Een hardnekkig misverstand Chris Impens

Een hardnekkig misverstand Chris Impens Inleiding. Eind mei 2005 kwam er, na veel warm en koud blazen, een offici¨ele beslissing over de duur van de masteropleidingen in de wetenschappen. Daaruit bleek dat ook de opleiding Wiskunde een aanvraag kon opstarten voor een masteropleiding van 120 studiepunten, zeg maar twee jaar. Hiermee zou de vroegere licentiaatsopleiding van vier studiejaren omgezet worden in een masteropleiding van vijf jaar. De problematiek van de studieduur is in de faculteit Wetenschappen verre van nieuw. Lang geleden, dat moet in de jaren tachtig geweest zijn, waren er al opleidingen binnnen de faculteit die ijverden voor een vijfde studiejaar. Dat was met name voor de opleiding Biologie het geval. Een WP-lid uit die opleiding, doctor in de biologie, zei mij in dat verband: Voor ons, biologen, is zo’n bijkomend studiejaar absoluut onmisbaar, want de biologie is in volle expansie. Voor jullie, wiskundigen, hoeft dat niet, want daar is alles al gevonden. Deze wetenschapper was er dus van overtuigd dat in de wiskunde alles al gevonden was. Wat moeten ni´et-wetenschappelijke geesten dan wel denken! Hetzelfde dus, want dit misverstand is ongelooflijk wijd verbreid, zoals iedereen kan vaststellen die wel eens met niet-wiskundigen spreekt. Het is ook typisch voor (of tegen) wiskunde; ik ken alvast niemand die meent dat in de natuurkunde alles al gevonden is, of in de scheikunde, of in de biologie. Het zou nuttig zijn te weten waar het misverstand vandaan komt, zodat de oorzaak ervan actief bestreden kon worden. Bij gebrek daaraan moeten wij wiskundigen ons voorlopig met anekdotische middelen verdedigen, en daar behoort ook de affiche toe (zie de zwart-wit versie in Figuur 1) die ik in dit artikel nader wens toe te lichten. Zij is oorspronkelijk gemaakt voor de z.g. infodagen of abituri¨entendagen, waarop belangstellenden uit het middelbaar onderwijs in contact komen met hun toekomstig studiegebied. Ondertussen is zij ook opgenomen in een uitgebreider pakket van affiches die aan leraren aangeboden worden, en waarin wiskunde als wetenschap en cultuurfenomeen voorgesteld wordt. De stijl ervan is bedoeld sloganesk en gericht op de specifieke doelgroep, nl. leerlingen uit het laatste jaar van het middelbaar onderwijs. Wiskunde, 2600 jaar jong. De titel van de affiche beweert dat wiskunde 2600 jaar jong is, en dat cijfer is voor kritiek vatbaar. Men kan verdedigen dat streepjes in een been kerven ‘tellen’ is, en dus onder het beoefenen van ‘wiskunde’ valt; wie dat doet komt op een veel hoger cijfer uit. Zo ook zij 1

