ÈA SO VÉ ØADY MÌ SÍÈ NÍ A ROÈ NÍ MÍRY IN FLA CE A JE JICH VLASTNOSTI

Konzultace ÈASOVÉ ØADY MÌSÍÈNÍ A ROÈNÍ MÍRY INFLACE A JEJICH VLASTNOSTI Josef Arlt, Milan Bašta, Vysoká škola ekonomická v Praze*

1. Úvod

Jedním z nejpoužívanìjších termínù ekonomické teorie a praxe je inflace. Je všeobecnì známé, že základem Èeským statistickým úøadem publikovaných mìr inflace je index spotøebitelských cen definovaný jako Laspeyresùv cenový index ve formì ISC t =

åpq åp q t

B

B

B

,

(1)

kde pt je cena zboží (služby) ve sledovaném (bìžném) mìsíci, pB je cena zboží (služby) v základním období, pBqB jsou výdaje za zboží (službu) v základním období. Index spotøebitelských cen charakterizuje vývoj cenové úrovnì. Èasto jsou v praxi používané mìsíèní a roèní míra inflace. Mìsíèní míru inflace charakterizující pøírùstek indexu spotøebitelských cen k pøedchozímu mìsíci lze vyjádøit jako tzv. mezimìsíèní koeficient rùstu øady ISCt, tj. ISC t . ISC t -1

MI m,t º

(2)

Roèní míru inflace charakterizující pøírùstek indexu spotøebitelských cen ke stejnému mìsíci minulého roku lze vyjádøit jako tzv. meziroèní koeficient rùstu øady ISCt, tj. MI r ,t º

ISC t . ISC t -12

(3)

Roèní míra inflace je klouzavým úhrnem mìsíèních mìr inflace a lze ji vyjádøit vztahem 11

MI r ,t = Õ MI m,t - i , i =0

kde Õ oznaèuje souèin.

*

Studie vznikla za podpory grantu GA ÈR 402/06/0209.

536

l

POLITICKÁ EKONOMIE, 4, 2008

(4)

Mìsíèní a roèní míru inflace lze chápat jako míry dynamiky základního ukazatele cenové úrovnì, tj. indexu spotøebitelských cen. Tyto míry znamenají modifikaci pùvodní informace. Podle našeho názoru je dùležité vìdìt, jakou mají tyto modifikace formu, zda dochází ke ztrátì informace èi k její deformaci. V následujících èástech budeme analyzovat odlišnosti èasových øad indexu spotøebitelských cen, mìsíèní a roèní míry inflace z hlediska jejich frekvenèního obsahu a vzájemného zpoždìní. K této analýze použijeme teorii lineární filtrace a její reprezentaci ve frekvenèní doménì. Jedná se o standardní relativnì známou metodologii, která je v literatuøe dobøe popsaná. V tomto èlánku budeme vycházet zejména z práce Percival, Walden (2000). S pomocí výše uvedené metodologie budeme analyzovat následující: 1. Pøíspìvek rùzných frekvencí do èasových øad ISCt, MIm,t a MIr,t. Pøitom uvidíme, jak jsou postupnì pøi pøechodu ISCt à MIm,t à MIr,t modifikovány trend a sezónnost. 2. Zpoždìní informace pøi pøechodu od èasové øady MIm,t k èasové øadì MIr,t. Protože èasové øady MIm,t a MIr,t nesou jinou informaci než èasová øada ISCt, nemá jejich porovnání z hlediska zpoždìní informace praktickou interpretaci, takže ho nebudeme provádìt. Zavedeme však øadu tzv. okamžité míry inflace a posoudíme zpoždìní informace pøi pøechodu od této øady k øadám MIm,t a MIr,t. 2. Index spotøebitelských cen, mìsíèní a roèní míra inflace 2.1 Transformace logaritmováním a lineární filtrace

Èasové øady ISCt, MIm,t a MIr,t obsahují kladné hodnoty, takže existuje jejich logaritmus LISCt º 1nISCt ,

(5)

LMIm,t º 1n MIm,t = LISCt - LISCt-1, 11

11

i =0

i =0

(6)

LMIr,t º 1n MIr,t = 1nÕ MI m,t - i = å LMI m,t - i .

(7)

Platí rovnìž 11

LMIr,t = å ( LISC t - i - LISC t - i - 1 ) = LISC t - LISC t - 12 .

(8)

i =0

Pøechod od èasové øady ISCt k èasové øadì MIm,t je ekvivalentní posloupnosti transformací: logaritmování, lineární filtrace1) na základì rovnice (6) a aplikace inverzního logaritmu (exponenciely). Symbolicky lze tedy psát

1

ISC t ¯1n

¾transformace ¾ ¾ ¾1®

LISC t

lin. filtrace 1

¾ ¾ ¾¾®

MI m,t exp

(9)

LMI m,t .

Lineární filtrace èasové øady ht filtrem gt je definována jako cyklická konvoluce N-1 N-1 g * ht º å m= 0 hm g t - m mod N = å m= 0 g m ht - m mod N , t = 0, 1, ..., N -1. Operace t – m mod N pøestavuje zbytek po celoèíselném dìlení èísla t - m èíslem N.


l

537

„Lineární filtrace 1“ je zprostøedkována filtrem ì 1, t = 0 ï a t = í -1, t = 1 ï0, jinak . î

(10)

Pøechod od èasové øady MIm,t k èasové øadì MIr,t je ekvivalentní posloupnosti transformací: logaritmování, lineární filtrace na základì rovnice (7) a aplikace inverzního logaritmu (exponenciely). Symbolicky MI m,t ¯1n


LMI m,t

lin. filtrace 2

¾ ¾ ¾¾®

MI r ,t exp

(11)

LMI r ,t .

„Lineární filtrace 2“ je zprostøedkována filtrem ì1, t = 0, 1, ..., 11 bt = í jinak . î0,

(12)

Pøechod od èasové øady ISCt k èasové øadì MIr,t je ekvivalentní posloupnosti transformací: logaritmování, lineární filtrace na základì rovnice (8) a aplikace inverzního logaritmu (exponenciely). Symbolicky ISC t ¯1n


LISC t

lin. filtrace 3

¾ ¾ ¾¾®

MI r ,t exp

(13)

LMI r ,t .

