds meer dat een strikte scheiding tussen de beide didactische benaderingen niet altijd goed mogelijk is, omdat de lesgevende altijd zijn eigen didactische achtergrond met zich meeneemt: “Welke opvattingen heeft hij over lesgeven en in hoeverre is hij in staat die bij een bepaalde benadering achter zich te laten?” (zie paragraaf 4.2.3) Achteraf, vermoed ik, heb ik de leerlingen, inherent aan mijn didactische opvattingen, van vooral de realistische groep toch in een bepaalde oplossingsrichting geduwd. Dit zou een verklaring kunnen zijn dat de verschillen in resultaten tussen de beide opvattingen niet significant is. Daarnaast is het heel goed mogelijk dat een strikte scheiding tussen beide opvattingen theoretisch wel te maken is, maar dat die in de praktijk mogelijk niet bestaat, omdat de docent met zijn didactische bagage bepalend is voor het leergedrag van zijn leerlingen. Nader onderzoek is daarvoor noodzakelijk, waarbij de lessen gegeven zouden moeten worden over een langere periode door docenten die gepokt en gemazeld zijn in een van de didactische stromingen. Tijdens de uitvoering van de lessen hebben zich verder geen andere bijzonderheden voorgedaan die de resultaten van het onderzoek konden beïnvloeden. Wel is één les traditioneel rekenen uitgesteld om rooster technische redenen. De leerstof bevatte voldoende informatie en de scheiding tussen het traditionele rekenen en het realistische rekenen was in de geschreven lessen duidelijk zichtbaar. Wat de resultaten betreft is het opvallend dat de tijdelijke aandacht voor procenten voor alle groepen een meeropbrengst heeft gehad: leerlingen kunnen procenten beter handelen, op het Ichthus College iets meer dan op het Corderius College. Dit blijkt ook uit de jaarlijks terugkerende rekentoets die in september jl. in havo-4 op het Ichthus College is afgenomen. In tegenstelling tot 2009 en 2010 is het percentage onvoldoendes gedaald van respectievelijk 67%, 48% naar 22% in 2012. Dat suggereert op zijn minst dat aandacht voor i.c. onderhoud van het rekenen zoden aan de dijk zet. Op het Corderius zijn de lessen gegeven door twee collega’s: de één ervaren, de ander minder. De realistische manier werd vertolkt door de meest ervaren docent, omdat groepsopdrachten hogere eisen stelt aan de docent dan individuele opdrachten. Een dissonant is mogelijk de continuïteit geweest. Twee lessen realistisch rekenen zijn uitgevallen waarvan één vervangen is door een andere docent. In hoeverre dit het resultaat heeft beïnvloed is niet te achterhalen.

92

5

Eindconclusies en aanbevelingen

Klachten gonzen door onze scholen over slecht rekenende leerlingen in havo-4. In verschillende vakgroepen, waarbij de basale rekenvaardigheden een rol spelen, wordt verzucht dat het cijferen ver beneden het gewenste niveau is en dat het rekenkundig inzicht ver is te zoeken. Dit wordt bevestigd door ons analytisch onderzoek waaruit is gebleken dat het behaalde niveau van onze leerlingen niet beantwoordt aan wat verondersteld mag worden op basis van het rapport Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen (2007). Dit betekent dus dat de klachten vanuit het ‘veld’ niet ongegrond zijn. ‘Plussen en minnen’, ‘delen en vermenigvuldigen’, ‘percentages’ of ‘breuken’, op elk deelgebied van het rekenen scoort de gemiddelde havo-4 leerling minder dan men zou mogen verwachten. De mogelijke oorzaken kunnen vele zijn. Twee hebben wij nader onderzocht: 1. Wordt er op onze scholen in de onderbouw systematisch onderhoud basale rekenvaardigheden gepleegd? 2. Heeft de gekozen didactiek, de didactiek volgens de traditionele of de realistische, een significante invloed op de prestaties van leerlingen uit havo-3? Het antwoord op de eerste vraag is ‘nee’. Van enig vakoverstijgend rekenbeleid is op onze scholen geen sprake. Iedere vakdocent die met rekenen te maken heeft doet wat goed is in zijn ogen. In de praktijk betekent dit dus dat systematisch onderhoud van de basale rekenvaardigheden schoolbreed niet aan de orde is. De afwezigheid van rekenbeleid betekent in de praktijk ook dat er geen consensus is over de didactiek van het rekenen. In het algemeen gesteld zijn daarin twee benaderingen: het traditionele rekenen en het realistische rekenen. Beide claimen het primaat van het succesvol overbrengen van rekenkundige kennis: de traditionele methode vanuit de concepten; voor de realistische benadering zijn de contexten van groot belang. De veronderstelling dat het traditionele rekenen tot een hogere opbrengst zou leiden hebben we niet kunnen aantonen. Daarmee hebben we dus in ons ontwerponderzoek het gelijk van de traditionele benadering niet kunnen bevestigen: significante verschillen zijn niet aangetoond. Maar dit betekent niet dat ze er niet zouden kunnen zijn: 1. De onderzoekers nemen hun eigen didactische bagage mee en zijn zelf betrokken geweest bij het uitvoeren van het onderzoek. Onbewust kunnen hun voorkeuren van invloed zijn geweest op de resultaten van het onderzoek; 2. Het tijdsbestek waarin de vijf interventielessen zijn gegeven is te kort om een goed beeld te krijgen van de verschillen in de didactische benadering; 3. Bij een van de onderzoekers was de continuïteit van de uitvoering van de lessen door ziekte niet optimaal. Eén les in het realistisch rekenen is niet gegeven. Daarnaast is het mogelijk dat 4. het onderscheid tussen het traditionele rekenen en het realistische is een theoretische zijn. In de praktijk worden waarschijnlijk het essentiële van beide stromingen door elkaar gebruikt met de docent als initiator en verbinder van de onderscheiden leerprocessen. Wel is o.i. voldoende aangetoond dat de aandacht gegeven aan procenten in de interventielessen de basale rekenvaardigheden in alle onderscheiden rekengroepen (de traditionele, realistische en de neutrale) in het algemeen heeft geleid tot hogere resultaten. Dat pleit ervoor systematisch onderhoud van de basale rekenvaardigheden in de onderbouw van de havo als een vast onderdeel op te nemen in het rekenbeleid van onze scholen. 93

Aanbevelingen: 1.

2.

3. 4. 5.

Zet het rekenbeleid op de agenda met het doel ervoor te zorgen dat systematisch onderhoud van de basale rekenvaardigheden deel gaat uitmaken van de longitudinale leerlijn rekenen in de onderbouw van het vo. Benoem een rekendocent die op de hoogte is van de verschillende didactische benaderingen en geef hem de verantwoordelijkheid het rekenonderhoud systematisch in de rekenrelevante vakken te integreren. Informeer betrokken docenten over de verschillende didactische benaderingen van het rekenonderwijs. Op de basisscholen wordt veelal de realistische methode gebruikt. Bevorder de kennisuitwisseling tussen het bo en vo voor wat betreft het rekenonderwijs en benoem de verschillen en overeenkomsten tussen het rekenen op het bo en vo. Doe een uitgebreider onderzoek naar de opbrengsten van de onderscheiden didactische benaderingen. Dat onderzoek zou moeten worden gedaan door onafhankelijke docenten die gepokt en gemazeld zijn in een van de genoemde stromingen.

