Draft Vajda Róbert: A matematikai tudás számítógéppel segített (ön)ellenorzése (Pécs, 2004)
Társadalmi igények
Technológiai kérdések
Ellenorzés és önellenorzés
Módszertani, szakdidaktikai kérdések
Oktatási célok
Episzt. és a pszich. vonatkozó erdményei eredmények
Az ellenorzés, vizsgáztatás a tanulási-tanítási folyamat meghatározó része, célja többrétu [Houston 1]: 1) informálja (megerosíti, figyelmezteti) tanulót, hogy a megfogalmazott kritériumrendszer alapján meddig jutott, 2) az oktató tanár számára jelzi tanítási módszerének sikerét/kudarcát, 3) lehetové teszi az elorehaladás, az oktatási célok megvalósulása mértékének kvantitatív jellemzését, 4) az oktató kollégák, a kutatók számára jelzi, hogy sikeres vizsga milyen helyiértékkel bír társadalmi, szakmai szempontból, hogyan integrálható a sikeresen zárt kurzus, modul, sáv, képzési szint egy hosszabb távú tanulási folyamatba. A matematikai jellegu tudást legtöbbször írásbeli dolgozat formájában kérjük számon. A szóbeli vizsgákkal kapcsolatban meg kell jegyezni, hogy nagy szerepük lehet a tudományos kommunikáció kialakításában, de ezzel itt részletesen nem foglalkozunk. Azt azért megemlíthetjük, hogy az új technológiák itt is segíthetnek, mert a kidolgozott tipikus eljárásoknál, levezetéseknél, olyan szóbeli magyarázatok is elofordulnak, amely az egzakt matematikai terminológia és a helyes szófordulatok begyakorlását elosegíthetik (http://www.math.u-szeged.hu/~nagyg: „Tanuld meg a mintamegoldás szófordulatait, és azokat használd a saját megoldásod számolásánál!”). Kérdés, hogy a tanulási-tanítási folyamatban megjeleno új technikai eszköz (számológép, internet, komputeralgebrai rendszerek, interaktív tanulói környeze tek) esetén megengedett-e az új eszköz használata a számonkérésnél is, vagy teljes mértékben tiltott. Ha az új eszközt komoly szándékkal integrálni szeretnénk a tanulási- tanítási folyamatba, akkor az ember nem zárhatja ki a számonkérésnél sem teljesen azt az eszközt, amivel a tanulási-tanítási folyamat nagy részében hatékonyan dolgozott. Ha a tudás számonkérése, a megszerzett képességek ellenorzése a tanulási-tanítási folyamat szerves része, és ezen folyamatot meghatározó oktatási célok elérése érdekében új technológiákat integráltunk az oktatásba, akkor ennek megfelelo számonkérési formáknak is meg jelenniük.
Ez viszont maga után vonja, hogy újból szemügyre kell vennünk hagyományos számonkérési formáinkat, értékelnünk, osztályoznunk kell hagyományos feladatsorainkat, sot egyes esetekben kifejezetten az új rendszer kínálta lehetoségeket értelmesen kihasználó feladatsorokat kell szerkesztenünk. Kiderülhet, hogy a jól bevált feladatsorainkban szereplo feladatok megoldásai közül egyeseket a CAS használatának korlátok nélküli engedélyezése relatíve trivializál, másokat érintetlenül hagy. Az új feladatok között pedig szerepelhet olyan, aminél elengedhetetlen segítség, ugyanakkkor általa eddig nehezen/nem mérheto képességek/tudáselemek is megfoghatóvá válnak. A szakirodalom a felvetodo problémákra a következo értékelési rendszert javasolja [Kutzler 9],[Schirmer-Saneff 10]: kisebb lélegzetvételu CAS-kizárt röpdolgozatok (alapfeladatok, fogalmak ,definíciók tételek, alapszámítások), majd komplex(ebb) problémamegoldáshoz hosszabb vizsga számítógép és valamilyen szofver engedélyezett használatával, továbbá opcionálisan projektmunka készítés a szoftver segítségével. Kutzler