„Lineární filtrace 3“ je zprostøedkována konvolucí filtrù at a bt, tj. ì 1, t = 0 ï ct º a * bt = í -1, t = 12 ï0, jinak . î

(14)

2.2 Frekvenèní odezvy lineárních filtrù a jejich vlastnosti

V této èásti budou uvedeny formy a vlastnosti frekvenèních odezev A(f), B(f), C(f) a amplitudových odezev |A(f)|, |B(f)|, |C(f)| (napø. Percival, Walden, 2000, s. 20–40) filtrù at, bt a ct daných rovnicemi (10), (12) a (14).

538

l


Filtr at ¥

1

-¥

t =0

A(f) = å a t exp( -i2pft ) = å a t exp( -i2pft ) =1 - exp( -i2pf ), 0 £ f £ 0,5 , (15) |A(f)| = |1– exp(–i2pf)| = 2sin(pf ), 0 £ f £ 0,5 , 2

(16)

2

|A(f)| = 4sin (pf), 0 £ f £ 0,5 .

(17)

Prùbìh |A(f)| je zachycen na obrázku 1. Tato funkce je nulová v bodì f = 0 a pro vyšší hodnoty f monotónnì roste. Filtr at tedy propouští pøedevším vysoké frekvence. Filtr bt 11

B(f) = å exp( -i2pft ) = t =0

B( f ) =

exp( -i2p12 f ) -1 , 0 £ f £ 0,5 , exp( -i2pf ) -1

exp( -i2p12 f ) -1 é1 - cos(2p12 f ) ù =ê ú exp( -i2 pf ) -1 ë 1 - cos(2pf ) û

(18)

1/ 2

, 0 £ f £ 0,5 ,

(19)

2 é1 - cos(2p12 f ) ù B( f ) = ê ú , 0 £ f £ 0,5 . ë 1 - cos(2pf ) û

(20)

Prùbìh |B(f)| je zachycen na obrázku 2. Tato funkce je nulová v bodech f = k/12, k = 1, 2, …, 6. Filtr bt tedy potlaèuje komponenty ve frekvenci 1/12 a v jejích harmonických frekvencích. Vzhledem k tomu, že hodnoty |B(f)| jsou výraznì vyšší pro nízké frekvence, tento filtr též propouští a výraznì zesiluje nízké frekvence. Filtr ct

C(f) º A(f)B(f) = [1 - exp( -i2pf )]

exp( -i2p12 f ) -1 , 0 £ f £ 0,5 , exp( -i2pf ) -1

é1 - cos(2p12 f ) ù C ( f ) = A ( f ) B ( f ) = 2sin(pf) ê ú ë 1 - cos(2pf ) û 0 £ f £ 0,5 , 2

2

(21)

1/ 2

= [2 - 2 cos(2p12 f )]

1/ 2

, (22)

2

C ( f ) = A ( f ) B ( f ) = [2 - 2 cos(2p12 f )] , 0 £ f £ 0,5 .

(23)

Prùbìh |C(f)| je zachycen na obrázku 3. Tato funkce je nulová v bodech f = k/12, k = 0, 1, …, 6. Filtr ct tedy potlaèuje komponenty ve frekvenci 1/12 a v jejích harmonických frekvencích.


l

539

Obrázek 1 Amplitudová odezva |A(f)| 2

A(|A(f)| f)

1.5

1

0.5

0 0

0 .1

0 .2

0 .3

0 .4

0 .5

0.4

0.5

f Obrázek 2 Amplitudová odezva |B(f)| 14 12

B ( |B(f)| f)

10 8 6 4 2 0 0

0.1

0.2

0 .3

f

Obrázek 3 Amplitudová odezva |C(f)| 2

C |(C( f )f)|

1.5

1

0.5

0 0

0.1

0.2

0.3

f

540

l


0.4

0.5

2.3 Model ISCt a efekt logaritmické transformace

Budeme uvažovat následující dva modely stochastického procesu {ISCt}: model I: ISC t = exp( LISC t ), LISC t = c + LISC t -1 + ut ,

(24)

model II: ISC t = exp( LISC t ), LISC t = c + LISC t -12 + ut .

(25)

V obou pøípadech mùže {ut} pøedstavovat proces bílého šumu, MA, AR, ARMA nebo SARMA s nulovou støední hodnotou, c je konstanta. Po logaritmování se stochastický proces (24) nazývá integrovaným procesem a oznaèuje se jako I(1) (integrovaný øádu jedna). Pomocí operátoru zpoždìní lze tento model za pøedpokladu, že c = 0 vyjádøit ve formì (1 – B)LISCt = ut .

(26)

Jedná se o nestacionární proces obsahující stochastický trend (detailnìji viz napø. Arlt, Arltová, 2007). Logaritmovaný model (25) se nazývá sezónnì integrovaným procesem. Pomocí operátoru zpoždìní lze tento model za pøedpokladu, že c = 0 vyjádøit jako (1 – B12)LISCt = ut .

(27)

Polynom ve formì (1 – B12) = (1 – B)S(B) = = (1– B)(1 + B)(1 + B )(1 + B + B2)(1 – B + B2)(1 + 3B + B2)(1 – 3B + B2) (28) 2

ukazuje, že tento proces obsahuje stochastický trend ale také sezónnost nestacionární formy. Oznaèuje se jako SI(1,1), první jednièka znamená pøítomnost stochastického trendu, druhá jednièka znamená tzv. sezónní integraci prvního øádu (detailnìji viz napø. Arlt, 1999; Arltová, 1999). Oba výše uvedené modely jsou dostateènì obecné pro zachycení dynamiky indexu spotøebitelských cen. Proces (24) lze rovnìž chápat jako sezónnì oèištìný proces (25). Pro ilustraci dùsledkù aplikace mezimìsíèního, resp. meziroèního koeficientu rùstu budeme pro zjednodušení a bez ztráty obecnosti dále pøedpokládat, že c = 0. Jedním z cílù práce je studium významu transformací ISCt ® MI m,t , resp. MI m,t ® MI r ,t , resp. ISCt ® MI r ,t . Budeme ho studovat skrze transformace LISC t ® LMI m,t , resp. LMI m,t ® LMI r ,t , resp. LISCt ® LMI r ,t ve frekvenèní doménì, tj. skrze lineární filtraci ve frekvenèní doménì. Pøedpokládáme tedy, že dílèí transformace odpovídající logaritmování a inverznímu logaritmování (viz diagramy (9), (11) a (13)) nehrají v aspektech analýzy celé transformace zásadní roli a že „vše dùležité“ se odehrává bìhem lineární filtrace. Podpoøme tento pøedpoklad následující analýzou. Pøi platnosti modelu I MI m,t =