94

Bibliografie •

•

• •

•

•

•

•

•

• •

• •

Rekenen, E. d. (2007). • Expertgroep Doorlopende Leerlijnen Taal en Rekenen (2007). Over de drempels met taal en rekenen; expertgroep doorlopende leerlijnen. Verkregen op 17 mei, 2010, via http://taalunieversum.org/onderwijs/spelling/downloads/over_de_drempels_met_taal_en_reke nen_hoofdrapport.pdf Van de Craats, J. (2007). Rekenvaardigheden op de basisschool: discussiestuk ten dienste van de expertgroep Doorlopende Leerlijnen Rekenen en taal. Verkregen op 17 april, 2010, via http://staff.science.uva.nl/~craats/RekenenBasisschool.pdf Van de Craats, J. (2008). De grafische rekenmachine op school. Verkregen op 17 april, 2010, via: http://staff.science.uva.nl/~craats/nieuwsbriefJvdC.pdf Van de Craats, J. (2006). Waarom Daan en Sanne niet kunnen rekenen. Verkregen op 17 april, 2010, via: http://staff.science.uva.nl/~craats/nieuwsbriefJvdC.pdf Van de Craats, J. & Verhoef, G. (2009). Wat is er mis met ons rekenonderwijs?. Verkregen op 17 april, 2010, via: http://staff.science.uva.nl/~craats/Rekenen_JvdC_GV.pdf Ministry of Educatio, Wellington , New Zealand, 2003. Pisa 2003. Verkregen op 24 april, 2010, via: http://www.basisvaardigheden.nl/onderzoek.php?keyword=leesvaardigheid Wilbrink, B. (2010). Teruglopende rekenvaardigheden in Nederland. Is dat realistisch? Verkregen op 14 januari, 2011, via: http://www.benwilbrink.nl/projecten/realistisch_kolomrekenen.htm#Lenstra Rijksoverheid (2010) Referentieniveaus rekeken Verkregen op 14 januari, 2011, via: http://www.rijksoverheid.nl/onderwerpen/taal-en-rekenen/duidelijke-eisen-aan-taal-enrekenen/referentieniveaus-rekenen TIMSS (2007) Trends in International Mathematics and Science Study. Verkregen op 17 april, 2010, via: http://timss.bc.edu/timss2007/index.html Liesbeth van der Plas (2008) Minder bekende problemen van het Nederlandse wiskunde onderwijs Sman van de, J. (2010) Meisjes kunnen rekenen als ze het maar willen. Verkregen op 14 januari, 2011, via http://www.liesbethvanderplas.com/node/14 van de Zanten, M. & Buijs, K. (2009). Aandachtspunten voor verbetering van het rekenwiskundeonderwijs. Panama-Post, Jaargang 28 (nr. 1), 11-17 van Putten,. C.M. (2008). De onmiskenbare daling van het prestatiepeil bij de bewerkingen sinds 1987 -een reactie-. Panama- Post, Jaargang 28 (nr.1), 35-40

95

Bijlagen 1. Bijlage: Enquête rekenvaardigheden Enquête rekenvaardigheden 1. Het vak AK / BI / EC / NA / SK / WI*

(aankruisen

wat

wordt gegeven in havo 2. Ik geef zelf les in havo

van

toepassing

is)

□1

□

2

□3

□1

□

2

□

3

3. Voor mijn vak zijn de volgende rekenvaardigheden van belang in leerjaar:

□ □ □ □ □

optellen / aftrekken vermenigvuldigen / delen breuken procenten eerstegraadsvergelijkingen

□1 □1 □1 □1 □1

□2 □2 □2 □2 □2

□3 □3 □3 □3 □3

□2 □2 □2 □2 □2

□3 □3 □3 □3 □3

4. Het beheersingsniveau van onderstaande rekenvaardigheden is onvoldoende In leerjaar:

□ □ □ □ □ 5.


□1 □1 □1 □1 □1

In de door mij gebruikte methode vindt systematisch onderhoud plaats van de basale rekenvaardigheden: (Met basale rekenvaardigheden wordt bedoeld het vlot en zonder aarzelen kunnen toepassen van routines, technieken en vaardigheden m.b.t. het rekenen met natuurlijke getallen, kommagetallen en breuken en de daarvan afgeleide procenten)

96

In leerjaar:

□ □ □ □ □

optellen / aftrekken vermenigvuldigen / delen breuken procenten eerstegraads vergelijkingen

□1 □1 □1 □1 □1

□2 □2 □2 □2 □2

□ □ □ □ □

3 3 3 3 3

6. Bij het onderhouden van basale rekenvaardigheden is bij mijn vak een rekenmachine toegestaan. In

□ □

□1 □1

ja, altijd nee, nooit

leerjaar:

□ □

2 2

□ □

3 3

7. In het vakwerkplan wordt expliciet aandacht gegeven aan het onderhoud van de basale rekenvaardigheden in de leerjaren havo-1 t/m Havo-3

□ ja 8.

□ nee

De basale rekenvaardigheden worden vakoverstijgend aangepakt.

□ ja

□ nee

9. Een gemeenschappelijke aanpak van de rekenvaardigheden zou het rekenniveau van havoleerlingen verhogen.

□ ja

□ nee

10. In de door ons gebruikte methode wordt uitleg gegeven over: in leerjaar:

□ □ □ □ □


97

□1 □1 □1 □1 □1

□2 □2 □2 □2 □2

□3 □3 □3 □3 □3

Hieronder wordt over een aantal onderwerpen middels stellingen wordt naar uw mening gevraagd. 1. Jongens hebben over het algemeen meer moeite met rekenvaardigheden dan meisjes. oneens

eens

□

□

□

□

2. Meisjes hebben over het algemeen meer moeite met rekenvaardigheden dan jongens. oneens

eens

□

□

□

□

3. Allochtone leerlingen hebben over het algemeen meer moeite met rekenvaardigheden dan autochtone leerlingen. oneens

eens

□

□

□

□

4. Havoleerlingen hebben minder problemen met rekenvaardigheden dan mavoleerlingen in een overeenkomstig leerjaar. oneens

eens

□

□

□

□

5. Vwo-leerlingen hebben minder problemen met rekenvaardigheden dan havoleerlingen in een overeenkomstig leerjaar oneens

eens

□

□

□

□

6. Er wordt al te lang gesproken over rekenvaardigheden, we moeten nu wat doen! oneens

eens

□

□

□

□

Het is verstandig om collega’s bij te scholen in rekenvaardigheden. oneens

eens

□

Hartelijk dank voor het invullen!

□

□ 98

□

2.

Bijlage: T-toets Corderius/Ichthus Een vergelijking tussen het Corderius College en het Ichthus College totale score

inzichtvragen

plus- en minsommen

N

Mean

Corderius College

45

4,22

0,974

Ichthus College

43

4,91

0,971

Corderius College

45

4,67

1,638

Ichthus College

43

5,79

1,489

45

3,13

2,242

-3,301

breuken

df

sign.

86 0,001 0,001

-3,371

Corderius keer- en gedeeld College door sommen Ichthus College

procentsommen

Std. t-waarde Deviation

school

86 0,001 0,006

-2,816

86

43

4,42

2,038

0,006

Corderius College

45

3,73

2,049

Ichthus College

43

4,4

1,692

0,102

Corderius College

45

4,58

2,454

0,039

Ichthus College

43

5,7

2,568

0,103 -1,655

-2,09

86

86 0,04

Een vergelijking tussen jongens en meisjes totale score inzichtvragen

sexe

N

Mean

Std. Deviation

t-waarde

man

56

4,80

0,818

3,129

vrouw

32

4,13

1,212

2,822

man

56

5,32

1,574

0,788

plus- en minsommen keer- en gedeeld door sommen procentsommen

breuken

df

sign. 0,002

86

0,007 0,433

86 vrouw

32

5,03

1,805

0,759

man

56

4,05

2,093

1,643

vrouw

32

3,25

2,396

1,583

man

56

4,46

1,684

2,758

vrouw

32

3,34

2,073

2,606

man

56

5,43

2,507

1,482

vrouw

32

4,59

99

2,601

1,467

0,451 0,104 86

0,119 0,007

86

0,012 0,142

86

0,147

2.2

T-toets jongens/meisjes totaal Group Statistics

totale score inzichtvragen totale score plus- en minsommen totale score keer- en gedeeld door sommen totale score procentsommen totale score breuken

sexe

N

Mean

man

56

4,8

vrouw

32

4,13

man

56

5,32

vrouw

32

5,03

man

56

4,05

vrouw

32

3,25

man

56

4,46

vrouw

32

3,34

man

56

5,43

vrouw

32

4,59

Independent Samples Test Levene's Test for Equality of Variances

t-test for Equality of Means

F


Equal variances assumed



0,055

3,129 2,822

0,099

0,753

Equal variances not assumed


2,81

0,097

0,085


100

0,043

0,837

0,451 0,104

86

0,119 0,007

86

1,482 1,467

0,007 0,433

86

2,758 2,606

Sig. (2tailed) 0,002

86

1,643 1,583

3,04

df

0,788 0,759

Equal variances not assumed Equal variances assumed


t


totale score keer- en Equal variances assumed gedeeld door sommen Equal variances not assumed totale score procentsommen

3,774

Sig.