Figuur 1: De affiche 2

die menen dat het registreren en doorgeven van wiskundige gebruiksregels daaronder valt. De opstellers van de Chronological list of mathematicians 1 zijn in dat laatste geval, want zij laten hun lijst beginnen met een Egyptische klerk en een Indisch priester die dergelijke teksten nagelaten hebben. Ik heb beiden, met alle vereiste eerbied, gediskwalificeerd, omdat ik tot diegenen behoor voor wie wiskunde een deductieve abstracte wetenschap is. De eerste waarvan bekend is dat hij wiskunde in die optiek beoefende is de derde naam op de geciteerde lijst: Thales van Milete. Thales was ongeveer dertig in het jaar 600 vC, wat 2600 jaar achter ons ligt. De argumentatie is, zoals gezegd, betwistbaar, maar voor onze vulgariserende bedoelingen kwam het niet op een paar eeuwen aan. Thales. Thales biedt bovendien het voordeel dat sommige wiskundestellingen expliciet aan hem toegeschreven zijn. Dat is ook het geval voor de stelling dat op een halve cirkelomtrek een rechte omtrekshoek staat. Die stelling komt, vele eeuwen na Thales, in de Elementen van Euclides voor als Stelling 31 van Boek III. Bij wijze van couleur locale is die stelling in haar Griekse gedaante in de affiche opgenomen (zie figuur 2); ze is gereproduceerd uit de Euclides Graecus van 1803 (UGent Cl. 126). De respectabele leeftijd van de stelling van Thales moet de lezer attenderen op het feit dat wiskundige verworvenheden voor eeuwig correct blijven, wat in alle andere disciplines niet zo is. In mijn eigen analysecursus bewijs √ ik al heel snel dat 2 irrationaal is, erbij voegend dat het bewijs daarvan waarschijnlijk van Pythagoras zelf is en dus uit de 6de eeuw vC dateert. Hierna pleeg ik mijn publiek te vragen wie het zou aandurven zich te laten behandelen volgens de geneeskunde uit die tijd. Moraal van het verhaal: wat wiskundig correct is blijft dat voor altijd. Maar bij de ‘eeuwigheidswaarde’ van wiskundige waarheden horen toch enkele nuances. Vooreerst leert de geschiedenis dat vele deugdelijk geachte bewijzen achteraf toch door de mand vallen, hetzij omdat het systeem zelf gebrekkig was hetzij omdat sommige ‘evidenties’ dat helemaal niet bleken te zijn. Een voorbeeld van het eerste is de euclidische meetkunde, die eerst met Hilbert betrouwbaar geaxiomatiseerd is; het tweede wordt ge¨ıllustreerd door de vele ‘bewijzen’ van Euclides’ vijfde postulaat. Ten tweede zijn er de doodgewone vergissingen, waar wiskundigen evenmin vrij van zijn als andere stervelingen. Leerzame lectuur in dit verband is M. Lecat, Erreurs de Math´ematiciens des origines ` a nos jours, Bruxelles1

http://aleph0.clarku.edu/ djoyce/mathhist/chronology.html#toc

3

Figuur 2: Stelling van Thales in de Griekse Euclides Louvain, 1935. De enige die daarin met een maagdelijk strafblad voorkomt is Galois, maar die is dan ook al op twintigjarige leeftijd schielijk overleden. Ten derde, de recente ontwikkeling van de wiskunde toont aan dat bewijzen zo complex kunnen zijn dat hun geldigheid verre van evident is en aanleiding geeft tot betwisting. Zo kan men van mening zijn dat bewijzen waarvan grote gedeelten op verificatie door computers berusten geen echte ‘bewijzen’ zijn. Het eerste voorbeeld daarvan was het bewijs van het vierkleurenprobleem door Appell en Haken in 1977. Recenter is de controverse rond het bewijs van het vermoeden van Kepler, in 1998 aan Annals of Mathematics voorgelegd door Thomas Hales. Na vier jaar be¨eindigden de twaalf referees hun noeste arbeid met de mededeling dat ze voor 99% zeker waren dat het