ISC t exp( LISC t ) = = exp(LISCt – LISCt–1) = exp(ut) . ISC t-1 exp( LISC t-1 )

(29)

Vzhledem k tomu, že proces {ut} je stacionární s nulovou nepodmínìnou støední hodnotou a konstantním rozptylem, je proces {MIm,t} rovnìž stacionární s jednotkovou


l

541

nepodmínìnou støední hodnotou a konstantním rozptylem. Je rovnìž zøejmé, že pøi platnosti modelu I platí vztah LMI m,t = 1n

ISC t = LISCt – LISCt–1 = ut , ISC t-1

(30)

což znamená, že proces {LMIm,t} je stacionární s nulovou nepodmínìnou støední hodnotou a konstantním rozptylem. Pro c/d = 1+ e (kde e je blízké nule s omezením e <1) platí 1n(c/d) = 1n(1 + e) = e –1/2e2 + 1/3e3 + ... .

(31)

Protože pro malé hodnoty e je možné èleny vyššího øádu zanedbat, lze psát 1n(c/d) = 1n(1 + e) » e .

(32)

Za pøedpokladu modelu I pøi dostateènì malém rozptylu procesu {ut} tedy LMI m,t = 1n

ISC t = 1n{1 + [exp( ut ) -1]} » exp( ut ) -1 = MI m,t -1 . ISC t-1

(33)

Dále platí ISC t = exp( LISC t - LISC t -12 ) = ISC t-12 = exp{( LISC t - LISC t - 1 ) + ( LISC t - 1 - LISC t - 2 ) + ... + ( LISC t - 11 - LISC t - 12 )} = = exp( ut + ut - 1 + ut - 2 + ... + ut - 11 ) . (34) MI r ,t =

Proces {MIr,t} lze tedy chápat jako klouzavý úhrn procesu {MIm,t} délky 12. Jedná se stále o stacionární proces, který má jednotkovou nepodmínìnou støední hodnotu a konstantní rozptyl. Tento rozptyl je však výraznì vyšší než u procesu (29) (napø. Arlt, Arltová, 2007, s. 39). Logaritmovanou roèní míru inflace lze za stejného pøedpokladu modelu I vyjádøit jako LMI r ,t = 1n

ISC t = 1n{1 + [exp( ut + ut - 1 + ... + ut - 11 ) -1]} . ISC t-12

(35)

Protože však hodnoty procesu {[exp( ut + ut - 1 + ... + ut - 11 ) -1]} mohou být výraznì odlišné od nuly, není možné pøedpokládat, že pro roèní míru inflace platí vztah analogický vztahu (33), tj. že logaritmus roèní míry inflace lze vyjádøit pøibližnì jako roèní míru inflace minus 1. Z uvedených faktù vyplývá, že za pøedpokladu modelu I pøechod od nestacionární ke stacionární èasové øadì pøi transformaci ISCt ® MIm,t , resp. ISCt ® MIr,t nemùže nastat bìhem dílèí transformace odpovídající logaritmování, nebo• èasová øada LISCt je stále nestacionární (viz rovnice (24)), ani v dílèí transformaci odpovídající inverznímu logaritmování, která již jen pøevádí stacionární øadu LMIm,t, resp. LMIr,t na stacionární øadu MIm,t, resp. MIr,t. Je to tedy dílèí èást transformace, odpovídající lineární filtraci, ve které musí nastat odstranìní nestacionarity v èasové øadì ISCt. V pøípadì transformace MIm,t ® MIr,t za pøedpokladu modelu I lze uvažovat následujícím zpùsobem: pokud by

542

l


hypoteticky hodnoty procesu {[exp( ut + ut - 1 + ... + ut - 11 ) -1]} byly blízké nule, bylo by možné pro roèní míru inflace psát vztah analogický vztahu (33). Za tìchto okolností by frekvenèní obsah èasových øad MIm,t a MIr,t byl totožný s frekvenèním obsahem èasových øad LMIm,t a LMIr,t a studium transformace MIm,t ® MIr,t ve frekvenèní doménì by bylo ekvivalentní studiu transformace LMIm,t ® LMIr,t. Vzhledem k tomu, že hodnoty procesu {[exp( ut + ut - 1 + ... + ut - 11 ) -1]} se mohou výraznì lišit od nuly (ale budou vždy koneèné) je tato rovnost frekvenèních obsahù pouze pøibližná. Pøi platnosti modelu II platí MI m,t =

ISC t = exp( LISC t - LISC t -1 ) = exp{(1- B ) LISC t } = exp S ( B ) -1 ut . (36) ISC t-1

{

}

Analogicky jako pøi podmínce modelu I má proces {MIm,t} jednièkovou nepodmínìnou støední hodnotu, není však stacionární, protože obsahuje jednotkové koøeny v sezónních frekvencích. Jeho nepodmínìný rozptyl je funkcí èasové promìnné. Logaritmovanou mìsíèní míru inflace lze za pøedpokladu modelu II vyjádøit jako LMI m,t = 1n

ISC t = 1n{1 + [exp(S(B)–1ut) – 1]}. ISC t-1

(37)

Vzhledem k tomu, že hodnoty procesu {[exp(S(B)–1ut) – 1]} jsou výraznì odlišné od nuly, není možné pøedpokládat, že pøi platnosti modelu II platí vztah (33). V pøípadì modelu II MI r ,t =

ISC t exp( LISC t ) = = exp(LISC t - LISC t - 12 ) = exp( ut ). ISC t-12 exp( LISC t-12 )

(38)

Protože proces {ut} je stacionární s nulovou nepodmínìnou støední hodnotou, proces {MIr,t} je též stacionární s jednotkovou nepodmínìnou støední hodnotou. Za pøedpokladu modelu II pøi dostateènì malém rozptylu procesu {ut} lze vzhledem ke vztahùm (31) a (32) psát LMI r ,t = 1n

ISC t = 1n{1 + [exp( ut ) -1]} » exp( ut ) -1 = MI r ,t -1 . ISC t-12

(39)