0,012 0,142

86

0,147

2.3

T-toets jongens/meisjes Corderius College Group Statistics

totale score inzichtvragen totale score plus- en minsommen totale score keer- en gedeeld door sommen totale score procentsommen totale score breuken

sexe

N

Mean

Std. Deviation

man

32

4,56

0,716

vrouw

13

3,38

1,044

man

32

4,69

1,575

vrouw

13

4,62

1,850

man

32

3,66

2,073

vrouw

13

1,85

2,193

man

32

4,22

1,791

vrouw

13

2,54

2,222

man

32

4,88

2,446

vrouw

13

3,85

2,410

Independent Samples Test Levene's Test for t-test for Equality of Means Equality of Variances





t

df

Sig. (2tailed)

1,952

0,17

4,365

43

0

3,728 0,156

0,695


totale score keer- en gedeeld door sommen Equal variances not assumed


Sig.




F


0,032

0,859

43

0,123

2,659

0,78

1,284 1,292

0,012 0,019

43

2,425 0,079

101

2,612

0,895 0,903

2,549



43

0,124

2,473


0,132

0,002

0,011 0,026

43

0,206 0,209

2.4

T-toets jongens/meisjes Ichthus College Group Statistics

sexe

N

Mean

Std. Deviation

man

24

5,13

0,85

vrouw

19

4,63

1,065


man

24

6,17

1,129

vrouw

19

5,32

1,765


man

24

4,58

2,041

vrouw

19

4,21

2,07


man

24

4,79

1,503

vrouw

19

3,89

1,823

man

24

6,17

2,444

vrouw

19

5,11

2,664



Independent Samples Test

Levene's Test for Equality of Variances

t-test for Equality of Means Sig.







F

Sig.

t

df

(2tailed)

2,669

0,11

1,690

41

0,099


1,646 4,792

0,034


0,007

0,934


102

0,591

0,503

0,482

1,769

41

0,677

1,359 1,345

0,558 0,559

41

1,730 0,177

0,062 0,078

0,59


41

1,826


1,919

0,109

0,084 0,093

41

0,181 0,187

3.

Bijlage: rekentoets “Basale rekenvaardigheden” Toets rekenvaardigheden Rekentoets Havo September 2010 •

• • •

Tijd: maximaal 45 minuten. Hulpmiddelen: geen. (Een rekenmachine is dus niet toegestaan!) Berekeningen maak je op het repetitieblaadje. Zet de antwoorden langs de kantlijn en omcirkel ze. Niveau

1) 8060 = 80 x …. + 6 x 10 Schrijf het ontbrekende getal op?

1F

2) Schrijf de waarde op van het getal 5 in 1.235.678.

1F

3) De bouw van een school kostte 8 miljoen. Er was gerekend op 7,61 miljoen. Hoeveel euro heeft de bouw meer gekost? (Schrijf het getal helemaal met cijfers!)

1F

4) Hoe vaak past 0,0025 in 2?

1F

5) Welk getal hoort op de plaats die de pijl aanwijst? 6 ? 7

1F

6) 0,1 0,09 0,9 0,111 Zet deze getallen in volgorde van klein naar groot.

1F

7) Rond 18,3496 af op 1 decimaal.

1F

8) Een hardloper verbeterde zijn record van 45,63 seconden met

seconde.

1F

Wat is zijn nieuwe record? 9) 97.889 + 875 =

1F

10) 100,1 – 0,251 =

1F

11) 0,8 + 0,75 =

1F 103

12) 7.302 – 1.468 =

1F

13) Op 4 januari had Kees een tekort van € 114,-. Op 7 januari had hij een positief saldo van € 365,-. Welk bedrag heeft hij op zijn rekening ontvangen? 1S 14) 219 x 78 =

1F

15) 1458 : 27 =

1F

16) Een spelcomputer kost € 257,40. Piet spaart per week € 7,80 voor deze computer. Hoeveel weken moet hij sparen?

1S

17) Jan spaart € 15,- per week. Hoeveel is dat gemiddeld per maand?

2F

18) Een strippenkaart van het openbaar vervoer kost € 7,85. Op de kaart zitten 15 strippen. Hoeveel kost een ritje van 3 strippen?

2F

19) In de tank van een auto zit 40 liter benzine. De auto verbruikt 1 liter op 14 km. Hoeveel liter zal er nog in de tank zitten als er 266 km is gereden?

2F

20) Een stoomtreintje maakt vier keer per uur een rondrit. Iedere keer kunnen er 75 mensen in. Hij rijdt van 9.00 u. tot 18.00 u. 2F Hoeveel mensen kan dat treintje maximaal per dag vervoeren? 21) Recept voor witbrood. Een brood weegt 800 gram. Nodig:

2F

kg meel 25 à 30 gram gist dl water 1 lepel zout Een bakker gebruikt 60 kg meel. Hoeveel liter water moet hij toevoegen? 22) Jaap verdient € 2.000,-. Hij krijgt € 200,- loonsverhoging. Jasper verdient € 1.500,-. Hij krijgt in verhouding dezelfde loonsverhoging als Jaap. Hoeveel gaat Jasper verdienen? 1F 23) 24) Schrijf

1F in een decimaal getal (1 decimaal).

25) 16% van € 180,- = €

1F 1F

104

26) Op een jas van € 240,- wordt een korting gegeven van 15% Hoeveel kost die jas nu?

1F

27) De huur van een huis is € 875,- per maand. De huur wordt verhoogd met 3%. Hoeveel is de nieuwe huur per maand.

1F

28) In een klas zitten 28 leerlingen. 7 daarvan dragen een bril. Hoeveel procent van de leerlingen draagt een bril?

1F

29) In januari verdiende Klaas € 140,-. In februari € 168,-. Met hoeveel procent is het inkomen van Klaas in de maand februari gestegen?

1F

30) Aan de wandelvierdaagse doen 720 deelnemers mee. 7 van elke 8 deelnemers hebben na afloop blaren. Hoeveel procent van de deelnemers heeft geen blaren? 2F 31) Erik koopt een videospel van 146,62. Hij betaalt met drie briefjes van € 50 en 12 cent. Hoeveel geld krijgt Erik terug?

1F

32)

1F

33)

1F

34)

1F

35)

1F

36)

1F

37)

0,075

0,75

1F

Welke twee getallen hebben dezelfde waarde? 38) 650 + 60 – 52 x =

2F

39)

2F

40)

1F

105

4.

Bijlage: Referentieniveaus

106

107

108

109

110

111

112

113

114

115

116

117

118

119

120

121

122

123

124

5.