4

bewijs klopte, maar dat de 40000 regels computercode er te veel aan waren. Ook hier is de vraag of een dergelijke verificatie met gedeeltelijk gebruik van bruut geweld wel een ‘bewijs’ is. Algemeen werd verwacht dat het bewijs van Hales door de Annals zou gepubliceerd worden met het voorbehoud van de referees erbij, maar tot vandaag is dat niet gebeurd. Op dit drievoudig voorbehoud na –en men kan ongetwijfeld nog andere reserves bedenken– is de eeuwigheidswaarde van de wiskunde inderdaad gegarandeerd. Zij dankt dit aan haar typisch kenmerk dat zij niet aan de werkelijkheid gebonden is en dus niet, zoals andere wetenschappen, door waarnemingen weerlegd kan worden. Dit verklaart ook het bekende fenomeen dat wiskundige artikels en boeken een veel langere halveringstijd hebben dan in andere wetenschappen het geval is — en dan zwijgen we nog over sommige α-bezigheden waar men zich kan veroorloven het werk van voorgangers radicaal van tafel te vegen. Ook correct is de gevolgtrekking op de affiche ‘dat wiskunde altijd vooruit gaat’ maar ook daar horen enkele nuances bij die op een wervingsaffiche niet thuishoren. Vooreerst is daar het feit dat hele delen van de wiskunde, hoewel correct, uit de belangstelling verdwijnen. Wie de dertien boeken van Euclides doorneemt zal dit snel bemerken, en iedereen herinnert zich wel onderwerpen die sedert zijn eigen studententijd van het programma verdwenen zijn, zowel in het middelbaar als in het hoger onderwijs. Wiskunde kan dan best waar zijn, maar is het ook interessant? Daarop is het antwoord nu w´el subjectief en van persoonlijke en maatschappelijke inzichten afhankelijk. Iedereen die onderzoeksfondsen moet werven of artikels wil publiceren komt met het fenomeen van subjectieve appreciatie in aanraking. Voor wiskunde kan die confrontatie bijzonder pijnlijk zijn, want de hedendaagse dwangneurose dat het toch vooral nuttig en toepasbaar moet zijn is een perversie van haar diepste wezen. En dan, natuurlijk resulteren positieve stappen voorwaarts in permanente uitbreiding van het gebied, maar sedert de paradoxen van Zeno behoort men er zich bewust van te zijn dat het gecumuleerd resultaat best kan stagneren. Wat als de vooruitgang van de wiskunde in alle richtingen wel positief is, maar volgens een meetkundige rij afneemt? Het resultaat zou een horizontale asymptoot zijn als bovengrens van de wiskundige kennis. Voor dit scenario blijken alsnog geen aanwijzingen te bestaan, zoals de cijfers hieronder zullen aantonen. Aantal wiskundige onderzoeksgebieden. Gepoogd is, de omvang van 5

de hedendaagse wiskunde kwantitatief te beschrijven in het magisch ogende jaar 2000. Vooreerst, vanwaar het getal van 60 ‘grote onderzoeksgebieden’ ? Uitgangspunt was de 2000 Mathematics Subject Classification, b.v. te vinden op http://www.ams.org/msc/. De lijst begint met sectie 00-xx en loopt tot 97-xx, maar sommige nummers ontbreken (02-xx is het eerste) en sommige staan er nog wel maar zijn ondertussen opgedoekt (04-xx is daarvan het eerste). Van de overblijvende secties heb ik er drie niet meegeteld omdat er geen wiskundig onderzoek in de stricte betekenis aan verbonden is: 00-xx (General), 01-xx (History and biography), 97-xx (Mathematics education). Zo blijven er 60 secties over, lopende van 03-xx (Mathematical logic and foundations) tot 94-xx (Information and communication, circuits). Ook hier is de gevolgde kwantificatie voor discussie vatbaar, er zijn veel grensgevallen en overlappingen. Maar voor de doelgroep zal de boodschap wel overkomen: dat er veel en veel meer wiskundegebieden zijn dan de algebra, meetkunde, analyse en statistiek die men uit het middelbaar onderwijs kent. Aantal wiskundige onderdelen. Het aantal wiskundige ‘onderdelen’ heb ik op ‘meer dan 5500’ geschat. Mathematics Subject Classification beslaat in het totaal 5529 onderverdelingen, genummerd met twee cijfers (11 = Number theory), twee cijfers en een letter (11B = Sequences and sets) of twee cijfers, een letter, en nog twee cijfers (11B05 = Density, gaps, topology). Wegens de overlappingen en de drie gewraakte onderdelen (geschiedenis, biografie en onderwijs) heb ik daar 5500 van gemaakt. De beheerders van Mathematics Subject Classification spreken zelf van over 5000 two-, three-, and five-digit classfications, each corresponding to a discipline of mathematics. Ook hier gaat het minder om de kwantificatie dan om de kwalitatieve boodschap dat er reusachtig veel actieve wiskundige disciplines zijn. Aantal wiskundigen. Wereldwijd blijken er meer dan 58000 onderzoekswiskundigen actief te zijn. Dit cijfer heb ik uit de 12de uitgave van World Directory of Mathematicians, van het jaar 2002. Als definitie hanteert men daar, overeenkomstig richtlijnen van de International Mathematical Union: iedereen die in de voorafgaande vijf jaar minstens twee artikels gepubliceerd heeft die besproken zijn in Mathematical Reviews, Referativnyi Zhurnal of Zentralblatt. Ieder Nationaal Comit´e mag daar, naar eigen normen, hoogstens 5% namen aan toevoegen. De genoemde editie bevat in het totaal 57.277 namen die aan die criteria voldoen. Wit-Rusland, Bulgarije, Noord-Korea en Koeweit zijn dan nog afgevallen bij gebrek aan betrouwbare gegevens. Ik heb het cijfer daarom naar boven afgerond. Voor de burgerman 6