Pøi platnosti modelu II je tedy èasová øada LMIm,t nestacionární, obdobný charakter nestacionarity bude vykazovat i èasová øada MIm,t . Lze konstatovat, že dílèí transformace logaritmování a inverzního logaritmování nemìní v tomto pøípadì charakter nestacionarity v èasové øadì. Odstranìní nestacionarity pøi transformacích ISCt ® MIr,t a MIm,t ® MIr,t musí nastat v èásti lineární filtrace. Je-li proces stacionární, pak i logaritmus, resp. inverzní logaritmus tohoto procesu je stacionární, obsahuje-li proces urèité „singularity“ (nestacionarity v rùzných frekvencích, tj. napø. sezónnost integrovaného typu), potom logaritmovaný, resp. inverznì logaritmovaný proces je bude obsahovat také. Lze tedy shrnout, že rozhodující roli v kvalitativní zmìnì pøíslušných procesù hraje efekt lineární filtrace. Navíc


l

543

logaritmickou transformaci bez ohledu na pøedpoklad modelu indexu spotøebitelských cen je vhodné použít proto, že jako linearizující transformace usnadní další úvahy. 3. Odlišnosti a zpoždìní indexu spotøebitelských cen a mìr inflace 3.1 Spektrum procesu LISCt

Abychom mohli postupovat dále, je tøeba analyzovat spektrum výchozího procesu {LISCt}. Jak bylo výše uvedeno, pøi platnosti modelu I vede první diference procesu {LISCt} k procesu {ut}. Spektrum procesu {LISCt} lze definovat jako spektrum procesu {ut} dìlené kvadrátem amplitudové odezvy filtru at2), tj. I S LISC (f )=

Su ( f ) A( f )

2

.

(40)

2

A ( f ) je dáno vztahem (17). Spektrum S u ( f ) je koneèné v libovolné frekvenci I a spektrum S LISC ( f ) je nekoneèné ve frekvenci f = 0, protože v tomto bodì je funkce 2

A ( f ) nulová (obrázek 1). S pøihlédnutím k rovnici (17) lze psát 2

A ( f ) = 4sin 2 ( pf ) ~ f 2 , pro malé f.

(41)

Potom tedy I S LISC (f ) ~ f

-2

, pro malé f.

(42)

S uvážením vztahu (42) je zøejmé, že e

òS

I LISC

(43)

( f ) df = ¥,

0

kde e je libovolné èíslo vìtší než nula. Výsledek (43) lze interpretovat tak, že nepodmínìný rozptyl procesu {LISCt} roste s èasem do nekoneèna. Tento závìr je v souladu s klasicky odvozenými vlastnostmi procesu {LISCt} za podmínky modelu I. Pøi platnosti modelu II je zøejmé, že meziroèní diference procesu {LISCt} vede rovnìž k procesu {ut}. Spektrum procesu {LISCt} je možné v tomto pøípadì definovat 2 jako spektrum procesu {ut} dìlené kvadrátem amplitudové odezvy C ( f ) filtru roèní diference c t = a * bt , tj. II S LISC (f )=

2

Su ( f ) C( f )

2

.

(44)

Lineární filtrací stacionárního procesu {ht} filtrem gt s frekvenèní odezvou G(f) se spektrum tohoto procesu Sh(f) mìní do formy S h ( f ) G ( f ) 2 (napø. Percival, Walden, 2000, s. 268).

544

l


C( f )

2

je dáno vztahem (23). Spektrum S u ( f ) je v libovolné frekvenci koneèné 2

II a spektrum S LISC ( f ) je v bodech, v nichž je funkce C ( f ) nulová (obrázek 3), tj. ve

frekvencích f = k/12, k = 0, 1, …, 6, nekoneèné. Na základì rovnice (23) a Taylorova rozvoje pøíslušné funkce lze psát 2

C ( f ) = 2 - 2 cos(2p 12 f ) ~ ( f - k / 12) 2 , pro f blízké k/12, k = 0, 1, ..., 6,

(45)

takže II S LISC ( f ) ~ ( f - k / 12) -2 , pro f blízké k/12, k = 0, 1, ..., 6 .

(46)

S uvážením vztahu (46) je zøejmé že k / 12+ e

òS

II LISC

( f ) df = ¥, k = 0, 1, ..., 6 ,

(47)

k / 12

kde e je libovolné èíslo vìtší než nula. Výsledek (47) je možné interpretovat tak, že rozptyl procesu {LISCt} roste s èasem do nekoneèna, což je v souladu s klasickou analýzou procesu {LISCt} pøi platnosti modelu II. 3.2 Odlišnost indexu spotøebitelských cen a mìsíèní míry inflace ve frekvenèní doménì

Pøedpokládejme platnost modelu I. Diagram (9) ukazuje, že proces {LISCt} pøechází v proces {LMIm,t} prostøednictvím filtru (10). Spektrum procesu {LISCt} se pøi filtraci mìní na spektrum procesu {LMIm,t} ve formì 2

I I S LMI ,m ( f ) º S LISC ( f ) A ( f ) .

(48)

S ohledem na rovnici (40) lze vztah (48) upravit na 2

I I S LMI ,m ( f ) = S LISC ( f ) A ( f ) =

Su ( f ) A( f )

2

2

A( f ) = S u ( f ) .

(49)

Aplikace filtru at vede tedy zpìt ke spektru S u ( f ). Tento výsledek není nic pøekvapivého, protože samotný proces {LISCt} byl za pøedpokladu modelu I definován jako kumulace procesu {ut} a je tedy zøejmé, že mezimìsíèní diferencí se získá zpìt proces {ut}. Ve frekvenèní doménì je tento postup analogický, spektrum procesu 2 I S LISC ( f ) bylo nejprve definováno jako spektrum procesu S u ( f ) dìlené funkcí A ( f ) , posléze se násobením stejnou funkcí rekonstruovalo výchozí spektrum S u ( f ). Integrál spektra výchozího procesu {LISCt} je nekoneèný na libovolném intervalu obsahujícím I nulu (rovnice (43)). To však již neplatí pro spektrum S LMI ,m ( f ) = S u ( f ). Tento výsledek lze interpretovat tak, že aplikací filtru at byl z procesu {LISCt} odstranìn jednotkový koøen v nesezonní (tj. nulové) frekvenci.


l

545

Pøedpokládejme model II, potom 2

II II S LMI ,m ( f ) º S LISC ( f ) A ( f ) .