Bijlage: Instaptoets procenten (0-meting) • • •

Werk de opgaven uit op een repetitieblad Zet dus ook de berekeningen erbij Je mag je rekenmachine gebruiken

1. Een hotel berekent € 75,- per persoon per dag. Voor kinderen beneden de vier jaar wordt een korting gegeven van 60%. Bereken de prijs voor kinderen. 2. In 2009 werkten er in een bedrijf 7.400 personen. In 2009 werkten er 1.275 vrouwen. Hoeveel procent van het personeel bestond uit vrouwen? 3. In 2007 was de winst van een Alzo bv € 390.000,-. In 2008 was de winst gestegen tot € 425.000,Bereken met hoeveel procent de winst in 2008 is gestegen t.o.v. 2007. 4. Bernadette krijgt in de uitverkoop 5% korting op de aanschaf van een haarföhn. Ze betaalt nu slechts € 41,80. Hoeveel is de prijs van de föhn zonder korting? 5. Een volleybalteam speelde in een competitie 30 wedstrijden. Er werden 14 wedstrijden gewonnen, 6 gelijk gespeeld en de rest verloren. Hoeveel procent van de wedstrijden werd gewonnen? 6. Een winkelier verkoopt een kast van € 724,- voor € 495,-. Bereken met hoeveel procent korting deze kast wordt verkocht. 7. De prijs van een liter benzine bedraagt in Nederland € 1,63 en in Frankrijk € 1,37. Bereken hoeveel procent een liter benzine in Frankrijk goedkoper is dan in Nederland. 8. Het ministerie van Onderwijs, Wetenschappen en Cultuur gaf in 2010 € 38,7 miljard uit. Het percentage ten opzichte van de totale rijksuitgaven was 19,08%. Bereken de totale rijksuitgaven in miljarden euro’s in twee decimalen. 9. Toen Piet de Kraag 21 was, verdiende hij netto € 700 per maand. Hij is nu 35 en verdient nu netto € 2.300,-. Met hoeveel procent is zijn inkomen gestegen? 10. Jongeren zijn de afgelopen twee jaar een stuk rijker geworden doordat zij steeds vaker een zware bijbaan hebben. De inkomsten uit arbeid van scholieren tussen 15 en 19 jaar namen in vergelijking met twee jaar geleden met 52% toe. Gemiddeld verdienen zij nu € 1.397 per jaar met hun bijbaan. Dit blijkt uit het dinsdag gepresenteerde onderzoek Jongeren ’08 van bureau Interview-NSS. Lees het bovenstaande krantenartikel. Hoeveel verdienden deze jongeren gemiddeld twee jaar geleden? 125

11. Een fraaie schemerlamp kost in de winkel € 146,35. Er zit 19% BTW in de prijs. Wat is de prijs van die lamp zonder BTW? 12. Op een brood wordt 6% BTW geheven. De klant betaalt daardoor bij aanschaf van een brood € 0,11 BTW. Bereken de verkoopprijs van een brood inclusief 6% BTW. 13. Een bedrijf maakt in een maand een brutowinst van € 25.500, dat is 30% van de verkoopwaarde. (Verkoop - inkoop = brutowinst) Bereken de inkoopwaarde. 14. Een partij goederen, gekocht voor € 6.000,-, is verkocht voor € 7.500,-. Druk de brutowinst uit in procenten van de inkoopprijs. 15. Een partij goederen, gekocht voor € 6.000,-, is verkocht voor € 7.500,-. Druk de brutowinst uit in procenten van de verkoopprijs. 16. De inkoopprijs van een kinderfiets is € 120,-. De brutowinst is 20% van de verkoopprijs. Bereken de verkoopprijs. 17. De bevolking van een land steeg in één jaar met 0,8% tot 2.000.000 mensen. Hoe groot was de bevolking voordat deze stijging begon?

Einde

126

6.

Bijlage: Eindtoets ‘procenten’ Eindtoets procenten De toets bestaat uit 17 vragen • • •


1.

In het hoogseizoen betaalt een gemiddeld gezin € 120,- om de Efteling binnen te mogen. In het naseizoen wordt 30% korting gegeven. Bereken hoeveel een gemiddeld gezin in het naseizoen betaalt.

2.

Ikea Amersfoort had afgelopen weekend 50.000 bezoekers. Van die 50.000 kwamen er 17.300 voor 12.00 uur. Hoeveel procent van de bezoekers kwam voor 12.00 uur?

3.

Een benzinepomp verkoopt per week 35.000 liter benzine. Na het invoeren van een spaarzegelactie is het aantal verkochte liters gestegen naar 39.000. Bereken met hoeveel procent het aantal verkochte liters is gestegen.

4.

Bij de aanschaf van een energiezuinige wasmachine wordt een korting verstrekt van 20%. De prijs die je na de korting moet betalen is € 1.120,-. Hoeveel kost de wasmachine zonder korting?

5.

In een pot zitten 60 kauwgomballen in drie verschillende kleuren. Na een kort onderzoek blijken er 28 rode kauwgomballen en 12 blauwe kauwgomballen in te zitten. De rest van de kauwgomballen is groen. Hoeveel procent van de kauwgomballen is groen?

6.

In een groot bedrijf werken 745 mensen. Omdat het niet zo goed gaat met het bedrijf wordt een deel van het personeel ontslagen. Na deze ontslagronde werken er nog 485 mensen. Hoeveel procent van het personeel is ontslagen?

7.

Een Reblochon (lekkere Franse kaas) kost in Nederland € 9,95. In Frankrijk kost eenzelfde kaas maar € 5,89. Bereken hoeveel procent een Reblochon in Frankrijk goedkoper is dan in Nederland.

8.

Nederland heeft 4,5 miljard aan Griekenland geleend. Dat is 4,09% van het totale bedrag dat de EU aan Griekenland heeft geleend. Hoe groot was de totale lening aan Griekenland? 127

9.

Op 1 januari 2002 bedroeg het minimumloon € 1.206,60 per maand. Op 1 januari 2011 bedroeg het minimumloon € 1,424,40. Met hoeveel procent is het minimumloon gestegen?

10. Tussen 1970 en 1980 nam het aantal mensen met een WAO-uitkering met toe tot 810.000. Dit is een groei van 60%. Hoeveel mensen met een arbeidsongeschiktheidsverzekering waren er in 1970? 11. De goedkoopste laptop op Bol.com kost € 891,68 inclusief 19% BTW. Wat kost deze laptop zonder BTW? 12. Op een eierwekker moet 19% BTW geheven. De BTW op een bepaalde eierwekker is € 1,58. Hoeveel kost deze eierwekker inclusief BTW? 13. Een bepaald type auto kost € 29.995,-. De inkoopwaarde van dit type auto bedraagt 60% van de verkoopprijs (je hoeft geen rekening te houden met BTW en andere belastingen). Bereken de brutowinst (verkoopprijs – inkoopprijs) op dit type auto. 14. Een partij goederen, gekocht voor € 4.500,-, wordt verkocht voor € 6.000,-. Hoeveel procent bedraagt de brutowinst van de inkoop? 15. Een partij goederen, gekocht voor € 4.500,-, wordt verkocht voor € 6.000,-. Hoeveel procent bedraagt de brutowinst van de verkoop? 16. Een pizzabakker kan pizza bakken voor € 4,-. De pizzabakker wil een winst van 20% op de verkoopprijs (ook hier hoef je geen rekening te houden met BTW). Welke verkoopprijs moet de pizzabakker hanteren? 17. Het aantal blonde mensen met een bril steeg met 0,6% tot 170.000. Hoe groot was het aantal blonde mensen met een bril voor deze stijging?

Einde

128

7.

Bijlage: Lesontwerpen, lessen volgens de traditionele methodiek De lessen over procenten worden ingeleid met een korte algemene herhaling over procenten. Procenten zijn voor de leerlingen niet nieuw. Alle leerlingen hebben al kennis gemaakt met procenten bij het vak wiskunde en andere vakken waar onder het vak economie. Voor het aanleren van procenten wordt aangesloten bij de methodiek van de vakgroep wiskunde op het Corderius College, waarbij verhoudingstabellen een centrale rol spelen. Volgens de traditionele methodiek moet het aanleren van procentsommen worden ingeslepen. Voor het daadwerkelijk inslijpen van vaardigheden is vijf lessen waarschijnlijk aan de magere kant. Helaas is er echter binnen het PLT (programma van leerstof en toetsing) niet meer ruimte te vinden. De lessen in procenten zijn ingedeeld op basis van de drie typen procentsommen die leerlingen voor het vak economie moeten beheersen. Allereerst zijn er de sommen waarbij leerlingen een percentage van een waarde moeten kunnen bepalen en omgekeerd, een waarde moet kunnen uitdrukken als een percentage van een andere waarde. Daarnaast zijn er sommen waarbij leerlingen een absolute groei moeten kunnen omzetten naar een relatieve groei en omgekeerd. Tot slot zijn er procentsommen waarbij leerlingen een percentage boven- en onder het honderd moeten kunnen uitrekenen. •

De eerste les begint met een instructie van het gebruik van een verhoudingstabel. De verhoudingstabel geeft onder en boven de streep (zie voorbeeld) de verhouding tussen grootheden weer.