heb ik de activiteit van die kolkende massa omschreven als ‘het ontwikkelen van nieuwe wiskunde’. Aantal publicaties. Mijn schatting voor het aantal ‘publicaties met resultaten van recent onderzoek’ berust op het aantal nieuwe reviews in het jaar 2001, waarvoor Mathematical Reviews en Zentralblatt beide ongeveer 55000 geven. Een eenvoudige omrekening leert dat dit inderdaad neerkomt op ‘1 per 10 minuten’. Die frequentie kan zelfs de vakman verrassen, lijkt mij, en hem aan het denken zetten over de kwaliteit van die niet aflatende stroom wiskundige nieuwigheden. Het criterium van Mathematical Reviews zelf is: reviews or summaries of articles and books that contain new contributions to mathematical research, and those that appear to be of interest to scholars and research mathematicians. Wiles. Het is uitzonderlijk dat wiskundigen of wiskunderesultaten de publieke opinie bereiken. Dat is ook goed te verklaren, want het is bepaald moeilijk, hedendaagse wiskunde in algemeen begrijpelijke termen om te zetten zonder in overdreven vulgarisatie te vervallen en/of het praktisch nut geweldig te overdrijven. Een gelukkige uitzondering is het succesverhaal van Wiles’ bewijs van de laatste stelling van Fermat: gemakkelijk uit te leggen, wiskundig belangrijk, en bovendien vergezeld van een tot de verbeelding sprekende historische anekdote, die van de te kleine marge. Om die reden heb ik in de ordeloze strook naamloze ‘publicaties’ die zich in de affiche van linksboven naar rechtsonder slingert, behalve het vertrekpunt Thales ook het bewijs van Wiles naar voren laten komen. Het bewijs zelf is bevat in twee artikels die samen verschenen zijn in Annals of Mathematics, 2nd Series, 141 (3), mei 1995: Andrew Wiles, Modular elliptic curves and Fermat’s last theorem (443–551) en Andrew Wiles and Richard Taylor, Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras (553–572). Gereproduceerd is de eerste stelling die als zodanig in het artikel vernoemd staat, nl. Proposition 1.1, van blz. 459, die een verwijziging bevat naar een artikel van Fred Diamond. Ironisch genoeg draagt het resultaat van Wiles op zijn beurt bij aan het misverstand dat de wiskunde ‘af’ is. Velen blijken het nl. zo op te vatten dat de laatste stelling van de wiskunde, nl. die van Fermat, nu eindelijk ook bewezen is, waarmee het boek ‘Wiskunde’ definitief gesloten kan worden! Aantal wiskundige tijdschriften. Het aantal onderzoekstijdschriften heb ik gebaseerd op het aantal tijdschriften dat door Mathematical Reviews bestreken werd in januari 2002; dat waren er 1799. Het cijfer van Zentralblatt is hoger; daar heeft men het over meer dan 2300, en op sommige plaatsen 7