(50)

Úprava rovnice (50) s uvážením (23) a (44) vede ke vztahu 2

II II S LMI ,m ( f ) = S LISC ( f ) A ( f ) =

S uII ( f ) C( f )

2

A( f )

2

A( f ) = S u ( f )

2

2

A( f ) B ( f )

2

=

Su ( f ) B( f )

2

. (51)

II Spektrum S LMI ,m ( f ) bude tedy nabývat nekoneèných hodnot ve frekvencích, v nichž je 2

nulová funkce B ( f ) , tj. f = k/12, k = 1, 2, ..., 6. Navíc platí 2 é1 - cos(2p12 f) ù 2 B( f ) = ê ú ~ ( f - k / 12) , pro f blízké k/12, k = 1, 2, ..., 6, (52) 1– cos(2 p f ) ë û

z èehož plyne II -2 S LMI ,m ~ (f - k / 12) , pro f blízké k/12, k = 1, 2, ..., 6.

(53)

II Integrál funkce S LMI ,m ( f ) na libovolném intervalu obsahujícím alespoò jednu z frekvencí f = k/12, k = 1, 2, ..., 6, je tedy nekoneèný. Ze vztahu (47) plyne, že spektrum procesu {LISCt} po integraci na libovolném intervalu obsahujícím alespoò jednu z frekvencí f = k/12, k = 0, 1, ..., 6 (vèetnì frekvence nulové) je nekoneèné. Pro spektrum II S LMI ,m ( f ) zùstává tato vlastnost v platnosti pro všechny jmenované frekvence, kromì frekvence nulové. Tento výsledek lze interpretovat tak, že proces {LMIm,t} pøi platnosti pøedpokladu modelu II není stacionární. Jeho rozptyl roste s èasem do nekoneèna a to díky komponentám v roèní frekvenci a odpovídajícím harmonickým frekvencím. Tento výsledek je v souladu s výsledky klasického pøístupu, kdy se aplikací nesezónní diference odstraòuje jednotkový koøen v nulové frekvenci, ale jednotkové koøeny v sezónních frekvencích zùstávají zachovány.

3.3 Odlišnost indexu spotøebitelských cen a roèní míry inflace ve frekvenèní doménì

Za pøedpokladu modelu I lze s uvážením rovnic (40) a (23) vyjádøit spektrum stochastického procesu {LMIr,t} ve tvaru 2

I I S LMI ,r ( f ) º S LISC ( f ) C ( f ) =

Su ( f ) A( f )

2

2

2

C( f ) = Su ( f ) B( f ) .

(54)

Tento výsledek je možné interpretovat tak, že aplikace roèní diference na proces {LISCt} vede k procesu, který má nulové komponenty ve frekvencích f = k/12, k = 1, 2, ..., 6, viz obrázek 2. Na tomto obrázku je vidìt, že ve spektru procesu {ut} dochází k zesílení nízkých frekvencí a k potlaèení vysokých frekvencí, které však není

546

l


2

dokonalé, nebo• B ( f ) není nulové pro všechny vysoké frekvence. V èasové øadì LMIr,t se zároveò mohou vyskytnout falešné cykly a vysokofrekvenèní pohyby. V pøípadì modelu II je možné na základì rovnice (44) psát 2

II II S LMI ,r ( f ) º S LISC ( f ) C ( f ) =

Su ( f ) C( f )

2

2

C( f ) = Su ( f ) .

(55)

Bylo tedy extrahováno pøímo spektrum procesu {ut}. Rovnìž výsledky této sekce jsou v souladu s výsledky klasických postupù. 3.4 Odlišnost mìsíèní a roèní míry inflace ve frekvenèní doménì

V sekci 3.2 bylo ukázáno (vztah (49)), že za pøedpokladu modelu I má proces {LMIm,t} spektrum I (56) S LMI ,m = S u ( f ) . V tomto pøípadì je tedy z procesu {LISCt} odstranìn zdroj nestacionarity, tj. stochastický trend. Pøechod od procesu {LMIm,t} k procesu {LMIr,t} je uskuteènìn pomocí filtru bt (12). Spektrum procesu {LMIr,t} je tedy spjato se spektrem procesu {LMIm,t} vztahem 2

2

I I S LMI ,r ( f ) = S LMI ,m ( f ) B ( f ) = S u ( f ) B ( f ) .

(57)

Interpretace vztahu (57) je analogická interpretaci vztahu (54). Za pøedpokladu modelu II je spektrum procesu {LMIm,t} dáno vztahem (51), tj. II S LMI ,m ( f ) =

Su ( f ) B( f )

2

.

(58)

Pøechod od procesu {LMIm,t} k procesu {LMIr,t} tedy vede k následující zmìnì spektra 2

II II S LMI ,r ( f ) = S LMI ,m ( f ) B ( f ) = S u ( f ) .

(59)

3.5 Zpoždìní mìsíèní a roèní míry inflace

Je dùležité posoudit, zda pøi transformaci MIm,t ® MIr,t dochází ke zpoždìní informace. Toto zpoždìní je vhodné analyzovat prostøednictvím transformace LMIm,t ® LMIr,t skrze fázovou odezvu filtru bt (12). Informace obsažená v logaritmovaných øadách je ekvivalentní informaci obsažené v nelogaritmovaných øadách, nebo• oba typy øad jsou mezi sebou jednoznaènì pøevoditelné. Existuje-li tedy jisté zpoždìní informace mezi logaritmovanými øadami míry inflace, musí se toto zpoždìní projevit i mezi øadami nelogaritmovanými. Fázová odezva f B (f) filtru bt je argumentem (fází) komplexní funkce (18) (napø. Percival, Walden, 2000, s. 25). Pro fázovou odezvu ve frekvencích, v nichž je |B(f)|


l

547

nenulová, lze psát (real[B(f)] pøedstavuje reálnou èást B(f), imag[B(f)] pøedstavuje imaginární èást B(f)) sin f B ( f ) =

imag[ B ( f )]

cos f B ( f ) =

B( f ) real[ B ( f )] B( f )

, -p £ f B ( f ) £ p ,

(60)

, -p £ f B ( f ) £ p .

(61)

Prùbìh fázové odezvy f B (f) zachycuje obrázek 4. Je vidìt, že je nulová ve frekvencích f = k/11, k = 0, 1, ..., 5. Limity v bodech nespojitosti mají formu lim f B ( f ) =

k -12 p, k = 1, ..., 6 , 12

(62)

lim f B ( f ) =

k p, 12

(63)

k f® 12

k f® + 12

k = 0, 1, ..., 5 .