€

400

4

200

%

100

1

50

Daarna krijgen leerlingen opgaven voorgelegd waarbij percentages van waarden moeten worden omgezet in absolute waarden en absolute waarden moeten als relatieve grootheid. Deze opgaven moeten verplicht op de aangeven wijze worden opgelost. •

De tweede les begint met het bespreken van de in de voorafgaande les opgeven opgaven. Ook hierbij legt de docent weer de nadruk op de besproken oplossingsstrategie. Daarna wordt uitgelegd hoe met gebruik van een verhoudingstabel een groei of afname kunt omzetten in respectievelijk relatieve groei en relatieve afname en andersom. Tot slot krijgen leerlingen een aantal opgaven die zij volgens de behandelde methodiek moeten oplossen.

•

De derde les begint met het bespreken van de uitgedeelde opgaven. Ook hier ligt weer de nadruk op het gebruik van de verhoudingstabel.

129

Daarna wordt het verband gelegd tussen breuken en procenten. Tot slot wordt de theorie uitgelegd van procentsommen boven- en onder het honderd met gebruik van een verhoudingstabel. De les wordt afgesloten met huiswerkopgaven.

•

De vierde en laatste les wordt gebruikt om het huiswerk te bespreken en het een en ander te herhalen.

130

Les 1: Percentages uitrekenen en waarden uitdrukken in procenten Instructie. • Voor het uitrekenen van een percentage van een waarde gebruiken we een verhoudingstabel. De waarde waarover het percentage moet worden uitgerekend stellen we op 100%. Vervolgens wordt via ‘1%’ het betreffende percentage bepaald. Voorbeeld 1. • Bereken 12% van € 400,/ 100

€

* 12

400

?

? Kortweg: eerst delen door 100, dan keer het aantal procenten.

%

100%

1%

12%

/ 100 •

* 12

De opgave kan ook opgelost worden door het perunage te nemen. Het perunage van 12% is 0,12. 12% van € 400,- = 0,12 x € 400,-

Instructie •

Voor het uitdrukken van een waarde als percentage van een andere waarde gebruiken we wederom een verhoudingstabel. Voorbeeld 2. • Reken uit hoeveel procent € 35,- is van € 400,/ 400 * 35

•

€ 400

1

35

% 100

?

?

/ 400 * 35 Als je dit moeilijk vindt, kun je ook dit ezelsbruggetje gebruiken:

131

Huiswerk les 1: maken opgave 1, 2 en 3

Huiswerkopgaven les 1 1. Hoeveel is? Schrijf de uitwerkingen op. a) b) c) d) e)

10% van € 100,– 10% van € 250,– 15% van € 300,– 25% van € 320,– 30% van € 360,–

f) 35,35% van € 350,– g) 39,4% van € 360,– h) 41,7% van € 385,– i) 43,91% van € 390,50 j) 85,9% van € 395,25

2. Hoeveel procent is? Schrijf de uitwerkingen op. a) 25 van 100 f) € 19,75 van € 120,b) 25 van 200 g) € 41,45 van € 300,c) 30 van 200 h) € 87,85 van € 131,35 d) 30 van 150 i) € 391,87 van € 9.412,10 e) 16 van 120 j) € 16.341,25 van € 41.357,30

3.

Bereken en schrijf de uitwerkingen op. a. Een klas bestaat uit 30 leerlingen. 40% van die leerlingen komt met de fiets. Hoeveel leerlingen zijn dat? b. Een snoepfabrikant brengt een nieuw soort kauwgombal op de markt. Het gewicht van één kauwgombal 12 gram. 12,5% van de kauwgombal bestaat uit suiker. Hoeveel gram suiker zit er in zo’n kauwgombal? c. Een pak vruchtenhagel bestaat voor 40% uit groene korrels, 30% uit roze korrels en voor de rest uit gele korrels. Gemiddeld bevat een pak 150 gram vruchtenhagel. Uit hoeveel gram groene, roze en gele korrels bestaat een pak?

132

Les 2: De relatieve stijging en daling berekenen Start: Uitdelen van antwoordenbladen. De leerlingen kijken zelfstandig na en stellen indien nodig vragen. Instructie: Voor het uitrekenen van een procentuele stijging gebruiken we een verhoudingstabel. De waarde waarin de relatieve verandering wordt uitgedrukt stellen we op 100%. Deze waarde bepalen we door de vraag te herschrijven naar een ‘dan’-zin. Voorbeeld 1. • Dit jaar zijn 3,6 miljoen mensen komen stemmen. Vorig jaar was de opkomst slechter. Toen gingen slecht 3,0 miljoen mensen naar de stembus. Met hoeveel procent is het aantal stemmers toegenomen? / 3,0

stemmers %

3,0 100

* 0,6

1 ?

0,6 ?

/ 3,0

* 0,6

Vervolgens wordt via 1 stemmer bepaald hoeveel de relatieve waarde van de verandering is. Voorbeeld 2. • Jantine verdient dit jaar € 520,- per maand. Vorig jaar was dat € 500,- per maand. Hoeveel procent is zij er in inkomen op vooruitgegaan? De dan-vraag wordt in deze: “Hoeveel verdient Jantine meer dan vorig jaar?” Vorig jaar is dus 100%. / 500

stemmers %

500 100

/ 500

* 520

1 ?

520 ?

* 520

133

Het bereken van een relatieve daling gebeurt op dezelfde wijze als het berekenen van een relatieve stijging. Als je dit moeilijk vindt, kun je ook gebruik maken van een ezelsbruggetje:

Bij het tweede voorbeeld wordt de oplossing: Het loon van Jantine was € 500,- (oud) en wordt € 520,- (nieuw)

134

Huiswerkopgaven les 2 1. Hoe groot is de procentuele (relatieve) toename? a) van 100 naar 120 b) van 200 naar 220 c) van 80 naar 100 d) van 75 naar 125 e) van 60 naar 130

f) van € 17,50 naar € 20,g) van € 19,95 naar € 27,50 h) van € 124,43 naar € 154,27 i) van € 975,50 naar € 1.2340,0 j) van € 19.471,25 naar € 54.371,50

2. Hoe groot is de procentuele (relatieve) afname? a) van 100 naar 80 b) van 200 naar 80 c) van 120 naar 65 d) van 89 naar 70 e) van 130 naar 60

f) van € 19,95 naar € 14,95 g) van € 47,50 naar € 28,95 h) van € 139,95 naar € 119,50 i) van € 1.147,95 naar € 974,95 j) van € 39.995,95 naar € 19,995,95

3. Jantje verkoopt elke maandag en dinsdag op school kokoskoeken. Afgelopen dinsdag verkocht hij 20 koeken. Dat is 25% meer dan afgelopen maandag. Komende maandag hoopt hij 24 koeken te verkopen. a. Met hoeveel % hoopt hij dat het verkochte aantal koeken komende maandag zal toenemen ten opzichte van afgelopen dinsdag? b. Hoeveel koeken verkocht hij afgelopen maandag? c. Hoeveel % koeken verkocht hij afgelopen maandag minder dan afgelopen dinsdag?