kétpólusú rendszere az alapveto mentális képességek mérése esetén minden segédeszközt kizár, míg a problémamegoldás esetén mindent engedélyez. Szellemesen hasonlítja a számonkérés ezen két módját ahhoz, ahogy a mukorcsolyázó teljesítményét a kötelezo program és a szabadon választott kurje együttese alapján ítéli meg a zsuri. Ezt a modellt bovíthetjük ki Schirmer alapján azzal, hogy egy harmadik komponens -- az önálló komplex projektmuka készíttetése -- ismét más képességeket, tudáselemeket mérhet le (témaválasztás, önálló információszerzés, értelmezés, kompakt munka értéke, korrekt hivatkozások stb.). Technikai kérdés, ezért csak érintjük, hogy a számítógép részleges engedélyezése esetén a tiltott szolgáltatások/források (bizonyos magas szintu CAS-utasítások, internet, egyéb információs csatornák) illegális használatát hogyan tudjuk szurni. Nagyon fontos, hogy milyen az a kurzus, amelynek értékelésénél és ellenorzésnél a számítógépet használni akarjuk (számítógépes/hagyományos, elméleti matematikai kurzus), illetve milyen helyiértékkel rendelkezik ez a kurzus a tanterven belül, mi a viszonya a többi kurzushoz. Mi ebbol a szempontból két modellt látunk kirajzólodni: 1. A CAS alapos ismertetése (szintaktikai és programozási alapismeretek) a képzési ciklus elején, sokszor a matematikai alapismeretekkel párhuzamosan is, majd teljes integrációja a képzési ciklus folyamán. 2. A kezdetben(I-III. félév) csak (tiszta, technika nélküli) matematikai kurzusok, majd egy késobbi fázisban “Szá mítógépes matematikai modellezés” blokkban az addigra elsajátított matematikai ismeretek birtokában (jól motivált) hallgatók ismerhetik meg a matematikai problémamegoldásban a számítógép szerepét. Reményeink szerint egy ilyen kurzus(sorozat) végére a hallgató az adott komputeralgebrai rendszer eszközeivel komplex matematikai problámaszituációkat tud kezelni.
Nálunk inkább a 2. modell jellemzo. Okok: nagyon nagy létszámú évfolyamoknál oktatói, terem kapacitás miatt nem járható út, mivel sok egyéb, matematikára alapozó szaknak oktatunk ki. Nem szeretnénk azonban a kevés matematikai-informatikai eloismerettel rendelkezo csoportok esetében sem mellozni a tanításban és a tudásellenorzésnél a számítógépet. A komputeralgebrai rendszerek lehetoségeit itt is ki szeretnénk használni. A számítógéppel segített ellenorzés és önellenorzés problémáját így külön tárgyaljuk a két célcsoportunk (nagyrészt elsoéves, szintaktikai, programozási, matematikai ismeretekkel nem rendelkezo csoportok / felsobb éves, matematikai alapismeretekkel rendelkezo, a computeralgebrai rendszerek ‘belso lelki világát’ is ismero csoportok) esetében. A második csoportra vonatkozó észrevételeink vonatoznak az I. modell szerint történo oktatási rendszerben történo számonkérésre is, sot számos ország példája mutatja, hogy a komputeralgebrai rendszerek használata és a vizsgáztatásba történo integrálása az oktatás jóval korábbi sza kaszában (akár a középiskola legelején [Roger 2],[Macagoain 5 ],[Böhm 12]) is megteheto, tehát akár a közoktatás szférjára is. A matematikai tanulmányok egy-egy szakaszát lezáró, CAS használatát is engedélyezo vizsga reményeink szerint a modern társadalmi elvárásokhoz jobban illeszkedo tudást (problémamegoldás, szövegértelmezés, modellalkotás, adatfeldolgozás) tud mérni. Az elso célcsoportunk esetében saját és a nemzetközi tapasztalat [Gélis-Lenne 6] is azt