Obrázek 4 Fázová odezva f B (f)

2 1.5 1

f B ( 0f )B (f)

0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -3 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

f

Fázová odezva udává fázové zpoždìní pouze v intervalu (-p ;p , protože jsou však sinusovky nekoneèné, nelze rozlišit, jestli nastalo posunutí o fázi f B ( f ) nebo o fázi f B ( f ) + 2np, n je celé èíslo.

(64)

Aby bylo možné konvertovat fázovou odezvu na fázové (èasové) zpoždìní, je tøeba uvažovat pøípadné celoèíselné násobky 2p pøiètené k této odezvì. Pro filtr dt definovaný jako

548

l


ì12 -11d ï dt º í d ï 0 î

t =0 (65)

t = 1, ..., 11 jinak

platí lim d t = bt , d®1

lim d t = pt , d®0

kde pt je filtr s nulovým èasovým posunem. Pro libovolnou hodnotu 0£ d < 1 a libovolnou frekvenci f nedosáhne fázová odezva filtru bt hodnoty p nebo –p . Je-li možné fázovou odezvu filtru bt vypoèítat jako limitu f B ( f ) = lim f D ,d ( f ) ,

(66)

d®1

kde f D ,d ( f ) je fázová odezva filtru dt pro danou hodnotu d, a pokud f D ,d ( f ) se pro 0 £ d < 1 mìní spojitì (v promìnné d), potom je n ve vztahu (64) nulové pro libovolné f. (Obdobnou argumentaci lze provést i pøi pøevodu dalších fázových odezev uvedených níže na fázové zpoždìní, proto ji již dále neuvádíme.) Pokud by hodnota fázové odezvy ve frekvenci f byla rovna p, potom by se fáze sinusovky o této frekvenci zmìnila právì o p . Sinusovka s frekvencí f má periodu 1/f. Vzhledem k tomu, že zmìna fáze o p pøedstavuje posun v èase o pùl periody, mùžeme pro fázové zpoždìní, které nás informuje o èasovém posunutí frekvenèních komponent pøi filtraci, psát DB (f )º-

fB(f ) , 0 < f < 0,5 . 2pf

(67)

Jeho prùbìh je zachycen na obrázku 5. Obrázek 5 Fázové zpoždìní D B(f) 6 5 4

D B( f )

(f)

3

DB

2 1 0 0. 1

0. 2

0. 3

0 .4

0 .5

f


l

549

Protože v intervalu frekvencí 0 < f < 1/12 platí DB(f ) = -

-11pf = 5,5 , 2pf

(68)

jsou frekvenèní komponenty (sinusovky) pøi filtraci zpoždìny o pìt a pùl mìsíce. Toto zpoždìní je v daném rozsahu frekvencí stejné pro libovolnou frekvenci a lze ho tudíž interpretovat tak, že nízkofrekvenèní (tj. pomalu se mìnící) složky (pøesnìji øeèeno jednotlivé sinusovky Fourierova rozkladu) èasové øady LMIm,t jsou filtrací nejen zesíleny, ale také opoždìny o pìt a pùl mìsíce. Vzhledem k tomu, že amplitudová odezva |B(f)| filtru bt (viz rovnice (19) a obrázek 2) není ve frekvenèním intervalu 0 < f < 1/12 konstantní, dochází pøi filtraci (i pøes konstantnost fázového zpoždìní) v tomto intervalu k distorzi integrální (úhrnné) nízkofrekvenèní èásti èasové øady LMIm,t (úhrnnou nízkofrekvenèní èást èasové øady LMIm,t nelze pøesnì rekonstruovat posunutím úhrnné nízkofrekvenèní èásti èasové øady LMIr,t o 5,5 mìsíce dozadu, lze ji rekonstruovat pouze pøibližnì). Na obrázku 5 dále vidíme, že pro frekvence vyšší než 1/12 není fázové zpoždìní již konstantní ale mìní se. Pro vysoké frekvence blízké 0,5 je blízké nule. 3.6 Okamžitá míra inflace a zpoždìní mìsíèní a roèní míry inflace

Mìsíèní èasová øada ISCt obsahuje hodnoty v diskrétních èasových bodech oddìlených jedním mìsícem. Oznaème nyní jako funkci ISC(t) index spotøebitelských cen daný v libovolném èase t. Èasová øada ISCt je potom dána hodnotami funkce ISC(t) v bodech t = 0, 1, ..., N – 1, lze tedy psát ISCt º ISC(t = 0, 1, ..., N –1). V logaritmické škále je možné funkci ISC(t) vyjádøit jako LISC(t) º 1n ISC(t). Èasová øada logaritmu indexu spotøebitelských cen LISCt není tedy nic jiného než funkce LISC(t) vyhodnocená v diskrétních èasových bodech t = 0, 1, ..., N – 1, takže LISCt º LISC(t = 0, 1, ..., N –1). Pøedpokládejme, že funkce LISC(t) má v každém bodì derivaci LMI(t), tj. LMI(t) º

dLISC ( t ) . dt

(69)

Funkce LMI(t) má následující vlastnosti: 1. Udává okamžitou zmìnu indexu spotøebitelských cen LISC(t) v libovolném èasovém okamžiku. 2. Je-li èasová øada LISC t „jemnìji“ vzorkována, tj. je-li funkce LISC(t) vyhodnocována nikoliv v èase t = 0, 1, . . . , N – 1, ale v èase t = 0, D, 2D, . . ., KD, kde K je celé èíslo, D < 1 (KD = N – 1) a míra inflace (v logaritmické škále) je v èase jD poèítána jako LISC jD - LISC ( j - 1) D D

550

l


,

(70)

potom funkce LMI(t) je limitou takto poèítané míry inflace pro D ® 0 . V rovnici (70) je ve jmenovateli výraz D proto, aby mohla být takto vypoètená míra inflace vyjádøena ve stupnici mezimìsíèní míry inflace. 3. Mìsíèní èasovou øadu logaritmù mìsíèní, resp. roèní míry inflace, tj. LMIm,t, resp. LMIr,t lze z funkce LMI(t) získat jako t

LMI m,t =

ò LMI (t ) dt = LISC(t) – LISC(t – 1) ,

(71)

t -1 t

LMI r ,t =

ò LMI (t ) dt = LISC(t) – LISC(t – 12) .