135

Les 3/4: Rekenen boven en onder de 100% •

Als je het € 200 wilt verhogen met 5%, dan kun je eerst uitrekenen hoeveel 5% is van € 200. Vervolgens tel je de uitkomst bij € 200 op / 100

*5

%

100

1

5

€

200

2

10

/ 100

*5

€ 200 + € 10 = € 210 of € 200 is 100% en 5% meer is 105% / 100

* 105

%

100

1

105

€

200

2

210

/ 100

•

* 105

Je kunt ook in één keer 100 verhogen met 1,05. Dit laatste getal wordt de groeifactor genoemd. Je neemt het getal 1 en telt daarbij het perunage op: 1 + 0,05 = 1,05 of in één keer: 1,05 x 100 = 105. De groeifactor

136

Even oefenen. Reken de volgende opgaven uit met behulp van de factor. 1. Vermeerder 110 met 6% Vermeerder 212 met 12% Vermeerder 285 met 84% Vermeerder 7.800 met 120% Vermeerder 812,4 met 26,2% Vermeerder 6,5 met

zo:

%

110 x 1,06 = …x…= …x…= …x…= …x…= …x…=

Als je een getal wilt verminderen met 5%, dan kun je ook de factor gebruiken. Je neemt het getal 1 en trekt daar het perunage vanaf: 1 – 0,05 = 0,95 2. Verminder 350 met 7% Verminder 1.006 met 15% Verminder 2.560 met 45% Verminder 11.600 met

zo:

350 x 0,93 …x…= …x…= …x…=

Verminder 8.425 met 26%

…x…=

Verminder 5.600 met 12

…x…=

3. Opgaven. Maak gebruik van de groeifactor. a. In 2008 is de winst van een onderneming € 450.000,- Dat is 20% meer dan in 2007. Bereken de winst in 2007. b. Zakgeld in maart € 60,-. Dit is 20% meer dan in januari. Bereken het zakgeld in januari. c. De winst in 2009 is € 45.000,-. Dat is 15% minder dan in 2008. Bereken de winst in 2008 d. In juni 2008 was het loon € 2500,-. Dit is 30% hoger dan in juni 2007. Bereken het loon in juni 2007. e. In 2010 woonden er 2.000.000 mensen in een stad. Dit was 0,7% minder dan in 2007. Bereken de hoeveel mensen er in 2007 in de stad woonden. f. Voor de toets economie is een 8,7 gehaald. Dat is 110% meer dan de toets ervoor. Bereken het cijfer dat eerder werd behaald. (1 decimaal)

137

Soms is in een bedrag al een bepaald percentage opgenomen. Zo is de prijs die je in de supermarkt betaalt inclusief een percentage voor BTW (belasting toegevoegde waarde). De BTW is berekend over de prijs zonder BTW. Die prijs is dus 100%. Als het BTW percentage 19% is, dan is de prijs inclusief BTW dus 119% (100% + 19% BTW) Als een product in de winkel € 238,- kost inclusief 19% BTW, dan is die € 238,- dus 119% van de prijs zonder BTW. / 119 * 100

%

119

1

100

€

238

?

?

/ 119

* 100

4. Bereken van de volgende prijzen inclusief BTW de prijs exclusief BTW: a. Een product kost inclusief 6% BTW € 2,12 b. Een wasmachine kost inclusief 19% BTW € 1.011,50 c. Een computer kost inclusief 19% BTW € 24.995,00 5. De BTW berekenen. a. De omzet (=Verkopen) inclusief BTW is € 120.000,-. De BTW is 19%. Bereken de omzet exclusief BTW. b. De BTW is € 4.500,-. Het tarief is 19%. Bereken de verkoopprijs inclusief BTW. c. De verkoopprijs exclusief BTW is € 200,-. De BTW is 6%. Bereken de verkoopprijs inclusief BTW. d. Een onderneming heeft een omzet behaald van € 200.000,- inclusief 19% BTW. Daarnaast heeft hij een omzet behaald van € 50.000,- inclusief 6% BTW. Hoeveel BTW heeft deze ondernemer in totaal ontvangen? e. Als jij een artikel ter waarde van € 100,- koopt en het BTW-tarief is 19%. Hoeveel BTW heb jij dan betaald? f. De benzine kost op dit moment € 1,70 per liter, Het BTW-tarief is 19%. Hoeveel BTW betaalt een automobilist als hij 50 liter tankt? 6. Bereken de onderstaande opgaven en schrijf de berekeningen op. a. De bevolkingsomvang van een land bedraagt nu 15.000.000 mensen, dat is 20% meer dan 20 jaar geleden. Hoe groot was de bevolkingsomvang 20 jaar geleden? b. Jantje is nu 1 meter en 68 centimeter, dat is 5% langer dan vorig jaar. Hoe lang was Jantje vorig jaar?

138

8.

Bijlage: Lesontwerpen, lessen volgens de realistische methodiek

De lessen over procenten worden ingeleid met een korte algemene herhaling over procenten. Procenten zijn in principe niet nieuw. Alle leerlingen hebben al kennis gemaakt met procenten bij het vak wiskunde en het vak economie. Voor het aanleren van procenten moeten leerlingen binnen de realistische methodiek hun eigen oplossingsstrategie ontwikkelen. Het is natuurlijk mogelijk om de leerling op de juiste weg te helpen, of te wijzen op mogelijke alternatieven oplossingsstrategieën. Er is bewust voor gekozen om bij de realistische methode een grafisch component in te bouwen. Het verwerken van cijfers in grafieken, met name cirkeldiagrammen, moet de leerlingen op het spoor zetten van verhoudingen. Het is, in tegenstelling tot de traditionele methode, niet de bedoeling om leerlingen een uniforme oplossingsmethode aan te leren. Bij het realistisch rekenen staat het ontwikkelen van oplossingsstrategieën centraal. Het daadwerkelijk oplossen van opgaven, ook wel cijferen genoemd, is van minder belang. De lessen in procenten zijn ingedeeld op basis van de drie typen procentsommen die leerlingen voor het vak economie moeten beheersen. Allereerst zijn er de sommen waarbij leerlingen een percentage van een waarde moeten kunnen bepalen en omgekeerd, een waarde moet kunnen uitdrukken als een percentage van een andere waarde. Daarnaast zijn er sommen waarbij leerlingen een absolute groei moeten kunnen omzetten naar een relatieve groei en omgekeerd. Tot slot zijn er procentsommen waarbij leerlingen een percentage boven- en onder het honderd moeten kunnen uitrekenen. Elke les is volgens hetzelfde principe opgebouwd. Aan het begin van de les worden de huiswerkopgaven besproken (dit geldt natuurlijk niet voor de eerste les). Vervolgens krijgen de leerlingen een of twee opdrachten die ze in groepsverband moeten uitwerken. Het werken in groepsverband doet de kans toenemen dat leerlingen tot meer dan één oplossingsstrategie komen. In veel opdrachten zit ook een grafische component verwerkt. Het verwerken van procenten in grafieken moet de leerlingen inzicht geven in het verhoudingsaspect dat rekenen met procenten in zich draagt. Aansluitend op de groepsopdrachten zijn er nog wat individuele opgaven waarop leerlingen hun oplossingsstrategieën kunnen toepassen. De laatste opdracht is een opdracht waarbij leerlingen eigen opgaven met uitwerking moeten verzinnen om zo mogelijk het inzicht te vergroten en de kans op transfer te vergroten.

139

8.1 Les 1: Percentages uitrekenen en waarden uitdrukken in procenten Instructie. Voor het uitrekenen van een percentage leggen we de leerlingen de onderstaande opdracht voor. Deze opdracht wordt in groepen van maximaal vier leerlingen uitgevoerd. De afspraak wordt gemaakt dat na het uitvoeren van de opdracht uit elk groepje iemand de oplossing toelicht. Deze persoon wordt door de docent na het uitvoeren van de opdracht aangewezen. Twee studenten hebben geld nodig omdat zij een snackbar willen openen Ze moeten daarvoor hun bedrijfsplan presteren bij de bank. Omdat zij weinig tijd hebben vragen zij jullie om hun verwachte omzet grafisch (in een grafiek) uit te werken. De totale verwachte omzet bedraagt € 117.250,(omzet = verkochte aantal producten keer de prijs). De verkoop van bakjes friet moet voor 75% van de omzet zorgen. Het aantal verkocht kroketten en frikadellen moet voor 20% van de omzet zorgen en de rest van de omzet komt door de verkoop van mayonaise en mosterd. Een voorwaarde is wel dat in de grafieken de omzet zowel in procenten als in aantallen moet zijn af te lezen. Voor het uitdrukken van een waarde als percentage van een andere waarde, leggen we de leerlingen de onderstaande opgave voor. De afspraak wordt gemaakt dat na het uitvoeren van de opdracht uit elk groepje iemand de oplossing toelicht. Deze persoon wordt door de docent na het uitvoeren van de opdracht aangewezen. Een klas met 28 leerlingen krijgt de opdracht om uit te zoeken op welke wijze de leerlingen over het algemeen naar school komen. De wijze waarop en de relatieve verdeling tussen de verschillende mogelijkheden moeten in een cirkeldiagram gepresenteerd worden. Uit een korte inventarisatie blijkt dat 21 leerlingen met de fiets komen, 2 door hun ouders dagelijks met de auto gebracht worden en de rest met de bus komt. Leg op ten minste twee manieren uit hoe jullie de gegevens kunnen verwerken tot een cirkeldiagram. Huiswerk:

Bedenk zelf nog drie voorbeeldenopgaven (met uitwerking) waarbij waarden uitgedrukt moeten worden als percentage van een grootheid.