Figuur 3: Begin van Wiles’ bewijs zelfs over ongeveer 3000. Mijn schatting van ‘ongeveer 1800’ is dus zeker aan de bescheiden kant. Die markt is bovendien in expansie; tussen 1994 en 2002 kwamen er zomaar eventjes 153 nieuwe wiskundetijdschriften bij, gemiddeld 17 per jaar! Creatie van nieuwe wiskunde. De ketting van schimmig beschreven vellen die zich van linksboven naar rechtsonder slingert eindigt met een rommelig vel dat een resultaat in statu nascendi wil weergeven, doorhalingen, droedels, afgekauwd potlood en wachtende onbeschreven vellen incluis. De foto links ervan (uitvergroot te zien in figuur 4) geeft die fase in een meer sociale context weer en toont mensen die na een voordracht van gedachten wisselen met de spreker en met elkaar. De spreker staat uiterst links en dient een interpellant van antwoord die het krijt waarmee hij op het bord gekrabbeld heeft nog in de hand houdt. Terzijde heeft zich een groepje van vier gevormd waarin, te oordelen naar het handgebaar van de man die aan het woord is, eveneens een gedachtewisseling aan de gang is. Ik denk dat 8

de meeste actieve wiskundigen zich de sc`ene van de foto levendig kunnen voorstellen. De foto heb ik overgenomen uit Information on the Work, Organization, and History of the Mathematical Research Institute Oberwolfach On the Occasion of its Anniversary 1984 (Gesellschaft f¨ ur mathematische Forschung e.V. und Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach, October 1985). De hele serie bestaat uit zeven foto’s die, aan de tekst op de borden te zien, genomen zijn tijdens een bijeenkomst over harmonische analyse.

Figuur 4: Wiskundige gedachtewisseling Oorspronkelijk was gepland dat de gereproduceerde foto nog op een andere manier verband zou houden met de tekst van de affiche. Was er meer plaats over geweest, dan had ik ook het bestaan van wiskundige onderzoeksinstituten zoals Oberwolfach toegelicht. Na prospectie2 kwam ik wereldwijd op zesendertig van dergelijke instituten uit, waarvan twaalf in de Verenigde Staten, zes in Frankrijk, drie in Rusland, twee in Duitsland en twee in Canada. Wat filosofie. Van de ‘debatsc`ene’ links voert een pijl de toeschouwer van de affiche naar de ‘nieuwe wiskunde’ die op papier aan het ontstaan is. Hierbij wordt ook de vraag aangeraakt, of men dit proces als ‘ontdekken’ dan wel ‘uitvinden’ moet beschrijven. Wordt wiskunde ‘uitgevonden’ als een gloeilamp dan wel ‘ontdekt’ als een onbewoond eiland? of een mengeling van beide, b.v. dat men de stelling ‘ontdekt’ en het bewijs ‘uitvindt’ ? 2