mutatja, hogy amennyi új lehetoséget a komputeralgebrai rendszerek integrálása kínál (vizulizáció, többféle reprezentáció, paraméteres kísérletezés stb. ), legalább ugyanannyi kihívást és problémát jelent az oktatók és a tanulók számára egyaránt (nyelvi, szintaktikai nehézségek, programozási és adatstruktúrák egzakt használatának nehézségei a tanulói oldalról, kurzusmenedzselés a tanári oldalról stb.). A rendszerek többsége parancsorientált, egzakt szintaxisú, elsosorban kutatási célokra készült. Ezért didaktikai környezetük sokszor fejlesztést igényel. Mivel itt a az alapveto matematikai fogalmakat és eljárásokat kell ismertetnünk és megértetnünk, s ezért ezeket a tudásegységekett white-box-ként kell kezelnünk[Buchberger ??], semmiképpen nem kínálhatjuk fel a CAS sokszor nagyon eros szolgáltatásait minden további magyarázat és korlátozás nélkül. Mi ezért az elso célcsoportnál azt az utat választottuk, hogy a Cas által kínált alapkörnyezetet kívülrol bovítettük ki- mintegy a CAS szolgáltatásaira egy új réteget építve: egy olyan on-line matematikai webfelületet hoztunk létre (WebMathematics Interactive)[Vajda-Kovács 7], ami 1) a CAS-t nem ismero hallgató felé egy intelligens tanulókörnyezetet kínál, 2) kommunikál a komputeralgebrai rendszerrel és 3) támaszkodik a feladatkituzésnél, az interaktív fela datmegoldás eredményének ellenorzésénél, a dinamikusan generált magyarázatok elkészítésénél a CAS szolgáltatásaira. A számonkérés interaktív formái az ilyen rendszereken belül -statikus nyílt és zártvégu tesztek -dinamikusan generált nyílt és zártvégu tesztek
-többlépcsos feladatok -komplex(ebb) problémák segédeszközökkel, alapszolgáltatásokkal -(korcsoport szerint) további drag and drop párosítások, valós kiértékelési ideju multiple choice tesztek, koordinátaleolvasás, hiányos szövegben matematikai- és szövegösszefüggések alapján hiányzó részek kitöltése stb. Az önellenorzés, az (inter)aktív feladatmegoldás, fontos, mert helyes önértékeléshez segít, továbbá a tudás interiorizálásához segít. Kebler táblázata [Kebler 14] itt nagyon találó: Megjegyzem ill. elsajátítom 30%-át
annak, amit láttam;
50%-át
annak, amit lá ttam és hallottam;
70%-át
annak, amirol magam beszéltem, vitatkoztam;
90%-át
annak, amit magam kipróbáltam;
A diákok és hallhatók a WebMathematics Interactive interaktív tanulói környezetében kétféle módon ellenorizhetik tudásukat: az alapszolgáltatásokat igénybe véve pusztán azáltal, hogy a kiszámolt határértéket, derivált- vagy primitívfüggvényt stb. összevetik az alapfunkcióként a rendszer által szolgáltatott értékkel. Ha valaki olyan feladatgyujteménybol dolgozik, ahol csak a feladatok kerülnek kituzésre (végeredmény és magyarázat nélkül), akkor még ez a triviális szolgáltatás is sokat segíthet. Didaktikailag azonban jóval hatékonyabb az elore összeállított nyílt- és zártvégu tesztek, ahol egy-egy témakörben eloforduló típusfeladatokkal találkozhat a hallgató. Az alapszolgáltatásokon túl a matematika egyes részfejezeteit tematikus modulok dolgozzák fel, melynek elemei lehetnek tanító (webjegyzet, kísérletezteto-felfedezteto elem), illetve ellenorzo elemek (interaktív feladatsorok és tesztek)) A ellenorzo elemek tematikusan és nehézség szerint fokozatosan egymásra épülnek, rutinfeladatok eseté ben mérhetik a feladatmegoldáshoz szükséges idot, a (helytelen/üres válaszok esetén) magyarázattal, javaslatokkal szolgálnak.