140

8.2

Les 2: Relatieve stijging en daling bereken en werken

Start. Bespreken van eigen voorbeeldopgaven Instructie. Voor het werken met relatieve veranderingen leggen we de leerlingen de onderstaande opgave voor. De opdracht wordt in groepen van maximaal vier leerlingen uitgevoerd. De uitwerking van de opdracht moet begeleid worden door een werkplan. Dit werkplan moet elke leerling individueel kunnen uitleggen. In de gemeente Berkenbos zijn dit jaar 1.200 mensen naar het eeuwfeest gekomen. De plaatselijke feestcommissie schrijft in het plaatselijk weekblad dat de opkomst enorm was. Zeker in verhouding tot het vorige eeuwfeest. Uit een oud archief heeft de commissie weten te achterhalen dat er toen maar 400 mensen deelnamen aan de festiviteiten. Het bestuur van de gemeente vindt het feest echter veel te duur en wil voorkomen dat er volgende keer weer een eeuwfeest zal worden gehouden. Zij stellen dat het aantal feestganger eigenlijk niet is toegenomen als je het vergelijkt met de toename van het aantal inwoners van de gemeente Berkenbos. Tijdens dit eeuwfeest telde de gemeente 24.500 inwoners terwijl dat er tijdens het vorige eeuwfeest slechts 12.000 waren. De verantwoordelijke burgemeester moet een uitspraak doen in het conflict (ruzie) tussen het bestuur en de commissie en verwacht van jullie cijfers, tabellen en of grafieken waarmee hij zijn burgers kan overtuigen. Hieruit moet op verschillende wijze blijken wie van de beide partijen gelijk heeft. Huiswerk. Bedenk zelf een opgave waarin een procentuele daling moet worden berekend. Maak daarbij duidelijk wat het verschil is met een procentuele stijging.

141

Les 3: rekenen boven en onder de 100% (1) Werk de onderstaande opgaven uit in je groepje (maximaal 4 personen!). Als je niet goed weet hoe je de berekeningen moet maken, kijk dan hieronder naar de uitleg in voorbeeld 1 en voorbeeld 2. 1. In maart kreeg Jan € 60,- zakgeld. Dit is 20% meer in de maand ervoor. Bereken het zakgeld in februari. 2. De winst van supermarkt C1000 in winkelcentrum “De Ellekoot” was in 2009 € 50.000,-. Door nog onbekende oorzaak is dat is 15% minder dan in 2008. Bereken hoe hoog de winst in 2008 was. 3. In juni 2008 verdiende Cees € 2.100,- Dat is 30% hoger dan in juni 2007. Bereken het nettoloon in juni 2007. 4. In 2010 woonden er 2.000.000 mensen in een stad. Dit was 2% minder dan in 2007. Bereken de hoeveel mensen er in 2007 in de stad woonden. 5. Voor de toets economie is een 8,7 gehaald. Dat is 110% meer dan de toets ervoor. Bereken het cijfer dat eerder werd behaald. (1 decimaal) 6. Maak zelf een opgave met ‘meer dan’ en één met ‘minder dan’. Geef die opgave aan een van je groepsgenoten, laat hem maken en kijk hem na. Voorbeeld 1. • In de maand februari kreeg Kees € 50,- zakgeld. Dat is 25% meer dan in januari. Hoeveel was zijn zakgeld in januari? Je kunt dit probleem op verschillende manieren oplossen: met behulp van het perunage en met behulp van het percentage. Feitelijk komen ze op hetzelfde neer. Kruistabel Zakgeld januari

€…

100%

€

%

25% meer dan

- …

25%

?

100

Zakgeld februari

€ 50,-

125%

50

125%

of

€

perunage

?

1

50

1,25

Je weet het zakgeld in de maand februari € 50,-. Je weet ook dat dit 25% meer is dan in januari. Januari is dan het uitgangspunt. Dit uitgangspunt stel je op 100%. 25% van 100% (zie pijl) is € 25,- Het zakgeld in februari is gelijkwaardig aan 125%. Je moet 100% uitrekenen. Dus je gaat € 50,- delen door 125% en vermenigvuldigen met 100%. (zie kruistabel) Je kunt ook het perunage gebruiken. Je deelt € 50,- door 1,25 en voilà het antwoord.

142

Voorbeeld 2. • In de maand februari kreeg Kees € 50,- zakgeld. Dat is 25% minder dan in januari. Hoeveel was zijn zakgeld in januari? Je kunt dit probleem op verschillende manieren oplossen: met behulp van het perunage en met behulp van het percentage. Feitelijk komen ze op hetzelfde neer.

Zakgeld januari

€…

100%

€

%

25% minder dan

- …

25%

?

100

Zakgeld februari

€ 50,-

75%

50

75%

of

€

perunage

?

1

50

0,75

Je weet het zakgeld in de maand februari € 50,-. Je weet ook dat dit 25% minder is dan in januari. Januari is dan het uitgangspunt. Dit uitgangspunt stel je op 100%. 25% van 100% (zie pijl) is € 25,- Het zakgeld in februari is gelijkwaardig aan 75%. Je moet 100% uitrekenen. Dus je gaat € 50,- delen door 75% en vermenigvuldigen met 100%. (zie kruistabel) Je kunt ook het perunage gebruiken. Je deelt € 50,- door 0,75 en voilà het antwoord.

143

Les 4: rekenen boven en onder de 100% (2) Zoals je weet betalen we in over bijna elk goed of dienst BTW (=Belasting op de Toegevoegde waarde). De tarieven zijn 6% en 19%. De belasting wordt geheven over de verkoopprijs die de onder nemer wil ontvangen. In schema: Verkoopprijs zonder BTW € 100,00 BTW 19% € 19,00 Verkoopprijs met BTW € 119,00 7. Veel mensen denken dat als je in de supermarkt € 1,- hebt betaald voor een rol Mentos, vallend onder het tarief van 19%, dat € 0,19 van die € 1,- BTW is. Toon aan dat dit niet zo is. 8. In een advertentie wordt een nieuwe Volvo V70 aangeboden voor € 50.000,- inclusief 19% BTW. Bereken de prijs exclusief BTW. 9. Een zonnepitbrood kost bij bakker Klok € 3,20 inclusief 6% BTW. Bereken de prijs exclusief BTW. 10. De betaalde BTW over de koopprijs van een huis is € 47.500,-. De BTW is 19%. Bereken de koopprijs van het huis inclusief BTW. 11. Een fiets kost in de winkel € 654,50. De BTW van de fiets zit in de prijs inbegrepen. Exclusief zou deze fiets € 550,- kosten. Bereken het BTW-tarief. 12. Maak met je groepje twee opgaven met een BTW-berekeningen.

• • • • •

In handelsondernemingen gebruiken ze vaak de begrippen omzet, inkoop, brutowinst, kosten en nettowinst. Met omzet wordt bedoeld de verkopen of de hoeveelheid artikelen maar de verkoopprijs van dat artikel. Met inkoop wordt bedoeld de prijs die de ondernemer heeft betaald voor het artikel. De brutowinst geeft het verschil aan tussen Verkoop en Inkoop. Bij kosten moet je denken aan loonkosten, energiekosten, huur, enz. De nettowinst is alles wat je feitelijk hebt verdiend. In staffel: Verkoop Inkoop Brutowinst Kosten Nettowinst

13. De inkoop van een fiets is € 629,30. De brutowinst is 30% van de verkoopprijs. Bereken de verkoopprijs. 14. De verkoopprijs van een koelkast is € 899,-. De brutowinst is 40 % van de inkoopprijs. Bereken de inkoopprijs. 144

15. Bruna verkoopt een boek met 20% brutowinst van de inkoopprijs. De inkoopprijs is € 20,-. Bereken de verkoopprijs. 16. Maak met je groepje twee soortgelijke opgaven met de begrippen verkoop, inkoop en brutowinst.