(72)

t - 12

Protože platí vztah t

LMI m,t =

ò LMI (t ) dt =

t -1

1 t - ( t -1)

t

ò LMI (t ) dt ,

(73)

t -1

je mìsíèní míra inflace LMIm,t støední hodnotou funkce LMI(t) na intervalu (t-1, t). Je zøejmé, že mezi funkcí LISC(t) a LMI(t) platí též následující konverze (která je jen jiným zápisem rovnice (69)) t

LISC(t) = ò LMI ( t ) dt + LISC(t0) .

(74)

t0

Mìsíèní èasovou øadu LMI t º LMI ( t = 0, ..., N -1), tzn. øadu vyhodnocenou v èasových okamžicích t = 0, 1, ..., N – 1 lze nazvat okamžitou mírou inflace (v logaritmické škále). Je tøeba poznamenat, že hypotetická èasová øada LMIt není totožná s èasovou øadou LMIm,t. Zatímco hodnota LMIt (pro dané t) vyjadøuje míru inflace v daném èasovém okamžiku t, hodnota LMIm,t (pro dané t) pøedstavuje støední hodnotu okamžité míry inflace v intervalu (t – 1, t). Èasový posun informace o inflaci obsažené v èasových øadách LMIm,t a LMIr,t oproti aktuální skuteèné informaci o inflaci lze tedy posoudit jejich porovnáním s øadou okamžité míry inflace LMIt. Tuto øadu však neznáme. Aby bylo možné z èasové øady LISCt jednoznaènì rekonstruovat funkci LISC(t) a tudíž i její derivaci LMI(t) je tøeba, aby byla splnìna podmínka (viz vzorkovací teorém, Weisstein, E. W., (a)) FT [ LISC ( t )] =0, f ³ 0,5 .

(75)

Tato podmínka má následující interpretaci: spojitá funkce LISC(t) nesmí obsahovat frekvence vyšší než 0,5, tj. frekvence odpovídající periodì 2 mìsíce, jinak by se tyto frekvence staly ve spektru stochastického procesu {LISCt} nerozlišitelné od frekvencí nižších než 0,5 (tzv. aliasing efekt, viz napø. Weisstein, E. W., (b)), což by znemožnilo rekonstrukci pùvodní funkce LISC(t).


l

551

Pøi splnìní podmínky (75) platí p DFT [ LMI t ] = 2pf exp( i ) ´DFT [ LISC t ] . 2

(76)

Vztah (76) plyne z následujících dvou úvah: 1. Na pùvodní funkci LISC(t) lze (na omezeném intervalu) pohlížet jako na nekoneènou øadu sinù a kosinù. Derivace funkce LISC(t), tj. funkce LMI(t), má frekvenèní komponenty posunuté o p/2 vzhledem k pùvodní funkci LISC(t), nebo• derivace mìní fázi sinu, resp. kosinu o p/2. 2. Vzhledem k podmínce (75) nedochází pøi pøechodu od spojité funkce k èasové øadì k aliasing efektu, tzn. že frekvenèní komponenty funkcí LISC(t) a LMI(t) jsou ve spektru procesù {LISCt} a {LMIt} správnì interpretovány. Je-li splnìna podmínka (75), lze na základì vztahu (76) zmìnu fáze pøi pøechodu mezi èasovou øadou LMIt a èasovými øadami LMIm,t a LMIr,t urèit jako zmìnu fáze pøi pøechodu mezi èasovou øadou LISCt a èasovými øadami LMIm,t a LMIr,t opravenou o p/2 (nebo• èasové øady LMIt a LISCt jsou vùèi sobì posunuty o p/2 v každé frekvenci). Ke zjištìní zmìny fáze pøi pøechodu mezi èasovou øadou LISCt a èasovými øadami LMIm,t a LMIr,t staèí uvažovat fázovou odezvu filtrù rovnic (10) a (14). Výpoèet fázové odezvy f A(f) filtru at (10) vychází z frekvenèní odezvy tohoto filtru (15). V bodech, kde je |A(f)| nenulová platí (real[A(f)] pøedstavuje reálnou èást A(f), imag[A(f)] pøedstavuje imaginární èást A(f))) sin f A ( f ) =

imag[ A ( f )]

cos f A ( f ) =

A( f ) real[ A ( f )] A( f )

= cos( pf ), 0 < f £ 0,5 ,

(77)

= sin( pf ), 0 < f £ 0,5 ,

(78)

pøièemž lim f A ( f ) =

f ®0+

p . 2

(79)

Z (76), (77) a (78) plyne, že zmìna fáze pøi pøechodu mezi øadou okamžité míry inflace LMIt a øadou mìsíèní míry inflace LMIm,t je rovna f A ( f ) - p / 2 = - pf .

(80)

Je zachycena na obrázku 6. Fázové zpoždìní èasové øady LMIm,t oproti okamžité míøe inflace LMIt, v intervalu frekvencí 0 < f £ 0,5 je potom p 2 = - -pf = 0,5 . 2pf 2pf

fA(f )D(LMIm,t , LMIt) = –

552

l


(81)

Logaritmus mìsíèní míry inflace tedy zaostává za aktuální inflací charakterizovanou okamžitou mírou inflace v logaritmické škále o pùl mìsíce ve všech frekvencích. Obrázek 6 Fázová odezva fA(f)-p/2

0 0.1

0.2

0.3

0 .4

0 .5

f A( f ) -p/2

-0.4 /2 -0.8 p (f)-

f

A

-1.2 -1.6 -2

f

Pro fázovou odezvu filtru ct (14) platí fC ( f ) = f A ( f ) +f B ( f ) ,

(82)

kde f B ( f ) je fázová odezva filtru bt (12), která byla poèítána v první èásti sekce 3.5 (obrázek 4). Funkce f C ( f ) má následující vlastnosti: f C ( f ) = 0 Û f = 1 / 24 + k / 12, k = 0, 1, ..., 5 , p lim f C ( f ) = - , k 2 f® -

(83)

k = 1, ..., 6 ,

(84)

k = 0, 1, ..., 5 .