A dinamikusan generált feladatsorok a hallgatók érdekei mellett (nem egy feladat van; ha egy konkrét adatokkal elvégzett számítás nem ment, akkor a magyarázat megértése után nem ugyanazon a feladaton, hanem hasonló feladaton tesztelhetjük a megértést tényét, majd magabiztos, rutinszeru tudás fejlesztheto ki), az oktató érdekeit is szolgálják: a nyomtatható, egyénre szabott, javítókulccsal ellátott feladatsor röpdolgozat írásakor rögtön bevetheto, kiértékelést részben vagy teljesen automatizálhatóvá teszi, ami nagyobb létszám esetén szintén nem elhanyagolható szempont. Az (ön)ellenorzés a tanulási folyamat szerves része kell legyen, mert a folyamatos monitoring esetén az okatónak lehetosége van a hangsúlyokat egy anyagrészen belül áthelyezni, egyes témakörökre több idot szentelni, míg a hallgató esetében az aktuális tudásszint felmérése után tudatosulhat, hogy melyik részhez kell visszatérni, hol vannak hiányosságok, amit a magyarázatok, tanítóelemek segítségével pótolhat és ez egyúttal helyes tanulási stratégiák kialakulásához vezethet. Pontozás, értékelés Didaktikailag izgalmas kérdés, hogy a interaktív tesztek, feladatmegoldások esetében hogyan értékeljünk: a legegyszerubb esetben a feladatsorban kituzött feladatok (pozitív súlyokkal) súlyozott összege lehet a maximális pontszám és a kiértékelés ehhez képest történik meg. De lehet többszörös feladatválasztós teszteknél negatív súlyokat is alkalmazni, vagy ha az eredményt egy véges halmazból kell kiválasztani (ahol a kiértékelés valós idoben történik), akkor tippelések számát is figyelembe vevo skála alkalmazható, ahol az elért pontszám akkor értékes, ha a véletlenszeru tippeléssel átlagosan elérheto pontszámot jóval meghaladó eredményt kapunk (pl. http://matheonline.at). Olyan többlépéses feladat is elképzelheto, ahol a továbbhaladás helyes válaszhoz kötött. Példák. Kalmárné Németh Márta eloadásában szereplo példákkal ellentétben én itt a Kalkulus témaköréhez kapcsolodó modulokat illetve modulelemeket mutatok, s a megoldási algoritmusok mellett a rendszer keretein belül megvalósítható vizualizációs lehetoségekre is szeretném felhívni a figyelmet A kettos integrálok fogalmának bevezetésénél két kislétszámú csoportomnál is sikeresen alkalmaztuk a következo modulelemeket. -
tanítóelem, alapfogalom, szukcesszív integrálás normáltartományok esetén nyílt végu teszt integrálási határok kijelölésére normáltartományok esetén többlépcsos tanító elem(racionális törtföggvényekintegrálása) feladatmegoldás engedélyezett eszközökkel (lokális szélsoérték)
Végezetül visszatérünk a második célcsoportunk esetén jelentkezo problémakörre és provokatív módon szeretnék egy kifejezetten komputeralgebrai rendszeres(Mathematica) környezetben megoldandó problémát mutatni. A megoldáshoz szükséges elméleti matematikai ismeretek nem nyúlnak túl a szokásos matematikai alapkurzusokon elhangzó anyagon, ezért akár emelt szintu érettségi feladatsor részeként is elképzelheto. Itt
feltételezzük, hogy a megoldás részmozzanataiként szükséges alapismeretek(deriválás, integrálás stb. black-box-ént kezelhetok)
The problem Let us consider the picture below which represents a planar region constructed by the aid of a cubic polynomial. All the following questions are related to this plot.