145

9.

Bijlage: Instaptoets procenten (0-meting)

• • •


1. Een hotel berekent € 75,- per persoon per dag. Voor kinderen beneden de vier jaar wordt een korting gegeven van 60%. Bereken de prijs voor kinderen. 2. In 2009 werkten er in een bedrijf 7.400 personen. In 2009 werkten er 1.275 vrouwen. Hoeveel procent van het personeel bestond uit vrouwen? 3. In 2007 was de winst van een Alzo bv € 390.000,-. In 2008 was de winst gestegen tot € 425.000,Bereken met hoeveel procent de winst in 2008 is gestegen t.o.v. 2007. 4. Bernadette krijgt in de uitverkoop 5% korting op de aanschaf van een haarföhn. Ze betaalt nu slechts € 41,80. Hoeveel is de prijs van de föhn zonder korting? 5. Een volleybalteam speelde in een competitie 30 wedstrijden. Er werden 14 wedstrijden gewonnen, 6 gelijk gespeeld en de rest verloren. Hoeveel procent van de wedstrijden werd gewonnen? 6. Een winkelier verkoopt een kast van € 724,- voor € 495,-. Bereken met hoeveel procent korting deze kast wordt verkocht. 7. De prijs van een liter benzine bedraagt in Nederland € 1,63 en in Frankrijk € 1,37. Bereken hoeveel procent een liter benzine in Frankrijk goedkoper is dan in Nederland. 8. Het ministerie van Onderwijs, Wetenschappen en Cultuur gaf in 2010 € 38,7 miljard uit. Het percentage ten opzichte van de totale rijksuitgaven was 19,08%. Bereken de totale rijksuitgaven in miljarden euro’s in twee decimalen. 9. Toen Piet de Kraag 21 was, verdiende hij netto € 700 per maand. Hij is nu 35 en verdient nu netto € 2.300,-. Met hoeveel procent is zijn inkomen gestegen? 10. Jongeren zijn de afgelopen twee jaar een stuk rijker geworden doordat zij steeds vaker een zware bijbaan hebben. De inkomsten uit arbeid van scholieren tussen 15 en 19 jaar namen in vergelijking met twee jaar geleden met 52% toe. Gemiddeld verdienen zij nu € 1.397 per jaar met hun bijbaan. Dit blijkt uit het dinsdag gepresenteerde onderzoek Jongeren ’08 van bureau Interview-NSS. 146

Lees het bovenstaande krantenartikel. Hoeveel verdienden deze jongeren gemiddeld twee jaar geleden? 11. Een fraaie schemerlamp kost in de winkel € 146,35. Er zit 19% BTW in de prijs. Wat is de prijs van die lamp zonder BTW? 12. Op een brood wordt 6% BTW geheven. De klant betaalt daardoor bij aanschaf van een brood € 0,11 BTW. Bereken de verkoopprijs van een brood inclusief 6% BTW. 13. Een bedrijf maakt in een maand een brutowinst van € 25.500, dat is 30% van de verkoopwaarde. (Verkoop - inkoop = brutowinst) Bereken de inkoopwaarde. 14. Een partij goederen, gekocht voor € 6.000,-, is verkocht voor € 7.500,-. Druk de brutowinst uit in procenten van de inkoopprijs; 15. Een partij goederen, gekocht voor € 6.000,-, is verkocht voor € 7.500,-. Druk de brutowinst uit in procenten van de verkoopprijs; 16. De inkoopprijs van een kinderfiets is € 120,-. De brutowinst is 20% van de verkoopprijs. Bereken de verkoopprijs. 17. De bevolking van een land steeg in één jaar met 0,8% tot 2.000.000 mensen. Hoe groot was de bevolking voordat deze stijging begon?

147

9.1

Eindtoets procenten

De toets bestaat uit 16 vragen • Werk de opgaven uit op een repetitieblad • Zet dus ook de berekeningen erbij • Je mag je rekenmachine gebruiken 1.

In het hoogseizoen betaalt een gemiddeld gezin € 120,- om de Efteling binnen te mogen. In het naseizoen wordt 30% korting gegeven. Bereken hoeveel een gemiddeld gezin in het naseizoen betaalt.

2.

Ikea Amersfoort had afgelopen weekend 50.000 bezoekers. Van die 50.000 kwamen er 17.300 voor 12.00 uur. Hoeveel procent van de bezoekers kwam voor 12.00 uur?

3.

Een benzinestation verkoopt per week 35.000 liter benzine. Na het invoeren van een spaarzegelactie is het aantal verkochte liters gestegen naar 39.000. Bereken met hoeveel procent het aantal verkochte liters is gestegen.

4.

Bij de aanschaf van een energiezuinige wasmachine wordt een korting verstrekt van 20%. De prijs die je na de korting moet betalen is € 1.120,-. Hoeveel kost de wasmachine zonder korting?

5.

In een pot zitten 60 kauwgomballen in drie verschillende kleuren. Na een kort onderzoek blijken er 28 rode kauwgomballen en 12 blauwe kauwgomballen in te zitten. De rest van de kauwgomballen is groen. Hoeveel procent van de kauwgomballen is groen?

6.

In een groot bedrijf werken 745 mensen. Omdat het niet zo goed gaat met het bedrijf wordt een deel van het personeel ontslagen. Na deze ontslagronde werken er nog 485 mensen. Hoeveel procent van het personeel is ontslagen?

7.

Een Reblochon (lekkere Franse kaas) kost in Nederland € 9,95. In Frankrijk kost eenzelfde kaas maar € 5,89. Bereken hoeveel procent een Reblochon in Frankrijk goedkoper is dan in Nederland.

8.

Nederland heeft 4,5 miljard aan Griekenland geleend. Dat is 4,09% van het totale bedrag dat de EU aan Griekenland heeft geleend. Hoe groot was de totale lening aan Griekenland?

9.

Op 1 januari 2002 bedroeg het minimumloon € 1.206,60 per maand. Op 1 januari 2011 bedroeg het minimumloon € 1,424,40. Met hoeveel procent is het minimumloon gestegen? 148

10. Tussen 1970 en 1980 nam het aantal mensen met een WAO-uitkering met toe tot 810.000. Dit is een groei van 60%. Hoeveel mensen met een arbeidsongeschiktheidsverzekering waren er in 1970? 11. De goedkoopste laptop op Bol.com kost € 891,68 inclusief 19% BTW. Wat kost deze laptop zonder BTW? 12. Op een eierwekker moet 19% BTW geheven. De BTW op een bepaalde eierwekker is € 1,58. Hoeveel kost deze eierwekker inclusief BTW? 13. Een bepaald type auto kost € 29.995,-. De inkoopwaarde van dit type auto bedraagt 60% van de verkoopprijs (je hoeft geen rekening te houden met BTW en andere belastingen). Bereken de brutowinst (verkoopprijs – inkoopprijs) op dit type auto. 14. Een partij goederen, gekocht voor € 4.500,-, wordt verkocht voor € 6.000,-. a. Hoeveel procent bedraagt de brutowinst van de inkoop? b. Hoeveel procent bedraagt de brutowinst van de verkoop? 15. Een pizzabakker kan pizza bakken voor € 4,-. De pizzabakker wil een winst van 20% op de verkoopprijs (ook hier hoef je geen rekening te houden met BTW). Welke verkoopprijs moet de pizzabakker hanteren? 16. Het aantal blonde mensen met een bril steeg met 0,6% tot 170.000. Hoe groot was het aantal blonde mensen met een bril voor deze stijging?

149

Een kwestie van onderhoud en traditionele didactiek?

Recommend Documents