http://www.ams.org/mathweb/mi-inst.html

9

of hangt het van het soort wiskunde af? Met dergelijke filosofische vragen houden wiskundigen zich maar zelden bezig, en maar goed ook. Dat is nl. geen wiskunde, maar ‘metawiskunde’, waarin men het fenomeen ‘wiskunde’ observeert en analyseert. Die ‘men’ is meestal een derde, die vaak beroepshalve ni´et met wiskunde bezig is; wie er w´el mee bezig is, zit er per definitie middenin en kan niet tegelijk ook een extern waarnemer zijn. De meeste wiskundigen, als zij dan toch een antwoord zouden moeten geven, zouden zichzelf allicht als ‘ontdekkers’ en niet als ‘uitvinders’ omschrijven, waarmee zij zich als z.g. ‘Realisten’ of ‘Platonici’ bekennen. Dit standpunt roept op zijn beurt vele vragen op. Waar komt die wiskundige realiteit, die buiten de mens zou bestaan, dan wel vandaan? En is zij onveranderlijk en in heel het heelal dezelfde, of is ze lokaal en tijdafhankelijk zoals onze ‘universele’ natuur‘constanten’ ook wel eens zouden kunnen zijn? Het is maar heel uitzonderlijk als filosofische metavragen over wiskunde diegenen verontrusten die die wetenschap te velde beoefenen. Over de ‘impredicatieve’ definities, waar Poincar´e zich zo aan ergerde, ligt niemand nog echt wakker. In elk handboek ziet men objecten gedefinieerd aan de hand van een criterium dat ook het gezochte object vernoemt. E´en voorbeeld onder vele: de Borelalgebra is ‘de doorsnede van alle σ-algebra’s die de topologie omvatten’. Maar de Borelalgebra voldoet z´elf aan dat criterium, waardoor de definitie niet-constructief wordt en volgens Poincar´e gewoon niet deugt. Ietwat meer en blijvender commotie is er rond het keuze-axioma. Technisch gesproken is die zaak nochtans geen debat meer waard. Door het werk van G¨odel en Cohen weten we dat het keuze-axioma aan de bestaande axioma’s van de verzamelingenleer toegevoegd kan worden zonder dat men moet vrezen dat het systeem daardoor plots inconsistent wordt. Toegegeven, het keuze-axioma leidt tot bizarre resultaten, zoals het bestaan van verzamelingen die niet Lebesguemeetbaar zijn, en waaraan men dus geen ‘volume’ kan toekennen.3 Anderzijds, zonder keuze-axioma bestaan er verzamelingen S en T waarvan de kardinaalgetallen niet vergelijkbaar zijn, zodat men niet kan zeggen of S al dan niet meer elementen bevat dan T . De weerstand die sommigen tegen het keuze-axioma blijven voelen is dan ook niet van technische, maar van filosofische aard. Wat betekent ‘bestaan’ nog voor wiskundige ‘objecten’ als men ze niet kan voorleggen en zelfs niet kan benaderen? In3 Onmeetbare verzamelingen komen voor in de fameuze stelling van Banach en Tarski: een massieve driedimensionale bal kan opgedeeld worden in een eindig aantal stukken (vijf, zo bleek later), waarmee men door translaties en rotaties twee massieve ballen kan samenstellen waarvan elk even groot is als de eerste.

10

derdaad, op de uitdaging ‘toon mij eens een vrije ultrafilter’ moet iedereen het antwoord schuldig blijven, maar dat is ook zo voor de uitdaging ‘toon mij eens een oneindige verzameling’. Het klassieke antwoord {1, 2, 3, . . .} is, door de aanwezigheid van de puntjes in de notatie en het ‘enzovoort’ in de omschrijving, even weinig constructief als de transfiniete constructie van een vrije ultrafilter; in beide gevallen groeit het object bij elke stap wel aan, maar blijft men toch altijd even ver van het (letterlijk) oneindig verre ideaal vandaan. Het antwoord, in beide gevallen, is: een axioma bijvoegen waardoor die constructie ‘af’ geraakt. De niet-technische controverse rond het keuze-axioma bewijst dat wiskunde voor haar beoefenaars toch meer is dan een logisch deductie-apparaat. Dat blijkt ook uit emotionele bewoordingen waarmee wiskundigen theorie¨en beschrijven die in de buitenwereld doorgaan als typevoorbeelden van objectiviteit. Zo werd de verzamelingenleer door Hilbert beschreven als een paradijs waaruit niemand ons ooit zou mogen kunnen verjagen en door Poincar´e als een ziekte waarvan latere generaties zich gelukkig zullen prijzen, genezen te zijn. Die mysterieuze band met de wiskunde zullen niet-wiskundigen nooit begrijpen.

11