1.5
P4 P3 1
0.5
-1.5
-1
H
-0.5
0.5
-0.5
-1 P1
-1.5
P2
1
1.5
a) GIVE a cubic polynomial p that fits to the points P1 (-1,-1), P2 (0,0), P3 (1/2,7/8), P4 (1,1). b) INVESTIGATE the parity of the function p. c) GIVE the local extrema of the function p (exact values). d) Using symmetry CONSTRUCT AND DRAW the closed curve shown in the diagram by the aid of CAS without coloring the region H and without the points P1-P4 (see picture below). How can the symmetrical properties of the closed curve be exploited during the construction?
1
0.5
-1
-0.5
0.5
1
-0.5
-1 e) CALCULATE the (exact) area of the filled region H. *f) CALCULATE the arc length s of a curve y=p(x) contained between the two points P1 and P4 with accuracy 10^(-3) (plotted with red in the first diagram). További lehetoségek. Regisztrált/rögzített aktivitás permanens feedback/folyamatos munkakontroll A számítógépes kiértékelés szociológai/pszichológiai háttere. Megerosítés, design, cél-állomások-feltételrendszer/önértékelés/ ?motoros tev./játékos tanulás. Reakció. Remélem eloadásomban sikerült kapcsolódni, ugyanakor további szempontokat is hozzátennem Kalmárné eloadásához. Szeretnék azonban az elozo eloadás egy pontjához egy konkrét megjegyzést tennem, nevezetesen a Lagrange-interpolációs polinomokra vonatkozó számítógépes számonkérés lehetoségeire. A technikailag
legegyszerubb megoldás, vagyis hogy értékeljük 1 ponttal, ha a polinom jó és 0-val, ha a polinom rossz, valóban arra a véleményre készteti az embert, hogy számítógéppel nem tudunk érdemi elorehaladást mutatni a hagyományos módszerhez képest. Ha viszont feltételezünk bizonyos eloállítási módokat a felhasználói oldalról (így tanítottuk, így hatékony stb.), akkor elképzelheto, hogy tudunk bizonyos (esetleg csak valószínuségi) állításokat tenni a hiba mibenlétérol és tudjuk mérni a perfekt megoldástól és a felhasználói válasz közti távolságot. Ebben az esetben értékelhetnénk a rossz megoldást is pozitívan, mert a távolság kicsi (vagyis csak egy együtthatót rontott el, csak egy pontban nem egyezik a helyettesítési érték stb.) Persze ez a nem feltétlen csak a Lagrange -polinomoknál elokerölo kérdéskör a didaktikán túlmutató probléma. Irodalom [1] Ken Houston: Assessing Undergraduate Mathematics Students (ICMI Vol. 7, 2001. Kluwer Academic Publishers) [2] Roger Brown: Comparing system wide approaches to the introduction of Computer Algebra Systems into examinations. (CAME, 3rd Symp., Reims 2003, net) [3] Peter Flynn: Using Assessment Principles to Evaluate CAS-Permitted Examinations(CAME, 3rd Symp., Reims, 2003,net)
[4] Lynda Ball: Communication of mathematical thinking in examinations: A comparison of CAS and non-CAS student written responses(CAME 3rd Symp, Reims, 2003) [5] Eoghan Macaogain: Assesment in the CAS age: an irish perspective(IJCAME, Vol. 9) [6] J.-M. Gélis – D. Lenne: Integration of learning capabilities into a CAS: The SUITES environment as example (net, European Research in ME). [7] R. Vajda – Z. Kovács: Interactive web portals in mathematics (TMCS,Vol. 2, 2003) [8] Lokar-Lokar Slovene Final Exernal Examination (net, ACDCA, 2000) [9] Bernhard Kutzler: Two-tier exams as a way to let technology in (net ACDCA, 2000) [10] Ingrid Shirmmer-Saneff —Angelika Thal: New three-tier model of assessment in CAS classes [11] Angel Balderas Puga : Exams in the perspective of an intensive use of software in regular courses (net, ACDCA, 2000) [12] Josef Böhm: How to Make Traditional Tasks Technology Compatible
[13] Josef Böhm: New forms of teaching provoke and require new forms of assessment [14] Klemens Kebler: Motivation und Freude durch offenes Lernen