(85)

12

lim f C ( f ) =

k f® + 12

p , 2

Funkce f C ( f ) – p/2 odpovídající zmìnì fáze pøi pøechodu od èasové øady LMIt k øadì roèní míry inflace LMIr,t je zachycena na obrázku 7. Fázové zpoždìní èasové øady LMIr,t oproti okamžité míøe inflace LMIt v intervalu frekvencí 0 < f < 1/12 je potom p p p -12pf 2 =- 2 2 =6. 2pf 2pf

fC ( f ) D(LMIr,t , LMIt) = –


(86)

l

553

Nízkofrekvenèní komponenty mìsíèní èasové øady logaritmu roèní míry inflace LMIr,t tedy zaostávají za aktuální inflací LMIt o pùl roku. Obrázek 7 Fázová odezva fC(f)–p / 2

0 -0.5

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

fC ( f ) – p/ 2

-1

/2 p -1.5 (f)C

-2

f

-2.5 -3 -3.5

f

4. Závìr

Mìsíèní a roèní míra inflace jsou všeobecnì známé, uznávané a nezpochybnìné ukazatele používané pro mìøení dynamiky vývoje cenové úrovnì. V našem èlánku studujeme vlastnosti tìchto ukazatelù pomocí spektrální analýzy èasových øad a lineárních filtrù, které oba typy ukazatelù svazují. Abychom mohli pro posouzení vlastností transformace indexu spotøebitelských cen na mìsíèní, resp. roèní míru inflace použít metodu lineární filtrace ve frekvenèní doménì, je tøeba nejprve posoudit význam transformace èasových øad logaritmováním. V této souvislosti docházíme k závìru, že je-li analyzovaná èasová øada stacionární, pak i logaritmus této øady je stacionární, obsahuje-li èasová øada urèité „singularity“ (nestacionarity v rùzných frekvencích, tj. napø. sezónnost integrovaného typu), potom logaritmovaná èasová øada je obsahuje také. Logaritmická transformace èasových øad tedy nemodifikuje závìry získané studiem lineární filtrace ve frekvenèní doménì. Vlastnosti mìsíèní a roèní míry inflace jsou dány charakterem èasové øady indexu spotøebitelských cen. Pøi posuzování vlastností mìr inflace vycházíme ze dvou modelù indexu spotøebitelských cen, které lze chápat jako dvì mezní situace. První model pøedpokládá pøítomnost pouze stochastického trendu, druhý model

554

l


pøedpokládá pøítomnost stochastického trendu a integrované sezónnosti, tj. pøítomnost všech sezónních jednotkových koøenù. Jedním z poznatkù je, že v pøípadì modelu indexu spotøebitelských cen bez sezónní složky lineární filtr vedoucí k roèní míøe inflace zesiluje pohyby v nízkých frekvencích a zeslabuje (nerovnomìrnì) pohyby ve vysokých frekvencích. Roèní míra inflace se potom jeví jako relativnì „hladká“, resp. ménì variabilní èasová øada s cyklickým prùbìhem. Tyto cykly jakož i charakter vysokofrekvenèní variability jsou však pouze zdánlivé. Jak jsou tyto deformace významné závisí na skuteèném modelu reálného indexu spotøebitelských cen. Dalším poznatkem je, že transformací, pøi které z mìsíèní míry inflace získáváme roèní míru inflace dochází v nízkofrekvenèní èásti ke zpoždìní 5,5 mìsíce. K posouzení zpoždìní mìsíèní a roèní míry inflace oproti indexu spotøebitelských cen je tøeba zavést fiktivní ukazatel tzv. okamžité míry inflace, který informaci z indexu spotøebitelských cen nezpožïuje. Jeho porovnáním s mìsíèní, resp. roèní mírou inflace docházíme k závìru, že mìsíèní míra inflace zpožïuje informaci z indexu spotøebitelských cen o 0,5 mìsíce ve všech frekvencích a roèní míra inflace o 6 mìsícù v nízkých frekvencích bez ohledu na tvar modelu indexu spotøebitelských cen. V pøípade mìsíèní míry inflace je v mìsíèních èasových øadách toto zpoždìní nerozlišitelné. To však neplatí pro èasovou øadu roèní míry inflace. Význam tohoto pùlroèního zpoždìní se zvyšuje zejména v ménì stabilních obdobích. Vzhledem ke znaènì širokému použití ukazatele roèní míry inflace považujeme zjištìní o jeho zpoždìní za zásadní poznatek. Literatura ARLT, J. 1998. Problém krátkodobé a dlouhodobé míry inflace. Politická ekonomie, 1998, roè. 46, è. 5, s. 667–674. ARLT, J. 1999. Moderní metody modelování ekonomických èasových øad. Praha : Grada Publishing, 1999. 307 s. ISBN 80-7169-539-4. ARLT, J.; ARLTOVÁ, M. 2007. Ekonomické èasové øady. Praha : Grada Publishing, 2007. 285 s. ISBN 978-80-247-1319-9. ARLTOVÁ, M. 1999. Analýza sezónnosti ekonomických èasových øad [Doktorská disertaèní práce]. Praha, 1999. PERCIVAL, D.; WALDEN, A. 2000. Wavelet methods for time series analysis. Cambridge : Cambridge University Press, 2000. 570 s. ISBN 0-521-64067-7. WEISSTEIN, E. W. (a). Sampling Theorem. From MathWorld—A Wolfram Web Resource. Dostupný z WWW: http://mathworld.wolfram.com/SamplingTheorem.html. WEISSTEIN, E. W. (b). Aliasing. From MathWorld—A Wolfram Web Resource. Dostupný z WWW: http://mathworld.wolfram.com/Aliasing.html.


l

555

TIME SERIES OF MONTHLY AND YEARLY INFLATION RATES AND THEIR PROPERTIES Josef Arlt, Milan Bašta, University of Economics, nám. W. Churchilla 4, CZ – 130 67 Praha 3 ([email protected], [email protected])

Abstract Monthly and yearly inflation rates can be understood as rates of dynamics of the basic inflation indicator i.e. the consumer price index. These indicators modify the original inflation information. It is important to analyze the difference of the consumer price index, monthly and yearly inflation rates, from the viewpoint of their frequency content, time lag and deformations. The theory of linear filtration and its representation in the frequency domain is used. Under particular assumptions, in the time series of yearly inflation rate there can be spurious cycles and high-frequency motions. The time series of yearly inflation rate lags behind the time series of instantaneous inflation rate about six months in low frequencies and the time series of monthly inflation rate lags behind the time series of instantaneous inflation rate about half of the month in all frequencies.

Keywords consumer price index, inflation rate, linear filtration, frequency analysis, spectrum, phase lag JEL Classification E31, C22, C02

556

l


ÈA SO VÉ ØADY MÌ SÍÈ NÍ A ROÈ NÍ MÍRY IN FLA CE A JE JICH VLASTNOSTI

Recommend Documents